Investigación de Operaciones I Certamen # 1

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1 Investigación de Operaciones I Certamen # Profesores: Carlos Castro & Esteban Sáez 05 de septiembre de 003. Un importador de whisky está planificando su negocio considerando que en las próximas temporadas tendrá las siguientes demandas (en miles de botellas): Tipo Temporadas 3 4 Seco Frutoso Añejo 5 9 El whisky seco lo vende a 34 unidades monetarias por botella, el frutoso a 8, 5 y el añejo a, 5, en las primeras dos temporadas. En las siguientes temporadas se espera poder venderlos en un 5 % más caro. Cada tipo de whisky es elaborado mezclando tres materias primas, A, B y C, de las cuales puede importar un máximo de 000, 500 y 00 botellas por temporada a un costo de 35, 5 y 0 unidades monetarias, respectivamente. Estos costos, válidos para la primera temporada, deberían aumentar un % en cada temporada. El whisky seco debe contener por lo menos un 60 % de la materia prima y no más de un 0 % de la materia prima 3, el frutoso debe contener por lo menos un 5 % de la materia prima y no más de un 60 % de la materia prima 3, y el añejo debe contener por lo menos un 50 % de la materia prima. Cada botella de whisky fabricada en una temporada puede ser vendida en dicha temporada o almacenada a un costo unitario por temporada de 0, 5 unidad monetaria para ser vendida posteriormente. Formule un modelo de programación lineal que permita optimizar las actividades del importador. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones.. Considere el siguiente modelo de programación lineal: Max z = 3 x + x Sujeto a x 6 x 8 x + x 0 x + x 4 x, x 0 Los coeficientes de la función objetivo representan la utilidad asociada a la venta de dos productos, x y x, respectivamente. Las dos primeras restricciones se refieren a límites de demanda y las dos restantes se refieren a la utilización de dos recursos del proceso productivo.

2 . Encuentre la solución óptima utilizando el método gráfico.. A partir de la solución óptima encontrada en construya el tableau final. 3. Es posible aumentar en la utilidad asociada a un artículo (uno sólo). Considerando que variar el programa de producción determinado en implica un costo fijo de, qué recomendaría? 4. Considerando que es posible comprar hasta unidades de uno de los recursos utilizados en el proceso productivo a un costo de 4 la unidad, qué recomendaría? 3. Tres estanques cilíndricos de agua deben ser instalados para abastecer tres puntos. El primer punto requiere 5 mil litros de agua mensuales. El segundo, que está ubicado 75 millas al este y 330 millas al norte del primero, requiere 4 mil litros mensuales. El tercer punto, que está a 5 millas al oeste y 40 millas al sur del primero, requiere 34 mil litros mensuales. Cada estanque debe tener una capacidad mínima de 0 mil litros de agua y una capacidad máxima de 40 mil litros de agua. El metal a utilizar en la construcción de la parte superior y los costados de los estanques cuesta US$50 por metro cuadrado y el metal más denso para la base cuesta U S$00 por metro cuadrado. Consideraciones de diseño sugieren que la altura de un estanque no debe ser superior a dos veces su diámetro. Se considera construir un pozo de donde se extraerá el agua para abastecer los estanques. Las cañerías que se utilizarán para llevar el agua desde el pozo a cada estanque y desde cada estanque a cada punto tienen un costo de US$0 por metro lineal. Por último, las cañerías desde los estanques a los puntos deben transportar por lo menos el 0 % del agua de su estanque de origen y por lo menos el 5 % del agua que llega a su punto de destino. Formule un modelo de programación no lineal que permita determinar la ubicación del pozo y la ubicación y las dimensiones de cada uno de los estanques de agua que minimizan los costos totales. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 4. Se ha desarrollado el siguiente programa de trabajo para la ejecución de un proyecto: Actividad Predecesoras Duración [días] Varianza A - 3 0, B - 0, C A, B 0, D B 0, E C, D 3 0, F B, E 0, G C, D 5 0,3 H C, D, F, G 0,05 I F, G 0, J H, I 0,05 K H, I 0,05 L K 0,05 M J, L 0. (30 %) Grafique la malla del proyecto e identifique la ruta crítica. Obtenga la duración esperada y la varianza del proyecto.. (70 %) Un nuevo requerimiento exige que el proyecto sea terminado menos de 4 días. La multa por no terminar el proyecto en este plazo asciende a US$5000. Para evitar el pago de la multa Ud. piensa acelerar la ejecución de hasta 4 actividades contratando personal adicional. El costo de acelerar cada actividad, su duración acelerada y la varianza de cada actividad acelerada se muestra en la siguiente tabla: Certamen # Página

3 Actividad Costo de aceleración [U S$] Duración Acelerada [días] Varianza A , B 000,5 0, C ,05 D , E 000 0,5 F 000 0, G , H 000 0,5 0 I , J 000 0, K 000 0,5 0 L 500 0,5 0 M - 0 Aceleraría algunas actividades? Cuáles? Instrucciones: Responda cada pregunta en una hoja separada identificada con nombre y rol UTFSM. En caso de no responder una pregunta entregue una hoja en blanco bien identificada. Escriba las respuestas con tinta para tener derecho a eventuales recorrecciones. Ponderación de cada pregunta: Pregunta Porcentaje 5 % 5 % Tiempo: 50 minutos. 3 5 % No se permite ningún material de apoyo. 4 5 % Certamen # Página 3

4 Pauta de corrección. Variables: x ijk = cantidad de materia prima k para fabricar whisky i en temporada j y ij = cantidad de whisky tipo i vendido en temporada j z ij = cantidad de whisky tipo i almacenado en temporada j Función objetivo: máx 4 ( + (j ) 0,05) (34y j + 8,8y j +,5y 3j ) j= ( + (j ) 0,0) (35x ija + 5x ijb + 0x ijc ) 0,5 j= i= j= i= 3 z ij Restricciones: Disponibilidad de materia prima: Venta máxima por temporada: 3 x ija 000 j =... 4 i= 3 x ijb 500 j =... 4 i= 3 x ijc 00 j =... 4 i= Proporciones de materias primas: y 0 y y 3 4 y 4 8 y 3 y 5 y 3 7 y 4 9 y 3 y 3 5 y 33 9 y 34 x ja 0,6 x jc 0, x ja 0,5 x jc 0,6 x 3jB 0,5 x jk j =... 4 x jk j =... 4 x jk j =... 4 x jk j =... 4 x 3jk j =... 4 Certamen # Página 4

5 Producción, ventas y almacenaje por temporada: x ik = y i + z i i =... 3 x ik + z i = y i + z i i =... 3 x i3k + z i = y i3 + z i3 i =... 3 x i4k + z i3 = y i4 i =... 3 Naturaleza de las variables: x ijk 0 i, j, k y ij, z ij 0 i, j Certamen # Página 5

6 .. (0 %) Graficando las restricciones se obtiene: 4 x 0 8 F E 6 D 4 C A B Por lo tanto los candidatos a óptimo son: x x x z A B C 6 D 4 6 E 8 F Por lo tanto el punto óptimo es D, con x = 4, x = 6 y z =.. (30 %) Estandarizando las restricciones se obtiene: x + s = 6 x + s = 8 x + x + s 3 = 0 x + x + s 4 = 4 Luego, la base óptima queda: (x, x, s, s, s 3, s 4 ) = (4, 6,,, 0, 0) Mediante operaciones fila es preciso dejar sólo una variable basal en cada fila. Restando la tercera fila a la cuarta fila se obtiene: x + s = 6 x + s = 8 x + x + s 3 = 0 x s 3 + s 4 = 4 Certamen # Página 6

7 Restando la cuarta fila a la primera: s + s 3 s 4 = x + s = 8 x + x + s 3 = 0 x s 3 + s 4 = 4 Restando la cuarta fila a la tercera: s + s 3 s 4 = x + s = 8 x + s 3 s 4 = 6 x s 3 + s 4 = 4 Finalmente, restando la tercera fila a la segunda: Por lo tanto el tableau óptimo queda: s + s 3 s 4 = s s 3 + s 4 = x + s 3 s 4 = 6 x s 3 + s 4 = 4 x x s s s 3 s 4 Base c j, b i s s x x, z j, ,5 0,5 c j z j ,5 0,5 En forma alternativa se puede construir el tableau a partir de análisis de sensibilidad de los coeficientes del lado derecho, desplazando las restricciones. 3. (0 %) Incrementando el valor del coeficiente de x : x x s s s 3 s 4 Base c j,5 + δ b i s s x x,5 + δ z j,5 + δ 0 0 0,5 δ 0,5 + δ + 4δ c j z j ,5 + δ 0,5 δ Si el incremento es positivo, para mantener la base se debe cumplir que: 0,5 + δ 0 δ Certamen # Página 7

8 Por lo tanto sólo se genera una solución alternativa y el efecto sobre la función objetivo queda: = 6. Como el costo del aumento es, el efecto neto es nulo respecto del valor de la función objetivo. Incrementando el valor del coeficiente de x : x x s s s 3 s 4 Base c j,5 + δ b i s s x + δ x, z j,5 + δ 0 0 0,5 + δ 0,5 δ + 6δ c j z j ,5 δ 0,5 + δ Si el incremento es positivo, para mantener la base se debe cumplir que: 0,5 + δ 0 δ Por lo tanto sólo se genera una solución alternativa y el efecto sobre la función objetivo queda: = 7. Como el costo del aumento es, el efecto neto es una unidad respecto del valor de la función objetivo por lo que conviene en x. 4. (30 %) Incremento en la primera restricción. Como la variable está en la base no tiene sentido el aumento. Incremento en la segunda restricción. Como la variable está en la base no tiene sentido el aumento. Incremento en la tercera restricción. El aumento en unidades cambia la base óptima. Se realiza en primer lugar un incremento unitario: = Como el tableau se degenera y aún falta agregar una unidad, se incorpora a la base la variable s 3 en lugar de la variable degenerada s. El incremento de la función objetivo hasta ahora es z + = 0,5 = 0, x x s s s 3 s 4 Base c j, b i s ,5 0 0,5 3 s ,5 0,5 x x, ,5 0 0,5 3 z j,5 0 0,5 0 0,75,5 c j z j ,5 0 0,75 Como el nuevo tableau es óptimo, no hay incremento adicional en la función objetivo. Como el costo es 4 la unidad, la función objetivo queda: z =,5 4 =. Luego, el efecto neto es nulo y no conviene. Incremento en la cuarta restricción = Certamen # Página 8

9 Si bien la base se degenera, no hay cambio en las variables basales. De acuerdo al costo de oportunidad o bien evaluando directamente la solución, el valor de la función objetivo queda: z = 4 +,5 6 = 3. Como el costo es 4 la unidad, la función objetivo queda: z = 3 4 =,5, es decir, el efecto neto es positivo y es la mejor decisión. Certamen # Página 9

10 3. Certamen # Página 0

11 4.. Dibujando la malla se determina la ruta crítica: (0, 3) [0, 3] (0, ) [, 3] A B 3 (, 4) [3, 5] (3, 5) [3, 5] C D(5, 8) [5, 8] 4 5 E 7 (5, 0) [5, 0] G (8, 0) [8, 0] 6 F (0, ) [, ] I H (0, ) [0, ] 8 (, 4) [, 4] J K (, 3) [, 3] 0 L (3, 4) 9 [3, 4] M (4, 6) [4, 6] Luego, la duración esperada del proyecto es de µ T = 6 días. Las rutas críticas son: A C G I J M V T = V A + V C + V G + V I + V J + V M = 0,85 A C E F I J M V T = V A + V C + V E + V F + V I + V J + V M = 0,95 A C G I K L M V T = V A + V C + V G + V I + V K + V L + V M = 0,90 A C E F I K L M V T = V A + V C + V E + V F + V I + V K + V L + V M =,00 Por lo tanto, la varianza del proyecto es: σ T = [día ].. El problema se puede plantear desde el punto de vista de minimización de los costos esperados. Condiciones originales: Costo esperado = 0 IP (t < 4) ( IP (t < 4)) ( ) ( ( )) 4 µt 4 µt = 0 Φ Φ σ T σ T ( ) ( ( )) = 0 Φ Φ = 0 0, ( 0,03) = US$ 4655 Aceleración de una actividad. Para conseguir una aceleración efectiva del proyecto conviene acelerar la ruta crítica. Entre acelerar la actividad A o C, C es de menor costo (US$3000 un día). Para acelerar la ruta entre los nodos 4 y 6 habría que acelerar simultáneamente G y E y/o F. Seleccionando G y E o G y F se tiene un costo por un día de = US$4000. Para acelerar la ruta entre los nodos 6 y 8 sólo existe la posibilidad de acelerar I a un costo de Para acelerar la ruta entre los nodos 8 y 0 habría que acelerar simultáneamente J y K y/o L. Para conseguir una reducción de un día sería necesario seleccionar las 3 actividades, a un costo de = US$3500 por un día. La actividad M no puede ser acelerada. Luego, la aceleración de menor costo es la actividad C. En estas condiciones se obtiene: Certamen # Página

12 (0, 3) [0, 3] (0, ) [0, ] A B 3 (, 4) [, 4] (3, 4) [3, 4] C D(4, 7) [4, 7] 4 5 E (4, 9) [4, 9] G (7, 9) [7, 9] F 7 6 (9, 0) [0, ] I H (9, ) [9, ] 8 (, 3) [, 3] J K (, ) [, ] 0 L (, 3) 9 [, 3] M (3, 5) [3, 5] Costo esperado = 3000 IP (t < 4) ( IP (t < 4)) ( ) ( ( )) 4 µt 4 µt = 3000 Φ Φ σ T σ T ( ) ( ( )) = 3000 Φ Φ 0,95 0,95 = , ( 0,53) = US$ 5705 Acelerar una actividad no mejora el costo esperado, pero es posible acelerar hasta 4 actividades. Aceleración de más de una actividad. En este caso las opciones de aceleración son las mismas, pero debido a la nueva configuración de la ruta crítica se agrega la opción de acelerar simultáneamente las actividades A y D. Esta opción costaría US$8000 por un día. De las opciones disponibles, la mejor opción es acelerar J, K y L a un costo de US$3500 un día. Luego: (0, 3) [0, 3] (0, ) [0, ] A B 3 (, 4) [, 4] (3, 4) [3, 4] C D(4, 7) [4, 7] 4 5 E (4, 9) [4, 9] G (7, 9) [7, 9] F 7 6 (9, 0) [0, ] I H (9, ) [9, ] 8 (, ) [, ] J K (,,5) [,,5] 0 L (,5, ) 9 [,5, ] M (, 4) [, 4] Costo esperado = 6500 IP (t < 4) ( IP (t < 4)) ( ) ( ( )) 4 µt 4 µt = 6500 Φ Φ σ T = , ( 0,5) = US$ 4000 Como sólo se permite acelerar 4 actividades, el valor esperado anterior es el menor posible. Luego, conviene acelerar las actividades C, J, K y L. σ T Certamen # Página