A TGARCH model with an asymmetric Student s t distribution and the rationality hypotheses of stock investors in Latin America

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1 MPRA Munch Personal RePEc Archve A TGARCH model wth an asymmetrc Student s t dstrbuton and the ratonalty hypotheses of stock nvestors n Latn Amerca Arturo Lorenzo-Valdes and Antono Ruz-Porras Unversdad de las Amercas Puebla, Unversdad de Guadalajara, CUCEA 17. January 2014 Onlne at MPRA Paper No , posted 20. January :12 UTC

2 UN MODELO TGARCH CON UNA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT ASIMÉTRICA Y LAS HIPOTESIS DE RACIONALIDAD DE LOS INVERSIONISTAS BURSÁTILES EN LATINOAMÉRICA A TGARCH MODEL WITH AN ASYMMETRIC STUDENT S T DISTRIBUTION AND THE RATIONALITY HYPOTHESES OF STOCK INVESTORS IN LATIN AMERICA (Esta versón: Enero 17, 2014) Arturo Lorenzo-Valdés ** Unversdad de las Amércas Puebla Antono Ruz-Porras *** Unversdad de Guadalajara, CUCEA Resumen Proponemos un modelo ARCH de tpo TGARCH con una dstrbucón t de Student asmétrca. El msmo se construye usando la metodología de Fernández y Steel (1998) y el modelo TGARCH tradconal desarrollado por Zakoan (1994). El modelo se usa para descrbr seres de rendmentos bursátles y para evaluar la valdez de las hpótess de raconaldad en Latnoamérca. Los resultados sugeren que: 1) Las seres de rendmentos analzadas pueden descrbrse adecuadamente con el modelo propuesto; 2) la hpótess de raconaldad de Samuelson es consstente con la evdenca de los mercados de Argentna, Brasl, Chle, Colomba y Méxco; 3) la hpótess tradconal de raconaldad es consstente con la evdenca de Perú; y 4) las volatldades estmadas medante el modelo propuesto son mayores que las estmadas medante el modelo TGARCH tradconal durante el perodo Palabras clave: Dstrbucón de Densdad, t de Student Asmétrca, TGARCH, Rendmentos Bursátles, Latnoamérca Abstract We propose an ARCH model of the TGARCH type wth an asymmetrc Student's t dstrbuton. It s bult usng the methodology of Fernandez and Steel (1998) and the tradtonal TGARCH model developed by Zakoan (1994). The model s used to descrbe seres of stock market returns and to assess the valdty of the ratonalty hypotheses n Latn Amerca. The results suggest that: 1) The seres can be descrbed adequately wth the proposed model; (2) the Samuelson s ratonalty hypothess s consstent wth the evdence of the markets of Argentna, Brazl, Chle, Colomba and Mexco; 3) the tradtonal ratonalty hypothess s consstent wth the evdence of Peru; and (4) the volatlty estmated wth the proposed model are hgher than those estmated wth the tradtonal TGARCH model over the perod Keywords: Densty Dstrbuton, Asymmetrc t-student, TGARCH, Stock Market Returns, Latn Amerca JEL: C22, G10, F30 ** Emal: arturo.lorenzo@udlap.mx Departamento de Fnanzas y Contaduría, Unversdad de las Amércas Puebla. Sta. Catarna Mártr, 72820, Cholula, Puebla, Méxco. *** Emal: antonop@cucea.udg.mx Departamento de Métodos Cuanttatvos. Unversdad de Guadalajara, CUCEA. Perferco Norte 799, Núcleo Unverstaro Los Belenes, 45100, Zapopan, Jalsco, Méxco.

3 UN MODELO TGARCH CON UNA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT ASIMÉTRICA Y LAS HIPOTESIS DE RACIONALIDAD DE LOS INVERSIONISTAS BURSÁTILES EN LATINOAMÉRICA 1. Introduccón En la lteratura econométrca muchos esfuerzos han sdo desarrollados para estudar las dnámcas de las seres de rendmentos bursátles. Estos esfuerzos se justfcan porque las seres suelen tener característcas muy dfícles de modelar. Las seres suelen tener comportamentos muy volátles, curtoss excesvas, clusters de volatldad, volatldades no constantes y dstrbucones no normales. En añaddura a las anterores, en las seres bursátles suele ocurrr que la volatldad presente depende de shocks nformaconales. Partcularmente, se dce que hay efectos apalancamento cuando las malas notcas tenen un mpacto mayor que las buenas sobre la volatldad de los rendmentos. 1 Exsten dversos modelos teórcos y econométrcos que explcan el comportamento de las seres de rendmentos y de los nversonstas bursátles. Los modelos teórcos más usados se sustentan en la teoría tradconal de portafolo (Markowtz, 1952; Tobn, 1958). En estos modelos suelen asumrse funcones de utldad cuadrátcas y dstrbucones de densdad normales. Los modelos econométrcos más usados para explcar el comportamento de las 1 Tradconalmente los efectos apalancamento se explcan con argumentos de tpo contable y fnancero. Partcularmente Black (1976) señala que la dsmnucón en el valor de la accón de una frma, atrbuble a una mala notca, aumenta la razón contable de apalancamento fnancero de la msma. El mayor apalancamento se traduce en mayores resgos sobre la solvenca de la frma y sobre el valor de sus accones. Los ncrementos en dchos resgos se reflejan en aumentos en la volatldad de los precos de las accones. Así, las malas notcas termnan tenendo un mpacto mayor que las buenas notcas sobre la volatldad de las seres de precos de las accones. 1

4 seres fnanceras son aquellos de la famla ARCH. 2 Estos modelos se caracterzan por tener una estructura dnámca autorregresva en la varanza condconal de la varable en estudo por lo que se conocen como modelos de heteroscedastcdad condconal. Los modelos teórcos y los econométrcos presentan paralelsmos y complementaredades entre sí: Los modelos teórcos enfatzan el análss conjunto de la meda y la varanza de los portafolos fnanceros. Los modelos econométrcos enfatzan la modelacón conjunta de la meda y varanza de las seres. De hecho, estos últmos se defnen con base en las especfcacones de la meda y la varanza condconales y con base en la dstrbucón de densdad que sguen las perturbacones. En este contexto, no sobra señalar que ambos tpos de modelos suelen asumr que las varables de comportamento tenen dstrbucones de densdad smétrcas (v.g. la dstrbucón normal). Los modelos teórcos y los econométrcos asumen que los momentos de las dstrbucones de densdad son necesaros para explcar las seres de rendmentos bursátles. Sn embargo, exsten controversas acerca del número de momentos que deberan usarse para tomar decsones óptmas. Partcularmente la hpótess tradconal de raconaldad ndca que sólo es necesaro conocer los dos prmeros momentos (Tobn, 1958). 3 La hpótess de raconaldad de Samuelson ndca que los nversonstas usan momentos superores de las 2 ARCH es acrónmo de Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty. 3 Esto ocurre porque en esta hpótess se asume que las dstrbucones de densdad son normales o porque las funcones de utldad de los nversonstas son cuadrátcas. Véase Tobn (1958). 2

5 seres bursátles (Samuelson, 1970). Las controversas no son trvales, dado que las hpótess tenen mplcacones sobre la rentabldad y el manejo de resgos bursátles. 4 En esta nvestgacón se propone un modelo TGARCH (Threshold-GARCH) con una dstrbucón t de Student asmétrca para las perturbacones ( shocks nformaconales ). El msmo se construye usando la metodología de Fernández y Steel (1998) y el modelo TGARCH tradconal desarrollado por Zakoan (1994). 5 El modelo se caracterza por tener efectos apalancamento y perturbacones que sguen una dstrbucón de densdad asmétrca. El msmo se usa para modelar seres bursátles y para evaluar la valdez de las hpótess de raconaldad en Latnoamérca. Las seres analzadas son las de los rendmentos semanales de los índces acconaros de Argentna, Brasl, Chle, Colomba, Méxco y Perú entre el 30 de dcembre de 2005 y el 6 de septembre de Metodológcamente la nvestgacón se desarrolla en cuatro etapas. En la prmera etapa se construye la dstrbucón de densdad asmétrca que sguen las perturbacones con base en la metodología de Fernández y Steel (1998). En la segunda, se ntroducen en el modelo efectos apalancamento con base en la estructura dnámca propuesta por Zakoan (1994). El modelo propuesto se denomna TGARCH con dstrbucón de densdad t de Student asmétrca. En la tercera etapa, se modelan las seres de rendmentos bursátles con los modelos TGARCH tradconal y propuesto. En la cuarta se evalúa la valdez del modelo TGARCH propuesto y la pertnenca de las hpótess de raconaldad. 4 Advértase que asumr smetría en la funcón de los rendmentos equvale a subestmar (sobreestmar) las probabldades de rendmentos bajos cuando la dstrbucón de los rendmentos es asmétrca a la derecha (zquerda). Véase Xong y Idzorek (2011) para una descrpcón de los efectos de las asmetrías en los portafolos fnanceros. 5 El nombre TGARCH se derva de las prncpales característcas del modelo. TGARCH es acrónmo de Threshold Generalzed Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty. 3

6 Los resultados empírcos del estudo sugeren que: 1) Cada una de las seres de rendmentos bursátles analzadas puede descrbrse adecuadamente con el modelo TGARCH propuesto; 2) la hpótess de raconaldad de Samuelson es consstente con la evdenca de los mercados de Argentna, Brasl, Chle, Colomba y Méxco; 3) hay efectos apalancamento en las seres de rendmentos de dchos mercados; 4) la hpótess tradconal de raconaldad es consstente con la evdenca de Perú; y 5) las volatldades estmadas medante el modelo propuesto son mayores que las estmadas medante el modelo TGARCH tradconal durante el perodo El estudo está organzado en sete seccones. La Seccón 2 ncluye la revsón de la lteratura econométrca y de las hpótess de raconaldad de los nversonstas que justfcan el modelo. En la Seccón 3 se construye la dstrbucón de densdad t de Student asmétrca que defne el comportamento de las perturbacones. En la seccón 4 se desarrolla el modelo TGARCH con dstrbucón de densdad t de Student asmétrca. En la Seccón 5 se expone la metodología de evaluacón del modelo propuesto y, en partcular, de la hpótess de Samuelson. En la Seccón 6 se desarrolla el análss econométrco. En la últma seccón, se sntetzan y dscuten los resultados. 2. Revsón de la lteratura La modelacón econométrca de seres fnanceras ha tendo gran desarrollo en las últmas décadas. Según Engle (2004), los trabajos teórcos de Markowtz (1952) y Tobn (1958) sobre la raconaldad de los nversonstas fnanceros mpulsaron el desarrollo de los modelos de la famla ARCH. La relevanca de estos modelos es que permten descrbr y 4

7 analzar seres con comportamentos muy volátles, curtoss excesvas, clusters de volatldad, volatldades no constantes y dstrbucones no normales. Por esta razón, los modelos de esta famla se han convertdo en la referenca nmedata para el análss econométrco de seres económcas y fnanceras. 6 Los modelos de la famla ARCH se ntegran por especfcacones de la meda y la varanza condconal y por supuestos sobre la dstrbucón de densdad de las perturbacones. Cabe señalar que las especfcacones de la varanza condconal son mportantes porque los modelos se defnen con base en las msmas. Estas especfcacones son postuladas porque la varanza verdadera de las seres fnanceras no es observable. Por tanto, no sobra señalar que las especfcacones funconales y los supuestos sobre las perturbacones son relatvamente subjetvos. Esta stuacón, en la práctca, conlleva a que haya controversas en torno a los supuestos de las especfcacones y la dstrbucón de densdad de los modelos. Exsten modelos de la famla ARCH cuyas especfcacones de la varanza condconal asumen shocks nformaconales dferencados. Entre estos modelos se encuentran el EGARCH y el TGARCH planteados, respectvamente, por Nelson (1991) y Zakoan (1994). Entre los trabajos que han usado estos modelos para estudar la exstenca de efectos apalancamento en seres fnanceras se encuentran los de Johnston y Sorano (2003) y Lorenzo-Valdés y Ruz-Porras (2012). Partcularmente, el prmer trabajo estuda 6 Debe reconocerse que exsten crítcas haca el uso de modelos ARCH para modelar seres de tempo. Un estudo recente que crtca estos modelos es el de Bonlla y Sepúlveda, (2011). Este trabajo es nteresante porque crtca el uso de los modelos ARCH para descrbr el comportamento de los rendmentos bursátles de economías emergentes. 5

8 la volatldad en varos mercados bursátles durante la crss asátca. El segundo modela los rendmentos bursátles de Méxco a nvel agregado y desagregado. La teoría fnancera usa varos supuestos estadístcos sobre comportamento de los nversonstas para explcar la dnámca de las seres fnanceras. La teoría de portafolos asume que los retornos bursátles se dstrbuyen normalmente y que las funcones de utldad de los nversonstas son cuadrátcas (Tobn, 1958; Sharpe, 1964; Tsang, 1972). Estos supuestos conllevan a que las decsones de seleccón de portafolos sólo se explquen en térmnos de la meda y varanza de las seres de rendmentos (Chunhachnda, et. al., 1997). Así, se postula que los nversonstas úncamente requeren conocer los dos prmeros momentos de las dstrbucones de densdad de los rendmentos para tomar decsones óptmas. La adopcón de estos supuestos estadístcos ha generado controversas teórcas sobre la raconaldad que explca el comportamento de los nversonstas bursátles. La hpótess tradconal de raconaldad ndca que solo es necesaro conocer los dos prmeros momentos de las dstrbucones de densdad de las seres de rendmentos. S ben la teoría fnancera contemporánea se sustenta en el análss de meda-varanza; 7 hay quenes argumentan que la hpótess tradconal es nsufcente para explcar las decsones de nversón. 8 Entre los prmeros estudos teórcos que propuseron alternatvas a la hpótess tradconal se encuentran los de Samuelson (1970), Jean (1971) y Ardtt y Lev (1975). 7 Véase Elton et. al. (2013) para una revsón recente y extensa de los desarrollos de la teoría moderna de portafolos e nversón. 8 Las lmtacones de la hpótess tradconal fueron formuladas ncalmente por Borch (1969) y Feldsten (1969). 6

9 La hpótess de raconaldad de Samuelson ndca que los nversonstas usan momentos superores de las dstrbucones de densdad para tomar sus decsones. Partcularmente Samuelson (1970) muestra que s las decsones de nversón están restrngdas en un ntervalo de tempo fnto, asumendo funcones cuadrátcas de utldad, la meda y varanza se vuelven nsufcentes para explcar el comportamento de los nversonstas. De hecho, él ndca que la teoría tradconal solo puede ofrecer una aproxmacón del comportamento de los nversonstas cuando el resgo es muy lmtado (Samuelson, 1970:542). Econométrcamente la pertnenca de las hpótess menconadas puede evaluarse en térmnos de los supuestos sobre las dstrbucones de densdad. Partcularmente, la hpótess de Samuelson puede evaluarse analzando la valdez de los momentos superores para descrbr los rendmentos. Sn embargo, esta valdacón no es común en la modelacón econométrca. Los modelos ARCH suelen asumr que las perturbacones estandarzadas sguen dstrbucones de densdad donde el tercer momento es cero. Incluso, en muchos estudos se suele usar drectamente la dstrbucón normal. Así, los análss empírcos postulan, sn cuestonar, la valdez de la hpótess tradconal. Exsten algunos modelos teórcos de la famla ARCH que usan momentos superores a la meda y varanza. Estos modelos usan expresones dnámcas para defnr momentos condconales de las dstrbucones de probabldad. Esto sgnfca que los momentos presentes se explcan con base en los rezagos de los momentos y de las perturbacones. Partcularmente Hansen (1994) es quen prmero construye un modelo con una dstrbucón t de Student asmétrca. Harvey y Sddque (1999) y (2000) extenden ese trabajo para 7

10 estmar coefcentes de asmetría. 9 Más recentemente, Durán-Vázquez, Lorenzo-Valdés y Ruíz-Porras (2013) construyen un modelo con una dstrbucón normal asmétrca. En la lteratura son escasos los análss que usan modelos ARCH que consderen momentos superores a la varanza. Entre estos estudos destaca el de Chunhachnda, et. al. (1997). Ellos muestran que los nversonstas suelen cambar sus eleccones de portafolo cuando suponen sesgos en los mercados. Chen, Hong y Sten (2001), por su parte, hallan evdenca de que los modelos con asmetría condconal son capaces de predecr cracs bursátles usando estmacones de los sesgos de los rendmentos fnanceros. Prakash, Chang y Pactwa, (2003) y Canela y Pedrera-Collazo, (2007) descrben los rendmentos bursátles de varos mercados emergentes medante modelos asmétrcos. Los modelos señalados tenen smltudes y dferencas con el propuesto aquí. Todos los modelos tenen una estructura dnámca de tpo ARCH para descrbr el comportamento de las seres fnanceras. Asmsmo, en ellos se asume que las perturbacones sguen dstrbucones de densdad asmétrcas. Las dferencas se referen a la naturaleza de la asmetría de las dstrbucones y a los mpactos que tenen las perturbacones rezagadas sobre la volatldad. Partcularmente el modelo TGARCH propuesto asume que el tercer momento es un parámetro que no está condconado temporalmente. Asmsmo, asume que las seres pueden expermentar efectos apalancamento tal como la hace Zakoan (1994). 9 El coefcente de asmetría es una medda del sesgo de la dstrbucón de la probabldad de una sere de tempo. Se le defne como el tercer momento central estandarzado. S el sesgo es negatvo, la funcón de probabldad es asmétrca a la zquerda (.e. la probabldad de tener rendmentos relatvamente altos es mayor que la de tener rendmentos bajos). S el sesgo es postvo, la funcón es asmétrca a la derecha. 8

11 Fnalmente, no sobra enfatzar que la modelacón de las seres bursátles y el análss del comportamento de los nversonstas resultan de gran nterés teórco y empírco. En el ámbto fnancero, la modelacón de seres es relevante para admnstrar resgos, selecconar portafolos y valuar nstrumentos. En este contexto, el análss de las hpótess de raconaldad es mportante para evaluar la rentabldad y los resgos de manera adecuada. Además, la estmacón de los efectos de shocks nformaconales resulta mportante para evaluar los mpactos de las notcas en las economías emergentes. De hecho, con base en estas consderacones se justfcan los análss desarrollados en las sguentes seccones. 3. La funcón de dstrbucón t asmétrca En esta seccón se defne la funcón de dstrbucón de densdad asmétrca usada descrbr el comportamento de las perturbacones u del modelo TGARCH propuesto aquí. Esta funcón de probabldad asmétrca se construye sguendo la metodología de Fernández y Steel (1998). La relevanca de esta metodología es que permte transformar dstrbucones smétrcas en asmétrcas de una manera muy senclla. La msma solamente requere usar un escalar λ,.e. un parámetro de asmetría, para hacer dcha transformacón. Partcularmente aquí se usa la msma para transformar una dstrbucón de densdad t de Student en una dstrbucón t de Student asmétrca. 10 Matemátcamente, se plantea la transformacón propuesta consderando la funcón de densdad t de Student con meda cero, varanza uno y grados de lbertad ν, donde ν > 2. Esta funcón de densdad para la varable t x, ~ t( 0,1,ν ) x t, se defne como: 10 Durán Vázquez, Lorenzo Valdés y Ruz Porras (2013) usan esta metodología para construr una normal asmétrca. 9

12 v + 1 Γ 2 f ( x t ) = v Γ 2 1 π ( v 2) 2 x t 1 + v 2 v+ 1 2 (1) La funcón logartmo de verosmltud asocada a la funcón (1) es: T 2 ν + 1 ν 2 xt L( θ ) = ln Γ ln Γ 0.5ln[ π ( ν 2) ] 0.5 lnσ t + (1 + ν )ln 1+ (2) 2 2 t = 1 ν 2 donde θ es el conjunto de parámetros a estmar y Γ( ) es la funcón gama. La metodología propuesta ntroduce asmetría en las dstrbucones de densdad medante factores de escala nversos en los valores postvos y negatvos de x t. Estos factores de defnen con el escalar λ > 0 (parámetro de asmetría). Partcularmente, s este escalar es fjo, la funcón de densdad para la varable x t que se dstrbuye sguendo una dstrbucón de densdad t de Student asmétrca queda defnda como: f 2 λ xt ) = f I[ 0, )( xt ) + f ( λxt ) I(,0 ( xt ) ( λ + 1/ λ) λ, (3) ( xt ) donde I A 1 = 0 s sucede no sucede A A. La funcón (3) generalza la dstrbucón de densdad t de Student con base en el parámetro de asmetría λ (escalar). S λ = 1, la funcón resultante es la dstrbucón de densdad t de Student smétrca. S λ 1, la funcón resultante es la dstrbucón de densdad t de Student asmétrca. Partcularmente, s λ < 1, la funcón es una dstrbucón sesgada a la zquerda y s λ > 1, la funcón es una dstrbucón sesgada a la derecha. Por tanto, el sesgo de la funcón (3) depende de los valores de λ. En este contexto, puede generalzarse la notacón 10

13 defnda anterormente: S la varable x t, se dstrbuye sguendo una t de Student asmétrca y estandarzada, puede denotarse dcha stuacón como ~ t( 0,1,λ,ν ) x t. Fernández y Steel (1998) y Lambert y Laurent (2001) muestran que la funcón logartmo de verosmltud para una varable z t, defnda como z t ut m =, que se dstrbuye sguendo s una t de Student asmétrca y estandarzada, ~ t( 0,1,λ,ν ) z t, es: ν + 1 ν L( θ ) = ln Γ ln Γ 0.5ln T t = 1 [ π ( ν 2) ] 2 szt + m lnσ t + (1 + ν )ln 1+ λ ν 2 I t 2 + ln + ln( s) 1 λ + λ (3) donde m y s son la meda y desvacón estándar de las perturbacones, u, 11 ; y donde la funcón ndcadora, I t, queda defnda como I t 1 = 1 m s zt - s. m s zt < - s La funcón de densdad t de Student asmétrca, ~ t( 0,1,λ,ν ) z t, provee un marco para evaluar las dversas hpótess de raconaldad de los nversonstas bursátles. La hpótess tradconal, asocada a la teoría de portafolo, supone que λ = 1 (.e. las probabldades de tener rendmentos altos y bajos son guales). La hpótess de Samuelson supone que 11 La meda y varanza de u son, respectvamente: ν 1 Γ ν 2 E u 2 1 ] = λ m ν Γ λ π 2 [ ; Var 1 λ [ u] = λ + 1 m s 2 11

14 λ < 1(.e. la probabldad de tener rendmentos relatvamente altos es mayor que la de tener rendmentos bajos). En este contexto, debe señalarse que en este estudo no se postulan a pror los valores del coefcente de asmetría λ. Se estman con base en el comportamento dnámco de las seres de tempo analzadas. 4. Modelo TGARCH con dstrbucón de densdad t de Student asmétrca En esta seccón se desarrolla el modelo TGARCH (Threshold GARCH) con dstrbucón de densdad t de Student asmétrca. El modelo TGARCH propuesto se construye con base en el desarrollado orgnalmente por Zakoan (1994) y los desarrollos matemátcos de la seccón preva. El objetvo del modelo propuesto consste en descrbr la dnámca temporal de las seres de rendmentos representatvos, r t, de los mercados latnoamercanos (denotados por el subíndce ). Para descrbr dcha dnámca, como ya se ha menconado, se asume que la meda y varanza de los rendmentos sguen una estructura de tpo TGARCH. Asmsmo se asume que las perturbacones u t sguen una dstrbucón t de Student asmétrca. El modelo TGARCH tradconal descrbe la dnámca de una sere de tempo con base en suponer efectos apalancamento en la especfcacón de la varanza y dstrbucones de densdad smétrcas. Partcularmente, Zakoan (1994) plantea que las perturbacones se comportan sguendo una funcón de densdad smétrca y estandarzada (v.g. normal, t de Student tradconales). En el ámbto fnancero este supuesto se justfca bajo la hpótess de que los nversonstas toman sus decsones de portafolo consderando úncamente la 12

15 meda y las varanza de los rendmentos de los actvos. Por tanto, en el modelo TGARCH tradconal se asume que el tercer momento de la dstrbucón de densdad es cero. Empírcamente, el modelo TGARCH se usa para descrbr los efectos en la volatldad de las seres de tempo cuando hay shocks nformaconales cualtatvamente dferencados. Para ello, la especfcacón de la varanza propuesta por Zakoan (1994) permte que la desvacón estándar condconada de las seres, σ t, dependa del sgno de los shocks rezagados u 1 como se muestra en la ecuacón (4). Partcularmente, la especfcacón de la t varanza permte que el mpacto de shocks postvos sea α 1; mentras que, el mpacto de los negatvos sea α 1 + γ. En el contexto de esta nvestgacón, no sobra señalar que sí γ > 0, las seres de rendmentos bursátles reflejan shocks nformaconales conocdos como efectos apalancamento. Econométrcamente el modelo propuesto aquí puede descrbrse como de tpo TGARCH con una dstrbucón t de Student asmétrca y estandarzada. Partcularmente, el modelo se plantea con base en una estructura dnámca, AR(1)-TGARCH(1,1), defnda como: r t u t = φ + φ r 2 t 0 = σ z t 0 t 1 t 1 σ = α + α u + u 2 1 t 1 t + γ u I 2 t 1 t 1 + β σ 2 t 1. (4) 1 ut 1 < 0 donde I t =. 0 ut

16 El modelo TGARCH propuesto está ntegrado por tres expresones que defnen la estructura dnámca de las seres y la dstrbucón de densdad de probabldad de las perturbacones. La prmera expresón es la especfcacón de la meda de los rendmentos. La segunda es la condcón que defne un proceso ARCH (véase Bollerslev 2010). La tercera es la especfcacón de la varanza condconal propuesta por Zakoan (1994). Esta especfcacón permte descrbr capturar los efectos en la volatldad asocados a shocks nformaconales dferencados. La dstrbucón de densdad se postula como una t de Student asmétrca y estandarzada. 5. Metodología de análss La nvestgacón empírca se sustenta en el análss de ses seres representatvas de los rendmentos de los mercados bursátles latnoamercanos. Los mercados estudados son los de Argentna, Brasl, Chle, Colomba, Méxco y Perú. Las seres de los rendmentos se construyen usando los valores de cerre de los índces representatvos de precos de cada país durante el perodo semanal t, P t. Asmsmo, se asume que los índces de precos sguen un proceso contnuo de nterés compuesto. Por tanto, cada observacón de la sere de rendmentos semanales de un país en el perodo t, r t, se construye de la sguente manera: r (5) t = ln Pt ln Pt 1 La valdez de modelo TGARCH con una dstrbucón t de Student asmétrca y la pertnenca de las hpótess de raconaldad se evalúan en tres etapas. En la prmera, se modelan los comportamentos de las seres de los rendmentos representatvos de los mercados bursátles analzados. En la segunda, se nvestga s exsten shocks 14

17 nformaconales dferencados en dchos mercados. En la tercera, se explora s se cumple la hpótess de raconaldad de Samuelson en los msmos. Los análss desarrollados en cada etapa se sustentan en estmacones de los modelos TGARCH tradconal y propuesto para cada sere de rendmentos bursátles para facltar el análss comparatvo y estadístco. Econométrcamente, las estmacones realzadas para cada sere medante los modelos TGARCH tradconal y propuesto son muy smlares. En todos los casos, la técnca de estmacón usada es la de máxma verosmltud (Maxmum Lkelhood). Estructuralmente, en ambos modelos se asume que las seres sguen un comportamento dnámco de tpo AR(1)-TGARCH(1,1,). Por esta razón, las estmacones de ambos modelos referen a parámetros smlares. Los parámetros estmados ncluyen a aquellos relatvos a las especfcacones de la meda ( φ 0, φ 1 ), de la varanza condconal ( α 0, α 1, γ, β ) y a los grados de lbertad v. Estadístcamente, la únca dferenca en las estmacones realzadas medante ambos modelos se refere a la naturaleza de las dstrbucones de densdad de las perturbacones. El modelo TGARCH tradconal asume que las perturbacones sguen una dstrbucón t de Student smétrca. El modelo TGARCH propuesto asume que las perturbacones sguen una dstrbucón t de Student asmétrca. Por esta razón, en este últmo modelo, adconalmente se estma el parámetro λ con base en el trabajo de Lambert y Laurent (2001). La 15

18 estmacón de este parámetro se realza asumendo la exstenca de una solucón estaconara para la especfcacón de la varanza condconal. 12 Metodológcamente, el análss de las estmacones obtendas se hace medante estadístcos de bondad de ajuste y pruebas de sgnfcanca. Aquí se utlzan los estmadores de bondad de ajuste del logartmo de verosmltud (Log-Lkelhood) y del crtero de nformacón de Akake (AIC). Se usan ambos estmadores porque consderan crteros alternatvos de bondad de ajuste. El crtero de decsón se sustenta en comparar las estmacones, meddas en valor absoluto, de los estmadores asocados a cada modelo. Partcularmente s el modelo TGARCH propuesto descrbera mejor las seres, ocurrría que las estmacones serían mayores que las correspondentes al del modelo TGARCH tradconal. La exstenca de shocks nformaconales dferencados y la pertnenca de las hpótess se evalúan medante pruebas de sgnfcanca ndvdual de coefcentes. La sgnfcanca de cada parámetro estmado se evalúa usando los p-values asocados a los estadístcos z de sgnfcanca ndvdual. Partcularmente, la valdacón de los efectos apalancamento 12 Dng, Granger y Engle (1993) muestran la solucón estaconara para un modelo APARCH (Asymmetrc Power GARCH) es tambén aplcable para el modelo TGARCH. Esta solucón está defnda como: 0 E δ α σ t =. α E z γz δ β ( ) Esta solucón se obtene consderando una especfcacón de la varanza condconal de tpo APARCH dada de la manera sguente: δ ( u t γ u ) β σ σ δ = α0 + α1 1 t t 1 t Partcularmente, s se asume una dstrbucón t de Student asmétrca, Lambert y Laurent (2001) muestran que E δ { } ( 1+ δ ( ) ) δ ( 1+ δ z γz = λ ( 1+ γ ) + λ ) ( 1 γ ) δ + 1 v δ Γ Γ λ + λ ( v 2) v 2 ( v 2) πγ 1+ δ 2 16

19 ocurrría s el parámetro estmado de γ fuera sgnfcatvo y postvo. S esto no fuera así, no se podría sustentar su exstenca. La hpótess de Samuelson se podría valdar s el parámetro λ fuera sgnfcatvo y de magntud menor a uno. S λ fuera untaro se podría valdar la hpótess tradconal de portafolo. Fnalmente, no sobra enfatzar que la valdacón empírca del modelo TGARCH propuesto tene mplcacones en la dnámca de los mercados bursátles latnoamercanos. La constatacón de efectos apalancamento mplcaría que la nformacón tene mpactos cualtatva y cuanttatvamente dferencados sobre la volatldad presente de las seres bursátles. La valdacón de la hpótess de Samuelson mplcaría que el comportamento de los nversonstas es más complejo que el supuesto por los modelos de Markowtz (1952) y Tobn (1958). Más aun, mplcaría que la hpótess tradconal de raconaldad sería nsufcente para evaluar la rentabldad y los resgos bursátles de manera adecuada. 6. Análss econométrco Este estudo usa la base de datos de Economátca para obtener una muestra de datos bursátles representatvos de los mercados latnoamercanos. La muestra ncluye los valores de cerre semanal de las prncpales índces de precos representatvos de Argentna, Brasl, Chle, Colomba, Méxco y Perú regstrados entre el 30 de dcembre de 2005 y el 6 de septembre de Así la muestra se ntegra por 6 seres de índces de precos donde cada sere ncluye 402 observacones semanales. Esta muestra nos srve para construr ses seres de rendmentos bursátles con base en la ecuacón (5). Estas seres de rendmentos, cada una con 401 observacones, consttuyen la base de datos de esta nvestgacón. 17

20 Estadístcamente el uso de modelos de la famla ARCH se puede justfcar con base en certas característcas de las seres de tempo. Estas característcas ncluyen curtoss altas, clusters de volatldad, dstrbucones no normales, coefcentes de asmetría dferentes de cero y movmentos conjuntos de la meda y volatldad entre los dstntos mercados. Partcularmente s las seres muestran coefcentes de asmetrías dferentes de cero puede justfcarse la necesdad de consderar dstrbucones de densdad asmétrcas para descrbr su comportamento. Estas característcas se pueden detectar medante estadístcas descrptvas. La Tabla 1 muestra dchas estadístcas para las seres analzadas. País Meda Desv. Est. Coef. Asm. Curtoss Jarque-Bera P-value Argentna Brasl Chle Colomba Méxco Perú Tabla 1. Estadístcas descrptvas de los rendmentos y prueba de normaldad de Jarque-Bera. La Tabla 1 muestra la estadístca descrptva de las seres bursátles. La msma está ntegrada por ses columnas. La prmera columna muestra el rendmento semanal promedo. La segunda muestra la desvacón estándar de los rendmentos daros que es estmador estátco de la volatldad. La tercera columna muestra el coefcente de asmetría, tambén conocdo como sesgo. La cuarta columna muestra la curtoss o ancho de colas. La qunta columna muestra el estmador Jarque-Bera. La sexta columna muestra el p-value asocado a dcho estmador. La hpótess nula asocada a los estmadores Jarque-Bera es que los rendmentos se dstrbuyen normalmente. 18

21 La Tabla 1 muestra que todas las seres de rendmentos bursátles latnoamercanos tenen curtoss leptocúrtcas, y que sus dstrbucones son sesgadas (asmétrcas). En todas las seres las curtoss estmadas son mayores a 3 y los coefcentes de asmetría regstran valores negatvos. Más aun, en todos los casos las pruebas Jarque-Bera rechazan la hpótess nula de normaldad. Analítcamente debe destacarse que los sesgos negatvos ndcan que las probabldades de obtener rendmentos altos son mayores que aquellas de obtener bajos rendmentos. Por tanto, el análss, en prncpo, justfca la convenenca de usar dstrbucones asmétrcas para descrbr los rendmentos. Los modelos TGARCH tradconal y propuesto comparten una estructura smlar para efectos de estmacón econométrca. En ambos modelos, las especfcacones requeren estmar los parámetros de las medas φ0 y φ 1; de las varanzas α 0, α 1, γ y β ; y de los grados de lbertad v. En añaddura, las estmacones del modelo TGARCH propuesto ncluyen al parámetro de asmetría λ. Como ya se ha ndcado, los rendmentos bursátles representatvos de cada mercado latnoamercano se descrben usando ambos modelos por comparabldad. Estas estmacones están sntetzadas en las Tablas 2 y 3. El análss de la magntud del parámetro λ se desarrolla en la Tabla 4. La Tabla 2 muestra las estmacones del modelo AR(1)-TGARCH(1,1) asumendo que las perturbacones se dstrbuyen con una dstrbucón t de Student asmétrca. Estas estmacones del modelo TGARCH tradconal se sntetzan en ses columnas. Cada columna se refere a las estmacones relatvas a un mercado determnado. Los prmeros dos pares de flas se referen a los parámetros estmados φ 0 y φ 1, respectvamente. Los 19

22 sguentes cnco pares se referen a los parámetros α 0, α 1, γ, β y v. En cada par, la fla superor muestra los coefcentes estmados y la nferor muestra los p-values de los estadístcos z de sgnfcanca ndvdual de los parámetros estmados. Argentna Brasl Chle Colomba Méxco Perú φ 0 Coef Prob φ 1 Coef Prob α 0 Coef Prob α 1 Coef Prob γ Coef Prob β Coef Prob ν Coef Prob Logl Akake Tabla 2. Estmacones de las seres de rendmentos bursátles con base en el modelo AR(1)-TGARCH(1,1) con una dstrbucón t de Student smétrca. La Tabla 2 muestra que hay efectos apalancamento sgnfcatvos en cas todas las seres latnoamercanas de rendmentos bursátles. La excepcón se refere a la sere representatva del mercado peruano. Los parámetros estmados de las especfcacones de las varanzas son, en la mayoría de los casos, consstentes con los postulados teórcamente. Los coefcentes estmados α 0, α 1, γ y β, son sgnfcatvos y postvos para un total de 6, 1, 5 y 6 seres, respectvamente. 13 Asmsmo, los coefcentes φ 0 y φ 1 son sgnfcatvos 13 El nvel de sgnfcanca consderado es

23 y postvos para 5 y 1 seres. Por tanto, la evdenca sugere que los nversonstas bursátles reacconan de manera dferencada ante las buenas y malas notcas. Argentna Brasl Chle Colomba Méxco Perú φ 0 Coef Prob φ 1 Coef Prob α 0 Coef Prob α 1 Coef Prob γ Coef Prob β Coef Prob λ Coef Prob ν Coef Prob Logl Akake Tabla 3. Estmacones de las seres de rendmentos bursátles con base en el modelo AR(1)-TGARCH(1,1) con una dstrbucón t de Student asmétrca. La Tabla 3 muestra las estmacones obtendas medante el modelo TGARCH con una dstrbucón t de Student asmétrca. La tabla confrma que hay efectos apalancamento sgnfcatvos en las seres de rendmentos de Argentna, Brasl, Chle, Colomba y Méxco. Los sgnos y sgnfcanca estmados de los parámetros de las especfcacones de las varanzas son cualtatvamente smlares a los reportados en la Tabla 2. Más mportante, las estmacones de λ resultan postvas y sgnfcatvas en todos los casos. Por tanto la evdenca sugere que los nversonstas consderan momentos superores a la meda y la varanza para tomar sus decsones. 21

24 Las Tablas 2 y 3 permten comparar la bondad de ajuste de los modelos TGARCH tradconal y propuesto. Como ya se menconado, esta comparacón se hace usando los estmadores Log-Lkelhood y AIC. Partcularmente, y como resultado del análss comparatvo, puede conclurse que los resultados valdan la pertnenca del modelo TGARCH con una dstrbucón t de Student asmétrca. De hecho, cada una de las seres analzadas puede descrbrse relatvamente mejor con el modelo TGARCH propuesto que con el modelo tradconal. Así, puede conclurse que el análss justfca la pertnenca de asumr que las perturbacones sguen dstrbucones de probabldad asmétrcas. La Tabla 4 muestran los resultados de analzar la valdez de las hpótess de raconaldad de los nversonstas en los mercados latnoamercanos. Este análss se hace evaluando la hpótess nula de que la dstrbucón de densdad de los rendmentos es smétrca; contra la alternatva de que la dstrbucón es sesgada a la zquerda. Como puede advertrse, la hpótess nula se rechaza en cas todos los casos (la excepcón se refere a Perú). Por tanto se confrma que es preferble utlzar dstrbucones asmétrcas para descrbr el comportamento de las perturbacones. Asmsmo, se muestra que la hpótess de Samuelson es consstente con la evdenca de la mayoría de los mercados analzados. Argentna Brasl Chle Colomba Méxco Perú λ Coef Error est Estadístco Prob Tabla 4. Prueba de la pertnenca de la hpotess de raconaldad de Samuelson. La hpotess nula es que λ e untaro. La alternatva es que λ es menor a uno. 22

25 Las Fguras 1 y 2 muestran los ejerccos de modelacón realzados para cada mercado bursátl. Partcularmente, la Fgura 1 grafca las seres de rendmentos y sus volatldades ajustadas con base en el modelo tradconal. La Fgura 2 grafca sus contrapartes ajustadas con base en el modelo propuesto. En este contexto, convene destacar que las volatldades estmadas medante el modelo propuesto son lgeramente mayores que las estmadas medante el modelo tradconal para el perodo Estas dferencas ocurren en cas todas las seres analzadas. 14 Estas dferencas son mportantes porque sugeren que suponer smetría en las dstrbucones puede llevar a subestmar resgos en los mercados fnanceros. 14 La excepcón se refere a la sere de rendmentos bursátles de Perú. Las estmacones de ambos modelos reportan valores smlares para esta últma sere. 23

26 Argentna Brasl Chle Colomba Méxco Perú Fgura 1. Gráfcas de las volatldades estmadas medante el modelo TGARCH tradconal (con una dstrbucón t de Student smétrca). Intutvamente, las volatldades estmadas medante el modelo TARCH propuesto probablemente reflejan los efectos de la crss fnancera global en los mercados latnoamercanos. Como es ben conocdo, el perodo se caracterza por haber expermentado momentos de gran nestabldad en los mercados nternaconales. Partcularmente, las altas volatldades regstradas podrían manfestar una eventual 24

27 sncronzacón de los mercados de Argentna, Brasl, Chle, Colomba y Méxco. En la práctca, esta stuacón podría haber tendo repercusones para los nversonstas debdo a que sus oportundades para dversfcar resgos habrían sdo relatvamente escasas Argentna Brasl 0.12 Chle 0.06 Colomba Méxco Perú Fgura 2. Gráfcas de las volatldades estmadas medante el modelo TGARCH propuesto (con una dstrbucón t de Student asmétrca). 25

28 Fnalmente, cabe enfatzar que el análss sugere que: 1) Cada una de las seres de rendmentos bursátles analzadas puede descrbrse mejor con el modelo TGARCH propuesto que con el modelo tradconal; 2) la hpótess de raconaldad de Samuelson es consstente con la evdenca de los mercados de Argentna, Brasl, Chle, Colomba y Méxco; 3) hay efectos apalancamento en las seres de rendmentos de dchos mercados; 4) la hpótess tradconal de raconaldad es consstente con la evdenca de Perú; y 5) las volatldades estmadas medante el modelo propuesto son mayores que las estmadas medante el modelo TGARCH tradconal durante el perodo Conclusones y dscusón En esta nvestgacón se ha desarrollado un modelo ARCH de tpo TGARCH con una dstrbucón t de Student asmétrca. El msmo se ha construdo usando la metodología de Fernández y Steel (1998) y el modelo TGARCH tradconal desarrollado por Zakoan (1994). 15 El modelo se caracterza por tener efectos apalancamento y perturbacones que sguen una dstrbucón de densdad asmétrca. El msmo se ha usado para modelar seres bursátles y para evaluar la valdez de las hpótess de raconaldad. Las seres analzadas han sdo las de rendmentos semanales de los índces de Argentna, Brasl, Chle, Colomba, Méxco y Perú entre el 30 de dcembre de 2005 y el 6 de septembre de Los resultados empírcos del estudo sugeren que: 1) Cada una de las seres de rendmentos bursátles analzadas puede descrbrse adecuadamente con el modelo TGARCH propuesto; 2) la hpótess de raconaldad de Samuelson es consstente con la 15 El nombre TGARCH se derva de las prncpales característcas del modelo. TGARCH es acrónmo de Threshold Generalzed Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty. 26

29 evdenca de los mercados de Argentna, Brasl, Chle, Colomba y Méxco; 3) hay efectos apalancamento en las seres de rendmentos de dchos mercados; 4) la hpótess tradconal de raconaldad es consstente con la evdenca de Perú; y 5) las volatldades estmadas medante el modelo propuesto son mayores que las estmadas medante el modelo TGARCH tradconal durante el perodo Los resultados obtendos tenen mplcacones empírcas y teórcas. Empírcamente, los resultados valdan la convenenca de usar modelos de la famla ARCH que asuman efectos apalancamento y momentos de orden superor a la varanza para descrbr los rendmentos bursátles. Por esa razón el modelo desarrollado pudera ser útl para tomar decsones de admnstracón de resgos, de nversón y de valuacón de actvos. Estos resultados tambén tenen mplcacones para la teoría de portafolos. Concretamente sugeren que los retornos bursátles pueden no dstrburse normalmente y que las funcones de utldad de los nversonstas pueden no ser cuadrátcas. Fnalmente, no sobra enfatzar que el desarrollo de modelos de la famla ARCH con dstrbucones de densdad asmétrcas parece una línea de nvestgacón muy promsora. En este sentdo, el desarrollo de versones de los modelos EGARCH, PARCH y ACGARC con dstrbucones asmétrcas quzá debera explorarse en estudos posterores. 16 Estos modelos son relevantes porque asumen efectos apalancamento y porque generalzan a varos modelos usados comúnmente en la lteratura. Muy probablemente, la nvestgacón 16 Los nombres de los modelos de la famla ARCH se defnen en térmnos de acrónmos que defnen sus prncpales característcas. Así EGARCH es acrónmo de Exponental Generalzed Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty. PARCH es acrónmo de Power Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty. ACGARCH es acrónmo de Asymmetrc Component Generalzed Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty. Una descrpcón detallada de estos modelos puede hallarse en el trabajo de Bollerslev (2010). 27

30 alrededor de estos modelos será de gran utldad para entender la dnámca de las seres económcas y fnanceras de las economías emergentes. REFERENCIAS Ardtt, F.D. H. Lev, (1975), Portfolo effcency analyss n three moments: The multperod case, Journal of Fnance, 30(3), Black, F., (1976), Studes on stock prce volatlty changes, Proceedngs of the 1976 Meetngs of the Amercan Statstcal Assocaton, Busness and Economcs Statstcs Secton, Bollerslev, T. (2010), Glossary to ARCH (GARCH), en Bollerslev, T., Russell, J.R. y M.W. Watson, (eds.), Volatlty and Tme Seres Econometrcs: Essays n Honor of Robert Engle (Oxford Unversty Press, Oxford), Bonlla, C.A. y J.P. Sepulveda, (2011), Stock returns n emergng markets and the use of GARCH models, Appled Economcs Letters, 18(14), Borch, K., (1969), A note on uncertanty and ndfference curves, Revew of Economc Studes, 36(105), 1-4 Canela, M.A. y E. Pedrera-Collazo, (2007), Portfolo selecton wth skewness n emergng market ndustres, Emergng Markets Revew, 8(3), Chunhachnda, P., K. Dandapan, S. Hamd, y A. Prakash, (1997), Portfolo selecton and skewness: Evdence from nternatonal stock markets, Journal of Bankng and Fnance, 21(2), Dng Z., C.W. Granger y R. F. Engle, (1993), A long memory property of stock market returns and a new model, Journal of Emprcal Fnance, 1(1),

31 Durán-Vázquez, R., A. Lorenzo-Valdés y A. Ruz-Porras, (2013), Un modelo GARCH con asmetría condconal autorregresva para modelar seres de tempo: Una aplcacón para los rendmentos del Índce de Precos y Cotzacones de la BMV, en Ortíz-Arango, F., López-Herrera, F. y F. Venegas Martínez, (coords.), Avances Recentes en Valuacón de Actvos y Admnstracón de Resgos, Vol. 4. (ESE-IPN, UNAM y Unversdad Panamercana, Méxco D.F.), Elton, E.J., M.J. Gruber, S.J. Brown y W.N. Goetzmann, (2013), Modern Portfolo Theory and Investment Analyss, Novena edcón, Hoboken, Estados Undos, Wley Engle R.F., (2004), Rsk and volatlty: Econometrc models and fnancal practce, Amercan Economc Revew, 94(3), Feldsten, M.S., (1969), Mean-Varance analyss n the theory of lqudty preference and portfolo selecton, Revew of Economc Studes, 36(105), 5-12 Fernández, C. y M.F.J. Steel, (1998), On Bayesan modelng of fat tals and skewness, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 93(441), Harvey, C. y A. Sddque, (1999), Autoregressve condtonal skewness, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 34(4), Harvey, C. y A. Sddque, (2000), Condtonal skewness n asset prcng tests, Journal of Fnance, 55(3), Jean, W.H., (1971), The extenson of portfolo analyss to three or more parameters, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 6(1), Johnson, C. y F. Sorano, (2003), Volatldad del mercado acconaro y la Crss Asátca: Evdenca nternaconal de asmetrías, El Trmestre Económco, 71(282),

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