FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES..- Valor de una función en un punto. En la práctica introductoria se ha visto cómo introducir epresiones y realiza operaciones básicas con ellas. Una opción para trabajar con funciones consiste en definirlas mediante el símbolo de asignación : Ejercicio.- Introducir en el editor de línea la siguiente epresión: f( : ln(^+3)- sin(sin(sin()) Derive interpreta la epresión como función haciendo aparecer la epresión: f ( : LN ( + 3) - SIN (SIN (SIN ()) Introducir f (-.7) y con Simplificar -> Aproimar (o con el icono ) y observar que el resultado que se obtiene es Esto es, por tanto, una alternativa al uso de Sustituir variable ( ) visto en la práctica introductoria. Comprobar que f (-5.7) y f (500) , respectivamente. Para calcular un conjunto de puntos en un intervalo dado se puede recurrir al uso de tablas de pares de valores (Cálculo -> Tabla). Ejercicio.- Introducir la función g( : abs( / ( (^ + )) y calcular sus valores entre -0.5 y 0.5 en cada décima. ) Introducir en el editor de línea la epresión dada. ) Introducir en el editor de línea g(. 3) Seleccionar Cálculo -> Tabla. Aparece el siguiente cuadro de diálogo: Introducir los valores que aparecen en la figura y pulsar Aproimar.

2 El resultado que se obtiene es: donde la primera columna representa los distintos valores de y la segunda columna sus imágenes. Observar que para el valor 0 Derive no ofrece un resultado concluyente. Para comprender lo que ocurre representar la gráfica de la función g( y además la tabla anterior. Ejercicio 3.- Otras situaciones en las que se pueden obtener resultados etraños son las que surgen con cálculos como los siguientes: º.- Definir h( : sin(/ y calcular sus valores en un conjunto de puntos que abarquen al 0. Observar el resultado sin( ) que se obtiene en h(0). º.- Definir l( : sin(/ y calcular directamente l(0), también se obtiene? (Derive no sabe que decir). 3º.- Definir m( : /((-)(+)) y calular los valores de m( en los alrededores de. Se observa que para se obtiene ±, lo cual carece de sentido. Para entender lo que ocurre hacer una gráfica de cada una de las funciones h(, l( y m(..- Límite de una función en un punto. El ejercicio anterior revela situaciones anómalas en las que Derive proporciona respuestas etrañas. Viendo con detalle cada una de las funciones y, muy importante!, los puntos en que se producen las anomalías, se encuentra que en todos ellos se llega a una situación en la que aparece una epresión que no tiene sentido. Sin embargo esto sólo se produce en un punto concreto y en el resto de los puntos (alrededor del conflictivo) las funciones se evalúan sin problemas y se comportan incluso con una cadencia estable, tal y como se ha visto en los ejercicios anteriores. Si consideramos el caso de la función g( este comportamiento se resume diciendo que el límite de la función g( cuando tiende a 0 por la derecha es igual a. y se simboliza escribiendo: g( + o Cuando tiende a 0 por la izquierda, el límite de la función g( es igual a -. y se simboliza

3 escribiendo: o g( En este caso la función g( tiene los dos límites laterales pero no coinciden, dice que la función g( no tiene límite cuando tiende a 0. Ejercicio 4.- Cuál es el límite de las función h( en el punto 0? Ejercicio 5.- Cuál es el límite de las función l( en el punto 0? Ejercicio 6.- Cuál es el límite de las función m( en el punto? 3.- Cómo calcular límites en Derive. Para calcular límites de sucesiones y de funciones en Derive se puede recurrir al icono abrirá el siguiente cuadro de diálogo: que Donde se puede seleccionar la variable y el punto en el que se calculará el límite, así como si es un límite lateral o no. Pulsando Simplificar se obtiene el resultado del cálculo. Otra forma es escribiendo directamente la epresión con la siguiente sintais: LIM(f(,, c, dirección) Donde dirección puede tomar los valores (por la derecha), - (por la izquierda) o 0 (ambos lados). Ejercicio 7.- Calcular los siguientes límites con Derive y representar la función: a) b) 0 sin [( a ] c) Ejercicio 8.- Calcular los límites laterales de las siguientes funciones cuando tiende a 0 y representarlas gráficamente: a) f ( b) f ( e sin( 3

4 Ejercicio 9.- Calcular los siguientes límites a mano: a) + 3 b) 3 3 d) g) + e) c) 3 Comprobar los resultados obtenidos haciendo uso de Derive. f) Continuidad de funciones. En el apartado anterior se han calculado límites de funciones en puntos conflictivos y se han obtenido resultados diversos. Sin embargo el límite de una función se puede tratar de calcular (luego eistirá o no) en cualquier punto, sea éste conflictivo o no. Así en el siguiente ejercicio se calcula el límite en una situación de lo más normal. Ejercicio 0.- Repetir los pasos del ejercicio aplicados a la función p( : ^-3+ en el punto 3. Obsérvese que: Eiste 3 + p( y también 3 p( con lo cual 3 p( Hacer una gráfica de la función. Además de lo anterior calcular el valor de p(3) y observar que p(3) En este caso de la función p( se da la siguiente situación, nueva hasta el momento: º.- Eiste p( 3 º.- Eiste p(3). 3º.- Los dos valores anteriores son iguales. En tal caso se dice que la función p( es continua en 3. Lo cual se simboliza mediante la epresión: p( p( 3) 3 Se destaca el hecho de que para que una función sea continua en un punto se deben cumplir las tres condiciones anteriores. Así la función: g( abs(/((^+)) no puede ser continua en 0 ya que no eiste su límite en ese punto (si se observa su gráfica se verá que la rama positiva y negativa de la misma se encuentran separadas en el punto 0) 4

5 Lo mismo ocurre con las funciones: h( : sin(/ en el punto 0, y m( : /((-)(+)) en el punto. Ninguna de ellas es continua, en dichos puntos, pues no tienen límite en ellos. Ejercicio.- Estudiar la continuidad de la función l( : sin(/ e indicar qué tipo de discontinuidad se presenta. Ejercicio.- Estudiar la continuidad de la función r( : sin(/ e indicar qué tipo de discontinuidad se presenta. 5.- Funciones definidas por intervalos. Además de las funciones definidas de la manera habitual Derive admite las funciones definidas a trozos o por intervalos. Para ello se ha de utilizar la función definida internamente en el programa que se define como: CHI (a,,b) que vale si a<<b y vale 0 si <a ó b<, pero no está definida (lo que supone un problema) ni para a ni para b. Ejercicio 3.- Así para introducir la función q( definida como: + 5 si (, q( 3 si (, ] + + si (, ] Se introduciría la epresión: q( : (^+5)/(^) CHI(-inf,, -) + (-3 CHI(-,, ) + (^++) CHI(,, inf) Hacer una gráfica de la función y observar su comportamiento, sobre todo en los puntos de contacto de los diferentes tramos. ] Ejercicio 4.- En este momento se puede preguntar por el valor de la función q( en cualquier punto. Hallar los valores de q(-0), q(0.5) y q(34). Se obtiene , -.5 y En cambio si se intenta pedir el valor de la función en los puntos de contacto de los diferentes tramos q() y q(-) Derive no sabe que responder y se obtiene? (En este caso no es grave pues viendo la definición de la gráfica se ve fácilmente que: q(-) 3 y q() -3). Sin embargo, sí es posible calcular el límite de la función q( cuando tiende a - y a, pues el valor de la función en esos puntos es irrelevante (a efectos de cálculo del límite). 5

6 Ejercicio 5.- Para comprobar esto hallar los siguientes límites: º.- q( 4º.- q( º.- q + ( ) 3º.- q( 5º.- q + ( ) 6º.- q( 7º.- 0 q( 8º.- 34 q( Contrastar estos resultados con la gráfica de q(. 6

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