LAS OLIMPIADAS INTERNACIONALES

Transcripción

1 1 POBEMAS DE AS OIMPIADAS INTENACIONAES DE FÍSICA José uis Hernández Pérez Agustín ozano Pradillo Madrid 008 José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

2 11ª OIMPIADA DE FÍSICA. UNIÓN SOIÉTICA Una nae espacial de asa 1 toneladas da ueltas alrededor de la una a una altura de 100 k, describiendo una órbita circular. Con objeto de que llegue a la una, un otor de propulsión se conecta en un punto durante un corto periodo de tiepo. a elocidad de escape de los gases es u 10 /s con relación a la nae espacial. El radio de la una es 1700 k y la aceleración de la graedad en su superficie g 1,7 /s. a nae espacial puede alcanzar la una por dos étodos diferentes (fig. inferior) B a) Alcanzando a la una en el punto opuesto al, después que el otor de propulsión haya actuado lanzando los gases en la dirección y sentido de la nae b) tocando la una tangencialente en el punto B después de que el otor haya ipulsado a la nae en dirección del centro de la una. Calcular la cantidad de cobustible gastado en cada caso. 11ª Olipiada Internacional de Física. Unión Soiética a) Para calcular la elocidad que tiene la nae en la órbita circular haceos uso de que la fuerza centrípeta es precisaente la fuerza de atracción graitatoria entre la una y la nae M o GM GM G o ; coo g + h + h + h ( ) o g h 1,7 165 ( ).10 s Al actuar el otor se frena la nae y pasa a describir una orbita que pasa tangencialente por el punto. as elocidades en los puntos e son respectiaente e.(en la figura 1 se ha hecho un esquea de la situación, no está a escala). José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

3 0 Fig. 1 Aplicaos el principio de conseración de la energía ecánica entre los dos puntos y el teorea de las áreas: Aditios que en un tiepo uy pequeño t el área barrida en es un triángulo de base t y altura +h. En el iso tiepo y en el lado el triángulo tiene de base t y altura, por tanto: t *( + h) t * +h 1 M 1 M G G (1), + h ( + h) () Si se opera con las ecuaciones (1) y () y adeás se utiliza la ecuación g GM/, se llega a: g [ ] ( + h)( + h) h ( + h) *1,7 *( ) * ( ) ( ) ( ) [ ] 168* s 168 s En la figura se obsera la nae espacial que en un deterinado instante llea la elocidad o 165 /s, los gases son expulsados en la isa dirección y en el iso sentido con una elocidad relatia respecto de la nae u José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

4 o u o -M Fig. Antes Después Antes de funcionar el otor la nae tiene una asa y una elocidad o. Después de funcionar el otor la nae tiene una asa -M, siendo M la asa de gases expulsados. Si aplicaos el principio de conseración de la cantidad de oiiento resulta: ( o x ) 1.10 ( ) ( ) 0 M x + Mu + Mo M 8,7 kg u b) En la figura se da un esquea, no a escala, del proceso o x B 0 C Fig. o + () c o es la elocidad de la nae en su órbita circular, representa la elocidad de la nae en el punto B de la figura la elocidad de la nae en el punto, después de funcionar el otor de propulsión. Aplicaos el principio de conseración de la energía ecánica entre los dos puntos y el teorea de las áreas: 1 M 1 M G G (), o ( + h) + h (5) A partir de las ecuaciones (), () y (5) se llega a ( + h) h o C GM ; C o ( + h) h 1 GM ( + h) y con la relación g GM/, resulta finalente José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

5 5 ( + h) gh *1,7* * o h C 97 s 0 (-M) α. 0 -M 0 M. 0 M.u Antes M Después u Fig. o + C Para ipulsar la nae hacia el centro de la una los gases del otor deben actuar coo indica la fig.. Si aplicaos el principio de conseración de la cantidad de oiiento sobre los ejes coordenados resulta: ( M) cosα + (6), ( M) senα Mu (7) o M o De la ecuación (6) se deduce o cos α (8) y de ésta eleándola al cuadrado y suándola a la (7) tabién eleada al cuadrado, da coo resultado: M M u sen α M * u M o Mu + 99,6M 99,6 ; o cos α 1655 M 118 s ,6 M u + M kg o José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

6 6.- a asa de una pieza de aluinio se ide priero en aire seco y después en aire húedo con una presión parcial del apor de agua de 15, de ercurio. as pesas utilizadas son de latón. a presión atosférica es 760 Hg y la teperatura es la isa en los dos casos. Si la balanza tiene una precisión de 0,1 g, cuál es la asa de aluinio a partir de la cual ya es posible detectar una diferencia de peso en abos casos? Datos : Densidad del aluinio,7 g/c, densidad del latón 8,5 g/c,densidad del aire a la teperatura del experiento 0,001 g/c, densidad del apor de agua 0,00075 g/c 11ª Olipiada Internacional de Física. Unión Soiética Cuando se hace una pesada se coloca en un platillo de la balanza el objeto de aluinio y en el otro las pesas de latón, hasta lograr que la balanza se encuentre en equilibrio. El alor del peso del objeto de aluinio se deterina contando las pesas de latón. N representa el oluen en c del objeto de aluinio situado en el platillo izquierdo de la balanza. representa el oluen de las pesas de latón colocadas en el platillo de la derecha cuando la pesada se hace en aire seco. Sobre el objeto de aluinio actúa su peso y el epuje del aire y sobre las pesas de latón el peso de éstas y el epuje del aire. Al estar la balanza equilibrada se cuple: N *,7 * g N *ρ *g *8,5* g *ρ *g (1) AS ρ AS 0,001 g/c es la densidad del aire seco que es un dato del problea Cuando del iso objeto de aluinio se hace la pesada en aire húedo, N es el iso que antes, es el oluen de las pesas de latón y se cuple N *,7*g N *ρ *g *8,5* g *ρ *g () AH ρ AH es la densidad del aire huedo que es preciso calcular a partir de los datos suinistrados. AS AH José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

7 7 Para calcular la densidad del aire huedo supongaos que representa el oluen de aire huedo a la teperatura de 0ºC y a la presión de 760. Iagineos que las oleculas de aire se separan por un lado ocupando un oluen 1 en las isas condiciones de presión y teperatura( 760 y 0ºC) y por otro lado las de apor de agua ocupando un oluen en las isas condiciones. Se cuple que 1 + y de acuerdo con la ecuación de los gases ,* a densidad del gas huedo es. g(apor de agua) + g de aire seco ρ(apor de agua) * + ρ(aire seco) * 1 ρ AH 15, * 15, * ρ(apor de agua) * + ρ(aire seco) * , , 15, 75 ρ AH ρ(apor de agua) * + ρ(aire seco) * 0,00075* + 0,001 * ρ AH 1,19.10 g c De las ecuaciones (1) y () despejaos y respectiaente y sustituios por los alores nuéricos de las densidades ( 0,001) N(,7 0,0019) N,7 8,5 0,001 ; 8,5 0,00119 ( - )*8,5 es la diferencia de peso encontrada entre las dos pesadas. Teniendo en cuenta que la balanza tiene una precisión de 10 - g, para que se pueda apreciar alguna diferencia entre las pesadas se cuplira a partir de que ( - )*8,5 sea igual o ayor que 10 - g. ( 0,0019) N(,7 0,001) N,7 8,5 0, ,5 0,001 *8,5 10 ; N 1,7 En resuen se encontrará alguna diferencia de peso cuando el objeto de aluinio tenga un oluen ayor de 1,7 c o una asa ayor de 1,7c *,7 (g/c ) 0 g c José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

8 8.- Con la ayuda de un telescopio que tiene un espejo parabólico cóncao de diáetro D,6, se enía a la una un rayo láser de longitud de onda λ 0,69 µ. El rayo se refleja ediante un espejo plano de d 0 c de diáetro situado en la una. os rayos reflejados inciden exactaente sobre el espejo situado en la Tierra. Una célula fotoeléctrica intercepta la luz en el foco del espejo del telescopio. a distancia de la Tierra a la una es k calcular a) a exactitud con la que el ángulo del telescopio se debe ajustar en esa dirección b) Qué parte de la energía inicial intercepta la célula (despreciando las pérdidas)? c) Si la energía de cada ipulso eitido es 1 julio cuántos fotones alcanzarán un ojo huano, sin utilizar instruentos ópticos? El diáetro de la pupila del ojo es de 5 ) d) Cuánta energía llegaría a la célula si no hubiera espejo en la una? Aditir que la superficie lunar refleja el 10% de la luz incidente uniforeente en todas las direcciones. Datos : Constante de Planck, h 6, J.s, elocidad de la luz c.10 5 /s 11ª Olipiada Internacional de Física. Unión Soiética a) a intensidad de la difracción iene dada por la expresión senα Iθ I, α α cuando α π, el alor de I θ es nulo, y de ahí se deduce que πd senθ λ π πd senθ λ, senθ θ λ D 0,69.10,6, rad uego si el espejo parabólico se desía un ángulo de, rad, al espejo situado en la una no le llega nada de luz. b) Si se consulta el libro Ondas ( Berkeley Physics Course,oluen ) en la página 50 y siguientes se explica que un haz de luz eitido por un espejo parabólico perfecto el ancho del haz auenta confore se obsera a una distancia ayor del espejo. Si D representa el ancho inicial que coincide aproxiadaente con el diáetro del espejo D José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

9 9 Al llegar dicho haz a la una tiene un diáetro de W λ D ,69.10,6 101 y abarca una superficie de W S π 8000 Aditiendo que la intensidad luinosa es constante en esa área (situación que no es cierta), el espejo de la una recibe una energía respecto a la eitida en la Tierra por el espejo parabólico de E E T Superficie del espejo lunar Superficie del haz de luz en la luna E T π ( 0.10 ) 8000,9.10 E T El espejo situado en la una reeite hacia la Tierra el haz luinoso que debido a la difracción se ensancha en un alor de λ d 0, W1 111 y a una superficie de W S π 1,5.10 Aditiendo que la distribución de energía es constante, al espejo parabólico llegaría,9.10 E T E T1 11 ; E 6 T1 1,5.10 E T 1,5.10,6 π c) Si cada pulso es de un julio, la energía que llega a la Tierra después de reflejarse en el espejo de la una es : ( 5.10 ) 1 *10 5,67.10 J,9.10 E P,9 *π* 17 ;E P 6 1,5.10 d P *1,5 π a energía de cada fotón es hν h (c/λ), luego los fotones que llegan al ojo son : 17 5,67.10 N ,6.10 * 0, fotones José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008

10 10 Si no hay pérdidas de energía la una reeite al espacio 0,1 E T en todas las direcciones. El ángulo sólido copleto son π estereorradianes. Dado que la eisión de la una se eite hacia el espacio exterior desde su superficie, toda la energía eitida se hace bajo un ángulo sólido de π estereorradianes. a radiación interceptada en la Tierra corresponde al alor del ángulo sólido bajo el que se e la superficie parabólica del espejo desde la una, esto es: a energía interceptada es: S Ω πd 0,1E E1T 0,1ED 0,1E *,6 18 ;E1T 5,9.10 E π πd 8 6 8* ( ) José uis Hernández Pérez; Agustín ozano Pradillo, Madrid 008