INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Transcripción

1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ANALISIS ASINTOTICO DE FIBRAS OPTICAS DEL INDICE GRADUAL TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES PRESENTA: BOUCHAIB EL HATIFI EL HAMDANI DIRECTOR DE TESIS: DR. VLADISLAV KRAVCHENKO MÉXICO D.F. MARZO 3

2 Coteido Resume...iii Abstact...iii Objetivo...iv Justificació...iv Itoducció... Estuctua de la fiba óptica...3. Histoia de la fiba óptica...3. Vetajas y desvetajas de las comuicacioes po fiba óptica Fudametos físicos del fucioamieto de la fiba óptica Estuctua de la fiba óptica Tipos de fibas ópticas... Odas Tasvesales (odas TE, TM, odas híbidas)...3. Guías de odas...3. Las odas TE y TM Odas híbidas (EH y HE) Deivació de las ecuacioes de odas patiedo de las ecuacioes de Maxwell Ecuacioes de Maxwell Las ecuacioes de odas La ecuació de oda de los modos TE La ecuació de oda de los modos TM La ecuació de oda de los modos EH La ecuació de oda de los modos HE...54 i

3 4 Cálculo del úmeo de m odos utiliado el método WKB Aálisis de los modos guiados utiliado la ecuació de oda Los tipos de ayos e la fiba óptica de ídice gadual modos guiados Modos evaescetes Modos adiados Aálisis de la fiba óptica de ídice gadual utiliado el método WKB Ifomació pelimia matemática paa usa el método WKB El método WKB paa los sistemas limitados Defiició de los modos LP El úmeo de los modos guiados que se popaga e ua fiba óptica de ídice gadual Algoitmo y el pogama coespodiete paa ecota los valoes de m y l Resultados uméicos Aplicació paa ua fiba óptica de ídice gadual El caso dode λ = 3 m, a = 5µ m, =. 56, cl = El caso dode λ = 3 m y a = 3.5µ m, =. 56, =. 54 cl El caso dode λ = 85m y a = 5µ m, =. 57, =. 55 cl El caso dode λ = 85m y a = 3.5µ m, =. 57, cl = Coclusioes y ecomedacioes... Bibliogafía... ii

4 Resume E el pesete tabajo se peseta el aálisis asitótico de las guías de odas dielécticas de ídice gadual que pemite estudia los tes tipos de modos (modos guiados, modos evaescetes y adiados), así como calcula el úmeo de los modos guiados que se popaga e ua fiba óptica de ídice gadual, paa el caso cuado el ídice de efacció e la egió del úcleo vaía e foma paabólica. Paa difeetes modos de popagació se obtiee las ecuacioes difeeciales odiaias coespodietes, las cuales se aalia mediate el método asitótico WKB. Se popoe u algoitmo paa el cálculo de los modos guiados y se aalia los esultados uméicos obteidos. Abstact I the peset wok we peset the asymptotic aalye of dielectic waveguide of gaded idex, that he allows to study the thee types of modes (popagatio modes, le aky mode ad adiatio modes), as well as to calculate the umbe of guided modes popagatig i a optical fibe of gaded idex, fo the case whe the idex of efactio i the coe egio chage i a paabolic fom. Fo diffeet popagatio modes we obtai the coespodig odiay diffeetial equatios, which ae aalyed by meas of the asymptotic method WKB. We popose a algoithm to calculate the guides modes ad we aalye the obtaied umeical esults. iii

5 OBJETIVO Mosta el uso del método asitótico e la solució a poblema de popagació de odas electomagéticas sobe ua fiba óptica de ídice gadual y calcula los modos de popagació po difeetes tipos de fibas. JUSTIFICACIÓN El poblema que se platea e este tabajo tiee u doble iteés, uo teóico e dode se ve claamete la aplicació de las ecuacioes de Maxwell y saca las ecuacioes de odas paa calcula los úmeos de modos y uo de aplicació de los esultados que obtedemos po difeetes tipos de fibas ópticas comeciales. E los últimos años la tasmisió po fiba óptica ha cecido mucho, se ha impuesto si luga a dudas poque ofece u acho de bada pácticamete ifiito, compaado co otos medios de tasmisió la fiba puede ofece achos de bada e exceso de TH ( GH), mietas que medios como El cable coaxial es de 5 MH. E este setido los esultados de este tabajo seá apoyo paa la solució de alguos de los poblemas que existe e esta áea, así como paa tabajos futuos que pueda desaollase e esta líea. iv

6 I toducció El pesete tabajo, está efocado al aálisis y al cálculo de los modos que se popaga e ua fiba óptica de ídice gadual, mediate u algoitmo,que cosiste e el uso del método asitótico WKB, aplicado a la ecuació geeal de oda paa ua fiba óptica de ídice gadual. La impotacia de este aálisis es eome deto del campo de las telecomuicacioes, debido a que los modos de popagació se taspota la mayo pate de la eegía de la señal de ifomació que se tasmite y es útil paa la ecostucció de la señal e etapa de ecepció, además este algoitmo pemite el aálisis del compotamieto del úmeo de los modos de popagació especto a las dimesioes del adio de alguas fibas ópticas comeciales. Lo ateio es u esquema geeal de la impotacia que tiee el estudio de este poblema e paticula, paa el cual o se cueta aú co u aálisis completo y detallado, de maea que los esultados que aoje el pesete tabajo so de ga impotacia deto de esta áea. La maea e que se aalia el poblema, pate del coocimieto de las vetajas que tiee los métodos asitóticos paa la solució de poblemas elacioados co la popagació de odas e geeal. Aceca de las aplicacioes de la técica del método WKB y otos métodos asitóticos se puede ecota deceas de títulos ve [], [3], [4], [5], [6], [7], [8]. Cabe mecioa que e este tabajo se mostaá el aálisis asitótico de las guías de odas dielécticas de ídice gadual que pemite estudia los tes tipos de modos ( modos guiados, modos evaescetes y adiados ), así como calcula el úmeo de los modos guiados La estuctua e que se desaolla este tabajo, itoduce a los coceptos y elemetos ecesaios paa desaolla el aálisis de maea tal que las tasicioes ete las difeetes etapas de este o sea buscas y se puede segui la secuecia de aálisis si poblema.

7 Dicha estuctua divide e 5 pates, abacado de los capítulos al 5, como sigue. E el capitulo, se descibe e beve la histoia de la fiba óptica, sus vetajas y desvetajas, después se da los fudametos teóicos paa cooce sus caacteísticas físicas y fucioales de cada uo de los difeetes tipos de fibas ópticas existetes (fibas moomodos, multimodos). E el capitulo, está efocado a las guías de odas, las expesioes de las ecuacioes de Helmholt paa los modos (TE; TM) e ua guía de oda abitaia, y paa los modos de popagació (EH; HE) e ua fiba óptica. E el capitulo 3, se hace el plateamieto del poblema, patiedo de las ecuacioes de Maxwell que pemite ecota la ecuació geeal de los modos de popagació (TE; TM; EH; HE), y epeseta las expesioes de las compoetes de los campos E y H. E el capitulo 4, se da u aálisis a los tes tipos de modos basádose sobe la ecuació geeal de oda y la ecuació de Schodige como u modelo, después se muesta e detalle el método WKB paa ecota la ecuació que pemite de calcula los modos guiados e ua fiba óptica de ídice gadual. E el capitulo 5, se obtiee y se aalia los esultados uméicos obteidos paa alguos ejemplos de fibas ópticas de ídice gadual comeciales, obsevado el compotamieto de la catidad de los modos al vaia el adio de la fiba óptica.

8 Capítulo Estuctua de la fiba óptica E este capitulo se descibe los evetos históicos e el desaollo de las comuicacioes po fiba óptica que se ha teido e la utiliació de la lu como potadoa de ifomació y sus vetajas y desvetajas. E la ultima secció se descibe los tipos de la fiba óptica y las caacteísticas de cada ua.. HISTORIA DE LA FIBRA ÓPTICA Las odas de lu, al igual que las de adio, so ua foma de eegía electomagética, y la idea de tasmiti ifomació po medio de la lu, como potadoa, tiee más de u siglo de atigüedad. Hacia 88, ates de la iveció del teléfoo, Alexade G. Bell costuyó el llamado <<fotófoo>>, que eviaba mesajes vocales, a cota distacia, po medio de la lu. Si embago, esa aplicació de las odas lumiosas o fue viable po la falta de fuetes de lu adecuadas y de u medio de popagació de bajas pédidas. Co la iveció y costucció del láse e 96, volvió a toma cuepo la idea de utilia la lu como sopote de comuicacioes fiables y de alta potecialidad de ifomació. De hecho, la posibilidad de ua fuete de lu coheete y moocomática estimuló la exploació de las comuicacioes ópticas como sopote de altos flujos de ifomació, debido a la alta fecuecia de la potadoa. Po etoces comeao los estudios básicos sobe los pocesos de modulació y detecció de la lu. Los pimeos expeimetos sobe tasmisió po la atmósfea pusieo de maifiesto divesos obstáculos: escasa fiabilidad 3

9 debida a los pecipitacioes (lluvia, ieve), cotamiació atmosféica, tubulecias atmosféicas, etc. El empleo de las fibas de vidio como medio guía o tadó e esulta atactivo: Tamaño, peso, facilidad de maejo, flexibilidad y coste ( compaado co los sistemas de comuicació po la atmósfea). Las fibas de vidio pemite guia la lu mediate múltiples eflexioes iteas de los ayos lumiosos. Es muy pobable que la potecialidad de guia lu mediate cilidos taspaetes fuese bie coocida po los atesaos del vidio. E 9 se ealió, po Hodos y Debie, el pime aálisis teóico, completo, sobe la popagació electomagética e u medio dieléctico cilídico. El poblema adicaba e que las fibas de vidio dispoibles cuado se ivetó el láse pesetaba pédidas de vaios miles de decibelios po kilómeto. La pimea idicació de ua solució viable apaece e 966, co la publicació po Kao y Hocka de u famoso atículo, e el cual señala que la ateuació obsevada hasta etoces e las fibas de vidio o se debía a mecaismos itísecos, sio a impueas oigiadas e la fabicació y que, po cosiguiete, ea viable emplea fibas dielécticas como sopote de ifomació e fecuecias ópticas. Etoces sugió la popuesta de utilia ua guía óptica paa la comuicació. Esta foma de usa la lu como potadoa de ifomació se puede explica de la siguiete maea: Se tata e ealidad de ua oda electomagética de la misma atualea que las odas de adio, co la úica difeecia que la logitud de las odas es del ode de micómetos e luga de metos o cetímetos. No fue sio hasta 97 cuado la fima Coig obtuvo uas fibas co ua ateuació ifeio a db/km, al año siguiete, 973, Coig dejó obsoletas las fibas de úcleo líquido al obtee 4 db /km po medio de fibas co úcleo de SiO de alta puea. Las uevas posibilidades que ofecía las fibas estimulao la ivestigació hacia fuetes y detectoes ópticos de pequeño tamaño, buea fiabilidad y pequeño 4

10 cosumo. Los emisoes de semicoductoes y los detectoes de estado sólido paecía los más pometedoes. E 97 se ealió el pime láse de AlGaAs capa de opea de foma cotiua a tempeatua ambiete (-5C); si embago, la vida de aquellos dispositivos sólo ea de uas pocas hoas. Desde etoces los pogesos se ha multiplicado y hoy es posible ecota comecialiados diodos láse co más de. hoas de vida media. E lo que especta a los emisoes de lu icoheete (LED), e 97 se dio u otable paso, cuado C. A. Buus desaolló u LED de pequeña supeficie adiate (uos 5 µ m de diámeto) paticulamete idóeo paa el acoplamieto co las fibas ópticas. E 976 tuvo luga u destacado eveto. Ivestigadoes japoeses, de la NTT y de Fujicua, obtuvieo fibas co.47 ±.db / km e.3 y.55 µ m, muy ceca ya del límite debido a los factoes itísecos de ateuació (impuesto po u feómeo de espacimieto Rayleigh, que itoduce ua ateuació ivesamete popocioal a la cuata potecia de la logitud de oda). E 974 se alcaao. db/km, sobe fibas moomodo e.55 µ m. E 975 se pedijo que las fibas de SiO pesetaba ua oa de míima dispesió, alededo de.3 µ m, po cuato la dispesió del mateial de la fiba costituye u facto limitativo itíseco. Estos dos aspectos (bajas pédidas y baja dispesió) abía uevas posibilidades paa tasmisioes de alta velocidad y laga distacia. E cosecuecia, se estimuló la ivestigació de fuetes y detectoes ópticos aptos paa estas logitudes de oda (.3-.6µ m ). E 976 se costuye el pime diodo láse de IGaAsP/IP, si bie co ua vida media limitada ( hoas). U año más tade (977) tambié p udo fabicase u LED de ese mismo mateial. Hoy tato el LED como el láse, fabicados co este mateial, está comecialmete dispoibles. 5

11 Si se equiee ve más aceca de la histoia de la fiba óptica se puede ve [], [], [3].. Vetajas y desvetajas de las comuicacioes po fiba óptica. Desde el año 976 la fiba óptica se ha covetido e ua de las tecologías más avaadas que se utilia como medio de tasmisió de ifomació. Este ovedoso mateial vio a evolucioa los pocesos de las telecomuicacioes e todos los setidos, desde loga ua mayo velocidad e la tasmisió, dismiui casi e su totalidad los uidos y las itefeecias hasta multiplica las fomas de evío e comuicacioes y ecepció po vía telefóica. Las fibas ópticas so filametos de vidio de alta puea extemadamete compactos. El goso de ua fiba es simila a la de u cabello humao. Fabicadas a alta tempeatua co base e silicio. A cotiuació se mecioa alguas caacteísticas, que las hace se vetajas po la fiba óptica. El poceso de elaboació es cotolado po medio de computadoas, paa pemiti que el ídice de efacció de su úcleo, que es la guía de la oda lumiosa, sea uifome y evite las desviacioes, ete sus picipales caacteísticas se puede mecioa que so compactas, ligeas, co bajas pédidas de señal, amplia capacidad de tasmisió y u alto gado de cofiabilidad debido a que so imu es a las itefeecias electomagéticas de adio-fecuecia. Las fibas ópticas o coduce señales elécticas po lo tato so ideales paa icopoase e cables si igú compoete coductivo y puede usase e codicioes peligosas de alta tesió. Ete las vetajas, tambié de la fiba, tiee la capacidad de tolea altas difeecias de potecial si igú cicuito adicioal de potecció y o hay poblemas debido a los cotos cicuitos, tiee u ga acho de bada que puede 6

12 se utiliado paa icemeta la capacidad de tasmisió co el fi de educi el costo po caal; De esta foma es cosideable el ahoo e volume e elació co los cables de cobe. Co u cable de seis fibas se puede taspota la señal de más de cico mil caales o líeas picipales, mietas que se equiee de, paes de cable de cobe covecioal paa bida sevicio a ese mismo úmeo de usuaios, co la desvetaja que este último medio ocupa u ga espacio e los ductos y equiee de gades volúmees de mateial, lo que tambié eleva los costos. Compaado co el sistema covecioal de cables de cobe dode la ateuació de sus señales, (Decemeto o educció de la oda o fecuecia) es de tal magitud que equiee de epetidoes cada dos kilómetos paa egeea la tasmisió, e el sistema de fiba óptica se puede istala tamos de hasta 7 km. Si que haya ecesidad de ecui a epetidoes lo que tambié hace más ecoómico y de fácil mateimieto este mateial. Oigialmete, la fiba óptica fue popuesta como medio de tasmisió debido a su eome acho de bada; si embago, co el tiempo se ha plateado paa u amplio ago de aplicacioes además de la telefoía, automatiació idustial, computació, sistemas de televisió po cable y tasmisió de ifomació de imágees astoómicas de alta esolució ete otos coceptos de tasmisió e u sistema de tasmisió po fiba óptica existe u tasmiso que se ecaga de tasfoma las odas electomagéticas e eegía óptica o e lumiosa, po ello se le cosidea el compoete activo de este poceso. Ua ve que es tasmitida la señal lumiosa po las miúsculas fibas, e oto extemo del cicuito se ecueta u tece compoete al que se le deomia detecto óptico o ecepto, cuya misió cosiste e tasfoma la señal lumiosa e eegía electomagética, simila a la señal oigial. El sistema básico de tasmisió se compoe e este ode, de señal de etada, amplificado, fuete de lu, coecto óptico, líea de fiba óptica (pime tamo) empalme, líea de fiba óptica (segudo tamo), coecto óptico, ecepto, amplificado y señal de salida. 7

13 E esume, se puede deci que este poceso de comuicació, la fiba óptica fucioa como medio de taspotació de la señal lumiosa, geeado po el tasmiso de LED'S (diodos emisoes de lu) y láses. Los diodos emisoes de lu y los diodos láses so fuetes adecuadas paa la tasmisió mediate fiba óptica, debido a que su salida se puede cotola ápidamete po medio de ua coiete de polaiació. Además su pequeño tamaño, su lumiosidad, logitud de oda y el bajo voltaje ecesaio paa maejalos so caacteísticas atactivas. Juto co todas las vetajas de la bada óptica o se puede meospecia las gades dificultades que está e el camio de su máximo uso. Los pocesos tecológicos de fabicació de muchos elemetos de los sistemas de comuicacioes po fiba óptica so muy complicados y casi se ecueta al ivel de las posibilidades técicas. Cabe mecioa que los iveles de toleacia e el poceso de fabicació de fibas ópticas so del ode de ua facció de µ m. La base técica de la bada óptica aú o se ha desaollado e su totalidad, fialmete, e esta bada se tiee alguas desvetajas picipales. Aquí se mecioa solamete las más impotates. Los gades aumetos de fecuecia e compaació co la bada adiotécica implica gades dificultades e la estabiliació de las fecuecias y e la sicoiació de los geeadoes. Po lo egula, las fibas ópticas so elativamete muy caas. Así, las fibas ópticas de buea calidad co guías de oda de cuao so vaias veces más caas que los cables coaxiales de cobe. micogietas. Gades dificultades suge po el peligo de apaició de micoflexioes y Ete las desvetajas tambié existe poblemas co las coexioes seguas ete los segmetos de las fibas ópticas. 8

14 .3 Fudametos físicos del fucioamieto de la fiba óptica. Los coceptos coceietes a la atualea de la lu ha expeimetado muchas vaiacioes duate la histoia de la física. Desde los iicios del siglo XVIII geealmete se ceía que la lu cosistía e ua coiete de patículas dimiutas que ea emitidas po fuetes lumiosas. Estas patículas fueo dibujadas viajado e líeas estechas, y esto fue asumido como si éstas pudiea peeta mateiales taspaetes peo ea eflejadas po mateiales opacos. Esta teoía descibe adecuadamete escalas lagas de efectos ópticos tales como eflexió y efacció peo fallao al explica el feómeo de la escala milimética tal como la itefeecia y la difacció. La explicació coecta de difacció fue dada po Fesel e 85. Fesel mostó que el caácte de popagació apoximadamete ectilíeo de la lu podía se itepetado e la suposició de que la lu es u movimieto de oda y que el bode de difacció po cosiguiete es cotado e detalle. Más tade el tabajo de Maxwell e 864 teoió que las odas de la lu debía se electomagéticas e la atualea, es más la obsevació de los efectos de polaiació idicao que las odas de la lu so tasvesales (el movimieto de la oda es pepedicula hacia la diecció e la que la oda viaja). Las odas electomagéticas adiadas po ua pequeña fuete óptica puede se epesetada po u te de fetes de odas esféicas co la fuete e el ceto, como se muesta e la figua siguiete: 9

15 Figua. Fetes de odas esféicas y sus ayos U fete de oda es defiido como el luga de todos los putos e el te de oda el cual tiee la misma fase. Cuado la logitud de oda de la lu es más pequeña que el objeto (o abetua ) dode se ecueta, las fetes de odas apaece como líeas estechas a estos objetos ó abetua. E este caso la oda de la lu puede se epesetada como ua oda plaa, y su diecció de viaje puede se idicado po u ayo de lu que es ilustado pepedicula hacia el fete de fase, véase la figua..

16 Figua. Fetes de odas plaas y sus ayos De esta maea los efectos ópticos de laga escala tales como efacció y eflexió puede se aaliados po el simple poceso geomético del ayo taado. Esta vista de ópticas es efeida como ayo u ópticas geométicas ve [4], [5]. El cocepto de los ayos de la lu es muy útil poque los ayos muesta la diecció del flujo de la eegía e el ha de lu. A cotiuació se da ua defiició del ídice de efacció y la itepetació del feómeo de eflexió y de efacció. Ídice de efacció. U paámeto óptico fudametal de u mateial es el ídice de efacció. E u espacio libe ua oda de lu viaja a ua velocidad 8 c 3x m / s la velocidad de la lu es elativa a la fecuecia elació: υ y a la logitud de oda λ co la c = υ λ (.)

17 Si ahoa la oda viaja e oto medio su velocidad cambia. El cociete el cual la lu cambia de velocidad es el ídice de efacció y se puede escibi la elació siguiete: Dode: c V c = (.) V Es la velocidad de la oda e el vacío Es la velocidad de la oda e el medio. E la tabla. se da los valoes del ídice de efacció de alguos mateiales dielécticos. ídice de efacció () Valoes típicos Aie. Agua.33 Vidio.5 Diamate.4 Tabla.. Valoes típicos de e alguos mateiales Los coceptos de eflexió y efacció puede se itepetados más fácilmete cosideado el compotamieto de los ayos de la lu asociado co odas plaas viajado e u mateial dieléctico. Cuado u ayo de lu se ecueta e la fotea sepaado dos difeetes medios, pate del ayo es eflejada de egeso e el pime medio y el esto e s icliado (o efactado ) y se eta e el segudo mateial ve [6]. Esto se muesta e la figua.3.

18 Figua.3. La eflexió y efacció del ayo de la lu e la fotea del mateial Cuado < la efacció del ayo de la lu e la itefase es el esultado de la difeecia e la velocidad de la lu e dos mateiales que tiee difeetes ídices de efacció. La elació e la itefase es coocida como la ley de Sell y es dada po la elació : = (.3) seφ seφ Esta ecuació es equivalete a: = θ (.4) cosθ cos Dode los águlos φ y θ so defiidos e la figua.3. De acuedo co la ley de eflexió el águlo θ, e el cual el ayo icidete de la itefase es exactamete igual al águlo del ayo eflejado hace co la misma itefase. Tambié el ayo icidete, el omal a la itefase y el ayo 3

19 eflejado está e el mismo plao, el cual es pepedicula hacia el plao itefase ete dos mateiales. Cuado la lu viaja e u cieto medio es eflejado fuea de u mateial deso ( uo co u alto ídice de efacció ), el poceso es efeido a u eflejo exteo. E el caso cotaio el eflejo de lu de meos mateial óptimamete deso ( tal como lu viajado e vidio siedo eflejado e ua itefase vidio aie ) es llamado eflejo iteo. Como el águlo de icidecia θ, e u mateial óptimamete deso ( alto ídice de efacció ) llega a se pequeño, el eflejo del águlo θ se aceca a ceo, más allá de este puto la efacció o es posible y los ayos de lu llega a se totalmete iteamete eflejado. Las codicioes equeidas paa u total eflejo iteo puede se detemiadas usado la Ley de Sell ve [7], [6]. Cosideemos las figuas siguietes las cuales muesta ua supeficie de vidio e el aie. Figua.4. Pesetació del águlo de cistal y la eflexió total e el itefase vidio aie U ayo de lu a tavés ua supeficie de vidio, como cocodacia co la ley de Sell. se deja el vidio e 4

20 Si el águlo de icidecia θ es dismiuida, u puto evetualmete seá alcaado dode el ayo de lu e el aie es paalelo al de la supeficie de vidio. Este puto es coocido como el águlo cítico de icidecia θ c. Etoces la ecuació (.4) se coviete a: cos θ c = (.5) Po lo tato y a pati de la ecuació ateio si el águlo θ icidete, es meo que el águlo cítico, la codició paa u total eflejo iteo es satisfecha que es la lu es totalmete eflejado de egeso e el vidio si lu escapado de la supeficie de vidio, es deci, que la elació siguiete es siempe satisfecha: cosθ > (.6) A cotiuació, e la secció.4 se da u ejemplo paa etede la diecció de la lu e ua fiba óptica y etede más el eflejo iteo total..4 Estuctua de la fiba óptica. Como se mecioó e la secció. y. Ua fiba óptica es u tubo dieléctico taspaete (vidio) co uas caacteísticas estuctuales paa pemiti u cofiamieto de la lu. Esta fiba de oda guiada es omalmete de foma cilídica, se limita la eegía electomagética e foma de lu deto de sus supeficies y guía la lu e diecció paalela hacia sus ejes. Las popiedades de tasmisió de ua guía óptica so dictadas po sus caacteísticas estuctuales, las cuales tiee mayo efecto e detemia cómo ua señal óptica es afectada cuado ésta se popaga a lo lago de la fiba y 5

21 tambié ifluecia e la espuesta de la guía de oda hacia las ifluecias ambietales. La popagació de la lu a lo lago de la guía de od a puede se descita e témios de u cojuto de odas electomagéticas guiadas llamadas los modos. Estos modos guiados so efeidos como límite o modos almaceamieto de la guía de oda. Como estaemos viedo e los capítulos 3 y 4, estos modos so aquellas odas electomagéticas que satisface la ecuació de oda homogéea e la fiba y la codició de fotea e las supeficie de la guía de oda, la estuctua más aceptada de ua fiba es u dieléctico simple de foma cilídica y sólido y como ejemplo se puede toma la estuctua de ua fiba óptica multimodo, véase la figua.5. Figua.5 Costitució de ua fiba óptica multimodo A cotiuació, se da las picipales fucioes que tiee cada ua de las pates que costituye a la fiba óptica: El úcleo Es la egió cetal, tiee ua foma cilídica que se ecaga de guia los haces de lu a lo lago de la guía de oda y la foma de guialos depedeá del tipo y el tamaño del úcleo. 6

22 E fibas de pédidas bajas y medias el mateial del úcleo es geealmete de vidio y es odeado po cualquiea de los dos ecubimietos de vidio o plástico. Fibas de úcleo plástico de muy alta pédida co ecubimietos de plástico so tambié ampliamete usadas. Cubieta óptica Es u dieléctico sólido, tiee u ídice de efacció meo que el del úcleo, como se veá después, es ua codició ecesaia paa satisface el feómeo de eflexió itea total e la fotea ete los dos, y la foma de expesalo es: cl < co (.7) Dode: cl co es el ídice de efacció de la cubieta óptica. es el ídice de efacció del úcleo. Auque e picipio, la cubieta óptica o es ecesaia paa la lu paa popagase a lo lago del úcleo de la fiba, este sive paa vaios popósitos. La cubieta óptica educe u poco la pédida esultate de las discotiuidades dielécticas e el úcleo de la supeficie. Este aumeta la potecia mecáica a la fiba, y potege al úcleo de la absoció de cotamiates de la supeficie co las cuales puede eta e cotacto. El ecubimieto. Es u mateial que fometa la potecia e la fiba y potege a la fiba de pequeñas iegulaidades geométicas, distosió de supeficies adyacetes. 7

23 Estas petubacioes puede de lo cotaio causa alguas pédidas iducidas po ua desviació micoscópica fotuita que puede sugi cuado las fibas está icopoadas e cables o sopotadas po otas estuctuas. Después de las defiicioes que se dio a los pates que costituye la fiba, se debe aucia alguas defiicioes que se utilia e el aálisis de las fibas ópticas. La eflexió itea total e la fiba óptica Paa etede la diecció de la lu e ua fiba óptica se cosidea u ayo etado e la fiba como se muesta e la figua siguiete: Figua.6 Reflexió itea total Si el águlo de icidecia ( e la itefase del úcleo y la cubieta óptica) es mayo que el águlo cítico que es dado co la elació siguiete: φ φ = Si (.8 c ) 8

24 Etoces el ayo expeimetaá u eflejo iteo total e esa itefase. Además, debido a la simetía cilídica e la estuctua de la fiba, este ayo sufiá u eflejo iteo total tambié e la itefase meo y po lo tato seá guiado a lo lago del úcleo po eflejos iteos totales epetidos. La itepetació geomética da ua idea ituitiva de lo que ocue y poqué existe guiado e el dieléctico, peo apeas más ifomació. E los capítulos 3 y 4 se da itepetació más iguosa y completa po la apl icació iguosa de las ecuacioes de Maxwell y la obteció de sus posibles solucioes. Esas solucioes so vaiadas y distitas. E geeal existiá ifiitas solucioes posibles, peo e fució de las caacteísticas de la fuete, existiá uas u otas. De esas solucioes, uas seá popagativas, mietas que otas seá evaescetes y o popagaá i eegía, i, po lo tato ifomació. El úmeo de modos que ua fiba puede sopota depede de las caacteísticas geométicas de la misma. Apetua uméica. Cosideamos la figua.6 y se cosidea u ayo que es icidete e la abetua de la etada de la fiba y hace u águlo α co el eje y el ayo efactado hace u águlo θ co el eje de la fiba. Asumiedo que afuea de la fiba óptica el ídice de efacció es aplicado la Ley de Sell se obtiee: y siα = co siθ (.9) Paa satisface ua eflexió itea total e la itefase del úcleo y la cubieta óptica el ayo de lu debe icidi co u águlo mayo que el águlo citico, es deci: 9

25 se > cl φ (cosθ ) (.) co Aplicado la idetidad tigoomética: se θ + cos θ = Se obtiee seθ < cl (.) co Al sustitui e la ecuació (.) se obtiee: co cl seα < (.) Si supoiedo que el medio de dode icide el ayo es el aie, e este caso el valo máximo de si α se tiee: m ( co cl ) se α = (.3) Dode: α m es el águlo de aceptació (águlo máximo) Po lo tato, la apetua uméica, se defie como el seo del águlo de aceptació (águlo máximo) ve [8], y se ota como:

26 NA = seα (.4) m.5 Tipos de fibas ópticas Como se vio e los putos ateioes ( Ley de Sell), es ecesaio que exista u cambio e el ídice de efacció del mateial paa cuva la tayectoia de la lu y cofiala e el úcleo. Las guías de oda dielécticas se clasifica de acuedo a su ídice de efacció e dos tipos ve [5], [9], [], que so : Fibas ópticas de ídice Abupto Que puede se clasificadas e dos tipos: Fibas ópticas moomodo Fibas ópticas multimodo Fibas ópticas de ídice gadual Fibas Moomodo Sólo existe ua tayectoia po la cual puede popagase el ayo de lu, es deci, sólo u modo que viaja paalelamete al eje cetal del úcleo y tambié tiee que satisface a la codició ve []: Dode: λ πa > co (.5) cl. 45 a es el ayo de la fiba óptica co es el ídice de efacció del úcleo

27 cl es el ídice de efacció del evestimieto Fibas Multimodo : E este tipo existe más de u tipo de modo de popagació. Ua fiba óptica puede tee ua distibució de ídice de dos tipos: Salto de ídice: Existe dos ídices de efacció sepaados po ua itefase e la que hay u salto busco. Co esta geometía los ayos descibe tayectoias e igag, ebotado e las itefases del úcleo ua y ota ve hasta llega al oto extemo de la fiba, la figua siguiete descibe u ídice de salto: Figua.7. Pefil del ídice de efacció e ua fiba de salto de ídice. Ídice gadual: El ídice de efacció vaía de foma gadual ete el ídice del úcleo y el del exteio.

28 El sucesiv o cambio gadual del ídice de efacció obliga al ayo a efactase cotiuamete, obligádole a ecoe tayectoias cuvas que uca lleg a al mateial de la cubieta, la figua siguiete muesta u ídice gadual. Figua.8. Pefil de ídice de efacció e ua fiba de ídice gadual. ópticas: A cotiuació se descibe las caacteísticas de los tipos de fibas Fibas de ídice Abupto a. Fiba de ídice Abupto Moomodo E este tipo de fiba el modo de dispesió puede se dismiuido, educiedo el diámeto del úcleo hasta que la fiba óptica tasmita solamete u modo. La fiba óptica está basada e el picipio de teiedo u diámeto de úcleo d e sólo a 8 µ m, véase la figua.9 3

29 Figua.9. Fiba óptica moomodo E esta figua se muesta el camio de la lu y el plao de ídice efacció. La apetua uméica y po lo tato el águlo de aceptació, es pequeño paa estas fibas, lo cual hace el laamieto de la lu más difícil, sólo el modo fudametal puede se usado paa tasmiti la eegía e la fiba. Las aplicacioes pevistas puede exigi vaios tipos de fibas moomodo que difiee e: Natualea del pefil de ídice de efacció. La logitud de oda de fucioamieto. Las caacteísticas geométicas y ópticas. Ua fiba moomodo puede adaptase a muy divesas cofiguacioes de pefil de ídice, la figua siguiete efleja vaias cocepcioes. 4

30 Figua.. Pefiles de ídice paa fibas moomodo El pefil e foma de W pemite ajusta la logitud de oda de dispesió ula e u mage (.3.45 µ m ; ó.5.7 µ m ) ve [5], [], [3] Las fibas co doble evestimieto o puede matee simultáeamete ua baja dispesió y ateuació e la bada de.3 a.6 µ m, paa alcaa este objetivo se ha diseñado las fibas co pefil segmetado. Ete las caacteísticas de la fiba moomodo es usada paa ua velocidad muy alta, el acho de bada lago, aplicacioes de distacia laga. Etoces se puede deci que estas fibas so más eficietes peo so difíciles paa tabaja co ellas po sus pequeños diámetos de úcleo, especialmete cuado esta viee paa fialia la fiba. 5

31 b. Fiba óptica de ídice abupto multimodo El tipo de fiba más secillo es llamado fiba de ídice de escaló. La fiba de ídice de escaló multimodo tiee u úcleo de cistal de 5 a µ m e diámeto odeado po u evestimieto de vidio. Diámetos de úcleo lago esulta e más modos de lu de los que puede se ealiados co diámetos de úcleo pequeño. Co el ídice de efacció de la cubieta óptica ligeamete ifeio que el del úcleo. El témio más comú paa esta fiba es fiba multimodo co u plao de ídice de escaló, el camio del ayo y el plao del ídice de efacció es mostado e la figua. Figua.. Fiba de ídice Abupto Multimodo Como es epesetado e la figua, hay dos ayos que puede viaja a lo lago del úcleo. Uo es llamado el ayo axial, el cual viaja a lo lago del eje, el oto es llamado el magial o ayo meidioal, el cual viaja a lo lago de u camio ceca del águlo cítico. El ayo meidioal viajaá más lejos que el ayo axial y la distacia adicioal ecoida es defiida po la elació siguiete: 6

32 Z.( co Z cl ) = (.6) cl Dode: Z es defiida e metos (m). Z es la distacia ecoida El tiempo adicioal que esta tomado paa que el ayo meidioal viaje es : Z.( c cl ). c t = (.7) c Dode: t es defiida e segudos (s). Este etaso de tiempo, coocido como dispesió modal, causa distosió e el pulso que está siedo eviado. Esto causa u pulso de lu coto paa amplia, de esta maea se educe la velocidad de tasmisió y el acho de bada de tasmisió. Los modos que el ayo axial taspota y los modos que el ayo magial taspota iteactúa ete ellos, itecambiado eegía a lo lago del camio, causado mecla de modo. La dispesió modal es típicamete de 5 a 3 aosegudo po Kilómeto ( s / Km). Si la distacia es doblada, el tiempo de dispesió seá doblado. Auque esto paeca isigificate e ua distacia pequeña, los sistemas de fiba óptica puede tasmiti datos po aiba de distacias mucho más lagas. La dispesió podía limita po completo el acho de bada del sistema. y puede se tambié expesada e fecuecia, tal como MH Km. Este úmeo idica que el acho de bada más elevado es de MH po Km de fiba ates de la dispesió habá u poblema limitate e el sistema. Desde que hay demasiada dispesió asociada co las fibas de ídice de escaló multimodo, este es el meos eficiete de los tes tipos de fibas. 7

33 Si embago, la fiba es la meos ecoómica, es fácil iteumpi pesta a si mismo paa la icopoació de los coectoes fiales y tiee ua apetua uméica laga a tavés de la cual la lu puede peeta la fiba. Estas fibas so usadas paa distacias cotas, meos de u Kilómeto, dode los achos de bada de señales equeidas so más pequeñas, usado u modo úico o u modo de fiba de ídice gadual educiá el pulso ampliado. Fiba de ídice gadual multimodo La fiba de ídice gadual multimodo es u compomiso de los dos tipos de fiba peviamete descitos. Ete la s vetajas de la fiba óptica de ídice gadual: El límite ete el úcleo y el evestimieto o es ta defiido claamete como co la fiba de ídice escaló. El ídice de efacció del úcleo de vidio dismiuye paabólicamete e la itefase ete el úcleo y el evestimieto. La figua. muesta el camio del ayo y el plao de ídice de efacció. Figua.. Fiba de ídice gadual multimodo Los ayos de lu viaja desviados o e camios helicoid ales e ua fiba de ídice gadual. Po motivo del plao de ídice de efacció paabólico, los ayos so efactados cotiuamete y cambia su diecció de popagació. 8

34 Los ayos que viaja e el eje de fiba tasveso tiee u camio más coto que los cecaos a la itefase de la cubieta óptica del úcleo. La difeecia e el ídice de efacció aula el poblema de etaso de tiempo, que fue ecotado co la fiba de ídice de escaló. 9

35 Capítulo Odas Tasvesales (odas TE, TM, odas híbidas) Cuado se tata el poblema páctico de la popagació de las odas electomagéticas e guías de odas, el objetivo es esolve las ecuacioes de Maxwell e el iteio de dichas guías, y las solucioes obteidas se puede dividi e tes gupos, de los cuales se habla e este capítulo, dichos gupos de solucioes tambié llamados odas o modos, so las odas Tasvesales Elécticas (TE), las Tasvesales Magéticas (TM) y las odas híbidas (HE y EH). Como se ha mecioado, los modos TE, TM y odas híbidas (HE y EH) so solucioes de las ecuacioes de Maxwell e las guías de odas dielécticas ve [4], [5], [6], e este capítulo se cosidea e picipio, alguas caacteísticas geeales de las guías de odas, y como u ejemplo de guía de oda se tomaá ua fiba óptica de ídice abupto, paa posteiomete deiva las solucioes de las ecuacioes de Maxwell que os lleva a la defiició de los modos TE, TM, EH y HE.. Guías de odas E cualquie situació ealista e la que se quiea estudia los campos depedietes del tiempo, debe existi límites o paedes e la egió bajo aálisis. E estos casos las solucioes paa los campos e el medio o podá se, e geeal, odas plaas uifomes de extesió ifiita, ya que, además de satisface las ecuacioes de Maxwell, debe cumpli las codicioes de fotea e los límites de la egió que se cosidea. Ua guía de oda puede se defiida como ua estuctua destiada a la popagació diigida y acotada de adiació electomagética. El medio dieléctico e el que esta popagació se poduce está limitado, ya sea po u mateial 3

36 coducto ( paa micoodas y adiofecuecia), o po oto dieléctico (paa fecuecias ópticas). Existe vaios tipos de guías de odas, los más usuales so: Líeas de tasmisió de dos coductoes Guías de odas huecas Fibas ópticas La pimea de éstas, y como su ombe lo idica, costa de u pa de coductoes paalelos usados paa la tasmisió eficiete de potecia e ifomació, ete ellas se ecueta la líea de tasmisió de dos alambes y la líea de tasmisió coaxial, ejemplos de estas líeas los podemos obseva e los cables usados paa taspote de eegía eléctica y e los cables usados paa TV, espectivamete. El tece tipo de guías de odas, tambié llamadas fibas ópticas cosiste e ua vailla de mateial dieléctico, la cual se basa e el picipio de eflexió itea total, como se vió e detalle e el capítulo, paa guia ua oda electomagética de u puto a oto. A cotiuació se da uas defiicioes sobe los tes tipos de odas TE, TM y odas híbidas (HE y EH).. Las odas TE y TM Supoiedo ua guía de oda co secció tasvesal abitaia, la cual tiee e su iteio u dieléctico que guía la oda a lo lago del eje de popagació que coicide co el eje coodeado, como se muesta e la figua siguiete. 3

37 Figua.. Guía de oda co secció tasvesal abitaia velocidad: Se cosidea dos odas que viaja a lo lago del eje de esta guía co la Dode: w es la fecuecia agula de la oda β es la costate de popagació w v = (.) β y tiee ua amplitud o uifome e el plao tasvesal ve [4], etoces sus expesioes so los siguietes: E = E ( x, y) e j β j β, H = H ( x, y) e (.) E este caso, se sabe que tato el campo eléctico E como el campo magético H satisface la ecuació de Helmholt homogéea e tes dimesioes, E + k E = (.3) 3

38 Dode: H + k w k = es el úmeo de oda c H = es el ídice de efacció del dieléctico (.4) = + + se le cooce como el opeado laplaciao. x y Al sustitui las expesioes del campo eléctico y magético e las ecuacioes de Helmholt vectoial se obtiee ota expesió de estas ecuacioes vectoiales e fució de las amplitudes del campo eléctico y magético e dos dimesioes. Dode: E + p E = (.5) H + p H = (.6) = + x y p = k β Si descompoemos a las ecuacioes de Helmholt vectoiales e sus compoetes escalaes E, E, E, H, H y, H ecuacioes escalaes de Helmhot. x y x se tedá u sistema de seis E + p =, E + p E =, E + p E = x E x y H + p H =, H + p H =, H + p H = x x y y y Supoiedo, que sólo las compoetes axiales E y esto sigifica que seá suficiete co esolve las ecuacioes difeeciales paa las compoetes axiales, y las demás compoetes seá deivables de los axiales. Se ota las pates t asvesales de las dos amplitudes como: H so coocidas, 33

39 E t = E e + E e = E H = H e + H e = H (.7) x x y y, t x x y y Aplicado las ecuacioes de Maxwell a las expesioes del campo eléctico y magético se obtiee ua elació ete las amplitudes de los dos campos. β E = jwµ H E wµ (.8) β H = jwε H H (.9) wε Al multiplica estas dos ecuacioes co el poducto vectoial co y aplica la idetidad vectoial: [ F( x, )] F( x, y) = y Se obtiee: E β jwµ H t E (.) wµ = t Dode: β H = jwε Et H t wε (.) E = E t Debido a las expesioes ateioes, se ve que se puede ecota las ecuacioes simultáeas paa E t y H t e témios de los dos compoetes axiales E y H, sólo se combia las ecuacioes (.) y (.), paa elimia H t y se llega: 34

40 ( k ) E t = p E t jw µ H jβ E = β (.) Y elimia Et se llega a: ( k ) H t = p H t jwε E jβ H = β (.3) Estas dos ecuacioes muesta que las amplitudes de los campos tasvesales E y H so de hecho diectamete deivables de las compoetes axiales E y H t t y tambié demuesta ota popiedad impotate de las amplitudes del campo, es deci, los campos tasvesales so combiacioes lieales de los gadietes de los dos compoetes axiales. A pati de las dos ecuacioes ateioes, los campos tasvesales Et y H t puede se expesados como ua supeposició de dos tipos de ecuacioes más simples, ua o tiee la compoete axial E ( E = ), y se defie como ua oda TE, y la seguda ecuació o tiee la compoete axial H ( = ), y se defie como ua oda TM, las dos ecuacioes que caacteia estos dos tipos de odas se escibe como: Paa la oda TE ( = ). E Sustituyedo e las ecuacioes (.) y (.3) se obtiee la ecuació caacteística de esta oda. H TE p E t = jwµ H y p H TE t = jβ H (.4) Paa la oda TM ( H = ) Al sustitui e las ecuacioes (.) y (.3) se obtiee la ecuació caacteística de esta oda. p H TM t = jwε E y p E TM t = jβ E (.5) 35

41 y la segu da ecuació o tiee la compoete axial ( H = ), es ua caacteística de la oda TM. Las compoetes del campo axial so ecotadas descompoiedo las ecuacioes de Helmholt vectoiales que se escibe como: H E + p E =, paa odas TM (.6) H + p H =, paa odas TE (.7).3 Odas híbidas (EH y HE) La popagació de las odas electomagéticas e ua fiba óptica cosiste de tes tipos de modos, además de las odas TE y TM que se popaga e ua guía de oda metálica, la fiba óptica como guía de oda tiee tambié oto tipo de modos que se llama modos híbidos los cuales tiee compoetes axiales del campo eléctico axiales e el úcleo y e el evestimieto. Se cosidea ua fiba óptica de secció tasvesal abitaia, véase la figua siguiete: E y campo magético H y compoetes tasvesales. A cotiuació se da ua expesió de las compoetes tasvesales y 36

42 Figua.. Fiba óptica como guía de oda Co la deivació de las ecuacioes de Maxwell paa ua oda o uifome y tomado ua fiba óptica de secció tasvesal como guía de oda, se llega a las expesioes de las compoetes tasvesales y axiales, tato e el úcleo como e la cubieta óptica ve efeecia: E el úcleo: Las compoetes tasvesales tiee las expesioes siguietes: E jβ jwµ = E E + p p H (.8) H jβ jwε = H H + p p E (.9) 37

43 Helmholt: Las compoetes axiales satisface a las ecuacioes escalaes de E + p E =, H + p H = (.) E la cubieta óptica: q Se aplica las mismas ecuacioes e el úcleo, sólo emplaado y co se llega a: p co Las expesioes de las compoetes tasvesales se escibe como: E jβ jwµ = E + E q q H (.) H jβ jwε = H + H q q E (.) y las expesioes de las compoetes axiales satisface a las ecuacioes escalaes de Helmholt: E + p E =, H + p H = (.3) Dode: k = β + p, k = β q (.4) 38

44 Capítulo 3 Deivació de las ecuacioes de odas patiedo de las ecuacioes de Maxwell E este capítulo se platea el poblema coespodiete paa ecota las ecuacioes de odas de los tes tipos (odas TE, odas TM, odas híbidas), utiliado las ecuacioes de Maxwell ve [7], [8], [9], []. 3. Ecuacioes de Maxwell. Paa sabe el compotamieto de la popagació de odas de lu a tavés de las guías de odas dielécticas, se utilia la teoía electomagética desaollada po James Clek Maxwell, ya que dicha teoía llevó al descubimieto de las odas electomagéticas, y paa etedela se debe cooce los postulados fudametales que so las cuato ecuacioes de Maxwell, que se puede epeseta e foma itegal ( la cual es coveiete, ya que os idica las leyes física que sive de fudameto) ó e foma difeecial ( que se emplea co más fecuecia e la esolució de poblemas ); paa que u campo pueda decise que es electomagético debeá satisface las cuato ecuacioes de Maxwell. La utiliació de los campos electomagéticos es debido a que so medios capaces de taspota eegía o ifom ació e el espacio mateial, alguos ejemplos de estos campos electomagéticos so las odas de adio, señales de televisió, los haces del ada y e uesto caso los ayos de lu. A cotiuació se da las ecuacioes de Maxwell e foma difeecial. Y debido a la geometía cilídica de la guía, seá coveiete utilia coodeadas cilídicas. 39

45 Dode : ( p,t) B E( p, t) = ( 3.a ) t ( p, t) = J ( p t) H, B ( p, t) = ( p, t) = ρ( p t) D + t ( p, t) ( 3.b ) ( 3.c ) D, ( 3.d ) 3 (,, ) R R p = θ, t so el vecto de posició y el tiempo abitaio. ( p, t) ( E, Eθ, E ) = E (, θ,, t) e + Eθ (, θ,, t) eθ + E (, θ, t) e E =, Es la itesidad del campo eléctico, dada H e volts sobe meto ( V / m). ( p, t) ( H, Hθ, H ) = H (, θ,, t) e + Hθ (, θ,, t) eθ + H (, θ,, t) e = Es la itesidad del campo magético, dada e ampees sobe meto ( A / m). ( p t) ( D, D ) D =, Es la desidad del flujo eléctico o iducció eléctica, θ D dada e coulombs sobe meto cuadado ( / m ) ( p t) ( B, B ), θ B C. B =, Es la desidad del flujo magético o iducció magética dada e webe sobe meto cuadado ( Wb / m ). ( p t) ( J, J ) J =, Es la desidad de coiete de coducció dada e, θ J ampees sobe meto cuadado ( / m ) ( p t) ( ρ, ρ ρ ) A. ρ, =, θ Es la desidad de caga eléctica dada po coulombs 3 sobe meto cúbico ( / m ) C. Las ecuacioes de Maxwell so ecuacioes difeeciales lieales de pime ode acopladas (que cotiee tato el campo eléctico E como el campo magético H ). La elació que existe ete las catidades del campo vectoial E, D, H, B, J es dada po medio de las elacioes costitutivas que caacteia al medio, es deci que paa u medio dado alguo de los campos puede se escitos como fució de otos, e geeal puede se escitas como sigue : D = D( E), B = B( H ), J = J ( E) 4

46 La itepetació más simple de estas elacioes cosiste e que, po ejemplo, la i ducció D = D( p, t) está completamete detemiada po la itesidad E( x, t) e el mismo puto p y e el mismo istate t ( B y H y tambié J y E so cosideadas e foma simila ). E otas palabas, los feómeos electomagéticos e el medio so cosideados locales y o ieciales. A pesa de que tal itepetació es bastate idealiada, es aplicable e muchos casos pácticos. Etoces ( p, t) εε E( p t) D =, ( 3.a ) ( p, t) µ µ H( p t) B =, (3. b ) ( p t) ( p t) J, = σ σ E, ( 3.c ) Dode ε es la pemitividad del espacio libe e Faad / m y µ es la pemeabilidad del espacio libe medida e Hey / m σ es la coductividad del espacio libe medida e Siemes / m; las catidades adimesioales ε y µ y σ so llamados espectivamete pemitividad y pemeabilidad y coductividad elativas. Las ecuacioes mateiales ( 3.a ) y ( 3.b ) y la ley de Ohm de la ecuació ( 3.c) descibe ua ica vaiedad de feómeos físicos que epeseta la espuesta del medio a la aplic ació del campo electomagético. Asumimos que las caacteísticas electomagéticas del medio ε y µ y σ o cambia e el tiempo. Si además tiee los mismos valoes e todos los putos de u volume 3 Ω R etoces el medio que llea el volume es llamado homogéeo y e el caso opuesto, cuado ε = ε ( p) y/o µ = µ( p) y/o σ = σ ( p),ihomogéeo. Supodemos tambié que los paes de vectoes D, E y B, H y J, E so colieales. E este caso el medio es llamado isotópico ( e caso cotaio, aisotópico). 4

47 Cosideado ahoa el medio libe de cagas elécticas coducto, = σ ( p) = σ. las ecuacioes de Maxwell toma la siguiete foma : ( ρ = ), o E H B ( p t) ( p, t) ( p, t) B H, = = µ ( 3.3a ) t t ( p t) ( p, t) E, = ε ( 3.3b ) t ( p, t) = ( ( ) ( µ H ) = ( 3.3c ) D p, t = ε E) = ( 3.3d ) Dode = ε ε y ε µ = µ µ Las cuato ecuacioes de Maxwell so e apaiecia secilla ya que so ecuacioes difeeciales de pime ode y a pati de ellas se puede ecota las cuato ecuacioes básicas que se utilia paa ecota la expesió de la ecuació de oda. 3. Las ecuacioes de odas. Cosideemos ua fiba óptica cilídica, véase la figua 3., y se supoe que el campo eléctico y magético e coodeadas cilídicas a lo lago del eje de la fiba óptica tiee la foma siguiete : y j( wtβ ) [ E (, θ ) + e E ( θ )] e E =, t j( wtβ ) [ H ( θ ) + H ( θ )] e t ( 3.4a ) H =, e,, ( 3.4b ) plao θ Dode: Et y H t. so los vectoes del campo eléctico y el campo magético e el e es el vecto uitaio e la diecció Z. E y H so las compoetes 4

48 del campo axial, w es la fecuecia agula de la lu, β es la costate de fase e la diecció axial. A pati de las ecuacioes ( 3.4a ) y ( 3.4b ) se ve que el campo eléctico E y el campo magético H tiee dos compoetes las cuales so E t (, θ ) y (, θ ) que expe sa el campo eléctico y magético e el plao θ y las compo etes E y H e el plao OZ. H t Figua 3.. Repesetació del campo eléctico y magético e ua fiba óptica y Substit uyedo ( 3.4a ) y ( 3.4b ) e las ecuacioes de Maxwell ( 3.3a) - ( 3.3b) - ( 3.3c) - 3.3d ) obteemos ecuacioes que depede sólo de las compoetes E Ht ( t E y H. y 43

49 jwµ e H = E + jβ E ( 3.5a ) t t jwε e E = H + t jβ H t ( 3.5b ) ( ε E ) = jβε E ( 3. 5c) t ( µ H ) = jβ H t µ ( 3.5d) Si se utilia estas ecuacioes se puede expesa el campo eléctico y el E t campo magético H t e fució de los campos elécticos E y el campo magético H, y a pati de estas elacioes se ecueta las dos ecuacioes difeeciales que se utilia paa llega a las ecuacioes de odas paa los tes tipos de odas (TE, TM, y odas híbidas). La maea de obteela es la siguiete: Paa el campo eléctico, Multiplicamos la ecuació vectoial e De la idetidad vectoial e H t = ε jβ ( 3.5b ) [ jw e e E e H ] t co el poducto A ( B C) = ( A C) B ( A B) C e H t = ε jβ [ jw E e H ] t Sustituyedo esta elació e la ecuació ( 3.5a) se obtiee: E t j β wµ E e H w µ ε β β = (3.6) Paa el campo magético, multiplicamos la ecuació vectoial e ( 3.5a ) co el poducto 44

50 e E t = wµ β H t + je β E Sustituyedo esta expesió e la ecuació ( 3.4b ) se tiee: H t jβ e H + wε E w εµ β (3.7) β = Paa las dos ecuacioes difeeciales, sustituyedo la ecuació (3.6) e ( 3.5c ) se obtiee ε w εµ ε E = E + w εµ β β w εµ β ( e H ) Multiplicado la ecuació co w εµ β ε w εµ β ε E ε w εµ β + w εµ β εµ wµ ( w εµ β ) E e H = εµ w εµ β β Se usa la idetidad vec toial: f [ l f (, θ )] = f Se puede escibi el tece témio de la ecuació: w εµ β εµ εµ w εµ β εµ = l w εµ β Po lo tato la ecuació ateio se escibe como : 45

51 ( ) ) (3.8 l E w β µ ε = + H w e w w E w β µ β µ ε µ ε β µ ε β µ ε ε ε segu ó difeecial ustituyedo la elació (3.7) e la ecuació se obtiee De la misma maea se puede ecota la da ecuaci ) 3.5 ( d s ( ) ) (3.9 l = + + E w e w H w H w w β ε β µ ε µ ε β µ ε β µ ε µ µ β µ ε Cosideado el modelo de la guía de oda véase la figua siguiete: Figua 3.. Modelado po medio de ua guía de oda dieléctica cilídica. es el ídice de efacció de úcleo a es el adio del úcleo Dode: co () () cl es el ídice de efacció del evestimieto 46

52 E geeal cuado se tabaja e guías de odas dielécticas, las cuales opea a fecuecias ópticas del especto electomagético es usual expesa la pemitividad eléctica po medio del ídice de efacció del medio, dode la depedecia es e la coodeada. ( ) = ε( ), ( ) = ε( ) (3.) E el esto de este tabajo se cosidea las siguietes hipótesis, las cuales se debe tee e mete e el tascuso del tabajo. Hipótesis:.- La pemitividad ε es ua fució de sólo: () = [ f ( ) ] ε (3.) ε Dode ε es el valo máximo de la pemitividad ( ) ε e el ceto del úcleo..- El mateial de la fiba óptica es o magético : µ = µ (3.) 3.- La costate de fase se defie como : (3.3) χ = β µ w ε La geometía de la fiba óptica sugiee la itoducció de las coodeadas cilídicas, se puede asumi que el eje Z coicide co el eje de la fiba óptica, 47