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7 CREACIÓN DE UNA HERRAMIENTA INFORMÁTICA PARA EL CÁLCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL Y CRÍTICA COMO PARÁMETROS DE DISEÑO DE CANALES ABIERTOS TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL KEVIN DAVID GARCIA ALVARADO, ASESOR GERALD LEONIDAS MESTRA RODRIGUEZ INGENIERIA CIVIL UNIVERSIDAD DE LA COSTA, CUC INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL BARRANQUILLA

8 A Dios le oy gracias por haberme ao la sabiuría y la motivación para terminar este proyecto. Él ha sio el autor e too lo bueno en mi via, y sin ua alguna, este trabajo e grao es una e sus bonaes. A mis pares Jaime García y Monika Alvarao. Gracias por amarme, apoyarme y sustentarme hasta terminar mi pregrao en ingeniería civil. Su apoyo ha sio trascenental. El apoyo y irección e mi profesor e hiráulica y asesor e proyecto e grao. Su guía en este proceso ha sio valiosa. Kevin García Alvarao TABLA DE CONTENIDO 2

9 1 INTRODUCCIÓN PLANTAMIENTO DEL PROBLEMA JUSTIFICACIÓN OBJETIVOS...13 GENERAL ESPECÍFICOS MARCO TEÓRICO...14 CLASIFICACIÓN DEL FLUJO ESTADO DEL FLUJO ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UN CANAL FLUJO NORMAL Determinación e la velocia en un flujo uniforme Ecuación e Chézy Fórmula e Chézy con el coeficiente e Manning ECUACIÓN PARA FLUJO UNIFORME CALCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL EN CANALES UNIFORMES Canal Triangular Canal Rectangular Canal Trapezoial Canal Circular FLUJO CRÍTICO CALCULO DE LA PROFUNDIDAD CRÍTICA EN CANALES UNIFORMES Canal Rectangular Canal Triangular Canal Trapezoial Canal Circular ENERGÍA ESPECÍFICA Cálculo e la profunia en cambio e sección en planta en canales rectangulares 46 Métoo Carano ESTADO DEL ARTE DISEÑO METODOLOGICO...55 TIPO DE INVESTIGACIÓN METODO DE ESTUDIO HERRAMIENTA INFORMATICA RECURSOS DISPONIBLES Referencias...58 ANEXO 1. COEFICIENTES PARA LA ECUACIÓN DE MANNING ANEXO 2. DESARROLLO DEL ALGORITMO ANEXO 3. PROGRAMA EN VBA

10 Lista e Tablas 4

11 Ilustración 1 Clasificación el Flujo (Fuente: Elaboración Propia) Ilustración 2 Geometría e un canal circular Ilustración 3 Principio e energía para flujo uniforme. Fuente: (Akan, 2006, pág. 29) Ilustración 4 Cabeza e energía total, cabeza e energía hiráulica y energía específica. Fuente: (Akan, 2006, pág. 30) Ilustración 5. Cambio e sección en planta en canales rectangulares Lista e Ecuaciones 5

12 Ecuación 1 Número e Reynols Ecuación 2 Número e Froue Ecuación 3 Expresión e Chezy para la velocia Ecuación 4 Expresión e Manning para la velocia Ecuación 5 Velocia para el flujo uniforme Ecuación 6 Caual para el flujo uniforme Ecuación 7 Profunia normal para canales triangulares Ecuación 8 Expresión el métoo e Newton-Raphson, en y Ecuación 9 Expresión general para la profunia normal en flujo normal con el métoo e Newton-Raphson Ecuación 10 Profunia normal en canales e sección rectangular, con Newton- Raphson Ecuación 11 Profunia normal en canales e sección rectangular, con Newton- Raphson Ecuación 12 Profunia en un canal circular según su geométrica Ecuación 13 Profunia normal para sección circular erivano en y, con Newton- Raphson Ecuación 14 Profunia normal para sección circular erivano en θ, con Newton- Raphson Ecuación 15 Número e Froue, para un canal abierto Ecuación 16 Profunia crítica en un canal rectangular Ecuación 17 Profunia crítica en un canal triangular Ecuación 18 Expresión general para la profunia crítica en flujo normal con el métoo e Newton-Raphson Ecuación 19 Profunia crítica para sección trapezoiall, con Newton-Raphson 42 Ecuación 20 Profunia crítica para sección circular erivano en y, con Newton- Raphson Ecuación 21 Profunia crítica para sección circular erivano en θ, con Newton- Raphson Ecuación 22 Energía Específica Ecuación 23 Ecuación cúbica para la profunia e flujo en cambio e sección en plante en canales rectangulares Ecuación 24 Parámetros e la Formula e Carano Ecuación 25 Formula e Carano Ecuación 26 Formula e Carano según solución trigonométrica Ecuación 27 Parámetros e la ecuación cúbica e la energía específica, con el M. Carano Lista e Ilustraciones 6

13 Ilustración 1 Clasificación el Flujo (Fuente: Elaboración Propia) Ilustración 2 Geometría e un canal circular Ilustración 3 Principio e energía para flujo uniforme. Fuente: (Akan, 2006, pág. 29) Ilustración 4 Cabeza e energía total, cabeza e energía hiráulica y energía específica. Fuente: (Akan, 2006, pág. 30) Ilustración 5. Cambio e sección en planta en canales rectangulares

14 1 INTRODUCCIÓN El auge e los avances tecnológicos es reciente en comparación con los inicios e la ingeniería. Antes para el análisis el iseño e un proyecto, era necesario varias horas e complejos cálculos matemáticos, extensas verificaciones, tablas y nomogramas. Hoy en ía, con el uso e la computaora, es posible agilizar casi que toos los procesos que el ser humano efectúa, incluyeno el iseño y verificación en la ingeniería. Por ello, el uso e la tecnología entro el campo el iseño en la ingeniería caa vez es más necesario y hace que está progrese velozmente en comparación al pasao. Así, la tarea el ingeniero se facilita y al mismo tiempo se vuelve más crítica. Ya no le corresponerá realizar cálculos tan teiosos y extensos, sino verificar que los resultaos sean coherentes e acuero a las necesiaes el proyecto y que éstos estén entro e los parámetros comúnmente aceptaos en la ingeniería y la acaemia. En base lo anterior, se requieren herramientas para facilitar y hacer más eficiente el esarrollo e los conocimientos aquirios a lo largo el pregrao. Con el avance e la tecnología, esto es posible, ejecutano procesos exactos y precisos. Así, surgió la iea e sistematizar una sección e la materia teórica e hiráulica, en el área e iseño e canales abiertos, para hacer un proceso e acompañamiento al que se realiza en clase. Para ello, un software o programa informático se ieó para ser usao en la acaemia, que se aaptará a las necesiaes e enseñanza y será auxiliar al iseño e canales abiertos. Así se corroborará el trabajo manual con los resultaos el programa, con la posibilia e mostrar e manera breve y esquemática la obtención e parámetros e iseño e un canal abierto. 8

15 2 PLANTAMIENTO DEL PROBLEMA En el proceso e aprenizaje, las entiaes eucativas planean y iseñan estrategias para que sus estuiantes aquieran las competencias en caa área e conocimiento. Hoy en ía, los espacios estinaos para ellos son las aulas, y con el auge e la tecnología, se hace necesario usar más herramientas tecnológicas, para lograr tal fin. Dentro e las primeras etapas para el iseño e canales abiertos, se hace necesario el uso e procesos matemáticos repetitivos, a tablas y nomogramas que tienen correlaciones entre varias variables (éstos os últimos, en algunos casos se usan cuano los moelos matemáticos son tan complejos, que su realización a mano no es práctica). En el primer caso el proceso se vuelve teioso, extenso, en el seguno caso, el proceso quea sujeto a percepciones subjetivas el iseñaor. De cualquier moo, siempre se corre el riesgo e que se generen inexactitues y poca precisión en los resultaos, ebio a factores típicos humanos. Otro factor entro el iseño e canales abiertos que juega un papel preponerante es el tiempo. El hecho e que los procesos matemáticos, sean repetitivos y en muchos casos se eba acuir a tablas y nomogramas e correlaciones, en primer lugar es esgastante para quien lo hace y luego, consume bastante e este recurso tan valioso, que se vuelve valioso y tiene consecuencias económicas irectas. Una e las funciones el iseñaor es analizar y consierar si los resultaos obtenios el proceso son coherentes, responen e manera aecuaa a la necesia el proyecto y están en norma y e acuero con las comuniaes acaémicas y profesionales. Too este proceso conuce a cansancio, fatiga y puee influir en el criterio el iseñaor e manera que no convenga al proyecto, volviénose menos eficiente. Tenieno en cuenta lo anterior, se esearía obtener resultaos en menor tiempo, con mayor exactitu y precisión, y ya que hoy en ía la eucación va e la mano 9

16 con la tecnología, se plantea el proyecto e crear un software o programa informático en el área e la hiráulica teórica para ser e asistencia al iseño e canales abiertos. Se esea calcular parámetros e iseño e canales abiertos, y el uso e la hiráulica y las ciencias básicas, es funamental. Los moelos matemáticos, físicos y e carácter hiráulico que escriben el comportamiento el flujo el agua, muchas veces requieren procesos iterativos que pueen ser automatizaos meiante el uso e herramientas informáticas. En este sentio Cómo esarrollar una herramienta informática, que meiante la profunización e las ciencias básicas y moelos hiráulicos, permita la obtención e parámetros e iseño e canales abiertos e manera rápia, en la materia e hiráulica teórica e la Universia e la Costa? 10

17 3 JUSTIFICACIÓN La iea el programa informático surgió ebio a que en la materia teórica e hiráulica, para la obtención e parámetros en el iseño e canales abiertos, se evienciaba la necesia e usar un métoo que optimizara el proceso, reucieno los tiempos y aumentano la exactitu y precisión. El esarrollo e la hiráulica ha sio posible en parte, gracias al esarrollo e otras isciplinas. El cálculo, las matemáticas, la física y los métoos numéricos han sio vitales para poer explicar los fenómenos físicos que escriben el flujo el agua en los canales abiertos. El ingeniero se vale e ellas y algunas otras para crear soluciones innovaoras, que permitan el esarrollo y crecimiento en la sociea. Sin ua alguna el esarrollo e este proyecto permitirá el perfeccionamiento y la profunización e las ciencias básicas para ser aplicaas al iseño e canales abiertos. Aemás, porá ser utilizaa como una herramienta iáctica en clase, one los estuiantes e hiráulica e canales abiertos puean poner en práctica los conocimientos aquirios, ya sea comparano resultaos, obtenieno parámetros e iseño o verificano coniciones existentes e canales abiertos. Con respecto a la obtención e parámetros e iseño e canales abiertos, la hiráulica ofrece una serie e moelos matemáticos que permiten estimar las características el flujo. Se necesita recurrir a procesos iterativos, puieno llegar a ser laboriosa su solución si se realiza e forma manual. El uso e métoos y programación numérica es necesaria. Las computaoras ofrecen una solución veloz a estos problemas. Con la puesta en marcha e este proyecto, se puee automatizar estos procesos meiante el uso e herramientas e sistemas epenientes e lenguajes e programación. Estas tareas pueen realizarse e manera ágil y rápia, isminuyeno significativamente los tiempos e cálculo y la eficiencia en el análisis e resultaos. 11

18 La creación e rutinas permite obtener resultaos más consistentes y exactos, obviano aquellas tareas que e otra forma serían teiosas, facilitano la labor al ingeniero en la obtención e los parámetros necesarios para el iseño e canales abiertos. El software estará en la capacia e recibir atos para el análisis y calcular según sea el caso, profunia normal, crítica y la profunia en cambios e sección en planta e canales rectangulares. 12

19 4 OBJETIVOS GENERAL Desarrollar una herramienta asistia por computaora (un programa informático) para el cálculo e parámetros e iseño e canales abiertos funamentao en el uso e las ciencias básicas, computacionales y la hiráulica e canales abiertos. ESPECÍFICOS Delimitar moelos hiráulicos necesarios para el programa informático Desarrollar los moelos matemáticos a partir el moelo hiráulico Crear los cóigos en el lenguaje apropiao para el funcionamiento el software Crear una interfaz para manipular fácilmente el software y obtener los parámetros resultaos e la moelación hiráulica. Proveer a los estuiantes e ingeniería civil una herramienta para su esarrollo acaémico y profesional 13

20 5 MARCO TEÓRICO Los canales abiertos son estructuras e transporte, naturales o artificiales, normalmente abiertos en la parte superior. Pueen ser ríos, arroyos o riachuelos y estuarios. Una característica importante el flujo e canales abiertos es que tienen una superficie libre a presión atmosférica. Los canales abiertos pueen encontrarse en conuctos cerraos, como tuberías y alcantarillas, siempre y cuano en el conucto este fluyeno parcialmente lleno. Por ejemplo, los alcantarillaos sanitarios y pluviales tienen una superficie libre, y por ello se clasifican como flujo e canal abierto. (Akan, 2006, pág. 1) El flujo e agua en un conucto puee ser flujo en canal abierto o flujo en tubería. Estas os clases e flujo son similares en muchos aspectos pero se iferencian en un aspecto importante. El flujo en canal abierto ebe tener una superficie libre, en tanto que el flujo en tubería no la tiene, ebio a que en este caso el agua ebe llenar completamente el conucto. Una superficie libre está sometia a la presión atmosférica. El flujo en tubería al estar confinao en un conucto cerrao, no está sometio a presión atmosférica e manera irecta, sino sólo a la presión hiráulica. (Chow, 1994, pág. 3) CLASIFICACIÓN DEL FLUJO El flujo e canales abiertos se clasifica e varias formas. La clasificación se hace tenieno en cuenta los parámetros hiráulicos (velocia, profunia e flujo, caual), la siguiente se hace e acuero al cambio e profunia el flujo con respecto al tiempo y al espacio. Según el criterio e espacio: - Flujo uniforme: la profunia el flujo es la misma en caa sección el canal. El flujo e líquios en canales e sección constante y gran longitu se consiera uniforme. 14

21 - Flujo variao: la profunia el flujo cambia a lo largo el canal. Se presenta en controles e canales, cambios e peniente, compuertas, presas. Según el criterio el tiempo: - Flujo permanente: la profunia el flujo no cambia con respecto a un intervalo e tiempo. Muchas situaciones pertenecen a este tipo e flujo: transporte e líquios bajo altura e carga constante. - Flujo no permanente: la profunia el flujo cambia con el tiempo. Puee ser uniforme o variao. Se puee presentar las siguientes combinaciones, cuano la profunia cambia o no e acuero con el tiempo y/o el espacio. o Flujo Uniforme Permanente: la profunia se mantiene constante en el espacio y tiempo. Es el tipo e flujo funamental que se consiera en la hiráulica e canales abiertos. o Flujo Uniforme No Permanente: se clasificaría un flujo entro e esta categoría si la profunia el flujo se mantiene constante en una sección el canal pero no en el tiempo. Tenría que suceer que la superficie e líquio cambie mientras permanece constante al fono el canal. Es casi imposible encontrar esto en la práctica, se consiera raro. Para que sucea, el cambio en el tiempo tenría que suceer a lo largo e too el canal para así permanecer constante la profunia. o Flujo variao permanente: la profunia cambia con respecto al espacio pero no al tiempo. Es ecir, la profunia cambia a lo largo el canal. Puee arse e manera graual o rápia. Si la profunia cambia e manera graual o rápiamente en istancias relativamente cortas. En la práctica, un flujo rápiamente variao se conoce con el 15

22 nombre e fenómeno local, por ejemplo, el resalto hiráulico y la caía hiráulica. o Flujo variao no permanente: la profunia cambia con respecto al espacio y al tiempo. Este tipo e flujo no es muy recurrente y prácticamente no existe. Las olas y las mareas en flujo libre son ejemplos e este tipo e flujo. Ilustración 1 Clasificación el Flujo (Fuente: Elaboración Propia) ESTADO DEL FLUJO El estao o comportamiento el flujo en canales abiertos está conicionao por la gravea y viscosia con respecto a las fuerzas inerciales. - Efecto e la viscosia La relación fuerzas viscosas e inerciales se expresan en un término aimensional llamao número e Reynol (Re). Se expresa e la siguiente manera: 16

23 Done V = Velocia meia, m/s R e = VL v = VLρ μ Ecuación 1 Número e Reynols L = Longitu característica (raio hiráulico el conucto), m v = Viscosia cinemática el fluio, m 2 /seg ρ = Densia el fluio, Kg/m 3 μ = Viscosia inámica, Kg/m seg Depenieno al valor que tome el número e Reynols, el estao el flujo puee ser: o Laminar: las fuerzas viscosas son muy fuertes en relación con las fuerzas inerciales. Así, la viscosia es preponerante para eterminar el comportamiento el fluio. Para R e < 500, las partículas se mueven en trayectorias paralelas, suaves y bien efinias. o Transicional o Mixto: es el estao que se encuentra entre el flujo laminar y turbulento. o Turbulento: las fuerzas viscosas son ébiles en comparación a las fuerzas inerciales. Las partículas e agua se mueven en trayectorias irregulares, no son paralelas, ni suaves ni bien efinias, aunque en conjunto, representan un movimiento hacia aelante. Correspone a un valor el número e Reynols muy grane, se ha comprobao cuano R e > Es importante recalcar que los límites entre un estao el flujo y otro no son precisos. En coniciones e laboratorio, el flujo laminar para el número e 17

24 Reynols es menor a 500. De cualquier moo, el la mayoría e los canales abiertos, el flujo es turbulento - Efecto e la gravea: La relación entre las fuerzas inerciales y las gravitacionales se expresan en un término aimensional llamao número e Froue, así: F r = V gl = V gd Ecuación 2 Número e Froue Done V = Velocia meia el flujo, m/s g = Aceleración e la gravea, m/seg 2 L = Longitu característica, m La longitu característica L, en canales abiertos se hace igual a la profunia hiráulica D. Depenieno el valor que tome el número e Froue, el estao el flujo puee ser: o Subcrítico: F r < 1 o Critico: F r = 1 o Supercrítico: F r > 1 El comportamiento hiráulico el flujo e un canal abierto, varía significativamente epenieno si el flujo es crítico, subcrítico o supercrítico. ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UN CANAL Canal prismático: aquel construio con una sección transversal invariable y una peniente e fono constante. Sección el canal: sección transversal e la canal, tomaa en forma perpenicular a la irección el flujo. 18

25 Elementos geométricos: propieaes e una sección el canal que pueen ser efinios por completo por la geometría e la sección y la profunia el flujo. Son importantes y se usan en el cálculo el flujo. Profunia e flujo y Distancia vertical ese el punto más bajo e una sección el canal hasta la superficie libre Profunia el flujo perpenicular a la irección e éste, o la altura e la sección el canal que Profunia e flujo e la contiene el agua. La relación entre y y es = sección y cos(θ). Para la mayoría e canales naturales y artificiales, cos(θ) = 1. Entonces y = Ancho superficial T Ancho e la sección el canal en la superficie libre. Área mojaa A Área e la sección transversal el flujo perpenicular a la irección el flujo. Perímetro mojao P Longitu e la línea e intersección e la superficie el canal con el agua. Relación entre el área mojaa con el perímetro Raio hiráulico R mojao. R = A P Profunia hiráulica Factor e sección para el cálculo el flujo crítico D Z Relación entre el área mojaa y el ancho e superficie. R = A T Es el proucto el área mojaa y la raíz cuaraa e la profunia hiráulica, Z = A D = A A T Tabla 1 Elementos geométricos e un canal. Fuente: (Akan, 2006, pág. 1) 19

26 Área A by Perímetro mojao P b + 2y Raio hiráulico R = A P by b + 2y Ancho superficial T b Profunia hiráulica Factor e sección D = A T y Z = A D by 3 5 Tabla 2 Elementos geométricos e un canal rectangular. Fuente: (Akan, 2006, pág. 2) Área A (b + zy)y Perímetro mojao Raio hiráulico P R = A P b + 2y 1 + z 2 (b + zy)y b + 2y 1 + z 2 Ancho superficial T b + 2zy Profunia hiráulica D = A T (b + zy)y b + 2zy Factor e sección Z = A D ((b + z y) y) b + 2zy Tabla 3 Elementos geométricos para un canal trapezoial. Fuente: (Akan, 2006, pág. 2) Área A zy 2 Perímetro mojao P 2y 1 + z 2 Raio hiráulico R = A P zy 2y 1 + z 2 Ancho superficial T 2zy Profunia hiráulica Factor e sección D = A T Z = A D Tabla 4 Elementos geométricos para un canal triangular. Fuente: (Akan, 2006, pág. 2) 1 2 y zy

27 Área Perímetro mojao Raio hiráulico Ancho superficial Profunia hiráulica A P R = A P T D = A T 1 (θ sin θ)2 8 ( 1 2 θ) 1 sin θ (1 4 θ ) (sin ( 1 2 θ)) = 2 y( y) 1 sin θ (θ 8 sin 1 ) 2 θ Factor e sección Z = A D (θ sin θ) 1 2 (sin 1 2 θ) 1 2 Tabla 5 Elementos geométricos para un canal circular. Fuente: (Akan, 2006, pág. 2) 5 2 FLUJO NORMAL Principales características el flujo uniforme: 1) La profunia, el área mojaa, la velocia y el caual en caa sección el canal son constantes 2) La línea e energía, la superficie el agua y el fono el canal son paralelos, es ecir, sus penientes son toas iguales. S f = S w = S o = S Para propósitos prácticos, se consiera que el flujo posee una velocia meia constante. Es ecir, el flujo posee una velocia constante en caa punto e la sección el canal entro el tramo el flujo uniforme. De igual manera, se consiera que el flujo uniforme es sólo permanente, pues el flujo uniforme no permanente prácticamente no existe. Y aunque el flujo uniforme permanente es raro en coniciones naturales, se asume esa conición para el cálculo e flujo en corriente natural, obtenieno resultaos aproximaos que ofrecen soluciones prácticas y satisfactorias. Se ebe también tener en cuenta que el flujo uniforme no puee 21

28 ocurrir a velociaes altas, pues cuano lo haga, atrapará aire y se volverá muy inestable. Determinación e la velocia en un flujo uniforme Para los cálculos hiráulicos la velocia meia e un flujo uniforme turbulento en canales abiertos por lo general se expresa aproximaamente por la llamaa ecuación e flujo uniforme. La mayor parte e las ecuaciones prácticas e flujo uniforme pueen expresarse e la siguiente manera: V = CR x S y V = Velocia meia, en pies/s C = Factor e resistencia al flujo, que varía con la velocia meia, el raio hiráulico, la rugosia el canal, la viscosia y muchos otros factores. R = Raio hiráulico, en pies S = Peniente e energía x, y = Exponentes Para propósitos prácticos, puee suponerse que el flujo en un canal natural es uniforme bajo coniciones normales, es ecir, no existen flujos e crecientes o flujos notablemente variaos por irregulariaes en el canal. Aun así, al aplicar una ecuación e flujo uniforme a una corriente natural, se entiene que el resultao es muy aproximao, por eso se ha esarrollao y publicao una gran cantiaes e ecuaciones prácticas e flujo uniforme. Las ecuaciones mejor conocias y más ampliamente usaas son las ecuaciones e Chézy y e Manning. Ecuación e Chézy V = CR 1 2S 1 2 = C RS Ecuación 3 Expresión e Chezy para la velocia 22

29 V = Velocia meia, en pies/s C = Factor e resistencia al flujo, conocio como C e Chézy. Tiene imensiones e (longitu) 1/2 /tiempo R = Raio hiráulico, en pies S = Peniente e energía Si se analizan las uniaes en la fórmula, se euce fácilmente que al coeficiente C le corresponen las uniaes e (pies)1/2 seg Esta ecuación la propuso el ingeniero Antonie Chézy en el año 1769, basao en os funamentos: El principio e Brahms propuesto en el año 1754 establece que la componente efectiva e la fuerza e gravea causaa por el flujo ebe ser igual a la fuerza total e la resistencia La fuerza que resiste el flujo por unia e área el conucto es proporcional al cuarao e la velocia A pesar e que la ecuación para flujos turbulentos en canales abiertos, introucia por Chézy en 1769, parece ser simple, tiene un uso limitao en la práctica porque el coeficiente e Chézy epene e las coniciones e flujo tanto como e la rugosia el canal, y éstas son ifíciles e evaluar. Fórmula e Chézy con el coeficiente e Manning El coeficiente e Manning está efinio como: C = R1 6 N La ecuación e Chézy: V = C RS = CR 1 2S 1 2 Reemplazano: 23

30 V = ( R1 6 N ) RS V = R1 6 N R1 2S 1 2 V = R2 3 S 1 2 N Ecuación 4 Expresión e Manning para la velocia La fórmula anterior tiene como uniaes: V = En m/s R = Raio hiráulico, m S = Peniente el conucto, m/m N = Coeficiente e Manning, aimensional Robert Manning presentó la fórmula en 1889, por lo cual cabe resaltar que únicamente en su aplicación se tienen en cuenta las coniciones e la superficie y el raio hiráulico; sin embargo, es la más utilizaa en flujo libre y uniforme con buenos resultaos, aemás e contar con la ventaja e un alto número e atos en cuanto al tipo e superficie se refiere. En el caso el coeficiente N e Manning, algunos autores suponen un coeficiente N aimensional; por consiguiente, su aplicación es igual en cualquier sistema e uniaes. En el sistema e uniaes inglesas está efinia como: V = En pies/seg R = Raio hiráulico, pies V = 1.49 N R2 3S

31 S = Peniente el conucto, aimensional N = Coeficiente e Manning, aimensional En el Anexo 1 se muestran los coeficientes para la ecuación e Manning ECUACIÓN PARA FLUJO UNIFORME La fórmula e Manning es la más común para la ecuación e resistencia e flujo para el cálculo e flujo e canales abiertos. El flujo uniforme hace referencia al flujo permanente e canales abiertos en los que la profunia el flujo, el área y la velocia permanecen constantes a lo largo e caa sección el canal. V = k n n R2 3 S 1 2 O Ecuación 5 Velocia para el flujo uniforme Q = k n n A R2 3 S 1 2 Done k n = 1.0 m 1 3 seg Ecuación 6 Caual para el flujo uniforme 1 pies3 = 1.49, y n es el coeficiente e Manning. En la práctica, seg ao un canal, el coeficiente e Manning se asume constante con las coniciones e flujo. Se pueen encontrar os tipos e problemas en el análisis e canales bajo coniciones normales e flujo. El primero involucra el cálculo e la velocia y caual para el flujo normal, conocieno la profunia normal y las características el canal. Este tipo e problemas es simple e resolver. En primer lugar se calcula el área y el raio hiráulico usano las expresiones e los elementos geométricos e las tablas 2 a la 5, y se etermina la velocia y el caual e las ecuaciones 5 y 6. El seguno tipo e problema involucra la eterminación e la profunia el flujo normal conocieno el caual y las características el canal. Este seguno tipo e 25

32 problema es el más ifícil e resolver, porque requiere proceimientos e prueba y error. CALCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL EN CANALES UNIFORMES La profunia normal es la profunia el flujo que satisface las ecuaciones 5 y 6. La profunia normal se enota por y n. Generalmente se necesita calcular la profunia normal ao el caual y las propieaes el canal. Para canales uniformes, que son canales prismáticos hechos e un material uniforme, se puee asumir el coeficiente e rugosia e Manning constante (Ver Anexo 1. Coeficientes para la ecuación e Manning). Así, para los mismos canales, las relaciones e los elementos geométricos el canal se encuentran en las Tablas 2 a la 5. Canal Triangular Una expresión explicita se puee esarrollar para calcular la profunia normal en canales triangulares. Tenieno la misma peniente lateral (o talu) en ambos laos. El proceimiento se emuestra a continuación: Según la Tabla 5, se sustituye el área y el raio hiráulico en la ecuación 6 y se tiene: Q = 1 2 n zy [zy2 3 1 ] [ S z 2] 2 Q = 1 n z 2 3y 2 3 zy2 2 S 1 2 [2 1 + z 2 3 ] Q = 1 n z 5 3y 8 3 [2 1 + z 2 ] 2 3 S

33 2 y 8 3 = Q n [2 1 + z2 3 ] S 1 2 z y = [ Q n [2 1 + z2 3 ] S 1 2 z 5 ] 3 3/8 Entonces y n = [ Q n ] S [2 1 + z2 4 ] z 5 8 Ecuación 7 Profunia normal para canales triangulares Canal Rectangular Según la Tabla 2, se sustituye el área y el raio hiráulico en la ecuación 6, obtenieno: Q = 1 2 n by [ by b + 2y ] 3 1 S 2 Q = 1 n by b 2 3y 2 3 [b + 2y] 2 3 S 1 2 Q = 1 n b 5 3y 5 3 [b + 2y] 2 S Como puee observarse, no se puee ar una solución explicita para calcular la profunia normal en un canal e sección rectangular. Se puee recurrir a proceimientos e prueba y error, asignano valores a y hasta llegar a una buena aproximación. Este métoo se explica e manera amplia en los libros e hiráulica. 27

34 Aquí, se ha elegio usar los métoos numéricos para arle solución a este problema. A continuación se etalla el métoo e Newton-Raphson (métoo bien ifunio en libros acaémicos, por lo cual no se explicará), para calcular la profunia normal en canales rectangulares. El métoo e Newton-Raphson establece para una función: y i+1 = y i F[y] F [y] Ecuación 8 Expresión el métoo e Newton-Raphson, en y Se esea que el caual calculao Q i (o teórico) sea igual al caual inicialmente conocio (o real) Q real F(y) = Q i Q real = 0 ó y = Q i Q real = 0 F (y) = Q i Q real = 0 ó y y = [Q i] y [Q real] = 0 y F (y) = Q i Q real = 0 ó y y = [Q i] y 0 = 0 Q i = 1 n R2 3 S 1 2 A 2 3 y Q i = y [R n S1 2 A] y Q i = 1 n S1 2 y [R2 3 A] y Q i = 1 n S1 2 y [R2 3 A] 28

35 y Q i = 1 n S1 2 y [R2 3 A] y Q i = 1 n S1 2 [ R y [R] + 1 A y [A]] y Q i = 1 n S1 2 [ [A/P] y [A P ] + 1 A y [A]] y Q i = 1 n S1 2 [ 2 3 P A y [A P ] + 1 A y [A]] y Q i = 1 n S1 2 [ 2 3 P A y [A P ] + 1 A y [A]] y Q i = 1 n S P P A [ y [A] A y [P] P 2 ] + 1 A y [A] ] [ y Q i = 1 n S1 2 [ 2 3 P A 1 P 2 [P y [A] A y [P]] + 1 A y [A]] y Q i = 1 n S1 2 [ 2 3 P A 1 P 2 P y [A] 2 3 P A 1 P 2 A y [P] + 1 A y [A]] y Q i = 1 n S1 2 [[ ] 1 A y [A] P y [P]] 2 3 y Q i = R n S1 2 A [ A y [A] P y [P] ] Sustituyeno el resultao anterior en la Ecuación 8 para el métoo numérico e Newton Raphson, se tiene: 29

36 y i+1 = y i F[y] F [y] y i+1 = y i [Q i ] y Q i Q real [Q real] y y i+1 = y i Q i Q real [Q i ] y 0 y i+1 = y i Q i Q real [Q i ] y y i+1 = y i Q i Q real R 2 3 n S1 2 A [ A [A] y P [P] y ] y i+1 = y i Q i Q real Q i [ A [A] y P [P] y ] Ecuación 9 Expresión general para la profunia normal en flujo normal con el métoo e Newton-Raphson La Ecuación 9, se convierte en la ecuación general para calcular la profunia normal en flujo uniforme en la sección trapezoial, rectangular y circular. Para caa sección, solo se ebe hallar la erivaa e la función que escribe el área y el perímetro mojao para caa sección y luego reemplazarlas en la ecuación 9. Así, se procee para la sección rectangular, como se muestra: ÁREA PERÍMETRO MOJADO A P S. RECTÁNGULAR by b + 2y Derivaas y A y P b 2 30

37 Tabla 6 Derivaa el área y perímetro mojao en la sección rectangular Se reemplazan los resultaos obtenios e la Tabla 6, en la ecuación 9, así: y i+1 = y i Q i Q real R 2 3 n S1 2 A [ A [b] P [2] ] y i+1 = y i Q i Q real Q i [ 5b 3A 4 3P ] Ecuación 10 Profunia normal en canales e sección rectangular, con Newton-Raphson Canal Trapezoial Realizano el mismo proceimiento, según los elementos geométricos e un canal trapezoial, como se muestra en la Tabla 3, se eriva el área y el perímetro mojao para una sección trapezoial, como se muestra a continuación: ÁREA A PERÍMETRO MOJADO P S. TRAPEZOIDAL (b + zy)y b + 2y 1 + z 2 Derivaas y A y P 2yz + b 2 z Tabla 7 Derivaa el área y perímetro mojao en la sección trapezoial Los resultaos e la Tabla 7 se reemplazan en la ecuación 9, obteniénose: y i+1 = y i Q i Q real 5(2yz + b) Q i [ 3A 4 z P Ecuación 11 Profunia normal en canales e sección rectangular, con Newton-Raphson ] 31

38 Canal Circular Ilustración 2 Geometría e un canal circular Algunas eucciones matemáticas a partir e la geometría e la Ilustración 2 1) r = 2 = h + y 2) h = 2 y = r y 3) θ = 2α 4) cos α = h r Despejano h e (1) y α e (4), y tenieno en cuenta (3) se tiene: 5) θ = 2 cos 1 ( r y r ) = 2 cos 1 (1 2 ( y )) Despejano h en (1) y (3), e igualano posteriormente se tiene que 6) r y = r cos α Despejano y, y tenieno en cuenta (5), se obtiene la siguiente expresión y = r(1 cos α) = 2 (1 cos[θ]) = 2 (1 cos [2 cos 1 (1 2 ( y ))]) 32

39 Ecuación 12 Profunia en un canal circular según su geométrica Tenieno en cuenta la ecuación 9, se realiza el mismo proceimiento: se eriva el área y el perímetro mojao para una sección circular y se reemplaza en la ecuación 12. En el caso el canal con sección circular, existen os posibiliaes: erivar con respecto a y (que se constituye como la profunia normal) o con respecto a θ (el ángulo imaginario que se forma entre la superficie el agua y el centro e la circunferencia). En too caso se realizan ambos proceimientos, como se inica en la Tabla 8 y luego, e acuero a la ecuación 9, se reemplaza según la erivaa e y o θ: ÁREA ANCHO SUPERFICIAL S. CIRCULAR A P 1 8 (θ sin θ)2 ( 1 2 θ) DERIVADAS y A y P cos (2 cos 1 (1 2y )) (1 2y 2 ) ( 2y 2 + 1) + 1 θ A θ P 2 ( cos(θ) + 1) 8 Tabla 8 Derivaa el área y perímetro mojao en la sección circular 2 33

40 - Con respecto a y y i+1 = y i Q i Q i Q real cos (2 cos 1 ( 2y 5 3A + 1)) ( 2y 2 [ ( + 1) + 1 ) 4 3P ( 2y 2 + 1) + 1 ] Ecuación 13 Profunia normal para sección circular erivano en y, con Newton-Raphson - Con respecto a θ: Q i Q real θ i+1 = θ i Q i [ 5 3A ( cos(θ) + 1) (2 8 ) 3P ] Ecuación 14 Profunia normal para sección circular erivano en θ, con Newton-Raphson Es eviente que el proceso matemático sería más sencillo erivano y calculano los parámetros hiráulicos con respecto a θ. Si se calcula meiante la seguna opción, el valor obtenio se reemplaza en la ecuación 12 para calcular la profunia normal. FLUJO CRÍTICO El flujo crítico, es un tipo especial e flujo en canales abiertos, ocurre en ciertas coniciones. Es un tipo e flujo e sección transversal. En otras palabras, el flujo crítico no se mantiene a lo largo e una longitu e un canal. La siguiente, es una lista e coniciones asociaas al flujo crítico: El número e Froue es igual a la unia La energía específica es mínima para un caual eterminao El caual es máximo para una eterminaa energía específica La fuerza específica es mínima para un caual eterminao El caual es máximo para una fuerza específica eterminaa 34

41 - El Número e Froue El número e Froue, es un número aimensional, es un tipo e flujo e sección transversal y se caracteriza como: F r = V gd = V g(a/t) = Q g(a 3 /T) Ecuación 15 Número e Froue, para un canal abierto Done F r = Número e Froue V = Velocia meia el flujo, m/seg Q = Caual, m 3 /seg g = Aceleración e la gravea, m/seg 2 D = Profunia hiráulica A = Área mojaa, m 2 T = Ancho superficial, m La expresión gd, representan la velocia con que las onas gravitacionales se propagan en canales abiertos. Depenieno el valor que tome el número e Froue, el estao el flujo puee ser subcrítico si F r < 1, critico si F r = 1, y supercrítico si F r > 1. CALCULO DE LA PROFUNDIDAD CRÍTICA EN CANALES UNIFORMES La profunia crítica, enotao por y c, es la profunia e flujo en una sección one el flujo es crítico. En un canal abierto ao, la corriente crítica puee no ocurrir en absoluto. Sin embargo, la profunia crítica se calcula toavía como un 35

42 primer paso en el tratamiento e la mayoría e los problemas e flujo e canal abierto. Por ejemplo, la profunia crítica ayuará a clasificar la peniente e un canal como suave o pronunciaa en los cálculos longituinales perfil e la superficie el agua. También, como el número e Froue, la propia profunia crítica se puee utilizar para ientificar si el flujo en una sección es subcrítico o supercrítico. El flujo es subcrítico si la profunia e flujo es mayor que la profunia crítica, es ecir, si y > y c. El flujo es supercrítico si y < y c. Se puee calcular la profunia crítica para un caual ao, Q, en la sección e un canal ao, meiante la expresión e A y T en la ecuación 15 en términos e y, según las Tablas 2 a 5, y establecieno que F r = 1 y resolvieno para la profunia el flujo. Canal Rectangular Tenieno en cuenta la ecuación 15, y la expresión el área y ancho superficial para canales rectangulares según la Tabla 2, se tiene: F r = F r = Q g ( (by)3 b ) Q g ( b3 y 3 b ) Q F r = gb 2 y 3 Cuano se tiene un una profunia crítica, y c, el número e Froue es igual a la unia, F r = 1. Igualano a la unia y espejano y se tiene: 1 = Q g 1 2by

43 y 3 2 = Q En este caso, se obtiene una expresión explicita para el canal rectangular, así: g 1 2b y c = [ Q g 1 ] 2b = Q2 gb 2 Ecuación 16 Profunia crítica en un canal rectangular Canal Triangular Para un canal e sección triangular, con peniente lateral z (1 vertical sobre z horizontal), y reemplazano el área y ancho superficial según la Tabla 4, en la ecuación 15, se tiene: F r = F r = F r = Q g ( (zy2 ) 3 2zy ) Q g ( z3 y 6 2zy ) Q gz2 y 5 2 Cuano se tiene un una profunia crítica, y c, el número e Froue es igual a la unia, F r = 1. Igualano a la unia y espejano y se tiene: 1 = Q gz2 y

44 y 5 2 = 21 2Q En este caso, se obtiene una expresión explicita para el canal triangular, así: g 1 2z y c = [ 21 2Q g 1 ] 2z = 2Q2 gz 2 Ecuación 17 Profunia crítica en un canal triangular Canal Trapezoial Para un canal e sección trapezoial, con peniente lateral z (1 vertical sobre z horizontal), para una profunia crítica, se puee establecer que F r = (F r ) 2 = 1.0 F r 2 = F r 2 = Q2 g ( A3 T ) Q2 g ( A3 T ) Reemplazano F r = 1, y el área y ancho superficial según la Tabla 5, así: 1 = Q2 g A3 T = T Q2 (b + 2zy) Q2 = g A3 g (b + zy) 3 y 3 (b + 2zy) Q2 1 = g (b + zy) 3 y 3 Observano la expresión anterior, se concluye que no se obtiene una expresión explicita para calcular y c en canales trapezoiales. Entonces, se necesita aplicar 38

45 proceimientos e prueba y error para eterminar la profunia crítica en canales trapezoiales. De manera similar al cálculo e la profunia normal, se aplica el métoo numérico Newthon-Raphson, para obtener una expresión general para el cálculo e la profunia crítica. Sabieno que cuano la profunia es crítica, el número e Froue es igual a 1, así: F r = 1 ; 1 = Q ; g ( A3 T ) Q = g ( A3 T ) = g1 2 A 3 2 El métoo e Newton Raphson establece, según la ecuación 8: y i+1 = y i F(y) F (y) T 1 2 Se esea que el caual calculao Q i (o teórico) sea igual al caual inicialmente conocio (o real) Q real F(y) = Q i Q real = 0 y = Q i Q real = 0 F (y) = Q i Q real = 0 y y = (Q i) y (Q real) = 0 y F (y) = Q i Q real = 0 y y = (Q i) y 0 = 0 39

46 y Q i = y [g1 2 A 3 2 ] T 1 2 y Q i = g 1 T [ y Q i = g 1 2 y [A 3 2 T 1 2 y [A3 2] A 3 2 y [T1 2] ] T 1 2 ] y Q i = g 1 2 [ 3 2 A3 2 1 T 1 2 y [A] 1 2 T1 2 1 A 3 2 y [T] [T 1 2] 3 y Q i = g 1 2 A1 2 T 1 2 y [A] 1 2 T 1 2 A 3 2 y [T] 2 [ ] T 2 ] 3 y Q i = g 1 2 A1 2 T 1 2 y [A] 1 2 T 1 2 A 3 2 y [T] 2 [ ] T 3 y Q i = g 1 2 A1 2 T 1 2 y [A] 1 2 T 1 2 A 3 2 y [T] 2 [ ] T T 1 2 y Q i = g 1 2 [ 3 2 T T A1 2 y [A] 1 2 T T A3 2 y [T]] 1 2 y Q i = g 1 2 [T A1 2 1 [A] T 2 1 A y 2 y [T]] 40

47 y Q i = g 1 2 [T A1 2 y [A] T 3 2 A y [T]] y Q i = g 1 2 A 3 2 T 1 2 y Q i = g 1 2 A 3 2 [ 3 2 [A 1 ] y [A] 1 2 [T 1 ] y [T]] T 1 2 [ 3 2A y [A] 1 2T y [T]] y Q i = Q i [ 3 2A y [A] 1 2T y [T]] Se reemplazan los resultaos obtenios en las siguientes os expresiones: y i+1 = y i Q i Q real (Q i ) y 0 y i+1 = y i Q i Q real (Q i ) y Y se obtiene una expresión general para calcular la profunia crítica, y c, como se muestra a continuación: y i+1 = y i Q i Q real Q i [ 3 2A y [A] 1 2T y [T]] Ecuación 18 Expresión general para la profunia crítica en flujo normal con el métoo e Newton-Raphson Así, para el cálculo e la profunia crítica en canales e sección trapezoial, se eriva el área el ancho superficial con respecto a y, así: 41

48 ÁREA ANCHO SUPERFICIAL A T S. TRAPEZOIDAL (b + zy)y b + 2zy DERIVADAS y A y T 2yz + b Tabla 9 Derivaa el área y ancho superficial en la sección trapezoial Reemplazano los resultaos obtenios en la Tabla 9, y reemplazánolos en la ecuación 18, se obtiene: 2z y i+1 = y i Q i Q real Q i [ 3 1 2A [2yz + b] 2T [2z]] Ecuación 19 Profunia crítica para sección trapezoiall, con Newton-Raphson Canal Circular Se realiza el mismo proceimiento: se eriva el área y el ancho superficial para una sección circular y se reemplazan los resultaos en la ecuación 18. En el caso el canal con sección circular, existen os posibiliaes: erivar con respecto a y (que se constituye como la profunia crítica) o con respecto a θ (el ángulo imaginario que se forma entre la superficie el agua y el centro e la circunferencia). En too caso se realizan ambos proceimientos, como sigue a continuación: S. CÍRCULAR ÁREA A 1 (θ sin θ)2 8 y A DERIVADAS ANCHO SUPERFICIAL T (sin ( 1 2 θ)) = 2 y( y) y T 42

49 cos (2 cos 1 (1 2y )) (1 2y 2 ) θ A 2 ( cos(θ) + 1) 8 4sin ( 1 2 ) 1 (1 2y ) 2 = 2y y( y) θ T cos ( θ 2 ) Tabla 10. Derivaa el área y ancho superficial mojao en la sección circular 2 Por lo tanto, para aplicar el métoo e Newton-Raphson, se tienen os opciones, como se muestra a continuación: - Con respecto a y y i+1 = y i Q i [ 3 2A [ Q i Q real cos (2 cos 1 (1 2y )) (1 2y ) 2 ] 1 2T [ 2y y( y) ] ] Ecuación 20 Profunia crítica para sección circular erivano en y, con Newton-Raphson - Con respecto a θ: Q i Q real θ i+1 = θ i Q i [ 3 2A ( cos(θ) + 1) [2 8 ] 1 2T [cos ( θ 2 ) 2 ]] Ecuación 21 Profunia crítica para sección circular erivano en θ, con Newton-Raphson Como ocurre en la profunia normal para sección circular, es eviente que el proceso matemático sería más sencillo erivano y calculano los parámetros hiráulicos con respecto a θ. Si se calcula meiante la seguna opción, el valor obtenio se reemplaza en la ecuación 12 para calcular la profunia normal. 43

50 ENERGÍA ESPECÍFICA Del principio e la energía se puee eucir la siguiente expresión, asumieno α = 1.0 (coeficiente e energía), por razones e simplificación, en un canal aguas arriba e sección U y aguas ebajo e sección D, como sigue a continuación: (z bu + y U + V U 2 2g ) = (z bd + y D + V 2 D 2g ) + h L Done: z b = Elevación el fono el canal con respecto al atum horizontal y = Profunia e flujo V = Velocia promeio en la sección transversal g = Aceleración e la gravea h L = Peria e energía por unia e peso entre ambas secciones. Ilustración 3 Principio e energía para flujo uniforme. Fuente: (Akan, 2006, pág. 29) 44

51 Observaciones: - h L incluye perias ebio a la resistencia el flujo y a los cambios e la sección transversal. - Generalmente, z b se conoce como cabeza e elevación, y como cabeza e presión y V 2 /2g como cabeza e velocia. La suma e estos tres términos se conoce como cabeza total e energía y se enota por H. En otras palabras: H = z b + y + V2 2g - La línea que conecta la cabeza e energía a varias secciones a lo largo el canal se llama línea e graiente e energía, o simplemente línea e energía. La suma e la cabeza e elevación y e presión se conoce como cabeza hiráulica o cabeza piezométrica, y se enota por h. Esto es: h = z b + y - La línea que conecta la cabeza hiráulica a varios puntos a lo largo e la sección el canal se llama línea e graiente hiráulico o línea piezométrica. Para la mayoría el flujo e canales abiertos, la elevación el agua arriba el atum es la misma que la cabeza hiráulica, y la superficie el agua por sí misma representa la línea e graiente hiráulico. - La energía específica, enotaa por E, se efine como la cabeza e energía relativa al fono el canal. Por lo tanto, a cualquier sección el canal, se tiene: E = y + V2 2g Ecuación 22 Energía Específica 45

52 Ilustración 4 Cabeza e energía total, cabeza e energía hiráulica y energía específica. Fuente: (Akan, 2006, pág. 30) Cálculo e la profunia en cambio e sección en planta en canales rectangulares Ilustración 5. Cambio e sección en planta en canales rectangulares Las reucciones y ampliaciones en planta, pueen ser iseñaas aplicano el principio e energía. La energía específica en la sección 1 es igual a la energía específica en el puto 2, como sigue a continuación: E 1 = E 2 46

53 Consierano que se tiene un canal e sección rectangular, en one el caual ao es constante, se tiene: y 1 + V 1 2 2g = y 2 + V 2 2 2g y 1 + Q2 2A 1 2 g = y 2 + Q2 2A 2 2 g Reemplazano el área mojaa e una sección rectangular en la expresión anterior, según la Tabla 2, se tiene: y 1 + Q2 2b 1 2 y 1 2 g = y 2 + Q2 2b 2 2 y 2 2 g El primer término e la ecuación anterior se conoce y correspone a la energía específica en el punto 1. En el seguno miembro e la ecuación, el término esconocio es la profunia y 2 E 1 = y y 2 2 Q 2 2b 2 2 g E 1 y 2 = 1 y 2 2 Q 2 2b 2 2 g y 2 2 (E 1 y 2 ) = y 2 2 (E 1 y 2 ) = Q 2 2b 2 2 g Q 2 2b 2 2 g E 1 y 2 2 y 2 3 = Q2 2b 2 2 g 47

54 y 2 3 E 1 y Q2 2b 2 2 g = 0 Ecuación 23 Ecuación cúbica para la profunia e flujo en cambio e sección en plante en canales rectangulares Esta expresión resulta general para calcular la profunia alcanzaa en un cambio e sección en planta (reucción o ampliación) en canales rectangulares. Se ha hallao el métoo carano para resolver una ecuación cúbica. El siguiente apartao, se escribe el proceso matemático. Métoo Carano La fórmula cúbica es la solución e forma cerraa para una ecuación cúbica, es ecir, las raíces e un polinomio cúbico. Una ecuación cúbica general es e la forma x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 Se puee tomar el coeficiente a 3 e x 3 como 1 sin afectar la solución, al iviir la ecuación completa por a 3. La solución e la ecuación cúbica fue publicaa por Gerolamo Carano ( ) en su Tratao Ars Magna. Sin embargo, Carano no fue el escubrior original e estos resultaos, sino Niccolò Tartaglia. (Weisstein, s.f.) Para ar solución a esta ecuación, se efinen las siguientes variables: Q = 3a 1 a R = 9a 2a 1 27a 0 2a D = Q 3 + R 2 48

55 3 S = R + D 3 T = R D Ecuación 24 Parámetros e la Formula e Carano Done D es el iscriminante el polinomio. Entonces las raíces para la ecuación cúbica están aas por X 2 = a 2 3 X 3 = a 2 3 X 1 = a 2 3 (S + T) 2 (S + T) 2 + (S + T) + i 3(S T) 2 i 3(S T) 2 Ecuación 25 Formula e Carano Estas tres ecuaciones, por las que se obtienen las raíces e una ecuación cúbica, son generalmente llamaas la Formula e Carano. S y T son casi siempre números complejos. Si se esea eterminar cuáles raíces son reales y cuales son complejas, solo basta con analizar el iscriminante el polinomio, así: Si D > 0, entonces existe una raíz real y os son conjugaas complejas Si D = 0, entonces toas las raíces reales y al menos os son iguales. Si D < 0, entonces toas las raíces son reales y iferentes. Si se tiene que D < 0, se puee ar solución en forma trigonométrica, e la siguiente manera: Así, las soluciones reales son: θ = cos 1 ( R Q 3) 49

56 x 1 = 2 Q cos ( θ 3 ) a 2 3 x 2 = 2 Q cos ( θ + 2π ) a x 3 = 2 Q cos ( θ + 4π ) a Ecuación 26 Formula e Carano según solución trigonométrica Ahora es posible resolver la ecuación cúbica (Ecuación 23), aplicano las nuevas ecuaciones el moelo matemático e Carano con el moelo hiráulico e la energía específica en cambios e secciones en planta para canales rectangulares, así: x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 Tenieno en cuenta la ecuación 23 : y 2 3 E 1 y Q2 2b 2 2 g = 0 Tenieno en cuenta los parámetros e la Formula e Carano, según la ecuación 24, se tiene: a 2 = E 1 = (y 1 + Q2 2b 1 2 y 1 2 g ) a 1 = 0 a 0 = Q 2 2b 2 2 g Ecuación 27 Parámetros e la ecuación cúbica e la energía específica, con el M. Carano Luego, tenieno en cuenta los resultaos anteriores, se calculan los emás valores según lo muestran las ecuaciones 24 y

57 Es eviente que la solución a una ecuación cúbica arrojará tres soluciones matemáticas posibles, para las cuales, satisface la ecuación. Así, se hace necesario comprener éstas tres soluciones ese un punto e vista hiráulico. Se ebe consierar: - Esta aplicación e la energía específica en cambio e sección en planta para canales rectangulares, se realiza tenieno en cuenta que no existen aiciones o périas e caual. Es ecir, el caual se consiera constante, antes y espués e la reucción o ampliación. - El estao e flujo, según el número e Froue, ebe permanecer constante. Éste epene e la relación entre las fuerzas inerciales y gravitacionales. Al analizar la ecuación 15, ésta epene e tres variables, a ecir: el caual, la gravea y el ancho el canal, las cuales son constantes. - En base a los os puntos anteriores, en primer lugar la energía en ambos puntos e estuio, permanece constante. En seguno lugar, el estao e flujo (efinio por el número e Froue), también permanece constante. Se etermina entonces que la solución hiráulica para esta aplicación, es aquella que sigue tenieno el mismo estao e flujo en la sección previa a la ampliación o reucción. Es ecir, si en la sección 1, el estao era Subcrítico, en la sección 2, también lo será. Si en la sección 1 el estao era supercrítico, por consiguiente, permanecerá e la misma manera. 51

58 6 ESTADO DEL ARTE El iseño e canales abiertos se ha io automatizano con el tiempo. Hoy en ía existe un sinnúmero e software, páginas web y hojas e cálculo en la capacia e asistir y facilitar el esempeño e este tipo e prácticas. En esta revisión se puo encontrar estas herramientas eicaas al iseño e estructuras y obras hiráulicas, al iseño e canales abiertos y a la obtención e parámetros e iseño. Se tiene el software Hcanales V 3.0, esarrollao por el ingeniero peruano, Máximo Villón Béjar. En su libro lo efine como un Software para el iseño e canales y estructuras hiráulicas. Constituye una herramienta muy poerosa e cálculo, fácil e utilizar (Béjar, 2007, pág. 253) También está HiCalc V2.0.1, fue creao en 1999 y se actualiza perióicamente por sus creaores (Istec Ingeniería, empresa Uruguaya, que presta servicios e ingeniería). Se efine como una calculaora e hiráulica e canales abiertos para asistir a ingenieros o estuiantes e ingeniería hiráulica en el iseño e canales e agua. (ISTEC INGENIERIA, 2010) Flow Pro es otro programa que es una solución potente y precisa para los problemas e iseño hiráulico comunes. Se usa para iseñar fácilmente los cursos e agua libre en los canales, alcantarillas, canales e riego, sluiceways. (ProSoft App, 2016) Hiryaulic Toolbox, fue esarrollao por la Aministración Feeral e Carreteras (Feeral Highway Aministration, en inglés), en cooperación con Aquaveo. Es un conjunto e herramientas hiráulicas, que incluye una serie e calculaoras utilizaas para analizar canales, presas, canaletas y ensenaas, cuencas e retención, y graaciones e partículas. Hiryaulic Toolbox también incluye herramientas e análisis hirológico, como el métoo racional (Feeral Highway Aministration, 2016), (AQUAVEO, 2016) 52

59 FlowMaster es un programa esarrollao por Bently y ayua a realizar cálculos hiráulicos para muchos tipos e elementos: para tuberías a presión, cunetas, canales abiertos, presas y verteeros (Bently, 2016) LMNO Engineering es una página web, perteneciente a Ken Ewars, Ph.D., P.E, en la cual se pue realizar cálculos relacionaos con el Flujo en tuberías, canales abiertos, la hirología, las aguas subterráneas. Líquio, gas, agua, aire. Venturi, boquilla, caualímetros e orificio. Aliviaeros, canales e flujo. Rees e tuberías, golpe e ariete. Bernoulli, Manning, Mooy. Diseño e la alcantarilla, sifón invertio. Presión, flujo, caual, imensionamiento. Fuerza e arrastre. Volumen e tanques, el volumen e la tubería, la conversión e uniaes (Ewars, 2016) Por ser software eicaos a características generales en las prácticas e iseño en la hiráulica, estos programas no cumplen con las necesiaes específicas que se ha propuesto este proyecto. La mayoría e programas y/o herramientas informáticas solo pueen obtenerse por un tiempo e prueba. También hay muchas herramientas inepenientes iseñaas por personas y/o instituciones interesaas en llevar a cabo este tipo e prácticas, no obstante no llegan a ser comercializaos y, por ene, no es posible acceer a ellos. Tenieno en cuenta la revisión el estao el arte y analizano los pro y los contra e los software referenciaos, se esarrolló una herramienta informática propia que se aecuará a las necesiaes e la clase teórica e hiráulica, enfocaa a canales abiertos e la Universia e la Costa, cumplieno, a su vez, con lo establecio. Este software está en la capacia e ientificar las entraas para el análisis, que son los atos e caual las propieaes físicas el canal, requerias para los proceimientos e la herramienta informática acaémica. 53

60 Luego, se calculan los valores e profunia normal, crítica y aquella para los cambios e sección en planta e canales con sección rectangular. Finalmente se muestran los resultaos obtenios con el cálculo e los elementos geométricos referios a esa profunia. 54

61 7 DISEÑO METODOLOGICO TIPO DE INVESTIGACIÓN Tenieno en cuenta que el conocimiento está ao, y lo que se pretene es facilitar el aprenizaje el mismo en los estuiantes e la materia e hiráulica teórica e ingeniería civil, se puee ecir que el tipo e estuio es escriptivo, pues se busca que el estuiante investigue los temas e la hiráulica e canales abiertos que puean ser traucios en el lenguaje computacional e VBA. También se pue ecir que es un tipo e investigación e carácter aplicativo, pues se basa en la aplicación e los moelos el cálculo iferencia, programación y métoos numéricos, física, para esarrollar conceptos y aplicaciones en la hiráulica e canales abiertos. METODO DE ESTUDIO El métoo a utilizar es el euctivo, pues se parte e unos conocimientos generales e cálculo iferencial, programación y métoos numéricos y e la hiráulica e canales abiertos, los cuales se irán aaptano y aplicano para el esarrollo y comprensión e la respuesta o resultaos e los parámetros para iseñar un canal abierto. HERRAMIENTA INFORMATICA Para el esarrollo el software acaémico que permitirá obtener parámetros e iseño e canales abiertos, en la materia e hiráulica e la Universia e la Costa, se utilizará Microsoft Visual Basic para Aplicaciones y el lenguaje e macros e Microsoft Excel versión 4.0. Para cumplir con lo planteao, se lleva a cabo los siguientes procesos: - El usuario elige el móulo que requiere. - Entraa e atos e la geometría e los canales y/o características el flujo e agua. 55

62 - Se usarán los moelos matemáticos e hiráulicos para los cálculos solicitaos - El software está en la capacia e hallar la profunia normal, crítica, en los canales e sección rectangular, triangular, trapezoial y triangular y las profuniaes en cambios e sección en planta e canales rectangulares. - El programa mostrará en una interfaz los resultaos obtenios. 56

63 8 RECURSOS DISPONIBLES Los recursos isponibles se ivien en talento humano, recurso institucional y recurso financiero TALENTO HUMANO Se cuenta con el integrante Kevin Davi García Alvarao. Para la realización e este proyecto se cuenta a los ingenieros: GERALD MESTRA RODRIGUEZ. INSTITUCIONALES La biblioteca e la Corporación Universitaria e la Costa, la colaboración e los profesores e la misma y la ayua el servicio e Internet que la universia tiene para los estuiantes. FINANCIEROS Para la realización el proyecto se cuenta con recursos suministraos por los integrantes el proyecto. La siguiente tabla muestra el presupuesto necesario para el esarrollo el proyecto Descripción Valor Transporte Fotocopias e Impresiones Acceso a la Web TOTAL

64 9 Referencias Akan, A. O. (2006). Open Channel Hyraulics. Oxfor: ELSEVIER. AQUAVEO. (2016). Hyraulic Toolbox. Obtenio e Béjar, M. V. (2007). HIDRÁULICA DE CANALES. Lima, Perú: Eitorial Villón. Bently. (2016). FlowMaster. Obtenio e Hyraulic Calculator Software: Chow, V. T. (1994). Hiráulica e Canales Abiertos. Santa Fé e Bogotá: McGraw, Hill. Ewars, K. (2016). LMNO Engineering, Research, an Software, Lt. Obtenio e The flui flow calculations website: Feeral Highway Aministration. (2016). FHWA Hyraulic Toolbox, Version Obtenio e ISTEC INGENIERIA. (2010). HiCalc - Software para resolver flujos e agua en canales abiertos. Obtenio e ProSoft App. (2016). Flow Pro 2.1. Obtenio e Weisstein, E. W. (s.f.). "Cubic Formula". Obtenio e From MathWorl--A Wolfram Web Resource: 58

65 ANEXO 1. COEFICIENTES PARA LA ECUACIÓN DE MANNING 59

66 Tipo e canal y escripción Mínimo Normal Máximo A. Conuctos cerraos que fluyen parcialmente llenos A-1. Metal a. Latón, liso b. Acero 1. Estriao y solao Ribeteao y en espiral c. Hierro Funio 1. Recubierto No recubierto Hierro Forjao 1. Negro Galvanizao e. Metal corrugao 1. Subrenaje Drenaje e aguas lluvias A-2. No metal a. Lucita b. Virio c. Cemento 1. Superficie pulia Mortero Concreto 1. Alcantarilla, recta y libre e basuras Alcantarilla con curvas, conexiones y algo e basura Bien terminao Alcantarillao e aguas resiuales, con pozos e inspección, entraas, etc., recto Sin pulir, formaleta o encofrao metálico Sin pulir, formaleta o encofrao en maera lisa Sin pulir, formaleta o encofrao en maera rugosa e. Maera 1. Machihembraa Laminaa, trataa f. Arcilla 1. Canaleta común e balosas Alcantarilla vitrificaa Alcantarilla vitrificaa con pozos e inspección, entraas, etc Subrenaje vitrificao con juntas abiertas g. Mampostería en larillo 1. Barnizaa o lacaa Revestia con mortero e cemento h. Alcantarillaos sanitarios recubiertos con limos y babas e aguas resiuales, con curvas y conexiones

67 i. Alcantarillao con batea pavimentaa, fono liso j. Mampostería e piera, cementaa Tipo e canal y escripción Mínimo Normal Máximo B. Canales revestios o esarmables B-1. Metal a. Superficie lisa e acero 1. Sin pintar Pintaa b. Corrugao B-2. No metal a. Cemento 1. Superficie pulia Mortero b. Maera 1. Cepillaa, sin tratar Cepillaa, creosotaa Sin cepillar Láminas con listones Forraa con papel impermeabilizante c. Concreto 1. Terminao con llana metálica (palustre) Terminao con llana e maera Pulio, con gravas en el fono Sin pulir Lanzao, sección buena Lanzao, sección onulaa Sobré roca bien excavaa Sobre roca irregularmente excavaa Fono e concreto terminao con llana e maera y con laos e 1. Piera labraa, en mortero Piera sin seleccionar, sobre mortero Mampostería e piera cementaa, recubierta Mampostería e piera cementaa Piera suelta o riprap e. Fono e gravas con laos e 1. Concreto encofrao Piera sin seleccionar, sobre mortero Piera suelta o riprap f. Larillo 1. Barnizao o lacao En mortero e cemento g. Mampostería 1. Piera partia cementaa Piera suelta h. Bloques e piera labraos i. Asfalto 61

68 3. Liso Rugoso j. Revestimiento vegetal Tipo e canal y escripción Mínimo Normal Máximo C. Excavao o ragao a. En tierra, recto y uniforme 1. Limpio, recientemente terminao Limpio, espués e exposición a la intemperie Con gravas, sección uniforme, limpio Con pastos cortos, algunas malezas b. En tierra, serpenteante y lento 1. Sin vegetación Pastos, algunas malezas Malezas ensas o plantas acuáticas en cañales profunos Fono en tierra con laos en piera Fono peregoso y bancas con malezas Fono en cantos roaos y laos limpios c. Excavao con pala o ragao 1. Sin vegetación Matorrales ligeros con las bancas Cortes en roca 1. Lisos y uniformes Afilaos e irregulares e. Canales sin mantenimiento, malezas y matorrales sin cortar 1. Malezas ensas, tan altas como la profunia e flujo Fono limpio, matorrales en los laos Igual, nivel máximo e flujo Matorrales ensos, nivel alto D. Corrientes naturales D-1. Corrientes menores (ancho superficial en nivel creciente < 100 pies a. Corrientes en planicies 1. Limpias, rectas, máximo nivel, sin montículos ni pozos profunos Igual al anterior, pero con más pieras y malezas Limpio, serpenteante, algunos pozos y bancos e arena Igual al anterior, pero con algunos matorrales y pieras Igual al anterior, niveles bajos, penientes ý secciones más ineficientes Igual al 4, pero con más pieras Tramos lentos, con malezas y pozos profunos

69 8. Tramos con muchas malezas, pozos profunos o canales e crecientes con muchos árboles con matorrales bajos b. Corrientes montañosas, sin vegetación en el canal, bancas usualmente empinaas, árboles y matorrales a lo largo e las bancas sumergias en niveles altos Tipo e canal y escripción Mínimo Normal Máximo 1. Fono: gravas, cantos roaos y algunas rocas Fono: cantos roaos con rocas granes D-2. Planicies e inunación a. Pastizales, sin matorrales 1. Pasto corto Pasto alto b. Áreas cultivaas 1. Sin cultivo Cultivos en línea mauros Campos e cultivo mauros c. Matorrales 1. Matorrales ispersos, mucha maleza Pocos matorrales y árboles, en invierno Pocos matorrales y árboles, en verano Matorrales meios a ensos, en invierno Matorrales meios a ensos, en verano Árboles 1. Sauces ensos, rectos y en verano Terreno limpio, con troncos sin retoños Igual que el anterior, pero con una gran cantia e retoños Gran cantia e árboles, algunos troncos caíos, con poco crecimiento e matorrales, nivel el agua por ebajo e las ramas Igual al anterior, pero con nivel e creciente por encima e las ramas D-3. Corrientes mayores (ancho superficial en nivel e creciente > 1OO pies). Ei valor e n es menor que el corresponiente a corrientes menores con escripción similar, ebio a que las bancas ofrecen resiencia menos efectiva a. Sección regular, sin cantos roaos ni matorrales b. Sección irregular y rugosa Tabla 11 Coeficientes e rugosia e Manning Fuente: (Chow, 1994, págs ) 63

70 ANEXO 2. DESARROLLO DEL ALGORITMO SECCIÓN CUADRADA - Yn SECCIÓN CUADRADA - Yn Function Yn(Qreal, b, n, S, g, Tol) Dim contaor, Yi, Yii, Error, A, P, R, Qi, Factor Yi = 1 contaor = 0 While (contaor = 0) A = b * Yi P = b + 2 * Yi R = A / P Qi = (1 / n) * (R ^ (2 / 3)) * (S ^ (1 / 2)) * (A) Factor = ((5 * b) / (3 * A)) - (4 / (3 * P)) Yii = Yi - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Error = Abs(Qi - Qreal) If (Error <= Tol) Then Yn = Yii contaor = contaor + 1 Else contaor = contaor + 0 Yi = Yii En If Wen En Function 64

71 SECCION TRIANGULAR - Yn Function Yn(Qreal, z, n, S, g, Tol) Dim contaor, Yi, Yii, Error, A, P, R, Qi, Factor //No se necesita un proceso iterativo para obtener la profunia normal en canales triangulares //Sin embargo aquí se coloca a manera e ejemplo. Yi = 1 contaor = 0 While (contaor = 0) A = z * Yi ^ 2 P = 2 * Yi * (1 + z ^ 2) ^ (1 / 2) R = A / P Qi = (1 / n) * (R ^ (2 / 3)) * (S ^ (1 / 2)) * (A) Factor = ((10 * Yi * z ^ 2) / (3 * A)) - ((4 * (z ^ 2 + 1) ^ (1 / 2)) / (3 * P)) Yii = Yi - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Error = Abs(Qi - Qreal) If (Error <= Tol) Then Yn = Yii contaor = contaor + 1 Else contaor = contaor + 0 Yi = Yii En If Wen En Function 65

72 SECCION TRAPEZOIDAL - Yn Function Yn(Qreal, b, z, n, S, g, Tol) Dim contaor, Yi, Yii, Error, A, P, R, Qi, Factor Yi = 1 contaor = 0 While (contaor = 0) A = (b + z * Yi) * Yi P = b + 2 * Yi * ((1 + (z ^ 2)) ^ (1 / 2)) R = A / P Qi = (1 / n) * (R ^ (2 / 3)) * (S ^ (1 / 2)) * (A) Factor = ((5 * ((2 * Yi * z) + b)) / (3 * A)) - ((4 * ((1 + (z ^ 2)) ^ (1 / 2))) / (3 * P)) Yii = Yi - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Error = Abs(Qi - Qreal) If (Error <= Tol) Then Yn = Yii contaor = contaor + 1 Else contaor = contaor + 0 Yi = Yii En If Wen En Function 66

73 SECCION CIRCULAR Yn Con respecto a Y Function Yn(Qreal,, z, n, S, g, Tol) Dim Dlleno, contaor, Yi, Yii, Error, A, P, R, Qi, Factor, fac, fac1, teta Dlleno = (((Qreal * n) / (S ^ (1 / 2))) ^ (3 / 8)) * (((4 ^ (5 / 3)) / (4 * Atn(1))) ^ (3 / 8)) Yi = / 2 If ( <= Dlleno) Then Yn = "El conucto no puee contener el flujo. Incremente el iámetro o isminuya el caual" Else contaor = 0 While (contaor = 0) fac = (1-2 * (Yi / )) 'fac es el angulo interno e teta=2+cos (fac) teta = 2 * (Atn(-fac / Sqr(-fac * fac + 1)) + 2 * Atn(1)) A = (1 / 8) * (teta - Sin(teta)) * ^ 2 P = (1 / 2) * teta * R = A / P Qi = (1 / n) * (R ^ (2 / 3)) * (S ^ (1 / 2)) * (A) 2))) Factor = ((5 / (3 * A)) * (((-Cos(teta) + 1) / (2 * Sqr(1 - fac ^ 2))) * )) - (4 / (3 * P * Sqr(1 - fac ^ Yii = Yi - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Error = Abs(Qi - Qreal) If (Error <= Tol) Then Yn = Yii contaor = contaor + 1 Else contaor = contaor

74 Yi = Yii En If Wen En If En Function Function ArcCos(x As Double) As Double ' Arcocoseno ArcCos = Atn(-x / Sqr(-x * x + 1)) + 2 * Atn(1) En Function SECCION CIRCULAR Yn Con respecto a θ Function Yn(Qreal,, z, n, S, g, Tol) Dim Dlleno, teta, contaor, A, P, A, P, Factor, Qi, tetaii, Ea, tetan Dlleno = (2 ^ (5 / 4)) * ((Qreal * n) / ((4 * Atn(1)) * (S ^ 0.5))) ^ (3 / 8) teta = 4 * Atn(1) If ( <= Dlleno) Then Yc = "El conucto no puee contener el flujo. Incremente el iámetro o isminuya el caual" Else While (contaor = 0) A = (1 / 8) * (teta - Sin(teta)) * ( ^ 2) P = 0.5 * teta * A = (1 / 8) * ( ^ 2) * (1 - Cos(teta)) P = 0.5 * Factor = ((5 / (3 * A)) * A) - ((2 / (3 * P)) * P) Qi = (1 / n) * A * ((A / P) ^ (2 / 3)) * (S ^ 0.5) tetaii = teta - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Ea = Abs(tetaii - teta) 68

75 If (Ea <= Tol) Then contaor = contaor + 1 tetan = tetaii Else contaor = contaor + 0 teta = tetaii En If Wen Yn = ( / 2) * (1 - Cos(tetan / 2)) En If En Function SECCION RECTANGULAR YC Function Yc(Q, g, b) Yc = (Q / (b * (g ^ 0.5))) ^ (2 / 3) En Function SECCION TRIANGULAR YC Function Yc1(Q, g, b) Yc1 = ((Q * 2 ^ 0.5) / (Z * g ^ 0.5)) ^ (2 / 5) En Function SECCION TRAPEZOIDAL YC Function yc(qreal, b, z, n, S, g, Tol) Dim y, contaor, A, T, A, T, Factor, Qi, yii, Ea y = 1 While (contaor = 0) A = (b + z * y) * y T = b + 2 * z * y 69

76 A = 2 * z * y + b T = 2 * z Factor = ((3 / (2 * A)) * A) - ((1 / (2 * T)) * T) Qi = (g * ((A ^ 3) / (T))) ^ (1 / 2) yii = y - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Ea = Abs(yii - y) If (Ea <= Tol) Then contaor = contaor + 1 yc = yii Else contaor = contaor + 0 y = yii En If Wen En Function SECCIÓN CIRCULAR Yc CON RESPECTO A TETA Function Yc(Qreal,, z, n, S, g, Tol) Dim Dlleno, teta, contaor, A, T, A, T, Factor, Qi, tetaii, Ea, teta Dlleno = (2 ^ (5 / 4)) * ((Qreal * n) / ((4 * Atn(1)) * (S ^ 0.5))) ^ (3 / 8) teta = 4 * Atn(1) If ( <= Dlleno) Then Yc = "El conucto no puee contener el flujo. Incremente el iámetro o isminuya el caual" Else While (contaor = 0) A = (1 / 8) * (teta - Sin(teta)) * ( ^ 2) T = (Sin(0.5 * teta)) * 70

77 A = (1 / 8) * ( ^ 2) * (1 - Cos(teta)) T = 0.5 * * Cos(teta / 2) Factor = ((3 / (2 * A)) * A) - ((1 / (2 * T)) * T) Qi = (g * ((A ^ 3) / (T))) ^ (1 / 2) tetaii = teta - ((Qi - Qreal) / (Qi * Factor)) Ea = Abs(tetaii - teta) If (Ea <= Tol) Then contaor = contaor + 1 tetac = tetaii Else contaor = contaor + 0 teta = tetaii En If Wen Yc = ( / 2) * (1 - Cos(tetac / 2)) En If En Function CAMBIO DE SECCIÓN RECTANGULAR Function Ycs(y_1, Q, b_1, g, b_2) Dim a_2, a_1, a_0, Q_0, R_0, D_0, x, teta, x_1, x_2, x_3 As Double Dim F_0, F_1, F_2, F_3 As Double Dim Estao, Estao_1, Estao_2, Estao_3 As String F_0 = Q / ((g * (((b_1 * y_1) ^ 3) / (b_1))) ^ (1 / 2)) If F_0 > 1 Then Estao = "Supercritico" Else 71

78 If F_0 < 1 Then Estao = "Subcritico" En If En If a_2 = -(y_1 + (Q ^ 2) / (2 * ((b_1) ^ 2) * ((y_1) ^ 2) * g)) a_1 = 0 a_0 = (Q ^ 2) / (2 * ((b_2) ^ 2) * g) Q_0 = ((3 * (a_1)) - ((a_2) ^ 2)) / (9) R_0 = ((9 * (a_2) * (a_1)) - (27 * (a_0)) - (2 * (a_2) ^ 3)) / (54) D_0 = ((Q_0) ^ 3) + ((R_0) ^ 2) If (D_0 < 0) Then x = (R_0) / ((-(Q_0) ^ 3) ^ (1 / 2)) teta = Atn(-x / Sqr(-x * x + 1)) + 2 * Atn(1) x_1 = 2 * ((-(Q_0)) ^ (1 / 2)) * Cos((teta) / 3) - ((a_2) / 3) x_2 = 2 * ((-(Q_0)) ^ (1 / 2)) * Cos((teta + 2 * (4 * Atn(1))) / 3) - ((a_2) / 3) x_3 = 2 * ((-(Q_0)) ^ (1 / 2)) * Cos((teta + 4 * (4 * Atn(1))) / 3) - ((a_2) / 3) If (x_1 > 0) Then F_1 = Q / ((g * (((b_2 * x_1) ^ 3) / (b_2))) ^ (1 / 2)) If F_1 > 1 Then Estao_1 = "Supercritico" Else If F_1 < 1 Then Estao_1 = "Subcritico" En If En If Else 72

79 Estao_1 = "Solución negativa" En If If (x_2 > 0) Then F_2 = Q / ((g * (((b_2 * x_2) ^ 3) / (b_2))) ^ (1 / 2)) If F_2 > 1 Then Estao_2 = "Supercritico" Else If F_2 < 1 Then Estao_2 = "Subcritico" En If En If Else Estao_2 = "Solución negativa" En If If (x_3 > 0) Then F_3 = Q / ((g * (((b_2 * x_3) ^ 3) / (b_2))) ^ (1 / 2)) If F_3 > 1 Then Estao_3 = "Supercritico" Else If F_3 < 1 Then Estao_3 = "Subcritico" En If En If Else Estao_3 = "Solución negativa" En If 73

80 If (Estao = Estao_1) Then Ycs = x_1 Else If (Estao = Estao_2) Then Ycs = x_2 Else If (Estao = Estao_3) Then Ycs = x_3 En If En If En If Else If (D_0 > 0) Then Ycs = "Existe una raíz real y os son complejas" Else If (D_0 = 0) Then Ycs = "Toas las raices son reales y al menos os son iguales" En If En If En If En Function 74

81 ANEXO 3. PROGRAMA EN VBA 75

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85 RESUMEN En este proyecto se crea una herramienta informática en VBA (Excel) para el cálculo e la profunia normal y crítica en canales abiertos e sección rectangular, triangular, trapezoial y circular. Así también se esarrolló un móulo para el cálculo e la profunia normal en un canal e sección rectangular cuano ocurre un cambia e sección en planta. Para ello se recurrió a las ciencias básicas, como es el cálculo iferencial, para obtener las erivaas e caa función generaa, a la programación y métoos numéricos, para la solución e ecuaciones matemáticas e graos superiores y creación e un cóigo en el lenguaje e VBA, a través e una interfaz para el ingreso y resultao e atos. Palabras Claves: canales abiertos, profunia normal, profunia crítica, sección rectangular, sección triangular, sección circular. ABSTRACT In this project is create computer tool in VBA (Excel) for calculating normal an critical epth in open rectangular, triangular, trapezoial an circular channels. An a moule for calculating normal epth in a rectangular section channel is also evelope when a change occurs groun plan section. For this it turne to the basic sciences, such as ifferential calculus, to obtain the erivative of each function that was generate, the programming an numerical methos for solving mathematical equations of higher egrees an finally, the creatiation coe in the language of VBA through an interface for ata entry an result. Keywors: open channels, normal epth, critical epth, rectangular section, triangular section, circular section.

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