1. Expresiones algebraicas. Operaciones con polinomios 2. Factorización de polinomios de segundo grado

Transcripción

1 9. Generlizción

2 Mtemátics 4º ESO Opción B 1. Expresiones lgerics. Operciones con polinomios. Fctorizción de polinomios de segundo grdo 90

3 Generlizción 1. Expresiones lgerics. Operciones con polinomios. NÚMEROS MÁGICOS ) Introduce el número 1487 en tu clculdor. A continución multiplíclo por 1,,, 4, y 6. Qué oservs?. ) Escrie l cifr que más te guste. Multiplícl por el número , y el resultdo por 9. Qué ocurre?. Hzlo con otr cifr distint y oserv el resultdo. Explic porqué ocurre esto. c) Escrie un número de tres cifrs. A continución escríelo otr vez y tendrás un número de seis cifrs. Divide por 7 el número otenido. El cociente divídelo por 11 y el nuevo cociente por 1. Qué ocurre?. Intent explicr el motivo. OPERACIONES MÁGICAS ) Utiliz l clculdor pr efectur los siguientes productos: 1 1 = = = = = = Oservs lgun regulridd?. Si continus ñdiendo unos los fctores, se mntendrá l regulridd oservd?. ) Utiliz l clculdor pr efectur los siguientes productos: 1 1 = = = = Oservs lgun regulridd?. Si continus el proceso, se mntendrá l regulridd oservd?. 91

4 Mtemátics 4º ESO Opción B PROPIEDADES MÁGICAS ) Los números 46 y 96 tienen un curios propiedd: su producto no se lter unque cmiemos de orden ls cifrs que los componen. En efecto, Hy otros números de dos cifrs con idéntic propiedd. Puedes encontrr un regl generl?. Escríel si l encuentrs. ) Te presentmos hor dos números, el 1 y el 10, que cumplen un curios propiedd: De qué propiedd se trt?. Será un propiedd muy generl?. Busc otros números con l mism propiedd. c) Hy muchos trucos pr relizr cálculos de form rápid. Aquí tienes uno: Pr clculr el cudrdo de un número de dos cifrs que termine en, por ejemplo el, st con hcer 4 1 y poner continución ; sí: 1. Otro ejemplo: pr hcer el cudrdo de 8, multiplico y detrás pongo, con lo que qued 7. Utiliz este truco con otros números de dos cifrs. Por qué funcion el truco?. Te servirá de yud no olvidr que 74 no es más que l revitur de o ien de ejemplo 1? Funcion tmién con números de tres cifrs cdos en, por MÁS REGULARIDADES ) Complet: Escrie y comprue tres igulddes más de este tipo. ) Comprue que: Escrie y comprue tres igulddes más de este tipo. c) Reliz ls siguientes operciones: Qué oservs?. Se mntendrá siempre l regulridd oservd?. 9

5 Generlizción ÁREA Y VOLUMEN Clcul el volumen de los siguientes sólidos. Clcul l sum de ls áres de tods sus crs. CUADRADO Y RECTÁNGULO Qué relción hy entre el áre colored del cudrdo y el áre del rectángulo?. 9

6 Mtemátics 4º ESO Opción B 94 VERDADERO O FALSO? ) Relizndo los cálculos oportunos con tu clculdor, comprue cuáles de ls siguientes igulddes son verdders y cuáles flss: ) Fijándote en ls conclusiones del prtdo nterior, dí cuáles de ls siguientes relciones son verdders o flss: DILATACIONES Y CONTRACCIONES 1) Imgin que dilts un cudrdo de ldo desconocido, hst que uments su ldo en. Qué relción hy entre los rectángulos diujdos (incluidos el cudrdo ntiguo y nuevo)?.

7 Generlizción ) Imgin que dilts un cuo de rist desconocid, hst que uments su rist en. Qué relción hy entre los cuoides otenidos (incluidos el cuo ntiguo y el nuevo)?. ) Imgin que contres un cudrdo de ldo desconocido, hst que disminuyes su ldo en. Qué relción hy entre los rectángulos diujdos (incluidos el cudrdo ntiguo y el nuevo)?. 4) Imgin que contres un cuo de rist desconocid, hst que disminuyes su rist en. Qué relción hy entre los cuoides diujdos (incluidos el cuo ntiguo y el nuevo)?. ) Imgin que dilts uno de los ldos de un cudrdo de ldo desconocido, hst que uments su ldo en. Al mismo tiempo contres los ldos perpendiculres los nteriores, hst disminuirlos en. De est mner otienes un rectángulo. Qué relción existe entre este rectángulo y los cudrdos diujdos?. Pr resolver este prolem puede serte de utilidd mnipulr cuitos engrzles y plntills de crtón o crtulin. 9

8 Mtemátics 4º ESO Opción B EXPRESIONES ALGEBRAICAS Desrroll ls siguientes expresiones lgerics: 1) x x 1 ) 1 ) x 4) x ) x 1 x 1 6) 1 x 7) x 8) 6x 9) x y z 10) ' ' 11) x y 1) x y CUADRADOS MÁGICOS 1) En un cudrdo mágico hy 9 csills, que tienes que llenr con los números nturles del 1l 9. Dees situr un número distinto en cd csill, de form que ls tres fils, ls tres columns y ls dos digonles sumen lo mismo. ) Cundo hys encontrdo un solución, usc otrs. Averigu cuánts soluciones distints hy y explic por qué no hy más soluciones. ) En lugr de utilizr los números del 1 l 9, vmos utilizr números culesquier. Si utilizs un vrile n conveniente como número fijo, verás que es posile expresr simultánemente infinitos cudrdos mágicos. Escrie l expresión de esos infinitos cudrdos mágicos. 4) Pr cd un de ls soluciones encontrds en el prtdo () generliz utilizndo l vrile n del prtdo nterior. Otendrás sí vris veces infinits soluciones. 96

9 Generlizción TRENES NUMÉRICOS Conocidos los dos primeros números de los cinco vgones, cd uno de los restntes se otiene sumndo los dos nteriores: Cuáles son los tres vgones que fltn en cd uno de los siguientes csos?. 9 6 Ten cuiddo!. El primero lo puedes resolver por tnteo. Pero el segundo no. Busc un método generl que te permit resolver todos los csos l vez. ÁREA Y PERÍMETRO 1) Seguro que ses expresr mtemáticmente el áre y el perímetro del rectángulo que sigue: Srís expresr el áre de este otro?. Y el perímetro?. Si queremos que el perímetro vlg 100, cuánto h de vler x?. Si queremos que el áre vlg 0, cuánto h de vler x?. Hy lgún vlor de x pr el que el rectángulo teng su perímetro y áre igules?. ) En un sistem de ejes crtesinos, diuj lgunos puntos representtivos de ls prejs (x, áre) y (x, perímetro). Coment ls diferencis entre ls gráfics. 97

10 Mtemátics 4º ESO Opción B ) Ahor hcemos vrir tmién l ltur en l mism cntidd x que l se. Cómo puedes expresr el áre y el perímetro del rectángulo? Si queremos que el perímetro vlg 100, cuánto h de vler x?. Si queremos que el áre vlg 0, cuánto h de vler x?. Es posile conseguir un rectángulo que teng su perímetro y áre igules?. 4) Y si l vrición de l ltur no es igul que l vrición de l se, como ocurre en el siguiente rectángulo?. Intent responder ls misms cuestiones que en prtdos nteriores. ENGRANAJES ) Un engrnje está formdo por dos rueds dentds de 7 y 4 dientes respectivmente. Cundo l rued myor hy ddo 1 vuelts, cuánts hrá ddo l pequeñ?. ) En otro engrnje, un rued tiene 1 dientes y d 40 vuelts por minuto. L otr rued tiene 48 dientes. Cuánts vuelts drá por minuto?. c) Un engrnje está formdo por dos rueds dentds, de m y n dientes, respectivmente. Cundo l primer d x vuelts, l segund d y vuelts. Escrie un fórmul que relcione m, n, x e y. d) Suponiendo que m = 0 y n = 40, escrie l fórmul x y. Construye un tl de vlores y diuj l gráfic de l fórmul nterior. 98

11 Generlizción RELATIVIDAD Algunos resultdos de l reltividd especil de Einstein precen ir contr l intuición. L longitud, por ejemplo, no es igul pr un person cundo se mueve que cundo está en reposo. Cundo se vnz un velocidd v, en m/s, se delgz en l dirección del vnce según l v fórmul: L L o 1, siendo, donde: c c = velocidd de l luz = km / s; L = longitud en reposo; L = longitud en movimiento. o Suponiendo L o 1, pr cd velocidd, v, hrá un vlor de L. Construye l siguiente tl: v 0 001c 0 01c 0 1c 0 c 0 c 0 4c 0 c... L ) Represent gráficmente l tl nterior. Qué ocurre cundo v = c?. ) Escrie un fórmul que exprese v en función de L. c) A qué velocidd, en km/s, tendrá que vijr un stronut pr que pierd l mitd de su 1 longitud, es decir, pr que L?. 99

12 Mtemátics 4º ESO Opción B DOS CAJAS 1) Un cj de se cudrd tiene dos metros más de profundidd que de nchur. ) Expres el volumen, V, de l cj en función de l longitud, x, del ldo de l se. ) Expres l superficie totl de l cj en función de x. c) Investig cómo se ven fectdos el volumen y l superficie de l cj cundo x se hce el dole, el triple, l mitd y l tercer prte. Complet l siguiente tl y extre conclusiones: Ldo de l se x Volumen V Superficie S ) En un crtulin de 0 cm 0 cm cortmos cutro cudrdos, uno en cd esquin, y, plegndo convenientemente, formmos un cj sin tp. ) Escrie l fórmul que exprese el volumen de l cj en función de x. ) Escrie l fórmul que exprese l superficie de l cj en función de x. c) Si umentmos x en un ciert cntidd, cómo se ve fectdo el volumen?. Y l superficie?. Pr verigurlo construye tls como ls siguientes y extre conclusiones: x= cm (cm) V (cm ) S (cm ) x= cm (cm) V (cm ) S (cm ) x= 8 cm (cm) V (cm ) S (cm ) 00

13 Generlizción ATRACTORES 1) L gráfic de l siguiente figur es un rco de práol cuy fórmul es y 4x1 x. Según los vlores del prámetro, l práol será más o menos lt. Diuj ls práols en tres csos: = 0 = 0 7 y = 0 9. Oserv que en ests práols los vlores de x y de y están comprendidos entre 0 y 1. ) Elige un vlor inicil de x, que llmremos semill; por ejemplo, 0 6. Clcul el correspondiente vlor de y; por ejemplo y 4 0' 0'6 1 0'6 pr el cso = 0. Este vlor de y lo toms como nuevo vlor de x y clculs el nuevo vlor de y... Y sí sucesivmente. Complet l siguiente tl: x y 4 0'x1 x Diuj los puntos que vs oteniendo con est iterción. Oservs lgun regulridd?. Prue otrs semills. Explor los vlores = 0 7 y = 0 9. CURVAS SUAVES Y CURVAS ANGULOSAS Ls dos figurs que siguen representn gráfics correspondientes sends funciones. L primer, que tiene un fild cúspide, es un diente de sierr, mientrs que l segund es un rco de práol, cuy cúspide es más suve. Imgin lguns historis que se dpten cd un de ests gráfics. Podrís escriir ls fórmuls que corresponden cd un de ls gráfics?. 01

14 Mtemátics 4º ESO Opción B VALORES NUMÉRICOS 1) El período T de un péndulo simple viene ddo por l fórmul T π L g, donde L es l longitud del péndulo y g es l celerción de l grvedd. Hll T cundo L = 0 6 m, g = 9 81 m/s y = 14. ) L superficie totl de un cono está relciond con el rdio r de l se y l ltur lterl o A πr r g. Hll A cundo r = 7 m y g = 11 m. genertriz medinte l fórmul ) L célere ecución de Einstein que relcion l energí, l ms y l velocidd de l luz es E m c. Hll E cundo m = kg y c = 10 8 m/s. VELOCIDAD DEL SONIDO L fórmul de l velocidd del sonido en el ire es v 7 t 7, donde v es l velocidd en km/h y t l tempertur del ire en grdos centígrdos. ) Hll l velocidd del sonido cundo l tempertur es 6ºC. ) Hll l tempertur si l velocidd del sonido es 100 km/h. c) Hll l velocidd del sonido cundo l tempertur es de 77 ºC. SUSTITUCIONES ENCADENADAS En ls siguientes fórmuls efectú sucesivmente ls siguientes sustituciones: c, c y expres el resultdo de l mner más simple posile, de form que solo prezc l letr. 1) c ) c ) c 4) c ) c 4 6) c 0

15 Generlizción MÁS SUSTITUCIONES ENCADENADAS En ls siguientes fórmuls efectú sucesivmente ls siguientes sustituciones: c=, =c y expres el resultdo de l mner más simple posile, de form que solo prezc l letr. c c c c DESPEJA LETRAS En ls siguientes fórmuls despej cd un de ls letrs que se indicn: MAGNITUD FÓRMULA DESPEJA LAS LETRAS... L Período de un péndulo simple T π L, g g Superficie totl de un cono A πrr g r, g Energí reltivist E m c m, c DESPEJA BLOQUES En ls siguientes fórmuls despej los loques de letrs que se indicn: FÓRMULA DESPEJA EL BLOQUE... B A E A D M T M, + N N M M p + x p x Ax B M m y n Ax y p my, y + n 0

16 Mtemátics 4º ESO Opción B DESPEJANDO LA T En l siguiente fórmul despej l letr que se indic: MAGNITUD FÓRMULA DESPEJA LA LETRA... Velocidd del sonido en el ire v 7 t 7 t DESPEJANDO BLOQUES En ls siguientes fórmuls despej los loques de letrs que se indicn: FÓRMULA DESPEJA EL BLOQUE... k C k y e y y m t e, m POLINOMIOS En el sistem deciml de numerción (se 10) se cumple que En cmio, si utilizmos un sistem de numerción inrio (se ), se cumple que En generl, en un sistem de numerción de se x, se cumple que: x 1 x 0. De l mism form, en un sistem de numerción de se x, se cumple que: 4 4 x x, siempre que x se myor de 4. Ls expresiones A= 1 x 1 x 0 y B= 4 x x se llmn polinomios, l igul que otrs expresiones más complicds como C= x x 4 x 1 ó D= 6x 4 x x 7. A y B son de grdo, mientrs que C es de grdo y D es de grdo. Todos ellos tienen un únic indetermind x, pero tmién hy polinomios que tienen más de un indetermind, como por ejemplo, 7. Pr sumr o restr polinomios se procede de form precid l sistem deciml: SISTEMA DECIMAL POLINOMIOS 1+= X X X X 1= X X 1 X X 04

17 Generlizción Efectú ls siguientes operciones con polinomios: ) 4x x x x 4x 1 ) x x 4x 1 4x x c) 6x 4x x 7 x x 4x 1 d) 6x 4x x 7 x x 4x 1 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Pr hllr el producto 4110 en el sistem deciml, construimos un tl como est: PRODUCTOS PARCIALES TOTAL Así tmién puedes hllr el producto de polinomios: (x x 4x 1) (1x ) Efectú los siguientes productos de polinomios: ) x x 4x 1 x x ) 8 1 OPERACIONES Dds ls funciones polinómics y1 =x x +, y = x +6x 1, clcul ls funciones: ) y1 + y ) y1 y c) y1 y 0

18 Mtemátics 4º ESO Opción B DIVISIONES ENTRE MONOMIOS Pr efectur cocientes de monomios, st utilizr el cociente de números y de potencis de l mism se: 4 14x y z 7x y z 4 14 x y z = 7 x y z =xy z Pr dividir polinomios entre monomios hy que utilizr previmente l propiedd distriutiv: 1x 9x +6x 1x 9x 6x = + = 4x x +1 x x x x Efectú ls siguientes divisiones: 4 1x y z ) x y z 7 6 z ) x y +18x y 48x y c) x y RUFFINI 4 Pr clculr el vlor numérico del polinomio x x 4x +6x 1 pr x=, podemos proceder de l siguiente form, scndo fctor común repetids veces: = = Si oservs detenidmente l últim expresión, verás que otener el vlor del polinomio en x = se reduce multiplicr el primer coeficiente por y sumr el segundo coeficiente, volver multiplicr por el resultdo y sumr el siguiente coeficiente, etc. Este procedimiento se conoce con el nomre de lgoritmo de Horner. Podemos disponer los cálculos de l siguiente form: 1) Colocmos rri los coeficientes del polinomio y jo el, que es el vlor de x pr el que queremos otener el vlor del polinomio: Ls operciones que se efectún en los psos siguientes se dn de form esquemátic: ) ) =

19 Generlizción 4) ) = = 1 Con un clculdor que dispong de memoris podemos proceder de l siguiente form pr efectur los cálculos nteriores: Min (ó M + ) = x MR = 7 x MR - 4 = 10 x MR + 6 = 6 x MR 1 = 1 Utilizndo los resultdos prciles (, 7, 10 y 6 ) podemos formr un nuevo polinomio de grdo inferior en un unidd l del dividendo: x +7x +10x+ 6. Se verific l expresión: 4 x x 4x +6x 1= x +7x +10x+6 x + 1 Recuerd que en tod división se cumple: DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO. De mner que lo que hemos hecho es un división de polinomios en l que: 4 x x 4x +6x 1 es el DIVIDENDO; x es el DIVISOR; x +7x +10x+ 6 es el COCIENTE; 1 es el RESTO. Es decir, hemos efectudo l división: 4 x x 4x +6x 1: x El lgoritmo de Horner sirve pr dividir culquier polinomio entre otros de l form x -. Los resultdos prciles son los coeficientes del polinomio cociente (de grdo inferior en un unidd l del dividendo) y el resto de l división es, precismente, el vlor del polinomio pr x =. Este resultdo es conocido como REGLA DE RUFFINI y permite hcer uso de l clculdor pr dividir polinomios. Efectú ls divisiones que se indicn, plicndo l regl de Ruffini: ) (x 4 1 4x +x +) :(x+) ) (x +x +) : x 1 c) (x +1): x e) x : x 4 d) (x 9) :(x+) 14x f) x +x : x

20 Mtemátics 4º ESO Opción B. Fctorizción de polinomios de segundo grdo. FACTORIZA I Fctorizr un expresión lgeric consiste en escriirl como producto de fctores. Ejemplo 1.- Pr fctorizr Así: x 4x x x x 4x, st scr fctor común x.. Ejemplo.- Pr fctorizr l expresión 9x, st tener el cuent que un diferenci de cudrdos es igul l producto de l sum por l diferenci, es decir: 9x x x x. Por tnto: Fctoriz ls siguientes expresiones lgerics: ) x x ) 6y 4y c) d) x y x y e) y f) FACTORIZA II 4x y g) 1 x h) 9 16t 4 s Pr fctorizr un expresión de segundo grdo del tipo x x c, puedes resolver primero l ecución x x c 0. Si m y n son ls ríces entonces se cumple que: x x c x m x n Fctoriz ls siguientes expresiones cudrátics, hllndo previmente ls ríces: ) x 7x 10 ) x 8x 1 c) x x d) 4x x 1 FACTORIZA III Fctoriz ls siguientes expresiones lgerics: 1) x ) m m m ) x 4y 4) 4 9m n 9 ) x x 6) x 8x 40 7) x 11x1 8) x 17x 8 08

21 Generlizción FACTORIZA IV Fctoriz, si es posile, cd uno de los siguientes polinomios: ) x x ) x x 1 c) x 7x 1 d) x 4x 1 e) x 4x 1 f) x 6x ROMPECABEZAS DE FACTORES (*) Construye en crtulin trjets como ls de l siguiente figur y lterntivmente con tu compñero, únels de modo que concuerden los productos con sus fctores correspondientes. Cd piez puede unirse otrs por sus cutro ldos, tl como se muestr en l figur: x x 4 x x x 1 x x x x xx 4 x 6x 6 x 1x 1 x 6 x 9 x x x x SIMPLIFICA I Ten cuiddo l hor de simplificr frcciones!. Si tnto numerdor como denomindor están fctorizdos, es fácil simplificr l frcción, hciendo uso de ls propieddes de ls potencis. Así: Pero si el numerdor o el denomindor contienen sums o rests de productos, entonces l cos es más difícil. Así, en no se puede simplificr un del numerdor con el del denomindor y decir que el resultdo es + =, porque, en relidd el resultdo es 7 '. Cundo prezcn sums o rests en el numerdor o denomindor, es conveniente fctorizr previmente numerdor y denomindor, si ello es posile. Y recuerd que pr fctorizr puedes utilizr lgun de ls estrtegis vists en prolems nteriores. 09

22 Mtemátics 4º ESO Opción B Simplific ls siguientes frcciones: ) ) 4 c) 1 10 d) 18 6 SIMPLIFICA II Simplific ls siguientes frcciones: ) x 8x 4x ) x x 4x 10x c) x x x x d) x x 6x x SIMPLIFICA III Simplific ls siguientes frcciones: 1) ) 7 ) x x 4) x x UNA DEMOSTRACIÓN EJEMPLAR No te fíes de ls demostrciones!. Aquí tienes un demostrción impecle de que = 1. Sen y dos números tles que Multiplic mos ldos de l iguldd por : Rest de mos ldos: = Recuerd que y sc fctor común en el segundo miemro: Por tnto, dividiendo por Como es Es decir: : : Luego: = 1 Dónde está el fllo de este rzonmiento?. 10

23 Generlizción LOS GAZAPOS Aquí hy errores. A ver si los loclizs: 1) x y 4x y ) 4) 6 ) 1 ) LOCALIZA ERRORES Aquí hy errores. A ver si los loclizs: 1) ) ) 0 4) m m n n ) 4 HISTORIAS PARA FÓRMULAS Invéntte un histori pr cd un de ls siguientes fórmuls: 1) v u t ) L T π ) A πrr g g 1 ) 6 4) S n n 1 n 1 E m c 6) 1 S u t t MÁS HISTORIAS Invéntte un histori pr cd un de ls siguientes fórmuls: 1) v 7 t 7 ) v u s ) H c 11

24 Mtemátics 4º ESO Opción B 1