Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Departameto de Matemáticas (Área de Álgebra) Curso 24/5 PRÁCTICA Nº 9 Matrices y determiates. Sistemas de ecuacioes lieales E esta práctica veremos cómo los determiates os proporcioa ua herramieta que mejora distitos cálculos. E cocreto, haremos u resume de los distitos métodos que hemos visto para obteer el rago de ua matriz y el estudio de matrices regulares y el cálculo de sus iversas. La utilizació de determiates tedrá tambié ua aplicació importate a la resolució de sistemas de ecuacioes lieales. Este es uo de los problemas que se ecuetra co más frecuecia e los distitos campos de la Ciecia. E particular, osotros tedremos que resolver sistemas de ecuacioes e bastates ocasioes, como pasos previos a la resolució de distitos problemas. E primer lugar veremos los comados que Mathematica icorpora para discutir y resolver sistemas de ecuacioes, y posteriormete, otras alterativas a este estudio, calculado el sistema escaloado reducido o la fórmula de Cramer. Para matrices cuadradas dispoemos de la fució Det[matriz] que calcula el determiate de "matriz". Por ejemplo: M={{,2,3},{2,3,4},{3,4,6}}; Det[M] -. CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ. Dada ua matriz A M m (K), os propoemos calcular el rago de A. Como sabemos el rago de A, rg(a), es el úmero de filas o ulas de su forma ormal de Hermite por filas (= úmero de pivotes). Además si A tiee filas y m columas sabemos que rg(a) mí{m, }. A={{,2,3,4,},{2,2,,,},{3,4,4,5,2},{,,3,2,}}; RowReduce[A]//MatriForm - 2

2 Por tato el rago de A es 3. Como es coocido, los determiates os proporcioa u uevo método para calcular el rago de ua matriz. Teorema: Sea A M m (K), etoces el rago de A coicide co el mayor orde de ua submatriz cuadrada regular de A. Este teorema os proporcioa el método para calcular el rago de A. Tomamos k = mí{m, }, luego rg(a) k, tomadas todas las submatrices cuadradas de A de orde k, si algua es regular (su determiate es o ulo), etoces rg(a) = k. E otro caso, rg(a) k- y se repite el proceso co k- y así sucesivamete. Buscamos así meores (o determiates de submatrices) o ulos de orde máimo. Esto lo haremos co el Mathematica usado la orde Miors[matriz,k] que os p q geera ua matriz de orde cuyos elemetos so los meores de orde k de k k "matriz" siedo p y q el úmero de filas y columas respectivamete, de matriz. M2={{,},{3,2},{4,-}}; Miors[M2,2] {{2}, {-}, {-}} Así, comezaremos calculado los meores de orde k = mi{m, } y si todos so ceros reduciremos k hasta ecotrar algú meor distito de cero. Por ejemplo: A={{,2,3,4,},{2,2,,,},{3,4,4,5,2},{,,3,2,}}; =Dimesios[A][[]]; m=dimesios[a][[2]]; k =Mi[,m]; Miors[A,k] {{,,,,}} Miors[A, k-] {{,,,,,,,,,}, {-,-,,,5,5,,,,5}, {-,-,,,5,5,,,,5}, {,,,-,-5,-5,-,,,5}} Como ya hemos ecotrado meores de orde k- distitos de cero se tiee que el rago de A es k-: k- 3 II

3 Vamos ahora a usar la orde Module para crear u uevo comado que llamaremos rago y que os calculará el rago de ua matriz usado el cálculo de meores como e lo aterior: rago[a_]:=module[{,m,s}, =Dimesios[A][[]]; m=dimesios[a][[2]]; k=mi[,m]; If[==m && Det[A]!=, Prit[" El rago de esta matriz es ", k ], For[i=k, i>=,i--,s=miors[a,i]; If[s!=Table[,{j,Dimesios[s][[]]},{j2,Dimesios[s][[2]]}], Prit[i];Break[]] ]]] A={{,2,3,4,},{2,2,,,},{3,4,4,5,2},{,,2,3,}}; rago[a] 3 Mathematica dispoe de la fució MatriRak[matriz] para calcular el rago. Veamos: A={{,2,3,4,},{2,2,,,},{3,4,4,5,2},{,,2,3,}}; MatriRak[A] 3 2. MATRICES REGULARES. INVERSE[A]. Como sabemos o todas las matrices tiee iversa. Llamamos matriz regular a toda matriz cuadrada que admite iversa; es decir, es aquella que es ua uidad detro del aillo de las matrices cuadradas. Así, para que ua matriz sea regular es ecesario que sea cuadrada y de rago máimo, co Mathematica ambas cosas se puede comprobar co facilidad. E primer lugar, si fuese ecesario, usaremos la orde Dimesios[A] para calcular el úmero de filas y columas que tiee uestra matriz, la salida será u vector de dos coordeadas que idica el úmero de filas y de columas por tato si las dos coordeadas coicide la matriz A será cuadrada, además usado la orde Det[A] calcularemos el determiate de la matriz A y si es distito de cero la matriz A es regular y podremos calcular su iversa co la orde Iverse[A] Por último para comprobar que la matriz obteida es realmete la iversa de A basta co multiplicar A y la matriz obteida y ver que el producto es la idetidad. Veamos el siguiete ejemplo: III

4 I[]: = A={{,2,-},{,-2,},{2,,-}}; Dimesios[A] Out[] = {3, 3} I[]: = Det[A] Out[] = Iverse[A] {{,,},{2,,-},{4,3,-2}} Iverse[A].A==IdetityMatri[3] True Otro método que vimos para el cálculo de la iversa fue el que utilizábamos trasformacioes elemetales: Teiedo e cueta que para toda matriz regular, su forma de Hermite por filas es la matriz idetidad, para calcular la iversa de A podemos seguir u procedimieto aálogo al de la práctica de matrices elemetales. Para ello tomaremos la matriz (A/I) resultate de pegar la matriz A y la matriz idetidad y aplicado trasformacioes elemetales por filas a dicha matriz, obtedremos a la izquierda, la forma de Hermite por filas H, que será la idetidad, y a la derecha Q, ua matriz que verifica la siguiete ecuació: Q.A = H = Id, por tato, Q = A -. Tambié podríamos hacer: I[]: = A={{,2,-},{,-2,},{2,,-}}; =Dimesios[A][[]]; B= Traspose[Joi[A,IdetityMatri[]]]; Bt=Traspose[RowReduce[B]]; MatriForm[Table[Bt[[i]],{i,+,2}]] Los determiates os proporcioa tambié u uevo método para calcular la iversa de ua matriz A, que como sabemos es A - Adj(A) = det(a) dode Adj(A) = (α ij ) i,j es la matriz adjuta, esto es la matriz que e cada posició tiee el correspodiete meor adjuto de A, siedo el ij-ésimo meor adjuto de A t α ij = (-) i+j det(a ij ) IV

5 dode A ij es la matriz que se obtiee de A elimiado la fila i-ésima y la columa j- ésima. Mathematica o tiee defiida la matriz adjuta de A, por lo que previamete tedremos que defiirla y para ello usaremos la orde Miors[A, ] que calcular los meores de A de orde y los epresa mediate ua matriz. Veámoslo co u ejemplo: A={{,2,-},{,-2,},{2,,-}}; Calculamos ahora los meores de orde 2, mediate el comado Miors: S = Miors[A, 2]; MatriForm[S] Para calcular la matriz adjuta teemos que daros cueta que Miors os da como salida los meores de orde 2 de forma que el meor que resulta de quitar la fila y la columa lo coloca e el lugar s 33 y así sucesivamete, por tato la matriz adjuta de A se puede defiir mediate: adj=table[(-)^(i+j)*s[[4-i, 4-j]],{i,,3},{j,,3}]; MatriForm[adj] Aplicado ahora la fórmula, es decir, adjuta traspuesta partido por el determiate obteemos la iversa de A: iv =Traspose[adj]/Det[A]; MatriForm[iv] RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. La resolució de sistemas de ecuacioes lieales e Mathematica puede hacerse de dos maeras diferetes: V

6 (a) Mediate la fució LiearSolve[], cuya sitais es: LiearSolve[A, b] dode A es la matriz de coeficietes y b el vector de térmios idepedietes y os devolverá u vector que cumple la ecuació matricial A = b. a={{,2,3},{2,3,4},{,,3}}; b={,,5}; LiearSolve[a, b] Out[]: = {-,-2,2} Otra forma de resolver el sistema aterior es ivirtiedo la matriz de coeficietes como se muestra e el siguiete ejemplo: Iverse[a].b Out[]:= {-,-2,2} Destacar que e sistemas compatibles idetermiados, este comado sólo calcula ua de sus solucioes. Para recoocer si u sistema es determiado o o podemos usar el comado NullSpace que determia si el correspodiete sistema homogéeo tiee solució o ula: NullSpace[A] dode A es ua matriz, os devuelve ua base del las solucioes del sistema A =. E el ejemplo aterior la solució que os daba es la úica pues el sistema homogéeo tiee como solució el espacio vectorial. NullSpace[a] Out[]:= {} Si embargo e el siguiete ejemplo el sistema es compatible idetermiado y la orde LiearSolve sigue dádoos solo ua solució del sistema: LiearSolve[{{,,},{,-,2},{,,2}},{,-,}] Out[]:= {,,} NullSpace[{{,,},{,-,2},{,,2}}] Out[]:= {{-2,2,}} (b) Escribiedo las ecuacioes y utilizado para resolverlas el comado Solve. Mathematica etiede por ecuació ua epresió lógica de igualdad, epresió==epresió2 VI

7 y u sistema de ecuacioes por ua lista de ecuacioes de la forma: {epresió==epresió2, epresió3==epresió4,...} La sitais del comado Solve es: Solve[{ecuació,ecuació2,...},{var,var2,...}] O bie de forma matricial: Solve[A.{var,var2,...}=={b,b2,...},{var,var2,...}] Out[]:= Solve[{+y==,-y+2z==-,+2z==},{,y,z}] Solve::svars: Equatios may ot give solutios for all "solve" variables. {{->-2 z, y->+2 z}} Observar que Mathematica advierte que las ecuacioes puede o dar solució a todas las variables como ocurre aquí co la variable z, que sería la que jugaría el papel de parámetro e la solució del sistema compatible idetermiado. Otros comados que icorpora Mathematica para resolver ecuacioes so los comados Reduce y NSolve[] co sitais: Reduce[{ecuació,ecuació2,...},{var,var2,...}] Nsolve[{ecuació,ecuació2,...},{var,var2,...}] El primero reduce el sistema de ecuacioes a otro más secillo equivalete al primero, y el segudo resuelve uméricamete el sistema de ecuacioes dado ua solució aproimada: Out[]:= Out[]:= Reduce[{+y==,-y+2z==-,+2z==},{,y,z}] ==-2 z&&y==+2 z NSolve[{2+y-z==,-y+2z==-,+y+2z==},{,y,z}] {{->.,y->.5,z->-.3}} Además co el comado Reduce Mathematica realiza u estudio de casos e fució de los parámetros que aparezca e el sistema: Out[]:= Reduce[{p*+y==,-y==},{,y}] y==&&p==- +p &&y== && == Observar por último que Solve[], Reduce[] y NSolve[] resuelve tambié sistemas de ecuacioes o lieales. VII

8 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ESCALONADOS REDUCIDOS. Segú hemos visto al pricipio del tema 2, u primer método para la resolució de ecuacioes lieales será el obteer, a través del método de Gauss-Jorda, el sistema escaloado reducido equivalete al sistema de partida. Si embargo, la siguiete proposició resume el método aterior: Proposició. Dado u sistema de ecuacioes lieales co matriz ampliada (A B), si H es la forma ormal de Hermite por filas de (A B), etoces el sistema cuya matriz ampliada es H es u sistema escaloado reducido equivalete al de partida. Segú este resultado podemos obteer el sistema escaloado reducido, calculado la forma ormal de Hermite por filas de la matriz ampliada. Para ello utilizaremos RowReduce[A B] o trabajaremos paso a paso usado las matrices elemetales de la práctica 5. I[]: = I[]: = a={{,2,3},{2,3,4},{,,3}}; b={,,5}; ampliada={{,2,3,},{2,3,4,},{,,3,5}}; RowReduce[ampliada]//MatriForm Out[]: = 2 2 Como vemos e el ejemplo, el sistema es compatible determiado y su úica solució {-,-2, 2} 3. REGLA DE CRAMER. Los determiates os ha proporcioado u método mejorado para la resolució de sistemas de ecuacioes: se trata de aplicar la regla de Cramer. Dado u sistema de ecuacioes A.X = B dode A = (a ij ) i,j es la matriz de coeficietes, X y B so las matrices columa de icógitas y de térmios idepedietes, respectivamete: X = M b B = M b diremos que es u sistema de Cramer si A es cuadrada y regular. Teorema. (Regla de Cramer). Dado u sistema de Cramer: VIII

9 a a a a a a = b = b = b 2 la solució (úica) del sistema viee dada por: = b a L a 2 b a L a M M O M b a L a 2 A ;...; = a a L b 2 a a L b M M O M a a L b 2 A Ejemplo. Cosideremos el sistema de Cramer: + 2y - z = - 2y + z = y - z = 3 Itroducimos la matriz de coeficietes A y el vector de térmios idepedietes: A={{,2,-},{,-2,},{2,,-}}; b={,2,3}; El siguiete paso seria calcular la matriz que se obtiee cambiado la primera columa por el vector de térmios idepedietes y calcular la primera coordeada del vector solució, esto lo hacemos del siguiete modo: A=Traspose[A]; A[[]]=b; =Table[,{i,Dimesios[A][[]]}]; [[]]=Det[Traspose[A]]/Det[A] 3 De igual forma lo haríamos para la seguda y tercera coordeada: A=Traspose[A]; A[[2]]=b; [[]]=Det[Traspose[A]]/Det[A] A=Traspose[A]; A[[3]]=b; [[]]=Det[Traspose[A]]/Det[A] 4 IX

10 Vamos ahora a hacerlo todo de ua vez usado para ello la orde Module co la que crearemos u uevo comado cramer que os resolverá los sistemas de Cramer: cramer[a_,b_]:=module[{a,,}, A=Traspose[A]; =Dimesios[A][[]]; =Table[,{i,,}]; Do[A[[i]]=b; [[i]] =Det[Traspose[A]]/Det[A];A=Traspose[A],{i,,}]; Prit["La solució del sistema de Cramer es ", ]; ] cramer[a,b] La solució del sistema es {3,,4} X