Son todos aquellos números que se pueden expresar en forma de fracción.

Transcripción

1 Lección : NÚMEROS RACIONALES..- NÚMEROS RACIONALES Son todos quellos números que se puen epresr en form frcción. Se puen epresr en form frcción, y por lo tnto son números rcionles: - los números enteros los positivos y el cero (nturles): 0,,,,, los negtivos:,,,, - los números cimles los ectos:,, 0, 0 los no ectos periódicos puros y mitos:, 0, 0, No son números rcionles los cimles no ectos y no periódicos, es cir, ls ríces cudrds números que son cudrdos perfectos.,,,, ( ±es un número rcionl y que es un cudrdo perfecto y su ríz cudrd es ect l igul que ± ) El número π( ) tmpoco es un número rcionl. El conjunto todos los números rcionles se intific con l letr Q myúscul e incluye l conjunto Z (números enteros) que su vez incluye l conjunto N(números nturles)

2 ACTIVIDADES Lee tenidmente los puntes nteriores, refleion y estúdilos. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..-ro los números rcionles y tch los que no lo sen: ' 0'.- Sitú cd número en el lugr que le correspond en el digrm: 0'0 0'.- Cuáles estos números son rcionles?. ) ) c) ' d) 0' e) f) '

3 ..-INTERPRETACIÓN DE UNA FRACCIÓN Un frcción se pue interpretr como l epresión... -Un prte un todo entero: Un unidd enter que se divi en vris prtes ls que se consirn un cntidd termind ells. SIGNO DE UNA FRACCIÓN: Es un ryit horizontl que sepr los dos términos l frcción. Se llm ry frcción. Dee ir siempre l mism ltur l signo y los signos ls más operciones. Ni más rri ni más jo. c e m c e + Bien + Ml d f n y d f TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN DENOMINADOR, que indic el número prtes en que se divi cd unidd enter y se coloc jo l ry frcción. NUMERADOR, que epres el número prtes que se tomn y coloc encim l ry frcción. NUMERADOR DENOMINADOR LECTURA DE UNA FRACCIÓN Un frcción se pue leer diverss forms: Form generl: Es válid pr culquier tipo frcción. Se lee: NUMERADOR, prtido por DENOMINADOR Tresprtido por cutro dos prtido por tres uno prtido por dos N N prtido por D D Forms especifics: Depen l nomindor. Si el nomindor es, se lee : NUMERADOR medio/s un medio cinco medios N N medios

4 Si el nomindor es, se lee: NUMERADOR tercio/s un tercio ocho tercios N N tercios Si el nomindor es myor que y menor que, se lee: NUMERADOR, ORDINAL DEL DENOMINADOR un curto dos séptimos N N décimos 0 Si el nomindor es myor que 0, se lee: NUMERADOR, DENOMINADOR con el sufijo -AVO/S un oncevo cinco curent y nuevevos N N cienvos 00 CÁLCULO DE LA FRACCIÓN DE UN NÚMERO: Se otiene dividiendo dicho número entre el nomindor y se multiplic el resultdo por el numerdor. Si conviene, se pue multiplicr primero el número por el numerdor y el resultdo dividirlo entre el nomindor. N ( N: ) ( N ) : 0 ( 0 : ) ( 0 ) : 0 : CÁCULO DE UN NÚMERO CONOCIENDO SU FRACCIÓN Es un cálculo inverso l nterior en el que conocemos l frcción un número y su vlor correspondiente (prte) y hy que clculr el número (totl). Pr ello se divi l prte entre el numerdor l frcción y el resultdo se multiplic por el nomindor. N P N (P : ) N 0 N (0 : ) 0 00 un cociente indicdo, es cir, un división en l que: elnumerdor l frcción es el divindo l división, elnomindor divisor :

5 CÁLCULO DEL VALOR DE UNA FRACCIÓN El vlor ciml o entero un frcción se pue otener dividiendo el numerdor entre el nomindor. : 0' un operdor, es cir, números con los que se puen hcer operciones. Se puen sumr frcciones, restrls, multiplicrls, etc. Ls frcciones como operdores llmn números rcionles. Ls frcciones que siendo distints tienen el mismo vlor formn un número rcionl.... N ÚMERO RACIONAL un medid: Cierts medids se puen epresr con un frcción. litro, kilo, kilómetro ACTIVIDADES Lee tenidmente en l págin l liro l cuestión, Concepto frcción, refleion y estudi lo stcdo. Complet el estudio con los puntes nteriores. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..- Represent gráficmente en cd un ests figurs ls respectivs frcciones indicds..- Clcul: ) 0 ) c) 0 d) e)

6 .- Clcul el número N en los siguientes csos: ) N ) N 0 c) N 0 d) N.- Clcul el vlor ciml ls siguientes frcciones: ) ) c) d) e) f).- Complet l siguiente tl: Frcción Se lee Numerdor Denomindor Tres medios Ocho tercios 0.-Págin, ctividd ). 0.-Págin, ctividd..-págin, ctividd..- Págin, ctividd.

7 ..- FRACCIONES EQUIVALENTES Son frcciones que siendo distints vlen lo mismo. PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES -Propiedd fundmentl l equivlenci que dice que si se multiplic (o divi) el numerdor y el nomindor un frcción dd se otiene un frcción equivlente, se puen otener frcciones equivlentes: 0 : 0: - Propiedd los productos cruzdos que dice que los productos cruzdos dos frcciones equivlentes son igules. Un producto cruzdo dos frcciones es el producto l numerdor un frcción por el nomindor l otr. Entre dos frcciones se puen otener dos productos cruzdos. c d d c IDENTIFICACIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES Ls frcciones equivlentes se puen reconocer vris forms: -Clculndo el vlor ciml cd un ls frcciones y comprondo que vlen lo mismo. : 0' : 0' Son frcciones equivlentes. - Aplicndo l propiedd los productos cruzdos que dice que los productos cruzdos dos frcciones equivlentes son igules. c c Si d c Si d c d d Son equivlentes No son equivlentes

8 CÁLCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE DOS FRACCIONES EQUIVALENTES Se pue hcer dos mners: - Aplicndo l propiedd fundmentl l equivlenci. Si se multiplic (o divi) el numerdor y el nomindor un frcción por un mismo número n se otiene un frcción equivlente. Hllndo este número n podremos clculr el término sconocido dos frcciones equivlentes. c n c n n c : (c : ) n n : n n n : n -Aplicndo l propiedd ls frcciones equivlentes que dice que dos frcciones equivlentes tienen sus productos cruzdos igules. c c ( c) : 0 0 : 0 X 0 : ACTIVIDADES Lee tenidmente en l págin l liro l cuestión, Frcciones equivlentes, refleion y estudi lo stcdo. Complet el estudio con los puntes nteriores. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..-comprue cules ests prejs frcciones son equivlentes. 0 0 ) ) c) d) 0

9 .- Clcul en cd cso el vlor. ) ) c) 0 d) 0 0 e) f) 0 0.-Hll un frcción equivlente: ) cutro docevos que teng por nomindor. ) ocho quintos con numerdor. c) dos décimos con numerdor. d) ocho docevos con nomindor..- Págin 0, ctividd..- Págin 0, ctividd...- OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES: AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Aplicndo l propiedd fundmentl l equivlenci que dice que si se multiplic (o divi) el numerdor y el nomindor un frcción dd se otiene un frcción equivlente, se puen otener frcciones equivlentes: - por mplificción, multiplicndo el numerdor y el nomindor por un mismo número. De est form se puen otener infinits frcciones equivlentes un dd.... Así se puen otener infinits frcciones equivlentes. - por simplificción, dividiendo el numerdor y el nomindor entre un mismo número, divisor común mos. Hy frcciones que no se puen simplificr. Se llmn frcciones irreduciles. Por simplificción se pue otener un cntidd limitd frcciones equivlentes y que ls frcciones se puen simplificr sucesivmente hst otener un frcción irreducile que y no se pue simplificr más. 0 : 0: : : es un frcción irreducile y no se pue simplificr más. Hy otr form simplificr un frcción oteniendo directmente l frcción irreducile, dividiendo el numerdor y el nomindor entre su M.C.D. 0 : 0: M.C.D. ( y 0) 0

10 Cundo el numerdor y nomindor cn en ceros, se puen simplificr mner inmedit, sin ningún cálculo, eliminndo el mismo número ceros en numerdor y en el nomindor (00).0(00) 0 ACTIVIDADES Lee tenidmente en ls págins y 0 l liro l cuestión., Amplificción y simplificción y l., Frcción irreducile, refleion y estudi lo stcdo. Complet el estudio con los puntes nteriores. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..- Otén ls dos frcciones más sencills, equivlentes cd un ls dds. 0 ) ) c) d) 0.- Simplific hst otener l frcción irreducile. ) ) c) 0 0 d) 0 0 e) Págin 0, ctividd...- REDUCCIÓN A UN COMÚN DENOMINADOR Consiste en otener frcciones equivlentes cd un ls dds, tods con el mismo nomindor. Pr ello: º Se hll el mínimo común múltiplo los nomindores y se pone como nomindor común cd un ls frcciones equivlentes que se quieren otener. º Se divi el nomindor común entre el nomindor cd frcción y cd resultdo se multiplic por el numerdor correspondiente y se pone en el numerdor l frcción equivlente.

11 M.C.M.(,, ) ( : ) ( : ) ( : ) ACTIVIDADES Lee tenidmente en l págin 0 l liro l cuestión., Reducción frcciones común nomindor, refleion y estudi lo stcdo. Complet el estudio con los puntes nteriores. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..- Reduce un común nomindor: ) ) c) d) e) f) 0 0.-Págin 0, ctividd..- COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONES Criterios pr comprr y ornr frcciones.- Tod frcción que tiene como numerdor cero es igul cero. No eisten frcciones con nomindor cero n siendo n Z n 0 no eiste.

12 .- Tod frcción que tiene el mismo signo en el numerdor y en el nomindor es positiv, es cir, es myor que cero. Z siendo, 0 0' 0.- Tod frcción que tiene distinto signo en el numerdor y en el nomindor es negtiv, es cir, es menor que cero. Z siendo, < 0 0' < 0 Pr comprr frcciones conviene que tengn el nomindor positivo. Si no es sí hy que trnsformrls en frcciones equivlentes con el nomindor positivo. Pr trnsformr un frcción con nomindor negtivo en otr equivlente con nomindor positivo se le cmi el signo l numerdor y l nomindor, los dos términos..- Tod frcción que tiene el numerdor igul l nomindor es igul Tod frcción que tiene el numerdor myor que el nomindor es myor que. si.- Tod frcción que tiene el numerdor menor que el nomindor es menor que. si < < < <.- Cundo tods ls frcciones tienen el mismo nomindor es myor l que tiene myor numerdor. c si c.- Cundo tods ls frcciones tienen el mismo numerdor es myor l que tiene menor nomindor.

13 c si < c.- Cundo ls frcciones no cumplen ninguno los criterios nteriores, pr por comprrls y ornrls hy que reducirls primero un común nomindor. Ls que tengn un nomindor negtivo ntes hy que trnsformrls en otrs equivlentes con el nomindor positivo cmiándole el signo l numerdor y l nomindor., M.C.M.( y ) ACTIVIDADES Lee tenidmente en l págin l liro l cuestión, Representción, comprción y ornción frcciones, refleion y estudi lo stcdo. Complet el estudio con los puntes nteriores. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..- Compr sin hcer ningún cálculo y coloc los signos, <,,don correspond: ) 0... )... c)... d)... e)... f)... g)... h)....- Sin hcer ningún cálculo compr y orn myor menor ls siguientes frcciones: ),, ),,.- Sin hcer ningún cálculo, compr y orn menor myor ls siguientes frcciones: ),,, ),,,

14 .- Compr, reduciendo común nomindor, myor menor y orn ls siguientes frcciones: ) ) c) 0.- Compr y orn, reduciendo común nomindor, menor myor ls siguientes frcciones: ) ) c) 0.-Págin, ctividd 0..- Págin, ctividd. 0.- Págin, ctividd...- FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO RACIONAL Culquier número rcionl se pue epresr en form frcción. Los que no se puen epresr en form frcción no son rcionles. L frcción genertriz un número rcionl es l frcción irreducile equivlente dicho número. Es l que tiene como vlor ciml dicho número. OBTENCIÓN DE LA FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO -ENTERO: Se otiene poniendo como numerdor el número entero y como nomindor DECIMAL EXACTO: Se otiene poniendo como numerdor el número sin l com y como nomindor el seguido tntos ceros como cifrs cimles tiene dicho número. Luego se simplific l frcción resultnte hst otener l frcción irreducile. 0 : 0 : M.C.D.(, 0) 0 0' 00 : 00 : 0 M.C.D.(, 00) 00

15 0'0 000 : 000 : M.C.D.(, 000) 000 DECIMAL NO EXACTO PERIÓDICO: Se otiene poniendo como numerdor el número sin l com menos el número que formn ls cifrs no periódics sin com y como nomindor tntos nueves como cifrs tiene el período seguido tntos ceros como cifrs cimles no periódics tiene dicho número. Luego se simplific l frcción resultnte hst otener l frcción irreducile. ACTIVIDADES RESUELTAS Periódicos puros: No tienen cifrs cimles no periódics. Tod l prte ciml es periódic. : ' M.C.D.(,) : 0 : 0' M.C.D.(,) : ' M.C.D.(, ) Periódicos mitos: Tienen un o vris cifrs cimles no periódics ntes l periodo. - : ' : 0 M.C.D.(, ) M.C.D.(, 0) 0-0 ' M.C.D.(, 00)

16 ACTIVIDADES Lee tenidmente en l págin y l liro l cuestión, Frcciones y números cimles, refleion y estudi lo stcdo. Complet el estudio con los puntes nteriores. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..-hll l frcción genertriz los siguientes números: ) 0 ) 0 c) d) 0 e) f) 0 g) h) i) 0 j) k) l) m) n) ñ).-págin, ctividd.-págin, ctividd..-págin, ctividd.-págin, ctividd. V.-Págin, ctividd...- PROBLEMAS CON FRACCIONES Pr resolver un prolem form metódic, clr y orgnizd emos seguir los siguientes psos: º Leer tenidmente el enuncido l prolem vris veces, trtndo entenrlo. Este es un proceso que hremos mentlmente con un primer lectur pr otener un i glol l prolem. Luego, un segund lectur más tenidmente, fijándonos en quells plrs y epresiones cuyo significdo no entendmos ien pr consultrls en un diccionrio. Un vez entendido el voculrio y el léico, hremos ls lecturs que sen necesris pr comprenr ien el rgumento l prolem. º Ornr y notr los dtos y ls pregunts. De form revid notremos orndos los dtos que nos d tnto el enuncido l prolem como quellos otros teóricos que conocemos ntemno y que intuimos que nos puen hcer flt. Tmién notremos form revid lo que nos preguntn en el enuncido.

17 º Rzonr y plnificr l resolución l prolem. Pr eso st con ir epresndo por escrito lo que se v pensndo, fundmentndo el rzonmiento en los conceptos teóricos estudidos. Aunque que ciertos tipos prolems tiene su propio método resolución, un uen estrtegi pr resolver uen prte los prolems ritméticos consiste en que, prtiendo l pregunt que nos hcen en el enuncido, uscr un operción, y SOLO UNA OPERACIÓN, que nos dé como resultdo l respuest lo que nos pin. Si no conocemos lguno los dtos que se necesitn pr resolver est operción, verigumos que únic operción es necesri hcer pr hllrlo. Si est operción su vez sconocemos lgún dto hcemos un proceso semejnte los nteriores hst que otengmos un operción cuyos dtos conozcmos totlmente. Tods ests operciones se vn formulndo genéricmente form revid (plnificción l prolem). º Justificr los resultdos, indicndo ls operciones SIEMPRE EN FORMA DE IGUALDAD con sus resultdos. Si lgun ests operciones no se resuelven mentlmente, se pue resolver su lgoritmo un ldo, ien seprdo don están indicds dichs operciones. Nuncsehrán en un ppel prteni se en orrr. º Epresr l solución con un frse complet e inpendiente, stcándol ien. No st con escriir l cntidd hy que responr con un frse complet lo que nos preguntn. º Comproción l solución. Pr ver si solución encontrd es l cud se pue portr como dto l prolem y ver que ls premiss l enuncido se cumplen. Si no fuese sí, l solución podrí no ser correct y hrí que revisr l resolución pso pso pr encontrr el error. Tmién ntes comenzr l resolución l prolem se podrí hcer un estimción l solución l prolem. CÁLCULO DE UNA PARTE CONOCIENDO EL TOTAL Y LA FRACCIÓN. Se resuelve hllndo l frcción un cntidd totl conocid. Se e tener en cuent que pr clculr l frcción un número se divi dicho número entre el nomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor. :

18 Prolem resuelto.- De un clse 0 lumnos, dos tercios están hciendo un resumen, un quinto resuelven prolems y los más estudin l lección. Qué cntidd lumnos está relizndo cd tre? Clse 0 lumnos. l totl, hce un resumen l totl, resuelve prolems Cntidd lumnos en cd tre? El resto, estudi. Se trt hllr un prte, l cntidd lumnos que hce cd un ess tres, conociendo el totl, l cntidd totl lumnos l clse, y l frcción l totl correspondiente es prte. Cntidd lumnos que hcen un resumen Frcción l lumndo totl (0 lumnos). l clse Cntidd lumnos que resuelven prolems Frcción l lumndo totl (0 lumnos). l clse Cntidd que estudin lumnos Cntidd totl l clse (0) lumnos Cntidd lumnos que no estudin? Cntidd lumnos que no estudin Cntidd lumnos que hcen un resumen + Cntidd lumnos que resuelven prolems 0 0 : 0 0 lumnos hcen el resumen. 0 0 : lumnos resuelven prolems. 0 + lumnos no están estudindo. 0 lumnos están estudindo. En l clse 0 lumnos están hciendo el resumen, lumnos resuelven prolems y cutro lumnos están estudindo.

19 CÁLCULO DEL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE Y LA FRACCIÓN CORRESPONDIENTE. Hy que tener en cuent que pr hllr un cntidd totl conociendo el vlor un frcción es cntidd totl, hy que dividir dicho vlor (prte) entre el numerdor l frcción y luego multiplicr el resultdo por el nomindor. c (c : ) (c ) : 0 (0 : ) es l frcción un cntidd enter (totl) cuyo vlor es c (prte). Prolem resuelto.- Ptrici gstó los tres quintos sus horros en un vije Prís que le costó 00. Qué cntidd totl dinero tení horrdo? Gstó l totl horrdo. 00, coste l vije. Ahorro totl? Se trt hllr un cntidd totl (l cntidd totl horrd), conociendo un prte (l cntidd gstd en el vije, 00 ) y l frcción l totl correspondiente est prte (frcción l totl gstd en el vije, tres quintos l totl horrdo y que se pue otener dividiendo l prte entre el numerdor, multiplicndo el resultdo por el nomindor. l horro totl 00 Ahorro totl 00 : 00 00, horro totl Ptrici tení.00 horrdos en totl. ACTIVIDADES Lee tenidmente los puntes nteriores y estúdilos. Cuándo pienses que y lo ses resuelve ls siguientes ctivids..- Un rco llev recorrids ls tres décims prtes un vije.00 km. Qué distnci h recorrido? Qué distnci le qued por recorrer?.- Mriñ certó pregunts un test. Cuánts pregunts tení el test si ls que certó son los cinco docevos l totl?.- En un huert se semrron con ptts los dos quintos su superficie totl. Cuál es l superficie totl l finc si se hn semrdo con ptts 00 m.?

20 ..-ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Reps todo lo estudido en l lección y resuelve ls siguientes ctivids. Consult tus duds con el profesor..- Págin, ctividd. 0.- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd. 0.-Págin, ctividd..- Págin, ctividd 0..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd..- Págin, ctividd.