PRINCIPIO UNICO DE LAS TEORIAS FISICAS

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1 PRINCIPIO UNICO DE LAS TEORIAS FISICAS La FISICA ES EL CONJUNTO DE CONOCIMIENTOS ongruentes on iertos eos reales. Su punto de arranque y de referenia es la experimentaión. Desonetado del experimento, el onoimiento físio aree de sentido. Los eos reales proporionan un onoimiento que el ombre utiliza omo punto de partida o proposiiones fundamentales, que llamamos prinipios,.a los uales es neesario darles una formulaión matemátia, lenguaje a partir del ual se obtienen onlusiones, inferenias, e impliaiones que resultan en prediiones sobre resultados de nueas obseraiones y experimentos. Estas onlusiones,inferenias e impliaiones es el uerpo de una teoría físia,pero la piedra angular del onoimiento ientífio es el o los prinipios fundamentales. Los prinipios físios onstituyen las proposiiones iniiales del onoimiento dedutio y,en si mismos, no pueden ser deduidos de otras proposiiones. Estos prinipios deben ser obtenidos mediante un arduo proeso indutio lo ual demanda onoimientos experienia y un talento espeial que permite relaionar eos aparentemente desonetados entre si. Los párrafos anteriores fundamentan la admiraión por la genialidad de los grandes ombres que plantearon prinipios y desarrollaron teorias. La físia teória se enfrenta a dos problemas tipos ) La expresión de las leyes físias obseradas en forma de relaiones uantitatias. ) La apliaión de los métodos matemátios a la formulaión de nueas leyes físias que logran su mas alta ulminaión en la prediión de eos y leyes no puestos de manifiesto aun por la experienia No obstante en este trabajo partiremos de la unión de las ideas que en ierto momento guiaron a Einstein y a Desartes.El primero expreso el presupuesto de que preguntarse ual era la geometría de un mundo equialía a preguntarse ual era la físia de ese mundo, el segundo uso el presupuesto de que la geometría puede expresarse usando relaiones uantitatias numérias.entones si iertas relaiones uantitatias numérias expresan una ierta geometría y esta a su ez equiale a una ierta físia entones las relaiones uantitatias numérias que expresan una ierta Geometría son el modelo de una ierta físia Esto quiere deir que on un modelo matemátio del problema dado se puede expresar el problema físio en forma de relaiones uantitatias que puedan desarrollarse por medio de ese modelo.por ejemplo el análisis etorial es el formulismo o modelo matemátio apropiado para exponer y resoler la teoría del ampo eletromagnétio ya que el formulismo espeifio del análisis etorial expresa araterístias eseniales del estado de un ampo eletromagnétios por eso que al estudiar aquí el importantísimo problema del moimiento nos plantearemos primero la teoría matemátia que da respuesta al problema. Ha enontrado Ud alguna diferenia entre jugar a la pelota en tierra, en un baro, o proure figurárselo en un aión, uando Ud mismo no notaba el moimiento de estos medios de transporte. Naturalmente que no, porque la diferenia no existe.pero on una ondiión : que el baro y o el aión se muean a eloidad onstante es deir uniformemente Si erramos los ojos y nos tapamos los oídos es imposible distinguir el reposo del moimiento uniforme ualquiera sea la eloidad on que este se realie. Y esto la llamada físia lásia lo demostró indisutiblemente :los fenómenos y los proesos que tienen lugar en los uerpos que se mueen uniformemente deben transurrir obedeiendo las mismas leyes que si ourrieran en uerpos e reposo. Esta afirmaión se llama prinipio de la relatiidad de Galileo. El ual puede formularse así: LAS LEYES DE LA NATURALEZA DEBEN TRANCURRIR DEL MISMO MODO INDEPENDIENTEMENTE DEL ESTADO DE REPOSO O DE MOVIMIENTO UNFORME DEL OBSERVADOR. También onoemos que si estamos situados en un globo o en un tren y emos que otro tren u otro globo ambia de posiión respeto al nuestro no tenemos ningún medio para saber ual de los dos globos o los dos trenes es el que esta en moimiento.

2 Si un punto se muee y llamamos x 0 el punto de partida y x al punto de llegada, nuestra primera interrogante será en que tiempo se reorrió esa distania y esta podemos representarla de la forma x x0 t o x0 x t donde el numero es la antidad de ees que se repitió esta unidad de medida. Si el punto no se a moido entones tendríamos x x0 0 o x 0 x 0 por lo ual podemos esribir x 0 x t. Aquí 0 puede representar un punto onsiderado en reposo y t uno en moimiento uniforme. También ourre que, uando se die emos estado iajando durante 4 oras nos preguntemos que distania emos reorrido, también sabemos la ora analizando la distania que an reorrido el orario o el minutero del reloj. Estos simples razonamientos nos muestran que el tiempo lo medimos usando distanias o espaios periódios. Por analogía on la distania, si t 0 es el momento de partida y t el instante de llegada, el espaio de tiempo transurrido entre ambos se puede representar de la manera t t0 λ x o t0 t λ x donde λ es un numero, funión de la eloidad, que india la antidad de ees que se repitió esta unidad de medida. Al numero λ lo llamaremos eloidad del espaio.si el tiempo no transurre entones t t0 0 o t 0 t 0.De estas ultimas euaiones podemos obtener t 0 t λ x. Si partimos del Prinipio que plantea que todo uerpo se muee en en un sistema espaio tiempo y que además debe umplir el prinipio de Galileo tendremos que este problema debe ser expresado mediante un formulismo matemátio adeuado. Entones debemos busar uno por medio del ual se pueda expresar que un ente determinado se muee en el espaio tiempo del mismo modo respeto a dos obseradores on independenia del estado de reposo o de moimiento uniforme de estos.aora bien para quien este familiarizado on la Geometría Analítia sabe ese ente que busamos debe moerse por una ónia. También sabemos que si un ente on oordenadas ariables (x,y) se moiera del mismo modo respeto a dos obseradores fijos situados en puntos de oordenadas (0,0) y (a,b) la euaión de su moimiento podría obtenerse mediante una euaión de la forma ( x 0) + ( y 0) ( x a) + ( y b) la ual x y + desarrollada y simplifiada se puede esribir de la manera b a b a la ual es sin lugar a a b dudas la euaión de una reta.los moimientos que se realizan uadratiamente se llaman eulidianos Teniendo esto en uenta,y onoiendo que en general la euaión anónia de una ónia se esribe x y de la forma + por omparaión on la diferenia de grado de la euaión anterior que la b a euaión busada puede obtenerse mediante la igualdad ( x 0) + ( y 0) ( x a) + ( y b) la ual debe ser la del lugar geométrio de un ente de oordenadas (x,y) que al moerse respeto a los puntos (0,0) y (a,b) desriba una ónia. Desarrollando tendríamos x + y x ax + a x a + y by + b y y.simplifiando y ompletando uadrados perfetos se obtiene ( ) ( ) a x ax + a + a a b y bx + b + b b y a partir de ( x a ) ( y b ) a b aquí a( x a ) b( y b + ) y omo expresión final + 4 a + b a + b a b a + b,expresión que es la euaión de una elipse imaginaria. Aquí podemos aer y a a + b b k.si diidimos la primera expresión por la segunda tendremos igualdad de donde b k a se dedue que b y /a son los alores de las pendientes de los diámetros onjugados de una ierta ipérbola.se dedue. En una elipse imaginaria lo uadrados de sus semiejes están en la misma relaión

3 que las pendientes de los diámetros onjugados de la ipérbola orrespondiente. Esta es una manera fáil y ómoda de er o estableer la relaión entre las geometrías de Eulides y de Minkowski Hagamos un resumen de lo que tenemos asta aora: - El moimiento se realiza en la naturaleza de la misma forma independientemente del estado de reposo o de moimiento del obserador. Si el moimiento lo realiza un punto de oordenadas ariables (x,y) respeto a un punto en reposo de oordenadas(0,0) del mismo modo que respeto a otro punto (a,b) que se muee uniformemente la ley del moimiento se puede obtener por medio de la euaión ( x 0) + ( y 0) ( x a) + ( y b) - El moimiento de un punto en el espaio referido a un punto en reposo uya relaión on este sea igual a la estableida on otro punto en moimiento uniforme se puede representar por medio de la euaión s 0 s t. Pero si el moimiento se realiza umpliendo el prinipio de relatiidad de Galileo entones podemos esribirla de la manera ( s 0) ( s t) - Si el moimiento del punto esta referido al tiempo y su relaión on un punto en reposo es la misma que la relatia a un punto en moimiento esta puede representarse de la forma t 0 t λ s.si neesitamos que este moimiento se realie on la misma dimensionalidad de si lo iiera en el espaio entones la esribiríamos de la manera t 0 t λ s donde es un numero onstante on la dimensionalidad de la eloidad.si este moimiento se realizara umpliendo las ondiiones del prinipio de Galileo tendríamos ( t 0) ( t λ s).este moimiento se llama galileano Aora supongamos que un ente se muea en un sistema oordenado espaio tiempo. Si las euaiones - y - las sumamos miembro a miembro obtenemos la euaión ( s 0) + ( t 0) ( s t) + ( t λ s) la ual es del tipo obtenida en -. Desarrollando : s + t s s t + s t t + t t λ s + tλ s λ s. Esto que será ierto si se umple s t + s t t t λ s + tλ s λ s 0 o lo que es lo mismo,las igualdades.: s t + s λ t 0 s t t λ s 0 t λ s 0 A partir de las uales se obtiene: t λ λ λ s Reordando que λ es la eloidad espaial y que al uadrado, representa que esa eloidad espaial es la misma para dos obseradores en reposo, y que al ubo representa que esta es la misma para los obseradores on independenia de su estado de reposo o de moimiento uniforme la expresión ( λ ) ( λ ) signifiaría que los obseradores en reposo en las leyes galileanamente y que los obseradores galileanos en las leyes eulideanamente,o sea para ambos las osas ourren de ambas maneras. Tendríamos: t s ( ) ( ). Eleando a las potenias indiadas y simplifiando obtenemos euaión que s t s podemos esribir de la forma.si tomamos a y a t omo las pendientes de los diámetros onjugados de una ierta ipérbola y a s y a omo las longitudes de estos diámetros onjugados por * t* el teorema de Apolonio podemos esribir t s t* s* expresión para la ual es posible enontrar una forma de expresar las oordenadas espaio temporales de un punto en en un sistema donde los ejes son los ejes prinipales de la ónia, por medio de las oordenadas de ese mismo punto en otro sistema donde los ejes espaio temporales sean los diámetros onjugados de esa misma ónia. Es eidente que la transformaión de oordenadas que busamos deben ser iperbólias o irulares imaginarias.

4 Si tomamos la primera las relaiones entre las oordenadas prinipales y las onjugadas tener la formas s s* ϕ + t* sϕ t s* sϕ + t* ϕ donde ϕ es un ierto ángulo de giro. En el aso en que en que s * 0 las formulas de transformaión toman la forma s t s * ϕ y t t* ϕ y diidiendo la una por la otra s tϕ.pero s t es eidentemente la eloidad de un sistema respeto al otro. Por lo tanto t ϕ. t Como ϕ s ϕ y s ϕ ϕ tϕ podemos obtener la euaión t ϕ / ϕ y a partir de aquí ϕ y sϕ.y sustituyendo en la euaiones que t ϕ t ϕ s* + t* t* + s s relaionan las oordenadas prinipales on las onjugadas allamos y t que son las formulas de transformaión que busábamos y que se onoen on el nombre de formulas de transformaión de Lorentz.Por tanto podemos resumir: Si un punto del espaio tiempo se muee galileana y eulideanamente a la ez umple on los postulados de la Teoría de la Relatiidad Espeial. Teniendo en uenta que λ implia la existenia de obseradores esenialmente iguales respeto a los uales no existen trayetorias pero que periben los fenómenos obserables de manera galileana debe umplirse ( ) s λ λ.,euaión a partir de la ual se llega a la igualdad. El miembro izquierdo t de la igualdad es onoido omo eloidad de fase de la onda de De Broglie. Esta denominaión es s aeptable porque la euaión anterior se puede esribir de la forma t 0, la ual tomada omo s argumento de una funion Ψ o sea Ψ Ψ ( t ) nos da el argumento de un proeso ondulatorio y ω es llamada eloidad de fase. s Aquí ay que tener en uenta que si en la euaión multipliamos el miembro izquierdo por t la masa m m s E s de la partíula en uestión se obtiene o donde E y p representan la masa y el m t p t impulso de una partíula no argada en el espaio tiempo. Por otra parte si tenemos en uente que s ω donde ω ν λ siendo lambda y nu los alores respetios de la longitud de la onda asoiada a la partíula y nu su freuenia no inurrimos en ningún error al multipliar por ν λ oy a obtener ω λ (E) donde es una onstante araterístia de los moimientos sin trayetoria obtenemos ( ν ) p euaiones que son el fundamento del desarrollo de la meánia quántia y que nos aeran a las onlusiones a las uales neesitamos arribar. Si tuiéramos obseradores esenialmente iguales para los uales los fenómenos ourren sin trayetoria pero que también lo aen de la misma forma respeto a dos puntos onsiderados fijos, pero que por otra parte también pueden aerlo galileanamente,esto lo podemos representar de la forma λ λ λ.esta desripión se ajusta al omportamiento de una onda eletromagnétia.

5 t t t De esta ultima igualdad obtenemos la ual se puede esribir omo o s s s t Donde es la eloidad espaial de una onda eletromagnétia.si de la euaión despejamos s del miembro izquierdo y multipliamos por Qt ambos miembros donde Q es la arga de la partíula, se ρ obtiene Qst Qs Qs Qs t.donde ρ y µ son los momentos elétrio y magnétio de un dipolo µ elétrio y espira magnétia respetiamente. Si en la euaión anterior esribimos m m onsiderando m omo la mas de la partíula tendríamos. p ρ Partiendo de esta igualdad E µ s µ ds dµ µ ρ podemos esribir o y a partir de aquí de donde podemos deduir las t ρ dt dρ s t ρ euaiones µ s t µ ρ t s las uales multipliadas por B y Ε que son las intensidades de ρ dos ampos magnétios y elétrios respetiamente tendríamos las euaiones B µ B s y t µ Ε ρ Ε t para las uales debe umplirse B µ Ε ρ y de aquí que las energías poteniales de una s partíula argada sometida a ampos magnétios y elétrios sean iguales y de signos ontrarios.pero dµ Ε ds Ε tambien se umple B s Ε t..resumiendo :y y a partir de aquí podemos dρ B dt B ds dε Ε B B esribir o y tambien Ε s euaión que multipliada por la altura del dt db s t t B Φ B tenemos Ε s.pero Ε suele designarse omo por lo que d Φ db B s.e integrando t t dt dt Φ B Bds expresión que reibe el nombre de flujo. La igualdad dφ B Ε dl dε ondue a Ε dl dt que es la euaión de Faraday referida a la rapidez on la ual ambia la orriente y no la magnitud de la orriente.este proeso se llama Ley de Induión de Faraday y forma parte de las empleadas por Maxwell al desarrollar su teoría del eletromagnetismo. El que un uerpo en el espaio y en el tiempo se muea umpliendo el Prinipio de Relatiidad de Galileo engloba omo diferentes manifestaiones las tres teorías físios fundamentales : -La teoría espeial de la relatiidad. -La teoría de las ondas de materia. -La teoría del ampo eletromagnétio. No obstante todo lo aquí expuesto esta referido al mundo marosópio on la exepión, a medias,de lo referido a las ondas de materia. Sin embargo omo los proesos marosopios son a fin de uentas manifestaiones de lo que ourre mirosópiamente es neesario onoer omo se enlazan estas estas teorías a ese niel. Tratemos de lograrlo a niel ondulatorio relatiista. p E

6 Las euaiones que se obtienen a partir del prinipio ante menionado son las siguientes: s s s t t t. Vemos que si en la euaión /s/t multipliamos el primer miembro de la euaión por m/m donde m es la masa de una partíula asoiada a una onda que tiene omo eloidad de fase / se obtiene m /ms/t y si aemos Em y pm donde E es la energía total de la partíula y p su impulso se puede esribir E/ps/t y de aquí obtenemos E/p / Si generalizamos que Epω tomando a ω omo la eloidad de fase asoiada a una partíula ualquiera y sabiendo que ω puede tomar los alores /, y / se obtienen Ep y Ep/ omo formulas para la energía además de la ya ista Em. Se sabe que la onseraión de la antidad de moimiento es alida en la teoria espeial de la relatiidad al igual que en la físia lásia on tal de que expresemos la antidad de moimiento por medio de la formula pp ( / ) 0/ donde p 0 es la magnitud medida en el sistema onsiderado en reposo. Teniendo esto en uenta podemos esribir p ( / ) p 0 o p (-(/) )p 0 o p p (/) +p 0 expresión que multipliada por el produto da p p /+p 0 o lo que es lo mismo E p /+p 0 siempre que se tenga en uenta que omo E/ps/t y s /t podemos onsiderar E /p o sea E p. E p /+p 0 resulta ser la energía que tiene una partíula relatiista. o lo que es lo mismo la euaión de una partíula a la que le es indiferente la orientaión del sistema de oordenadas y por tanto para ella es alida la onseraión del momento angular. No obstante de la euaión /s/t y teniendo en uenta que estamos onsiderando / omo la eloidad de fase de la onda asoiada a una partíula que se muee on la eloidad y que ωλν donde λ y ν son respetiamente la longitud de onda y la freuenia ν podemos esribir λνs/t. Si multipliamos el miembro izquierdo por / donde es una ierta magnitud que debe tener la dimensión del momento de la antidad de moimiento para que la relaión E/ps/t se mantenga, obtenemos λν/e/p expresión que podemos oler a reesribirla omo Eν y λ//p o λ/p euaiones son la base misma de la meánia uántia. Aora nuestro problema es onstruir una euaión que sus soluiones sean periódias y para la uales las leyes físias admitidas no dependan de la orientaión del sistema oordenadas o sea se umpla además de la onseraión del impulso y de la onseraión de la energía la onseraión del momento angular.. Si siguiendo a Srödinger obtenemos una euaión de onda Ψ para estas partiulares ondiiones podemos partir de ΨAe -i ω(t-x/ ω) donde on las orreiones orrespondientes aiendo las sustituiones λ/p νe/ ωπν llegamos a ΨAe -πi/(et- px) y allando Ψ 4π p Ψ 4π E las deriadas pariales orrespondientes arribamos a Ψ Ψ.Como x t la energía que tiene una partíula relatiista esta dada por la euaión E p /+p o multipliándola por la funión de ondas Ψ se tiene E Ψp Ψ/+p o Ψ.Despejando en las deriadas pariales E Ψ y a p Ψ, multipliando esta ultima por el produto y sustituyendo en la euaión de la energía Ψ Ψ obtenemos 4π t 4π x -p o Ψ que es la euaión en funión del tiempo. Esta euaión no depende de la orientaión del sistema de oordenadas en el espaio y por tanto onsera el momento del impulso de rotaión. Cuando el moimiento de la partíula no depende explíitamente del tiempo la euaión anterior puede ser simplifiada eliminando todo lo referente a este.haiendo esto la euaión adquiere la forma

7 ψ 4π + ( E p0 ) ψ 0 que es la euaión llamada del estado estaionario pero que representa x el moimiento unidimensional uniforme en el espaio. Vamos a er omo esta euaión se resuele para el aso en que ambia de onaidad la ura por la ψ que se muee la partíula.desde el punto de ista matemátio esto signifia que 0.Supongamos x la partíula tiene que iajar entre dos puntos donde esto se umpla lo ual ourre en los llamados puntos de inflexión.entones nuestra misión onsiste en allar las funiones entre los puntos de inflexión y en estos.en los puntos de inflexión ψ0 uando x0.teniendo en uenta la igualdad E -p op / (en esta el miembro dereo depende tanto de la energía total omo de masa en reposo de la partíula) el ψ 4π ual sustituido en la euaión del estado estaionario da + p ψ 0.Esta euaión tiene omo x π p p posibles soluiones ψ Aos x ψ Bsen π x por ser estas periódias ondiión esenial de la que partimos. Cuando estas soluiones están sujetas a la importante ondiión de que para x0 y xr ψ 0.Esta ondiión la umple la segunda soluión porque si x0 entones ψ 0.Pero si uando xr π p ψ 0 entones x π + nπ,porque senπsen( π + nπ )0 y se asegura la periodiidad. ( n + ) Reagrupando nos queda px de donde se dedue que el momento de impulsión de la partíula es pr (n + ).Esta soluión también puede ser interpretada omo que una partíula en un punto de ψ inflexión tiene spin semientero. Si la partíula esta iajando entre dos puntos de inflexión 0 o sea x ψ puede ser diferente de ero aun uando x0. En este aso nos oniene la primera soluión ya que os x π no es igual a ero uando x0 y tendríamos px nπ y de esto que pr n lo ual puede ser interpretado omo que una partíula para iajar entre dos puntos de inflexión tiene que tener spin entero o que su momento del impulso de rotaión tiene que ser un múltiplo entero de la onstante de Plank.Como la funión os es par podríamos deir que las partíulas on este tipo de funión asoiadas tienen spin entero y que las partíulas asoiadas a funiones de onda impares omo lo es el seno tienen spin semientero. Con esto ya estamos en ondiiones de analizar la energía. Supongamos la funión de onda de la partíula dependa explíitamente de la energía total de esta. Entones podemos onsiderar el aso en que esta no depende de su masa en reposo por lo ual puede ser ψ 4π esrita omo + E ψ 0 la ual para una partíula on spin entero tendría soluión de la x π E R forma nπ y la energía resultaría igual a E n.aquí la expresión /R puede ser R onsiderada omo la representaión de la freuenia siendo la eloidad de la partíula uando abandona el punto el punto de inflexión y R la distania entre dos de dios puntos y esto nos ondue diretamente a la teoría de la desintegraión. La desintegraión se produe uando una partíula se e en la neesidad de pasar de un punto de inflexión a otro. Como la energía total puede ser ero si 0 o si

8 n0. para una partíula on spin semiéntero la soluión adquiriría la forma π E R (n + ) π energía estaría dada por E ( n + ) la ual solo es ero si la eloidad on que la partíula R abandona el punto inflexión es ero.es signifiatio que esto sugiera que las partíulas on spin semientero ambien su energía de la misma forma que un osilador por lo que los nieles energétios deben estar igualmente espaiados. Asimismo debe aber partíulas que tienen un solo niel energétio y este puede depender solamente del spin y de la freuenia. Esto ourre uando n0 y pudiera este ser el aso del neutrino Si la funión de onda de la partíula depende solamente de la masa en reposo la euaión para el estado ψ 4π estaionario se puede esribir omo p0ψ 0 la ual tiene omo soluiones x p x e 0 ( p x ) y la ψ e 0 y ψ las uales nuna umplirán on la ondiión ψ 0 para x0, pero si on ψ 0 uando x0. lo ual puede ser interpretado omo que la funión de onda de una partíula on spin entero puede depender a ees solamente de la masa en reposo de esta, y que la funión de onda de una partíula uyo espin es semientero nuna podrá depender solamente de la masa en reposo de esta.