CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO EN OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO EVOLUCIONARIA (EMO)

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1 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO EN OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO EVOLUCIONARIA (EMO) Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H. Departamento de Ingenería Eléctrca, Unversdad de Chle, Santago, Chle Fono: (56 ) , Fax: (56 ) E-mal: alfnunez@ng.uchle.cl, marrque@ng.uchle.cl, dsaez@ng.uchle.cl Crstán E. Cortés Departamento de Ingenería Cvl, Unversdad de Chle, Santago, Chle. Fono: (56 ) , Fax: (56 ) , E-mal: ccortes@ng.uchle.cl RESUMEN Presentamos un enfoque de control predctvo adaptvo híbrdo (HAPC) para resolver el problema dnámco de recoger y dear pasaeros (DPDP), comandado por una funcón obetvo dnámca que ncluye dos dmensones: costo de usuaros y costo de operador. Dado que se mponen estas dos componentes contrapuestas en la funcón obetvo, el problema se enfrenta bao una óptca de Optmzacón Multobetvo Evoluconara (EMO). En este caso, se busca mnmzar el costo operador y el costo usuaro. Así, usando EMO, para el despachador será transparente el compromso entre ambos costos en cada decsón dnámca de ruteo. Se propone para cada nstante usar un algortmo genétco convenconal para encontrar el frente de Pareto Óptmo del problema de DPDP, cuyo conunto de Pareto Optmal asocado es un conunto de solucones del problema. Dado que sólo una de las secuencas solucón debe ser aplcada al sstema de vehículos y usuaros, se usan dstntos crteros para explorar dversas formas de ocupar la nformacón que entrega el frente de Pareto Óptmo dnámco. Expermentos lustratvos ocupando smuladores del proceso son utlzados para mostrar los benefcos del nuevo enfoque. Palabras claves: ruteo dnámco de vehículos, Optmzacón Multobetvo Evoluconara, Control Predctvo Híbrdo ABSTRACT In ths paper a hybrd adaptve predctve control approach (HAPC) to solve the dynamc pckup and delvery problem (DPDP) s presented, wrtten n terms of a dynamc obectve functon that ncludes two dmensons: users and operator costs. Provded these two apparent opposte obectve functon components, the problem s solved by usng an Evolutonary Multobectve Optmzaton (EMO) technque. In ths case, the dea s to mnmze both, users and operator costs. Thus, by usng EMO, the trade off between these two costs wll become clear for the dspatcher when takng dynamc routng decsons. At every nstant, we propose the use of a tradtonal genetc algorthm to fnd the Optmal Pareto front assocated wth the DPDP, whose Pareto assocated Optmal set s n fact, a set of solutons of the problem. Snce only one soluton has to be appled to the system of vehcles and users every tme a new requrement appears, several crtera are utlzed n order to properly use the nformaton provded by the Dynamc Optmal Pareto front. Illustratve experments through smulaton of the process are presented to show the potental benefts of the new approach. Keywords: Dynamc vehcle routng, EMO (Evolutonary multobectve optmzaton), Hybrd Predctve Control XIII Congreso Chleno de Ingenería de Transporte, Santago, Octubre 007

2 Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H., Crstán E. Cortés. INTRODUCCIÓN El problema dnámco de recoger y dear pasaeros (dynamc pck-up and delvery problem DPDP) se formula como un conunto de requermentos de traslado de personas desde un orgen (pck up) a un destno (delvery) servdo por una flota de vehículos localzada ncalmente en varas bodegas (Desrosers, Soums, Dumas, 986; Savelsbergh y Sol, 995). La dmensón dnámca del problema aparece cuando un subconunto de requermentos no es conocdo con antcpacón y se deben tomar decsones de despacho en tempo real. El DPDP ha generado gran nterés en el últmo tempo, debdo a que con el alto avance de las tecnologías de comuncacón e nformacón es posble abordar este tpo de problemas de alta compledad computaconal. La formulacón del problema debe consderar una funcón obetvo a optmzar para tomar decsones apropadas de despacho en tempo real. Cuando el problema es dnámco, una funcón obetvo ben defnda debera consderar la predccón de la demanda futura y en consecuenca, de los tempos de espera y vae de pasaeros en el sstema debdo a potencales decsones de reruteo, aspectos normalmente desestmados en la lteratura especalzada. Por otra parte, una buena especfcacón debera tambén nclur predccón de las condcones de tráfco del sstema para hacer estmacones más realstas de los tempos de vae de los vehículos en el espaco y en el tempo. Esta fuente de ncerteza adconal no ha sdo tratada extensvamente en la lteratura en el caso de problemas de ruteo dnámco, prncpalmente debdo a la compledad computaconal. Respecto de modelos de decsón predctvos, exste nformacón en la lteratura recente en el campo de ruteo de vehículos y despacho que ntenta aprovechar nformacón sobre eventos futuros para meorar la toma de decsones (Ichoua et al., 005; Topaloglu y Powell, 005). Sáez et al (007) y Cortés et al. (007) desarrollaron una formulacón analítca para el problema DPDP como un problema de Control Adaptvo Predctvo Híbrdo (HAPC) medante modelos basados en varables de estado, resuelto con algortmos provenentes de la ntelgenca computaconal (GA y Clusterng Dfuso). Desde una óptca de sstema (operador y usuaros), la correcta defncón de una funcón obetvo predctva debe ncorporar tanto el costo del operador como el costo de usuaros a través del nvel de servco, lo que se traduce en una funcón de los tempos de vae y espera estmados. Además, consderando el ambente dnámco de la toma de decsones, la funcón obetvo debe nclur el efecto de potencales reruteos en decsones de despacho actuales, cuantfcando apropadamente su mpacto en los nveles de servco de los usuaros afectados por tales decsones, así como en los costos de operacón adconales asocados, todo lo anteror en un ambente de condcones de tráfco nesperadas, las que podrían nterferr la operacón de los vehículos bao reglas de despacho. Estas dos dmensones que se ncorporan en la funcón obetvo del sstema (por un lado nterés del operador por mnmzar los costos de operacón, y por otro de los usuaros por obtener un buen nvel de servco) son obetvos contrapuestos. De hecho, ofrecer un meor nvel de servco mplca vaes más drectos, es decr, menores tasas de ocupacón de los vehículos y por ende mayores costos de operacón para atender la msma demanda con la msma flota. Por otra parte, polítcas de ruteo más efcentes desde una óptca de operacón necesaramente se traducen en mayores tasas de ocupacón de los vehículos, rutas más largas y por consguente, mayores tempos de espera y vae de los usuaros. La pregunta entonces es como pesar apropadamente

3 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO 3 ambas componentes de la funcón obetvo para tomar decsones adecuadas de planfcacón y despacho de flota. La verdad es que la respuesta a esta nterrogante no es clara y depende de quén tome las decsones y en qué contexto. Para orentar la respuesta a esta ncógnta, en este trabao se plantea un enfoque multobetvo para darle un tratamento más general al DPDP formulado como un problema HAPC por Cortés et al. (007). Partcularmente, se utlzará Optmzacón Multobetvo Evoluconara (EMO) para resolver la formulacón dnámca del DPDP, consderando las dos dmensones contrapuestas (operador y usuaros) en la funcón obetvo. En la lteratura de Optmzacón Multobetvo Evoluconara (EMO), se encuentra más que nada resolucón de problemas estátcos (Har-Gabou, 003). La lteratura en problemas EMO dnámcos es escasa y sn metodologías claras de evaluacón (M. Farna et. al, 004). Un eemplo de optmzacón multobetvo aplcada a sstemas de transporte, corresponde un modelo para la negocacón en la tarfcacón de servcos Metro-Bus (S. Jara y A. Tudela, 99). En este artículo se dseñan servcos con tarfa ntegrada que logran, smultáneamente, benefcos para los usuaros medante menores tarfas y tempos de vae, ganancas para los operadores de buses y mantencón del nvel de ngresos netos del Metro. En este trabao, reformulamos el DPDP de Cortés et al. (007), que fue resuelto usando una funcón obetvo convenconal (mono-obetvo) de control predctvo, bao una óptca EMO dnámco. El problema de optmzacón no lneal es NP-Hard, por lo que será resuelto efcentemente en térmnos de precsón y tempo computaconal ocupando algortmos genétcos (GA). Utlzar EMO permtrá obtener solucones que no son exploradas con el típco HAPC para resolver el problema DPDP, lo cual es un apoyo crucal para el tomador de decsones en buscar opcones razonables de polítcas de servco. A contnuacón se descrbe el problema y se establece la formulacón de la funcón obetvo predctva propuesta en su versón mono-obetvo. En la Seccón 3 se propone la contraparte EMO de la formulacón. En la Seccón 4 se muestra y analza resultados por smulacón, y fnalmente algunas conclusones y líneas de trabao futuras.. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.. Enfoque HAPC para DPDP y formulacón de modelo dnámco El modelo predctvo es formulado consderando tres varables de estado: tempo estmado de llegada a una parada, carga del vehículo entre paradas y la poscón del vehículo. Para el cálculo de estas varables se consdera dos fuentes de estocastcdad. La prmera con respecto a la demanda futura desconocda entrando al sstema en tempo real, y la segunda provenente de las condcones de tráfco de la red, en sus dmensones espacal y temporal. El tamaño de la flota se asume conocdo. La ubcacón específca de un requermento (que ncluye tanto su recogda como entrega) es conocda solamente después que la correspondente llamada en tempo real es recbda por el despachador. Un vehículo selecconado es entonces re-ruteado en tempo real para nsertar el nuevo requermento dentro de su ruta predefnda (secuenca) mentras los vehículos están en movmento. La asgnacón del vehículo y de la ubcacón dentro de la secuenca anteror para la nueva llamada es decdda por el despachador (controlador) basado en la funcón obetvo que depende de las varables de estado asocadas al estado en tempo real de los vehículos (ver Seccón.).

4 4 Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H., Crstán E. Cortés Consdere un área de nfluenca y un conunto de F vehículos. La flota se encuentra en operacón vaando dentro del área según rutas predefndas. La demanda por servco η es desconocda, aparece en tempo real y se caracterza por dos poscones, recogda (pckup) y entrega (delvery), y por el nstante en que ocurre la llamada. El enfoque de modelacón es en tempo dscreto y donde los pasos se actvan cuando ocurre un evento relevante, por eemplo cuando aparece una llamada que solcta servco en tempo real. Se denota por k al índce que representa el k-ésmo nstante en la secuenca dscreta de eventos. En cualquer nstante k, a cada vehículo se le asgna una secuenca de tareas que ncluyen recogdas y entregas. Esas secuencas se pueden representar 0 w ( por una funcón ( ) ( ) ( ) ( ) ) k S k = s k s k L s k L s ( k), en donde el -ésmo elemento de la secuenca representa a la -ésma parada del vehículo dentro de su ruta, y ( k) es el número de paradas. Una parada está defnda por una coordenada y un usuaro que pde el 0 servco. La condcón ncal ( s ( k ) ) corresponde al últmo requermento satsfecho. El conunto de secuencas S( k) = { S ( k),..., S ( k),.., SF ( k) } asocadas a los vehículos de la flota corresponden a la varable de control o varable manpulada u( k ). El despachador HAPC propuesto seleccona las secuencas óptmas basándose en la mnmzacón de una funcón obetvo ad-hoc. De este modo, una secuenca de paradas asgnadas al vehículo en el nstante k, ( k), está dada por: T S w S ( k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z k z k P k r k Ω k z ( k) z ( k) P ( k) r ( k) Ω ( k) = z ( k) z ( k) P ( k) r ( k) Ω ( k) M M M M M w ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) k w k w k w k w k z k z k P k r k Ω ( k) () donde z ( k ) es gual a s la parada es una recogda y toma el valor 0 s es una entrega. ( ) es la poscón geográfca en coordenadas espacales de la parada asgnada al vehículo P k R, r ( k ) dentfca al pasaero que está realzando la llamada y Ω ( k ) es el número de pasaeros asocados al requermento el nstante k ( S ( k) r ( k). La Fgura a) muestra una secuenca asgnada al vehículo en ), lo cual corresponde a una magen de las tareas asgnadas a un vehículo. ˆ T ( k ) representa el tempo de salda esperado del vehículo desde la parada, Lˆ ( k ) es la carga esperada del vehículo al salr de la parada, y X ( k ) denota la poscón actual del vehículo en el nstante k, que debe estar entre las poscones 0 P ( k ) y P ( k ). En este trabao, las condcones de tráfco se modelan a través de una dstrbucón comercal de velocdades asocadas a los vehículos. Esta dstrbucón consdera dos dmensones: espacal y temporal. La dstrbucón real de velocdades se asume desconocda y se denota por vt (, pϕ, ), que depende de una fuente estocástca ϕ () t que representa las condcones de tráfco de la red varantes en el tempo, y de una funcón p defnda por la recta que une dos paradas consecutvas. Además, se asume conocda una dstrbucón de velocdades para la zona urbana durante un perodo típco de congestón recurrente y ésta se obtene a partr de regstros hstórcos de velocdades y se representa por un modelo de velocdad vt ˆ(, p).

5 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO 5 El lazo cerrado del sstema de ruteo se muestra en la Fgura b). El HAPC representado por el despachador toma las decsones de ruteo en tempo real basado en la nformacón que tene del sstema (proceso) y en los valores de los atrbutos de la flota de vehículos que le permten evaluar el modelo bao dstntos escenaros. La demanda (η) y las condcones de tráfco (ϕ) son perturbacones en este sstema. Un mecansmo adaptvo para el control propuesto es agregado en la Fgura, para adaptar la dmensón del modelo y modfcar la funcón obetvo adecuándola a predccones de demanda y tráfco que varían en el tempo. Fgura : Enfoque HAPC para resolver DPDP. a) Representacón de una secuenca del vehículo y sus paradas. b) Dagrama lazo cerrado del Control Híbrdo Adoptvo para DPDP. Para aplcar el enfoque de control predctvo híbrdo HAPC se plantea el sguente modelo dnámco para representar el proceso de ruteo de vehículos. Para el vehículo, se tene: ( ˆ ) Xˆ ( k + ) ( ), (, ) f S k v t p X ˆ T ( k + ) = f ( X ( k), Tˆ ( k), S ( k), vˆ ( t, p) T Lˆ ( k ) f ( Lˆ + ( k), S ( k) L ) ) () 0 w ( k donde X ( k) R, ( ) ( ) ( ) ) T ˆ ˆ ˆ 0 w ( k T k = T k T k T ( ), k L ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ) L k = ( ) L k L k L L k El modelo dnámco para la poscón del vehículo está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) t +τ P 0 ( k) P ( k) 0 + = ( ), (, ) = ( ) +, ( ) k Xˆ k f S k vˆ t p P k ˆ X v t p t ( ) ( ) dt (3) t k 0 P k P k t donde t k t t k + τ. es una varable que conecta el tempo contnuo con el tempo dscreto (k) asocado a la modelacón. El tamaño de paso varable τ se defne por el ntervalo entre la ocurrenca de la llamada futura probable en el nstante t k k + τ y la ocurrenca de la llamada preva T

6 6 Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H., Crstán E. Cortés en tk. τ es calculado como un parámetro de sntonía para el HAPC que se austa con un análss de sensbldad que fue descrto en Sáez et al. (007). El vector de tempo de salda depende de la velocdad y está dada por el sguente modelo dnámco: w ( k) T 0 ( ) ( ˆ s s + = ( ), ˆ(, ), ( ), ( )) = ( ) ( ) ( ) ( ) T + κ + k k κ + κ k s= s= Tˆ k f X k v t p T k S k T k t k t k L t k (4) P ( k) κ ( k) = dω, vt ˆ( ( ω), ω) X ( k) κ ( k) P ( k) P ( k) dω vt ˆ( ( ω), ω) = = w ( k) (5).. κ ( k) es una estmacón del ntervalo de tempo entre la parada - y la parada para la secuenca del vehículo en el nstante k. t ( ω ) es el tempo en el cual el vehículo alcanza la poscón ω. El modelo dnámco para el vector de carga del vehículo depende exclusvamente de la secuenca actual y de su carga preva. Analítcamente, se tene: w ( k) ˆ ( ) ( ˆ s s 0 s s L k+ = f L ( k), S ( k) ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) L L k L k + z k Ω L k + z k L k z k Ω L + ) Ω s= s= T (6) donde s z y s Ω fueron defndos en la ecuacón (). Las secuencas de los vehículos y las varables de estado propuestas satsfacen un conunto de restrccones dadas por las condcones reales del problema DPDP. Específcamente, se deben consderar las restrccones de precedenca, capacdad y consstenca en la resolucón de problema HAPC para generar sólo secuencas factbles... Funcón obetvo. El obetvo del controlador predctvo híbrdo será mnmzar una funcón obetvo a partr de la cuál se selecconarán las meores rutas para los vehículos. La funcón obetvo escogda cuantfca los costos sobre el sstema de aceptar una nsercón de un nuevo requermento. Tal funcón ncorpora dos dmensones de decsón, las que normalmente se mueven en sentdo opuesto. Como prmera componente se ncorpora el costo de los usuaros del sstema, ncluyendo tanto el tempo de espera como el tempo de vae expermentado por cada pasaero que solcta servco. Como segunda componente, se agrega el costo de operacón de la flota, asumendo tamaño de flota fo. Esta últma componente ncorpora tanto un costo por undad de dstanca recorrda así como el costo ncurrdo por undad de tempo de operacón de cada vehículo. En futuras aplcacones se estudará expresones más compleas pero más realstas de estas componentes, tanto de nvel de servco (costo usuaro) como de operacón (costo operador).

7 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO 7 Se defne un horzonte de predccón razonable N, el cual depende del problema en estudo y de la ntensdad de eventos desconocdos que ocurran en el sstema en tempo real. S el horzonte de predccón es mayor que uno, el controlador agrega a la decsón la característca predctva. El controlador calculará las decsones para el horzonte de control completo N, es decr {S(k),,S(k+N-)}, medante predccones basadas en datos hstórcos, y aplcará al sstema solamente la secuenca en el sguente nstante S(k), de acuerdo al horzonte deslzante. El rendmento del esquema de ruteo de los vehículos, dependerá entonces de la caldad con que el sstema predce el mpacto de posbles re-ruteos debdo a nsercones provocadas por requermentos de servco desconocdos. Denotando U J y O J como el costo de usuaro y operador respectvamente, asocados a la secuenca de paradas que debe segur el vehículo en certo nstante, la funcón obetvo para un horzonte de predccón N, puede ser escrta de la sguente manera: { S( k), S( k+ ),..., S( k+ N ) } ( λ) Mn J λj J = + (7) N F hmax ( k+ t) N F hmax ( k+ t) Δ T( k+ l) ( ) (( U ( ) U Δ T k+ l = ( ) )) ( O ( ) O h + l + l = h + l ( + l ) ) l= = h= S ( k+ l ), h l= = h= S ( k+ l ), h J p J k J k J p J k J k J k+ = L k+ T k+ T k+ + z k+ T k+ T k+ w ( k+ l) U ( l) ϑv ( ) ( l) ( l) e l l S ( k+ l ), h = J TIEMPO DE VIAJE J TIEMPO DE ESPERA ˆ ( ˆ ˆ ) ( )( ˆ 0 ϑ ( ) ( )) l (8) S ( k+ t ), h { w ( k+ l) O ( ) T( ( ) ( )) L S( k+ l ), h = J k+ l = c Tˆ k+ l Tˆ k+ l + c D( k+ l) } S( k+ t ), h (9) En las ecuacones (7)-(9), k + l es el nstante en el que el l -ésmo requermento entra en el sstema, meddo desde el requermento del nstante k. h k+ l ) es el número de posbles max ( Δ T requermentos en el nstante k + l, ( k+l ) p h es la probabldad de ocurrenca del h-ésmo requermento tpo (asocado a un patrón de vaes asocado a un par específco de zonas) durante T el ntervalo de tempo Δ Tk ( +l). Las probabldades de ocurrenca ( k ) p Δ +l h asocadas a cada escenaro son parámetros en la funcón obetvo y deben ser calculadas en base a datos en tempo real, hstórcos o una combnacón de ambos. En Sáez et al. (007) se ocupa una zonfcacón basada en Fuzzy Clusterng, en la cual se sstematza la estmacón de patrones de vae. U O En expresones (8) y (9), J ( k+ ), J ( k+ ) l l representan las funcones de costo S( k+ l ), h S( k+ l ), h de usuaro y operador asocadas al vehículo en el nstante k + l, las cuales dependen de la secuenca preva S ( k+ l ) y un nuevo requermento potencal h el cual ocurre con probabldad k+t, S ( ) T k t p Δ +, w(k+l) es el número de paradas estmadas para el vehículo en el nstante h ( k+ l ),h es la nueva secuenca dado que h ocurró. Para explctar la flexbldad de la formulacón y la consstenca económca, el tempo de vae es ponderado por un factor ϑ v, y el de espera es ponderado por un peso ϑ e. Del msmo modo,

8 8 Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H., Crstán E. Cortés asumremos una expresón genérca del costo de operacón de los vehículos, con una componente que depende de la dstanca total recorrda, ponderada por un factor c L, y otra que depende del tempo total de operacón, en este caso a costo untaro c. Así, D ( k + l) representa la dstanca entre las paradas - e en la secuenca del vehículo. Dada la naturaleza mono-obetvo de esta formulacón, se generalza la expresón (7) asumendo un factor arbtraro λ a defnr por el tomador de decsones. T 3. CONTROL PREDICTIVO HIBRIDO BASADO EN OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO EVOLUCIONARIO (HAPC-EMO) PARA EL PROBLEMA DE RUTEO 3.. Control Predctvo Híbrdo basado en Optmzacón Multobetvo Evoluconara (HAPC-EMO) La estratega HAPC-EMO es una generalzacón de HAPC donde la accón de control óptma se seleccona basada en un crtero que toma solucones de la regón del Pareto Óptma consderando el sguente problema multobetvo: { S( k), S( k+ ),..., S( k+ N ) } {, } Mn J = J J (0) con J y J las funcones obetvos defndas en (7). Notar que este esquema no requere defnr un parámetro arbtraro λ de la forma como se plantea en.. La solucón a este problema corresponde a un conunto de secuencas de control que forman el conunto de Pareto Óptmo. Consderando que S ={S (k),..,s (k+n u -)} es una secuenca factble de accones de control, se tenen las sguentes defncones asocadas al problema de optmzacón multobetvo: - Una solucón S se dce que Pareto-domna a otra solucón S s y solo s: ( J ( S ) J ( S ) J ( S ) < J( S )) ( J( S ) J( S ) J( S ) < J( S )) - Una solucón S se dce Pareto Óptma s y solo s no exste otra solucón S que la domne según el crtero anteror. - El conunto de Pareto Óptmo P s contene todas las solucones Pareto Óptma. - El conunto de todos los valores que toman las funcones obetvos para cada solucón en P s es conocdo como el Frente de Pareto Óptmo P F y se defne como P = J S, J S : S P. F {( ( ) ( )) s} En este caso, como las secuencas de control son enteras y además defndas en un conunto factble fnto, el Frente de Pareto Óptmo resultante corresponde a un conunto con un número fnto de elementos. A partr de las solucones del frente de Pareto Óptmo para este problema de HAPC dnámco es necesaro elegr tan sólo una secuenca de control S ={S (k),..,s (k+n u -)} y a partr de ésta, aplcar la accón de control S (k) al sstema según el horzonte deslzante. Por lo tanto, para la seleccón de esta secuenca se requere un crtero que estará relaconado con la mportanca que tenga el costo usuaro (J ) y el costo del operador (J ). Se debe destacar que las solucones obtendas del problema EMO forman un conunto que ncluye los óptmos obtendos

9 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO 9 del problema mono-obetvo defndo en la seccón. Inclusve, se puede encontrar una relacón analítca entre ambas solucones, que para el caso mono-obetvo se reflearía en la seleccón adecuada del factor de peso λ. Una aplcacón relevante de este enfoque en la decsón de despacho del controlador, es la defncón de crteros para selecconar la meor accón de control en el momento bao el enfoque HAPC-EMO. Por eemplo, una vez que el meor frente de Pareto es encontrado, dstntos crteros respecto de nvel de servco mínmo podrían ser usados dnámcamente. En este trabao evaluaremos tres crteros de nvel de servco: Crtero : costo usuaro menor que $000 por pasaero; Crtero : costo usuaro menor que $5 por pasaero; Crtero 3: costo usuaro menor que $50 por pasaero. En casos en que la polítca se cumpla para varas solucones, se selecconará aquella que mnmce el costo operador. Resultados y análss de estas polítcas de operacón a partr de smulacones de reporta en Seccón 4. A contnuacón en Seccón 3., se explcará el método de optmzacón multobetvo basado en Algortmos Genétcos (GA) propuesto para este problema. 3.. Algortmos Genétcos para encontrar Óptmo de Pareto Algortmos Genétcos (GA) es usado para resolver el problema EMO planteado. En GA, una potencal solucón se denomna ndvduo, y puede ser representada por un conunto de parámetros y ser descrta en una forma entera. Para esta aplcacón, un ndvduo representará una secuenca de control factble S ={S (k),..,s (k+n u -)}, en donde cada gen o elemento del conunto corresponde a una accón de control, y el largo del ndvduo está dado por el horzonte de control N u. Usando GA, los ndvduos meor adaptados serán selecconados con mayor probabldad para asegurar una buena descendenca. Los meores padres entonces son selecconados y recombnados para producr una nueva generacón. Para la recombnacón se usan dos operadores fundamentales: crossover y mutacón. Para el mecansmo de crossover, dos porcones de genes son ntercambadas con una certa probabldad. El operador mutacón por otro lado, altera cada porcón del ndvduo aleatoramente con certa probabldad. Es mportante menconar que eventualmente se pueden generar ndvduos nfactbles, y estos se podrían elmnar de la poblacón (estratega abortva) o ben mantener (pro-vda) ya sea arreglándolos o ben penalzándolos elevadamente. En cada etapa del algortmo, para encontrar el conunto de Pareto Óptmo los meores ndvduos serán aquellos que pertenezcan al meor conunto de Pareto encontrado hasta la teracón actual. Esto debdo al hecho de que hay solucones que pertenecen a la regón Pareto Óptma pero aun no son encontradas, y hay solucones que pareceran pertenecen a la regón Óptma de Pareto pero no pertenecen debdo a que aun no se encuentra la solucón que las Pareto-domna. La solucón ocupando GA en HAPC-EMO entrega frentes de Pareto sub-óptmos, pero muy cercanos al óptmo global. La porcón más mportante del costo computaconal de aplcar este algortmo está en computar las predccones, las cuales se calculan recursvamente ocupando el modelo y las accones de control dadas por el ndvduo. Los parámetros de sntonzacón de GA son el número de ndvduos, número de generacones, probabldad de crossover, probabldad de mutacón y crtero de parada.

10 0 Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H., Crstán E. Cortés 4. RESULTADOS POR SIMULACION En esta seccón se resume las pruebas de smulacón realzadas para vsualzar los resultados del enfoque HAPC-EMO. Se smula un tempo de dos horas representatvas de un día laboral (4:00-4:59, 5:00-5:59), sobre un área urbana de servco de aproxmadamente 8 km. Se consdera una flota de cuatro vehículos, con capacdad para cuatro pasaeros cada uno. Se asume que los vehículos vaan en línea recta entre paradas y que la red de transporte se comporta de acuerdo a la sguente dstrbucón de velocdad: ( ϕ) ( p 4) + ( p 4) ( p 7) + ( p 6) t t,, x y x y v t p = e + e + ϕ t () () donde t[mn] es el tempo contnuo (relo), t=0[mn] corresponde a las 4:00, y t=0[mn] a las 6:00. p=(p x,p y ) [km] denota una poscón en térmnos del plano de coordenadas dentro del área urbana y ϕ () t es el rudo blanco que captura la estocastcdad que provene de la congestón. Se asume que las llamadas futuras son desconocdas para el controlador. Sn embargo, se dspone de datos hstórcos a partr de los cuales se extraen los patrones típcos de vae. La dstrbucón de velocdades y los datos hstórcos generados por smulacón sguen los patrones de vae mostrados en la Fgura a) y b) respectvamente. A partr de los datos hstórcos y el método de zonfcacón dfusa propuesto en Sáez et al. (007), se determnan las coordenadas de recogda y entrega y probabldades de los patrones más relevantes. 9 8 Hstorcal demand data + pckup o delvery 7 6 Km Km. Fgura : a) Dstrbucón de velocdad detrás del modelo recurrente ncal. b) Demanda y patrones orgen-destno. En las pruebas de smulacón, se generaron 60 llamadas sobre el perodo de smulacón de dos horas sguendo la dstrbucón espacal y temporal que se observa de los datos hstórcos. Respecto de la dmensón temporal, se asumó una dstrbucón exponencal negatva para ntervalos de tempo entre llamadas con tasa [llamada/mnuto] para ambas horas de smulacón. Respecto de la dstrbucón espacal, las coordenadas de pck-up y delvery fueron generadas aleatoramente dentro de cada zona. Las 0 llamadas del prncpo y del fnal de las pruebas fueron qutadas de las estadístcas para evtar dstorsón de límtes. 50 réplcas de cada expermento fueron realzadas para obtener las estadístcas globales. Cada replca tardó 0 mnutos en promedo, en un procesador Pentum D,.40Ghz. La funcón obetvo es a dos pasos, asumendo parámetros ϑ v =6,7[$/mn], ϑ e =50 [$/mn], ct =5 [$/mn], cd =350 [$/Km].

11 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO Lo prmero que se reporta son resultados ncales para HAPC con funcones mono-obetvo, asumendo pesos λ=, 0.75, 0.5, 0.5 y 0, de manera de verfcar que los obetvos que buscan usuaros y operadores se contraponen. Al evaluar las estadístcas globales, se obtene la Tabla, con valores promedo por usuaro o vehículo según sea el caso. Tabla : HAPC con dstntas funcones de costos Factor de peso de: J= λj U +(- λ)j O Tempo Vae [mn/pax] Tempo Espera [mn/pax] Tempo recorrdo [mn/veh] Dstanca recorrda [km/veh] λ = λ = λ = λ = λ = Para analzar y evaluar el desempeño de las estrategas HAPC-EMO, se realzaron pruebas por smulacón para dos pasos de predccón, bao las msmas condcones anterores. Se presenta los resultados de 50 réplcas con GA usando 0 ndvduos y 0 generacones. La Tabla reporta los tempos efectvos de espera y vae de usuaro, además de tempo y dstanca recorrda promedo para vehículos, usando HAPC-EMO para dos pasos, y los tres crteros de nvel de servco planteados en Seccón 3.. En la Fgura 3 se muestran los resultados globales obtendos por HAPC y HAPC-EMO, mostrando las componentes de costo a usuaros y operador globales usando los dstntos crteros. Tabla : EMO HAPC con dstntos crteros CRITERIOS EMO Tempo Vae Tempo Espera Tempo recorrdo Dstanca recorrda [mn/pax] [mn/pax] [mn/veh] [km/veh] Crtero Crtero Crtero x 04 Costo Usuaro versus Costo operador lambda= x 04 Costo Usuaro versus Costo operador lambda= Costo Operador $ lambda=0.5 lambda=0.5 Costo Operador $ Crtero Crtero 4. lambda=0 4. Crtero Costo Usuaro $ x Costo Usuaro $ x 0 4 Fgura 3: Frentes de Pareto. a) HAPC con dstntos valores de lambda. b) Se agregan solucones con crteros EMO. Notar de la Fgura 3 que efectvamente la premsa de que los obetvos (usuaros y operador) se contraponen se cumple al menos en estos eemplos smulados. El enfoque HAPC-EMO genera una varedad de opcones no domnadas a ser analzadas por el tomador de decsones y así decdr de meor forma la polítca de operacón en tempo real, que no es posble descubrr bao

12 Alfredo Núñez V., Marcela Rquelme H., Dors Sáez H., Crstán E. Cortés un enfoque HAPC tradconal. Además, es posble agregar solucones bao certos crteros (que pueden ser tanto de nvel de servco como de operacón). En este trabao se probaron tres crteros de nvel de servco (Fgura 3b). Con el crtero se obtuvo un costo usuaro gual a $04.4 smlar a los $000 que se pedían en la polítca de servco. Con el crtero se obtuvo un costo usuaro gual $ nferor a los $5 que se pedían en la polítca de servco. Fnalmente, a partr del crtero 3 se obtuvo un costo usuaro gual $77.7 lo cual es nferor a $50 por lo que se cumple tambén la polítca de servco. 5. COMENTARIOS Y CONCLUSIONES Este trabao presenta un nuevo enfoque para resolver el DPDP bao un esquema de Control Predctvo Híbrdo usando Optmzacón Multobetvo evoluconara. Se proponen tres dstntos crteros para obtener accones de control sobre el ruteo ocupando el frente de Pareto dnámco. Los crteros permteron dar prordad a una polítca de servco para los usuaros y luego a la mnmzacón de costos operaconales. Las polítcas de servco se verfcan de manera aproxmada en el promedo de las réplcas. Prorzar es dstnto a penalzar, y en un sstema mplementado on-lne es mas claro para el operador segur polítcas de servco en lugar de sntonzar parámetros de ponderacón en forma dnámca. El enfoque multobetvo permtó obtener solucones que se nterpretan drectamente del uso del frente de Pareto en lugar de resultados obtendos con funcones mono-obetvo que carecen de nterpretacón físca drecta (los factores de peso se sntonzan pero no permten aplcar polítcas de operacón o servco del tpo de las propuestas aquí). De esta manera se ndagó en solucones más genércas. Como trabao futuro, dado que los controladores mas usados no se basan en EMO, se pretende analzar con mayor detalle la relacón entre EMO y HAPC, con lo cual se podrá determnar factores de peso que emulen el comportamento de EMO. Además se nvestgará el sentdo de aplcar otras polítcas de servco y se analzará dstntas estrategas evolutvas de manera de encontrar aquella que meor se auste a los requermentos del DPDP. AGRADECIMIENTOS Esta nvestgacón ha sdo parcalmente fnancada por los proyectos FONDECYT 0656 y 066, por el Insttuto Mleno Sstemas Compleos de Ingenería y por el proyecto Anllo ACT-3. REFERENCIAS Cortés, C.E., D. Sáez y A. Núñez (007) Hybrd Adaptve Predctve Control for a Dynamc Pckup and Delvery Problem ncludng Traffc Congeston. Aceptada, revsta ISI Internatonal Journal of Adaptve and Sgnal Processng. Desrosers, J., F. Soums, y Y. Dumas (986). A Dynamc Programmng Soluton of a Large- Scale Sngle-Vehcle Dal-a-Rde wth Tme Wndows, Amercan Journal of Mathematcal and Management Scences 6,

13 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA EL PROBLEMA DE RUTEO DINÁMICO DE VEHÍCULOS BASADO 3 Farna, M., K. Deb y P. Amato (004). Dynamc Multobectve Optmzaton Problems: Test Cases, Approxmatons, and Applcatons, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, Vol 8, No 5, pp. 45. Har-Gabou, S.(003). A fuzzy genetc multobectve optmzaton algorthm for multlevel generalzed assgnment problema, IEEE Transactons on Systems, Man and Cybernetcs, Vol 33, No, pp Ichoua, S., M. Gendreau y J.Y. Potvn (005). Explotng Knowledge about Future Demands for Real-Tme Vehcle Dspatchng, aceptado para publcacón en Transportaton Scence. Jara, S. y A. Tudela (99). Un modelo para la negocacón en la Tarfcacón de servcos Metro- Bus, Cuadernos de Economía, año 8, n 84, pp Sáez, D., C.E. Cortés y A. Núñez (007), Hybrd adaptve predctve control for the mult-vehcle dynamc pck-up and delvery problem based on genetc algorthms and fuzzy clusterng, Computers & Operatons Research, In Press. Savelsbergh M. y M. Sol (995). The general Pckup and Delvery problem, Transportaton Scence, Vol. 9, No., pp Topaloglu H. y W. Powell (005). A Dstrbuted Decson-Makng Structure for Dynamc Resource Allocaton Usng Non Lnear Functonal Approxmatons, Operatons Research 53(), 8-97.