ESTIMACIÓN ROBUSTA DE MODELOS ADITIVOS MEDIANTE EL ALGORITMO DE BACKFITTING ROBUST ESTIMATION FOR ADDITIVE MODELS USING THE BACKFITTING ALGORITHM

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1 ESTIMACIÓN ROBUSTA DE MODELOS ADITIVOS MEDIANTE EL ALGORITMO DE BACKFITTING ROBUST ESTIMATION FOR ADDITIVE MODELS USING THE BACKFITTING ALGORITHM RESUMEN Lus P. Yapu Quspe Unversdad Mayor de San Andrés, Bolva (Recbdo el 9 de octubre 01, aceptado para publcacón el 19 de dcembre 01) En este trabajo se presenta un método de estmacón y smulacón de un modelo adtvo a dos varables medante splnes robustos, el método general puede ser aplcado con varas varables. El software utlzado para las smulacones es S+ y se utlza explíctamente la funcón smooth.splnerob en una mplementacón del algortmo de backfttng. La funcón smooth.splnerob ha sdo escrta en base al trabajo de Canton y Ronchett [3], en el cual se pone énfass en la seleccón robusta del parámetro de suavzamento utlzando una versón robusta del C p de Mallows, RC p, y de la valdacón cruzada, RCV. La exstenca de datos extremos o no-normales en la parte estocástca de un modelo adtvo puede provocar una mala estmacón del parámetro de suavzamento, lo que tendrá nfluenca global en la estmacón por splnes. Para la etapa de smulacón se realzan las estmacones por splnes cláscos y robustos (con estmacón robusta del parámetro). La estmacón obtenda es muy convncente pero el tempo de ejecucón del programa es relatvamente elevado tanto para RC p y RCV, aún cuando, en certos casos, con pocas teracones robustas se obtenen ya resultados más útles que la estmacón clásca. ABSTRACT Ths paper presents a method of estmaton and smulaton of an addtve model of two varables usng robust splnes, but the general method can be appled to several varables. The software used for the smulatons s S+ and t uses explctly the smooth.splnerob functon n an mplementaton of the backfttng algorthm. The smooth.splnerob functon has been coded based on the work of Canton and Ronchett [3], whch emphaszes the robust selecton of the smoothng parameter usng a robust verson of Mallows C p, RC p, and robust cross valdaton, RCV. The exstence of outlers or non-normal data n the stochastc part of the addtve model may cause a poor estmate of the smoothng parameter that wll nfluence the overall estmate process. For the smulaton stage estmatons are performed by classcal and robust splnes (wth robust estmaton of the parameter). The estmates obtaned are very convncng but the executon tme of the program s relatvely hgh for both RC p and RCV, even f, n certan cases, few robust teratons are enough to get better results than the classcal estmates. Palabras Clave: Modelos no-paramétrcos, modelos adtvos, splnes robustos de tpo-m, C p de Mallows robusto. Keywords: Nonparametrc models, addtve models, M-type robust splnes, robust Mallows C p. 1. INTRODUCION En su forma más smple, el punto de vsta de penalzacón de aspereza (roughness penalty approach) es un método para relajar las hpótess del modelo de regresón lneal clásca. Se consdera el modelo,, ( ) donde son puntos de dseño, varables aleatoras ndependentes con y, son las observacones de la varable de respuesta y es una funcón que se desea estmar. S no se mponen restrccones en la funcón, entonces la suma de los cuadrados de los resduos puede ser mnmzada a cero escogendo una funcón f que nterpola los puntos, pero la funcón obtenda puede perder todas las condcones de regulardad y osclar de forma muy abrupta. En partcular, el poder predctvo del modelo obtendo es muy reducdo (overfttng). Imponer condcones de regulardad medante polnomos a trozos pero respetando condcones de dervabldad en los puntos de separacón (splnes de nterpolacón), puede ser útl s se sabe que los datos fueron 50 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 1: (01)

2 ESTIMACIÓN ROBUSTA DE MODELOS ADITIVOS tomados con alta precsón y el fenómeno bajo estudo es conocdo como altamente varable. Sn embargo, ncluso en estas condcones, uno puede estar nteresado en la varacón lenta o tendenca global de los datos y consderar las varacones locales como rudo aleatoro. Por lo tanto, una aproxmacón muy cercana a los datos observados no es el únco objetvo al ajustar una curva. Exsten muchas formas de cuantfcar la suavdad 1 de una funcón defnda en un ntervalo. Una, que es bastante ntutva y que se aplca a una funcón dos veces contnuamente dferencable, es calcular la expresón. Se pueden menconar varas razones del por qué esta expresón es una buena medda de suavdad, ver por ejemplo Green y Slverman [1]. El punto de vsta de penalzacón de roughness consste en combnar tanto la suma de resduos como la suavdad de la curva de ajuste medante un parámetro, defnendo la suma de cuadrados penalzada que debe ser mnmzada, y f ( x ) 1 mn ( ) 1 a n b f t dt. () Un pequeño prvlegará el ajuste a los datos observados pudéndose obtener curvas altamente osclantes. S es demasado grande, entonces la curva obtenda podría perder detalles mportantes de los datos. El caso límte lleva a la regresón clásca. A pesar del carácter local de los splnes, queda claro que la estmacón del parámetro puede tener un mpacto global en la estmacón y ajuste de la curva. Huber [] ntrodujo los splnes robustos de tpo-m, los cuales son defndos en la Seccón. Canton y Ronchett [3] argumentan que la estmacón de debería tambén basarse al algún crtero robusto y presentan un método de estmacón que puede ser vsto como una versón robusta de y de valdacón cruzada. Ideas smlares fueron ntroducdas prmeramente en seleccón robusta de modelos en regresón, Ronchett y Staudte [4]. Canton y Ronchett [3] ndcan algunas aplcacones posbles de la técnca de seleccón robusta del parámetro de suavzamento que ncluyen modelos más complejos, como los modelos adtvos y sus generalzacones. Estos modelos multvarados pueden utlzar splnes de suavzamento como sus bloques dentro del proceso de estmacón. Algunos trabajos ncales sobre el tema son los de Gu [5, 6]. En la Seccón 3. se explca cómo es posble nclur la estmacón por splnes robustos dentro del contexto de los modelos adtvos utlzando el algortmo de backfttng que permte el ajuste no lneal de las varables ndependentes ndvduales. Referencas y trabajos relaconados con el tema ncluyen, las referencas generales sobre splnes de suavzamento de Wahba [7], Härdle [8] y Green y Slverman [1]; la referenca clásca sobre modelos adtvos y generalzacones de Haste y Tbshran [9] y Haste et al. [10], este últmo es un lbro que reúne muchos métodos estadístcos en un marco coherente tomando en cuenta tambén consderacones computaconales. Conceptos generales y teoría sobre estadístca robusta puede encontrarse en Huber [11], Hampel et al. [1] y Huber y Ronchett [13]. Los splnes robustos de tpo-m fueron ntroducdos por Huber [], su estudo asntótco por Cox [5] y aspectos computaconales por Utreras [14]. Otras aproxmacones al problema de seleccón robusta del parámetro de suavzamento son Leung et al. [15] y Oh et al. [16] y concentran en la valdacón-cruzada robusta (RCV). Este trabajo está basado en el método propuesto por Canton y Ronchett [3] e mplementado en S+ (funcón smooth.splnerob) en Canton [17]. Yuan [18] presenta otra estratega para robustez medante splnes de suavzamento con cuantles combnado con un método de valdacón cruzada aproxmada generalzada (GACV). El trabajo de Yuan se acompaña de smulacones de Monte-Carlo que ncluyen un modelo bvarado. Aunque la funcón de penalzacón a dos varables podría ser generalzada a un contexto multdmensonal, esto mplcaría trabajar con ntegrales múltples lo que aumenta el costo computaconal, comparada con el costo del método de backfttng presentado al fnal de la Seccón 3. Un punto de vsta que ha dado muchos resultados en la teoría de splnes de suavzamento robustos es medante la nterpretacón de pseudo-datos, que permte relaconar asntótcamente la robustez con la teoría clásca de splnes a partr del trabajo de Cox [19]. Trabajos dervados de este enfoque son, por ejemplo, los artículos de Canton y Ronchett [3], Oh et al. [16] y Oh et al.[0]; este últmo con aplcacones de regresón con wavelets en datos rregularmente espacados y supresón de rudo en mágenes dgtales. En tratamento de mágenes médcas, el 1 En este trabajo, se utlza el térmno suavdad como equvalente al térmno nglés smoothness, smlarmente para palabras dervadas. Este térmno no es snónmo matemátcamente de la defncón de funcón suave, que mplca ser contnuamente dferencable un número sufcente de veces. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 1: (01) (01(01) 51

3 YAPU artículo de Lee y Cox [1] compara varos métodos de suavzamento robustos (no sólo splnes) mplementados en el lenguaje estadístco R, con buenos resultados utlzando la valdacón cruzada absoluta (ACV) para sus datos de espectroscopa. Aunque dentro de un contexto específco de las cencas de la salud y la epdemología, posblemente el trabajo más próxmo a este artículo es el de Almadad y Salban-Barrera [], quenes utlzan tambén el algortmo de backfttng para detectar aumentos rápdos en el número de casos de enfermedades nfeccosas, con el objetvo que estos datos extremos no afecten demasado estmacones sobre la mayoría de los datos. Se trata de un trabajo completo que trata aspectos teórcos, smulacones y aplcacones a datos reales en epdemología. Trabajan con valdacón cruzada robusta ( ) en R y no aplcan el de Mallows robusto ( ) de Canton [17] que está mplementado en S+, el cual es utlzado en este trabajo. Ambos crteros, y, se pueden usar ndependentemente y pueden dar resultados dstntos. Un estudo comparatvo bastante completo para el caso no robusto en el contexto de la seleccón de modelos puede encontrarse en [3]. Cada método tene sus pros y sus contras respecto a sus propedades estadístcas, asntótcas, hpótess para aplcarlas y costo computaconal. No se encontraron estudos teórcos comparatvos en el caso robusto en la lteratura, sobre todo en el contexto de suavzamento combnado con modelos adtvos. El artículo está organzado como sgue. La Seccón ntroduce el splne robusto de tpo M y sus propedades. La Seccón 3 presenta el algortmo de backfttng y explca cómo podrían combnarse con los splnes robustos. La Seccón 4 expone resultados de un estudo de smulacón que muestra la establdad y caldad de los ajustes obtendos comparados con otros métodos más cláscos. Fnalmente la Seccón 5 presenta las conclusones.. SPLINES ROBUSTOS DE TIPO-M Se consderan las parejas de puntos de observacones (x, y ), =1,...,n. Se quere ajustar una funcón f(.) que mnmce la expresón: y f ( x ) 1 n b f () t dt 1 () La solucón a este problema está dada por splnes cúbcos que son polnomos cúbcos a trozos 3 con certas condcones de regulardad en los puntos de salto. Típcamente, la estmacón automátca de se realza mnmzando el error predctvo cuadrado medo (MSPE) medante valdacón cruzada (cross-valdaton) o medante el estadístco de Mallows. La Fgura 1 lustra dos casos de mala estmacón del parámetro de suavzamento (smoothng parameter), a la zquerda un caso de overfttng, con poco poder predctvo y, a la derecha, una rgdez demasado elevada del splne, que le hace perder característcas mportantes de los datos. Para controlar la sensbldad a los puntos extremos (outlers), Huber [] ntrodujo los splnes cúbcos de tpo-m, los cuales mnmzan el crtero, n y ( ) 1 b f x f () t dt 1 a (3) Con >0, es la desvacón estándar como en la Ec. (1), y una funcón convexa. Los detalles técncos y demostracones pueden ser encontrados en [3]. Se expondrá aquí solamente los puntos prncpales. Se puede escrbr la forma de dmensón fnta de (3) como: a n 1 T ( ) 1 f Kf (4) Dentro de la famla de funcones dervables y con prmera dervada absolutamente contnua. 3 Funcones defndas por ntervalos y que son polnomos cúbcos en cada ntervalo. 5 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 1: (01)

4 ESTIMACIÓN ROBUSTA DE MODELOS ADITIVOS y f ( x) T 1 donde, f f ( x1,..., x n ), K N N y j N ( x) N j ( x) dx sendo N una matrz base de splnes 4. Defnendo ( t) ( t) las ecuacones de estmacón son entonces: t ( r) Kfˆ 0 (5) y ˆ f donde r ( r1,..., r n ), r, y ˆf es la estmacón de la funcón buscada f. Escogendo tal que sea acotada, se asegura la robustez respecto a outlers en los resduos. Para asegurar la robustez del método completo, se debe estmar de manera robusta, el método recomendado es la propuesta de Huber [11] y [1]. S exsten puntos de apoyo (leverage-ponts) en los puntos de dseño x es posble realzar el proceso ntroducendo antes una matrz dagonal W de pesos, resolvendo W( r) Kfˆ 0 y obtenendo así un splne ponderado. Fgura 1 - Base de datos Ethanol. Izq: =10-10, demasados detalles que podrían ser sólo rudo aleatoro. Der: =0.1, perde nformacón mportante en la parte central. Canton y Ronchett [3] presentan un método para la estmacón robusta del parámetro de suavzamento. Este método de estmacón ha sdo programado en la funcón smooth.splnerob y está ncluda en la lbrería robust de S+. Cross-valdaton y C p de Mallows son crteros cláscos para predccón. Desde un punto de vsta robusto, un crtero no debera penalzar valores de que ajustan ben la mayoría de los datos con la excepcón posble de unos pocos puntos (outlers). Sn pérdda de contnudad, en una prmera lectura es posble pasar drectamente a la Seccón 3. Los estmadores de C p de Mallows robusto, RC p, y de Cross-valdaton robusto, RCV, están dados en las ecuacones (8) y (9), respectvamente. Basándose en el trabajo de Ronchett y Staudte [4], Canton y Ronchett [3] defnen el error cuadrado predctvo ponderado, 1 n ˆ ˆ 1 WPSE( ) E f ( x ) f ( x ) (6) 4 N j =N j (x ), con N j una base de funcones splne. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 1: (01) (01(01) 53

5 YAPU ( r ) donde ˆ. WPSE tene la forma de un error cuadrado medo ponderado, cuyos pesos tenen el efecto de r reducr la contrbucón ( fˆ ( x) f ( x)) de algunos puntos extremos y no penalza a la mayoría de los datos para los cuales el ajuste funcona ben. Defnendo la suma ponderada de cuadrados de los resduos por: (7) n n ( ) ˆ ( ) 1 1 WSR r r y denotando fˆ( x ) f ( x ), Canton y Ronchett proponen la versón robusta del C p de Mallows dada por: (8) n n ( ) ( ) ˆ ˆ p 1 1 RC WSR E E La fórmula fnal en el contexto de splnes es presentada en la ecuacón (1) de [3] y deducda en el apéndce de dcho artículo. En esta fórmula fnal aparece y, de acuerdo a Haste y Tbshran [9], es mportante tomar una estmacón externa de este parámetro que tenga poco suavzamento. Una estmacón robusta de está dada como solucón de n r 0 0, con 1 r y y 1, y 0 = 0 y ( t) t ( t) ( t), sendo una constante que asegure la consstenca de Fsher para la estmacón de. Utreras [14] presenta mayores detalles de los aspectos computaconales de estos cálculos. De manera alternatva, Canton y Ronchett [3] proponen la sguente versón robusta del crtero de valdacón cruzada: 1 ( r ) RCV ( ) (9) n ( E ) (1 ) n 1 S donde S es el -ésmo térmno de la dagonal de la matrz Leung et al. [4] para suavzadores de kernel de tpo-m. S I K E 1. Una propuesta smlar fue sugerda en 3. MODELOS ADITIVOS Y EL ALGORITMO DE BACKFITTING Las conclusones de [3] ndcan que aplcacones posbles de la técnca de seleccón robusta del parámetro de suavzamento ncluyen modelos más complejos, como los modelos adtvos y sus generalzacones. En esta seccón se explca cómo es posble nclur la estmacón de splnes robustos dentro del contexto de los modelos adtvos utlzando el algortmo de backfttng. Un modelo adtvo está dado por: Y p f j( X j) (10) j1 donde los errores son ndependentes de los X j, E Var E f X. El algortmo de backfttng [ ] 0, [ ] y [ j( j)] 0 es un algortmo muy general que permte el ajuste no lneal utlzando otros métodos de ajuste o regresón para los X j ndvduales, sn embargo, no es necesaro que los X j sean de dmensón 1. El objetvo básco es modelar la dependenca de Y respecto a X,..., 1 X n. La herramenta estándar del estadístco aplcado es el modelo clásco de regresón lneal múltple: Y X X (11) n n Con E[ ] 0, Var[ ]. Este modelo asume que EY [ ] depende lnealmente de X,..., 1 X n, por lo que se hace necesaro un solo coefcente para estmar el f j, lo que a su vez provee descrpcones smples de los datos y métodos sencllos de predccón. Este modelo tene una característca básca en nferenca estadístca: el modelo es adtvo en 54 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 1: (01)

6 ESTIMACIÓN ROBUSTA DE MODELOS ADITIVOS los efectos de los predctores, es decr, la varacón de la respuesta estmada sólo depende de un predctor, s se mantenen fjos los otros. Ésta es la característca básca que mantenen los modelos adtvos, además de salvar un problema bastante general de modelos más generales 5, como es el hecho que las vecndades con un número fjo de puntos se vuelven menos locales según aumenta la dmensón (curse of dmensonalty). La seccón 4.4 de Haste y Tbshran [9] expone en orden de generaldad crecente una jerarquía de modelos adtvos, yendo desde la regresón lneal múltple a la estmacón de los f j con un operador suavzante o suavzador (smoother) arbtraro. El algortmo de backfttng es un método general que permte ajustar modelos adtvos utlzando cualquer método de ajuste en sus bloques. En contrapartda, se trata de un método teratvo y éste es el preco que se debe pagar por añadr tal grado de generaldad. La motvacón ntutva del algortmo de backfttng provene de las esperanzas condconales. S el modelo adtvo (10) es correcto se debe tener f j E y f k ( X k ) X j ). Esto sugere un método teratvo para estmar los k j f j. Para obtener las estmacones ncales robusta de Y en funcón de los predctores. De una manera general, el algortmo de backfttng está dado como sgue: 0 ) Incalzar: promedo ( y ), f f, j=1,,p j j j ) Para cada j=1,,p, actualzar: f j S j y f k x j ) k j ) Repetr ) hasta que los f j se establcen. 0 f j, una buena prmera estmacón puede ser dada por una regresón Los S j pueden ser cualquer operador de ajuste (matrces en la mplementacón práctca), por ejemplo proyeccones, splnes o splnes robustos. En el capítulo 5 de Haste y Tbshran [9] se realza un estudo teórco del algortmo y, en partcular, se estudan las condcones para la convergenca de éste. Aquí se explca brevemente la formulacón del modelo medante espacos de Hlbert, ya que es en sí msma matemátcamente nteresante y relacona el algortmo de backfttng con el método de Gauss-Sedel. Lo que sgue, hasta el fn de esta seccón, requere más base matemátca y cálculo numérco y puede ser obvada en una prmera lectura por el lector más nteresado en la parte práctca del método. Se consdera prmero el modelo con varables aleatoras (dmensón nfnta). Sea el espaco de Hlbert de funcones medbles tales que y producto nteror. Sean además y los espaco de Hlbert de funcones centradas y cuadrado ntegrables en varables: y en varables:, respectvamente. El subespaco, es cerrado bajo condcones técncas [5]. Se tene entonces la jerarquía de subespacos:. Se desea mnmzar entonces ] sobre las funcones. La condcón que hace que el problema no sea trval es la restrccón de adtvdad. Como es un subespaco cerrado, este mínmo exste y es únco. Se denota al operador esperanza condconal.e. la proyeccón ortogonal sobre. Los resduos son entonces ortogonales a cada, es decr. Para cada varable se tene: f ( X ) ( ) ( ) j j P Y j f X k j k k E Y f X X k j k k j (1) que se puede escrbr como una ecuacón matrcal cuyos componentes son operadores: Pf = QY (13) donde f ( f1( X1),..., fp( X P)) y Q dag( P1,..., P ). Entonces, queda explícto el hecho que el algortmo de backfttng es equvalente al método de Gauss-Sedel aplcado al sstema (13). 5 Por ejemplo los suavzadores de superfce: Y f ( X1,..., X P). UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 1: (01) (01(01) 55

7 YAPU Esta equvalenca es más clara s se consdera el modelo en dmensón fnta (versón con datos) y utlzando suavzadores lneales. En efecto, estos suavzadores pueden ser escrtos como ˆf Sy, sendo S una matrz n x n y n el número de observacones. Los suavzadores por splne caen dentro de este contexto. Volvendo al algortmo de backfttng, a cada operador P j corresponde una matrz S j, lo que produce un sstema matrcal de tamaño np x np: ˆPf QY ˆ (14) Se observa que los métodos estándares no teratvos para resolver el sstema (14), como la descomposcón QR, realzarían O((np) 3 ) operacones. Por otra parte, asumendo que un número constante de teracones son realzadas y cada suavzador se aplca en O(n) operacones (como es el caso de los splnes), el algortmo de backfttng requerría sólo O(np) operacones. Otras consderacones más sutles pueden encontrarse en la Seccón 5. de Haste y Tbshran [9]. 4. SIMULACION CON DATOS CONTAMINADOS Se examna la efectvdad del método a través de un ejemplo smulado, lo que tene la ventaja que se conocen las verdaderas funcones f j de la Ec. (10). Como en el capítulo 9 de Haste y Tbshran [9], se generan 100 observacones a partr del modelo: 3 y sn(1.3 x1) x (15) 3 10 donde x 1 y x provenen de una ley bnormal estándar con correlacón 0.4 y (1-)N(0,1)+ con = 0.05 (5% de contamnacón). de una ley normal contamnada Se programó el algortmo de backfttng, con p= y los operadores S j mplementados ya sea medante las funcones S+ smooth.splne (para el caso clásco) o smooth.splnerob (para el caso robusto con estmacón robusta de ). Se utlzó una regresón robusta para obtener las funcones ncales f. La prmera smulacón utlza el crtero RC p de Mallows. Se muestra el resultado de la smulacón y estmacón en la Fgura, donde además de los puntos smulados (cruces) se estmaron los splnes cláscos y robustos para cada funcón del modelo adtvo. La estmacón de y del splne clásco está afectada por los valores extremos y entonces la estmacón no captura la estructura global dada por la mayoría de los datos, la cual es mejor estmada por el splne robusto, línea segmentada de la Fgura. 0 j Fgura - Izq: Scatterplot para la varable. Der: Scatterplot para la varable. Splne clásco: línea segmentada. Splne robusto ( ): línea contnua. 56 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 1: (01)

8 ESTIMACIÓN ROBUSTA DE MODELOS ADITIVOS El resultado de tres teracones del algortmo de backfttng utlzando el crtero de valdacón cruzada robusta es mostrado en la Fgura 3. El splne clásco, en línea segmentada, muestra demasado suavzamento; el splne robusto (con RCV), en línea contnua, ajusta mejor la verdadera funcón, Ec. (15). El tempo ejecucón para las tres teracones del algortmo con estmacón robusta del parámetro de suavzamento es del orden de 1 mn en una máquna Intel Core GHrz y 4 GB de RAM, sn utlzar paralelsmo. Fgura 3 - Izq: Scatterplot para la varable. Der: Scatterplot para la varable. Tres teracones del algortmo de backfttng. Splne clásco: línea segmentada. Splne robusto (RCV): línea contnua. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 1: (01) (01(01) 57

9 YAPU Consderando el costo computaconal, es nteresante observar que en todas las pruebas realzadas no se observó dferenca mportante en tempo de ejecucón entre y. Cada llamada a smooth.splnerob toma entre 0-5 segundos para ambos crteros aunque con un tempo de ejecucón en general dferente para los msmos datos. La Fgura 3 muestra tres teracones consecutvas utlzando el crtero. Se debe tomar en cuenta que el tempo de ejecucón para la estmacón clásca es de menos de segundos para 100 teracones, lo que sgnfca que la estmacón robusta debe ser todavía optmzada para ser utlzable con los modelos adtvos. 5. CONCLUSIONES En este trabajo se expuso un método de estmacón de un modelo adtvo, combnando el algortmo de backfttng con la estmacón por splnes robustos en el cual se pone énfass en la seleccón robusta del parámetro de suavzamento utlzando una versón robusta del de Mallows,, y de la valdacón cruzada,. Trabajos anterores estaban centrados sobre todo en el. Las smulacones mostraron que cuando exsten outlers, la estmacón clásca no captura en general el comportamento global de los datos, y entonces su utldad es extremamente lmtada o nula s uno se nteresa en la estructura global de la mayoría de los datos. La estmacón robusta fue muy convncente pero el tempo de ejecucón es relatvamente elevado tanto para como para RCV, y no se observaron dferencas sgnfcatvas en tempo para ambos crteros. Sn embargo, en la mayoría de las smulacones, con pocas teracones robustas se obtuveron resultados más útles que la estmacón clásca. La estmacón robusta debe ser todavía optmzada para ser utlzable de forma práctca en modelos adtvos multvarados. En partcular, se consderará útl mplementar el método de splnes robustos en R, el cual se ejecuta más rápdo que S+. 6. AGRADECIMIENTOS El autor agradece al Prof. Elvezo Ronchett quén propuso el problema y do pautas mportantes para su análss. 7. REFERENCIAS [1] Green P.J. y Slverman B.W. Nonparametrc Regresson and Generalzed Lnear Models: A Roughness Penalty Approach, London: Chapman & Hall, [] Huber P.J. Robust Smoothng. En: Launer R.L. y Wlknson G.N., eds. Robustness n Statstcs, New York/London: Academc Press, 1979, pp [3] Canton E. y Ronchett E. Resstant Selecton of the Smoothng Parameter for Smoothng Splnes, Stat. and Comp. 11, 001, pp [4] Ronchett E. y Staudte R.G. A Robust Verson of Mallows Cp, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 89, 1994, pp [5] Gu C. Cross-valdatng Non-Gaussan Data, Journal of Computatonal and Graphcal Statstcs 1, 199, pp [6] Gu C. Dagnostcs for Nonparametrc Regresson Models wth Addtve Terms, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 87, 199, pp [7] Wahba G. Splne models for Observatonal Data, Phladelpha: SIAM, [8] Härdle W. Appled Nonparametrc Regresson, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press, [9] Haste T.J. y Tbshran R. Generalzed Addtve Models, London: Chapman & Hall, [10] Haste T.J., Tbshran R. y Fredman J. The Elements of Statstcal Learnng: Data Mnng, Inference, and Predcton, da ed., Sprnger-Verlag, 008. [11] Huber P.J. Robust Statstcs, New York: Wley, [1] Hampel F.R., Ronchett E.M., Rousseeuw P.J. y Stahel W.A. Robust Statstcs: The Approach Based on Influence Functons, New York: John Wley, [13] Huber P.J. y Ronchett E. Robust Statstcs, da ed., New Jersey: Wley, UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 1: (01)

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