MATEMÁTICA GUÍA DE APRENDIZAJE FUNCIONES CUADRÁTICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

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1 MATEMÁTICA GUÍA DE APRENDIZAJE FUNCIONES CUADRÁTICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1

2 Unos polinomios especiales POLINOMIOS DE GRADO Ya que podemos extender la radicación a todos los números reales, toman especial importancia los polinomios de segundo grado. Recordarás los distintos procesos vistos para factorizar polinomios. El propósito era conocer las raíces. Llegaremos ahora a una fórmula práctica que nos permita hallar siempre las raíces de los polinomios de segundo grado; además de brindarnos información importante para realizar su gráfica. Sea por ejemplo el polinomio: 5 x² - 3 x + a ) Señalar los términos a ( cuadrático; b ( lineal ) y c ( independiente ). b ) Pueden ser a, b o c iguales a cero? Por qué? La función asociada a un polinomio está formada por infinitos pares de valores que puede tomar dicho polinomio para diferentes valores de x ( valor numérico). c ) En nuestro ejemplo, hallar el valor numérico para : x = 4 x = 0 x = -1 Un caso especial es cuando para x = n, es valor del polinomio es igual a cero.en este caso se dice que n es raíz del polinomio. Si n es un número real, la función polinómica cortará al eje X en ese valor ( y si no es un número real, qué significará?). 1 ) Verificar cuál de los siguientes valores corresponde a raíz del polinomio: x² + x - 3 n = 0 n = -3 n = n = 1 Nos interesa conocer un método para hallar las raíces de polinomios de grado. Es decir, valores de x que hagan valer cero al polinomio; esto equivale a plantear la ecuación: a x ² + b x + c = 0 que es la ecuación asociada al polinomio de grado. Su resolución podrá resultar más o menos sencilla, esto dependerá de que sea incompleta ( b o c iguales a cero), completa reducida ( a = 1) o general completa. Podemos encarar la resolución de la ecuación completa reducida, intentando transformarla en un trinomio cuadrado perfecto ( TCP). d ) Sea :

3 x ² + 4 x - 1 = 0 Para un TCP necesitamos - dos términos elevados al cuadrado - un término que sea el doble del producto de los anteriores. x ² + 4 x - 1 = 0 término elevado al cuadrado doble de x por...? [ ( x ) ² +. x. +4 ] = 0 1 término ()² término por qué se suma y resta 4? ( x + ) ² - 16 = 0 Ahora es sencillo despejar x: ( x + ) ² = x + = x + = ±.... x 1 =... x = ± verificar x =... que sean raíces ) Resolver completando el cuadrado: a) x² + 6 x + 5 = 0 d) x² - 10 x + 6 = 0 b) x² - 16 x + 64 = 0 c) x² + x + 10 = 0 e) x² + 14 x + 48 = 0.. Y qué sucede con una ecuación completa no reducida? Se puede aplicar el mismo método de completar el cuadrado, pero si bien se puede justificar algebraicamente cada paso, resulta tedioso aplicarlos para resolver una ecuación en particular. Si partimos del modelo de ecuación: a x² + b x + c = 0 ( con a 1; b y c 0) y aplicamos pasos similares, llegamos a una FORMULA RESOLVENTE que podemos aplicar directamente a la ecuación. b b ac x = ± 4 a 3

4 3 ) Hallar las raíces 4 x ² - 4 x - 8 = 0 x ² - x + 5 = 0 5 x ² + 10 x - 15 = 0 3 x ² + 4 x + 9 = 0 3 e ) La expresión b² - 4 a c se llama discriminante ( ) Cómo serán las raíces si > 0 < 0 = 0? Propiedades de las raíces f ) Retoma los resultados obtenidos en el ejercicio ( ) y vuélcalos en la tabla : RAICES a b c d e X 1 X Realiza para cada columna : - ( X 1 + X ) = X 1. X = Con qué coeficientes de la respectiva ecuación coinciden los resultados? DEFINICION : X 1 + X = - b X 1. X = c a a Recuerda que en el ejercicio ( ); a = 1. 4 ) Verifica la definición anterior en el ejercicio ( 3 ) 5 ) Inventa ecuaciones que tengan por solución: X i i X i i 4

5 6 ) Si las raíces de una ecuación de coeficientes reales son números complejos qué tipo de complejos deben ser y por qué? Problemas : Muchas situaciones problemáticas llevan a plantear ecuaciones de segundo grado, de allí su importancia. A partir de las propiedades vistas podremos resolverlas. Recuerda que la aplicación de fórmulas es la parte mecánica del asunto; lo fundamental es la interpretación del problema y de sus soluciones. g ) Un número es tal que su anterior multiplicado por su doble es igual a 1. Hallarlo. Interpretación : número : x ( x - 1 ). x = 1 anterior: x - 1 doble : x = 1 = 0 Mecanismo de resolución: + ± = Verificación : Soluciones : el número puede ser 3 o - Nota : En este caso, las dos respuestas son válidas. Según las características del enunciado, podría no suceder así. Por ejemplo si el enunciado indicara: Un número positivo es tal... la respuesta correcta sería solamente 3. 7 ) Sabiendo que el área de un rectángulo es 96 cm ² y su base es 4 cm menor que el triple de su altura; hallar el perímetro. 8 ) Cuánto tardará un móvil con V 0 = 10 m / s y a = m / s² en recorrer 17,5 m? 9 ) La hipotenusa del triángulo abc mide 10 cm y sus catetos quedan expresados por b = x + 1 y c = x - 1. Hallar el perímetro. 10 ) Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es 6 cm y su área es 4 cm ², hallar la base y la altura. 11) La suma de dos números es 7 4 y su producto 1. Hallarlos. 1 ) Existen dos números reales cuya suma sea - 4 y su producto 5? por qué? 5

6 FUNCIÓN CUADRATICA Planteamos ahora el problema de los polinomios de segundo grado desde el punto de vista gráfico. Si n es raíz de una ecuación de segundo grado, entonces el par ( n ; 0 ) pertenece a la función asociada ( siempre y cuando n sea un valor real). Por lo tanto: a ) Si ( discriminante ) es : MAYOR que cero el gráfico al eje X MENOR que cero el gráfico al eje X IGUAL que cero el gráfico al eje X El gráfico de una función de segundo grado se llama Parábola y es simétrico respecto de un EJE; el punto de máxima o mínima ordenada ( punto extremo) se encuentra sobre el eje, y se denomina VÉRTICE. Como los valores de las raíces de la parábola pertenecen a ella, entonces son simétricos respecto al eje; así que para hallar la absisa del eje basta considerar el valor promedio de las raíces: x 1 y x raíces absisa del eje = x x 1 + Y por ser el vértice un punto único, en una simetría axial; Debe estar sobre el eje! Así que: f (eje) = vértice Apliquemos para graficar: b ) f ( x ) = x² + 4x Raíces : 4 ± ( 5) = Eje : 1 + ( - 5 ) = = Vértice : f ( - ) = ( - )² + 4 ( - ) - 5 = = Otro valor fácil es para x = 0 hasta ahora podemos graficar : = - 5 ordenada de corte 6

7 Y si queremos más exactitud se pueden calcular otros valores mediante una tabla x f (x) Representar las parábolas: 1 ) f (x) = x² - 10 x ) h (x) = x² + x + 5 ) g (x) = x² ) j (x) = x² + x 5 ) k (x) = x² 6 ) l (x) = ½ x² 7 ) m (x) = x² En qué afecta el coeficiente del término cuadrático? Este determina la CURVATURA de la parábola 8 ) n (x) = - x² Comparada con k (x) qué diferencia se observa? Este signo determina la CONCAVIDAD de la parábola 7