LENGUAJES, GRÁMATICAS Y AUTÓMATAS

Transcripción

1 LENGUAJES, GRÁMATICAS Y AUTÓMATAS

2 LENGUAJES, GRÁMATICAS, AUTÓMATAS Dspués d un arduo rcorrido hmos llgado al último tma dl programa, qu stá muy rlacionado con las cincias d la computación. Vivimos n la ra d las comunicacions, y día a día nos ncontramos con problmas qu podmos llamar d ntrada y d salida. Nos rfrimos a accions qu ralizamos, por jmplo, cuando subimos al colctivo: las mondas qu introducimos n la máquina constituyn la ntrada y l bolto la salida. Otro jmplo cotidiano lo constituy la computadora: la ntrada son los datos, la información, y la salida s l rsultado qu s obtin dspués d habrlos procsado. En todos sos casos, s utilizan tipos d lnguajs mdiant los cuals las máquinas pudn procsar la información d ntrada y ralizar las accions para la opración d salida. En sta unidad rcurrirmos a muchos d los concptos ya studiados para abordar un tma nuvo qu son las máquinas d stado finito o circuitos scuncials ( rcordmos qu ya vimos circuitos no scuncials, las rds d compurtas, n álgbra d Bool) Para llo abordarmos primro l concpto d lnguaj formal y d gramática. Sgún l Wbstr s Nw Coollgiat Dictionary, un lnguaj s un conjunto d palabras y métodos para a combinar palabras, qu s usado y ntndido por un xtnso grupo d prsonas. Con frcuncia a lnguajs d tal tipo s los llama lnguajs naturals para distinguirlos d los formals, qu son los qu s aplican para modlar un lnguaj natural y comunicars con la computadora. Sin mbargo, ambos tipos d lnguajs tinn algunas custions n común como por jmplo un alfabto y rglas gramaticals. Concrtando, los lnguajs pudn clasificars n naturals y formals. Los lnguajs naturals s caractrizan por: - una smántica, s dcir, un significado - una sintaxis, s dcir, un conjunto d rglas gramaticals. Son jmplos d st tipo d lnguaj, los lnguajs d srs humanos, tals como: chino, spañol, inglés. Los lnguajs formal s caractrizan por tnr rglas gramaticals prstablcidas. Son jmplo d st tipo d lnguaj los lnguajs d programación. Nos ocuparmos n sta unidad d tratar sus particularidads. Para ntndr l significado dl concpto lnguaj vamos a dfinir primro otros tals como alfabto, ltra y palabra. Un alfabto s un conjunto no vacío y finito d símbolos. Los símbolos dl alfabto son las ltras, strings o caractrs. Sul indicars con la ltra V., USA, 28, ISBN

3 Tngamos n cunta qu un alfabto, como todo conjunto, db star bin dfinido, s dcir no dbn qudar dudas acrca d cuáls son los lmntos qu lo componn, por jmplo si l alfabto fura {a, b, ab s plantarían dudas acrca dl lmnto ab, s un lmnto dl conjunto?, s construyó usando a, b?; sas dudas no pudn xistir. Los lmntos qu prtncn al conjunto Alfabto s dnominan ltras, por jmplo la ltra forma part d los alfabtos qu s usan n los idiomas spañol, italiano, inglés, ntr otros. Para l alfabto V= {a, b, tanto la a, como la b son ltras, simplmnt por sr lmntos dl s conjunto. Toda scuncia finita d ltras d un alfabto s dnomina palabra. Por jmplo para l alfabto V={, -qu muchas vcs s dnomina alfabto binario- son palabras,. Podmos indicarlas w=, z=. Al conjunto d todas las palabras qu s pudn construir con las ltras d un alfabto s lo indica V*; tngamos n cunta qu si bin l alfabto s finito, V* no lo s. Por jmplo: Sa V = {a, b, l alfabto formado por los símbolos a y b. v = ababbaaaw = bbbbx = aaaaason palabras d V*. Llamamos a la palabra nula., s dcir aqulla qu no tin ltras. Algo para tnr n cunta s qu convnimos qu la palabra nula simpr prtnc a V*, sin importarnos cual s l alfabto V. Las siguints son opracions para ralizar con palabras sobr un alfabto V. Estas opracions son: Concatnación: si x y son palabras, la concatnación, x.y s una palabra formada por los símbolos d x sguidos por los símbolos d y. Vamos algunos jmplos Sa V = {, alfabto binario, san v, w y palabras d V* San v=, w= La palabra y= vw qu lmos v contatnado con w quda: y = Tngamos n cunta, admás, qu la concatnación s una opración binaria y crrada n l conjunto V*. T animás a analizar las propidads d la concatnación? Si tnés alguna dificultad, podés consultar con tu tutor o rcurrir al libro d la cátdra, n l capítulo 9. 2

4 Potnciación: si concatnamos n vcs una cadna x, s dcir..., x.x.x.x.x...x obtndrmos xn. n Tngamos n cunta qu si n =, s tin la palabra nula y si n = la palabra qu s tin s la dada. En ralidad la potnciación s un caso particular d la concatnación, ya qu concatna una sola palabra n vcs. Podés consultar una dfinición por rcurrncia n l capítulo 9 dl libro d la cátdra. Ejmplo Si concatnamos 2 vcs la cadna x obtndrmos x². Si concatnamos 3 vcs la cadna x, obtndrmos x³. Ejmplo 2 San v=w= la palabra qu s obtin s y = vw qu lmos y. v concatnado con w, por lo qu rsulta y = - Rflxión, invrsa o trasposición: si la palabra x stá formada por los símbolos a, a 2,..., a n, ntoncs la palabra invrsa d x, qu indicamos x R, s forma invirtindo l ordn d los símbolos n la palabra; x R = a n,..., a 2, a. Podrías rconocr cuáls d las opracions dfinidas son binarias y cuáls son unitarias? Cuando rconozcas las binarias stablcé si son crradas n V*. Si la rspusta s afirmativa, sñalá qué propidads cumpln. Si no podés contstar, rcurrí a tu tutor o al capítulo 9 dl libro d la cátdra. Para continuar, vamos l siguint caso: Sa w = abc ntoncs w R = cba Como ya dijimos V* dnota a todas las palabras dl alfabto V, s dcir qu cada lmnto d V* s una scuncia finita d ltras dl alfabto ya qu s una palabra. Ejmplo: Si V = {a, b, l alfabto formado por los símbolos a y b s tin qu v = ababbaaaw w= bbbbx z= aaaaason son palabras d V* 3

5 Imaginmos ahora qu ncsitamos nviar un mnsaj qu db sr almacnado n un vctor, para so s útil conocr l númro d ltras qu vamos a usar y por lo tanto s ncsario dar una dfinición d longitud d una palabra, vamos ntoncs. La longitud d una cadna w s la cantidad d símbolos qu la forman. Lo indicarmos long.w= w= númro d ltras d w Tngamos n cunta qu la longitud d cualquir palabra srá un númro natural o cro. Por jmplo: Tnindo n cunta v=abba, w=bb, s tin Long v = v = 4 Long w = w = 2 Por lo tanto, si concatnamos v sguido d w, s tin la palabra y =abbabb y ntoncs Long y = long v + long w = 6 Como la palabra nula,, carc d caractrs o símbolos tin longitud cro, =. En síntsis, podmos squmatizar los componnts d un alfabto d la siguint manra: Símbolo Ltra o caractr Cadna o palabra Alfabto Vamos ahora la dfinición d lnguaj Un lnguaj s un subconjunto d todas las palabras qu s pudn formar con las ltras d un alfabto V, s dcir s L V*. Consultá la dfinición formal n l capítulo 9 dl libro d la cátdra. 4

6 Las siguints son opracions qu pudn ralizars con los lnguajs; n cada caso prsntamos la dfinición y un jmplo aclaratorio (tngamos n cunta qu un lnguaj s un conjunto y por lo tanto son válidas las opracions para conjuntos): - Concatnación: Dados dos lnguajs L y L 2, su concatnación, L. L 2 contndrá todas las palabras qu s pudan formar por la concatnación d una palabra d L y otra d L 2. Por jmplo: Dados L = { nana, napa, lana y L 2 = {, nana, napa, pana, palabra, papa, pala L. L 2 = { nana, napa, lana, nananana, napanana,... Tngamos n cunta qu concatnamos cada palabra dl primr lnguaj con cada palabra dl sgundo. - Potncia: La potncia i-ésima d un lnguaj corrspond a la concatnación i vcs dl lnguaj n él mismo; lo indicamos i L = L. L.L.L...L dbría qudar i L = L. L.L.L...L i Tngamos n cunta qu si i=, obtnmos l lnguaj nulo qu indicamos { y qu si i = s obtin l mismo lnguaj. Por jmplo: Dado L = {, ntoncs L i ² = {,,, - Rflxión, Invrsión o Trasposición: La rflxión d un lnguaj L stá formada por la aplicación d la rflxión a cada una d las palabras dl lnguaj; la indicamos R R L = { x tal qu x L Por jmplo: Dado L = {,,,, ntoncs R L = {,,, i Rcordmos las siguints opracions ntr conjuntos, qu ahora aplicarmos a los lnguajs. - Unión: Dados dos lnguajs L y L 2, su unión L L 2 contndrá todas las palabras qu prtnzcan a cualquira d los dos lnguajs, L L 2 = { x tal qu x L x L 2 Ejmplo: Dados L = { nana, napa, lana y L 2 = {, nana, napa, pana, palabra, papa, pala L L 2 = {, nana, napa, lana, pana, palabra, papa, pala - Intrscción: Dados dos lnguajs L y L 2, su intrscción L L 2 contndrá todas las palabras qu prtnzcan a los dos lnguajs; L L 2 = { x tal qu x L y x L 2 Ejmplo: Dados L = { nana, napa, lana y 5

7 L 2 = {, nana, napa, pana, palabra, papa, pala L L 2 = { nana, napa - Difrncia: si L y L 2 son lnguajs la rsta d L y L 2, L - L 2, contndrá todas las palabras qu prtnzcan a L y no prtnzcan a L 2, L - L 2 = { x tal qu x L y x L 2 Ejmplo: Dados L = { nana, napa, lana y L 2 = {, nana, napa, pana, palabra, papa, pala L - L 2 = { napa, lana L 2 - L = {, pana, palabra, papa, pala Rcurr al libro d la cátdra n l capítulo 9 y trata d dscubrir l conjunto n l qu la concatnación d lnguajs y por lo tanto la potnciación s una opración crrada y binaria. Discut con l tutor las propidads. Vamos ahora las siguints dfinicions qu las aplicarmos al dsarrollo d autómatas finitos - Clausura d Kln: sa V un alfabto, sa N l conjunto d los númros naturals, sa n N U { y sa L un lnguaj d V* ntoncs: L* =Lº L¹ L² L³... L s la clausura d Kln dl lnguaj L. n L* L i= - Clausura Positiva: sa V un alfabto, sa N l conjunto d los númros naturals, sa n N y sa L un lnguaj d V* ntoncs: L + = L¹ L² L³... L s la clausura d positiva dl lnguaj L. n L LL i Ahora stás n condicions d rsolvr los siguints jrcicios qu t proponmos. Si t surg alguna prgunta o duda no djs d consultar a tu tutor.. Sa V = {,, indicá la longitud d las siguints palabras dl alfabto V: a = ; b = ; c = ; d = 6

8 2. Sa V = {a, b, l alfabto formado por los símbolos a y b, indicá cuáls d las siguints son palabras d V* a). v = ababbaca b). w = z c). z = a 3. Un Lnguaj formal pud sr infinito? 4. Indicá si las siguints opcions son vrdadras o falsas: sa V = {, 2, 3 a). a= L (V) b). b=32 L (V) c). c=4 L (V) 5. San V = {, 2, 3, a= V; b=32 V Concatná ab y ba. R Indicá v y R w, con v = ab y w = ba. 6. Es conmutativa la opración concatnación? 7. Sa V = {,, w =, hallá w con potncia,, 2 y 3, stablcé las longituds d dichas palabras. 8. Probá qu la concatnación n V* s un smigrupo. 9. Probá qu: long wª = a long w utilizando inducción matmática n a.. Sa w V*, indicá los valors d: a). b). w R R R. Dados los lnguajs L = {abc, aa, aba y L2 = {bbb, aaaaaaaa, abc hallá L * y L 2 *, L + y L Dados los lnguajs + + L = {, y L 2 = {,, indicá si L * = L 2 *? y L = L? 2 7

9 3. Sa l lnguaj L = {, mostrá qu la concatnación s crrada n L*. Si tnés dudas sobr la rsolución d stos jrcicios, plantáslas a tu tutor. Sinttizando, hasta aquí: Dfinimos los concptos d alfabto, ltra y palabra Vimos qu un alfabto db sr finito pro qu l conjunto d todas las palabras qu s pudn consguir con las ltras d cada alfabto simpr s infinito Dimos l concpto d longitud d una palabra y caractrizamos a la palabra nula qu s la qu no tin ltras Aprndimos a oprar con palabras con opracions binarias (concatnación) y unitarias (invrsión); notamos qu la potnciación d palabras s un caso particular d la concatnación Vimos l concpto informal y formal d Lnguaj Aprndimos a oprar con lnguajs y notamos qu s opra con cada palabra d cada lnguaj. Vimos qu las opracions ntr conjuntos son válidas n st caso y por lo tanto cumpln las mismas propidads qu n l caso d palabras Finalmnt dfinimos las clausuras positivas y d Kln d un lnguaj 8

10 Gramáticas Las gramáticas son dscripcions d las sntncias d los lnguajs, stablcn la structura qu dbn tnr las sntncias para qu stén bin formadas y para qu puda ntndrs su significado. Las gramáticas formals son dscripcions structurals d las sntncias d los lnguajs, tanto formals (lnguajs d programación ), como naturals ( humanos). En st último caso, la gramática s ocupa d la sintaxis ( s dcir la forma qu dbn tnr las sntncias).. Las gramáticas prmitn dscribir d forma intncional a los lnguajs; proporcionan rglas para la structura d las frass y su significado. Informalmnt podmos dcir qu una gramática s un modlo matmático qu consta d: - un alfabto, llamado alfabto d lmntos trminals qu rprsnta l conjunto d ltras qu tndrán las palabras dl lnguaj qu gnra sa gramática - un conjunto d símbolos spcials, dnominados no trminals, qu son lmntos auxiliars y prmitn rprsntar stados intrmdios ants d llgar al d la gnración d las palabras dl lnguaj. - un símbolo inicial dl qu s partirá para la obtnción d cualquira d las palabras dl lnguaj, dnominado cabza dl lnguaj, qu s uno d los lmntos no trminals. - un conjunto d produccions o rglas gramaticals qu prmitirán ralizar las transformacions dsd los símbolos no trminals a las palabras dl lnguaj. Formalizando lo dicho hasta aquí: S dfin a la Gramática formal G, como la cuádrupla: G = (Vn; Vt ; P ; s) dond: V n s un conjunto d lmntos llamados no trminals, qu sul llamars vocabulario d lmntos no trminals. V t s un conjunto d lmntos llamados trminals, sul dnominars vocabulario d lmntos trminals. P s un conjunto d produccions (rglas d sustitución) y S s un lmnto d V n llamado símbolo inicial. Algunas obsrvacions qu tndrmos qu tnr n cunta son las siguints:. El lnguaj gnrado por una gramática G s dnomina L(G). 2. Si la gramática G gnra un lnguaj L s indica G L(G) 3. Ninguna rgla gramatical pud comnzar con la palabra nula, 4. Dos gramáticas G y G 2 son quivalnts si L(G ) = L(G 2 ); s dcir, si gnran l mismo lnguaj. 5. El procso para obtnr las palabras dl lnguaj qu gnra la gramática s llama drivación 9

11 5.. S cominza con l símbolo inicial s S aplican las produccions d P al símbolo inicial s hasta obtnr sólo lmntos trminals Cualquir hilra qu s consigu usando l 5.2. s un lmnto dl lnguaj L(G). El qu sigu s un jmplo d gramática: Ejmplo Sa G una gramática n la cual: V t = {a, b V n = {S, A, B, dond S s l símbolo inicial. Las rglas gramaticals o produccions son S ab S ba A a A as A baa B b B bs B abb Pudn scribirs d la forma siguint: S ab/ ba A a/ as/ baa B b/bs/abb Aplicando las rglas gramaticals y tnindo n cunta qu sta gramática gnra palabras con las ltras a, b, dbmos plantarnos como objtivo liminar las ltras S, A, B. Tnmos qu comnzar con S, so no podmos lgirlo, pro si podmos slccionar cualquira d las opcions qu S nos ofrc, por jmplo: S ab A continuación, para liminar B lgimos B b, rmplazamos n la xprsión antrior y quda: S abab qu s una palabra dl lnguaj ya qu ambas ltras prtncn al vocabulario trminal. Vamos otra palabra (si hay qu rmplazar una ltra por más d una convin ponr un paréntsis), S ab a(bs) ab(ba) abb(baa) abbb(aa) abbb(aa) Finalmnt la palabra s w=abbbaa Qué hicimos? podés justificarlo? Si no stás sguro, consultalo con l tutor.

12 Rcordmos qu, cuando vimos lnguajs, sñalamos qu podían sr finitos o infinitos. Si n l caso antrior miramos las produccions, s dcir las rglas gramaticals, vmos qu tanto con A como con B volvmos al cominzo, s dcir a S. Como so lo podmos hacr tantas vcs como quramos, rsulta qu l lnguaj qu gnra sta gramática s infinito. Pud ocurrir qu nos pidan qu dscribamos s lnguaj ya qu s imposibl listar todas sus palabras. Si siguiéramos con l procdiminto podríamos obsrvar qu los nunciados dl lnguaj son todas las cadnas d ltras a y b n las qu l númro d ltras a s igual al númro d ltras b. Hilando más fino podmos dcir qu l no trminal A rprsnta l conjunto d cadnas n las qu l númro d ltras a s uno más qu l númro d ltras b, y l no trminal B rprsnta l conjunto d cadnas n las qu l númro d ltras b s uno más qu l númro d ltras a. Una forma práctica d rprsntar las drivacions son los árbols d drivación qu s utilizan n la construcción d compiladors para rprsntar l análisis sintáctico d los programas funt y sirvn d bas para la gnración d un código. Sin mbargo, no simpr s pudn usar. Ya vrmos cuando s posibl usarlos y cuando no. En los árbols d drivación: La cabza dl lnguaj s rprsnta n la raíz dl árbol Los nodos hojas dl árbol son símbolos trminals d la gramática Las drivacions s rprsntan crando tanto los sucsors dl símbolo no trminal d la izquirda d las produccions como los símbolos (trminals y no trminals) aparzcan n la part drcha d las produccions Vamos un jmplo d árbol d drivación para la gramática Ejmplo 2 Sa G = ({,,2; {a, b; P; ) con las siguints produccions: a2 / b a / a / b 2 b / b / a22 Algunas d las palabras dl lnguaj L(G) son: a2 ab L(G) El árbol d drivación s l siguint: a2 ab aba2 abab L(G) Cuyo árbol d drivación s:

13 a 2 a b 2 b a 2 a 2 b b Tngamos n cunta qu para cada palabra hay un árbol d drivación Finalmnt podmos prguntarnos cuando una palabra no prtnc al lnguaj gnrado por una gramática, sto sucd cuando al aplicar las rglas gramaticals no s pud obtnr la palabra n custión. Si nos rmitimos al jmplo, dond las palabras tnían l mismo númro d a qu d b, la palabra w= aabbb no podríamos ncontrarla La siguint clasificación d las gramáticas dada por l lingüista Noam Chomsky nos rsultará d gran utilidad para rconocr las gramáticas formals y usarlas para rsolvr distintos tipos d problmas. Clasificación d gramáticas: Noam Chomsky dfinió cuatro tipos d gramáticas formals, n función d las produccions, s dcir d las rglas gramaticals. Esta clasificación cominza con las más gnrals para finalizar n las qu prsntan más rstriccions, simpr tnindo n cunta las produccions. A continuación darmos la clasificación, para so considrarmos una producción gnérica x y, dond llamarmos part izquirda a x y part drcha a y Gramáticas d Tipo (sin rstriccions): En la part izquirda tin qu habr al mnos un símbolo no trminal. Rspcto a las parts drchas d sus produccions no hay ningún tipo d rstricción. Ejmplos:. S asbc abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc 2

14 2. G = ({, ; {A, B, S, S, P), dond P: S A A B A B B B B El lnguaj gnrado por sta gramática s: L(G) = {,, Gramáticas d Tipo I (dpndints o snsibls dl contxto): S dnominan gramáticas dpndints dl contxto porqu n llas s tin n cunta qu s lo qu vin ants y dspués dl símbolo qu s stá sustituyndo. Est tipo d gramática consist n qu las drivacions producidas por aplicación d sus rglas cumpln la condición d qu las palabras simpr tinn longitud mayor o igual qu las antriors n la drivación, s dcir x y, d dond no gnran la palabra nula. S llaman dpndints dl contxto porqu si hay una producción d la forma axy dond db sr rmplazado X: db hacrs d la forma siguint aty, dond T s l rmplazo d X qu rspta a lo qu roda a X. Ejmplos:. S abc aabc Ab ba Ac Bbcc bb Bb ab aa aaa 2. G = ({, ; {A, B, A, P), dond P: A B A B B El lnguaj gnrado por sta gramática s: L(G) = {,, Gramáticas d Tipo II (indpndints dl contxto) Estas gramáticas s dnominan d contxto libr, porqu a la hora d transformar una palabra n otra, l símbolo no trminal qu s transforma no dpnd d los qu stén a la izquirda o drcha. 3

15 En stas gramáticas, la part izquirda (x) d las produccions sólo pudn tnr un símbolo no trminal, s dcir x= Ejmplos:. S asb ab 2. L = {a k b k tal qu k s un lnguaj d tipo 2, pus pud spcificars mdiant la gramática d tipo 2: A aab A ab 3. Sa G = ({,, {A, B, A, P), dond P = {( A B), (A ), (B ), (B ) Esta gramática G, gnra a L(G) = {,, Gramáticas d Tipo III (rgulars o linals) Una gramática s rgular o tipo 3 si las produccions son d la forma x y dond: x s un único símbolo no trminal ( x V n ) y s concatnación d dos símbolos sindo uno d llos trminal (V t ) o, y s un único símbolo trminal o y s la palabra nula Algo para tnr n cunta s qu si una producción s d la forma V n V t n la misma gramática no pud habr una rgla V t V n Ejmplos:. A ab a l 2. Sa la gramática G = ({ a, b, c ; {, ; P; a ) con P dada por: a b c b b l c l 3. Sa la gramática G = ({ a, b, c ; {, ; P; a ) con P dada por: a b c b b c 4. Sa la gramática G = ({ a, b, c ; {, ; P; a ) con P dada por: 4

16 a b c b b c No s una gramática tipo 3 ya qu hay una producción b, d la forma V t V n y otra producción b qu s d la forma V n V t Podmos sinttizar la clasificación con l siguint cuadro: Gramática Tipo Sin rstriccions Gnra lnguajs rcursivamnt numrabls Gramática Tipo I Gramática Tipo II Dpndints dl contxto (s tin n cunta lo qu vin ants y dspués dl símbolo qu s sustituy). Gnra lnguajs snsibls (o dpndints) al contxto Las produccions son dl tipo: dond, {Vn Vt Las produccions son no-contractivas: Nunca gnra a la palabra nula Librs d contxto Gnra lnguajs librs al contxto El lado izquirdo db consistir n un solo no trminal No hay rstriccions al lado drcho Gramática Tipo III Rgulars Gnra lnguajs rgulars El lado izquirdo db consistir n un solo no trminal El lado drcho db sr un trminal sguido d un no trminal, o un solo trminal o la cadna vacía Sinttizando lo qu hmos visto hasta ahora: Las gramáticas nos dan las rglas para ir formando las palabras d un lnguaj Formalmnt son cuádruplas G = (Vn; Vt; P, s) Para obtnr palabras s dbn ir aplicando las produccions o rglas grama ticals. Avcs s pudn utilizar árbols d drivación. Las gramáticas s clasifican n 4 tipos d acurdo a sus produccions: tipo o irrstrictas, tipo o snsibls al contxto, tipo 2 o indpndints dl contxto y tipo 3 o rgulars. 5

17 En sta asignatura nos ddicarmos principalmnt a los lnguajs rgulars o tipo 3, s dcir los qu pudn sr gnrados por gramáticas tipo 3, y qu como vrmos n la scción siguint van a sr rconocidos por máquinas abstractas llamadas autómatas finitos. Sin mbargo, para qu tngas una ida, la mayoría d los lnguajs d programación son tipo 2 o indpndints dl contxto. Ellos son rconocidos por otro tipo d máquinas llamadas autómatas d pila. Pro para podr comprndr bin dichos lnguajs y dichas máquinas, primro s ncsario conocr bin los lnguajs rgulars y los autómatas finitos, qu son las máquinas más simpls. A continuación los jrcicios rsultos t ayudarán a afianzar l tma:. Obtné las drivacions d las palabras 2 y a partir d la siguint gramática: G = ({,, 2;{A, B; P; A) P: A B A 2 B A B Dscribí l árbol d drivación y obtné l lnguaj qu gnra. Las palabras s pudn obtnr d las siguints drivacions: 2: A B A 2 : A B B Los árbols d drivación aparcn n la figura siguint: A A B B A A B 2 Para obtnr l lnguaj, habrá qu analizar qué palabras pudn drivars dsd l axioma. Así qu s pudn obtnr las siguints drivacions: A 2 A B A B A 2 A B A B A B A B A 2 6

18 Por lo tanto, pud aparcr un 2 prcdido d un númro par d s ó un prcdido por un númro impar d s. Si s dfin un lnguaj L como: L = { n 2 / n = 2.x y un lnguaj L 2 = { ª / a = 2.y + ntoncs, l lnguaj gnrado por la gramática s pud dfinir como L(G) = L L 2, o lo qu s lo mismo: L(G) = { n 2 ª / n = 2.xa = 2.y + 2. Dados los siguints alfabtos: V = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 V 2 = { a, b, c, d,, f, g, h Y los lnguajs: L(V ) = { x x V y L 2 (V 2 ) = { x x V 2 Dfinir los lnguajs L L 2, L. L 2 y (L. L 2 )² En st caso, una numración muy utilizada para los tablros d ajdrz s numrar las filas dl al 8 y las columnas d la a a la h, con lo qu l lnguaj rsultant d L. L 2 rprsntaría todas las casillas d ajdrz. (L. L 2 )² = { x ² = x.x x (L. L 2 ) = = { aa,..., a8a, ab,..., ba,..., 8h8h El númro d palabras dl lnguaj rsultant sría (L. L 2 )² = Dtrminá si la gramática dada s snsibl al contxto, libr dl contxto, rgular o bin ninguna d éstas: a. T = { a, b, N = { *, A, con composicions: * b *, * aa, a a *, A ba, A a, * b, y símbolo inicial *. Solución: rgular, libr d contxto, snsibl d contxto. Es important simpr dar l último tipo alcanzado. Es dcir n st caso no podmos djar d dcir qu s rgular b. T = { a, b, N = { *, A, B, con composicions: * b *, * AAB, Aa ABa, a aa, Bb ABb, AB ABB, B b, y símbolo inicial *. 7

19 Solución: s tipo I o snsibl al contxto c. <S> b <S> a<a> a <A> a <S> b<b> <B> b <A> a<s> b, con símbolo inicial <S>. Solución: rgular, libr d contxto, snsibl d contxto.lo important s qu s tipo 2 o libr d contxto Autómatas: Lnguajs, Gramáticas Rgulars y Autómatas A continuación s dmostrará qu una gramática rgular y un autómata d stado finitos son, n sncia, lo mismo pus cualquira d llos s una spcificación d un lnguaj rgular. Comncmos por l concpto d lnguaj rgular. Podmos dcir, informalmnt, qu un lnguaj s rgular si xist una gramática rgular qu lo gnr. Una dfinición formal pud sr dada n forma rcursiva, como s da a continuación. s un lnguaj rgular. 2. { s un lnguaj rgular. 3. Si V s un alfabto y a V ntoncs {a s un lnguaj rgular. 4. Si L y L 2 son dos lnguajs rgulars ntoncs: L L 2, L L 2 y L * son lnguajs rgulars. 5. Ningún otro lnguaj sobr V s rgular. Vamos los siguints jmplos:. Sa V = {a, b los siguints lnguajs son rgulars: L = { ab, ba L 2 = { bb L L 2 = { ab, ba, bb L 3 = V* 8

20 2. Todos los númros binarios qu cominzan con un númro par d s y trminan con un, s un lnguaj rgular infinito sobr l alfabto {, 2 L = { n con n Algo para tnr n cunta: Si un lnguaj formal s finito ntoncs s un Lnguaj Rgular. Un lnguaj s rgular si pud sr rconocido por un Autómata Finito. A continuación nos rfrirmos a las Exprsions Rgulars qu nos facilitarán la manra d dscribir un lnguaj rgular y qu s construyn utilizando los caractrs dl alfabto sobr l cual s dfin l lnguaj. Vamos la dfinición formal, qu la darmos por rcurrncia: Sa A un alfabto. Una xprsión rgular sobr A s un scuncia d lmntos d A conctados por los siguints símbolos (,),, * qu vrifican: palabra nula): s una xprsión rgular. Si a A ntoncs a s una xprsión rgular. Si x y son xprsions rgulars ntoncs xy s una xprsión rgular. Si x y son xprsions rgulars ntoncs x y s una xprsión rgular. Si x s una xprsión rgular ntoncs (x)* s una xprsión rgular. Tngamos n cunta lo siguint: asociado a cada xprsión rgular sobr l alfabto A hay un subconjunto d A*, qu s llama subconjunto o lnguaj rgular. Los siguints Ejmplos: nos ayudarán a aclarar idas. La Exprsión Rgular a*ba*ba rprsnta al lnguaj d todas las palabras sobr l alfabto {a, b con 2 b y una a, comnzando o no con as. Son palabras d st lnguaj: bba, abba, aabaaba Sa l alfabto A = {,, la Exprsión Rgular ( ) * rprsnta al lnguaj d los númros binarios qu cominzan con un ó un, l qu pud o no sr sguido por ó más s. Son palabras d st lnguaj:,,,,,,... Un Lnguaj Rgular db podr sr rconocido por un autómata finito. Un autómata finito s una hrraminta abstracta qu s utiliza para rconocr un dtrminado Lnguaj Rgular. Es un modlo matmático d un sistma qu rcib una cadna formada por caractrs d un dtrminado alfabto y dtrmina si sa cadna prtnc o no al lnguaj qu rconoc. 9

21 Una máquina procsadora d información s un dispositivo qu rcib un conjunto d sñals d ntrada qu produc n corrspondncia un conjunto d sñals d salida. Vamos los siguints casos qu sguramnt nos ayudarán a comprndr l tma. Por jmplo, podmos considrar qu una lámpara d msa s una máquina procsadora d información: la sñal d ntrada s la posición ENCENDIDO o la posición APAGADO dl intrruptor y la sñal d salida s la ILUMINACIÓN o la OSCURIDAD. Otro jmplo d máquina procsadora d información s un sumador, cuyas sñals d ntrada son dos númros dcimals y la sñal d salida, su suma. Gnralmnt, las sñals d ntrada para una máquina procsadora d información cambian con l timpo. Entoncs n st caso, las sñals d salida también variarán con l timpo, n la forma corrspondint. Es dcir, qu una máquina procsadora d información rcib una sri (tmporal) d sñals d ntrada y produc una corrspondint sri (tmporal) d sñals d salida. Otro jmplo s l d una máquina xpnddora, qu también s una máquina procsadora d información dond las sñals d ntrada son las mondas dpositadas y la slcción d la mrcadría, y las sñals d salida son las mrcadrías y posiblmnt l vulto. Advirtamos qu xist una difrncia ntr las máquinas citadas n los jmplos antriors. En l caso d la lámpara d msa, simpr qu la sñal d ntrada s ENCENDIDO, la sñal d salida s ILUMINACIÓN, y simpr qu la sñal d ntrada sa APAGADO, la sñal d salida s OSCURIDAD. Esto indica qu la sñal d salida dpnd n cualquir momnto solamnt d la sñal activada n s instant y no d las sñals d ntrada antriors a dicho instant. En cambio, n l caso d la máquina xpnddora, la sñal d salida obtnida n cualquir instant dpndrá no sólo d la sñal d ntrada dada n s instant, sino admás, d las sñals d ntrada prcdnts. Por jmplo tommos trs sñals d ntrada sucsivas: pso pso pso las corrspondints sñals d salida son: NADA NADA GASEOSA La máquina xpnddora s capaz d rcordar la cantidad total qu ha sido dpositado. Dividimos a los autómatas n dos class, con mmoria y sin mmoria. Es muy important tnr n cunta qu: Para una máquina sin mmoria, su salida n cualquir instant, sólo dpnd d la ntrada n tal instant. y qu para una máquina con mmoria, su salida n cualquir instant dpnd d la ntrada n dicho instant como d las ntradas n instants prvios, dbido a qu la máquina pud rcordar qu sucdió n l pasado. Un stado rprsnta un rsumn d la historia pasada d una máquina. Por lo qu, l stado d la máquina junto con las sñals d ntrada n un instant dtrminado, stablcrán las sñals d salida corrspondints a dicho instant. 2

22 Rcordmos l concpto d autómata finito: una máquina con un númro finito d stados, n cambio, una máquina con un númro infinito d stados s llama autómata infinito. Nosotros, como ya dijimos, nos ocuparmos d los autómatas finitos. Vamos a dfinirlos formalmnt: Una máquina con un númro finito d stados s llama máquina d stado finito. Una máquina d stado finito s la 5-upla M = (Q; V; ; q; F) dond: Q = {q, q 2,..., q n s l conjunto finito d stados d la máquina V s l alfabto d ntrada. : Q x V Q s la rlación d transición q Q y s dic stado inicial. F Q s l conjunto d stados finals. D la dfinición vamos a dstacar qu: La rlación d transición : Q x V Q s tal qu (q;x) = f x(q) (q;x) = fx(q) dscrib, para cada lmnto d V, l fcto qu sa sñal d ntrada tin n los stados d la máquina. Indicamos F = { f x : Q Q con x V El stado inicial q s único. Dntro d los autómatas finitos, ncontrarmos dtrminísticos y no dtrminísticos. Los autómatas finitos dtrminísticos transitan ntr stados d un conjunto d stados sgún rcibn los símbolos qu forman la palabra d ntrada. Hay trs tipos d stados: Estado inicial, qu prmit mpzar la jcución dl autómata. Estados finals, qu prmitn ralizar la salida d acptación d la palabra d ntrada n l caso d qu no haya más símbolos n la ntrada. Estados intrmdios. Los autómatas finitos no dtrminísticos son aqullos n los qu pud xistir más d un transición por cada par (stado, ntrada) o ninguna transición por cada par, d forma qu, n cada momnto, l autómata pud ralizar varias transicions difrnts ntr las qu dbrá optar o no podr ralizar ninguna. Otro rasgo qu los difrncia d los dtrminísticos s qu pudn ralizar transicions d un stado a otro sin lr ningún símbolo d ntrada, mdiant las dnominadas transicions. Dtngámonos ahora n los Autómatas Finitos Dtrminísticos. 2

23 Autómatas finitos dtrminísticos: Un autómata finito dtrminístico (AFN) s una máquina d stado finito, qu s dfin como: la 5-upla M = (Q; V; ; q; F) dond: Q = {q, q 2,..., q n s l conjunto finito d stados s d la máquina. V s l alfabto d ntrada. : Q x V Q s la rlación d transición. q Q y s dic stado inicial. F Q s l conjunto d stados finals. Algunas obsrvacions a considrar: Para cualquir stado, la lctura d una ltra dtrmina, sin ambigüdads, l stado d llgada. Para todo (q; a) Q x V (q; a) = p si y sólo si la máquina pud pasar dl stado q al stado p al lr l símbolo a. Para cada stado n un diagrama d transición db xistir a lo sumo una arista tiqutada para cada ltra dl alfabto V. Ninguna arista stá tiqutada con. Un A.F.D. s complto si cada stado tin una transición por cada ltra dl alfabto. Vamos algunos d los jmplos d Máquinas d Estado Finito como rconocdoras d Lnguaj. ) El autómata A = ({q o, q ; {, ; ; q o ; { q o ), dond s dfin como: (q o; ) = q o (qo;) = q (q ;) = q (q ;) = q o. Si la palabra d ntrada s, l autómata pasará por los siguints stados: q o q o q q o qo Vamos a armar la tabla d transicions: En las filas starán los stados q Q. El stado inicial s prcdrá dl símbolo Cada stado final s prcdrá dl símbolo *. En las columnas starán los símbolos d ntrada a V. En la posición (q;a) stará l stado qu dtrmin (q;a). 22

24 q q q q q q Rspcto dl diagrama d transicions, la siguint s una d las convncions: * En los nodos starán los stados * El stado inicial tndrá un arco ntrant no tiqutado * Los stados finals starán rodados dl dobl círculo * Habrá un arco tiqutado con a ntr l nodo q i y l nodo q j si (q i ; a) = q j y ntoncs l autómata A nos quda d la siguint manra: q q 23

25 2). A B C D Esta máquina d stado finito s un Autómata Finito dtrminístico, ya qu cumpl con la dfinición dl mismo. D cada stado {A, B, C, D por cada ltra dl alfabto (n st caso o ) xist una única transición hacia otro stado. A continuación plantamos algunos jrcicios para qu rsulvas; ant cualquir duda, podés consultar a tu tutor.. Dtrminá cuáls son las palabras acptadas por los siguints autómatas: I. * q q q 2 II. * q q q 2 24

26 2. Indicá si l siguint autómata finito s o no dtrminístico. Justificá tu rspusta. * q q 2 q q 3 3. Dibujá l diagrama d transición. a b * q q q 2 q q q q 2 q q 2 4. Dá la Tabla d trancisión * q a a q b b b q 2 a 25

27 Ahora dfinamos formalmnt los Autómatas finitos no dtrminísticos: Un autómata finito no dtrminístico s un autómata finito qu pud ralizar transicions por la palabra A = (Q; V; ; q; F) con = Q x (V { )P(Q) Una transición por la palabra, s un cambio d stado sin la intrvnción d ningún caráctr d la palabra n studio. La transición qu s jcuta n una tapa dada pud sr incirta pus nada lo dtrmina, por so s dicn no dtrminístico. Cada stado pud tnr, n l diagrama d transición, más d una arista tiqutada con cada ltra dl alfabto V. Para cualquir stado q s pudn tnr cro ó más altrnativas a lgir como stado siguint, todas para l mismo símbolo d ntrada. Si A = (Q; V; ; q; F) s un autómata finito no dtrminístico, l lnguaj qu acpta A s indica L(A) y s rgular. Ejmplos: Sa A = ( {q o, q, q 2, q 3, q 4 ; {, ; ; qo; {q 2, q 4 ), con dada por (q o ; l) = {q, q 3 (q ; ) = { q 2 (q 3 ; ) = { q 4 (q 2 ; ) = { q 2 (q 4 ; ) = { q 4 El diagrama d transición corrspondint s: * q q q 2 q 3 q 4 26

28 Tratá d jrcitar autómatas finitos no dtrminísticos; para llo t plantamos a continuación una sri d jrcicios: ) Graficá los diagramas d transición d los autómatas finitos no dtrminísticos a). A = ( {q o, q, q 2 ; { ; ; {q 2 ), con dada por la siguint tabla d transición: * q q q q 2 q 2 q 2 b). A = ( {q o, q, q 2, q 3 ; {, ; q o ; {q 3 ), con dada por: (q o ; ) = {q o y (q o ; ) = {q (q o ; ) = {q o, q (q o ; ) = {q o (q ; ) = {q 2 (q 2 ; ) = {q 3 c). A = ( {q o, q, q 2, q 3 ; {, ; q o ; {q 3 ), con dada por: (q o ; ) = {q o y (q o ; ) = {q (q o ; ) = {q o, q (q o ; ) = {q o (q ; ) = {q 2 (q 2 ; ) = {q 3 d). A = ( {q o, q, q 2, q 3, q 4 ; {, ; ; q o ; {q 2, q 4 ), con dada por: (q o ; ) = {q, q 3 (q ; ) = {q 2 (q 3 ; ) = {q 4 (q 2 ; ) = {q 2 (q 4 ; ) = {q 4 ). A = ( {a, b, c ; {, ; ; a; {a, b), con dada por: (a; ) = {b (a; ) = {a (b; ) = {a (b; ) = {c 27

29 (c; ) = {a (c; ) = {b Sinttizando, la difrncia ntr autómatas finitos dtrminísticos y no dtrminísticos: Una d las difrncias principals más importants ntr un autómata finito dtrmínistico (A.F.D.) y un autómata finito no dtrminístico (A.F.N.) s qu: q Q, a V => (q;a) (A.F.D) Para los A.F.N.: q Q, a V { y (q;a) > Finalizamos aquí l rcorrido por los contnidos d la asignatura. Hmos abordado l programa vignt d Matmática Discrta d UTNFRBA abarcando tmas qu a vcs rsultan muy compljos. T rcomndamos qu aprovchs las tutorías para consultar dudas pndints y ralizar los jrcicios d aplicación qu s propongan. Espramos qu la cursada haya rsultado provchosa. 28