Revista Mexicana de Física ISSN: X Sociedad Mexicana de Física A.C. México

Transcripción

1 Revsta excana de Físca ISSN: X Socedad excana de Físca A.C. éxco Núñez-Esquer,. A.; Garclaso-Véjar, J. A.; Ruz-anríquez, A. Evaluacón de esquemas de dferenca fnta para la construccón de las cartas de Gurney-Lure Revsta excana de Físca, vol. 5, núm. En2, dcembre, 2005, pp Socedad excana de Físca A.C. Dstrto Federal, éxco Dsponble en: Cómo ctar el artículo Número completo ás nformacón del artículo Págna de la revsta en redalyc.org Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bajo la ncatva de acceso aberto

2 ENSEÑANZA REVISTA EXICANA DE FÍSICA E DICIEBRE 2005 Evaluacón de esquemas de dferenca fnta para la construccón de las cartas de Gurney-Lure.A. Núñez-Esquer, J.A. Garclaso-Véjar y A. Ruz-anríquez Departamento de Ingenería Químca y etalurga, Unversdad de Sonora, Hermosllo, Sonora, éxco, *e-mal: manunez@q.uson.mx Recbdo el 8 de septembre de 2004; aceptado el 7 de dcembre de 2004 Las cartas de Gurney-Lure son gráfcas de la solucón del modelo matemátco de conduccón de calor en estado no-estaconaro para geometrías prototpo como placa plana, clndro de longtud nfnta y esfera. En el presente trabajo se reporta un ejercco de apoyo ddáctco consstente en la evaluacón de tres esquemas de dferenca fnta para la solucón del modelo matemátco de conduccón de calor y la construccón numérca de las cartas de Gurney-Lure, utlzando un conjunto específco de parámetros numércos. Se consdera que este trabajo puede utlzarse en cursos avanzados de programas de cencas e ngenería que traten sobre la solucón numérca de ecuacones dferencales parcales o transferenca de calor. Descrptores: Cartas de Gurney-Lure; dferencas fntas; solucón numérca de EDP s. Gurney-Lure Charts are plots of the mathematcal model soluton for non-steady state heat conducton n prototype geometres lke flat plate, nfnte length cylnder and sphere. In ths work, we report a ddactc exercse whch conssts n the evaluaton of three fnte dfference schemes for the soluton of the heat conducton mathematcal model and the numercal constructon of the Gurney-Lure Charts, usng a partcular set of numercal parameters. Ths work can be appled n advanced courses of scence and engneerng programs related wth the numercal soluton of partal dfferental equatons or heat transfer. Keywords: Gurney-Lure Charts; fnte dfferences; numercal soluton of PDE s. PACS: Bf; e; 0.50.Ht. Introduccón Una de las herramentas numércas de mayor aplcacón en la solucón de ecuacones dferencales parcales que surgen del modelamento de fenómenos físcos, químcos o bológcos lo consttuyen las técncas de dferenca fnta. Sus ventajas se ponen de manfesto sobre todo en casos donde no puede obtenerse la solucón deseada empleando métodos analítcos, ya sea que se trate de una ecuacón de tpo no lneal, se pretenda modelar geometrías complejas o las condcones límte sean matemátcamente complcadas. Este tpo de metodología, además, compte en forma satsfactora con el método numérco de elemento fnto y en ocasones lo supera en aspectos relatvos a efcenca de cómputo y facldad de programacón. Debdo a ello es un tema oblgado en todo curso que trate sobre la solucón numérca de ecuacones dferencales parcales en programas de posgrado en cencas e ngenería. El enfoque tradconal de enseñanza de este tpo de metodologías consste en presentar en sesones de clase la teoría básca de aproxmacones de dferenca fnta, los conceptos de convergenca, consstenca y establdad, y aplcar estas técncas en la solucón de modelos matemátcos de tpo parabólco, elíptco e hperbólco a través de tareas semanales asgnadas al estudante. En nuestra experenca, además de este planteamento básco, hemos obtendo resultados postvos al asgnar al grupo de estudantes un proyecto numérco semestral que nvolucre la solucón de un problema de mayor complejdad que lustre al alumno la aplcacón de estas técncas en ejerccos que le permtan una mejor comprensón de los temas dscutdos en clase. Uno de estos proyectos semestrales dseñado por los autores y asgnado recentemente en nuestro curso a nvel posgrado étodos Numércos en Cencas e Ingenería, consstó en la evaluacón numérca de tres esquemas cláscos de dferenca fnta para la construccón de las llamadas cartas de Gurney-Lure de transferenca de calor por conduccón para estado no-estaconaro. El trabajo a desarrollar durante la elaboracón de este proyecto resulta amplo e ntegral, en el sentdo de que requere aplcar conceptos que van desde la dscretzacón de la ecuacón dferencal parcal y condcones frontera/ncal que gobernan el proceso de transferenca de calor para cada geometría, el análss de establdad para determnar los tamaños de malla que sea convenente utlzar, el uso de lenguajes de programacón en este caso FORTRAN 77 para obtener las solucones analítca y numérca del problema, el cálculo de errores numércos, hasta la aplcacón de software para la generacón de las gráfcas correspondentes crosoft Excel T fue el dsponble. En esta presentacón nuestro objetvo es descrbr el ejercco asgnado a los estudantes, el procedmento utlzado para evaluar tres esquemas cláscos de dferencas fntas para la construccón de las cartas de Gurney-Lure y algunos resultados típcos obtendos durante la mplementacón de este expermento numérco para un conjunto dado de parámetros utlzados. 2. Planteamento del proyecto numérco Las cartas de Gurney-Lure,2 representan gráfcamente la solucón del modelo matemátco de dfusón de calor en sól-

3 EVALUACIÓN DE ESQUEAS DE DIFERENCIA FINITA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS CARTAS DE GURNEY-LURIE 75 dos de geometría modelo tales como placa plana nfnta de espesor unforme, clndro de longtud nfnta y esfera. Se utlzan de forma generalzada en cencas e ngenería para analzar stuacones donde la transferenca undmensonal de calor por conduccón es domnante o donde esta aproxmacón es válda. El proyecto numérco asgnado a los estudantes consstó en la evaluacón de tres esquemas cláscos de dferenca fnta 3 de uso común en la solucón de ecuacones dferencales parcales de tpo parabólco explícto, completamente mplícto y Crank-Ncolson y selecconar el esquema más exacto en promedo para construr la carta de Gurney-Lure correspondente a cada tpo de geometría modelo placa plana nfnta de espesor constante, clndro de longtud nfnta y esfera. 3. odelo matemátco El modelo cuya solucón se presenta gráfcamente en cada carta de Gurney-Lure se obtene de la representacón matemátca del sguente fenómeno para cada tpo de geometría: Consdérese un sóldo homogéneo, sótropo, con dfusvdad térmca constante ndependente de temperatura, sn generacón nterna de calor y un valor de temperatura ncal T 0, el cual es súbtamente nmerso en una masa nfnta de fludo de temperatura T a. Se desea determnar la temperatura en el sóldo como funcón de la poscón y el tempo, Tx,t o Tr,t. Dado que la dfusvdad térmca es constante aplca la teoría lneal de conduccón de calor, por lo que, s no exste generacón nterna de energía en el sóldo y la transferenca es undmensonal, la ecuacón general de balance de calor se reduce a la segunda ley de Fourer. La representacón esquemátca del sstema, la descrpcón matemátca del problema en forma dmensonal y admensonal, y su solucón analítca se presentan a contnuacón para cada tpo de geometría. 3.. Placa plana nfnta de espesor constante En la Fg. se presenta un dagrama del sstema de placa plana nfnta de espesor constante odelo matemátco dmensonal t = T α 2 x 2, con las sguentes condcones frontera/ncal: = 0, en x = 0 para t > 0; 2 x x = B L T T a, en x = +L para t > 0; 3 T = T 0, en t = 0 para L x L; 4 FIGURA. Esquema de sóldo con geometría tpo placa plana de longtud nfnta. donde T = T x, t = temperatura en el sóldo, t = tempo, α = dfusvdad térmca, x = poscón, B = hl k = número de Bot, T a = temperatura del fludo constante, T 0 = temperatura ncal del sóldo constante, h = coefcente de transferenca convectva de calor, L = espesor de la placa, k = conductvdad térmca del sóldo ndependente de temperatura. 5 La condcón frontera en x = 0 Ec. 2 expresa la smetría del perfl de temperatura en el nteror del sóldo. La condcón frontera para x = + L Ec. 3 descrbe la gualdad del flujo de transferenca de calor por conduccón y conveccón en la superfce de la placa. Por últmo, la condcón ncal Ec. 4 representa el estado del sóldo para todo t 0. Rev. ex. Fís. E

4 76.A. NÚÑEZ-ESQUER, J.A. GARCILASO-VÉJAR Y A. RUIZ-ANRÍQUEZ Los valores característcos β n son raíces de la sguente ecuacón: β n tan β n = B. 4 Para el caso partcular cuando B, la condcón frontera 3 camba a T = T a, en x = +L para t > 0; 5 y la condcón frontera se expresa Y = 0, en z = + para X F o > 0; 6 lo cual ntroduce los sguentes cambos en la solucón 2: Y = 4 π n cos 2n + /2 πz 2n + 2n + 2 exp π 2 X F o. 7 4 n=0 FIGURA 2. Esquema de sóldo con geometría tpo clndro de longtud nfnta odelo matemátco admensonal Introducendo las sguentes varables admensonales en el modelo matemátco formado por las Ecs. -4, Y = T T a T 0 T a = temperatura admensonal, 6 z = x = poscón admensonal, L 7 t X F o = L 2 = tempo admensonal, /α 8 es posble expresarlo de manera admensonal como se presenta a contnuacón. = 2 Y X F o z 2, 9 con z = 0, en z = 0 para X F o > 0; 0 z + BY = 0, en z = para X F o > 0; Y =, en X F o = 0, para z +. 2 La solucón analítca al modelo matemátco Ecs. 9-2 ha sdo reportada de la sguente forma 2: 4 sen β n Y = cos β n z exp β 2 2β n + sen 2β nx F o. 3 n n= Es convenente puntualzar que las anterores condcones frontera/ncal no deben tomarse como condcones que la temperatura T deba satsfacer, por ejemplo, en la superfce del sóldo o en el nstante t = 0; son condcones al límte. Estas condcones matemátcas deben entenderse en el sentdo de que la temperatura y/o sus dervadas tenden al valor prescrto a medda que uno se aproxma al punto o nstante de evaluacón 4. En partcular, la condcón frontera 5 puede utlzarse cuando un sóldo de conductvdad térmca k muy pequeña es repentnamente nmerso en un líqudo para el cual el coefcente de transferenca convectva de calor h tene un valor relatvamente muy grande, es decr, bajo condcones donde la resstenca a la transferenca convectva de calor es desprecable. Esta consderacón matemátca debe tomarse como una aproxmacón convenente a un proceso real en el cual la temperatura superfcal es cambada muy rápdamente a la temperatura T a Clndro de Longtud Infnta En la Fg. 2 un dagrama de un clndro de longtud nfnta odelo matemátco dmensonal con 2 t = α T r 2 +, 8 r r =0, en r=0 para t>0; 9 r r =B R T T a, en r=r para t>0; 20 T =T 0, en t=0 para r R; 2 Rev. ex. Fís. E

5 EVALUACIÓN DE ESQUEAS DE DIFERENCIA FINITA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS CARTAS DE GURNEY-LURIE 77 donde r = dmensón radal, B = hr k = número de Bot, R = rado del clndro. 22 La nterpretacón de las condcones frontera/ncal anterores es smlar al caso de la placa plana nfnta de espesor constante odelo matemátco admensonal Defnendo las sguentes varables admensonales y substtuyéndolas en el modelo matemátco ntegrado por Ecs. 8-2, Y = T T a T 0 T a = temperatura admensonal, 23 ξ = r = rado admensonal, R 24 t X F o = R 2 = tempo admensonal, /α 25 se obtene el sguente modelo admensonal: 2 Y = X F o ξ 2 +, 26 ξ ξ con ξ = 0, en ξ = 0 para X F o > 0; 27 ξ + BY = 0, en ξ = para X F o > 0; 28 Y =, en X F o = 0 para ξ. 29 En la lteratura 2 se reporta la solucón analítca de las Ecs como J 0 β n ξ Y = 2B βn 2 + B 2 J 0 β n exp βnx 2 F o. 30 n= Los valores característcos β n son raíces de la sguente ecuacón: β n J β n BJ 0 β n = 0, 3 En las Ecs. 30 y 3, las J son funcones Bessel de orden ndcado por el subíndce y prmer tpo. Para el caso partcular cuando B, la condcón límte 20 camba a T = T a, en r = R para t > 0; 32 mentras que la condcón 28 se transforma en Y = 0, en ξ = para X F o > En este caso, la solucón analítca tambén se encuentra dsponble 2: J 0 β n ξ Y = 2 β n J β n exp βnx 2 F o. 34 n= FIGURA 3. Esquema de sóldo con geometría tpo esfera Esfera En la Fg. 3 aparece el esquema de una esfera sólda en la cual ocurre transferenca de calor por conduccón odelo matemátco dmensonal con r 2 t = α T r 2 + 2, 35 r r = 0, en r = 0 para t > 0; 36 r = B R T T a, en r = R para t > 0; 37 T = T 0, en t = 0 para r R. 38 Las condcones frontera/ncal tenen una justfcacón smlar a las correspondentes a la geometría tpo placa plana nfnta de espesor constante odelo matemátco admensonal Substtuyendo las varables admensonales en el modelo matemátco dmensonal descrto por Ecs , resulta el sguente conjunto de ecuacones admensonales: 2 Y = X F o ξ ξ, 39 ξ Rev. ex. Fís. E

6 78.A. NÚÑEZ-ESQUER, J.A. GARCILASO-VÉJAR Y A. RUIZ-ANRÍQUEZ con ξ = 0, en ξ = 0 para X F o > 0; 40 ξ + BY = 0, en ξ = para X F o > 0; 4 Y =, en X F o = 0 para ξ. 42 Para el modelo 39-42, la solucón analítca es 2 Y = 2B ξ n= β 2 n + B 2 sen β n β 2 nβ 2 n + B B sen β n ξ exp β 2 nx F o. 43 Los valores característcos β n son raíces de la sguente ecuacón: β n cot β n + B = Para el caso B, la condcón límte 37 se substtuye por T = T a, en r = R para t > 0; 45 y la condcón frontera admensonal 4 es reemplazada por Y = 0, en ξ = para X F o > La solucón analítca de Ec. 39 satsfacendo 40, 42 y 46 se expresa 2: Y = 2 ξ n+ sen nπξ exp n 2 π 2 X F o. 47 nπ n= 4. Solucón numérca Para obtener la solucón numérca del modelo matemátco admensonal en cada tpo de geometría, se evaluaron los tres esquemas de dferenca fnta más comunes para solucón de ecuacones dferencales parcales de tpo parabólco explícto, completamente mplícto y Crank-Ncolson con el fn de selecconar aquél con el menor error en promedo para construr posterormente la carta de Gurney-Lure respectva. El enfoque utlzado para evaluar la exacttud promedo de cada esquema numérco para la geometría modelo correspondente nvolucra los sguentes pasos:. Selecconar el tpo de geometría y la carta de Gurney- Lure correspondente. Para fnes lustratvos, consdérese la geometría tpo esfera. 2. Dscretzar el modelo matemátco de transferenca de calor por conduccón utlzando el esquema numérco a evaluar. En el Apéndce A se presenta un resumen de las ecuacones algebracas resultantes del proceso de dscretzacón del modelo matemátco correspondente a la geometría tpo esfera empleando los esquemas explícto, completamente mplícto y Crank-Ncolson. En la numeracón nodal para geometría tpo esfera, = corresponde al centro de la esfera e = + a la superfce del sóldo. 3. Determnar el valor máxmo permtdo para el parámetro de establdad λ en el esquema explícto, utlzando el método matrcal para análss de establdad, ya que éste ncluye el efecto de las condcones límte al obtener el rango permtdo para el parámetro λ 5,6. En el Apéndce B se reporta un resumen del análss de establdad para el esquema explícto, empleando el método matrcal en geometría tpo esfera y número de Bot fnto, para propóstos explcatvos. 4. Defnr dos tamaños de cambo para espaco z, z 2, ó, ξ, ξ 2 y dos tamaños de cambo para tempo X F o, X F o2 que satsfagan λ. Para geometría tpo esfera, sean = 0, 40 nodos correspondentes a ξ = 0.0, ξ 2 = y X F o = , X F o2 = Selecconar un conjunto específco de valores para z, X F o ó ξ, X F o defndos en el paso # Escoger dos valores representatvos de número de Bot B, B 2 en la carta de Gurney-Lure elegda en el paso #. Para geometría tpo esfera, sean B = 0.5, B 2 =. 7. Para B, defnr en la carta de Gurney-Lure por generar, dos valores X F of IN y X F of IN2 para la abscsa X F o que sean representatvos de la línea correspondente a B. Para geometría tpo esfera, sean X F of IN =.0, X F of IN2 = 3.0, para B =0.5; sean X F of IN = 0.25, X F of IN2 = 0.50 para B 2 =. 8. Calcular la solucón analítca y numérca para el tempo admensonal X F of IN aplcando el códgo FOR- TRAN apropado escrto por los estudantes. Expresar el error RS de acuerdo a RS XF of IN = + Y,analítca Y,numérca + = Y,analítca XF of IN 9. Repetr el paso # 8 para el tempo admensonal X F of IN2 defndo en el paso # 7. Realzar los cambos apropados en la Ec Evaluar el error RS para B utlzando la sguente expresón RS B = 2 RS XF of IN+RS XF of IN2 49 Rev. ex. Fís. E

7 EVALUACIÓN DE ESQUEAS DE DIFERENCIA FINITA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS CARTAS DE GURNEY-LURIE 79. Repetr los pasos # 7 a 0 para el valor de número de Bot B 2, obtenéndose de esta forma RS B2. 2. Calcular RS P RO para el conjunto de valores de número de Bot de acuerdo a la expresón RS P RO = 2 RS B + RS B Repetr los pasos # 5 a 2 con el fn de calcular RS P RO para cada combnacón de valores para z, X F o ó ξ, X F o defndos en el paso # 4, reportando los resultados en una tabla de errores RS P RO para cada esquema de dscretzacón. 4. Selecconar el conjunto de valores z, X F o ó ξ, X F o y el esquema de dscretzacón con el menor error RS P RO para construr la carta de Gurney- Lure correspondente. FIGURA 4. Carta de Gurney-Lure generada numércamente para placa plana. 5. Resultados En la Tabla I se presenta un resumen de los resultados obtendos del análss de establdad del esquema explícto, medante el método matrcal para cada geometría. TABLA I. Rangos de establdad para el parámetro λ, esquema explícto. Geometría Número de Bot Fnto Número de Placa Plana Clndro Esfera λ mn λ mn λ Bot Infnto 2+B Z λ 2 { 4, 2+B ξ+ 2 } { 6, 2+B ξ+ } λ 4 λ 6 FIGURA 5. Carta de Gurney-Lure generada numércamente para clndro. TABLA II. Resultados de RS P RO para geometría tpo esfera. Esquema X F o= X F o2= Explícto ξ = =0 ξ 2= =40 Implícto ξ = =0 ξ 2= =40 Crank-Ncolson ξ = =0 ξ 2= =40 FIGURA 6. Carta de Gurney-Lure generada numércamente para esfera. Rev. ex. Fís. E

8 80.A. NÚÑEZ-ESQUER, J.A. GARCILASO-VÉJAR Y A. RUIZ-ANRÍQUEZ Los resultados para el valor de error RS P RO en el caso lustratvo de geometría tpo esfera se presentan en la Tabla II. Los valores reportados en la Tabla II ndcan que para el caso lustratvo de geometría tpo esfera, el menor error RS P RO se obtuvo utlzando el esquema explícto con = 40 nodos y un valor de X F o = Utlzando un enfoque smlar para geometría tpo placa plana y clndro, en nuestros expermentos numércos y para los tamaños de paso de tempo y espaco utlzados, el menor RS P RO ocurró tambén para el esquema explícto. Estos resultados obtendos para un conjunto específco de tamaños de paso de tempo y espaco, permteron a nuestros estudantes comparar la teoría sobre errores de truncamento y redondeo de esquemas numércos con su mplementacón práctca. De acuerdo a su error de truncamento el esquema Crank-Ncolson, aplcado al caso partcular del modelo para geometría esférca, tene un error del orden X 2 F o, ξ2, mentras que el mplícto es del orden X F o, ξ 2 y el explícto tene un error X F o, ξ 2. Basándose úncamente en el error de truncamento, los resultados más exactos deben obtenerse con el esquema Crank-Ncolson. Sn embargo, el error total de la solucón numérca obtenda con un esquema de dscretzacón partcular está ntegrado por el error de truncamento más el error de redondeo 7. Este últmo está relaconado con el error ntroducdo debdo a que la computadora al calcular la solucón numérca realza todas sus operacones con un número fnto de decmales, de tal forma que mentras mayor sea el número de operacones requerdas por un esquema de dscretzacón específco, es de esperar un mayor error de redondeo. En los esquemas mplícto y Crank-Ncolson es necesaro resolver un sstema de + o ecuacones lneales algebracas para el caso del número de Bot fnto o nfnto, respectvamente, en cada paso de tempo, lo cual ncrementa el número de operacones requerdas y proporconalmente el error de redondeo comparado con el método explícto en el cual se obtene de forma drecta la solucón numérca. Asmsmo, una combnacón apropada de tamaños de paso ξ, X F o, puede alterar el orden de error de truncamento de un esquema dado, ncrementando en algunos casos su exacttud. Debdo a lo anteror, no sempre resulta que el esquema de menor error de truncamento teórco arroja los resultados de menor error total en la solucón numérca como es el caso reportado en la Tabla II para las combnacones ξ, X F o empleadas en el expermento numérco. Estos resultados pueden ser utlzados durante las sesones de clase con los estudantes como base para dscusones acerca de los dstntos tpos de errores nvolucrados en cálculos numércos utlzando métodos de dferencas fntas, resultados obtendos a través de expermentacón numérca. Es posble utlzar dstntos conjuntos de valores para ξ, X F o y obtener conclusones dferentes en cuanto al esquema más exacto debdo a lo menconado anterormente y a que el tamaño de los ntervalos ξ, X F o afecta el error de truncamento y el error de redondeo en sentdo opuesto. El prmero decrece a medda que el tamaño de malla dsmnuye, mentras que el segundo generalmente se ncrementa. Una vez dentfcados los esquemas que produjeron el menor error RS P RO en cada geometría, se generaron las cartas de Gurney-Lure correspondentes. crosoft Excel T fue utlzado por los estudantes para grafcar los datos obtendos Fgs. 4-6, empleando una escala normal para X F o y una escala logarítmca para la temperatura admensonal, Y. Las gráfcas obtendas numércamente resultan ndstngubles de las reportadas en la lteratura 2. En las Fgs. 4-6 se aprecan tres líneas para cada valor de número de Bot: la línea superor representa el valor Y en el centro del sóldo, la línea dscontnua expresa el valor de Y promedada en todo el sóldo y la línea nferor es el valor de Y en la superfce del sóldo. La únca excepcón ocurre para B =, debdo a que la superfce tene un valor de Y=0 todo el tempo y por ello no se muestra línea. Los resultados reportados anterormente se pueden extrapolar drectamente al fenómeno de transferenca de matera por dfusón en estado no estaconaro en el nteror de sóldos de la msma geometría, en analogía al proceso de transferenca de calor analzado en este trabajo, substtuyendo la varable temperatura por concentracón, la dfusvdad térmca por la de masa, etc. 6. Conclusones En este reporte hemos descrto un ejercco numérco que puede ser utlzado como apoyo ddáctco en cursos de postgrado relaconados con aplcacones de métodos numércos en la solucón de ecuacones dferencales parcales en cencas e ngenería. Este proyecto computaconal estmula el nterés de la clase, debdo a que los estudantes emplean los conceptos analzados durante las sesones teórcas en un ejercco de mayor profunddad, el cual se desarrolla a lo largo de todo un semestre, y adconalmente tene un carácter ntegratvo ya que ncluye desde los prncpos de dscretzacón por dferencas fntas hasta la aplcacón del método matrcal para análss de establdad de esquemas numércos, el cual en el presente caso se utlzó en lugar del método de Fourer con base en la nclusón de las condcones límte en el estudo de establdad. En el desarrollo del presente ejercco, los estudantes trabajaron sus solucones analítcas y numércas utlzando FORTRAN 77. Los códgos en FORTRAN 77, así como los reportes completos de análss de establdad para cada tpo de geometría, están dsponbles por parte de los autores. Agradecmentos Se agradecen los comentaros de los árbtros anónmos de este manuscrto. Rev. ex. Fís. E

9 EVALUACIÓN DE ESQUEAS DE DIFERENCIA FINITA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS CARTAS DE GURNEY-LURIE 8 Apéndce A Ecuacones algebracas resultantes de la dscretzacón del modelo matemátco admensonal para geometría tpo esfera. A. Esquema: Explícto, Bot: Fnto = 6λ + 6λ 2, = ; = λ + = 2λ + { 2λ j + 2λY + λ + +, = 2,..., ; + B ξ + } +, = +. A.2 Esquema: Explícto, Bot: Infnto = 6λ + 6λ 2, = ; = λ + = 0, = +. j + 2λY + λ + +, = 2,..., ; A.3 Esquema: Implícto, Bot: Fnto λ j λY λ 2λ + { + 2λ + 6λ 6λ 2 =, = ; + + B ξ + + =, = 2,..., ; } + = +, = +. A.4 Esquema: Implícto, Bot: Infnto λ j λY λ A.5 Esquema: Crank-Ncolson, Bot: Fnto λ 2 + 6λ 6λ 2 =, = ; + + =, = 2,..., ; λ j λ Y =, = ; + 3λ 3λ 2 = 3λ + + λ Y j+ λ 2 λ { + + λ + B ξ + } + = λ + + λ + λ 2 + = 0, = λ 2, = ; + = λ 2 + +, = 2,..., ; { + λ +B ξ + } +, = +. Rev. ex. Fís. E

10 82.A. NÚÑEZ-ESQUER, J.A. GARCILASO-VÉJAR Y A. RUIZ-ANRÍQUEZ A.6 Esquema: Crank-Ncolson, Bot: Infnto + 3λ 3λ 2 = 3λ + 3λ 2, = ; λ 2 j+ + + λ Y λ + 2 λ 2 = λ 2 j+ + + λ Y = λ 2 + j + λ Y + λ 2 + = 0, = +. + λ + λ = 2,..., ; +, = ; Apéndce B Análss de establdad para el esquema explícto empleando el método matrcal en geometría tpo esfera y número de Bot fnto. Resumen de ecuacones algebracas para geometría tpo esfera y número de Bot fnto ver Apéndce A = 6λ + 6λ 2, = ; = λ + = 2λ + { 2λ j + 2λY + λ + +, = 2,..., ; + B ξ + } +, = +. En la Fg. B. se presenta en forma matrcal el sstema de ecuacones generado a partr de las expresones anterores. En esta fgura, el valor de ε una constante está dado de la sguente manera: ε = 2λ + B ξ +. 5 Asmsmo, es mportante resaltar que los componentes del vector columna al fnal del lado derecho de la ecuacón matrcal de la Fg. B. son todos valores constantes, por lo que la matrz que determna la propagacón del error es la que aparece en prmer térmno en el lado derecho de la ecuacón matrcal. La aplcacón drecta del teorema del círculo de Gerschgorn 5 permte determnar una cota superor para los egenvalores de la matrz de propagacón del error que se presenta en la Fg. B. y para el valor límte permtdo del parámetro de establdad λ correspondente al esquema explícto. FIGURA B.. Ecuacón matrcal para el esquema explícto, geometría tpo esfera, Bot fnto. Rev. ex. Fís. E

11 EVALUACIÓN DE ESQUEAS DE DIFERENCIA FINITA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS CARTAS DE GURNEY-LURIE 83 A contnuacón se presenta la aplcacón del Teorema del Círculo de Gerschgorn para algunos nodos crítcos de la matrz de propagacón de error de la Fg. B.. Para este análss, consdere P S = Suma de los módulos de los elementos sobre la fla s de la matrz, excluyendo el elemento de la dagonal a SS. a = Para este caso a ss = 6λ, P S = 6λ, por lo que algunos de los egenvalores de esta matrz deben localzarse en η { 6λ} 6λ. Por lo tanto, η = λ 6λ = 2λ, η 2 = 6λ + 6λ =. B. B.2 Para satsfacer el crtero de establdad de Lax- Rchtmyer, se requere η, η 2. De acuerdo a Ec. B.3, η 2 sí cumple con este crtero. Para η se tene entonces b = 2, 3,..., 2λ, λ 6. B.3 B.4 Para este caso a SS = 2λ, P S = 2λ = 2λ, por lo que algunos de los egenvalores de esta matrz deben localzarse en η { 2λ} 2λ. Por lo tanto, η = 2λ 2λ = 4λ, η 2 = 2λ + 2λ =. B.5 B.6 La satsfaccón del crtero de establdad de Lax- Rchtmyer, requere cumplr η, η 2. De acuerdo a Ec. B.6, η 2 cumple con este crtero. Para η se tene: 4λ, entonces c = + λ 2. B.7 Para este caso { a SS = ε = 2λ + B ξ + }, P S = 2λ = 2λ, por lo que algunos de los egenvalores de esta matrz deben localzarse en η ε 2λ. Por lo tanto, η = ε 2λ, η 2 = ε + 2λ. B.8 B.9 Para cumplr el crtero de establdad de Lax- Rchtmyer, se requere η, η 2. Para η, de la Ec. B.8, substtuyendo la equvalenca para ε y despejando, se tene λ 2 + B ξ. + B.0 Para η 2, de la Ec. B.9, substtuyendo la equvalenca para ε y despejando, se tene λ B ξ. + B. El parámetro expresado por B.0 es menor que B.. En resumen, el parámetro λ que debe utlzarse para establdad global es el menor valor de las expresones B.4, B.7 o B.0, es decr, { } λ mín 6, 2 + B ξ +. B.2. H.P. Gurney and J. Lure, Ind. Eng. Chem S. ddleman, An Introducton to ass and Heat Transfer John Wley and Sons, New York, C.A.J. Fletcher, Computatonal Technques for Flud Dynamcs v. Sprnger Verlag, New York, H.S. Carslaw and J.C. Jaeger, Conducton of Heat n Solds Clarendon Press, Oxford, G.D. Smth, Numercal Soluton of Partal Dfferental Equatons: Fnte Dfference ethods, 3 rd. ed. Oxford Unversty Press, New York, J.W. Thomas, Numercal Partal Dfferental Equatons: Fnte Dfference ethods Sprnger Verlag, New York, W.F. Ames, Numercal ethods for Partal Dfferental Equatons Academc Press, New York, 977. Rev. ex. Fís. E