GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

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1 PÁGINA: 1 de 12 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Grado: NOVENO Periodo: TERCERO GUIA # 1 Duración: 10 horas Área: Matemáticas Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: cuadráticas Formula y soluciona problemas por medio de funciones y ecuaciones EJE(S) TEMÁTICO(S): 1. FUNCIÓN CUADRÁTICA *DEFINICIÓN - *ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA *CEROS, RAÍCES O SOLUCIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 2. ECUACIÓN CUADRÁTICA *DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA - *SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS.*SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS. --*ANÁLISIS DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA, *PROPIEDADES DE LAS RAÍCES *NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA--* PROBLEMAS DE APLICACIÓN Lee atentamente la guía. Atiende las explicaciones del docente Complementa el tema visto consultando y realizando Otras actividades. ORIENTACIONES Sigue las instrucciones del docente. Resuelve las actividades en el cuaderno. Comparte con sus compañeros lo aprendido. Aclara tus dudas. EXPLORACIÓN Analice y resuelve, aplicando procedimiento o procesos correctos. 1) Para organizar una fiesta Adriana ha comprado como pasabocas 1 caja de galletas de mantequilla que contiene 16 paquetes, cada uno de las cuales con 3 galletitas; tres tarros grandes de refresco de naranja de cada uno de los cuales se pueden servir 6 vasos de jugo; y una torta de chocolate de la cual pueden salir 24 porciones. Si todas las personas deben comer la misma cantidad de alimentos (sin que sobre), el número máximo de personas en la reunión (incluida Adriana) es: a). 6 b). 12 c). 24 CONCEPTUALIZACIÓN DEFINICIÓN: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax 2 +bx+c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

2 PÁGINA: 2 de 12 Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas: f(x) = x 2 f(x) = -x 2 Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes. Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x 2 ). En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax 2 es el término cuadrático - bx es el término lineal - c es el término independiente Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real. y= f(x) = ax²+bx+c con a 0. En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales. Ejemplos de funciones cuadráticas: A(x) = 3x²+5x-8 P(x) = -2x²-7x+1 C(x) = x²-1 D(x) = -x² Representación gráfica de una función cuadrática Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son: 1)Orientación o concavidad (ramas o brazos) 2)Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) 3)Punto de corte con el eje de ordenadas 4)Eje de simetría 5)Vértice 1)ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD Parábola del puente, una función cuadrática. Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ): Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 3x 5 Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = 3x 2 + 2x + 3

3 PÁGINA: 3 de 12 Además, cuanto mayor sea a (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. 2)PUNTOS DE CORTE EN EL EJE DE LAS ABSCISAS (RAÍCES O SOLUCIONES) (EJE DE LAS X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos. f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos: ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula: El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo + y - de la x que se obtuvo De esta manera se tiene Al resultado de la cuenta b 2-4ac se llama discriminante de la ecuación, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta; esta operación presenta distintas posibilidades: Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: y, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como. 1) y= a x 2 + b x + c función cuadrática. 2) a x 2 + b x + c = 0 ecuación cuadrática SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES Si x 1 y x 2 son las raíces de una ecuación de segundo propiedades : 1) x 1 +x 2 = - b/a 2) X 1.X 2 = c/a Si b 2-4ac > 0 grado ax 2 +bx+c=0, estas cumplen las siguientes EJEMPLO :

4 PÁGINA: 4 de 12 Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo: Que corte al eje X en dos puntos distintos por lo tanto tenemos dos soluciones posibles. La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. EJEMPLO: Si b 2-4ac = 0 Una solución real doble si el discriminante es cero: Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x), el resultado de la raíz será con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. Si b 2-4ac < 0 Dos números complejos conjugados si el discriminante es EJEMPLO: negativo: Que no corte al eje X, la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real. La ecuación no tiene soluciones reales. Entonces, si la ecuación esta completa (1º caso) ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta(2º caso) solo basta despejar la variable x de la ecuación: 1 er caso: ax 2 + bx = 0 2 do caso: ax 2 + c = 0 3) PUNTO DE CORTE EN EL EJE DE LAS ORDENADAS (EJE DE LAS Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). EJEMPLO Representar la función f(x) = x² 4x + 3

5 PÁGINA: 5 de 12 Representar la función f(x) = x² 4x 3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en -3 Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno. Si la función no corta al eje x, la fórmula, no tiene solución (en los reales).. 4)EJE DE SIMETRÍA O SIMETRÍA Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por: Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola: 5)VÉRTICE El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos x v vale:

6 PÁGINA: 6 de 12 EXTREMOS Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo. Dada la función en su forma desarrollada:, la coordenada x del vértice será simplemente:. La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto. Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera: Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante). TRASLACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA La gráfica de la función cuadrática: y = x 2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es: Gráfico de de y = x 2 1 : El gráfico de la parábola se traslada una unidad hacia abajo Gráfico de y = x : El gráfico de esta función se traslada una unidad hacia arriba EJEMPLO: Observa las parábolas: Dada la parábola y = - x x + 3, determina la coordenadas de los puntos indicados. a. y = - x 2 + 2x Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x 2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3. Los puntos de corte son (-1,0), (3,0). El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

7 PÁGINA: 7 de 12 EJEMPLO Representar la función f(x) = x² 4x Vértice. X v = x v = ( 4) / 2 = 2 V(2, 1) y v = 2² = 1 2. Puntos de corte con el eje OX x² 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY (0, 3) CLASIFICACIÓN La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente 1. Completa. Es la forma canónica:, donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero. 2. A)Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:,donde los valores de a y de c son distintos de cero. B)Una ecuación cuadrática incompleta:,con a distinto de cero. 3. Incompleta mixta. Se expresa así: donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x 1 = 0. En números imaginarios no hay solución. Estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. FACTORIZACIÓN: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Realizar la factorización simple de la ecuación

8 PÁGINA: 8 de 12 x 2 + 2x 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 [x x = x 2 ] ( x + 4 ) (x - 2 ) = 0 x = 0 4 x = x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones. Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos. RAÍZ CUADRADA: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x 2 = k es equivalente a : x k. COMPLETANDO EL CUADRADO: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x 2 + bx +? Regla para hallar el último término de x 2 + bx +?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x 2 + bx es : 2 2 b x bx 2. Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. EJEMPLO: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax 2 +bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Para factorizar la ecuación 4x x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x x 8 = )x 2 + 2x 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x 2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x 2 + 2x + = 8 + [Colocar los blancos] x 2 + 2x + 1 = x 2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1) 2 = 9 (x + 1) = ± x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = x = -1 3 Resolver por el método de factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) x 2 6x + 5 = 0 Solución: Es un trinomio de la forma x 2 + b x +c. Factorizando: (x 5) (x 1) = 0, entonces, x 5 = 0 ó x 1 = 0, de donde, x = 5 ó x = 1

9 PÁGINA: 9 de 12 Respuesta: {1, 5} b) 4x 2 3x = 0 Solución: Se saca factor común x: x (4x 3) = 0 y se aplica la propiedad del producto nulo: x = 0 ó 4x 3 = 0, o sea, x = 0 ó 4x = 3, de donde, x = 0 ó x = ¾ Respuesta: {0, ¾} Resolver la ecuación: x 2 6x + 8 = 0 Solución: Con los términos x 2 y 6x podemos formar el cuadrado de binomio (x 3) 2, pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen x y sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio: x 2 6x + 8 = 0 /-8 x 2 6x = -8 /+9 x 2-6x + 9 = (x 3) 2 = 1 De la última igualdad se deduce que x 3 = 1 ó x 3 = -1, por lo tanto X 1 = 4 ó X 2 = 2 FÓRMULA CUADRÁTICA: La solución de una ecuación ax 2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática, Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: b b ac x a La expresión: b X 2 + 2x 8 = 0 a = 1, b = 2, c = ac, conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. EJEMPLO: x = -2 ± 6 2 x 1 = x 2 = x 1 = 4 x 2 = -8, por lo tanto: 2 2 x = 2 x = - 4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1) Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del número aumentado en 5. SOLUCIÓN: Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática: 3x 2 4x 4 = 0 Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4 Luego, las soluciones de la ecuación son X 1 = y X 2 = 2. Pero el número que estamos buscando debe ser entero, por lo tanto, la solución es x = 2. EJEMPLO 2: Un triángulo tiene un área de 24 cm 2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. Cuánto mide la altura? Solución: Sea x la base del triángulo,y, x + 2 su altura, entonces su área es:

10 PÁGINA: 10 de 12 =24 cm 2 A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado. X 2 +2x -4 Ahora resolvemos esta ecuación por factorización. (x + 8) (x - 6)=0 Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución que nos sirve es x 2 = 6 y comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces la respuesta es x + 2= 8cm ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS Se dice que una ecuación de segundo grado es INCOMPLETA cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero. Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos: A. ax 2 = 0; si b= 0 y c = 0. B. ax 2 + bx = 0; si c = 0. C. ax 2 + c = 0; si b = 0. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS 1) ax 2 = 0 2) ax 2 + bx = 0 La solución es x = 0. Extraemos factor común x: Igualamos a cero el 1 er factor. Una solución siempre es x = 0. La otra solución la obtenemos al resolver la ecuación de primer grado resultante de igualar a cero el 2º factor. EJEMPLO, ax 2 + c = 0 Despejamos: ax 2 +c = 0.Despejando x 2, se tiene:, ESTUDIO DE LA FAMILIA DE PARÁBOLAS: y = a x 2, Para todas ellas: b = c = 0 El Vértice estará siempre en el origen, dado que X v = = -0/ 2a = 0 y Y V =f(x) = a X v 2 = a. 0 = 0, V (0,0) EN RESUMEN: Toda función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c, representa una parábola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x 2.

11 PÁGINA: 11 de 12 Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax 2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a. Signo de a Concavidad El extremo es un... La abscisa del extremo es: + + mínimo -b/2a máximo -b/2a ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN 1)Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática: 1) x 2 + 8x + 6 = 0 2) 9x 2 + 6x + 1 = 0 3) 5x 2-4x + 1 = 0 2)Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones 1) x 2 - x - 20 = 0 (por factorización) 2) x 2-8 = 0 (por raíz cuadrada) 3) x 2-4x + 5 = 0 (completando el cuadrado) 4) 9x 2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática) 3) Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización: a) x 2-4x = 0 b) x 2-4x = 12 c) d) e) f) Raíces o Ceros. - Coordenadas del Vértice. Ecuación del eje de simetría. - Ordenada al origen a) y = x x 8 b) y = x x c) y = x d) y = x 2 4 x 5 7)Dadas las siguientes funciones cuadráticas, expresarlas en las restantes formas; general, forma canóniga y forma factorizada. Graficar. a) y = x2+ 6 x 8y = b) y = x2+ 4 xy = c) y = x2+ 1y = d) y = 2(x 4)2+ 8y = 8)Resolver las siguientes ecuaciones: a)3x 2 = 0 b) 5/2 x 2 = 0 9 Resuelve a) (x + 2)(x 3) = 0 b) (3x + 1)(x + 5) = 0 c) x(x + 9) = 0 d) (2x + 8)(3x 9) = 10. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: a) x=3 y x=-5 b) x=2 y x=4 c) x=-1 y x=-9 d) x=0 y x=-5 4)Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: a) x 2 + 6x + 7 = 0 b) x 2 10x + 5 = 0 c) 2x 2-3x - 4 = 0 5) Resolver a) x 2 = 3x -1 b) 2(x 2-2x) = 5 c) x(x-1) = 3 d) 5 + 1/x - 1/x 2 = 0 6)Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar todos sus elementos significativos sin hacer tabla de valores, sino aplicando las expresiones vistas. Graficar. a) b) 11)Resolver las ecuaciones de segundo grado 1) 2) 3) 4) 5) 6 12)Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas. 1) 2) 12x 2 3x = 0 13)Analice y soluciones los siguientes problemas a)la suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. Cuáles son los números? b)un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de ancho y su área es de 7000 m 2, halla sus dimensiones. c) Reparte el número 20 en dos partes de forma que la suma de sus cuadrados sea 202. d)si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el àrea del cuadrado.

12 PÁGINA: 12 de 12 SOCIALIZACIÓN Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas. COMPROMISO 1) Observa la parábola: y = x 2-4x + 4 Determina la coordenadas de los puntos indicados. 2.- y = x 2-2x + 3 Puntos de corte con el eje X: Puntos de corte con el eje X: ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES CARGO Yaira Lizeth Rincon Aura Alexandra Uribe Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico