Efecto de datos influyentes en el análisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω

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1 Igeiería y Ciecia ISSN: ISSN-e: ig. ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre This article is licesed uder a Creative Commos Attributio 4.0 By Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω Oscar O. Melo 1,Carlos A. Falla 2 y José A. Jiméez 3 Recepció: Aceptació: E líea: MSC: 62K15, 62E15, 62-07, 62J20 doi: /igciecia Resume E este trabajo se establece ua metodología alterativa para la detecció de observacioes ifluyetes e diseños factoriales de efectos fijos 3 ω, a través del plateamieto de la estadística de prueba (F q) y la caracterizació de los efectos de dichas observacioes sobre el aálisis, las sumas de cuadrados y los estimadores del modelo que describe el diseño experimetal. Palabras clave: diseño factorial; datos ifluyetes; aálisis de variaza; datos atípicos; sumas de cuadrados. 1 Uiversidad Nacioal de Colombia, Bogotá, Colombia, oomelom@ual.edu.co. 2 BI Techical Cosultat e Coexia SA, Bogotá, Colombia, cafallag@ual.edu.co. 3 Uiversidad Nacioal de Colombia, Bogotá, Colombia, josajimeezm@ual.edu.co. Uiversidad EAFIT 121

2 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω Effect of Ifluetial Data i 3 ω Fixed Factorial Desigs Abstract This paper provides a methodology alterative for the detectio of ifluetial observatios i factorial desig of fixed effects 3 ω. Our proposal is developed through the approach of the test statistic (F q), ad the characterizatio of the impact of such observatios o the aalysis, the sums of squares ad the estimators of the model that describes the experimetal desig. Key words: factorial desig; ifluetial data; variace aalysis; outliers data; sums of squares. 1 Itroducció El diseño experimetal es usado frecuetemete e la ivestigació, pricipalmete e la idustria, biología y ciecias agropecuarias, e las áreas del desarrollo de producció y cotrol de calidad. Para la elaboració de u producto se debe teer e cueta los igredietes o compoetes que éste requiera y las codicioes bajo las cuáles se fabrica. El objetivo de la experimetació es estudiar los efectos de la variació de los factores que se ivolucra e la elaboració y determiació de la mejor combiació de ellos. Muchos experimetos tiee e cueta dos o más factores, por lo que cada observació es respuesta de ua de las posibles combiacioes de los iveles experimetales de dichos factores. Para estos casos, se recomieda la aplicació de u diseño co arreglo factorial como ua alterativa más eficiete, que los métodos dode se estudia los factores e forma separada. Estos diseños ivestiga todas las posibles combiacioes de los iveles de los factores e cada esayo completo o réplica del experimeto. El efecto de u factor se defie etoces como el cambio e la respuesta producido por u cambio e el ivel del factor. E muchas áreas y procedimietos metodológicos de la estadística, el tema de observacioes ifluyetes es comú y e cada uo de ellos existe elaboracioes teóricas para su tratamieto y aálisis. Jiméez [1] dice que la presecia de estas observacioes puede distorsioar severamete la 122 Igeiería y Ciecia

3 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez iterpretació del aálisis de variaza, pues afecta directamete las sumas de cuadrados que permite costruir las estadísticas de prueba para rechazar o o las hipótesis plateadas, y por lo tato, podría teer ua gra ifluecia sobre la decisió que se tome co respecto a ellas. El objetivo de este trabajo es desarrollar u procedimieto de aálisis de ifluecia e diseños factoriales 3 ω, acompañado de los métodos de aálisis de variaza. Como los modelos estadísticos por lo geeral tiee algú grado de aproximació, es importate la evaluació de la ifluecia de la meor perturbació de u modelo hipotético [2]. Los resultados del aálisis de ifluecia se puede utilizar para idetificar los problemas implícitos e u estudio co el fi de juzgar si ua decisió es posiblemete egañosa y para teer ua visió más completa de las coclusioes que se obtiee. Por lo tato, el aálisis de la ifluecia es cosiderado como u compoete importate e el aálisis de u diseño experimetal 3 ω. Auque el aálisis de la ifluecia ha sido durate mucho tiempo u tema importate e varios modelos estadísticos (véase, [3],[4],[2],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13]), se ha trabajado muy poco e los diseños factoriales simétricos, y e particular, e los diseños 3 ω. E este artículo se aborda los diseños factoriales de efectos fijos 3 ω co el fi de idetificar los efectos de las observacioes ifluyetes sobre las hipótesis de iterés, específicamete sobre las sumas de cuadrados y las estadísticas de prueba; plateado ua metodología para su idetificació y aplicádola e u caso de estudio, estableciedo patroes y características e su aálisis. El artículo esta orgaizado como sigue: e la secció 2 se preseta brevemete los pricipales temas relacioados co diseños factoriales, aálisis de variaza, datos ifluyetes y sus métodos de detecció. Además, se preseta la estadística F q y su distribució, a partir de la cual se puede idetificar observacioes ifluyetes o cojutos de observacioes ifluyetes e diseños factoriales de efectos fijos 3 ω. E la secció 3 se preseta la costrucció teórica de la estadística F q y se describe la forma de calcularla a partir de las sumas de cuadrado del diseño factorial de efectos fijos 3 ω. E la secció 4 se caracteriza alguos de los posibles efectos que tiee las observacioes ifluyetes sobre las sumas de cuadrados utilizadas e el aálisis de variaza, que soporta el experimeto y sobre la estadística de ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

4 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω prueba; la secció 5 muestra u ejemplo de aplicació de la metodología propuesta y la secció 6 preseta las coclusioes correspodietes a la metodología propuesta. 2 Diseños factoriales y aálisis detecció de datos ifluyetes Los diseños factoriales e geeral, se basa e el aálisis de los diferetes factores que pueda iterveir e u experimeto, ecotrado la(s) mejor(es) combiació(es) de los iveles que éstos preseta. La selecció de dicha(s) combiació(es), se realiza mediate la comprobació de hipótesis apropiadas co respecto a ellas, llegado así a ua estimació de su efecto sobre el experimeto. Para probar las hipótesis, se platea u modelo estadístico lieal que permita escribir cada ua de las respuestas obteidas e el experimeto, a través de la suma de u parámetro comú a las combiacioes de los iveles de los factores, u parámetro úico para cada ua de ellas (efecto de tratamieto) y ua compoete aleatoria de error, este modelo se deomia de aálisis de variaza [14]. Si perdida de geeralidad, e este artículo se toma e particular los diseños factoriales simétricos 3 3 y posteriormete, se hace ua geeralizació a los diseños 3 ω. Por lo tato, se tiee tres factores cada uo co tres iveles, lo que geera u total de 27 combiacioes llamadas tratamietos. La respuesta observada e cada uo de los tratamietos es ua variable aleatoria que depede de los iveles de los factores, por lo cual, resulta útil describir las observacioes mediate el siguiete modelo estadístico lieal: y ijkl = µ + α i + β j + γ k + (αβ) ij + (αγ) ik + (βγ) jk + (αβγ) ijk + ε ijkl (1) dode i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3, l = 1, 2,..., las y ijkl so las respuestas al tratamieto ijk-ésimo e la replicació l-ésima, co replicacioes de cada tratamieto, µ es u parámetro comú a todos los tratamietos deomiado media global, α i es u parámetro del i-ésimo ivel del factor A, β j es el parámetro del j-ésimo ivel del factor B, γ k es el parámetro del k-ésimo ivel del factor C. Los térmios e parétesis so los respectivos efectos de la iteracció etre los diferetes iveles de los 124 Igeiería y Ciecia

5 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez tres factores y ε ijkl es la compoete aleatoria del error, la cual se supoe ormal co media cero y variaza costate σ 2. El procedimieto adecuado para probar las hipótesis de iterés acerca de que los efectos de los tratamietos so cero o o, es el aálisis de variaza (ANOVA). La deomiació aálisis de variaza resulta de descompoer la variabilidad total de los datos e sus compoetes. La suma total de cuadrados corregida (SCT ) se usa como medida de la variabilidad total de los datos, esta es: SCT = SC T rata + SC E (2) dode (SC T rata ) es la suma de cuadrados de los tratamietos y (SC E ) es la suma de cuadrados del error. La forma usual de calcular dichas sumas está determiada por: SCT = 3 i=1 j=1 k=1 l=1 y 2 ijkl y2... N SC T rata = 3 i=1 j=1 k=1 y 2 ijk. y2... N (3) dode N deota el total de observacioes e el diseño. Además, se tiee que SC E = SCT SC T rata El procedimieto se prueba e ua tabla de aálisis de variaza para el modelo trifactorial de efectos fijos. Luego, se rechaza la hipótesis ula H 0 si su correspodiete valor F 0 (obteido de los datos observados) es mayor que u valor tabulado F T ab, co u valor crítico α. Hasta el mometo o se ha juzgado cuál de los iveles o combiació de iveles de los factores es el mejor. Para esto se desarrolla los estimadores de los parámetros del modelo dado e (1) mediate el método de míimos cuadrados, partiedo de cotrastes costruidos co los promedios de los iveles de los factores. De esta forma, tambié se puede determiar las estimacioes de los efectos de iteracció. 2.1 Detecció de datos ifluyetes La veracidad de los modelos, se comprueba a través del aálisis de los residuales. Este aálisis permite idetificar datos atípicos, observacioes por fuera del cojuto de datos, o de otra forma observacioes que o se comporta como lo hace la mayoría de los datos, y que podría afectar ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

6 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω los parámetros del modelo [15], es decir, que cambiaría otablemete las estimacioes de dichos parámetros si se realizara el aálisis si cotar co ellas. Hay que teer cuidado e la otació, pues ε i es el i-ésimo error del modelo, mietras que e i es el i-ésimo residual del mismo. La idea es idetificar si los residuales se comporta como los errores del modelo ya que los e i so valores observables y los ε i so o observables, así los ε i tiee distribució ormal co media 0 y variaza σ 2, es decir que ( ) ε i σ tiee distribució e ormal estádar co media 0 y variaza 1. Luego los i se debería (1 hii )σ comportar ormal estádar, co 0 h ii < 1, el i-ésimo elemeto diagoal de la matriz H, las propiedades de esta matriz so dadas e Hoagli y Welsch [16]. Es posible cuatificar el impacto que sobre los coeficietes tiee la elimiació de ua observació, mediate diferetes métodos como: Distacia de Cook, Distacia DFFITS defiida por Belsley [15], estadística DFBE- TAS, etre otros métodos; éstos se puede cosultar de maera detallada e Peña-Sáchez [17] ó e Draper y Smith [18]. Draper y Joh [19] desarrollaro ua metodología para detectar u grupo de q observacioes ifluyetes o atípicas, equivalete a la propuesta por Bartlett [20] para estimar los parámetros del modelo de regresió lieal cuado existe observacioes faltates e la variable respuesta. Jiméez [21] desarrolló ua propuesta para imputar valores o ifluyetes e modelos de regresió lieal múltiple co iformació icompleta, co u modelo alterado que excluye del aálisis el dato o cojuto de datos ifluyetes, de tal forma que la suma de cuadrados de los residuales del modelo modificado es: SC E = SC E + ϕ (I H)[2Y ϕ] (4) Así, la variació e las sumas de cuadrados, dada por la ifluecia de las observacioes es expresada como: Q q = SC E SC E (5) Esta estadística, presetada e Draper y Joh [19], muestra a Q q expresada e fució de los residuales estimados. Partiedo de las expresioes (4) y (5), se llega a que la estadística Q q=1, expresada de la siguiete maera: Q1 s t (N r) (6) 126 Igeiería y Ciecia

7 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez la cual tiee ua distribució t co (N r) grados de libertad, e dode s es la raíz cuadrada del estimador isesgado de σ 2 dado por s 2 = SC E N r. Si embargo, por teoría estadística se sabe que este cociete tiee ua distribució t cuado las dos variables so idepedietes, pero e Jiméez [22] se prueba que o lo so. 2.2 Estadística F q para los diseños factoriales de efectos fijos 3 3 Si pérdida de geeralidad, los resultados ateriores se puede particularizar para los diseños factoriales de efectos fijos 3 3. De acuerdo a Jiméez [22] se ecuetra que Qq y s 2 = SC σ 2 E N 27 q so idepedietes, e dode Luego, se defie: SC E σ 2 = s2 (N 27 q) σ 2 χ 2 (N 27 q) (7) F q = Q q qσ 2 Q q SCE = qs F 2 (q,n 27 q) (8) (N 27 q)σ 2 dode Q q correspode a la diferecia etre la suma de cuadrados del modelo (SC E ) plateado e (1) y la suma de cuadrados del modelo reducido SC E, es decir, si las q observacioes cosideradas ifluyetes o atípicas. Como se observa e (8), la estadística F q depede del úmero de observacioes que se esté cosiderado como ifluyetes. E particular si q = 1, es decir, que se evalúe si la observació, otada por yijkl, es ifluyete o o, Q q otada ahora como Q 1, resulta ser igual al cuadrado del error correspodiete a dicha observació F 1 = Q1 s 2 F (1,N 28) dode Q 1 = SC E SC E = e2 ijkl. Al tomar raíz cuadrada de F 1 se obtiee e ijkl s t (N 28) (9) Ahora, el iterés cuado se desea establecer si u grupo de observacioes es ifluyete o o, es probar la hipótesis: ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

8 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω H 0 : Nigua de las q observacioes es ifluyete. H a : Por lo meos ua de las q observacioes es ifluyete. Luego, la hipótesis ula H 0 se rechaza a u ivel de sigificacia α % si F q > F (q,n 27 q,α). 3 Estadística F q a partir de las sumas de cuadrados del diseño factorial 3 3 Como se mecioo ateriormete, el aálisis de variaza se deriva de la partició de la variabilidad total e sus compoetes (2). Partiedo de las ecuacioes plateadas e (3), se puede descompoer la suma de cuadrados de los tratamietos e la suma de cuadrados de cada uo de los factores pricipales y las iteraccioes. Para el caso específico de los diseños factoriales de efectos fijos 3 3, se tiee las sumas de cuadrados de los factores pricipales y sus iteraccioes so: SC A = 1 SC C = 1 SC AB = 1 3 SC AC = 1 3 SC BC = 1 3 SC ABC = i=1 j=1 i=1 j=1 y 2 i... y2... N, SCB = 1 y 2..k. y2... N, i=1 k=1 j=1 k=1 i=1 j=1 k=1 j=1 k=1 y 2 ij.. 1 y 2 i.k. 1 y 2.jk. 1 i=1 i=1 j=1 y 2 ijk. 1 3 y 2.jk. + 1 i=1 j=1 y 2 i... 1 y 2 i... 1 y 2.j.. 1 i=1 j=1 y 2 i y 2.j.. y2... N, j=1 k=1 k=1 y 2 ij j=1 y 2.j.. + y2... N, y 2..k. + y2... N, y 2..k. + y2... N, i=1 k=1 y 2.j y 2 i.k. k=1 y 2..k. y2... N, (10) 128 Igeiería y Ciecia

9 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez dode es el úmero de repeticioes detro de cada tratamieto, yi... 2 es el cuadrado del total de los datos sobre el ivel i del factor A, y.j.. 2 es el cuadrado del total de los datos sobre el ivel j del factor B, y..k. 2 es el cuadrado del total de los datos sobre el ivel k del factor C, yij.. 2 es el cuadrado del total de los datos sobre los iveles i y j de la iteracció AB, yi.k. 2 es el cuadrado del total de los datos sobre los iveles i y k de la iteracció AC, y.jk. 2 es el cuadrado del total de los datos sobre los iveles j y k de la iteracció BC, yijk. 2 es el cuadrado del total de los datos sobre los iveles i, j y k de la iteracció ABC y y... 2 es el cuadrado de la suma de todos los datos e el diseño. Para mayores detalles de estas sumas de cuadrado véase Motgomery [14]. Bajo estas expresioes, la suma de cuadrados de los errores está dada por: SC E = SCT SC Subtotales La expresió del lado derecho es la diferecia etre la suma de cuadrados total presetada e (3) y la suma de cuadrados de los subtotales dada por: SC Subtotales = 1 i=1 j=1 k=1 y 2 ijk. y2... N Por lo tato, otra expresió para la suma de cuadrados del error es: SC E = 3 i=1 j=1 k=1 l=1 yijkl 2 1 i=1 j=1 k=1 yijk. 2 (11) 3.1 Sumas de cuadrados del error para el diseño factorial de efectos fijos 3 3 reducido a ua observació (q = 1) Sea yijkl la ijkl-ésima observació del cojuto total de observacioes del diseño, que va a ser extraída para evaluar si es ifluyete o o. El subídice (ijkl) correspode etoces a ua de las 27 posibles observacioes de los iveles i, j, k de los factores A, B, C y las réplicas e cada combiació, co i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3 y l = 1, 2,...,. Al elimiarse dicha observació del cojuto de datos, se tiee como resultado que el diseño se covierte e u diseño factorial desbalaceado de efectos fijos 3 3. E éste diseño sigue siedo posible aplicar el aálisis de ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

10 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω variaza, pero debe hacerse ligeras modificacioes e las fórmulas de las sumas de cuadrados. Por lo tato, las sumas de cuadrados del total, de los tratamietos y del error, so respectivamete: SCT = ijk i=1 j=1 k=1 l=1 yijkl 2, SC T rata = yijk. 2 y2... i=1 j=1 k=1 ijk N, SC E = SCT SC T rata dode ijk es el úmero de observacioes e el tratamieto ijk ésimo, de modo que N = i=1 j=1 k=1 ijk. Cabe aotar que para todo caso ijk =, excepto e el tratamieto del cual se extrajo la observació yijkl, e dode es igual a 1. Las expresioes y... y N = N 1, correspode respectivamete a la suma total y al úmero total de observacioes si el dato yijkl, respectivamete1. Igual que e el diseño balaceado, la suma de cuadrados de los tratamietos puede descompoerse e sumas de cuadrados de efectos pricipales e iteraccioes; por lo tato, las expresioes de las sumas de cuadrados para el modelo desbalaceado so: SC A = 1 SC B = 1 SC C = 1 SC AB = 1 3 SC AC = 1 3 SC BC = 1 3 yi y2 i... 1 y2... N i =1 i i y.j y2.j.. 1 y2... N j =1 j j y..k 2. + y2..k. 1 y2... N k =1 k k i =1 i j =1 i j j i =1 i k =1 i k k j =1 k =1 j j k k yi 2 j.. + y2 ij y2... N SS A SS B (12) yi 2.k. + y2 i.k. 3 1 y2... N SS A SS C y.j 2 k. + y2.jk. 3 1 y2... N SS B SS C 1 Cuado se desea evaluar o solo ua, sio q observacioes a fi de comprobar si so o o ifluyetes, y... es la suma total de las observacioes del modelo si las q evaluadas y N = N q. 130 Igeiería y Ciecia

11 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez SC ABC = 1 i =1 i j =1 k =1 i j j k k y 2 i j k. + y2 ijk. 1 y2... N SS A SS B SS C SS AB SS AC SS BC Bajo éstas expresioes, la suma de cuadrados de los errores está dada por SC E = SCT SC Subtotales La expresió del lado derecho es la diferecia etre la suma de cuadrados total y la suma de cuadrados de los subtotales esta dada por: SC Subtotales = 1 i =1 i j =1 k =1 i j j k k y 2 i j k. + y2 ijk. 1 y2... N Otra expresió para la suma de cuadrados del error es etoces: SC E = 3 ijk i=1 j=1 k=1 l=1 y 2 ijkl 1 i =1 i i j =1 k =1 j j k k y 2 i j k. y2 ijk. + y N (13) e dode y2 ijk. 1 es el total del tratamieto, elevado al cuadrado, de dode se extrajo la observació yijkl sobre el úmero actual de observacioes que ahora existe allí. Aalizado el térmio de la derecha, se tiee que el primer sumado puede escribirse como el primer sumado de la ecuació (11) meos la observació yijkl, es decir: ijk i=1 j=1 k=1 l=1 y 2 ijkl = 3 i=1 j=1 k=1 l=1 y 2 ijkl y 2 ijkl (14) Por otro lado, el segudo térmio de la ecuació, se puede expresar como el segudo térmio de la ecuació (11) meos el total del tratamieto e dode se ecuetra la observació y ijkl (otado por y Q), e el modelo balaceado, elevado al cuadrado y dividido por, es decir: 1 i =1 i j =1 k =1 i j j k k y 2 i j k. = 1 Al sustituir (14) y (15) e (13), se tiee SC E = 3 i=1 j=1 k=1 l=1 y 2 ijkl y 2 ijkl 1 i=1 j=1 k=1 i=1 j=1 k=1 y 2 ijk. y2 Q. (15) y 2 ijk. + y2 Q. y2 ijk. 1 (16) ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

12 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω 3.2 Cálculo de la estadística F q Recordado que la estadística Q 1 es la diferecia etre la suma de cuadrados residuales y la suma de cuadrados residuales del diseño excluyedo la observació yijkl (diseño reducido), puede ecotrarse ua ueva expresió para ella a partir de las ecuacioes de las sumas de cuadrados del diseño factorial. A través de la diferecia SC E SCE, etre las expresioes (11) y (16), se obtiee: Q 1 = y 2 ijkl y2 Q. + y2 ijk. 1 Es decir que la estadística se puede ecotrar a partir de la diferecia etre el cuadrado de la observació yijkl y el total elevado al cuadrado y dividido por del tratamieto e dode se ecuetra dicha observació e el diseño balaceado, más el total elevado al cuadrado y dividido por 1 del tratamieto del diseño desbalaceado e dode se ecotraba yijkl. Ua vez obteida Q 1, el cálculo de F 1 puede hacerse a partir de: F 1 = e2 ijkl s 2 = (N 28) e2 ijkl SC E F (1,N 28) Si pérdida de geeralidad, el estadístico F 1 para probar si ua observació es ifluyete o o e u diseño factorial de efectos fijos 3 ω, es decir, u diseño co ω factores cada uo a tres iveles es: F 1 = (N 3 ω 1) e2 ijk...wl SC E F (1,N 3 ω 1) dode (ijk... wl) hace referecia a u puto específico, ubicado e el ivel i del factor A, j del factor B, k del factor C, y así hasta el ivel w del factor ω, e la replicació l, co i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3,..., w = 1, 2, 3 y l = 1, 2,...,. Por otra parte, puede demostrarse que para el caso de q observacioes cosideradas ifluyetes, es posible calcular la estadística Q q a partir de la siguiete ecuació: Q q = q t=1 y 2 t S y 2 s. + S es decir, la diferecia etre la suma de los cuadrados de las q observacioes cosideradas ifluyetes, idicadas por el subídice t = 1, 2,..., q, y y 2 s. s 132 Igeiería y Ciecia

13 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez la suma de los totales de los S tratamietos (s = 1, 2,..., S) e dode se ecuetra distribuidas dichas observacioes e el diseño balaceado, elevados al cuadrado y divididos por ; más la suma de los totales de los S tratamietos del diseño desbalaceado, e dode se ecotraba las q observacioes, elevados al cuadrado y divididos por su correspodiete tamaño s. Luego, el cálculo de F q puede hacerse a partir de (8). Si pérdida de geeralidad, puede decirse que la estadística F q para evaluar la ifluecia de q observacioes e u diseño factorial de efectos fijos 3 ω, es: F q = N 3ω q q ( SCE SC E ) 1 F (q,n 3 ω q) 4 Efecto de datos ifluyetes e las sumas de cuadrados y el aálisis de variaza A partir de las sumas de cuadrados descritas e la secció aterior, puede costruirse las Tablas 1 y 2 de aálisis de variaza para el modelo balaceado y el modelo desbalaceado resultate de la extracció de la observació yijkl del cojuto de datos. Tabla 1: Aálisis de variaza para el modelo balaceado. Causas de Grados de Sumas de Cuadrado F 0 Variació Libertad Cuadrados Medio (CM) SC Tratamietos 27 1 SC T rata T rata 27 1 SC Error N 27 SC E E N 27 Total N 1 SCT CM T rata CM E Los valores tabulados F T ab y FT ab, utilizados para determiar el resultado de las pruebas de hipótesis para realizar el aálisis de variaza plateado e las Tablas 1 y 2, tiee (26, N 27) y (26, N 28) grados de libertad, respectivamete. Como los grados de libertad del umerador para ambos valores e los diseños factoriales de efectos fijos so 26, etoces la diferecia etre los valores que tome F T ab y FT ab depederá exclusivamete de los grados de libertad del deomiador. No importa el úmero de observacioes a evaluar como ifluyetes, los grados de libertad para FT ab será meores que los grados de libertad de F T ab e el modelo completo (N 27) > (N 27 q) para el caso de q observacioes, q 1. Luego, al observar e ua tabla de distribució F, el ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

14 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω Tabla 2: Aálisis de variaza para el modelo desbalaceado. Causas de Grados de Sumas de Cuadrado F 0 Variació Libertad Cuadrados Medio (CM) Tratamietos 27 1 SC T rata Error N 28 SCE Total N 2 SCT SCT rata 27 1 SCE N 28 CM T rata CM E comportamieto para dichos grados de libertad co u valor α determiado, se puede cocluir que: para el caso de q observacioes, q 1. F (26,N 27,α) < F (26,N 27 q,α) (17) Como el objetivo es rechazar la hipótesis ula, de maera que se compruebe la diferecia de los efectos geerados por los tratamietos, para e u siguiete ivel del experimeto, poder seleccioar la mejor combiació de ellos, se busca que F 0 > F T ab. Si el caso es buscar si ua observació yijkl resulta ser ifluyete, al aislarla del aálisis, el valor tabulado a usar e la prueba es FT ab, es decir, para rechazaría la hipótesis ula de o ifluecia de u grupo de observacioes si F 0 > FT ab. Por lo tato, uo de los efectos que tedría ua observació ifluyete (yijkl ) sobre el aálisis, es que si F T ab < F 0 < FT ab etoces puede rechazarse la hipótesis ula cuado e realidad o hay evidecia suficiete para hacerlo. Por otra parte, cabe aotar que a medida que el valor de q tiede a ser muy grade, la diferecia etre los valores tabulados tambié aumeta. Si embargo, es de esperar que el úmero de observacioes cosideradas ifluyetes e u experimeto o sea muy grade e relació al úmero total de observacioes. 4.1 Efecto sobre las sumas de cuadrados del modelo Ua forma clara de observar el efecto que tedría las observacioes ifluyetes sobre las sumas de cuadrados del modelo, es aalizar la diferecia etre las ecuacioes de éstas e el modelo balaceado y sus ecuacioes e el modelo desbalaceado. Partiedo de este puto, si se hace la diferecia etre la suma de cuadrados de los tratamietos plateada mediate la 134 Igeiería y Ciecia

15 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez ecuació presetada (3) y la suma de cuadrados de los tratamietos del modelo reducido, e ua observació, se tiee que: ( ) SC T rata SCT rata = 3 yijk. 2 y2... yijk. 2 y2... (18) N N i=1 j=1 k=1 ijk i=1 j=1 k=1 pero la primera expresió de la suma de cuadrados de los tratamietos del modelo desbalaceado, se puede expresar e térmios del primer sumado de la ecuació de la suma de cuadrados de los tratamietos del modelo balaceado, es decir: y 2 ijk. ijk i=1 j=1 k=1 = 3 i=1 j=1 k=1 y 2 ijk. y 2 (ijk.) + y2 ijk. 1 (19) el térmio yijk. 2 correspode al total del tratamieto ijk-ésimo e dode se ecuetra la observació cosiderada ifluyete e el modelo balaceado, elevado al cuadrado y dividido por, y el termio yijk. 2 correspode al total del mismo tratamieto ijk-ésimo pero e el modelo desbalaceado, otado por (ijk) y dividido por el úmero de observacioes resultates allí ( 1). Reemplazado (19) e (18) y luego, desarrollado y despejado se llega a que: ( ) ( ) yijk. SC T rata = 2 y2 ijk. y 2... y SC 1 N N T rata Por cosiguiete, se tiee que la suma de cuadrados de los tratamietos e el modelo completo, es decir bajo la ifluecia de la observació y ijkl, se puede expresar como la suma de cuadrados del modelo desbalaceado (modelo si ifluecia) más el efecto de dicha observació sobre el tratamieto que la cotiee (dado por la diferecia etre el cuadrado del total del tratamieto que la cotiee e el modelo balaceado y el cuadrado del total del mismo tratamieto e el modelo desbalaceado, cada uo sobre el úmero de observacioes que cotiee), corregido por el efecto de la observació sobre el total geeral del modelo dado por la diferecia etre el cuadrado del total del modelo balaceado, dividido por el úmero total de observacioes (N), y el cuadrado del total del modelo desbalaceado, dividido por su úmero total de observacioes (N 1). De esta maera, es claro que el efecto que tiee la observació ifluyete sobre las sumas de cuadrados de los tratamietos, es sigificativa a medida que la ifluecia sobre el total del tratamieto e dode se ecuetre la ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

16 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω observació, sea grade, es decir si la observació guarda amplia diferecia co los valores de las demás réplicas e el mismo tratamieto. U resultado muy importate es la geeralizació de este hecho, para q observacioes ifluyetes e u diseño de efectos fijos co ω factores a tres iveles cada uo: R1. El efecto de observacioes ifluyetes sobre la suma de cuadrados de los tratamietos de u diseño factorial 3 ω, está dado por la siguiete ecuació: ( S SC T rata = y 2 s S ) ( ys 2 y 2 s... N y2... N ) + SC T rata El primer térmio correspode a la diferecia etre la suma de los S totales de los tratamietos (s = 1, 2,..., S), dode se ecuetre distribuidas las q observacioes ifluyetes e el modelo balaceado, elevados al cuadrado y dividido por el úmero de réplicas hechas e ellos; y la suma de los mismos S totales de los tratamietos pero del modelo desbalaceado, es decir, si las q observacioes; elevados al cuadrado y poderados por el úmero de observacioes e cada uo. El segudo térmio correspode al efecto de las observacioes al ivel de los totales del modelo y el último a la suma de cuadrados del modelo reducido. El subídice s etoces, hace referecia a ua combiació de los iveles de los ω factores ivolucrados, que coforma u tratamieto específico, es decir s = (i, j, k,..., w). Al igual que co la suma de cuadrados de los tratamietos, puede aalizarse el efecto de las observacioes ifluyetes, sobre las sumas de cuadrados de los efectos pricipales, las sumas de cuadrados de los efectos de las iteraccioes dobles y triples, realizado la diferecia etre las ecuacioes (10) y las ecuacioes (12). Los resultados se preseta a cotiuació: Efectos sobre sumas de cuadrados de efectos pricipales: ( y 2 SC A = i... SC B = y2 i... 1 ) ( y 2.j.. y2.j.. 1 ) ( y 2... N ( y 2... N y2... N y2... N ) + SC A ) + SC B 136 Igeiería y Ciecia

17 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez ( ) y 2 ( SC C =..k. y2..k. y 2 )... 1 N y2... N + SCC Efectos sobre sumas de cuadrados de iteraccioes dobles: ( ) y 2 ( ij.. SC AB = 3 y2 ij.. y 2 ) i y2 i... 1 ( ) y 2 (.j.. y2.j.. y 2 ) N y2... N + SCA ( ) y 2 ( SC AC = i.k. 3 y2 i.k. y 2 ) i y2 i... 1 ( ) y 2 (..k. y2..k. y 2 ) N y2... N + SCAC ( ) ( ) y 2.jk. SC BC = 3 y2.jk. y 2.j y2.j.. 1 ( ) y 2 (..k. y2..k. y 2 ) N y2... N + SCBC Efectos sobre sumas de cuadrados de iteraccioes triples: SC ABC = ( y 2 ijk. ) y2 ijk. SC A SC B SC C SC AB 1 SC AC SC BC ( y 2... N y2... N ) + SC ABC Similarmete, resulta muy importate la geeralizació de este hecho para q observacioes ifluyetes e u diseño de efectos fijos co ω factores a tres iveles cada uo: R2. El efecto de q observacioes ifluyetes sobre la suma de cuadrados de los efectos pricipales, de u diseño factorial 3 ω, está dado por la siguiete ecuació: ( S SC ωt = ys 2 S 3 ω t 1 ) ( ys 2 y ω t 1 q N y2... N ) + SC ω t El primer termio correspode a la diferecia de la suma de los totales de los S tratamietos dode se ecuetra distribuidas las observacioes ifluyetes, elevados al cuadrado y dividido por el úmero ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

18 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω de observacioes e ellos; y la suma de los totales de los mismos S tratamietos, pero e el modelo desbalaceado. Esta diferecia es corregida por el efecto de las observacioes sobre los totales del modelo. El subídice t = 1, 2,..., ω deota el factor al que se hace referecia. La adició de estos térmios a las sumas de cuadrado de los efectos pricipales del modelo desbalaceado, es la ifluecia sigificativa que resulta e las sumas de cuadrado del modelo balaceado (bajo la ifluecia). Las ecuacioes para mostrar los efectos sobre las sumas de cuadrados de las iteraccioes dobles, triples y las demás combiacioes de los factores, o se preseta por ser compleja su escritura. Si embargo, se aclara que la iterpretació y los resultados básicamete so los mismos ecotrados para las sumas de cuadrados de los efectos pricipales. 4.2 Efecto sobre las estimacioes de los parámetros del modelo Las estimacioes de los parámetros del modelo plateado e (1) está dadas e térmios del promedio geeral, de los promedios de los tratamietos y de las iteraccioes etre los mismos [23]. Los estimadores para los parámetros del modelo desbalaceado se calcula de igual forma, como se muestra a cotiuació: Estimacioes modelo balaceado Estimacioes modelo desbalaceado ˆµ = ȳ... ˆµ = ȳ... α i = ȳ i... ȳ... α i = ȳi... ȳ... β j = ȳ.j.. ȳ... β j = ȳ.j.. ȳ... γ k = ȳ..k. ȳ... γ k = ȳ..k. ȳ... αβ ij = ȳ ij.. ȳ i... ȳ.j.. + ȳ... αβ ij = ȳij.. ȳi... ȳ.j.. + ȳ... αγ ik = ȳ i.k. ȳ i... ȳ..k. + ȳ... αγ ik = ȳ i.k. ȳi... ȳ..k. + ȳ... βγ jk = ȳ.jk. ȳ.j.. ȳ..k. + ȳ... βγ jk = ȳ.jk. ȳ.j.. ȳ..k. + ȳ... αβγ ijk = ȳ ijk. ȳ i... ȳ.j.. ȳ..k. + ȳ... αβγ ijk = ȳ ijk. ȳi... ȳ.j.. ȳ..k. + ȳ... Por lo tato, el efecto que sobre el estimador de la media geeral del modelo µ, pudiera causar las observacioes ifluyetes está dado por: ˆµ ˆµ = ȳ... ȳ... (20) 138 Igeiería y Ciecia

19 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez Teiedo e cueta que las expresioes correspodietes a estos dos sumados so: ȳ... = 1 N i=1 j=1 k=1 l=1 y ijkl y ȳ... = 1 N ijk y ijkl i=1 j=1 k=1 l=1 co 3 i=1 3 j=1 3 k=1 ijk = N = N q, e dode q es el úmero de observacioes cosideradas ifluyetes. La media estimada del modelo reducido se puede escribir e térmios del modelo completo partiedo de la siguiete igualdad: ijk i=1 j=1 k=1 l=1 y ijkl = 3 i=1 j=1 k=1 l=1 y ijkl q y s co s = 1, 2,..., q, y q y s la suma total de los valores de las observacioes ifluyetes e el modelo completo. Luego, la diferecia plateada e (20), puede expresarse como: ˆµ ˆµ = 1 N ijk i=1 j=1 k=1 l=1 y ijkl 1 N q i=1 j=1 k=1 l=1 y ijkl + 1 N q Desarrollado algebraicamete y despejado ˆµ se llega a que: ˆµ = 1 N q ( ) y s + 1 q N ˆµ q y s Lo que dice esta expresió es que la estimació del parámetro de la media global, ivolucrado las observacioes ifluyetes, resulta igual a la estimació del parámetro si ellas presetes, poderada por la proporció de observacioes o ifluyetes, más la suma de los valores de las observacioes ifluyetes, divididas por el úmero total de observacioes Efecto sobre las estimacioes de los efectos pricipales Se puede demostrar que al igual que e el caso del parámetro de la media geeral del modelo, la estimació del parámetro de u efecto pricipal e el modelo completo, es igual a la estimació del parámetro para el mismo efecto e el modelo reducido, poderada por la proporció de observacioes o ifluyetes que cotiee los tratamietos e dode se ivolucra dicho factor; más la suma de los valores de las observacioes ifluyetes e el ivel cosiderado, divididas por úmero total de observacioes de dicho ivel. ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

20 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω Adicioalmete, se le resta el efecto dado por la diferecia etre las medias globales de ambos modelos, poderada por el porcetaje de observacioes o ifluyetes e el grupo cosiderado. ˆα i = 1 ˆβ j = 1 ˆγ k = 1 q i q j q k ( y s + 1 q ) ( i ˆα i 1 q ) i (ˆµ ˆµ ), ( y s + 1 q ) ( j ˆβ j 1 q ) j (ˆµ ˆµ ) ( y s + 1 q k ) ˆγ k ( 1 q ) k (ˆµ ˆµ ) Efecto sobre las estimacioes de los efectos dobles y triples De maera geeral, tomado la diferecia etre cualquier estimador de u parámetro del modelo completo, y el estimador del mismo parámetro e el modelo reducido, puede verse que la estimació del primero está dada e térmios del segudo, más u térmio que correspode a la suma de las observacioes ifluyetes, y sustrayedo la diferecia etre las medias globales de ambos modelos, poderada por la proporció de observacioes o ifluyetes. αβ ij = 1 q ij 3 q ijk αβγ ijk = 1 ( y s + ( y s + 1 q ij 1 q ijk ) αβ ij ( ) αβγ ijk ( 1 q ij 1 q ijk ) (ˆµ ˆµ ) ) (ˆµ ˆµ ) Es decir, que si existe observacioes ifluyetes, los estimadores de los parámetros del modelo, será las estimacioes de los parámetros del modelo que excluye dichas observacioes más uos térmios correspodietes al peso del úmero de observacioes ifluyetes y a su efecto e la media geeral; que modifica sigificativamete el valor del estimador si o se cosiderara las observacioes ifluyetes. R3 Cuado se tiee ω factores, la forma geeral de los estimadores bajo el modelo completo y el efecto de observacioes ifluyetes, está dada por: ˆα i = 1 3 ω 1 q i ( y s + 1 q ) ( i 3 ω 1 ˆα i 1 q ) i 3 ω 1 (ˆµ ˆµ ) 140 Igeiería y Ciecia

21 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez αβ ij = 1 q ij ( 3 ω 2 y s + 1 q ) ( ij αβ 3 ω 2 ij 1 q ) ij 3 ω 2 (ˆµ ˆµ ) y así sucesivamete, hasta la iteracció de todos los ω factores: Ẑ ijk...w = 1 q ijk...w y s + ( 1 q ijk...w ) Ẑ ijk...w ( 1 q ) ijk...w (ˆµ ˆµ ) dode los y s (s = 1, 2,..., q ijk...w ) correspode a las observacioes ifluyetes cosideradas e el tratamieto dado por la combiació (ijk... w) de los iveles de los ω factores. 5 Aplicació A cotiuació se preseta u ejemplo de u diseño factorial 3 3, citado por Melo, López y Melo [24] y estudiado por Médez [25]. E ua plata idustrial se estudió el efecto de los factores días, operadores y cocetracioes de solvetes e el redimieto de la plata. Días y operadores era efectos cualitativos y las cocetracioes fuero 0.5, 1.0 y 2.0, que auque o so igualmete espaciadas, sus logaritmos si so igualmete espaciados, y éstos se usa si se desea observar la forma de la respuesta a través de este factor. El diseño experimetal fue completamete aleatorizado y los factores se cosideraro fijos. Se hiciero tres repeticioes de cada uo de los 27 tratamietos. Los datos codificados, a los que se les restó 20 para simplificar los cálculos se preseta e la Tabla 3. Tabla 3: Datos para el ejemplo de u diseño factorial 3 3. Días (D) Cocetracioes (C) 5/14 5/15 5/16 Operadores (O) O1 O2 O3 O1 O2 O3 O1 O2 O ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

22 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω Como primera medida, se hizo ua revisió gráfica de la iformació co el fi de observar si existe iteraccioes etre los iveles de los factores. E la Figura 1 se observa que los tres factores iteractúa etre sí. Por otro lado, el iterés es evaluar la existecia de observacioes ifluyetes detro del cojuto de datos, de tal forma que si es afirmativa, pueda verse alguos de los efectos causados sobre las sumas de cuadrados, las estimacioes y las hipótesis a probar. Para el ejemplo, después de realizar ua PROC GLM e el software estadístico SAS, se realizaro las pruebas mecioadas e la secció 3, sobre detecció de datos ifluyetes, co el fi de comparar los resultados co los arrojados por la estadística F q. El procedimieto para evaluar si ua observació es ifluyete o o a través de la estadística F 1, es similar al utilizado e la distacia de Cook. Es decir, que debe evaluarse las N observacioes de modo que resulta N estadísticas F 1. media del redimieto (a) Iteracció etre los factores Días y Operador Operador O1 O3 O2 5/14 5/15 5/16 Días media del redimieto (b) Iteracció etre los factores Días y Cocetració Cocetració /14 5/15 5/16 Días (c) Iteracció etre los factores Operador y Cocetració media del redimieto Cocetració O1 O2 O3 Operador Figura 1: Iteracció etre combiacioes de dos factores 142 Igeiería y Ciecia

23 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez Luego de realizar las evaluacioes para cada ua de las observacioes, podría pesarse e realizarla para grupos de observacioes, pero este caso va sujeto al coocimieto del experimetador o u aálisis más detallado de la iformació. Para el caso del ejemplo, se evaluaro ua a ua cada observació obteiedo los resultados presetados e la Tabla 4, e dode se aprecia los valores de la distacia de Cook, los Dffits y los valores para la estadística F 1, calculados para los datos del ejemplo; a través de los cuales se puede observar la validez de la metodología propuesta. Tabla 4: Datos para el ejemplo de u diseño factorial 3 3. Obs D O C Cook s Dffits F 1 Obs D O C Cook s Dffits F 1 1 5/14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /15 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /14 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O /16 O /15 O La estadística F 1 e este caso, debe probarse cotra ua F (1,53,0.05) = 4.023, de tal forma que las observacioes co valores F 1 mayores a este valor, puede cosiderarse ifluyetes. Segú las distacias de Cook, las ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

24 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω observacioes que resulta ifluyetes so: 31, 32, 33 y 70. Esto cocuerda totalmete co el criterio de la metodología propuesta, e dode las observacioes co valores F 1 mayores a 4.023, correspode a las mismas detectadas por Cook. Icluso al observar el criterio de Cook y el de los D- ffits co el de la estadística F 1 e la observació 30, es claro que coicide al determiar como ulos esos valores (ver Figura 2). (a) Distacia de Cook (b) Dffits (c) Estadística F1 Distacia de Cook Dffits 4e+05 3e+05 2e+05 1e+05 0e+00 1e+05 F Observació Observació Observació Figura 2: Distacia de Cook, Dffits y estadística F 1 para los datos del ejemplo Como se observa e el gráfico, comparados a escala, los resultados so similares. La observació úmero 31, correspodiete al valor 7.0 del redimieto de la plata, es la observació co mayor ifluecia, segú lo dice la estadística F 1. Las estimacioes de los parámetros realizadas co el modelo completo se preseta e la Tabla 5, juto a las estimacioes del modelo reducido (excluyedo la observació 31). Es claro que hay diferecias sigificativas e las estimacioes del modelo cuado se excluye la observació ifluyete. Si embargo, el efecto de ésta se ve reflejado e las características del modelo. 144 Igeiería y Ciecia

25 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez Tabla 5: Estimacioes de los parámetros del modelo para los datos del ejemplo. Parámetro Parámetro Parámetro Efecto Est Est* Efecto Est Est* Efecto Est Est* µ αγ αβγ α αγ αβγ α αγ αβγ α αγ αβγ β αγ αβγ β αγ αβγ β βγ αβγ γ βγ αβγ γ βγ αβγ γ βγ αβγ αβ βγ αβγ αβ βγ αβγ αβ βγ αβγ αβ βγ αβγ αβ βγ αβγ αβ αβγ αβγ αβ αβγ αβγ αβ αβγ αβγ αβ αβγ αβγ αγ αβγ αβγ αγ αβγ αγ αβγ Tabla 6: Procedimieto GLM de SAS, para evaluar el modelo completo (balaceado) Suma de Cuadrado Fuete DF Cuadrados Medio F P r > F Modelo <.0001 Error Total R-cuadrado Coef Var Raiz MSE Y Media Tipo I SS y Cuadrado Fuete DF Tipo III SS Medio F P r > F D O C <.0001 D*O D*C O*C D*O*C ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre

26 Efecto de datos ifluyetes e el aálisis de diseños factoriales de efectos fijos 3 ω Este resultado dice que el modelo rechaza la hipótesis ula de que los efectos de los tratamietos so iguales u ivel de sigificacia del 5 % y ua F T ab = Tabla 7: Procedimieto GLM de SAS para evaluar el modelo reducido (desbalaceado) Suma de Cuadrado Fuete DF Cuadrados Medio F P r > F Modelo <.0001 Error Total R-cuadrado Coef Var Raiz MSE Y Media Cuadrado Fuete DF Tipo I SS Medio F P r > F D O <.001 C <.001 D*O D*C O*C D*O*C Cuadrado Fuete DF Tipo III SS Medio F P r > F D O <.001 C <.001 D*O D*C O*C D*O*C Este resultado dice que el modelo rechaza la hipótesis ula de que los efectos de los tratamietos so iguales u ivel de sigificacia del 5 % y u FT ab = Auque el resultado es el mismo, es decir, ambos modelos rechaza la hipótesis ula superado los valores F T ab = 1.70 y FT ab = 1.71, co F 0 = 62.5 y F0 = Si embargo, la diferecia etre estos dos últimos es grade, es decir, F0 casi duplica a F 0. El efecto de la observació 31, ifluyete e este caso, sobre el estadístico de prueba del aálisis de variaza, si fuese el valor tabulado más pequeño 146 Igeiería y Ciecia

27 Oscar O. Melo, Carlos A. Falla y José A. Jiméez que el del ejemplo, podría llevar a coclusioes erróeas. Es decir, si el valor tabulado estuviese etre 62.5 y 100.8, el aálisis del modelo completo o rechazaría la hipótesis ula y diría que los efectos de los tratamietos so los mismos, mietras que al excluir la ifluecia, sería claro que o es así. Por otra parte, cabe aotar que las características de los modelos varía sigificativamete. El modelo balaceado ajustado (ver Tabla 6) tiee u R 2 = y u coeficiete de variació de , mietras que el modelo desbalaceado ajustado (ver Tabla 7) tiee u R 2 = y u coeficiete de variació de ; lo que idica que el modelo ajustado, excluyedo la ifluecia, es mucho mejor que cuado ésta se tiee e cueta. 6 Coclusioes Se ha cerrado u primer paso e la costrucció de ua herramieta estadística que es útil como moitor de alerta a la ifluecia de observacioes, e cojutos de datos co u diseño factorial de efectos fijos 3 ω. Esta herramieta se refiere a la estadística F q, que a u ivel de sigificacia α % sigue ua distribució F co q y N 27 q grados de libertad y rechaza la hipótesis ula si F q > F (q,n 27 q,α). Por otra parte, se ha mostrado que la eficiecia de la estadística, preseta u criterio igualmete objetivo y sólido como el de otras alterativas y técicas recoocidas e la detecció de observacioes ifluyetes. Si embargo, al mometo del aálisis, se sugiere o excluir el uso de dichas técicas, de tal maera que e la aplicació siempre se compare sus resultados co el estadístico propuesto e este artículo. Como este trabajo costituye ua propuesta teórica, se sugiere que trabajos posteriores someta los resultados a estudios comparativos y de aplicació. Adicioalmete, el desarrollo teórico y práctico de la estadística F q para diseños factoriales 3 ω, o resulta complicada, por lo que puede realizarse el mismo desarrollo para diseños factoriales co otro úmero de iveles, co la garatía de obteer resultados como los logrados e este trabajo. ig.ciec., vol. 11, o. 22, pp , julio-diciembre