2.1. Postulados y propiedades fundamentales del Algebra de Boole

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1 Lección 2 Álgebr de oole y puerts lógics 2.. Postuldos y propieddes fundmentles del lgebr de oole efinición: Un álgebr de oole es todo conjunto de elementos que tom los vlores (,) y se relcion con operciones N, OR, y complemento. Un elemento se llm vrible oolerin, (lógic, o binri) si únicmente tom los vlores cero y uno. xioms: Se definen medinte tbls de verdd, en que utilizmos los símbolos pr expresr l condición flso y pr l condición verddero N X Y X Y Y, N, Producto OR X Y X+Y O, OR, Sum Negción X /X omplemento, Inversión

2 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 2 Propieddes: onmuttiv : + b = b + b = b socitiv: ( + b) + c = + ( b + c ) ( b) c = ( b c ) istributiv: (b + c) = ( b) + ( c) + (b c) = ( + b) ( + c) Ls propieddes nteriores nos resultn fmilires del álgebr que y conocemos, excepto l últim de ells, que no se cumple en el álgebr ordinri. En el álgebr ordinri l operciones sum y producto no tienen l mism potenci, no son dules. En cmbio ls operciones sum y producto en el álgebr de oole si son dules. d operción que se hg respecto un de ells, tiene su correspondiente operción dul en l otr. Teorems: + = + = = = + = = + = = + ( b) = ( + b) = Ley de bsorción + b = b b = + b Teorem de Morgn Los teorems se demuestrn por el método de inducción complet, comprobndo todos los csos. omo ejemplo vmos demostrr ls dos últimos teorems: + ( b) = b = + b b b + b b b b + b Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

3 pítulo 2 lgebr de oole Pgin Funciones y expresiones boolens 3.2. Tbls de verdd. Funciones lógics Ls tbls de verdd son representciones gráfics, tbulres, de los vlores que tom un función lógic pr todos los posibles vlores de ls vribles. Función lógic es un correspondenci de iguldd entre un vrible lógic y un expresión de vribles lógics, relciondos por los tres operdores boolerinos, +,, /. Un función lógic serí: y = f (,b,c, ) donde y,,b,c son vribles boolerins. Es importnte similr el concepto de función lógic. Vemos un ejemplo: Intentemos escribir un función lógic que exprese l siguiente proposición: pruebo el curso, si pruebo l teorí y el lbortorio Primero hy que identificr ls vribles boolerins: probrurso probrteori probrlbortorio El que un de ests vribles tome el vlor, quiere decir que es ciert, y que es fls: probrteori = quiere decir que l Teorí est probd, y probrteori = que no está probd. Nuestr función quedrí: Si l proposición fuese: L función serí: probrurso = probrteori probrlbortorio pruebo el curso, si pruebo en Junio, o en Septiembre probrurso = probrjunio + probrseptiembre efiniendo dos nuevs vribles probrjunio y probrseptiembre Fíjese como l conjunción o usd en nuestro lenguje (OR en ingles) equivle l operdor +. Igulmente l conjunción y (N en ingles) equivle l operdor. Representción en form cnónic de un función boolerin. Un función boolerin puede representrse por culquier expresión entre vribles binris. e cr utilizr un metodologí es muy útil estblecer uns forms normlizds, llmds forms cnónics. efinimos dos forms cnónics, dules un de l otr por medio de minitérminos y mxitérminos. Un minitérmino es un expresión constituid por el producto de tods ls vribles, que hcen que l función se ciert. Si un vrible tom el vlor formrá el producto con l vrible negd, o sin negr en cso contrrio. Un mxitérmino es un expresión constituid por l sum de tods ls vribles, que hcen que l función se fls. Si un vrible tom el vlor formrá l sum con l vrible negd, o sin negr en cso contrrio. Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

4 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 4 Teorem: Tod función lógic puede expresrse por medio de sus dos forms cnónics: minitérminos y mxitérminos. Form cnónic con minitérminos Un función lógic, en form cnónic con minitérminos, está constituid por ls sums de todos los minitérminos que hcen que l función se ciert. Si escribimos y = m2 + m5 + m6 Estmos diciendo que l función es ciert cundo lo se culquier de los mxitérminos, porque bst que uno de ellos se uno, pr que l sum lo se. En otrs plbrs estmos definiendo cuándo l función es uno. Por ejemplo pr tres vribles: y = c b + c b + c b = m 2+ m 5 + m 6 tenemos que l función es ciert pr tres conjuntos de vlores de ls vribles, m 2, m 5, y m 6 Que se ciert pr m 2, por ejemplo, signific que Lo mismo podímos decir de m 5, y m 6. y = si ( c = ) N ( b = ) N ( = ) Form cnónic con mxitérminos Un función lógic, en form cnónic con mxitérminos, está constituid por los productos de todos los mxitérminos que hcen que l función se fls. Si escribimos y = M M M Estmos diciendo que l función es fls cundo lo se culquier de los mxitérminos, porque bst que uno de ellos se cero, pr que el producto lo se. En otrs plbrs estmos definiendo cuándo l función es cero. Por ejemplo pr tres vribles: y = ( c+b+ ) (c+ b+) (c+b+ ) = M 2 M 5 M6 en este ejemplo tenemos que l función es ciert pr tres conjuntos de vlores de ls vribles, M 2, M 5, y M 6 Que se ciert pr M 5, por ejemplo, signific que Lo mismo podímos decir de M 2, y M 6. y = si ( c = ) N ( b = ) N ( = ) El significdo de los subíndices se definirán en los siguientes prtdos. Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

5 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 5 Tbl de verdd. Obtención de ls forms cnónics En l tbl de verdd, están representds tods ls combinciones de ls vribles, y el vlor que tom l función pr cd combinción. Pr un función de tres vribles tendrímos por ejemplo: c b f Minitérminos: L función es ciert pr c = y b = y =, o se cb = c = y b = y =, o se c b = c = y b = y =, o se c b = c = y b = y =, o se c b = l función será, cundo lo se culquier de estos 4 minitérminos, o se: Mxitérminos: f = cb + c b + c b + c b L función es fls pr c = y b = y =, o se c + b + = c = y b = y =, o se c + b + = c = y b = y =, o se c + b + = c = y b = y =, o se c + b + = l función será, cundo lo se culquier de estos 4 minitérminos, o se: Forms numérics f = (c+b+) (c+ b+) ( c+ b+ ) ( c+ b+ ) L notción lgebric es engorros cundo se mnejn muchs vribles. Pr simplificr l notción se introducen los criterios siguientes: Ls vribles se considern ordends, con el criterio de que l más significtiv, se escribe l izquierd. Un vrible sin negr se represent por el vlor, y negd por el vlor. d minitérmino se simboliz por m i, donde i es el vlor binrio de ls vribles ordends según los criterios nteriores d mxitérmino se simboliz por M i, donde i es el vlor binrio de ls vribles ordends según los criterios nteriores Un función en form cnónic por minitérminos se represent como: f = i, j, kk n ( ) donde i, j, k,... son los números de los minitérminos que hcen l función, y n el numero de vribles. Un función en form cnónic por mxitérminos se represent como: f = i, j, kk n ( ) donde i, j, k,... son los números de los mxitérminos que hcen l función, y n el numero de vribles. Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

6 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 6 PROUTO minitermino c b Mxitermino SUM m M m M m 2 M m 3 M m 4 M m 5 M m 6 M + + m 7 M + + sí, pr l función de 3 vribles nterior: c b f m M 7 m M 6 m 2 M 5 Por minitérminos: f = 3 (, 3, 4, 7 ) m 3 M 4 m 4 M 3 m 5 M 2 m 6 M Por mxitérminos: f = 3 (, 2, 5, 7 ) m 7 M Pr un vlor de ls vribles, el índice del minitérmino y del Mxitérmino correspondiente es complementrio 2 n -, según los criterios doptdos. sí, pr n = 3 que es nuestro cso, l sum de mbos siempre es 7. Si n = 4 l sum serí 5, etc... Si conocemos un función lógic en un form numéric, y queremos obtener l otr, sin necesidd de escribir l tbl de verdd, escribiremos simplemente los complementos de los índices que no precen en l form dd. omo podemos comprobr en el ejemplo nterior, si tenemos f = 3 (, 3, 4, 7 ) y queremos l expresión en mxitérminos, los índices que no precen son (, 2, 5, 6) cuyos complementos 7 son (7, 5, 2, ). Ordenndo, tenemos: f = 3 (, 2, 5, 7 ) Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

7 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 7 Simplificción de funciones lógics Los procedimientos de simplificción de funciones lógics son dos, l simplificción lgebric, plicndo extensivmente ls propieddes del álgebr de oole, y simplificción grfic por medio de tbls de Krnugh, o tbls de Quine Mc luskey. Simplificción lgebric Simplificr: f = b c b c f = + b + c + b c = + b + c + + b + c = + b + c = b c Morgn Simplificr: f 2 = ( c + c ) ( + c) ( b c + + ) f 2 = ( c + c ) ( + c ) ( b c + + ) = = ( c + c + c + c ) ( + c) ( b c + ) = = ( ( c + c ) + c ( + )) ( + c ) = ( + c ) ( + c ) = = = = = Simplificr: f 3 = b c + b c d + b f 3 = b c + b c d + b = b c ( + d ) + b = b ( c + ) = = = b Simplificr: f 4 = c + b c f 4 = c + b c = ( c + b c ) = ( c + b c ) = ( c b + c b + b c ) = = ( c b + c b + b c + c b ) = ( c (b + b) + b ( c + c )) = (c + b ) Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

8 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 8 Mps de Krnugh Ls vribles se colocn en un tbl, de form que culquier column (fil) contigu, solo difier de l nterior en un sol vrible. Ls vribles se considern ordends, con l más significtiv l izquierd. L primer y ultim column (fil) tmbién se considern contigus. Simplificción con minitérminos Ls tbls pr 2, 3 y 4 vribles son de l form siguiente: L distribución de los minitérminos, según los vlores de ls vribles, siguen l put que se puede observr en ls figurs. El principio de simplificción se bs en un de ls leyes del álgebr de oole: + = ( + ) = El lgoritmo de simplificción, con minitérminos, es el siguiente: Ejemplos: d un función en form cnónic, o medinte l tbl de verdd, mrcmos con un ls csills en que ls que el correspondiente minitérmino vle. Identificmos y señlmos grupos de 6, 8, 4, o 2 dycentes, lo myor posibles, unque lgún y pertenezc otro grupo. Un puede pertenecer más de un grupo. d grupo drá lugr un producto en que solo figurn ls vribles comunes dicho grupo. Un grupo de 2 unos simplificrá l vrible que prezc en form norml y negd. Un grupo de 4 unos simplificrá dos vribles, y uno de 8, eliminrá 3 vribles. L función será l sum de ls expresiones de cd grupo, más l de los isldos que no se puedn simplificr. f = 3 ( ) Simplificr, 3, 4, 5 f = + Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

9 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 9 Podemos ver que hemos señldo ls zons, fils o columns, donde cd un de ls vribles vlen. 3 ( ) Simplificr f 2 =, 4, 6, 7 f = ( ) Simplificr f 3 =, 2, 3, 4, 5, 6, 7 f = ( ) Simplificr f 4 =, 2, 3, 4, 5, 7 f = ( ) Simplificr f 5 =, 2, 4, 6 f = 5 Simplificr f =, 2, 3, 4, 5, f 6 = + + omo vemos, dos expresiones mínims no son únics. f 6 = + + Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

10 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 4 ( ) Simplificr f =, 2, 3, 4, 6, 7, 8,2,3 f = Simplificr f 2 = (,, 2, 3, 4, 6, 8, 9,,,2,4 ) 4 f 2 = + = 4 ( ) Simplificr f 3 =, 2, 4, 5, 6, 7, 8,,3,5 f 3 = + + f 3 = + + Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

11 pítulo 2 lgebr de oole Pgin Simplificción con mxitérminos L simplificción con mxitérminos tiene dos forms de implementrse, según como se ordenen los mxitérminos en l tbl. doptremos un criterio, mencionremos el otro, seguido en lgunos textos. El convenio de numerción de mxitérminos, y visto, es el siguiente: c b m M 7 f L construcción de ls tbls es : m M 6 m 2 M 5 m 3 M 4 m 4 M 3 m 5 M 2 m 6 M m 7 M Π 3 (, 2, 5, 7 ) Si prtimos, pr l construcción de l tbl de l tbl de verdd de l función, tenemos que tener en cuent que los índices de los mxitérminos están situdos en orden inverso, respecto los minitérminos. Si en cmbio prtimos de l expresión numéric de los mxitérminos, no hy diferenci lgun. El lgoritmo de simplificción, con mxitérminos, es el siguiente: d un función en form cnónic, o medinte l tbl de verdd, mrcmos con un ls csills en que ls que el correspondiente mxitérmino vle. Identificmos y señlmos grupos de 6, 8, 4, o 2 dycentes, lo myor posibles, unque lgún y pertenezc otro grupo. Un puede pertenecer más de un grupo. d grupo drá lugr un sum en que solo figurn ls vribles comunes dicho grupo. Un grupo de 2 ceros simplificrá l vrible que prezc en form norml y negd. Un grupo de 4 ceros simplificrá dos vribles, y uno de 8, eliminrá 3 vribles. L función será el producto de ls expresiones de cd grupo, más l de los isldos que no se puedn simplificr. ++ Vemos, simismo, que l tbl construid pr l expresión con minitérminos es distint. + + f = (+) (+) ( ++ ) Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

12 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 2 Ejemplos: Simplificr: f = Π 3 (,, 4 ) f = ( + ) ( + ) Simplificr f 2, definid por l tbl siguiente, como producto de mxitérminos. c b f f 2 = ( + ) f 2 = Π 4 (,, 2, 3, 4, 8, 9,, 2 ) Simplificr por mxitérminos, y minitérminos f2 = Π4 (,, 2, 3, 4, 8, 9,, 2) f 2 = Π 4 (,, 2, 3, 4, 8, 9,, 2 ) fltn (5, 6, 7,, 3,4, 5) f 2 = Σ 4 (, 9, 8, 5, 2,, ) = Σ 4 (,, 2, 5, 8, 9, ) f 2 = ( + ) ( + ) ( + ) f 2 = + + Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

13 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 3 Pso de forms no cnónics cnónics Pr l obtención de ls forms cnónics, bst plicr repetidmente ls propieddes: b + b = + = Por ejemplo: Escribir en form cnónic, con minitérminos f(bc) = ( b + c ) + c f ( b c) = ( b' + c') + c = b + c + c = b c + b c + c b + c b + c + c = = b c + b c + c b + c b + c b + c b + c b + c b = ordendo ls vribles: = c b + c b + c b + c b + c b + c b + c b + c b = identificndo los minitérminos: = m5 + m + m3 + m + m7 + m5 + m6 + m4 = = m5 + m + m3 + m7 + m6 + m4 = = m + m3 + m4 + m5 + m6 + m7 = (, 3, 4, 5, 6, 7 ) Σ 3 Funciones lógics con forms incomplets En muchos problems lguns combinciones de vribles, no pueden drse, por imposibilidd lógic, o bien no desemos tenerls en cuent, en rs conseguir un solución más simple. Supongmos un depósito de gu l que hemos instldo un serie de sensores de nivel distints lturs, con el objeto de conocer el nivel que lcnz el líquido. No puede drse nunc l combinción =, =, = que supondrí que hy gu rrib y no l hy en el fondo. ests combinciones se les llm combinciones prohibids. undo se h de relizr un función lógic con ests vribles, los estdos prohibidos se djudic l slid x, indetermind. Si nlizmos tods ls situciones posibles en este problem concreto, nos encontrremos que ls situciones descrits por los minitérminos m2, m4, m5 y m6, no son posibles. L nomencltur pr ls slids indeterminds, es l siguiente: f = Σ (, 3, 4, 5, 6) + Σ (2, 7) Π 3 Π f 2 = (,, 3, 4 ) + ( 2, 7 ) 4 En que los minitérminos o mxitérminos de ls slids indeterminds se grupn en otro término con subíndice. En l simplificción, se djudicrá cd uno de los términos indefinidos el vlor o, según nos conveng pr lcnzr l máxim simplificción. Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

14 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 4 Simplificr = f Σ Σ (, 4 ) + (, 2, 6, 7) 3 x x x x Vemos que unos términos indefinidos hn sido sustituidos por, y otros por Igul se procede pr l simplificción con mxitérminos, por ejemplo: Simplificr por mxitérminos l función f = Σ 4 ( 3, 6,, 4) + Σ ( 2, 8,, 2) L función será en los términos que no figuren en ninguno de los nteriores sumtorios: (,, 4, 5, 7, 9, 3, 5) L form numéric, complementndo 5 los índices nteriores y los de los términos indiferentes será: f = Π 4 (, 2, 6, 8,,, 4, 5) + Π ( 3, 4, 7,3) x x x x donde puede verse que los términos indiferentes dentro de los recudros se hn considerdo como, y el que qued fuer, como. f = ( + ) ( + ) Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

15 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 5 Implementción de funciones con puerts lógics Existen dispositivos electrónicos, hidráulicos, eléctricos (conmutdores y relés) e incluso ópticos, que permiten implementr directmente ls funciones lógics estudids. Sin embrgo ningun tecnologí puede rivlizr en economí y complejidd con l electrónic, que es el objeto de nuestr signtur. sí, l implementción de funciones con puerts lógics tiene como objetivo l relizción de ls funciones lógics con circuitos electrónicos. El estdo lto H o lógico se simil un tensión de slid, y el estdo bjo L o lógico se simil otr tensión de slid más bj que l nterior. Ls tensiones concrets elegids depende de cd tecnologí. Pr implementr un función lógic culquier bst con considerr l función desde l slid hst ls entrds, usndo en principio culquier tipo de puert, o se, justmente ls que expres l ecución. N X Y X Y X Y X Y X Y NN X Y X Y OR X Y X+Y X+Y X Y X + Y NOR X Y X + Y Negción X /X X X XOR (OR exclusiv) XNOR X Y X+Y X+Y X Y X Y X + Y X + Y onde X Y = X Y + X Y como puede deducirse de l tbl Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

16 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 6 L grn simetrí de l función que describe est ultim puert induce confusión si trtmos de memorizr l función XOR y l form negd XNOR. Fíjese que l función XOR represent l operción de sum. e hecho precerá cundo estudiemos los circuitos sumdores. Los símbolos de ls puerts lógics están normlizdos. Existen simismo símbolos pr puerts con más de dos entrds: b c d b c d X Y Z X+Y+Z b c +b+c Veámoslo con un ejemplo: Implementr l función y = ( b + cd) c omenzmos por implementr un producto, el de y l expresión entre préntesis () continución implementmos l sum expresd en el préntesis, y obtenemos c prtir de c (2) finlmente implementmos los dos productos indicdos b y cd (3) Est implementción es correct desde el punto de vist forml, pero es muy poco prctic. Teng en cuent que exige l utilizción de 3 tipos de puerts distints, N Inversores y OR. Si considermos que un circuito integrdo incorpor 4 puerts N, 4 puerts OR o bien 6 inversores, vemos que el circuito necesit 3 integrdos distintos, en los cules dejmos vris puerts sin utilizr. Existen vrios criterios de optimizción de un diseño, uno de los cules es el nterior, como: Mínimo numero de circuitos integrdos, dentro de un tecnologí Un único tipo de puerts lógics Mínimo número de etps, lo que implic máxim velocidd sí, el circuito nterior debe ser convertido en otro equivlente, que cumpl el criterio pedido. Pr ello se utilizn extensivmente ls propieddes del álgebr de oole. Si queremos usr el mínimo numero de integrdos, sbiendo que un integrdo incorpor 4 puerts de 2 entrds, por ejemplo, plicmos Morgn l OR : Morgn: Negmos tods ls entrds, cmbimos el tipo de función, y negmos l slid Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

17 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 7 Los inversores que hbrí que introducir ls entrds se colocn ls slids de ls puerts precedentes, que psn de ser NN. El inversor se implement con un puert NN, con lo que el circuito psrí usr ls 4 NN que incorpor un circuito integrdo, más un puert N. Morgn Es frecuente tener que utilizr menos entrds de ls disponibles en un puert lógic. Pr que un determind entrd no teng influenci se puede conectr o, según el tipo de puert lógic, o conectrse otr de ls entrds: s = = s = = s = + = s = + = s = = GN MS Morgn Morgn Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

18 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 8 Ejemplo: Implementr con NN3 l función f = Σ 4 ( 2, 3, 5, 7, 3, 5) f = + Implementr con NOR3 l función f = Π 4 (, 3, 4, 5, 6, 7, 9,, 4, 5) f = ( + ) ( + ) ( + ) Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

19 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 9 Funciones múltiples Hst hor hemos visto funciones lógics, en que un slid es función de vris entrds. En l prctic es frecuente intentr obtener más informción de ests vribles de entrd. Es norml definir, por tnto vris funciones de slid, que dependen de ls misms entrds. Formlmente son funciones múltiples, definids como un plicción de vris entrds, ms de un slid. En l prctic bst con simplificr e implementr por seprdo cd un de ls slids. Vemos un ejemplo: Problem: Un club de ultrligeros quiere tener un indicción de l dirección del viento respecto de l dirección de l pist. onstruyen un velet electrónic con un sensor óptico, dividiendo un semicírculo en 6 sectores que codificn en Gry con 4 bits. Quieren encender un luz verde cundo l dirección del viento está en los dos sectores centrles, mbr cundo está en los 6 sectores centrles ( y no esté verde) y rojo en los restntes. iseñr el circuito pr ls slids Rojo y mbr. Sector Ve m m m 2 m3 3 m2 4 m6 5 m7 6 m5 7 m m 2 m 3 m 5 m 4 m m 4 m9 5 m8 ñdir l slid Rojo, en función de ls nteriores, pr obtener el circuito lo más simple posible. El vlor de todos los rectángulos que se enfrentn los sensores ópticos se represent en l tbl siguiente, si como el vlor de ls dos funciones definids Verde y mrillo. Hy que notr que ls vribles no hn sido ordends en codigo binrio, sino en codigo GRY. Es decir los minitérminos están desordendos!. En otrs plbrs, est tbl no es l tbl de verdd. Sin embrgo si identificmos todos los minitérminos, y los escribimos en l column de l derech, podemos escribir l form numéric de ls ecuciones: Ve = Σ 4 (4, 2) m = Σ 4 (5, 7, 3, 5) m = Ve = m Ro Ve Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores

20 pítulo 2 lgebr de oole Pgin 2 Problems resueltos Problem Escribir y simplificr un función lógic que nos exprese el siguiente rzonmiento, djudicndo símbolos ls vrible lógics: Solución: Vribles lógics: y = Voy l trbjo = llueve El rzonmiento, usndo ls vribles lógics serí: Voy l trbjo, tnto si llueve, como si no Voy l trbjo = si llueve y si no (llueve) y = + = Problem 2 Escribir un función lógic que nos exprese el siguiente rzonmiento, djudicndo símbolos ls vrible lógics: pruebo Tecnologí de omputdores si pruebo en Junio o si pruebo en Septiembre plicr Morgn l ecución resultnte. plicr ls vribles negds un nuevo nombre, coherente con el significdo opuesto, y componer l frse resultnte. omprobr que l frse es correct. Solución: Vribles lógics: = pruebo Tecnologí de omputdores j = pruebo en Junio s = pruebo en Septiembre = j + s Morgn = j s = Suspendo Tecnologí de omputdores j = Suspendo en Junio s = Suspendo en Septiembre El rzonmiento, usndo ls nuevs vribles lógics serí: Suspendo Tecnologí de omputdores si Suspendo en Junio y Suspendo en Septiembre Versión 3 urso 23-4 Tecnologí de omputdores