MATEMÁTICAS II TEMA 5 Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas

Transcripción

1 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli MTEMÁTICS II TEM Euione e e plno en el epio Poiione eli Euione e un e en el epio Re efini po un puno un eo Un e que efini no uno e u puno u eo e ieión Si el puno e (,, ), que lle oio el eo,, ) ; u eo e ieión e ( (,, = ), ulquie oo puno X umple OX O X Como el eo X, l euión eoil e l e e Deignno X = (,, ), uiueno openo, e oienen l euione pméi e l e, que on e un pámeo (un númeo el); puee e eigno po ulquie o le, Lo iino puno e l e e oienen no loe X,, Un puno genéio e puee enoe í Depejno en un e l euione pméi e igulno, e oiene l euión e l e en fom oninu Ejemplo L euione e l e que oniene (p po) el puno (,, ) lle l ieión el eo = (,, ) on Veoil,,,,,, Pméi Coninu P = = e oienen lo puno P(,, 7) Q(, 9, 8) e Lo puno genéio e e e on X,, Oeione ) Cuno un e l ooen el eo e ieión e (ueeí i en ejemplo neio = (,, )), puee eiie l epeión, uo 7 ignifio e Joé Mí Míne Meino

2 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli L úlim epeión, en l que peen o euione linele on e inógni, e o fom e un e Se eá má elne que un e e euione eign un plno ) P eno un e (o un plno) uele uilie un le minúul o puno o e o ; p un plno, π o π Re efini po o puno Un e que efini po o puno Si lo puno on (,, ) B (,, ) e eiene que Uno e lo puno eemin l poiión, po ejemplo ; mien que el eo (o ) ini u ieión Po no, u euión eoil eá ( ) pi e ell e oienen l euione leni í, l euión oninu eá Ejemplo L e que p po lo puno (,, ) B(,, ), e l que p po el puno lle l ieión el eo B = (,, ) (,, ) = (,, ) Po no Su euión eoil e,,,,,, Y u euione pméi on Coniión e peeneni e un puno un e Un puno peenee un e uno umple u euión (u euione) Eo impli que u ooen e oienen p un lo únio el pámeo Ejemplo El puno (,, 6) e e l e, pue l uiui en u euione po, po po 6, e oiene que = en l e igule 6 En mio, el puno (,, ) no e e e e, pue l uiui en u euione e oiene el iem, que e inompile l oluión = le p l pime ee euión, peo no p l egun Joé Mí Míne Meino

3 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Euione e un plno Plno eemino po e puno Un plno que efinio po e e u puno (no lineo) Si l ooen e eo puno on,, ), B,, ) C,, ), l euión eoil el plno e ( ) ( ), ( ( ( que e oiene oeno que i X = (,, ), enone OX O X = O B C Su euione pméi on ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u on lo pámeo (númeo ele ineemino); pueen uiuie po ulquie oo p e le ; p q Lo iino puno el plno e oienen no loe Un puno genéio el plno π puee enoe í X u, u, u Si e eliminn lo pámeo e oiene l euión genel (ein o implíi) el plno u u u Oeione ) Como e pueo e mnifieo má i, X B C ; eo e, X epene linelmene e B C En oneueni, el eeminne oio le ) El plno no í i en l epeión iniil e mi el puno po ulquie e lo oo o o ) De l euión implíi e puee p l pméi epejno ulquie e l ile eigno l o o po (Se eá en el iguiene ejemplo) Ejemplo L euione el plno que oniene lo puno (,, ), B(,, ) C(,, ) on Veoil,,,,,,,, Lo eoe on B = (,, ) (,, ) = (,, ); C = (,, ) (,, ) = (,, ) Pméi P = =, po ejemplo, e oienen el puno P(,, ) el plno X,, Lo puno genéio e ee plno on Joé Mí Míne Meino

4 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Implíi Dno loe, que umpln l euión (o que e puee e po neo) e oienen puno el plno í, lo puno (,, ), (,, ) o (,, /) on el plno; en oneo, eo puno on lo e oe el plno on lo eje ooeno Oo puno puee e (,, ) Depejno en l euión, ieno = = e oienen o euione pméi e π Como puee oee, e euione no oinien on l iniilmene, peo el plno e el mimo; implemene e mio l efeeni (Puee ompoe que pi e e euione pméi e lleg l mim euión implíi) Coniión e peeneni e un puno un plno Un puno peenee un plno uno umple u euión l ooen el puno eifin l euión el plno Ejemplo ) El puno P(,, 6) peenee l plno 7, pue uiueno + ( ) = El puno Q(,, ) no peenee ee plno, que + + ( ) 7 = 6 ) P que el puno R(,, ) peene l plno e neeio que e umpl + + = = Plno eemino po un puno o eoe Un plno que eemino po un puno o eoe linelmene inepeniene E un oneueni inmei e lo io neiomene Si el puno e (,, ) lo eoe u u, u, u,,, el plno eá u u El mimo plno puee eni eemino po iin pej e eoe po un puno ifeene í, en el ejemplo neio, el plno iene eemino po el puno (,, ) lo eoe B = u = (,, ) C = = (,, ); peo mién eá eemino po el puno P(,, ) lo eoe u = (,, ) = (,, ) Joé Mí Míne Meino

5 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Ejemplo El plno eemino po el puno (,, ) po lo eoe u = (,, ) = (6,, ) e O fom e eemin un plno Un plno que eemino po un e un puno no peeneiene ell Si el puno e P l e, l euión el plno eá P E oio que mién le p P Ejemplo L euión el plno que oniene l e l puno P = (,, ) iene eemin po el puno (,, ), o po P, po lo eoe = (,, ) P = (,, ) (,, ) = (,, ) Su euión e π Un plno que efinio po o e que e on Si l euione e l e on, l euión el plno que eeminn e E eiene que io plno oniene l o e que e on Oeión Do e e on uno ienen un puno en omún; en oneueni, el iem eemino po l euione e m e ee e ompile eemino El puno puee uiuie po el puno e oe P, o po el puno B e l e Ejemplo L euión el plno que oniene l e, que, omo e oe e mne eiene, ienen en omún el puno = B = P(,, ), que eemino po ee puno po lo eoe = (,, ) = (,, ) Su euión e π 7 Joé Mí Míne Meino

6 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 6 Joé Mí Míne Meino Oeión Un mne e e i o e e on e eole el iem que eeminn Si ee iem e ompile eemino, l e e oán; ieno u oluión l ooen el puno e oe (Si el iem e inompile l e no e on Ejemplo ) P e i l e e on, puee fome el iem =, = El puno e oe eá P(,, ) ) En mio, l e no e on, pue el iem e inompile Un plno que efinio po o e plel Si l euione e l e on l euión el plno que eeminn e RS ieno R S El eo RS puee uiuie po B Oeión Do e on plel uno lo on u eoe e ieión; uno k Ejemplo L e, que on plel po ene el mimo eo e ieión, efinen un plno que iene eemino po el puno (,, ) e, po lo eoe = (,, ) B = (,, ) (,, ) = (,, ) Su euión e π

7 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 7 Joé Mí Míne Meino Oeión finl Do plno que e on efinen un e pi e l euión e un e en u fom oninu,, igulno l one o o e iene Tmién Openo en e igule e oiene C un e l euione oeni eemin un plno on euione linele e l fom Lo puno omune e eo plno on lo e l e Ejemplo Si l e e E euione e oienen e l pej e igule Reípomene, un e que eemin po o plno que e on Su euión iene po l oluión el iem (ompile ineemino) que fomn l euione e lo epeio plno Ejemplo Si lo plno on, l e que eeminn e Un puno e e e e (,, ); u eo e ieión e = (,, )

8 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 8 Joé Mí Míne Meino Poiione eli e plno en el epio Poiione eli e o plno Do plno en el epio pueen oe (eeminno un e), e plelo o e oiniene L fom má inmei e eemin l poiión e o plno en el epio e eui el iem que eeminn, que e Ee iem nun puee e ompile eemino iene inógni ólo euione Si el iem e inompile, lo plno on plelo Si el iem e ompile ineemino on un go e ineeminión (ngo e () = ngo e (M) = ), lo plno e on en un e L euión e e e iene po l oluión el iem Po no, un e que eemin po o plno que e on Si el iem e ompile ineemino on o go e ineeminión, lo plno on oiniene En ee o, ngo e () = ngo e (M) = Ejemplo ) Lo plno e on, pue l mie e oefiiene mpli, M, ienen ngo L e que eeminn e puee oene epejno en funión e Que (ieno = ) ) Lo plno 6 on plelo L mie M 6, ienen iino ngo, l pime;, l egun ) Lo plno 6 on el mimo B on oe que l egun euión e el ole e l pime Popie eo noml un plno Do el plno, el eo = (,, ), u omponene on lo oefiiene e l ile, e pepeniul l plno El eo e llm eo eíio; o ee e enomin eo noml π P emolo que ompo que i B on puno ulequie el plno π, lo

9 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 9 eoe B on pepeniule En efeo, i,, B,, on puno el plno, e umple que Po o pe, B,, ; Luego, B,,,, = = En oneueni, lo eoe B on pepeniule = Po no, pieno e lo eoe eíio e mo plno puee euie u poiión eli, pue e umple i on inepeniene, lo plno e on; on epeniene ( = k ), lo plno eán plelo o oiniene i En genel, lo plno inepeniene on plelo e ifeenin en el émino Ejemplo ) Do lo plno, u eoe eíio on = (,, ) = (,, ) Como io eoe on inepeniene, lo plno o e on en un e ) Lo plno = = on plelo Su eo noml e el mimo = (,, ) (Se oeponen on lo niele, epeimene, el ieo e epeenión eino) L popie neio poiili que un plno pue eemine no un eo noml él uno e u puno Igulmene, pemiiá eemin un plno pepeniul un e ; iee, eemin un e que e pepeniul un plno o En mo o, el eo e ieión e l e oinie on el eo eíio el plno Ejemplo Lo plno uo eo noml e = (,, ) ienen po euión C uno e eo plno que olmene eemino no uno e u puno í, el plno que oniene l puno P(,, ) ee umpli que = 7 Po no, el plno eá 7 Joé Mí Míne Meino

10 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Joé Mí Míne Meino Poiione eli e e plno lgun poiione eli e e plno en el epio e oen en l figu iguiene L fom má inmei e eemin l poiión e e plno en el epio e eui el iem que eeminn, que e Si el iem e ompile eemino, lo e plno e on en un únio puno, u ooen ienen po l oluión el iem Si el iem e CI on un go e ineeminión, lo e plno e on en un e L euión e e e iene po l oluión el iem En ee o e ie que lo e plno on el mimo (e plno) Si el iem e CI on o go e ineeminión, lo e plno on oiniene Si el iem e inompile, lo e plno no ienen ningún puno en omún En ee o ngo e () < ngo e (M) Pueen e i poiilie ) Lo plno e on o o (ejn ene ello un pim ingul) ngo e () =, ngo e (M) =, lo oefiiene e plno epenen e lo oefiiene e lo oo o ) Do e lo plno on plelo ngo e () =, ngo e (M) =, lo oefiiene e un plno epenen ólo e lo e lo e oo plno ) Lo e plno on plelo ngo e () =, ngo e (M) = Ejemplo ) Lo plno ienen un únio puno en omún, pue el iem oio e ompile eemino (ompo) Dio puno e P(,, ), que e l oluión el iem ) Lo plno ienen un e en omún, pue el iem oio e ompile ineemino (puee oee que l ee euión e um e l o pime) L e que eeminn e l oluión el iem, que e ) Lo plno no ienen ningún puno en omún El iem oio e

11 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Joé Mí Míne Meino inompile (ompuéee) Lo plno e on o o ningún plno e plelo oo ) Lo plno no ienen ningún puno en omún El iem oio e inompile (ompuéee) Do e lo plno on plelo π π e) Lo plno no ienen ningún puno en omún El iem oio e inompile (ompuéee) Lo e plno on plelo Oeión E feuene plne un iem e euione on un pámeo en un oneo geoméio Como mue puee ee el iguiene ejeiio Ejeiio Eui, en funión el pámeo, l poiión e lo plno Soluión L oluión e enuen euino el iem oeponiene Si e l mi e oefiiene M l mi mpli e iene M ) ( El eeminne e le uno = o = Con eo Si () = = (M) El iem eá ompile eemino En ee o lo e plno e oán en un únio puno Si = e iene M Como F = F + F () = (M) = El iem eá ompile ineemino Lo e plno e on en un e Si = e iene M El ngo e e ; mien que el ngo e M le, pue M En ee o, el iem e inompile Po no, lo plno no iene ningún puno en omún e on o o

12 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli H e plno eemino po un e E el onjuno e oo lo plno que onienen e e Si lo plno e on en un e, l euión e ulquie oo plno que oneng e e eá un ominión linel e l o euione k k Po no, l epeión e l euión el e plno eá k k Si k = eul el plno π ; i k = eul el plno π Si k, iiieno po io lo llmno k k /k, e oiene un euión má ómo p el e plno, que e k Oeione ) Si l l euión e ulquie e lo plno el émino inepeniene euiee l ee el igno igul, í que nponelo l iquie ) Si l e iene en ulquie e u o fom (en lug e efini po lo o plno), p eemin el e plno que l onienen, í que oene o e eo plno Se onigue epejno el pámeo en un e u euione pméi e igulánol o o Ejemplo ) Lo plno eeminn el e euión k (En π el émino inepeniene e pueo) ) P eemin el e plno que oniene l e, puee poeee omo igue ) Se epej el pámeo en ulquie e l euione; quí = ) Se lle ee lo e l o o euione Se iene k Po no, el e plno eemino po e Poiione eli e un plno un e L poile poiione eli e un e un plno on e ) L e e plel l plno; ) L e eá oneni en el plno; ) L e ie (o) l plno Son l que e oen en l figu iguiene Joé Mí Míne Meino

13 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Poiione eli e un plno un e oluión lgei L mne má inmei e eemin un e e poiione e eui el iem oio, que e Si el iem e inompile, l e e plel l plno Si el iem e ompile ineemino, l e eá oneni en el plno Si el iem e ompile eemino, l e o (ie) l plno El puno e oe e un e un plno e l oluión el iem L eoluión e ee iem e enill uno l e iene en fom pméi, pue uiui l euione e l e en l el plno Si e oiene un oniión (po ejemplo, = ), l e e plel l plno Si e oiene un ieni (l igul = ), l e eá oneni en el plno Si e oiene un euión on inógni el pámeo, l e o (ie) l plno El puno e oe e ll uiueno el lo el pámeo en l euione e l e Ejemplo ) P eemin l poiión e l e epeo el plno, e uiuen l euione e l e en l el plno = Po no, l e o l plno El puno e oe e P(,, ), oenio l e en = ) P l mim e, peo on el plno, l uiui l euione e l e en l el plno e oiene Eo ini que l e eá oneni en el plno oo lo puno e l e umplen l euión el plno ) Coninuno on l mim e peo mino el plno po, l uiui e iene =, que oimene e uo Eo ignifi que l e el plno on plelo Oeión E feuene plne e ueión e mne que e neeio eui un iem e euione on un pámeo, peo en le geoméi Como mue puee plnee el iguiene ejeiio Ejeiio Se onien l e el plno Hll lo loe e p lo que e plel Soluión P que l e e plel l plno e neeio que el iem e/plno e inompile Joé Mí Míne Meino

14 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli Joé Mí Míne Meino P ello, el ngo e l mi e oefiiene ee e meno que el e l mi mpli L mie on M ) )( ( Ee eeminne le i = o = Po no Si () = = (M) El iem eá ompile eemino l e o l plno Si = e ená M El ngo e e, pue Como el meno e M, 6 M, el ngo e M e En ee o el iem e inompile Luego, i = l e e plel l plno Si = e iene M El ngo e e, pue Como el meno e M, M, el ngo e M e En ee o el iem uele e inompile Luego, i = l e mién e plel l plno Poiione eli e un plno un e oluión eoil Con feueni, l eeminión e l poiión ene un e un plno e má ápi ( egu, pue equiee meno álulo) i e plin lo poeimieno eoile que e inin oninuión, e ilun en l iguiene figu

15 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli L e e plel l plno El eo e ieión e l e e pepeniul l eo eíio el plno Po no, = emá, i π L e eá oneni en el plno Tmién = emá, i π L e o l plno Lo eoe no on pepeniule Po no, (Un o piulmene ineene e uno l e e pepeniul l plno ee umplie que k Se euiá má elne) Ejemplo ) L e l e e plel l plno, pue = (,, ) = (,, ) on pepeniule = (,, ) (,, ) = + = emá, el puno (,, ) no umple l euión el plno + ) L e o l plno que En efeo, = (,, ) (,, ) = + Suiueno l euione e l e en el plno P ee lo e e oiene P(,, ), que e el puno e oe ) L e neio eá oneni en el plno, pue e umple = (,, ) (,, ) = + = Y, emá, el puno (,, ) mién umple l euión el plno + + = ) Si e plne el ejeiio io neiomene Se onien l e on R, el plno Hll lo loe e p lo que e plel L oluión puee e omo igue ) Se epe l e en fom pméi,, ) Se impone que =, p que mo eoe en pepeniule Como = (,, ) =,,,, Lo eoe on pepeniule uno = o = En eo o, l e o e plel o eá oneni en el plno Si =, el puno (,, ) e e l e (e oiene p = ), peo no el plno Si =, el puno (8,, ) e e l e (e oiene p = ), peo no el plno Po no, en mo o l e e plel l plno ) P l e o l plno Joé Mí Míne Meino

16 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 6 Joé Mí Míne Meino Poiione eli e o e Do e en el epio pueen e plel, oe o ue, omo e oe en l figu iguiene Poiione eli e o e oluión lgei L poiione eli e o e pueen euie euino el iem que eeminn Ee iem eá e euione linele, i un e l e iene pi e o plno L inógni on,, í, i, p eemin u poiión á que eui l ompiili el iem L iuión equemái e Siem ompile eemino ngo e = ngo e M = L e e on Siem ompile ineemino ngo e = ngo e M = L e oinien Siem inompile ngo e = ngo e M = L e e un Siem inompile ngo e = ngo e M = L e on plel Oeión Slo en o enillo, que e n uno io elemeno e e mie en nulo, ee méoo puee eul engooo Ejemplo P, el iem oeponiene e L mie e oefiiene mpli on M (Gu) M F F F F El eeminne e l mi mpli, eollo po l pime olumn, le M ( ) + ( ) = El ngo e M e Po no, el iem e inompile Eo ignifi que l e e un

17 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 7 O oluión e áe lgeio, popi uno l e ienen en u euione pméi, onie en igul l ooen genéi e un e l e Se oiene í un iem e euione linele on inógni (lo pámeo), fáil e iui El iem en ueión eá L iuión que e e e Siem ompile eemino l oluión ll pi e o euione, le en l o L e e on Siem inompile l oluión ll pi e o euione, no le en l o L e e un El plelimo e m e e eemin e mne eiene, ompno lo eoe e ieión e l o e, que een e popoionle Siem ompile ineemino L e oinien ienen eoe e ieión popoionle, emá, puno e un peenee l o Oeión Si el pámeo e l o e iniee o on l mim le, í que mi uno e ello í, i mo ienen o po l le, e mi en un e l e po Ejemplo ) P eui l poiión en el epio e l e e plne el iem ; ; Eo e / (Eo loe umplen l euione) / El puno e oe e P(/, /, ) Se oiene uiueno = / en, o = / en (Puee ee que el plno que oniene m e iene po euión 8 ) ) Si l e ienen, un en fom pméi l o meine o plno Po ejemplo, eul efi uiui l euione e en l e eole el iem oenio Se oiene, que eul inompile 6 Po no, l e e un Joé Mí Míne Meino

18 Geomeí el epio Euione e e plno; poiione eli 8 Poiione eli e o e oluión geoméi Se e euino l elión e epeneni linel e e eoe lo e ieión e e ulquie eo eemino po o puno iio, uno e oo e Eo e, RS, ieno R S Oeniénoe Re plel lo eoe e ieión on plelo = Si, emá, = RS l e oinien k L e e on (on ene) lo eoe, RS on linelmene epeniene, pue lo e eán en el mimo plno L e e un lo eoe, RS on linelmene inepeniene, pue lo e eoe no eán en el mimo plno Ejemplo ) L e e un en el epio, pue lo eoe = (,, ), = (,, ) RS = (,, ) (,, ) = (,, ), one R S, on linelmene inepeniene, que ) L e e on en el epio, pue lo eoe = (,, ), = (,, ) RS = (,, ) (,, ) = (,, ), on linelmene epeniene, que 6 ) L e on plel p ulquie lo e, pue ienen el mimo eo e ieión = = (,, ) emá, omo el eo RS = (,, ) (,, ) = (,, + ) iene l mim ieión que uno =, p ee lo e = m e oinien Joé Mí Míne Meino