Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones lineales. x y = = y z = = ACTIVIDADES INICIALES-PÁG.

Transcripción

1 Mtemátic plicd l Cienci Socile II UNIDD : Sitem de ecucione linele CTIVIDDES INICILES-PÁG.. Reuelve lo item de ecucione linele: ) ) Utilindo el método de Gu, otenemo: ) ) Un grupo de etudinte finnci u vije de fin de curo con l vent de prticipcione de loterí, por importe de, euro. Hn recuddo, en totl, euro hn vendido el dole de prticipcione de euro que de euro. Si hn vendido un totl de prticipcione, clcul el número de prticipcione que hn vendido de cd importe. Sen,, el número de prticipcione de, euro, repectivmente. L condicione del enuncido no permiten plnter el item que igue. En l primer ecución e decrie el número totl de prticipcione, en l egund el importe totl en l tercer l relción entre prticipcione de euro de euro. El item e comptile determindo, e decir, tiene un olución únic que el determinnte de l mtri de lo coeficiente vle:. plicndo el método de Gu, otenemo: 8 8 9

2 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Se hn vendido prticipcione de euro, prticipcione de euro 8 prticipcione de euro. Puede comprore, con fcilidd, que l olución otenid e l correct: CTIVIDDES de RESOLUCIÓN DE PROBLEMS-PÁG. 9. Ped difícil. Cutro migo, rturo, Bert, Crlo Din, encuentrn un ntigu ácul que ólo pe ojeto entre kg. Eto migo, individulmente, pen meno de kilo tre junto, má de kg, por lo que deciden pere de do en do de l iguiente mner: rturo Bert, 9 kg; Bert Crlo, 9 kg; Crlo Din, kg; Din rturo, kg. Con eto dto, e puede determinr el peo de cd uno? Si no fuer poile determinr lo peo individulmente, qué prej deen pere pr encontrr l olución? L olución qued: rturo Bert 9 Bert Crlo 9 Crlo Din Din rturo Retndo l primer iguldd l egund otenemo: rturo Crlo -. Sumndo ét l tercer otenemo: rturo Din. Et iguldd e l mim que tenemo en curto lugr. Luego no e poile determinr el peo de cd uno que no qued un item indetermindo con má incógnit que ecucione. El item tiene un únic olución i reemplmo l tercer iguldd, utituéndol por l epreión: rturo Crlo kg; con lo cul otenemo que: rturo pe kg; Bert pe kg; Crlo pe kg Din pe kg.. Curio elección. En un cle hcen l elección de delegdo de un form mu originl. Se piden tre lumno voluntrio, que reultn er n, Lui Clr. Se le vend lo ojo cd de ello e le coloc en l ce un cint, como l que llevn lguno tenit. Et tre cint e tomn de un ol que contiene tre cint roj do mrill. Se le retir l vend de lo ojo de et form cd uno puede ver l cint de u compñero, pero no l u propi. Será elegido quien cierte el color de l cint que llev. Primero e pregunt n reponde que no puede erlo; lo mimo ucede con Lui. Por último, Clr dice que u cint e roj, por lo que reult er elegid delegd. Cómo lo upo?

3 Mtemátic plicd l Cienci Socile II En l tl podemo ver tod l itucione que e pueden plnter. En todo lo co llev cint roj ecepto en (), () (). El co () no e poile, pue en et itución Lui huier ido que u cint er roj, que i huier ido mrill n huier ido el color de l u. El co () no e poile, pue en et itución n huier dicho que u cint er roj. Número n Lui Clr de itución () R R R () R R () R R () R R () R () R () R El co () no e poile, pue en et itución Lui huier dicho que u cint er roj. Por tnto, en todo lo demá co l de Clr e roj.. Sum de cuo. Cuánto umn lo cuo de lo n primero número nturle? Qued í: 9 L uceión,,,, e un progreión ritmétic de egundo orden, u término generl e por tnto: Vmo pror l relción nterior por inducción. Oervmo que e ciert l relción pr n : Suponemo que e cierto pr n k, e decir: n n... n k k... k n n, vemo i e cierto pr n k : k k (... k ) ( k ) ( ) k ( k ) k...

4 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Operndo en l últim epreión, otenemo: k k ( k ) k ( k ) ( k ) ( k ) [ k ( k )] ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) [( k ) ] ( ) ( k k ) Por tnto, e cumple: ( k ) ( k )... k ( k ) Eto último complet l demotrción. n ( n ) ( n ) 8 n.

5 Mtemátic plicd l Cienci Socile II CTIVIDDES de NUEVS TECNOLOGÍS-PÁG. 8. Dicute, egún lo vlore de, reolver cundo teng má de un olución el iguiente item: En l iguiente imgen podemo ver l olución de et ctividd. l igulr cero el determinnte de l mtri de lo coeficiente otenemo lo vlore de -. En l imgen vemo que pr - lo rngo on ditinto por lo que el item e incomptile. Pr lo rngo on igule por lo que el item e comptile indetermindo. Pr el reto de vlore del prámetro lo rngo on igule por lo que el item e comptile determindo. Reolvemo el item pr que e comptile indetermindo pr el co comptile determindo otenemo l olucione que vemo en l imgen.

6 Mtemátic plicd l Cienci Socile II. Dicute egún lo vlore de reolver, en lo co en que e poile, el item:. Hllr l olución pr l cul. En l iguiente imgen podemo ver l reolución de et ctividd. Como vemo el item e incomptile pr lo vlore que nuln el determinnte de l mtri principl. Reolvemo pr el reto de vlore otenemo l olución pr.. Dicute, egún lo vlore de m, reolver, cundo e poile, el iguiente item: ( m ) m m En l iguiente imgen podemo ver l olucione de et ctividd.

7 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Reolvemo l ecución que e otiene l igulr cero el determinnte de l mtri principl otenemo lo vlore de m m -. Pr eto vlore de m el rngo de e menor que el número de incógnit por lo que el item e comptile indetermindo. Pr el reto de vlore de m el rngo de e igul l número de incógnit, por lo que el item e comptile determindo. Reolvemo el item pr m - pr m pr el reto de vlore de m otenemo l olucione que vemo en l imgen. CTIVIDDES FINLES-PÁG. 8. Epre lo item iguiente de tod l form poile, poniendo de mnifieto, en cd co, l mtrice de lo coeficiente l mplid: ) ) c) En cd uno de lo prtdo qued: ) Epreión mtricil:. Epreión vectoril:.

8 Mtemátic plicd l Cienci Socile II L mtrice de lo coeficiente l mplid on: * ) Epreión etándr: Epreión vectoril:. L mtrice de lo coeficiente l mplid on: * c) Epreión etándr:. Epreión mtricil:. L mtrice de lo coeficiente l mplid on: *. Etudi l eitenci de olucione de lo iguiente item: ) ) 9 c) Etudimo cd co otenemo: ) L mtrice del item on: *. El rngo de e el rngo de * e, por tnto, el item e incomptile crece de olución.

9 Mtemátic plicd l Cienci Socile II ) L mtrice del item on: 9 *. El rngo de e el rngo de * e como el número de incógnit coincide con el vlor del rngo, el item e comptile determindo, e decir, tiene un únic olución. Puede comprore que ñl olución e,. c) L mtrice del item on: *. El rngo de e el rngo de * e como el número de incógnit e mor que el vlor del rngo, el item e comptile indetermindo, e decir, tiene infinit olucione. Puede comprore que l olucione pueden eprere en l form: / t; - / t; t, iendo t un número rel culquier.. Etudi, egún lo vlore del prámetro, l nturle de lo iguiente item: ) ) ( ) c) Etudimo cd co otenemo: ) L mtrice del item on: *. El determinnte de l mtri vle - ( )( ). Et epreión no permite relir el etudio que igue: - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e comptile determindo. - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, menor que el número de incógnit, por tnto, el item e comptile indetermindo. - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e incomptile. ) L mtrice del item on: *.

10 Mtemátic plicd l Cienci Socile II El determinnte de l mtri * vle ( ). Et epreión no permite relir el nálii que igue: - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e incomptile. - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e comptile determindo. - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e comptile indetermindo. c) L mtrice del item on: *. El determinnte de l mtri vle - ( ). Et epreión no permite relir el nálii que igue: - Si - el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e comptile determindo. - Si el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e incomptile. - Si - el rngo de l mtri e el de l mtri * e, el item e comptile indetermindo.. Conidermo el item. ) ñde un ecución linel de modo que el item reulte incomptile. ) ñde un ecución linel de modo que el item reulte comptile indetermindo. c) ñde un ecución linel de modo que el item reulte comptile determindo.. L repuet on: ) En el nuevo item e tiene que cumplir que el rngo de l mtri de lo coeficiente e el rngo de l mtri mplid. ñdimo, por ejemplo, un ecución que e um de l otr do, ecepto pr lo término independiente. Se otiene el item:. ) En el nuevo item e tiene que cumplir que el rngo de l mtri de lo coeficiente e el rngo de l mtri mplid. ñdimo, por ejemplo, un ecución que e um de l otr do. Se otiene el item:. 8

11 Mtemátic plicd l Cienci Socile II c) En el nuevo item e tiene que cumplir que el rngo de l mtri de lo coeficiente e el rngo de l mtri mplid. ñdimo un ecución que no e cominción linel de l otr do. Se otiene el item:.. Interpret geométricmente cd uno de lo iguiente item: ) ) c) L olucione on: ) El rngo de l mtri de lo coeficiente e el rngo de l mtri mplid e, el item e comptile determindo, con olución únic:,. L ecucione repreentn end rect que e cortn en el punto P (, ). ) El rngo de l mtri de lo coeficiente e el rngo de l mtri mplid e, el item e incomptile, in olución. L ecucione repreentn rect que e cortn do do. c) El rngo de l mtri de lo coeficiente e el rngo de l mtri mplid e, el item e incomptile, in olución. L ecucione repreentn rect prlel.. Interpret geométricmente cd uno de lo iguiente item en función de lo vlore del prámetro : ) ) ( ) c) ) L mtrice del item on: m * El determinnte de l mtri, det () ( )( ) e nul pr -. Etudio: - Si -, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e comptile determindo. 9

12 Mtemátic plicd l Cienci Socile II L ecucione repreent rect que e cortn. - Si -, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e incomptile. L ecucione repreent rect prlel. - Si, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e incomptile. L ecucione repreent rect prlel. ) L mtrice del item on: * El rngo de l mtri e. En l mtri * h menore que vlen o. Etudio: - Si, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e incomptile. H do rect coincidente otr prlel l nteriore. - Si, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e comptile indetermindo. L tre rect on coincidente. c) L mtrice del item on: * El determinnte de l mtri e det () -. Etudio: - Si, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e comptile determindo. L ecucione repreentn tre plno que e cortn en un punto. - Si, el rngo de l mtri e el rngo de l mtri * e, el item e comptile indetermindo. L ecucione repreentn tre plno que e cortn en un rect.

13 Mtemátic plicd l Cienci Socile II. Reuelve lo item iguiente por el método de l mtri inver: ) ) ) L mtri de lo coeficiente tiene inver, u determinnte vle. L mtri inver de e. Ecriimo el item en notción mtricil, X B, depejmo X otenemo l olución: ) L mtri de lo coeficiente tiene inver, u determinnte vle. L mtri inver de e. Ecriimo el item en notción mtricil, X B, depejmo X otenemo l olución: 8. Comprue que lo iguiente item on de Crmer encuentr u olución: ) 8 ) ) El item e de Crmer l tener el mimo número de ecucione que de incógnit el vlor del determinnte de l mtri de lo coeficiente e no nulo:.

14 Mtemátic plicd l Cienci Socile II L olución del item plicndo l regl de Crmer e: 8 8 ) El item e de Crmer l tener el mimo número de ecucione que de incógnit el vlor del determinnte de l mtri de lo coeficiente e no nulo:. L olución del item plicndo l regl de Crmer e: CTIVIDDES FINLES-PÁG Indic rondmente i l prej de item que iguen on equivlente: ) ) ) Lo do item on comptile determindo con olución únic,. Por tnto, lo item on equivlente l tener l mim olución. ) Lo do item on comptile determindo con olución únic, -,. Por tnto, lo item on equivlente l tener l mim olución.. verigu pr qué vlor del prámetro lo do item iguiente on equivlente: : ) ( : ) ( II I mo item on comptile determindo i. L olucione de lo item on:

15 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Sitem (I): ;. Sitem (II): ;. Lo item on equivlente i u olucione coinciden, por tnto:. Pr ete vlor del prámetro l olución de mo item e,.. Hll lo vlore de, c pr que lo item que iguen en equivlente: c El item primero e comptile determindo pr culquier vlor del prámetro. Su olución, en función de, e:., Sutituimo eto vlore en l primer ecución del egundo item, otenemo. Pr l olución de mo item e., Introducimo eto vlore en l egund tercer ecución del egundo item otenemo: c. Por tnto lo vlore ucdo on:, c.. Etudi, egún lo vlore del prámetro, l nturle de lo item iguiente encuentr u olucione en lo co que en comptile: ) - ) c) ) El item e homogéneo l mtri del item e -

16 Mtemátic plicd l Cienci Socile II El determinnte de l mtri nterior vle det () ( - ) ( ). Ete determinnte e nul pr -. Eto vlore no permiten hcer el iguiente etudio: Si -, el rngo de l mtri e coincide con el número de incógnit, el item e comptile determindo. En ete co u olución e l trivil, e decir,,. Si -, el rngo de l mtri e que. Coniderndo el menor nterior que no h ddo el rngo, el item ddo e equivlente l item: - Hciendo t, iendo t culquier número rel, podemo eprer l olucione en l form: t, - t, t, con t R. Si, el rngo de l mtri e que. Coniderndo el menor nterior que no h ddo el rngo, el item ddo e equivlente l item: Hciendo t, iendo t culquier número rel, podemo eprer l olucione en l form: t,, - t, con t R. - ) Volvemo ecriir el item, que reult er homogéneo: Etudimo el rngo de l mtri l er, el rngo de e con independenci del prámetro. - El determinnte de l mtri e det () - 8 ( - )( - ). El determinnte e nul pr. Eto vlore no permiten hcer el iguiente etudio:

17 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Si, el rngo de e que coincide con el número de incógnit. El item e comptile determindo. En ete co u olución e l trivil, e decir,,,. Si, el rngo de e menor que el número de incógnit. Por tnto, el item e comptile indetermindo. Pr el item e reduce : L olucione on t, t, t, iendo t culquier número rel. Si, etmo en un itución nálog l co nterior. Pr el item e: L olucione on t, t, t, iendo t culquier número rel. c) El determinnte de l mtri del item e det () -. Se nul pr. Podemo relir el iguiente etudio. Si, el rngo de e, que coincide con el número de incógnit. El item e comptile determindo. En ete co u olución e l trivil, e decir,,,. Si, el rngo de e, menor que el número de incógnit. Por tnto, el item e comptile indetermindo. Pr el item e reduce : L olucione on - t, t, t, iendo t un número rel culquier.. Eiten tre número tle que ddo do culequier de ello u um e el otro má uno? En co firmtivo, hálllo. Llmmo,, lo número ucdo. Plntemo el item:

18 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Reolvemo el item: Lo tre número on,,.. El dueño de un upermercdo h comprdo emutido, eid conerv, por un importe totl de euro. El vlor de l conerv e el mimo que el de l eid emutido junto. Si vende todo eto producto, ñdiendo un eneficio del % en el emutido, el % en l eid el % en l conerv, otendrá un importe totl de euro. Clcul lo que pgó por cd uno de ello. Sen,, el importe de lo emutido, l eid l conerv, repectivmente. Con l condicione del enuncido podemo formulr el item:,,, Ete item e comptile determindo, e decir, tiene un olución únic, l cumplire:,,,, Reolvemo el item retndo l do primer ecucione, pr otener, e decir,. Sutituendo en l primer tercer ecución, el item qued:,,, El dueño del upermercdo pgó euro por lo emutido, euro por l eid euro por l conerv.

19 Mtemátic plicd l Cienci Socile II. Tre empre, B C e uminitrn entre i lo iene que cd un neceit de l otr u ve tifcen l demnd eterior. L empre uminitr l empre B un % del mteril que et neceit pr hcer un unidd de u producto, l empre C un % í mim un 8% tiene un demnd eterior de unidde. L empre B uminitr l empre C, repectivmente un % un 9% de u neceidde, ell neceit un 9% de lo que fric u demnd eterior de unidde. L empre C neceit un % de u fricción, uminitr un % de lo que neceit un 8% de lo que neceit B, u demnd eterior e de unidde. Hll l mtri de lid, e decir, l cntidd que dee producir cd un de l empre pr tifcer l demnd interior eterior. Se X l mtri de lid.,8, Formmo el item:,,9,,8,,9., Operndo reolviendo, otenemo:,8,,,,9,9,,8,,,,,,,9,,8, Otr form de encontrr l mtri de lid, X, e reolviendo l ecución mtricil: X X E I X X E (I ) X E X (I ) - E Hllndo l mtri inver de I operndo, otenemo: X ( I ) E,,8,,,,8,8,9, Tre individuo, un gricultor (), un gndero (G) un pecdor (P) formn un ociedd de conumo, cuo producto e intercmin entre ello in relción con otr peron. L mtri de entrd lid correpondiente et economí e: G P,,, G,,, P,,, Cuál dee er l relción de precio de u repectivo producto?

20 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Lo precio X de lo producto de lo tre individuo deen cumplir l relción X X. L ecución mtricil nterior d lugr l item:,,,,,,,,, L olucione del item homogéneo nterior on:,,,,,,,,,,, L relcione de precio erán: 9,,,. CTIVIDDES CCESO UNIVERSIDD-PÁG. 8. Se conidern l mtrice /,, D C B donde,, on deconocido. ) Siendo que B C D, plnte un item de ecucione pr encontrr lo vlore de,,. ) Etudi el item plntedo en función del número de u olucione clcul un de ell, i e poile. ) Relimo l opercione mtricile indicd otenemo:,, D B Igulmo l mtrice otenemo el item: ) L mtrice del item on 8

21 Mtemátic plicd l Cienci Socile II * El rngo de l mtri de lo coeficiente vle que: El rngo de l mtri mplid vle que: El item e comptile indetermindo, e decir tiene infinit olucione. Pr encontrr tod l olucione reolvemo el item formdo por l do primer ecucione en ell llevmo l incógnit l miemro de l derech de l ecución. Poteriormente clculmo lo vlore de e en función de l incógnit. Hciendo t, con t R, l olucione del item on { t,, t}. Como no piden un olución hcemo, por ejemplo, t otenemo:,,.. ) Determin, egún lo vlore del prámetro, lo co en lo que el item tiene o no tiene olución. ) Reuelve lo co comptile. ) L mtrice del item on: * El determinnte de l mtri mplid, *, e det (*) - ª e nul pr -. Etudio: 9

22 Mtemátic plicd l Cienci Socile II - Si - el rngo de e el rngo de * e, por tnto el item e incomptile crece de olución. - Si -, el rngo de e, el rngo de * e ete vlor coincide con el número de incógnit, lo que hce que el item e comptile determindo. ) Reolvemo el item pr -. Pr ete vlor del prámetro el item qued reducido l primer tercer ecución, que l egund ecución e un cominción linel de l otr do: Reolviendo por culquier de lo procedimiento conocido otenemo l olución:,.. Un r recie un pedido dirio de refreco tido, por el que pg euro, iendo el precio de cd refreco de céntimo de euro el de cd tido de m céntimo de euro. Si e intercmien lo precio unitrio de refreco tido, hrí pgdo euro céntimo. ) Plnte un item con do ecucione (en función de m) donde l incógnit e en el número de refreco el número de tido dquirido ee dí. Pr qué vlore de m el item nterior tiene olución? En co de eitir olución, e iempre únic? ) Cuánto tido hrí comprdo i cd tido cote céntimo de euro? Se el número de refreco e el número de tido comprdo ee dí. El item e: m m L mtrice del item on: m m * m m El determinnte de l mtri e det () m ( m)( m). Lo vlore que nuln el determinnte on m m -, que crece de entido. Etudio: - Si m, el rngo de e, el rngo de * e ete vlor coincide con el número de incógnit, lo que hce que el item e comptile determindo. - Si m, el rngo de e, el rngo de * e, el item e incomptile. Por tnto, en co de eitir olución, et e únic. ) El item e:

23 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Reolviendo por reducción e otiene:,. Hí comprdo tido.. L condición de equilirio pr el precio, en unidde monetri, de tre producto P, P P, relciondo entre í, d lugr l iguiente item de ecucione linele: ; ;, iendo,, lo precio de lo producto P, P P, repectivmente. Epre el item en form mtricil X B. Clcul l mtri inver de determin lo precio de equilirio pr eto tre producto P, P P. L epreión mtricil del item e: L mtri inver de e. Clculmo lo precio de equilirio: X X X X Lo precio on: - Precio de P, unidd monetri. - Precio de P, unidde monetri. - Precio de P, unidde monetri.. En un crucero h pquete de tre tipo: individul ( pjero), prej ( pjero) grupo fmilir ( pjero). L trif individul e de 8, l trif de prej e de l trif fmilir e de euro. Pr el próimo vije h pjero que hn pgdo un totl de. Si lo pjero de individul on el % de l um de lo de prej de grupo fmilir, determin l ditriución de lo pjero de lo tre tipo de trif. Llmmo,, l número de pquete individule, prej grupo fmilir, repectivmente.

24 Mtemátic plicd l Cienci Socile II L condicione del enuncido no permiten plnter el item: 8, ( ) El item e comptile determindo l er. Reolviendo el item por culquier de lo procedimiento conocido e otiene l olución: L ditriución de pjero e: - pquete individule dn pjero. - pquete prej dn pjero.,,. - pquete grupo fmilir dn 8 pjero.. Un cmión tre, en u crg, cj de tre producto, B C. Se h perdido l hoj de crg, pero uno de lo operrio recuerd que en totl h cj, que l de tipo ern tnt como l de tipo B C junt que l de tipo C ern l curt prte de l del tipo B. ) Cuánt cj de cd tipo tre el cmión? ) Otro operrio dice que del tipo ern má que del tipo B. Comprue i et informción e contrdice con l del primer operrio. ) Sen,, el número de cj de tipo, B C, repectivmente. Plntemo el item de ecucione: Reolviendo el item por culquier de lo procedimiento conocido, otenemo:, 8 El cmión tre cj del producto, 8 cj del producto B cj del C. ) Lo que dice el egundo operrio d lugr l ecución:.

25 Mtemátic plicd l Cienci Socile II Et informción no e contrdice con l del primer operrio, que l olución del item cumple tmién l nuev ecución: 8. PROYECTO DE INVESTIGCIÓN-PÁG. 8 Mtrice mágic cudrdo mágico. Se dice que un mtri M, de orden, e mágic i l ocho um: ij ; ij ; i j i ii ; on igule. i ; i; i ; j ; j ; j ; ii; i i i j j j i Llmmo l vlor común de et um M () un de l mtrice correpondiente. Se pide: ) Encuentr l epreión de tod l mtrice mágic de um, M (). ) Hll el vlor de l um i l mtri M () e ntiimétric. Contrue tod l mtrice mágic ntiimétric de orden. c) Contrue tod l mtrice mágic imétric, de um, de orden.. L mtrice mágic etán emprentd con lo cudrdo mágico. Un cudrdo mágico cont de N cill, cd un ocupd por un número nturl ditinto, de form que l um de lo número de l ditint fil horiontle verticle, í como de l do digonle e iempre l mim. En l imgen puede vere el má fmoo de lo cudrdo mágico de orden, deido l pintor Durero. Su um o contnte mágic e, demá lo cutro número del centro (en color verde) tmién umn, í como lo cutro de l equin (en color negro). Lo do número en color rojo componen el ño en el que fue relido el grdo en el que prece. Lo cudrdo mágico etán lleno de propiedde orpre. Invetig ore ello.

26 Mtemátic plicd l Cienci Socile II ) Se l mtri ) ( M. Eprendo l ocho um del enuncido e igulándol, otenemo el iguiente item homogéneo de 8 ecucione con incógnit: Relindo opercione elementle por fil, l mtrice que iguen tienen el mimo rngo: El rngo de l mtri de lo coeficiente vle. Como el número de incógnit e, l olucione del item, e decir, el conjunto de l mtrice M () dependerán de prámetro. Procediendo de form direct, i ; ; c, un mtri mágic de um, M (), e eprerá en l form: c c c c c c M ) ( Imponiendo que, e otiene c, e decir,. c Tod mtri mágic M () depende de tre prámetro,. L epreión, repecto de eto prámetro, de un mtri mágic M () e:

27 Mtemátic plicd l Cienci Socile II M ) ( [ I ] Podemo eprer l mtri M () en función de tre mtrice fij en l form: S B M ) ( ) Si l mtri mágic M () e ntiimétric, e cumplirá:, luego. demá, Hciendo en l epreión [ I ] de l mtri mágic M () e otiene: B Tod l mtrice mágic ntiimétric on de l form nterior. c) Imponiendo en l epreión [ I ] que l mtri e imétric, reult:. Sutituendo ete vlor de en l epreión [ I ] otenemo: que e l epreión genéric de l mtrice mágic genéric.. Sore cudrdo mágico l informción e mu undnte tnto iliográfic como en Internet, por tnto, dejemo et cuetión iert.