Se ha de cumplir S = s. Como además Arco = ángulo radio, se cumplirá, al sustituir en la igualdad anterior : π πradianes 40

Transcripción

1 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 1 RESUELVE TÚ ( ) Una cinta conecta do dico de radio r 5 cm y R 40 cm. Al dar el pequeño una vuelta completa, qué ángulo gira el grande.? Exprea la repueta en grado y en radiane. Cualquier punto de la cinta recorre epacio iguale en tiempo iguale ( i uponemo que la cinta e inextenible, rígida, ) pue al er continua e como i fuee una cinta que e mueve por un plano orizontal ( todo lo punto de la cinta llevan la mima velocidad ). Si no fijamo en do punto que etén obre lo dico, el que recorran epacio iguale upone que decriben arco de circunferencia iguale en tiempo iguale, e decir : S arco recorrido, en cierto tiempo, por un punto de la cinta obre el dico grande. arco recorrido, en cierto tiempo, por un punto de la cinta obre el dico pequeño. Se a de cumplir S. Como ademá Arco ángulo radio, e cumplirá, al utituir en la igualdad anterior : S α G R α p r En donde: α G arco girado por la rueda grande ( nuetra incógnita) α p arco girado por la rueda pequeña 1 vuelta 360º π radiane. Depejando de la fórmula anterior : α G r α R p 5 360º 40 45º π radiane 4 5 πradiane 40 π radiane 4 RESUELVE TÚ ( ) Un aperor funciona con un mecanimo que le produce un movimiento de giro, de ida y vuelta, de 45º. Si el corro de agua alcanza 1 m, alla el área A de la uperficie de céped regada.

2 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo Se trata de allar el área de un ector circular mediante u fórmula (teniendo la precaución de exprear el ángulo en radiane 45º π /4) : 1 1 π A ec tor r α '55m Cuál ería la velocidad angular de la rueda del ejercicio anterior ( r 35 cm), i la velocidad fuee de 54 km/r.? v velocidad lineal km 1000m 1r r 1km 3600 m r 35 cm 0 35 m w velocidad angular La fórmula que relaciona la tre magnitude e : RESUELVE TÚ ( ) v w r, depejando : v 15m / w r 0'35m rad 4'86 A qué ditancia ay que colocare para ver el extremo de la cimenea con un ángulo de 30º.? m tg30º d d tg30º 34' m

3 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 3 RESUELVE TÚ ( ) Un excurionita decubre un puente derruido. Dede u reto ( punto A) camina 16 m paralelamente al río. Mira dede aí ( punto C ) al otro lado del puente ( punto B) y lo ve con un ángulo de inclinación de 40º. Halla la longitud del puente. AB L tg 40º L 16tg40º 16 0'839 13'43m AC 16 Una montaña de 400 m de altura epara do pueblo A y B. Dede A e ve la cima C de la montaña con un ángulo de elevación de 0º, y dede B con 16º. Cuál e la ditancia d entre lo do pueblo.? E el cláico y típico cao de doble obervación. En el triángulo ACH e cumple : CH tg  tg0º AH En el triángulo rectángulo BCH e cumple : a tgbˆ CH tg16º BH d a Si depejamo a de la primera y lo utituimo en la egunda, de eta podemo depejar la incógnita d que deeamo conocer : a 1099m d a d a m tg0º 0'36397 tg16º tg16 0'867 PROBLEMAS PROPUESTOS ( ) Cuále de eto ángulo en poición normal on coterminale? En qué cuadrante etán? (a) 765 (b) 5 (c) 315 (d) 17 π/ 4 (e) π /4

4 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 4 Expreamo todo lo ángulo en función de u número de vuelta ( 360º): (a) 765º 360º + 45º (b) 5º (c) 315º (d) 17 /4 765º (e) 45º Luego on coterminale ( e diferencia en k vuelta ) el (a) (d) y el (e). Halla el ángulo que forman la aguja de un reloj a la: (a) Sei en punto. (b) Tre y media. La circunferencia del reloj etá dividida en 1 parte iguale, entre cada do diviione de ora abrá 360º/1 30º. (a) Como a la ei la aguja abarcan la mitad de la circinferencia erá 180º 6 30º. (b) A la tre y media abarcan la cuarta parte de la circunferencia meno la mitad de una diviión e decir 90º - 30º/ 90º - 15º 75º. Encuentra el gazapo en ete cálculo: Si una rueda de radio r 0 cm da 3 vuelta completa obre el uelo, entonce recorre: r α 0 (3 360) cm cm 16 m. La fórmula e : Arco radio x ángulo ( pero expreado en radiane) r α 0 ( 3 π ) 377 cm 3 77 m. El error etá en exprear el ángulo en grado en vez de radiane. Un ector de círculo de ángulo 40 tiene un área de 40 cm. Cuál e u radio?

5 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 5 A 1 r α r A α 40 40π /180 6'cm Una milla náutica e la longitud del arco de un meridiano correpondiente a un ángulo de 1' obre la uperficie de la Tierra. A cuánto kilómetro equivale una milla náutica? (radio de la Tierra km). R t α km ( 1 /60) km La Tierra gira obre í mima una vuelta cada día. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal que éta imprime a una perona que etá entada en un banco del parque de Quito, que etá ituado en el ecuador terretre. Velocidad angular ω ángulo tiempo 1vuelta día πradiane ' rad Velocidad lineal v ω R rad T 7'7 10 m m 463'1 Una moto de 500 cc va a 300 km/. El radio de u rueda e de 8 cm. Cuánta vuelta da cada rueda en un minuto? Cuál e el tiempo que tarda una rueda en girar un ángulo de 1? ω v r v 300 km/r 83 3 m/. r 8 cm 0 8 m. ) 83'3m 0'8m rad rad 17857'14rad 97'6 θ ω t 97' '14rad 84vuelta rad π vuelta Sabiendo que un ángulo agudo atiface tg α 4, calcula en α y co α. tgα 4 Tenemo do ecuacione con do incógnita : coα en α + co α 1

6 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 6 De la primera depejamo 4coα y lo utituimo en la egunda: 1 + co α 1 16co α + co α 1 17co α 1 coα ± 17 Y el eno, lo obtenemo al utituir en la expreión depejada de la primera : ( 4coα ) ± en α 4coα ± Son cierta eta identidade trigonométrica? (a) coec α 1 - ec α (b) 1 + cotg α coec α. (c) co α en α /tg α. (a) Partimo del egundo miembro: 1 coα ec α 1 coecα No e cierta coα coα (b) Partimo del primer miembro : co α umamo en α + co α ec.fundamental 1 1+ cot g α 1+ coec α Sí. en α en α en α (c) Partimo del º miembro : tgα coα : coα coα coα Sí e cierta Calcula el ángulo central y el interior de un pentágono regular. 360º 360º 180º (n - ) 180º (5 ) Ángulo central 7º Ángulo interior 108º n 5 n 5

7 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 7 Dede un punto a ra de uelo, lo ángulo de elevación que preentan la bae y la punta de un mátil de 6 m de altura, colocado obre un acantilado, on 38 y 46. Etima la altura del acantilado. E el típico cao de doble obervación. Sea : x altura del acantilado y d la ditancia entre el punto de obervación y la bae del acantilado. Si aplicamo la tangente, de lo ángulo conocido, en lo do triángulo rectángulo formado : tg38º d d Depejando d de amba e igualando : + 6 tg46º d d Ecuación que reolvemo : tg38º + 6 tg46º tg38º + 6 tg46º 6tg38º 6 0'7813 tg46º tg38º + 6 tg38º (tg46º tg38º ) 6tg38º 18'44m tg46º tg38º 1'0355 0'7813 Calcula la altura de la antena que etá obre el tejado de la caa. Sea : altura de la antena a altura de la caa ( ata el tejado)

8 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 8 Vuelve a er un problema de doble obervación : a tg15º 50 Depejamo a de la 1ª y lo utituimo en la ª a 50tg15º 13'4m a + tg(15º + 6º ) 50 13'4 + tg 1º 13'4 + 50tg1º 50 tg1º 13'4 19'19 13'4 5'79m 50 Halla el perímetro de un decágono (polígono de diez lado) regular incrito en un círculo de radio 1 m. El ángulo central del decágono e : 360 º α 10 Si no fijamo en uno de lo diez triángulo iguale que e forman al unir el centro del polígono ( y la circunferencia circuncrita) con lo vértice ( mediante radio) y lo lado del polígono tendremo un figura : En el triángulo rectángulo ABC e cumple : 36º x en 18º x r en18º 1 0'3090 0'3090 m r luego el lado l x m 6 cm En la etapa contrarreloj Miguel Induráin movía un dearrollo 55:1, de modo que cada vuelta de pedale la rueda, de 35 cm de radio, giraban 55/1 vuelta. Cuánto metro avanzaba cada vuelta completa de pedale? Autoevaluación ( ) 55 cm 1 vuelta pedale vuelta rueda cm 1'6m 1 vuelta Siguiendo el ejemplo del primer apartado, completa el reto de igualdade: (a) 60,51 grado 60 30' 36" 1,0561 radiane 35'0 π (b) 35,0 grado 35º radiane '38 π (c) grado 35 ' 45" radiane 180

9 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 9 0'3 180 (d) grado 17º ,3 radiane π (a) Son complementario lo do ángulo agudo de un triángulo rectángulo? (b) Hay algún triángulo que tenga do de u ángulo uplementario? (a) Do ángulo α y β on complementario i uman 90º, α+β 90º. Como un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto ( A 90º) y entre lo tre ángulo de todo triángulo an de umar 180º ( A + B + C 180º), lo otro do deben umar 90º ( B + C 180º- A 180º - 90º 90º) e decir on complementario. (b) No, e impoible, pue entre lo tre an de umar 180º, luego do de ello no pueden umar 180º, el 3º debería er cero y no abría triángulo. Halla el ángulo (en grado y radiane) que forman la aguja de un reloj a la: (a) Cuatro en punto. (b) Do meno cuarto. (a) La manecilla abarcan 4 diviione 4 30º 10º 10 π π rad (b) El minutero etá en la 9, formando un ángulo de 90º con la 1 y el orario eta entre la 1 y la abiendo recorrido ¾ parte, e decir ¾ 30º 5º, luego el ángulo formado e de 14'5 π 19π 90º+30º+ 5º 14 5º rad En una fotocopia reducida al 50 %, e ven lo ángulo má pequeño que en el original? Por qué? No, lo ángulo on iguale, on lo lado lo que on proporcionale ( la mitad )

10 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 10 Da un ejemplo de ángulo coterminale. Lo on 90 y 70? Ángulo coterminale on lo que terminan en el mimo itio, e decir e diferencian en 1,, 3, n vuelta, por ejemplo : 0º, 0º + 1 vuelta 0º º 380º, 0º + vuelta 0º + 360º 0º + 70º 740º, etc. No on coterminale el de 90º y el 70º, pue no e diferencian en n vuelta, on opueto. Sabiendo que un ángulo agudo tiene co α 0,8, encuentra la retante razone trigonométrica de α. Mediante la ecuación fundamental de la trigonometría allamo el eno y, en función de eta do el reto de razone : en α + co α 1 en α + 0'8 1 en α 1 0'64 ± 0'36 ± 0'6 ± 0' tg α ± ; ec α 1'5; coecα ± coα 0'8 4 coα 0'8 4 ± 0'6 3 1 coα 4 cot gα ± tgα 3 E poible que el eno de un ángulo valga 3? Y el coeno? Y la tangente? Y la ecante? -1 1, -1 coα 1, - < tgα <, -1 ecα 1 Como el eno y el coeno an de etar comprendido en [-1, 1] no pueden valer 3, pero la tangente y la ecante í. Cuál e la velocidad de un veículo cuya rueda tienen 80 cm de diámetro y giran a 600 revolucione por minuto? D 80 cm, r 80/ 40 cm 0 4 m. vuelta vuelta πrad 1min rad ω π min min 1vuelta 60

11 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 11 rad m m 1km 3600 v r ω 0'4m 0π 8π 8π 1000m 1r km 90'48 r Sea L la longitud de un arco de circunferencia (de radio r) que abarca 30 de ángulo, medido dede el centro del círculo. E cierto que L 30 r? No, el ángulo debe etar en radiane : 30º π/6 rad, luego L (π/6) r En un triángulo rectángulo un ángulo mide 0 y u lado opueto 6 m. Halla la longitud de la ipotenua. Por definición : cateto opueto en α en0º ipotenua 17'543m ipotenua ipotenua en0º 0'340 El fuelaje de un avión de 30 m de longitud preenta un ángulo de 1 0' 36" a la mirada de una perona ituada en tierra juto debajo de él. A qué altura vuela el aparato? El triangulo e rectángulo ( ángulo recto marcado en rojo) : 30 tg 1º0'36'' 170 m de altura. 30 tg1º0'36'' 30 0'01763 Calcula el ángulo central y el interior de un polígono regular de doce lado.

12 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 1 360º 360º 180º (n - ) 180º (1 ) Ángulo central 30º Ángulo interior 150º n 1 n 1 El ángulo orizontal que preenta una portería para un futbolita que e dipone a acar una falta dede la frontal del pote dereco e de 1,8 grado. Aprovecando un depite del árbitro adelanta m el balón, con lo que el ángulo dede la nueva poición e de 4. A qué ditancia del pote e cometió la falta? Sea : x longitud d ella portería. d ditancia del punto de falta al pote. x tg1'8º d x d tg1'8º igualando d tg1'8º (d ) tg4º x tg4º x (d ) tg4º d tg4º 0'445 d tg4º d tg1'8º tg4º d(tg4º tg1'8º ) tg4º d 19'68m tg4º tg1'8º 0'445 0'4 Supueta la Tierra una efera de radio R km, cuánto ay que caminar para dar una vuelta completa al paralelo de latitud B 89 55'? El radio del paralelo de latitud θ 89º 55 e r co89º km, la longitud de la circunferencia de ete paralelo e L π r π km. Hije (Soria) y Roelo (Zamora) on do pueblo ituado ambo a una latitud de 41 15'. El primero e encuentra a 3 de longitud y el egundo a 6 10'. Etima la ditancia entre ambo, medida obre el paralelo que lo une. El radio del paralelo de latitud θ 41º 15 ( en donde e encuentran lo do pueblo) e r co 41º km. El arco abarcado en ete paralelo por un ángulo de 6º 10 3º 3º 10 e : 3º10' πrad r α 4789'km 64'7km 180º

13 Unidad 1 razone trigonométrica. Reolución de triángulo rectángulo 13 E uficiente conocer lo tre ángulo de un triángulo para allar la longitude de u lado? No, ay infinito triángulo con lo tre ángulo iguale y lo lado proporcionale, lo que on emejante a uno dado, ver ejercicio nº