TEMA 4 ECUALIZADORES. Inmaculada Hernáez Rioja

Transcripción

1 TA 4 CUALIZADORS Imuld Heráez Rio

2 TA 4 ulizdores Demodulió óptim pr IS y ruido gusio blo Forzdor de pso por ero Filtrdo Adpttivo Itroduió Criterio del rror udrátio medio míimo Algoritmo LS ulizdor dpttivo bsdo e el riterio S Forzdor de eros dpttivo ulizdor o relimetió de deisioes ulizdores frioles eriios Problem Problem Problem Bibliogrfí...4-6

3 TA 4 CUALIZADORS 4. DODULACIÓ ÓPTIA PARA IS Y RUIDO GAUSIAO BLACO este prtdo osidermos l trsmisió de l señl por u l fetdo por los dos efetos periiosos y ometdos: ruido blo e iterferei etre símbolos, osiderdos de form out. Cosideremos l señl trsmitid s t g t T y l señl reibid por el reeptor r t t T z t e dode t es l respuest del l g T t, y zt es ruido gusio blo. Puede demostrrse ue el demoduldor óptimo puede obteerse o u filtro dptdo t, seguido de u muestreo /T y u lgoritmo de proesmieto de ls muestrs obteids: T rt *-t tt Algoritmo de deisió {A } zt l demoduldor óptimo de máim probbilidd L, imum Lieliood miimiz l probbilidd de error e u seuei de dtos reibid. Así, osiderdo u seuei de dtos reibid r r T T T z T l seuei A ue miimiz l probbilidd de error es uell ue mimiz l epresió si demostrió por el mometo, se estudirá e el Tem 5: R * * y m m m * e dode y y T r t t T dt y * T t t T dt Como vemos so ls muestrs tomds /T de l fuió de utoorrelió de t. Puede verse e l epresió mimizr ue l deisió sobre uál sido l seuei trsmitid, se tom utilizdo u seuei de muestrs reibid e u reeptor de máim probbilidd. Si l fuió de utoorrelió t tiee l form de u pulso de yuist por tto o brá IS e ls muestrs -m, ls muestrs tomds /T será ero slvo y l tidd mimizr será: * R y ue euivle eotrr l seuei {A } ue mimiz R * y. Si los símbolos so idepedietes etre sí, y tods ls seueis so igulmete probbles, etoes l evluió del máimo pr tod l seuei, es euivlete l evluió del máimo símbolo símbolo. 4-

4 s deir, l evluió de u seuei omplet utilizdo u seuei de dtos reibid tiee setido udo o tods ls seueis tiee l mism probbilidd. l estimdo lásio bsdo e máim probbilidd estimdor L o AP utiliz el vlor de u úio símbolo pr deidir el vlor de u úio símbolo. Otros estimdores ooidos omo LS, utiliz u seuei de símbolos reibidos y evlú el vlor de u úio símbolo. Filmete, sistems o deodifiió de Viterbi, evlú l seuei omplet trsmitid, deidiedo sobre u seuei omplet. l empleo de eulizdores es u form de osiderr u outo de símbolos reibidos pr estimr el vlor de uo de ellos. emplo: Cosideremos l seuei de logitud reibid {.7,.6} e u sistem o ódigo AI símbolos -,,, o seueis del tipo y - - proibids. l sistem de deisió o puede estr bsdo e u úio símbolo. L siguiete tbl muestr los vlores de * y :,6, , - -,7, , 4. FORZADOR D PASO POR CRO U forzdor de psos por ero trt de oseguir su slid u señl si iterferei etre símbolos, iedo ue umpl el primer riterio de yuist. Cosidere el modelo disreto de l figur: Hz Cz y so los símbolos trsmitidos. Hz represet el filtro de trsmisió uto o los efetos del l. so ls muestrs del ruido, modeldo omo gusio blo. Cz es el eulizdor. y so por lo tto los símbolos eulizdos. Tomdo 4-

5 4-3 y e dode el térmio represet l iterferei del resto de los símbolos sobre el símbolo. L Distorsió de pio por iterferei etre símbolos se defie omo D l obetivo del eulizdor es elimir e l medid de los posible l iterferei etre símbolos. Si dispoemos de u úmero ifiito de oefiietes e el filtro, podemos elegirlos de form ue umpl ue: δ s deir ue z C z H z Q ; y por tto z H z C. Como vemos, el filtro euliz l señl ompesdo los efetos del l. Además de eulizr l señl, tmbié filtrrá el ruido: si l señl es peueñ, el filtro l mplifirá, y mplifirá tmbié el ruido. Por otro ldo, si l respuest Hz tuvier lgú ero e su respuest freueil, el filtro Cz o resultrí estble. Implemetremos u filtro FIR o u úmero fiito de oefiietes : l úmero de euioes resulttes depederá de l logitud de. Supoiedo < y >L-, podremos forzr vlores de pr L, de form ue teemos L euioes. presádolo e form mtriil: L L L s deir, más euioes ue iógits, por lo ue teemos u sistem sobredetermido, ue por lo tto o tiee u úi soluió, y tods ls soluioes eotrds será sub-óptims. U form de resolver el problem suele ser osiderr úimete putos de, y dmitiedo l eistei de l iterferei etre símbolos distidos más de o del símbolo tul. Se puede demostrr ue ést es l soluió óptim si se umple ue: < L D

6 st odiió euivle teer el oo bierto tes de l eulizió, es deir ue l IIS o es sufiietemete sever omo pr errr ompletmete el oo. Bo ests odiioes, se miimiz l distorsió de pio eligiedo los oefiietes del eulizdor pr ue se umpl l odiió: e el rgo Є[-, ], y e geerl, o iterferei etre símbolos residul pr < <L. Por otro ldo, el diseño de este filtro reuiere ooer l respuest l impulso del sistem. emplo L trsmisió de u señl de pulso o espetro de oseo lzdo d omo resultdo l siguiete seuei muestred e el reeptor: Soluió: - resto Determir los oefiietes de u filtro eulizdor de 3 etps forzdor de psos por ero. b Pr los oefiietes luldos determir l slid pr u pulso isldo omo el desrito y determir l epsió de l ISI e el tiempo. Adoptmos l soluió y ] [ ] [ ] [ ] [ [] [] []..5 [-] [] [].. [-] [-] [] -.5. Despedo los oefiietes obteemos:,.984,

7 b y[] []*[] {-.49,,,,.98,.98} 4.3 FILTRADO ADAPTATIVO 4.3. ITRODUCCIÓ iste umeross pliioes e el proesdo de l señl digitl e ls ue los oefiietes de u filtro o puede determirse priori. sto se debe ue ls rterístis estdístis de ls señles filtrr so desooids e priipio o vrites o el tiempo. Cosideremos por eemplo, u módem de lt veloidd ue se diseñ pr l trsmisió de dtos por les telefóios o distits respuests freueiles. L úi mer de ompesr ls distits distorsioes de estos es dispoer de u eulizdor o oefiietes ustbles ue se optimiz pr miimizr lgú tipo de medid de l distorsió. De l mism form ue u filtro o prámetros ustbles es u filtro dpttivo, u eulizdor sí, será u eulizdor dpttivo. l estudio de este tipo de filtros obrdo u gr iterés durte los últimos 5 o ños, debido sus umeross pliioes. Algus de ls más otbles so:. Sistems dpttivos de te e los ue los filtros dpttivos se utiliz pr dirigir el z y pr geerr ulos e el digrm de rdiió y elimir iterfereis ideseds. Reeptores de omuiió digitles e los ue los filtros dpttivos se us pr l idetifiió del l y eulizió de iterferei etre símbolos. 3. Téis eldors de ruido e ls ue el filtro dpttivo es usdo pr estimr y elimir l ompoete ruidos e l señl desed. 4. odeldo de sistems, e los ue el filtro dpttivo es usdo omo modelo pr estimr ls rterístis de u sistem desooido. sts so t sólo us pos de ls mus pliioes del uso de filtros dpttivos. Auue se puede usr tto filtros FIR omo IIR e el filtrdo dpttivo, es el filtro FIR el más omúmete utilizdo. l filtro FIR sólo tiee eros ustbles y demás o preset lguos problems de estbilidd ue sí tiee los IIR demás de polos y eros ustbles. L estbilidd de u filtro dpttivo IIR depede del lgoritmo usdo pr ustr los oefiietes. l riterio de optimizió más utilizdo es el riterio S rror Cudrátio edio íimo. Pr l implemetió de los filtros FIR, se utiliz sobre todo l form diret y l estrutur Lttie. A otiuió se preset l implemetió e form diret de u FIR dpttivo o oefiietes ustbles. 4-5

8 trd z z z z 3 4 Slid Auste de oefs 4.3. CRITRIO DL RROR CUADRÁTICO DIO ÍIO Cosidere el esuem siguiete, e el ue trtmos de estimr u seuei d, utilizdo u filtro FIR de oefiietes. d e FIR {} d` l error ometido e l estimió vldrá: e d l riterio pr el álulo de los oefiietes, es miimizr l potei del error ometido e l estimió: d -> míimo 4-6

9 4-7 Desrrolldo : { } { } { } l l d d result ser u fuió udráti de los oefiietes y l soluió óptim pr los oefiietes es uell pr l ue se umple: * d l r l r, l - e dode dode l r es l fuió de utoorrelió de l seuei, y l r d l orrelió de l señl desed d y l etrd dispoible. so los oefiietes óptimos del filtro. Además, de er míim l epresió d e se obtiee ue { } e de lo ue se dedue ue error y dtos está iorreldos ALGORITO LS Por medio de este método vmos trtr de estbleer de modo itertivo el vlor de l potei del error S,. L fuió { } { } { } l l d d es u fuió udráti de los oefiietes. l siguiete figur se represetdo est fuió pr dos oefiietes. l álulo de los vlores de los oefiietes, osistirá e eotrr el puto e el ue l fuió se e míim, mi..

10 Pr ello os bsremos e el método de deseso por grdiete dode bremos st el puto mi. Desediedo por l udráti e l direió otrri l grdiete. Apliremos l siguiete ley de reursividd: [ g ] µ - Si usmos otió mtriil y mrmos ls mtries o vetores olum o egrit: µ g g : es el vetor de oefiietes del filtro e l -ésim iterió. l vetor iiil de oefiietes, o, se elige de mer rbitrri. idi el úmero de oefiietes del filtro orde -. µ : ostte de veloidd de overgei o tmño de pso. Se trt de u vlor ue puede ser vrible y puede ir ustádose e d iterió por eemplo, podemos omezr o psos grdes, e ir reduiedo su vlor medid ue os proimmos l míimo. g: vetor de direió e d istte. Puesto ue se lul por medio de u grdiete, este deseso será el más brupto. Además el sigo egtivo ue iluye l epresió os idi ue vmos e direió otrri l grdiete. Se puede demostrr ue medite este lgoritmo overge l soluió óptim udo, debido ue l seuei de tmños de pso es bsolutmete sumble. De esto se desprede ue udo, g. g es desooido, por lo ue deberá ser estimdo. Utilizremos l estimió de Widrow, proimdo el estimdo el vlor de l potei del error, por su vlor isttáeo: { } g $ e e e, dode e d d $ y e Co tods ests osiderioes el lgoritmo os ued filmete de l form: µ e o tmbié: µ e CUALIZADOR ADAPTATIVO BASADO L CRITRIO S L siguiete figur muestr el esuem de u eulizdor dpttivo bsdo e el riterio S, y utilizdo el lgoritmo LS pr el uste de los oefiietes del filtro: 4-8

11 4.5 FORZADOR D CROS ADAPTATIVO u sistem o IS, l distorsió itroduid se evlú medite el vlor de l Distorsió de pio D, L L luld omo D, e dode es l respuest l impulso del l eulizr, y L l logitud de. l álulo del vlor de los oefiietes ue e míimo el vlor de D reuiere el empleo de métodos umérios. Se puede demostrr, ue si se umple l odiió: L D < l distorsió de pio se miimiz seleiodo los oefiietes del eulizdor l forzr:. L odiió epresd impli ue l iterferei etre símbolos l etrd del eulizdor o es lo sufiietemete sever pr errr el oo. 4-9

12 4- Los vlores de pr > será distitos de ero, y ostituye l iterferei etre símbolos IS residul l slid del filtro eulizdor. este prtdo demostrremos ue l soluió de forzdo ero udo D < se puede obteer medite u lgoritmo dpttivo osistete e er: } { ˆ e e dode ˆ es l seuei de dtos desedos. s deir, los oefiietes está dptdos óptimmete segú el riterio forzdor de eros udo el error es ortogol l seuei de dtos desedos o se trt por lo tto del riterio S, e el ue el error es ortogol los dtos. Teiedo e uet ue ~ e, siedo ~ los dtos estimdos obteidos l slid del filtro, y supoiedo ue ls deisioes se está tomdo orretmete de form ue ˆ : { } ~ ˆ e } { { } e ˆ Teiedo e uet ue pr símbolos iorreldos: { } m l m l δ σ y ue el ruido y los dtos está iorreldos: { } m l } { ˆ e δ σ δ σ δ σ s deir, δ Por lo ue podemos er u uste dpttivo de los oefiietes, utilizdo los dtos desedos ˆ, y udo éstos le su vlor óptimo, el filtro se omportrá omo u forzdor de eros. l lgoritmo osistirá por tto e ustr los oefiietes segú l siguiete euió: ˆ µ l esuem de l siguiete figur muestr l implemetió del forzdor de eros dpttivo.

13 4.6 CUALIZADOR CO RALITACIÓ D DCISIOS l esuem geerl de este eulizdor o liel se muestr e l siguiete figur: 4-

14 Como vemos, iluye dos filtros: u filtro o limetió i delte feedforwrd y u filtro de relimetió. L etrd l filtro feedforwrd es l seuei de dtos reibid { }, de form similr los eulizdores lieles estudidos. L prte del filtro o relimetió, utiliz omo etrd l seuei de deisioes tomds sobre los símbolos teriores. ste filtro, elimirá l IS provod sobre el símbolo tul por los símbolos teriores, mietrs ue el filtro feedforwrd se ergrá de l IS provod por los símbolos siguietes l símbolo tul. sto ued refledo e l siguiete epresió: ~ ˆ Pr el álulo itertivo de los oefiietes del filtro, puede plirse uluier de los dos riterios teriormete vistos, el riterio S o el ritero de Forzdo de psos por ero. mbos sos, el segudo filtro turá elimido totlmete l prte de l IS usd por los símbolos y detetdos, siempre ue ls deisioes se orrets ˆ. L siguiete figur muestr el esuem pr el eulizdor o relimetió de deisioes, bsdo e el riterio S: 4-

15 4.7 CUALIZADORS FRACCIOALS ls estruturs estudids, el filtro eulizdor trb veloidd de símbolo r/t. ste espido es óptimo si el filtro v preedido de u filtro dptdo l distorsió del l itroduid sobre el pulso trsmitido. Pero udo ls rterístis del l so vrites o desooids, el filtro del reeptor se dpt usulmete l pulso trsmitido, y el istte de l reepió estrá optimizdo pr este filtro subóptimo. ste eo provo por lo geerl ue el omportmieto del eulizdor se muy sesible l eleió del istte de muestreo. Por otro ldo, el espetro de l señl l etrd del eulizdor tedrá por lo geerl u o de bd lgo superior r/. Por tto, l señl ue ve el filtro su etrd es u versió o solpmieto lisig del espetro de l señl, y será est versió l ue el eulizdor trtrá de ompesr. stos problems so los ue trt de soluior el eulizdor friol, e el ue l veloidd de trbo del eulizdor es superior l veloidd de símbolo r. Cosideremos u l o respuest globl t. Si se produe u error e l eleió del istte de muestreo, podemos osiderr ue l respuest del l es t-t, e dode t es el error ometido. Al muestrer periodo de símbolo T, obtedremos u respuest freueil: 4-3

16 Y f H f T e π f t π t T πft T e H f e T ue e el rgo de freueis de trbo, y osiderdo sólo ls freueis positivs, <f</t: Y f e o H f H f e T e π t T H f α e <f</t π t πft T πft H f α T, y α < geerlmete, y ue Hf deree moótomete. Así, vemos ue el H f espetro ueddo fetdo por el ftor π α R α t T { } os t T α e π, uyo módulo puede esribirse omo: Así, l respuest ue ve el filtro vrí e fuió de t. So espeilmete problemátios los vlores de t pr los ules se produz ulos o si ulos, y ue el eulizdor trtrá de ompesrlos itroduiedo mu gi, y eftizdo el ruido. l peor vlor pr el error ometido es tt/. L soluió viee dd o el empleo de u filtro ue trbe veloidd superior, o u freuei de muestreo tl ue o se produz lisig. Cosiderdo u o de bd pr l señl reibid B r ρ, utilizremos fs>brρ. U eulizdor ue trb o u espido etre muestrs de T se llm eulizdor T-espido. Así, por eemplo, si ρ y T es l veloidd de símbolo, deberímos utilizr u eulizdor T/-espido, si ρ.5, T/3-espido et.. Los símbolos sigue luládose d T, por lo ue e u filtro dpttivo, los oefiietes se seguirá tulizdo d T segudos. Auue u eulizdor T/ espido tiee u logitud temporl mitd de l de u T-espido o el mismo úmero de oefiietes, el omportmieto del eulizdor friolmete espido es l meos t bueo omo el del T-espido pr uluier tipo de l, y es otblemete superior udo el l preset distorsioes severs e los bordes de l bd. 4.8 JRCICIOS 4.8. PROBLA pliue l diferei oeptul etre u eulizdor dpttivo forzdor de psos por ero, y uo bsdo e el riterio S. pliue tmbié ul es l diferei e l implemetió del filtro dttivo. Dibue los esuems orrespodietes PROBLA Porué u forzdor de eros o es deudo pr u l o eros e su respuest freueil? 4-4

17 4.8.3 PROBLA 3 Cosidere l trsmisió de símbolos { } trvés del siguiete l disreto: Z - Los símbolos { } está iorreldos, de form ue { } δ. Clule l utoorrelió de l seuei reibid { }, r { }. ulizdor S Pr eulizr l seuei { } e reepió se utiliz u eulizdor bsdo e el riterio S. Obteg ls euioes geerles ue permite obteer los oefiietes del filtro Cz segú el riterio S plido sobre l seuei e de l figur d e Cz 3 Cosiderdo ue l seuei desed es d -, es deir, el filtro itrodue u retrdo de u muestr euetre los vlores de los oefiietes del eulizdor S de orde. Si o obteido ls euioes e d. el prtdo terior, utilie l epresió r r,

18 4 srib ls epresioes ue permite lulr los oefiietes del eulizdor S dpttivo de orde medite el lgoritmo LS. Dibue el esuem de este eulizdor dpttivo. ulizdor forzdor de eros Cotiudo o el mismo l terior: 5 Cul es l epresió de l fuió de trsferei Cz pr u eulizdor forzdor de eros o ifiitos oefiietes? 6 Cosiderdo ue el l tiee ruido, tl y omo muestr l figur, ué ioveiete observ e l fuió de trsferei obteid Cz?. Relie los ometrios ue osidere oportuos. Z - 7 Diseñe u eulizdor o dpttivo forzdor de eros de oefiietes pr eulizr el l. 4.9 BIBLIOGRAFÍA B. Widrow, S.D. Sters. Adpttive Sigl Proessig. Pretie Hll, 985. S. Hyi. Adpttive Filter Teory. Pretie Hll, 986. Jo G. Prois, Digitl Commuitios, Grw-Hill, 3rd ed.,