Determinación de la transformación del oleaje aplicando un modelo matemático

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1 INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXIX, No., 008 Determinación e la transformación el oleaje aplicano un moelo matemático INTRODUCCIÓN En el océano siempre existe algún tipo e ona que pone e manifiesto la propagación e energía mecánica a lo largo e la interfase agua-atmósfera que constituye la superficie el mar. Los mecanismos que aportan esta energía son e iferente naturaleza: viento, perturbaciones meteorológicas, terremotos, atracción planetaria, etc. Como consecuencia e la variabilia e las características e los istintos mecanismos mencionaos, las características e las onas ifieren tanto en su perioo y longitu como en sus mecanismos e control. A meia que el oleaje se acerca a la costa, el efecto el fono comienza a hacerse más palpable, a partir e la teoría lineal el oleaje se puee eucir que una ona comienza a sentir la presencia el fono cuano la profunia en la que se encuentra es h < L/, one L es la longitu e la ona y h la profunia el perfil. Como consecuencia e esta interacción e las onas con el fono el tren e ona u oleaje se transforma existieno varios e los procesos incluios en la transformación, fácilmente visibles para un observaor en la costa. Estos procesos e transformación se traucen funamentalmente en: variaciones en la altura e la ola y en la irección e propagación. Será, por tanto, objetivo funamental moelar caa uno e estos procesos que constituyen la transformación con el fin e poer eterminar cuales son las variaciones inucias por caa uno e ellos. A meia que un tren e onas se aproxima a la costa es posible observar un aumento e la altura y una reucción e su longitu, a este fenómeno se le conoce como asomeramiento. Resumen / Abstract En el presente trabajo se muestra un moelo numérico que permite realizar la transformación el oleaje a partir e las coniciones el oleaje en aguas profunas siguieno la Teoría Lineal el oleaje, calculano e esta forma la altura e ola (H), el setup (S) y la longitu e la ola (L) transformaa. Los valores calculaos con el moelo serán empleaos para el cálculo el transporte e seimentos y para el cálculo el cambio el perfil e fono. El algoritmo numérico propuesto constituye una herramienta computacional muy valiosa para el ingeniero en costas con el objetivo e realizar investigaciones sobre las afectaciones que se pueen proucir en la playa para un oleaje ao. La comprobación el moelo propuesto se realiza meiante la comparación con el software profesional SBEACH y SWAN observánose buenos ajustes. El algoritmo numérico propuesto fue esarrollao en el asistente matemático MATLAB. Palabras clave: Transformación e oleaje, altura e ola, isipación e energía, refracción, ifracción, reflexión, ínice e rompiente. In this work a numerical moel is shown which calculates the wave transformation starting from the conitions of the surf in eep waters an following the Linear Theory of waves. In this way, the wave height (H), the setup (S) an the length (L) of the transforme wave are calculate. Calculate values with the moel will be employe in calculations of seiment transport an calculation of the change in bottom profile. The propose numerical algorithm constitutes a very valuable computational tool for the coastal engineer with the objective of carrying out investigations on the affectations that can take place in the beach for given surf. Valiation of the propose moel is mae by comparison with professional softwares SBEACH an SWAN an goo ajustments have been observe. Keywors: Wave Transformation, wave height, energy issipation, refraction, iffraction, reflection,breaking inex. Ing. Orlano Peraza Meina. Empresa e Servicios Marítimos. SERMAR s.a Ciua e La Habana. Cuba. maeline.ravelo@infome.sl.cu Dr. Lic. Davi Ernesto Marón Domínguez. Departamento e Matemáticas, Faculta e Ingeniería Civil, ISPJAE. Ciua e La Habana, Cuba. maron@civil.cujae.eu.cu Dr. Ing. Luis Córova López. Centro e Investigaciones Hiráulicas C.I.H. ISPJAE Ciua e La Habana. Cuba. corova@tesla.cujae.eu.cu MSc. Ing. Ronnie Torres Hugues. C.I.H. ISPJAE Ciua e La Habana. Cuba. ronnie@cih.cujae.eu.cu

2 Determinación e la transformación el oleaje aplicano un moelo matemático Como es sabio, para una ona aa, aquella parte el frente que se propaga en aguas mas profunas, viaja con una celeria mayor que la parte que se encuentra en menor profunia. Esto a lugar a un giro el frente que se conoce como refracción. La refracción puee proucirse también por las variaciones en la celeria inucias por la presencia e una corriente. En su propagación hacia profuniaes mas reucias el oleaje encuentra la presencia e barras u otras estructuras naturales y artificiales que an lugar a un fenómeno llamao ifracción. Este fenómeno se caracteriza por la cesión lateral e energía perpenicularmente a la irección e propagación y es el causante e que parte e la energía transportaa por la ona se transmita a las zonas e sombra generaas por estos obstáculos. Asociao a la presencia e obstáculos se prouce otro fenómeno no menos importante, la reflexión, cuyo estuio es e especial importancia en estructuras artificiales y playas. La isipación en el proceso e la transformación el oleaje se prouce por iferentes mecanismos. La fricción por fono, inucia por los esfuerzos tangenciales que se proucen en la capa limite mas cercana al fono a lugar a una importante isipación e energía. Esta isipación es más notable que la que se prouce por la percolación que tiene lugar en lechos muy permeables. Sin embargo, el mecanismo isipaor e energía por excelencia en aguas poco profunas es la rotura o rompimiento. Este fenómeno está totalmente controlao por la profunia y se prouce cuano la razón entre H/h, one h es la profunia el perfil, alcanza aproximaamente un valor Ir llamao ínice e rompiente. En este momento el perfil e la ola eja e ser estable y rompe isipano una gran cantia e energía en forma e turbulencia funamentalmente. Los criterios que relacionan la altura e la ola local con la profunia son muy útiles para eterminar el punto a partir el cual se prouce el rompimiento e la ola. Estos os parámetros serán el punto e partia para el moelao e iferentes magnitues tales como el transporte e seimentos, corrientes, entre otros. Sin embargo, el proceso e rompimiento en la Naturaleza es mucho más complejo, especialmente si la batimetría es muy irregular. Un mejor conocimiento e los procesos hiroinámicos a partir el punto e rompiente requiere moelos mas sofisticaos capaces e simular los procesos físicos que se proucen. En la literatura pueen encontrarse varios moelos iferentes para reproucir los fenómenos e isipación por rompimiento. Estos moelos se pueen clasificar en función e sus hipótesis e partia tales que: La isipación que se prouce es equivalente a la que tiene lugar en un resalto móvil (bore). La isipación es proporcional a la iferencia entre el flujo e energía local y un flujo e energía estable. La altura e la ola es proporcional a la profunia local, manteniénose el coeficiente e proporcionalia constante en toa la zona e estuio. La isipación es controlaa por la presencia e un roller (roillo) en la superficie. Los procesos que pueen afectar la altura e la ola en su movimiento hacia la línea e costa pueen resumirse e la siguiente forma: Refracción. Difracción. Depenen e la topografía y Reflexión. hacen que la energía Cambio el perfil e fono se isipe. (shoaling). Disipación e energía por Mecanismos que fricción e fono. remueven energía. Disipación e energía por percolación. Efecto el rompiente. Interacción ola-ola. Interacción corriente-ola. Transferencia e energía. Crecimiento extra ebio al viento. La ecuación general e transformación el oleaje se puee escribir e la siguiente forma: S C W E x, t, f, t A S D n S E D S F f Cg S G x, y, f Ex, y, t, f, P B one: El termino A representa el cambio temporal el espectro. El termino B representa la propagación e la energía el oleaje. El termino C representa los aportes el viento. El termino D representa la reistribución e la energía el oleaje entre las iferentes componentes ebio a la no linealia el oleaje. El termino E representa la isipación e energía ebio al fenómeno e rompiente. El termino F representa las perias e energía ebio a la fricción e fono. El termino G representa las perias e energía ebio a (1) 4

3 la percolación. (Coastal Engineering Manual) ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL MODELO MATEMÁTICO PROPUESTO En el algoritmo propuesto, se consiera solamente el efecto e los términos E y F e la ecuación (1). Las ecuaciones que conforman el moelo numérico el problema e la transformación el oleaje presentao por los autores en el presente trabajo son las siguientes: Orlano Peraza Meina, Davi Ernesto Marón Domínguez, Luis Córova López y Ronnie Torres Hugues fono. Disipación e energía por efecto e rotura e la ola según Larson (1989) (tomao e SBEACH, 1989)5: Cr D F FS (8) one: Cr es el coeficiente por efecto e rotura (tomao igual a 0.15) (aimensional) y Fs es el flujo e energía estable e la ola. Profunia total (): h S () one: h es la profunia e perfil (m) y S es el setup o setown (m) Longitu e la ola (L): π L Lo tanh () L one: Lo es la longitu e la ola en aguas profunas (m). Factor n: n 1 4 π 1 L 4 π senh L Flujo e energía e la ola (F) (4) 1 L F ρ g H n (5) 8 T one: ρ es la ensia el agua salaa, tomaa como 105 kg/m, g es la aceleración e la gravea, tomaa como 9.81 m/s y T es el períoo e la ola (seg). Ley e Snell: sen θ 0 x L (6) one θ representa el ángulo e inciencia el oleaje (en graos). Ecuación e Disipación e Energía 1 x Fcosθ D (7) one: D es la isipación e energía que puee tener en cuenta el efecto e la rotura y el efecto e la fricción e Flujo e energía estable e la ola (FS) 1 L F S ρ g ( Γ ) n (9) 8 T one: es el coeficiente e altura estable e la ola, (tomao como 0.4) (aimensional). Disipación e energía por efecto e rotura e la ola según Thorton y Gouza (tomao e PETRA 001) 4 : ρ g D B H (10) 4To one: B es un parámetro asociao al tipo e rotura (aimensional), tománose como valor B=1 según lo recomenao por los autores el Software PETRA 4. Disipación e energía por efecto e fricción e fono según Batjes (1984) 1 : D C f T o 4π ρ H senh /L (11) one: Cf es el coeficiente por efecto e fricción e fono (tomao igual a 0.01) Componente e la tensión e raiación (Sxx) irigia hacia la costa: 1 1 Sxx ρ g H n 8 (1) Ecuación e Momento: S xx x S ρ g (1) x ALGORITMO NUMÉRICO DE LA TRANSFORMACIÓN DEL OLEAJE Para efinir el sistema e referencia la variable inepeniente x será tomaa positiva irigia ese la costa hacia mar afuera. La variable que representa la altura e la ola (H) será positiva hacia arriba mientras que el perfil el fono (h) será meio positivo hacia abajo. El setup o setown (S) será meio positivo hacia arriba. Las tres variables anteriores son meias ese el Ni- 5

4 Determinación e la transformación el oleaje aplicano un moelo matemático vel Meio el Mar (NMM) que es tomao como el nivel e referencia inicial, ver Figura No. 1. La región e estuio o e simulación es representaa por el intervalo [xo, xf] one xo enota el punto e inicio el perfil. El extremo e la erecha, enotao por xf, representa la istancia final que es la istancia a la que se encuentra la máxima profunia el perfil hf (en metros). De esta forma el punto e rompiente, enotao por xb, ebe e encontrarse entre xo y xf e forma que el intervalo que representa la región e estuio [xo, xf] quea iviio en os zonas funamentales o subintervalos [xo, xb] y [xb, xf] one el primer intervalo representa la región que se encuentra antes el punto e rompiente y el seguno intervalo representa la región que se encuentra espués el punto e rompiente. Para el comienzo e los cálculos, se comprueba si la profunia e la ultima sección el perfil en el extremo erecho xf se encuentra ubicaa en aguas profunas. Si se cumple la conición e que hf/lo es menor que 0.5 esto quiere ecir que la sección e aguas profunas esta a la erecha e hf y por tanto un primer calculo es la transformación el oleaje ese la sección e aguas profunas hasta hf. Si no se cumple esta conición se toman conocios los valores e las variables incógnitas el problema en la sección final que coincian con los valores corresponientes con las coniciones e aguas profunas, es ecir, H = Ho, h = hf, S = 0 y L = Lo. En la primera variante, one se cumple la conición anteriormente mencionaa, la altura e la ola calculaa en la sección final tiene un valor ligeramente menor que Ho y aparece un primer valor e S calculao en esta sección lo cual no ocurre en la seguna variante. Toos los cálculos se hacen e erecha a izquiera ese el punto xf hasta el punto xo, es ecir, ese la sección final a la erecha hasta la sección inicial ubicaa en la costa. A partir e xf se toma un incremento o longitu x irigio hacia la costa y se calculan los valores e las cuatro variables anteriores en el punto o sección corresponiente a la istancia xf - x. Según se inica en la literatura el valor e x es el oren e la profunia. Figura No.. Esquema e iscretización el moelo El intervalo o región e estuio se subivie en N subintervalos e forma que caa subintervalo se puee expresar e la forma [xi, xi+1]. En el punto o sección x x i se conoce el valor e las cuatro variables o incógnitas el problema y el cálculo se hace en el punto 1 o sección x x i, ver Figura No. 1. A continuación se a una iea general e los pasos que conforman el algoritmo e cálculo que se sigue en el moelo numérico propuesto: a) Se comprueba la conición e aguas profunas (hf/lo menor que 0.5) y si se cumple se efectúa la transformación el oleaje ese la sección aguas profunas hasta la sección final el perfil que correspone con el noo i = N+1. Si no se cumple se comienzan los cálculos el noo i = N+1. b) Tenieno en cuenta que el valor e h es conocio en la sección el noo i se propone una aproximación inicial para S en icha sección y se calcula el valor e según la ecuación () c) Se sustituye el valor e en la ecuación () y se Figura No. 1. Sistema e referencia el Moelo. 6

5 Orlano Peraza Meina, Davi Ernesto Marón Domínguez, Luis Córova López y Ronnie Torres Hugues resuelve esta última ecuación en términos e L meiante un métoo numérico utilizao para resolver una ecuación trascenente. ) Con el valor e L obtenio se calcula n con la ecuación (4). e) Con el valor e L obtenio se resuelve la ecuación iferencial (6) en términos el ángulo θ utilizano el MDF con un esquema e os puntos. f) Los valores calculaos e θ y L se sustituyen en las ecuaciones (5), (8) y (9) y se resuelve la ecuación iferencial (7) en términos e H consieránose, en este caso efecto e rotura según la isipación e energía e Larson. Si se sustituyen las ecuaciones (5) y (10) en (7) se tiene en cuenta la isipación e energía por efecto e rotura e Thorton y Gouza. Si se sustituyen las ecuaciones (5) y (11) en (7) se tiene en cuenta la isipación e energía por efecto e la fricción e fono según Batjjes1. g) Con los valores e θ, L y H se sustituyen en la ecuación (1) y con esto se resuelve la ecuación iferencial (1) en términos e S utilizano el MDF con un esquema e os puntos. h) Se ebe e comprobar un cierto criterio e paraa EJEMPLO1 Este ejemplo se ha simulao en el moelo tenieno en cuenta la ecuación e isipación e energía por efecto e rompiente e Larson, con un valor e Cr=0.15, Cf=0 (es ecir sin consierar efecto e fricción e fono), los resultaos e las simulaciones se muestran en la Figura No. y 4. La comparación e esta simulación para caa uno e los perfiles antes mencionaos se realiza con el software profesional SBEACH 5. Los errores absolutos entre los moelos SBEACH y MATLAB se muestran en la Tabla No.. Tabla No.. Datos el Ejemplo 1: Nombre el ato. Valor el ato. Ínice Rompiente para perfil lineal 0.5 Ínice Rompiente para perfil con barra 0.5 en términos e S e la forma S (r) i S (r1) i E para un RESULTADOS error prefijao E y en caso contrario se comienza e nuevo el cálculo e S ese el inciso a) meiante un proceso iterativo. El supraínice r enota la iteración y el subínice i enota la sección. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MODELO Se han empleao los siguientes atos para los ejemplos simulaos con el moelo, los cuales se mantienen fijos (Tabla 1): En caa ejemplo se ha escogio para realizar las comparaciones, un perfil el tipo lineal y un perfil con barra, generaos arbitrariamente. Figura. Ejemplo 1. Perfil Lineal Tabla No. 1. Datos fijos e toos los ejemplos: Nombre el ato. Valor el ato. Altura e la ola en aguas profunas Ho (m) Períoo e la ola en aguas profunas To (seg) 5 Angulo e inciencia el oleaje (en graos). 0 Error en los cálculos en las iteraciones (m) 0.01 Numero e subintervalos en el espacio Nx 100 Peniente el perfil lineal Peniente el perfil con barra 0.0 7

6 Determinación e la transformación el oleaje aplicano un moelo matemático Tabla No. 4. Datos el Ejemplo : Figura 4. Ejemplo 1. Perfil con barra Nombre el ato. Valor el ato. Ínice Rompiente para perfil lineal 0.78 Ínice Rompiente para perfil con barra 0.78 Coeficiente e fricción e fono, perfil lineal (Cf) Coeficiente e fricción e fono, perfil con barra (Cf) Tabla No.. Errores entre los moelos SBEACH y MATLAB. Perfiles Max. Error absoluto (m) Perfil Lineal 0.4 Perfil con Barra 0.51 RESULTADOS CONCLUSIONES DEL EJEMPLO 1. Es importante señalar que la simulación en el moelo SBEACH se ha realizao tenieno en cuenta una simulación e un seguno para consierar en el software únicamente la transformación el oleaje, como un caso permanente, ya que el mismo es un moelo impermanente que simula hasta el cambio el perfil.. Para ambos perfiles, fue necesario realizar primeramente las corrias en el moelo SBEACH con el objetivo e obtener el ínice e rompiente, el cual como se puee observar en la Tabla No. tiene un valor igual a 0.5, este valor fue el que se fijo en el programa e MATLAB para realizar las comparaciones.. Como se puee observar en la Tabla No. y en las Figuras y 4, para ambos perfiles los errores absolutos obtenios son pequeños si tenemos en cuenta las características e ambos moelos y la variabilia e los atos e entraa. EJEMPLO Este ejemplo se ha simulao en el moelo tenieno en cuenta la ecuación e isipación e energía por efecto e fricción e fono e Batjes (1984), los valores e Cf se muestran en la tabla 4 siguiente, los resultaos e las simulaciones se muestran en la Figura No.5 y 6. La comparación e esta simulación para caa uno e los perfiles antes mencionaos se realiza con el software profesional SWAND. Los errores absolutos entre los moelos SWAND y MATLAB se muestran en la Tabla No. 5. Figura 5. Ejemplo. Perfil Lineal Figura 6. Ejemplo. Perfil con barra 8

7 Tabla No. 5. Errores entre los moelos SWAND y MATLAB. Perfiles CONCLUSIONES DEL EJEMPLO 1. Es importante señalar que para este ejemplo la comparación con el moelo SWAN fue tenieno en cuenta solamente la isipación e energía por efecto e fricción e fono, por este motivo el valor e Cr se ha consierao en el moelo propuesto igual a cero.. Para ambos perfiles, fue necesario realizar primeramente las corrias en el moelo SWAN tenieno en cuenta que no se conoce el mismo el valor el coeficiente e fricción e fono. Gráficamente se fue ajustano en el moelo propuesto los valores e Cf a utilizar en las simulaciones.. Como se puee observar en la Tabla No. 5 y en las Figuras 5 y 6, para ambos perfiles los errores absolutos obtenios son pequeños si tenemos en cuenta las características e ambos moelos. CONCLUSIONES 1. El moelo e transformación el oleaje propuesto por el autor para los ejemplos presentaos muestra buena aproximación con los moelos profesionales SBEACH y SWAND, lo que corrobora que es una herramienta valia e aplicación para su utilización por los especialistas e esta área investigativa.. Los resultaos obtenios para los ejemplos mostraos se ajustan mejor al software profesional SWAND en base a la comparación e solo consierar isipación por fricción e fono. Orlano Peraza Meina, Davi Ernesto Marón Domínguez, Luis Córova López y Ronnie Torres Hugues Max. Error absoluto (m) Perfil Lineal 0. Perfil con Barra El moelo propuesto tiene la posibilia e consierar conjuntamente en la isipación e energía el efecto e fricción e fono y el efecto e rotura e la ola. No se empleo la ecuación e isipación e energía por efecto e rotura e la ola e Thorton y Gouza tenieno en cuenta que ninguno e los os software profesionales con los que se realizaron las comparaciones incluye icha ecuación. 4. El moelo propuesto en este trabajo puee ser empleao en investigaciones futuras y aemás formar parte e un moelo más general que incluya el transporte e seimentos y el cambio el perfil e la playa. REFERENCIAS 1. Battjes, "Short Waves". International Institute for Hyraulic an Environmental Engineering, The Netherlans.. Coastal Engineering Manual, Part II, 0 April 00, "Estimation of Nearshore Waves", EM , Part II. 0 April 00.. Documento e Referencia. Volumen I. Dinámicas. Universia e Cantabria, España. Grupo e Ingeniería Oceanográfica y e Costas. Diciembre e PETRA. 001 "PETRA: Moelo e evolución el perfil transversal e la playa"; Versión: Manual e Referencia. Universia e Cantabria, España. Grupo e Ingeniería Oceanográfica y e Costas. 5. SBEACH, "SBEACH: Numerical moel for simulating storm-inuce beach change"; Version: U.S. Army Engineer Waterways Experiment Station, Coastal Engineering Research Center, Vicksburg, MS. 6. SWAN, 009. "SWAN Moel: Cycle III version 40.7AB". Delft University of Technology, Faculty of Civil Engineering an Geosciences Environmental Flui Mechanics Section, The Netherlans. Recibio: enero el 008 Aprobao: febrero el 008 9