Así que. mg k. Y entonces. m g. Sustituyendo los datos, con g = 9.8m. Solución

Transcripción

1 Problea. Desde una altura de 5. se deja caer un objeto de. kg de asa, el cual choca con un resorte, de constante k 5 N/.5 de longitud, copriiéndolo hasta quedar en reposo (éase figura). Cuál es la copresión que sufre el resorte? Así que x gh g + kx g g x k k ( l x ) ( h l) Y entonces g + ± k x 4 g g + 4x k k ( h l) g k ± g k g + x k ( h l) Solución La fora ás siple de resoler este problea es por conseración de la energía: ET E E gh i c + i p i ET E E g ( l x) kx f c + f p + f En donde h altura inicial de la piedra, l-x altura final de la piedra, x copresión del resorte. Por lo tanto Sustituendo los datos, con g 9.8 s x.96 ± (.96).96 ± En donde no sea toado en cuenta el signo negatio ( por qué?). Problea. Un anillo de π c. de radio está cargado uniforeente gira en torno a un eje que pasa por un centro (éase la figura.). Si la carga total en 8 el anillo es q. C su rapidez angular es de reoluciones por segundo, cuál es el capo agnético que genera en su centro?

2 Por la le de Biott Saart µ i dl r db 4 π r Para cualquier punto que diste una distancia r de dl. En particular, para el centro de la espira µ i dl R µ i dl db 4π R 4π R coo dl Rdθ, entonces µ i dθ db 4π R Problea. Iagine dos bloques idénticos de asa unidos a los extreos de un resorte ideal de constante elástica k longitud natural L. El sistea se sitúa en posición ertical apoado sobre una esa, coo se indica en la figura.. La asa superior se desplaza hacia abajo una distancia d, partiendo de su posición de equilibrio (figura.), a continuación se libera sin elocidad inicial. así que coo µ i π B 4π R R π µ i R.6 4 π 6 B () i Pero teneos que calcular i. Esta corriente se calcula sabiendo cuanta carga pasa por un punto del arillo por unidad de tiepo. En una reolución (es decir, en s ) toda la carga pasa por un punto del arillo, así que 8. C 6 i. C. s entonces B 6 6 (.6 )(.. 4π Teslas La dirección del capo se obtiene por la regla de la ano derecha. El capo está dirigido perpendicularente al anillo apuntando hacia la derecha. a) Deterine el áxio alor de la reacción de la esa sobre el bloque inferior. b) Deterine el ínio alor de la distancia d para que la asa inferior llegue a leantarse de la esa. a) El peso de la asa superior hará que el resorte se copria una distancia d g / k. Al copriir el resorte una distancia extra d el resorte hará una fuerza total de k ( d + d ) que se suará al peso de la asa inferior. La esa, sino se quiebra,

3 efectuará una fuerza de reacción que contrarreste la sua de abas fuerzas Reacción g + k d + d ) g + kd ( b) Para leantar la asa inferior el resorte debe efectuar una fuerza hacia arriba igual a g, o sea debe estirarse una distancia d ás allá de su longitud natural. Utilizando la conseración de la energía podeos establecer que el resorte inicialente tiene una energía k ( d + d ) que usará totalente al llegar a su longitud natural, deberá adeás tener una energía de kd para estirarse poder leantar a la asa inferior. En todo proceso la asa superior se desplaza una distancia d + d igualando abas energías k ( d + d) + kd g ( d + d) kd( d + d) Lo que llea a d d libera colisiona con el péndulo de la derecha que peranecía en reposo. Supón que abas asas son idénticas. a) Cuál es la elocidad de la esfera de la izquierda, precisaente antes de la colisión? b) Si después de la colisión abas esferas peranecen pegadas, ' hasta qué altura h (en térinos de h ), oscilará el sistea conjunto? c) Se desplazan las dos esferas a una altura h, una hacia la izquierda la otra hacia la derecha, después son liberadas, siultáneaente, desde el reposo colisionan elásticaente. A qué altura ascenderá cada una después de la colisión? d) Ahora supón que las esferas tienen diferentes asas; es la asa de la izquierda es la asa de la derecha. Se suelta de la altura h choca con, inicialente en reposo. Después de la colisión, abas se ueen juntas alcanzan una altura de h. Deterine la asa en térinos de. e) Si ahora se suelta de la altura h ientras está en reposo, calcula las elocidades finales después de la colisión, asuiendo un choque elástico. Expresa el resultado en función de la elocidad inicial ( ), de la asa, justo antes de la colisión. Problea 4: Coo se uestra en la figura 4., el péndulo de la izquierda se elea a una altura h. Posteriorente se

4 a) Utilizado la conseración de la engría Energía potencial Energía cinética gh de donde gh b) Ahora utilizaos la conseración del oento p i p f Es decir el oento antes de la colisión es igual al oento después de la colisión, entonces ( + ) V de donde V Ahora la conseración de energía para el sistea conjunto: ' ( + ) V ( + ) gh por tanto ' V h g Sustituendo la elocidad después de la colisión en la energía del sistea conjunto obteneos: ( ) ' h g 8g Coo la elocidad del inciso a) sustituendo en la ecuación anterior ( gh ) ' gh h h 8g 8g 4 c) Dado que la colisión es elástica, por conseración de energía oento abas esferas rebotan con la isa elocidad pero en direcciones opuestas, regresando a su altura original. d) Nueaente utilizando la conseración de oento, teneos: ( + )V Por otra parte la conseración de la energía antes después de la colisión es: gh así, gh h ( + ) V ( + ) g entonces gh V gh Sustituendo la elocidad final en la ecuación de conseración de oento ( + ) Por tanto ( ) e) La conseración de la energía nos dice que + con entonces izq + der izq der adeás la conseración del oento es: izq + der Usando de nueo izq + der

5 Despejando der Ahora de la ecuación anterior sustituios en la ecuación izq +, entonces der izq izq + izq Que es una ecuación cuadrática con dos posibles soluciones, resoliendo ahora para izq ± 9 8 izq 4 Por lo que izq o izq. Dado que la colisión es perfectaente elástica, la priera es físicaente inaceptable. Por tanto después de la colisión izq de la ecuación der izq, teneos der Problea 5. Un electrón es lanzado desde una de las placas de un condensador de placas paralelas (er figura 5.); su rapidez inicial es Un capo eléctrico s dirigido de la placa a la placa, lo desía a una traectoria parabólica. La agnitud del capo eléctrico es E N, la longitud de las placas C es L. c la separación d, entre ellas es de. c. (La asa del electrón e 9. Kg, la carga del electrón q 9 e.6 C ). a) Si θ 4, alcanzará el electrón a golpear la placa? b) Cuál debe ser el ángulo de lanzaiento del electrón para que eite golpear la placa logre un alcance áxio? c) Puede un electrón salir por la derecha del condensador, eitando el contacto con las dos placas? d) Si se quita el capo eléctrico se aplica un capo agnético B perpendicular a, la partícula será desiada en una traectoria circular coo se ilustra en la figura 5.. El capo agnético es unifore se aplica en toda la región arcada con crucecitas en la figura. Cuál debe ser el alor ínio de B para eitar que un electrón lanzado a un ángulo de 9 golpee la placa? e) Si en lugar de un electrón se lanzara una partícula la de asa aor, digaos un protón, hacia la derecha cual sería el B ínio para eitar la colisión con la placa? (La asa del 9 protón es p.67 Kg, su carga es q 9 p.6 C ). La dináica de las partículas cargadas es iportante en el diseño de aparatos coo el selector de elocidades el espectróetro de asas, instruentos que periten separar iones oleculares.

6 El capo eléctrico produce una r r r fuerza F qee, la cual es opuesta a E debido a que la carga es negatia. Entonces la aceleración que desía al electrón en la traectoria parabólica es a e E. Estaos e considerando la dirección de coo la que a la placa a la placa, la dirección x de la izquierda a derecha en las figuras. Tanto x coo se iden a partir de un origen situado en el punto de lanzaiento del electrón en la orilla izquierda de la placa. a) Para inestigar si el electrón toca o no a la placa se puede hacer de diferentes foras. A continuación se presentan algunas i. Usando la ecuación sen θ + a 5. Podeos calcular el áxio alcance en la dirección copararlo con d. Haciendo en la ecuación anterior, obteneos sen θ ax 5. e E e Sustituendo los alores nuéricos se encuentran que.7 ax c. Coo este alor excede a la separación de las placas (d. c), se conclue que el electrón golpea a la placa. ii. Podeos hacer () t d usando la ecuación ( t) senθ t + a t 5. Para deterinar si la ecuación cuadrática resultante posee soluciones reales. Haciendo lo anterior se obtiene ee t e senθ t + d 5.4 Coo es de la fora ax + bx + c, tendrá soluciones reales sólo si el discriinante D b 4ac, si esto ocurre significa que el electrón toca a la placa. Ealuando D obteneos: ee D ( sen ) d θ e Que al sustituir los alores nuéricos se obtiene D 8., la cual es aor que cero, por lo tanto se conclue que el electrón golpea a la placa. b) Teneos los siguientes étodos: i. Usaos la ecuación (5.) haciendo ax d para despejar el nueo ángulo θ. Haciendo esto se obtiene: eed e θ Arcsen, 5.6 Que al ealuar da coo resultado θ En ista de que este ángulo es enor que 45, es éste el que perite el áxio alcance posible. Es iportante encionar la coparación con 45, a que si θ hubiera tenido un alor aor que éste ultio, no podría concluirse que θ es el que perite el áxio alcance. ii. Haciendo D en la ecuación (5.5) se tiene ede sen θ 5.7 e Donde despejaos θ, dando coo resultado

7 eed e θ Arcsen 8.66, 5.7 Que es exactaente el alor que obtuios por el étodo anterior. c). Usando el ángulo encontrado en el inciso anterior (8.66 ), calculaos el tiepo de uelo t del electrón usando la ecuación (5.). en la cual haceos, para obtener ee senθ t t 5.8 e La solución t se descarta a que corresponde al oento de disparo del electrón, así que nos quedaos con la otra solución, que es esenθ 8 t.79 s 5.9 ee El alcance áxio es sipleente R cosθ t ( ) e R senθ ee Al ealuar se obtiene R c. Coo el alcance áxio resulto ser enor que la longitud de la placa, el electrón no podrá eitar ipactarse con ella. Así que, para esta geoetría particular del condensador, no es posible que un electrón hacia la derecha eitando tocar a las dos placas. c) De acuerdo con la figura 5., la fuerza de Lorentz que desía a un electrón hacia la derecha deberá estar dirigido hacia adentro de la página (a que se trata de una partícula con carga negatia). La agnitud de dicha fuerza es q B F e La cual a su ez es igual a a e c donde es la aceleración centrípeta, cua agnitud es a c r Entonces, la agnitud del capo necesario para desiar al electrón en una traectoria circular de radio r es e B q r Y si no quereos que golpee la placa, r debe ser enor que d, esto es esto ipone sobre B una cota inferior: e B >.78 T q d e El capo agnético debe ser aor que.78 Teslas. Para el caso del protón, el capo agnético deberá aplicarse en sentido contrario (hacia fuera de la página), su cota inferior será p B >. T. q d p Problea 6: Asistes con tus copañeros de escuela a la función inaugural de un gran circo de tradición. El núero ás ipresionante, Strongan se tiende en el suelo con una gruesa placa de acero sobre su pecho e inita a una persona del público para que lo golpeé la placa con un arro de etal, poniendo en ello toda su energía. Strongan sale del trance con sus costillas intactas tú con el recuerdo del chocar de los dos etales, te preguntas cóo es posible esto. Asue que la asa de la placa es aproxiadaente nuee eces la asa del arro para calcular qué fracción de energía cinética del iso es transferida a la placa e

8 Problea 7. Un uchacho trabaja en Acapulco en una lancha recogiendo onedas que arrojan los turistas al ar coo se uestra la figura 7.. Si se arroja desde la lancha a una altura H a recoger una oneda a una profundidad h sus ojos enfocan la oneda de tal anera que ésta aparece en una línea isual haciendo un ángulo α con la ertical, con qué elocidad horizontal inicial se tiene que arrojar para recoger la oneda? Suponga que los ojos del uchacho están a una distancia l de las plantas de sus pies que su centro de asa está en sus pies. Una ez dentro del agua, el uchacho desciende erticalente. Deje indicado el índice de refracción del agua coo n. Se calcula el tiepo que el uchacho tarda en caer al agua, esto es, H gt H de donde t g Durante el tiepo t, el uchacho recorre la distancia horizontal t D + d por lo que D + d H g Para encontrar D d se usa la figura 7., obteniéndose D ( H + l) tanα d h tan β, ahora resta encontrar β. La le de Snell establece senα n senβ n nsenα β arcsen n Finalente ( H + l) nsenα tanα + h tan arcsen n H g Se considera la siguiente figura Problea 8. Sobre una esa horizontal se encuentra un disco pequeño de asa que está unido ediante una cuerda inextensible con una pequeña esfera de asa, coo se nuestra la figura 8.. La cuerda pasa por un orificio de la esa, de tal anera que la asa queda colgada. La asa gira con elocidad. El coeficiente de fricción entre la esa es µ. Si al principio la longitud de la cuerda sobre la esa es r, encuentre qué distancia recorrerá la

9 asa hasta el orificio. Desprecie la elocidad de. Considerando r d µ r La energía cinética inicial. Medios la energía potencial respecto al niel de la esa: ( l r ) W f + g( l r) Donde W f fuerza de fricción W f es el trabajo de la d µ gd f f Coo despreciaos la elocidad de, la tensión en la cuerda es g, ésta proporciona la fuerza centrípeta, entonces en cada punto de la traectoria de se cuple Fc g r r De donde se llega a r gr Substituendo en la priera ecuación gr g( l r ) µ gd + gr g( l r) ( r r) + g( r r) µ gd g d µ ( r r) Problea 8. a) A qué distancia en qué plano se debe colocar un satélite geoestacionario? b) Calcular el núero ínio de satélites geoestacionario para que las únicas zonas no cubiertas por la red de counicaciones sean polares. c) Si se colocara un satélite de exploración en órbita polar, esto es, que su órbita pase por los polos, Cuál es la condición para que en ueltas sucesias no deje huecos en la exploración? a) Para que un satélite terrestre sea geoestacionario tiene que estar en el plano ecuatorial su periodo de reolución debe ser de 86,4 s (un día). Para calcular a qué distancia del centro de la Tierra debe colocarse, ha que igualar la atracción graitacional a la fuerza centrípeta; es decir M T s s 4π sr G r r τ En donde M T es la asa de la Tierra, s la asa del satélite, τ su periodo r su distancia al centro de la Tierra. Despejando r se obtiene GM T τ r 4π Sustituendo los alores nuéricos de las diferentes cantidades se obtiene r 4, k. c) De la geoetría ostrada en la figura 9. encontraos:

10 R 666 cos θ.5 r 4 En donde R es el radio de la Tierra. De esta ecuación resulta θ 8 o bien θ 6, de tal fora que se requiere un ínio de tres satélite. d) Si en el tiepo que tarda el satélite en dar una uelta, la Tierra gira un ángulo igual que se obsera desde el satélite (es decir, si θ ωtτ, en donde ω T es la elocidad angular de la Tierra τ es el periodo del satélite), entonces se tiene, del inciso b). R cos ω TT r pero 4π r T GM T Por lo tanto, la condición buscada es La asa de la arilla es igual a la asa del cilindro su longitud es igual al diáetro del cilindro. Esta boa está flotando en agua de ar (de densidad ρ ). Para la situación de equilibrio, encuentre una expresión que relacione el ángulo de flotación α con la relación de densidades d ρ. Para estos cálculos considere despreciables el oluen de la arilla. b) Suponga ahora que, ediante una acción externa oentánea, la boa es hundida erticalente una distancia pequeña z. Una ez liberada, la boa experientará un epuje neto hacia arriba, que la hará oscilar erticalente alrededor de su posición de equilibrio. T r cos πω GM T R r Problea. a) Una boa consiste en un cilindro sólido de radio a longitud l construida de un aterial liiano de densidad d. El cilindro tiene adosado en su parte inferior a la itad de su longitud, una arilla perpendicular al eje del cilindro, coo se uestra en la figura. Deterine la frecuencia de oscilación en térinos de g, α a, siendo g la aceleración de la graedad. Suponga que la influencia del oiiento del agua en la dináica de la boa es equialente a un increento de su asa inercial en un alor igual a

11 un tercio de la isa. Considere que α no es pequeño. c) Suponga ahora que la boa oscila alrededor de un eje horizontal coo se ilustra en la figura.. En la aproxiación de que este eje coincida con el que pasa por el centro del cilindro, deterine la frecuencia de oscilación en térinos de g a. En este caso, desprecie el oiiento la iscosidad del agua considere que el ángulo de oscilación es pequeño. densidad del aterial. Así, la asa total es M πa ld. La asa del agua desplazada es enor que πa lρ (en donde ρ es la densidad del agua). Usando el principio de Arquíedes, lo enos que podeos esperar es que πa ld < πa lρ ρ O bien que d < De hecho, conociendo el ángulo de flotación α ( < π ) (éase figura.4), se puede calcular geoétricaente el oluen del agua desplazada d) La boa contiene dispositios que pueden edir los paráetros de los oiientos oscilatorios ertical horizontal. Esta inforación puede ser eniada por radio a un puesto de la costa. En aguas relatiaente caladas se registra que la oscilación ertical tiene un periodo de aproxiadaente s el oiiento de balanceo tiene un periodo de aproxiadaente.5 s. A partir de esta inforación, pruebe que el ángulo de flotación tiene un alor cercano a 9 calcule el radio de la boa su asa total, considerando que el cilindro tiene una longitud l igual a su radio a. Considere que ρ kg g 9.8 s. a) La asa de la arilla es igual a la asa M del cilindro, la cual, a su ez es M πa ld, en donde d es la V la α la senα cosα Por el principio de Arquíedes, la asa de la boa es igual a la asa del agua desplazada. Por lo tanto, πa ld la ρ( α senα cosα ) ; es decir, α queda deterinada por la relación dπ α cos αsenα ρ b) Si se epuja al cilindro erticalente hacia abajo una distancia pequeña z, la fuerza total hacia arriba sobre el cilindro será el peso del agua extra desplazada; es decir ρalzsenα, dirigida en sentido contrario a z. Esta fuerza es característica del oiiento arónico siple, en consecuencia, la ecuación de oiiento de la boa

12 (toando en cuenta el factor adicional ) es O.. 8M z ρglzasenα.. ρgsenα z+ z 4πda Que es la ecuación senoidal coún del oscilador arónico. La solución es del tipo z zsen( ω z t), con una frecuencia angular ρgsenα gsenα ω z 4πda a( α cosαsenα ) en donde se han usado las relaciones finales de la parte a). Alternatiaente ρgalsenα ω z M En donde M asa de la boa debe deterinarse antes referirse al resultado obtenido. c) Sin iportar la torca, si la boa se desplaza un cierto ángulo de tal fora que su peso es soportado por el agua, el oluen de agua desplazado es igual que en el caso de equilibrio. Así, el centro de flotación peranece a la isa distancia del centro del cilindro. En consecuencia, el arco de oscilación es un círculo centrado en el eje del cilindro. En otras palabras, el etacentro M del oiiento oscilatorio es el centro del cilindro. Tabién debe notarse que el centro de la asa G de la boa es el punto en el que la barra toca el cilindro, a que sus asas son iguales. Naturalente, sobre el cilindro actuará una torca neta cuando se separe la barra de su posición ertical. Para calcular el periodo de oscilación, priero ha que deterinar el oento de inercia del cilindro entorno a su eje. Si M es la asa del cilindro, a a Ma r Mrdr I r d a El siguiente paso es encontrar el oento de inercia de la barra entorno a su punto edio Mdx Mx a Ma I rod x a 6a a Por últio, usando el teorea de ejes paralelo se deterina el oento de inercia de la boa (cilindro + barra) en torno al etacentro M Ma Ma 9Ma I M + + M ( a) 6 Cuando la boa oscila un ángulo θ en torno a su posición de equilibrio, la torca actuante es Mgasenθ Mgaθ (para ángulos pequeños), lo cual representa un oiiento arónico siple. Por lo tanto, la ecuación de oiiento es.. I M θ Mgaθ, O bien,

13 .. g θ + θ 9a Cua solución es una función senoidal, θ sen( ω θ t), con una frecuencia angular, g ω θ 9a d) Las edidas con el aceleróetro resultan en O bien T θ T z.5 ω 9 z.5 ω θ 4 Por lo tanto gsenα a( α cosαsenα ).5 g 9a Lo cual conduce a la ecuación trascendente α senα cosα. 6senα Coo.6 no difiere ucho de q.57, se ha deostrado que una solución físicaente aceptable es α π, que era o que se quería probar. Haciendo α π, a partir de ahora (para siplificar el álgebra) se obtiene, con buena aproxiación, g 4 d ω z πa ρ Coo el periodo ertical es de s, a π 4π a ω, z g Lo cual da un radio.7. La asa de la 9.8.π boa se obtiene entonces de πa ρ πa M πa ld 4 π 5.7. kg ρ ( )( ) 9 Problea. Un conociiento adquirido por la experiencia, entre los jugadores de billar es el de que una ez que una bola en oiiento golpea de lado a otra bola estacionaria, el ángulo entre sus traectorias diergentes es de α + β 9. Deuestre que esta regla es una consecuencia de la conseración del oento lineal de la conseración de la energía. Nota, en la práctica esto no se cuple exactaente pues el proceso está sujeto a energía rotacional de las bolas. Para una bola de asa que golpea con una elocidad u otra estacionaria de la isa asa, se tiene en el eje del oiiento u cosα + cos β. En el eje perpendicular sen α senβ. La conseración de la energía es u +. Ahora si eleaos al cuadrado las ecuaciones (.) (.) las suaos obteneos: u ( cosα + cos β ) + ( senα senβ ) + + cosα cos β senαsenβ Expresión que de acuerdo con (.) se reduce a cosα cos β sen αsenβ cos α + β ( )

14 De anera que ( α + β 9), coo se requiere. Problea. Dos altoparlantes A B están colocados coo se uestra en la figura. a una distancia d 4 el uno del otro eiten, en fase, una onda sonora de longitud de onda λ. Si nos colocaos sobre la recta x se hallan, toando coo origen la bocina B. Un punto P de la de la recta x, en el cual se note un ínio, esta caracterizado por el hecho de que se encuentra en una línea nodal, esto es, un punto en el cual la diferencia en el alor absoluto de la distancia de las dos fuentes sonoras A B es igual a un últiplo ipar de λ de aquí que, AP BP + n λ. Donde n es un núero entero. De la figura. podeos escribir la siguiente relación BP < AP < AB + BP Que teniendo en cuenta la relación (.) nos llea a escribir < n λ < d de donde d < n < + Esto iplica n,,,4. es decir ha solo 4 ínios. De la relación (.) e indicando por una x la distancia BP se obtiene x Despejando, + d x + n λ d n λ x λ n Y sustituendo n,,,4. se obtiene x 5.75 ; x 4.58 ; x.95 ; 4. x 54 Un odo alternatio de resoler el problea es considerando el ángulo que la n-ésia línea nodal fora con el eje central, de aquí λ senθ n d esto acota los alores a, λ < n < d Problea. En los extreo de un resorte conductor de asa despreciable, de longitud l constante k, se fijan dos esferas etálicas de asa radio r<< l. La capacidad para retener la carga eléctrica en el resorte es

15 despreciable en coparación a la de las dos esferas. Cuando se transfiere una carga Q al sistea éste se coloca sobre un plano horizontal sin fricción, las dos esferas coienzan a oscilar. Deterine la elongación áxia del resorte. Dado que la capacidad eléctrica del resorte eléctrica del resorte es despreciable. La carga Q se diide por Q igual entre dos esferas, q dado que l >>r se puede asuir que la distribución de carga en las esferas es unifore En ausencia de fricción el sistea es conseratio. La energía total del sistea es la sua de la energía cinética T la potencial U. Esta últia se puede diidir en electrostática elástica. La áxio elongación ocurre cuando la energía cinética es igual a cero. Para la posición de áxio alargaiento podeos, por conseración de la energía, escribir U es ( l ) U es () l + U el () l De la cual se obtiene una ecuación en l q q + k( l l ) 4 πε l 4 πε l Multiplicando por k haciendo el siguiente cabio de ariable q Q L πε kl 8πε kl Se tiene l L L + ( l l ) ( l l ) L ( l l ) l l Dado que l< l se puede diidir entre ( l l ) podeos hacer la siguiente siplificación, l ll L Cua solución final es ( ) Q l + l + 4l l + l + πε kl l habiendo ignorado la solución para l <. Problea 4. Un cazador incrusta un dardo de asa en un pájaro que uela en línea recta horizontal a una altura h sobre el suelo. Sabeos que el dardo incide detrás del ae con una elocidad a un ángulo α con la ertical. El pájaro cae al suelo un tiepo t después de ser golpeado a una distancia d adelante del punto donde fue golpeado. Los datos del problea son, h,, d, α. a) Obtenga la asa M del pájaro. b) Obtenga la rapidez a la que el pájaro olaba antes de ser golpeado por el dardo. a) El principio de conseración de la cantidad de oiiento para el sistea dardo pájaro es: r r r + MV + M V ( ) dp Las coponentes de la elocidad del dardo son datos del problea senα x cosα Por lo tanto el principio de conseración en sus dos coponentes es, senα + MV + M V cosα ( ) ( + M ) Vdp dpx

16 A partir de la segunda relación obteneos la elocidad ertical inicial del sistea dardo-pájaro. Abos caerán juntos. La elocidad es cosα Vdp + M La expresión para la altura del sistea dardo-pájaro en cualquier oento t, es gt cosα gt h + Vdp t h + t + M Al golpear el suelo, gt ( + M ) h( + M ) + tcosα Agrupando gt gt h M t cosα + h Finalente gt t cosα + h M gt h b) Del principio de conseración de la cantidad de oiiento MV + M V sen ( ) α dpx Coo el sistea dardo-pájaro se uee horizontalente con una elocidad unifore Vdp x t Finalente se obtiene + M V M d d senα t Problea 5. Un electrón de asa carga e es lanzado con una elocidad a lo largo de una traectoria horizontal justo a la itad de dos placas paralelas tabién horizontales, cada una de longitud l coo se uestra en la figura 5.. La intensidad del capo eléctrico es E el capo apunta hacia abajo. Una pantalla fluorescente se coloca a una distancia d de las placas obtenga las fórulas para. a) EL desplazaiento ertical del electrón justo cuando abandona las placas deflectoras. b) El ángulo θ que hace traectorias del electrón con eje horizontal después de abandonar las placas. c) La distancia ertical Y del eje al punto donde el electrón golpea la pantalla. a) La fuerza eléctrica sobre el electrón es igual a la asa ultiplicada por la aceleración ertical del electrón. Ee E ( e) a es decir a El tiepo que tarda el electrón en atraesar las placas es l t El desplazaiento ertical cuando deja las placas es ee l a t b) Para hallar el ángulo, de la figura 5. se obtiene Eel tanθ l

17 c). Del inciso anterior podeos despejar Y para poder hallar la distancia ertical donde golpea la pantalla el electrón Eel Y l + d tanθ l + d Problea 6. En los értices de un triángulo equilátero de lado a se encuentran tres puntos. Ellos epiezan a oerse siultáneaente con una rapidez constante, con la particularidad de que el prier punto antiene inariableente su curso hacia el segundo, el segundo, hacia el tercero el tercero, hacia el priero. Pasado qué tiepo se encontrarán? Figura 6. Se obtiene un nueo triángulo equilátero inscrito en el triángulo interedio. Repitiendo la operación un cierto núero de eces se encontrará una figura coo la que aparece a continuación: Supongaos que transcurre un lapso u corto de tiepo, entonces las partículas ocuparán nueas posiciones coo se uestra en la figura siguiente: Traectoria de la partícula Figura 6. Figura 6. Se obsera que los puntos de las nueas posiciones de las partículas foran un triángulo equilátero inscrito en el triángulo original. Si dejaos pasar otro interalo de tiepo las nueas posiciones serán: De esta figura se pueden extraer dos conclusiones: la traectoria de cualquier de los puntos es la isa se trata de una espira, adeás las traectorias terinan en el punto central del triángulo original. La siguiente tarea consiste en hallar la ecuación de la traectoria espiral. Volaos a la figura 6.

18 ds dx d De la figura anterior teneos que: ρ' ds α dx dθ Figura 6.4 La cantidad ds representa un eleento de arco infinitesial, dx d son los desplazaiento diferenciales en las direcciones x del punto, α es el ángulo entre la ertical la recta tangente al arco, dθ es el cabio infinitesial del ángulo del sector, ρ ρ ' son las distancias representatias del punto al centro del triángulo. α d ρ La definición de longitud de arco nos dice que: ( dx) ( d) ds + d + dx dx De la figura 6.4 se obsera que d cotα, por lo cual: dx ds + cot α dx csc α dx dx senα Por lo tanto dx ds 6. senα Por otro lado, utilizando la definición de ángulo en radianes: dx d θ ρ Por lo que dx ρdθ, sustituendo en la ecuación (6.) ρdθ ds 6. senα De la figura 6.4 se deduce que ρ ρ' cos( d θ ) + ( ds) cosα Pero cos( d θ ), entonces ρ ρ' + ( ds) cosα Y dado que ρ ρ' dρ : ρ ρ + d ρ + ( ds) cosα d ρ ( ds) cosα Usando la ecuación (6.) ρdθ dρ cos α ( cotα ) ρdθ 6. senα Para continuar es necesario intuir un iportante aspecto. En la traectoria de la partícula: el ángulo α en cualquier punto de la traectoria debe ser el iso.

19 α α' α α ' Es claro que α α ' puesto que todos los triángulos sucesios, que se an forando al unir los puntos que ocupan las partículas, son equiláteros. Puesto que los ángulos internos de un triángulo equilátero son iguales a 6 entonces α ; coo cot entonces la ecuación (6.) se rescribe así: dρ ρdθ Integrando esta ecuación con la ρ ρ se tiene condición inicial ( ) θ ρ( θ ) ρ, θ (, + ) e Esta es la ecuación de la traectoria espiral. En coordenadas polares el eleento de arco infinitesial esta dado por la expresión: