CÓNICAS. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. centro de la circunferencia.

Transcripción

1 CÓNICAS CPR. JORGE JUAN Xuvi-Nrón L circunferenci, l elipse, l hipérol y l práol se conocen como cónics deido que se pueden otener l cortr un superficie cónic de revolución por un plno que no pse por su vértice. El tipo de cónic otenido depende de l inclinción del plno respecto l eje de dich superficie. Circunferenci Cundo el plno de corte es perpendiculr l eje del cono, l sección del cono es un circunferenci. Elipse Cundo el plno de corte form con el eje del cono un ángulo menor de, 90º. Práol Cundo el plno de corte es prlelo un de ls genertrices del cono. Hipérol Cundo el plno de corte es prlelo l eje del cono. Si se tiene en cuent l definición de cd un de ls cónics se desrroll l teorí que d lugr ls expresiones de ls ecuciones que ls definen sí como lguns de sus propieddes: Circunferenci Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. Se C(,) P(x,y) r (O,i,j) centro de l circunferenci. punto genérico de l circunferenci. rdio de l circunferenci. sistem de referenci cnónico del plno l distnci del centro, C, culquier punto, P, de l circunferenci es siempre l mism e igul l rdio, r, de l mism, oteniéndose dich distnci trvés del teorem de Pitágors o ien del módulo del vector que une el centro, C(,), con el punto, P(x,y) cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 408

2 d(c,p)= r= x y se elevn l cudrdo los dos miemros de l expresión nterior se tiene l ecución de l circunferenci conocido su centro, C, y su rdio, r. r = (x-) +(y-) si se desrrolln los cudrdos de l rest que precen en el segundo miemro de est expresión se otiene r = x + -x+y + -y se psn todos los términos un único miemro x + -x+y + -y-r = 0 se llm D= - E= - F= + -r y se otiene otr ecución x +y +Dx+Ey+F= 0 que define l circunferenci. x +y +Dx+Ey+F= 0 Inversmente de est ecución se deduce el centro, C(,), y el rdio, r, de l circunferenci, ddo que D= - = - D E= - = - E F= + -r se despej el rdio, r, y sustituyendo los vlores de,, y, por sus expresiones nteriores r = + -F= D E D E D E 4 F F F se tom l ríz cudrd en mos miemros se otiene el vlor del rdio de l circunferenci 1 4 D E F r= pr que l circunferenci teng existenci rel su rdio h de ser r 0 de donde se deduce que el rdicndo de l ríz h de ser: cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 409

3 D +E -4F 0 l circunferenci existe y tiene un rdio, r. D +E -4AF= 0 D +E -4AF< 0 l circunferenci se reduce un solo punto, el centro de l mism, C, y que el rdio es nulo, r= 0. l circunferenci no tiene existenci y que su rdio viene ddo trvés de un ríz negtiv. expresión que se generliz pr un ecución de segundo grdo complet de dos vriles Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F= 0 l cul represent l ecución de un circunferenci si: A=C 0 B= 0 D +E -4AF> 0 en cuyo cso se tiene que ls coordends del centro, C(,), y el rdio de l circunferenci son = - D A = - E A r= D E 4AF A de est segund ecución que define l circunferenci x + -x+y + -y-r = 0 se deduce que si: D= 0 C(0,) el centro, C, de l circunferenci se encuentr sore el eje, Y. 0= - = - 0 = 0 E= - = - E F= + -r r= E 4F el centro de l circunferenci está sore el eje, Y, del sistem de referenci del plno C= (0,) E= 0 C(,0) el centro, C, de l circunferenci se encuentr sore el eje, X. D= - = - D cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 410

4 0= - = - 0 = 0 F= + -r r= D 4F el centro de l circunferenci está sore el eje, X, del sistem de referenci del plno C= (,0) D= E= 0 C(0,0) el centro, C, se encuentr en el origen de coordends. 0= - = - 0 = 0 0= - = - 0 = 0 F= + -r r= 4F el centro de l circunferenci está sore el origen de coordends, O, del sistem de referenci del plno C= (0,0) F= 0 l circunferenci ps por el origen de coordends. D= - = - D E= - = - E 0= + -r r= D E l circunferenci ps por el origen de coordends del sistem de referenci del plno, puesto que sus coordends, (0,0), stisfcen l ecución de l circunferenci. x +y +Dx+Ey= D.0+E.0= = 0 A prtir del conocimiento de l expresión mtemátic de l circunferenci se deduce: Intersección de un circunferenci con un rect Ls posiciones que pueden doptr en el plno un rect y un circunferenci vienen definids por ls soluciones que teng el sistem de ecuciones formdo por ls ecuciones que definen cd un de ells. un circunferenci viene definid por l expresión x +y +Dx+Ey+F= 0 un rect viene definid en form generl por l expresión Ax+By+C= 0 pr otener los puntos en que ms se cortn st con resolver el sistem formdo ms ecuciones. Dependiendo del número de soluciones que teng l resolución de este sistem, l circunferenci y l rect pueden ser: cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 411

5 Secntes El sistem tiene dos soluciones distints. L rect cort l circunferenci en dos puntos. Ams tienen dos puntos en común. Tngentes El sistem tiene un solución. L rect cort l circunferenci en un punto. Ams tienen sólo un punto en común. Exteriores El sistem no tiene solución lgun. L rect no cort l circunferenci en punto lguno. No tienen punto en común lguno. Intersección de dos circunferencis Ls posiciones que pueden doptr en el plno dos circunferencis vienen definids por ls soluciones que teng el sistem de ecuciones formdo por ls ecuciones que definen cd un de ells. un circunferenci viene definid por l expresión x +y +D 1 x+e 1 y+f 1 = 0 l otr circunferenci viene definid por l expresión x +y +D x+e y+f = 0 pr otener los puntos en que ms se cortn st con resolver el sistem formdo ms ecuciones. Dependiendo del número de soluciones que teng l resolución de este sistem, l circunferencis pueden ser: Secntes El sistem tiene dos soluciones distints. Ls circunferencis se cortn en dos puntos. Ams tienen dos puntos en común. Sin emrgo, existen dos posiiliddes, que sen: Secntes interiores Los centros de de ms circunferencis son interiores un de ells. Secntes exteriores Tngentes El sistem tiene un solución. Ls circunferencis se cortn en un punto. Ams tienen sólo un punto en común. Sin emrgo, existen dos posiiliddes, que sen: Tngentes interiores Tngentes exteriores cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 41

6 No se cortn El sistem no tiene solución lgun. Ls circunferencis no se cortn. No tienen punto en común lguno. Sin emrgo, existen tres posiiliddes, que sen Exteriores Interiores Concéntrics Excéntrics Potenci de un punto con respecto l circunferenci Si por un punto, P, del plno se trnz un rect secnte con un circunferenci, ést cort l circunferenci en dos puntos, A, y, B, distntes del punto, P, respectivmente en vlores, PA, y, PB. Ests distncis tienen un criterio pr signrles un signo: Positivo Si el punto de corte con l circunferenci está l derech de punto, P, Negtivo Si el punto de corte con l circunferenci está l izquierd del punto, P. Se define l potenci de un punto, P, con respecto un circunferenci como el producto de ls distncis, PA, y, PB, de ese punto los puntos de corte con l circunferenci de un rect secnte l mism que pse por el punto, P. Pot (P)= PA.PB l potenci del punto, P, con respecto l circunferenci es independiente de l rect secnte que se trce desde dicho punto l circunferenci, y est constnte es l que se llm potenci del punto, P, respecto de l circunferenci. Los triángulos, PAB', y, PA'B, son semejntes por tener un ángulo, P, común y los ángulos, B, y, B' son igules por ser inscritos y rcr el mismo rco. PA PB ' PA.PB= PA'.PB' PA' PB pr otener l expresión nlític de l potenci del punto, P, respecto de l circunferenci, se: (,) r centro de l circunferenci rdio de l circunferenci, mos prámetros definen l ecución de ést, x +y +Dx+Ey+F= 0 P(x 0,y 0 ) punto genérico del plno desde el que se quiere hllr l potenci con respecto l circunferenci cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 413

7 d distnci desde el punto, P, l centro de l circunferenci, C. se tiene entonces Pot (P)= PA.PB de l expresión gráfic se deduce que: PA= d-r PB= d+r d= CP= x y módulo del vector, CP 0 0 CP= P-C= (x 0,y 0 )-(,)= (x 0 -,y 0 -) si se tiene en cuent ésto se otiene en el desrrollo nterior Pot (P)= PA.PB= (d-r).(d+r)= d -r si en est expresión se sustituye el vlor de, d, por su expresión, en el desrrollo nterior se tiene Pot (P)= d -r = x y D= - E= - F= + -r 0 0 r = (x 0 -) +(y 0 -) -r = x x y y r x y x y r x y Dx Ey F l potenci de un punto, P, respecto de un circunferenci de ecución, x +y +Dx+Ey+F= 0, se hll sustituyendo sus coordends rectngulres, (x 0,y 0 ), en l ecución de l circunferenci. Dependiendo de l posición del punto, P, con respecto l circunferenci se distingue: El punto, P, es un punto exterior l circunferenci Se verific, d> r, por lo que d -r >0 Pot(P)> 0 El punto, P, es un punto del contorno de l circunferenci Se verific, d= r, por lo que d -r =0 Pot(P)= 0 cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 414

8 El punto, P, es un punto interior l circunferenci Se verific, d< r, por lo que d -r <0 Pot(P)< 0 Eje rdicl de dos circunferencis Se llm eje rdicl de dos circunferencis l lugr geométrico de los puntos del plno que tienen igul potenci respecto de ms circunferencis. Se x +y +D 1 x+ E 1 y+ F 1 = 0 x +y +D x+ E y+ F = 0 P(x,y) ecución de l primer circunferenci ecución de l segund circunferenci punto genérico del eje rdicl l tener el punto, P, igul potenci respecto de ms circunferencis se escrie Pot(P)= x +y +D 1 x+ E 1 y+ F 1 = x +y +D x+ E y+ F se psn todos los términos de est ecución l primer miemro de l mism x +y +D 1 x+ E 1 y+ F 1 -x -y -D x-e y-f = 0 se simplific l expresión (D 1 -D )x + (E 1 -E )y + F 1 -F = 0 se otiene l ecución del eje rdicl que se corresponde con l ecución de un rect en form generl. El eje rdicl de dos circunferencis es perpendiculr l líne que une los centros de dichs circunferencis Los centros de ls dos circunferencis son respectivmente D E, O D E, O el vector director de l rect que ps por esos puntos es V d = O 1 O = O O 1 = D, E D, E D D, E E el eje rdicl de ms circunferencis tiene por ecución l form generl (D 1 -D )x + (E 1 -E )y + F 1 -F = 0 el vector director del eje rdicl es pues V er = [-(E 1 -E ),(D 1 -D )] si mos vectores son perpendiculres su producto esclr es nulo cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 415

9 D D E E D D E E V. 1, d Ver E1 E, D1 D. E1 E. D1 D D D E E.. E E D D L posición gráfic del eje rdicl depende de l posición de ls circunferencis: Circunferencis secntes El eje rdicl es l rect determind por l cuerd común, y que los puntos, N, y, B, de intersección de ls misms tienen potenci nul respecto de ms circunferencis. Circunferencis tngentes Como el eje rdicl de dos circunferencis es perpendiculr l líne que une sus centros se deduce que el eje rdicl es l tngente común, puesto que el punto de tngenci, A, tiene potenci nul respecto de ms circunferencis. Circunferencis sin ningún punto en común Pr trzr el eje rdicl de dichs circunferencis se diuj un circunferenci uxilir que corte ms. A continución se determin el centro rdicl, R, de ls tres circunferencis sí construids. Finlmente se trz desde el punto, R, l perpendiculr l líne que une los centros de ls dos circunferencis dds. Si ls circunferencis son concéntrics no existe el eje rdicl. Centro rdicl de tres circunferencis Sen x +y +D 1 x+ E 1 y+ F 1 = 0 x +y +D x+ E y+ F = 0 x +y +D 3 x+ E 3 y+ F 3 = 0 ecución de l primer circunferenci ecución de l segund circunferenci ecución de l tercer circunferenci se restn ls ecuciones de ests circunferencis dos dos y se otienen ls ecuciones de los tres ejes rdicles que ells genern (D 1 -D )x + (E 1 -E )y + F 1 -F = 0 (D 1 -D 3 )x + (E 1 -E 3 )y + F 1 -F 3 = 0 (D -D 3 )x + (E -E 3 )y + F -F 3 = 0 cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 416

10 el sistem formdo por ls dos primers ecuciones tiene por solución ls coordends del punto, P(x 1,y 1 ). Este punto en el que mos ejes rdicles se cortn verific que sus coordends stisfcen l ecución de cd eje rdicl (D 1 -D )x 1 + (E 1 -E )y 1 + F 1 -F = 0 (D 1 -D 3 )x 1 + (E 1 -E 3 )y 1 + F 1 -F 3 = 0 se rest l segund ecución l primer y se tiene (D 1 -D 3 )x 1 + (E 1 -E 3 )y 1 + F 1 -F 3 [(D 1 -D )x 1 + (E 1 -E )y 1 + F 1 -F ]= 0 se elimin el corchete teniendo en cuent que tiene un signo menos delnte (D 1 -D 3 )x 1 + (E 1 -E 3 )y 1 + F 1 -F 3 (D 1 -D )x 1 - (E 1 -E )y 1 - F 1 +F = 0 se eliminn los términos opuestos y scndo fctores comunes (D -D 3 )x 1 + (E -E 3 )y 1 + F -F 3 = 0 expresión de l que se deduce que el punto, P(x 1,y 1 ), stisfce tmién l ecución del tercer eje rdicl. Por lo tnto los tres ejes rdicles se cortn en dicho punto, denomindo centro rdicl. Elipse Es el lugr geométrico de los puntos del plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte e igul l eje myor,, de l elipse. En un elipse se distinguen los siguientes elementos: Focos los puntos, F, y, F Eje focl Eje myor Eje menor Centro P l rect que ps por los focos el segmento, AA, de longitud, el segmento, BB, de longitud,. Es l meditriz del segmento, FF el punto de intersección del eje focl y del eje menor punto genérico de l elipse Rdios vectores los segmentos, FP, y, FP, que unen respectivmente los focos, F, y, F, con el punto, P por l definición de elipse se escrie PF + PF = se verific Si, P= A como l sum de los rdio vectores es constnte F A + FA= FA + F F + FA= F A + F F + FA= AA =. cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 417

11 Si, P= B F B + FB= como, F B= FB, se tiene c< FB= FB= F B= por geometrí. el triángulo, OFB, es rectángulo y sus ldos miden,,, y, c, respectivmente, siendo,, l hipotenus del mismo. Por el teorem de Pitágors se escrie = +c l ecución de l elipse depende de su orientción con respecto l sistem de referenci cnónico: Elipse horizontl con sus ejes coincidentes con los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l elipse situd horizontlmente con sus eje myor coincidente con el eje crtesino, X, su eje menor coincidente con el eje crtesino, Y, y su centro con el origen, O, del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se O(0,0) P(x,y) centro de l elipse. Punto de intersección de los ejes de l elipse punto genérico de l elipse B F (-c,0) F(c,0) focos de l elipse sore el eje X FF = c distnci focl de l elipse. Es l longitud del segmento, FF, de vlor, c. c es l semidistnci focl B r FF PF= d PF = d eje focl de l elipse rdios vectores del punto genérico, P, de l elipse A(,0), A (-,0) B(0,), B (0,-) vértices de l elipse. Son los puntos de intersección de l elipse con sus ejes myor y menor respectivmente AA = BB = eje myor de l elipse. Es el segmento, AA, de longitud,, siendo,, el vlor de semieje myor. Es un eje de simetrí de l elipse eje menor o secundrio de l elipse. Es el segmento, BB, de longitud,, siendo,, el vlor del semieje menor. Es un eje de simetrí de l elipse cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 418

12 O centro de simetrí. Es el punto de intersección de los ejes de simetrí se plic l definición dd pr l elipse PF + PF = se expresn ests distncis en función de ls coordends de los puntos, P, y, F, en el sistem de referenci cnónico del plno. PF = d(p,f )= 0 x c y x c y PF= d(p,f)= 0 x c y x c y se sustituyen estos resultdos en l expresión de l definición de l elipse y se otiene un ecución rdicl. x c y x c y se dej en un miemro un de ls ríces x c y x c y se elevn l cudrdo mos miemros de est ecución x c y x c y se desrrolln mos miemros, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo se tiene el cudrdo de un rest 4 x c y (x+c) +y = 4 + (x-c) +y - se otiene de nuevo un ecución rdicl. Se despej en un miemro de l mism el término que contiene l ríz 4 x c y (x+c) +y -4 - (x-c) -y = - se desrrolln los cudrdos de l sum y de l rest que precen en el primer miemro de est ecución 4 x c y x +c +cx+y -4 - (x +c -xc)-y = - se eliminn el préntesis del primer miemro de l ecución 4 x c y x +c +cx+y -4 - x -c +xc-y = - se sumn los términos semejntes cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 419

13 4 x c y 4cx -4 = - se sc, 4, fctor común en el primer miemro de l ecución 4 x c y 4(cx - )= - se dividen mos miemros de l ecución por, 4 x c y cx - = - se elevn l cudrdo mos miemros de l ecución (cx ) = x c y se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro se tiene el cudrdo de un rest, mientrs que en el segundo miemro desprece el cudrdo con l ríz, desprece el signo por ser l potenci de exponente pr y de se negtiv. c x + 4 -xc = ((x-c) +y ) se desrroll el cudrdo de l rest que prece en el segundo miemro de l ecución c x + 4 -xc = (x +c -cx+y )= x + c -cx + y se psn l primer miemro los términos que contengn, x, ó, y, y l segundo miemro los restntes términos c x -xc - x +cx - y = c - 4 se simplific el primer miemro, que es lo mismo que sumr sus términos semejntes c x - x - y = c - 4 se cmi de signo todos los términos de l ecución -c x + x + y = - c + 4 se sc, x, fctor común en el primer miemro de l ecución, y,, fctor común en el segundo miemro de l ecución x ( -c )+ y = ( -c ) se tiene en cuent l relción existente entre los prámetros,,, y, c, de l elipse = +c = -c se sustituye este resultdo en l expresión nterior x + y = se dividen los dos miemros de l ecución por, cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 40

14 x... y... se simplific cd un de ls frcciones y se escrie x y 1 se otiene l ecución de l elipse cundo su centro está en el origen del sistem de referenci del plno, O,X,Y, y sus ejes myor y secundrio coinciden con los ejes de scis, X, y ordend, Y, respectivmente del sistem de referenci. si en l ecución de l elipse se eliminn los denomindores se escrie x + y = ecución que es de l form Ax + By = C A= B= C= si, =, l ecución de l elipse qued reducid l ecución de un circunferenci de centro, C(0,0), y rdio, r=. Conocid l ecución de l elipse se puede determinr con ell: Puntos de corte de l elipse con los ejes coordendos Se otienen de est form ls coordends de sus vértices, A, A, B, y, B. Puntos de corte con el eje, X L condición mtemátic que se h de imponer es que en ellos, y= 0 x x 0 1 = 1 x = x= x= los puntos de corte con el eje, X, son A(,0) A'(-,0) cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 41

15 Puntos de corte con el eje, Y L condición mtemátic que se h de imponer es que en ellos, x= 0 0 y y 1 = 1 y = y= y= los puntos de corte con el eje, Y, son B(,0) B'(-,0) Rect tngente l elipse en un punto, P, de ell Se P(x 0,y 0 ) punto genérico de l elipse pr hllr l rect tngente l elipse en este punto, P, st con conocer el vlor de l pendiente de dich rect, que por l definición de derivd, coincide con el vlor de l derivd de l función que define l elipse en ese punto, P. pr determinr l función que define l elipse se prte de su ecución x y 1 en est ecución se eliminn los denomindores x + y = se dej en el primer miemro el término que contiene l vrile, y y = - x + se despej l vrile, y, se tiene l función que define l elipse. x. y x. l derivd de est función es y.y = -..x de donde cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 4

16 y '.. x... y. y x l pendiente en el punto, P(x 0,y 0 ), es pues y = y. x0. 0 = f (x 0 ) l ecución de l rect tngente l elipse en el punto, P, es pues y y 0 = f (x 0 ).(x-x 0 ) los rdiovectores de un punto, P, de l elipse formn el mismo ángulo con l rect tngente l elipse en dicho punto. Rect norml l elipse en un punto, P, de ell Si se tiene en cuent que l rect norml en el punto, P, es ortogonl l rect tngente en dicho punto, su pendiente viene dd por m = 1 f '( x ) 0 l ecución de l rect norml l elipse en el punto, P, es pues y y 0 = 1.(x-x 0 ) f '( x ) 0 Elipse verticl con sus ejes coincidentes con los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l elipse situd verticlmente con sus eje myor coincidente con el eje crtesino, Y, su eje menor coincidente con el eje crtesino, X, y su centro con el origen, O, del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se O(0,0) P(x,y) centro de l elipse. Punto de intersección de los ejes de l elipse punto genérico de l elipse F (0,-c) F(0,c) focos de l elipse sore el eje Y FF = c r FF PF= d PF = d distnci focl de l elipse. Es l longitud del segmento, FF, de vlor, c. c es l semidistnci focl eje focl de l elipse rdios vectores del punto genérico, P, de l elipse. A(0,), A (0,-) B(,0), B (-,0) vértices de l elipse. Son los puntos de intersección de l elipse con sus ejes menor y myor respectivmente AA = eje myor de l elipse. Es el segmento, AA, de longitud,, siendo,, el vlor de semieje myor. Es un eje de simetrí de l elipse cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 43

17 BB = O eje menor o secundrio de l elipse. Es el segmento, BB, de longitud,, siendo,, el vlor del semieje menor. Es un eje de simetrí de l elipse centro de simetrí. Es el punto de intersección de los ejes de simetrí se plic l definición dd pr l elipse PF + PF = se expres est distncis en función de ls coordends de los puntos, P, y, F, en el sistem de referenci cnónico del plno. PF = d(p,f )= PF= d(p,f)= x 0 y ( c x ( y c) x 0 y c x ( y c) se sustituyen estos resultdos en l expresión de l definición de l elipse se otiene un ecución rdicl. x ( y c) x ( y c) se dejn en un miemro de l ecución un de ls ríces x ( y c) x ( y c) se elevn l cudrdo mos miemros de est ecución x ( y c) x ( y c) se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo se tiene el cudrdo de un rest x +(y+c) = 4 + x +(y-c) - 4 x ( y c) se otiene de nuevo un ecución rdicl. Se despej en un miemro de l mism el término que contiene l ríz x +(y+c) -4 - x - (y-c) = - 4 x ( y c) se desrrolln los cudrdos de l sum y de l rest que precen en el primer miemro de est ecución x +y +cy+c -4 x - (y +c -cy) = - 4 x ( y c) se eliminn el préntesis del primer miemro de l ecución x +y +cy+c -4 - x - y -c +cy = - 4 x ( y c) se sumn los términos semejntes cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 44

18 4cy -4 = - 4 x ( y c) se sc, 4, fctor común en el primer miemro de l ecución 4(cy - )= - 4 x ( y c) se dividen mos miemros de l ecución por, 4 cy - = - x ( y c) se elevn l cudrdo mos miemros de l ecución x ( y c) (cy ) = se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro se tiene el cudrdo de un rest, mientrs que en el segundo miemro desprece el cudrdo con l ríz, desprece el signo por ser l potenci de exponente pr y de se negtiv. c y + 4 -yc = ((x +(y-c) ) se desrroll el cudrdo de l rest que prece en el segundo miemro de l ecución c y + 4 -yc = (x +y -cy+c )= x + y -cy + c se psn l primer miemro los términos que contengn, x, ó, y, y l segundo miemro los restntes términos c y -yc - x +cy - y = c - 4 se sumn los términos semejntes en el primer miemro c y - x - y = c - 4 se cmin de signo todos los términos de l ecución -c y + x + y = - c + 4 se scn, y, fctor común en el primer miemro de l ecución, y,, fctor común en el segundo miemro de l ecución y ( -c )+ x = ( -c ) se tiene en cuent l relción existente entre los prámetros,,, y, c, de l elipse = +c = -c se sustituye este resultdo en l expresión nterior x + y = se dividen los dos miemros de l ecución por, x y cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 45

19 se simplific cd un de ls frcciones x y 1 Elipse horizontl con sus ejes prlelos los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l elipse situd horizontlmente con sus eje myor prlelo l eje crtesino, X, su eje menor prlelo l eje crtesino, Y, y su centro en el punto, O (h,k), del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se F(h+c,k) F (h-c,k) coordends de los focos A(h+,k), A (h-,k) B(h,k+), B (h,k-) coordends de los vértices (x,y) si se trsldn los ejes de coordends del sistem de referenci, O,X,Y, l punto, O (h,k), el nuevo sistem de referenci, O,X,Y, resultnte drí pr l ecución de l elipse l expresión x ' y ' 1 entre ls coordends del punto P, (x,y), y, (x,y ), en mos sistems de referenci existe l relción x= x +h x = x-h y= y +k y = y-k se sustituyen estos resultdos en l ecución de l elipse en el sistem, O,X,Y, se otiene l ecución de l elipse cundo su centro está en el punto, (h,k), y su eje myor es prlelo l eje, X, referid l sistem de referenci, O,X,Y. x h y k 1 Elipse verticl con sus ejes prlelos los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l elipse situd verticlmente con sus eje myor prlelo l eje crtesino, Y, su eje menor prlelo l eje crtesino, X, y su centro en el punto, O (h,k), del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y (x,y) Se F(h,k+c) F (h,k-c) coordends de los focos A(h,k+), A (h,k-) cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 46

20 B(h+,k), B (h-,k) coordends de los vértices si se trsldn los ejes de coordends del sistem de referenci, O,X,Y, l punto, (h,k), el nuevo sistem de referenci, O,X,Y, resultnte drí pr l ecución de l elipse l expresión x ' y ' 1 entre ls coordends del punto P, (x,y), y, (x,y ), en mos sistems de referenci existe l relción x= x +h x = x-h y= y +k y = y-k se sustituyen estos resultdos en l ecución de l elipse en el sistem, O,X,Y, se otiene l ecución de l elipse cundo su centro está en el punto, (h,k), y su eje myor es prlelo l eje, Y, referid l sistem de referenci, O,X,Y. x h y k 1 Se llm excentricidd de l elipse l prámetro definido por el cociente e= c prámetro que mide el grdo de chtmiento de l elipse. Ddo que el vlor de, c, es menor que el vlor de,, se tiene e< 1 l excentricidd es un prámetro cuyo vlor está comprendido entre, 0, y, 1: e 0, cundo c 0 Los dos focos, F, y, F, se proximn. En el límite mos son coincidentes en el centro de l elipse y ést tiende convertirse en un circunferenci. L relción entre los prámetros,,, c, de l elipse se reduce en este cso = +c = +0 = = l ecución de l elipse se trnsform en l ecución de un circunferenci. x y 1 se hce el mínimo común múltiplo en el primer miemro de l ecución y se escrie x y 1 cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 47

21 se elimin el denomindor psándolo l segundo miemro de l ecución, ést se trnsform en l ecución de un circunferenci con centro en el origen del sistem de referenci y rdio,. x + y = e 1, cundo c Los vértices, B, y, B' se proximn l centro de l elipse, y ést tiende convertirse en el segmento, AA'. L relción entre los prámetros,,, c, de l elipse se reduce en este cso = +c = + de donde se deduce que 0= = 0 l ecución de l elipse se trnsform en l ecución de un rect. x y 0 1 se hce el mínimo común múltiplo en el primer miemro de l ecución y se escrie 0x y 0 1 se elimin el denomindor psándolo l segundo miemro de l ecución, ést se trnsform en l ecución de un rect, en l ecución que define l eje X. y = 0 de donde y = 0 y= 0 ecución del eje X Un ecución de segundo grdo de dos vriles Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F= 0 represent un elipse si: A,C tienen el mismo signo B= 0 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F= 0 Ax +Cy +Dx+Ey+F= 0 si completndo cudrdos se lleg que en el segundo miemro de l iguldd es un número positivo. No serí un elipse cundo después de completr cudrdos en el segundo miemro de l iguldd result un número negtivo o nulo. cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 48

22 Hipérol Es el lugr geométrico de los puntos del plno tles que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte e igul l eje trnsverso,, de l hipérol. En un hipérol se distinguen los siguientes elementos: Focos los puntos, F, y, F Eje focl Vértices Eje myor Eje menor l rect que ps por los focos. El segmento, FF, de longitud, c, es l distnci focl los puntos, A, A, B, y, B. Los puntos, A, y, A, vienen ddos por l intersección de l hipérol con el eje focl. Los puntos, B, y, B, se otienen como intersección del eje menor con l circunferenci que tiene por centro uno de los vértices, A, ó, A, por rdio l semidistnci focl, c el segmento, AA, de longitud, ª. Tmién se le llm eje trnsversl el segmento, BB, de longitud,. Es l meditriz del segmento, FF. Se le conoce tmién por eje imginrio Ejes de simetrí ls rects que contienen l eje rel ó l eje imginrio. Centro P el punto de intersección del eje focl y del eje menor o imginrio punto genérico de l elipse Rdios vectores los segmentos, FP, y, FP, que unen respectivmente los focos, F, y, F, con el punto, P Asíntots ls rects, OC, y, OC, oteniéndose los puntos, C, y, C por l intersección de ls línes que slen de los puntos, A, y, A, prlels l eje imginrio, y de los puntos, B, y, B, prlels l eje myor. por l definición de hipérol se escrie: Si, P= A Como l diferenci de los rdio vectores es constnte F A - FA= F A + A A FA= A A=. F A = FA generlizndo el resultdo un punto genérico, P, de l hipérol se escrie c > F P FP=. En el triángulo, PF F, se oserv que cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 49

23 c> F P FP=. de donde c > por l geometrí de l construcción de l hipérol, el triángulo, OAB, es rectángulo y sus ldos miden,,, y, c, respectivmente, siendo, c, l hipotenus del mismo. Por el teorem de Pitágors se escrie. c = + L ecución de l hipérol depende de su orientción con respecto l sistem de referenci cnónico: Hipérol horizontl con sus ejes coincidentes con los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l hipérol situd horizontlmente con sus eje myor coincidente con el eje crtesino, X, su eje menor coincidente con el eje crtesino, Y, y su centro con el origen, O, del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se O(0,0) centro de l hipérol. Punto de intersección de los ejes de l hipérol P(x,y) punto genérico de l hipérol F (-c,0) F(c,0) focos de l hipérol sore el eje X FF = c r FF PF= d PF = d distnci focl de l hipérol. Es l longitud del segmento, FF, de vlor, c, siendo, c, l semidistnci focl eje focl de l hipérol longitud de los rdios vectores del punto genérico, P, de l hipérol A(,0), A (-,0) vértices de l hipérol. Son los puntos de intersección de l hipérol con su eje myor AA = eje myor de l hipérol. Es el segmento, AA, de longitud,, siendo,, el vlor de semieje myor. Es un eje de simetrí de l hipérol B(0,), B (0,-) interes considerr estos dos puntos sore el eje menor de l hipérol de modo que los segmentos, OB, y, OB, tengn de longitud,. De est form ls distncis,,, y, c, son los ldos de un triángulo rectángulo, en el que, c, es su hipotenus. Así: c = + BB = eje menor o secundrio de l hipérol. Es el segmento, BB, de longitud,, siendo,, el vlor del semieje menor. Es un eje de simetrí de l hipérol cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 430

24 O centro de simetrí. Es el punto de intersección de los ejes de simetrí Se plic l definición dd pr l hipérol F P - FP= Se expresn ests distncis en función de ls coordends de los puntos, P, y, F, en el sistem de referenci cnónico del plno. F P= d(p,f )= ( ) 0 x c y x c y FP= d(p,f)= 0 x c y x c y se sustituyen estos resultdos en l expresión de l definición de l hipérol y se otiene un ecución rdicl x c y x c y se dej en un miemro un de ls ríces x c y x c y se elevn l cudrdo mos miemros de est ecución x c y x c y se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo se tiene el cudrdo de un rest 4 x c y (x+c) +y = 4 + (x-c) +y + se otiene de nuevo un ecución rdicl. Se despej en un miemro de l mism el término que contiene l ríz 4 x c y (x+c) +y -4 - (x-c) -y = se desrrolln los cudrdos de l sum y de l rest que precen en el primer miemro de est ecución 4 x c y x +c +cx+y -4 - (x +c -xc)-y = se eliminn el préntesis del primer miemro de l ecución 4 x c y x +c +cx+y -4 - x -c +xc-y = se sumn los términos semejntes en el primer miemro de l ecución cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 431

25 4 x c y 4cx -4 = se sc, 4, fctor común en el primer miemro de l ecución 4 x c y 4(cx - )= se dividen mos miemros de l ecución por, 4 x c y cx - = se elevn l cudrdo mos miemros de l ecución (cx - ) = x c y se desrroll, en el primer miemro se tiene el cudrdo de un rest, mientrs que en el segundo miemro desprece el cudrdo con l ríz. c x + 4 -xc = ((x-c) +y ) se desrroll el cudrdo de l rest que prece en el segundo miemro de l ecución c x + 4 -xc = (x +c -cx+y )= x + c -cx + y se ps l primer miemro los términos que contengn, x, o, y, y l segundo miemro los restntes términos c x -xc - x +cx - y = c - 4 se sumn en el primer miemro los términos semejntes c x - x - y = c - 4 se sc, x, fctor común en el primer miemro de l ecución, y,, fctor común en el segundo miemro de l ecución x (c - )- y = (c - ) si se tiene en cuent l relción existente entre los prámetros,,, y, c, de l hipérol c = + = c - se sustituye este resultdo en l expresión nterior x - y = se dividen los dos miemros de l ecución por, x y y se simplific cd un de ls frcciones cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 43

26 x y 1 se otiene l ecución de l hipérol cundo su centro está en el origen, O, del sistem de referenci del plno, O,X,Y, y sus ejes myor y secundrio coinciden con los ejes de scis, X, y ordend, Y, respectivmente del sistem de referenci. Conocid l ecución de l hipérol se puede determinr con ell: Puntos de corte de l elipse con los ejes coordendos Puntos de corte con el eje, X Se otienen de est form ls coordends de sus vértices, A, A. L condición mtemátic que se h de imponer es que en ellos, y= 0 x 0 1 x 1 x = x= x= los puntos de corte con el eje, X, son A(,0) A'(-,0) Puntos de corte con el eje, Y L condición mtemátic que se h de imponer es que en ellos, x= 0 0 y 1 y 1 -y = y = - y= ecución que no tiene solución por trtrse de un ríz negtiv. L hipérol no cort l eje, Y. cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 433

27 Simetrí de l hipérol L hipérol sí definid es simétric respecto de los ejes, X, e, Y, del sistem de referenci y del origen, O, de dicho sistem de referenci. Asíntots de l hipérol Si por los vértices, A(,0), y, A (-,0), de l hipérol se trzn rects perpendiculres l eje myor, y por los puntos, B(0,), y, B (0,-), se trzn rects perpendiculres l eje menor, se otiene un rectángulo llmdo, rectángulo fundmentl de l hipérol, que tiene por dimensiones,, y,. Ls digonles de este rectángulo tienen por ecuciones respectivmente y=.x y= -.x puesto que son rects que psn por el origen de coordends, O(0,0), y por los puntos, (,), y, (,-), respectivmente. Ests dos rects son ls síntots de l hipérol, es decir son rects ls que se proximn ls rms de l hipérol sin llegr tocrls nunc. Por geometrí l hipérol tiene dos síntots cuys pendientes son respectivmente m= m = - simismo ls síntots psn por el origen, O(0,0), del sistem de referenci. De est form ls ecuciones de ls síntots l hipérol expresds en form punto pendiente vienen dds por y-0=.(x-0) y=.x y-0= -.(x-0) y= -.x Hipérol conjugd Pr tod hipérol: Centrd en el origen, O, del sistem de referenci Con su eje myor prlelo l eje, X Que tiene por focos los puntos, F(c,0), y, F (-c,0) cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 434

28 Que tiene por ecución x y 1 Cuys síntots son ls rects y=.x y= -.x existe otr hipérol, denomind conjugd de l nterior, que tiene ls misms síntots, cuyos focos están sore el eje, Y, en los puntos, (0,c), y, (0,-c), y que tiene por ecución y x 1 Hipérol equiláter Es quell hipérol en l que el eje myor y el eje menor miden los mismo.=. = su ecución se escrie x y 1 eliminndo denomindores x - y = ls síntots de l hipérol equiláter vienen dds por ls expresiones y=.x=.x= x m= 1 y= -.x= -.x= -x m = -1 y coinciden con ls isectrices del primer y segundo cudrnte. El vlor de sus pendientes indic que ms síntots son perpendiculres pues verificn l relción de ortogonlidd m = 1 1 = -1 m 1 se puede entonces referir l ecución de l hipérol l sistem de referenci ortogonl definido por, O,X,Y. Si se tiene en cuent que l ángulo girdo por estos cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 435

29 nuevos ejes es, -45º, con respecto los ejes del sistem de referenci, O,X,Y, ls coordends de un punto en el sistem de referenci, O,X,Y, están relcionds con sus coordends en el nuevo sistem de referenci, O,X,Y, trvés de ls expresiones x= x cos - y sen = x cos (-45º) y sen (-45º)= y= x sen + y cos = x sen (-45º) + y cos (-45º)= x' y ' x' y ' se sustituyen estos vlores en l ecución de l hipérol equiláter x - y = se escrie x' y' x' y ' se desrrolln los cudrdos del primer miemro de est ecución x' x' y ' y ' x' x' y ' y ' se eliminn los denomindores x +y +x y -x -y +x y = se sumn en el primer miemro los términos semejntes 4x y = x y = se llm k= l ecución de l hipérol equiláter referid sus síntots es de l form x.y = k y = x' k se verific: k>0, ls rms de l hipérol se encuentrn sore el primer y tercer cudrnte. k<0, ls rms de l hipérol se encuentrn sore el segundo y curto cudrnte. cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 436

30 Rect tngente l hipérol en un punto, P, de ell Se P(x 0,y 0 ) punto genérico de l hipérol pr hllr l rect tngente l hipérol en este punto, P, st con conocer el vlor de l pendiente de dich rect, que por l definición de derivd, coincide con el vlor de l derivd de l función que define l hipérol en ese punto, P. Pr determinr l función que define l hipérol se prte de su ecución x y 1 en est ecución se eliminn los denomindores x - y = se dej en el primer miemro el término que contiene l vrile, y - y = - x + se cmi el signo en los dos miemros y = x - se despej l vrile, y, con lo que se tiene l función que define l elipse y = x x l derivd de est función es y.y =..x de donde y = x x y y l pendiente en el punto, P(x 0,y 0 ), es pues y = x0 0 y = f (x 0) l ecución de l rect tngente l hipérol en el punto, P, es pues y y 0 = f (x 0 ).(x-x 0 ) los rdiovectores del punto, P, de l hipérol formn el mismo ángulo con l rect tngente l hipérol en ese punto. cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 437

31 Rect norml l hipérol en un punto, P, de ell Si se tiene en cuent que l rect norml en el punto, P, es ortogonl l rect tngente en dicho punto, su pendiente viene dd por m = 1 f '( x ) 0 l ecución de l rect norml l hipérol en el punto, P, es pues y y 0 = 1 f '( x ).(x-x 0 ) 0 Hipérol verticl con sus ejes coincidentes con los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l hipérol situd verticlmente con sus eje myor coincidente con el eje crtesino, Y, su eje menor coincidente con el eje crtesino, X, y su centro con el origen, O, del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y. Se O(0,0) P(x,y) centro de l hipérol. Punto de intersección de los ejes de l hipérol punto genérico de l hipérol F (0,-c) F(0,c) focos de l hipérol sore el eje Y FF = c r FF PF= d PF = d distnci focl de l hipérol. Es l longitud del segmento, FF, de vlor, c, siendo, c, l semidistnci focl eje focl de l hipérol longitud de los rdios vectores del punto genérico, P, de l hipérol A(0,), A (0,-) vértices de l hipérol. Son los puntos de intersección de l hipérol con su eje myor AA = eje myor de l hipérol. Es el segmento, AA, de longitud,, siendo,, el vlor de semieje myor. Es un eje de simetrí de l hipérol B(.0), B (-,0) interes considerr estos dos puntos sore el eje menor de l hipérol de modo que los segmentos, OB, y, OB, tengn de longitud,. De est form ls distncis,,, y, c, son los ldos de un triángulo rectángulo, en el que, c, es su hipotenus. Así: c = + BB = O eje menor o secundrio de l hipérol. Es el segmento, BB, de longitud,, siendo,, el vlor del semieje menor. Es un eje de simetrí de l hipérol centro de simetrí. Es el punto de intersección de los ejes de simetrí cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 438

32 se plic l definición dd pr l hipérol F P - FP= se expresn ests distncis en función de ls coordends de los puntos, P, y, F, en el sistem de referenci cnónico del plno. F P= d(p,f )= x 0 y ( c) x y c FP= d(p,f)= x 0 y c x y c se sustituyen estos resultdos en l expresión de l definición de l hipérol y se otiene un ecución rdicl. x y c x y c se dej en un miemro un de ls ríces x y c x y c se elevn l cudrdo mos miemros de est ecución x y c x y c se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo se tiene el cudrdo de un rest 4 x y c x +(y+c) = 4 + x +(y-c) + se otiene de nuevo un ecución rdicl. Se despej en un miemro de l mism el término que contiene l ríz 4 x y c x +(y+c) -4 - x - (y-c) = se desrrolln los cudrdos de l sum y de l rest que precen en el primer miemro de est ecución 4 x y c x +y +cy+c -4 x - (y +c -cy) = se eliminn el préntesis del primer miemro de l ecución 4 x y c x +y +cy+c -4 - x - y -c +cy = se sumn los términos semejntes en el primer miemro de l ecución 4 x y c 4cy -4 = cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 439

33 se sc, 4, fctor común en el primer miemro de l ecución 4(cy - )= 4 x y c se dividen mos miemros de l ecución por, 4 cy - = x y c se elevn l cudrdo mos miemros de l ecución (cy - ) = x y c se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro se tiene el cudrdo de un rest, mientrs que en el segundo miemro desprece el cudrdo con l ríz c y + 4 -yc = ((x +(y-c) ) se desrroll el cudrdo de l rest que prece en el segundo miemro de l ecución c y + 4 -yc = (x +y -cy+c ) se elimindo el préntesis en el segundo miemro de l ecución c y + 4 -yc = x + y -cy + c se ps l primer miemro los términos que contengn, x, o, y, y l segundo miemro los restntes términos c y -yc - x +cy - y = c - 4 se sumn los términos semejntes en el primer miemro de l ecución c y - x - y = c - 4 se sc, y, fctor común en el primer miemro de l ecución y,, fctor común en el segundo miemro de l ecución y (c - ) - x = (c - ) se tiene en cuent l relción existente entre los prámetros,,, y, c, de l hipérol c = + = c - se sustituye este resultdo en l expresión nterior y - x = se dividen los dos miemros de l ecución por, y x se simplific cd un de ls frcciones y x 1 cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 440

34 Hipérol horizontl con sus ejes prlelos los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l hipérol situd horizontlmente con sus eje myor prlelo l eje crtesino, X, su eje menor prlelo l eje crtesino, Y, y su centro en el punto, O (h,k), del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se F(h+c,k) F (h-c,k) A(h+,k), A (h-,k) B(h,k+), B (h,k-) coordends de los focos vértices de l hipérol Interes considerr estos dos puntos sore el eje menor de l hipérol de modo que los segmentos, OB, y, OB, tengn de longitud,. De est form ls distncis,,, y, c, son los ldos de un triángulo rectángulo, en el que, c, es su hipotenus. Así: c = + si se trsldn los ejes de coordends del sistem de referenci, O,X,Y, l punto, O (h,k), el nuevo sistem de referenci, O,X,Y, resultnte drí pr l ecución de l hipérol l expresión x' y' 1 entre ls coordends del punto P, (x,y), y, (x,y ), en mos sistems de referenci existe l relción x= x +h x = x-h y= y +k y = y-k se sustituyen estos resultdos en l ecución de l hipérol en el sistem, O,X,Y, se otiene l ecución de l hipérol cundo su centro está en el punto, (h,k), y su eje myor es prlelo l eje, X, referid l sistem de referenci, O,X,Y. x h y k 1 ls síntots de est hipérol vienen dds por y-k= (x-h) Hipérol verticl con sus ejes prlelos los del sistem de referenci Pr determinr l ecución de l hipérol situd verticlmente con sus eje myor prlelo l eje crtesino, Y, su eje menor prlelo l eje crtesino, X, y su centro en el punto, O (h,k), del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se F(h,k+c), F (h,k-c) coordends de los focos cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 441

35 A(h,k+), A (h,k-) B(h+,k), B (h-,k) coordends de los vértices interes considerr estos dos puntos sore el eje menor de l hipérol de modo que los segmentos, OB, y, OB, tengn de longitud,. De est form ls distncis,,, y, c, son los ldos de un triángulo rectángulo, en el que, c, es su hipotenus. Así: c = + si se trsldn los ejes de coordends del sistem de referenci, O,X,Y, l punto, (h,k), el nuevo sistem de referenci, O,X,Y, resultnte drí pr l ecución de l hipérol l expresión y ' x' 1 entre ls coordends del punto P, (x,y), y, (x,y ), en mos sistems de referenci existe l relción x= x +h x = x-h y= y +k y = y-k se sustituyen estos resultdos en l ecución de l hipérol en el sistem, O,X,Y, se otiene l ecución de l hipérol cundo su centro está en el punto, (h,k), y su eje myor es prlelo l eje, Y, referid l sistem de referenci, O,X,Y. y k x h 1 Se define l excentricidd de l hipérol como el cociente e= c > 1 ddo que, c> l excentricidd mide el grdo de curvtur de ls dos rms de l hipérol, es decir, mide l ertur myor o menor de ls rms de l hipérol. A myor excentricidd, menor curvtur. Si, c e1 Ls dos rms de l hipérol se cierrn cd vez más y se proximn ls semirrects de origen los vértices, A, y, A, prlels l eje myor de l hipérol. Si, c e Ls dos rms de l hipérol se ren cd vez más y se proximn ls rects que psn por los puntos, A, y, A, perpendiculres l eje myor de l hipérol. cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 44

36 Un ecución de segundo grdo de dos vriles Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F= 0 represent un hipérol si: A,C tienen distinto signo B= 0 Ax +Bxy-Cy +Dx+Ey+F= 0 Ax -Cy +Dx+Ey+F= 0 Se puede psr un expresión como l nterior completndo cudrdos perfectos. Dich reducción result imposile cundo se lleg un expresión en l que el primer miemro es un diferenci de cudrdos perfectos y el segundo miemro es nulo. Práol Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo, F, llmdo foco y de un rect fij llmd directriz. En un práol se distinguen los siguientes elementos: Foco Directriz Eje Vértice, V Rdiovector Cuerd focl el punto, F l rect, r, perpendiculr l eje de l práol distnte del foco un longitud, p, igul l prámetro de l práol. El vértice, O, de l práol equidist de l directriz y del foco l rect que ps por el foco, F, y por el vértice, O, de l práol. El eje es perpendiculr l directriz. el punto, V, de intersección de l práol con su eje el segmento, FP, que une un punto culquier de l práol con el foco el segmento que une dos puntos de l práol psndo por el foco Prámetro, p l distnci, d(f,r directriz ), desde el foco, F, l directriz por l definición de práol se escrie PF= d(p,r directriz ) cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 443

37 l ecución de l práol depende de su orientción con respecto l sistem de referenci cnónico: Práol horizontl con su eje coincidente con el eje horizontl del sistem de referenci y su vértice en el origen de dicho sistem de referenci Pr determinr l ecución de l práol situd horizontlmente con sus eje myor coincidente con el eje crtesino, X, y su vértice, V, coincidente con el origen, O, del sistem de referenci rectngulr, O,X,Y Se O(0,0) P(x,y) F p,0 FD= p p x= - vértice de l práol punto genérico de l práol foco de l práol prámetro de l práol directriz de l práol perpendiculr l eje, X, que es el eje de l práol se verific: PD= d(p,r directriz )= x+ p PF= d(p,f)= x p y se iguln mos resultdos p x y x p y result un ecución rdicl. Elevndo l cudrdo mos miemros de est ecución p p x y x se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo miemro se tiene el cudrdo de un sum p p x y x xp 4 se desrroll el cudrdo de l rest en el primer miemro de est ecución cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 444

38 p p x xp x xp 4 4 se psn todos los términos l primer miemro de l ecución p p x xp x xp se sumn los términos semejntes y xp= 0 se despej el término que contiene l ordend, y y = px Puede ocurrir que l práol esté orientd en sentido opuesto l indicdo en este estudio. Se tiene entonces O(0,0) P(x,y) F p,0 FD= p vértice de l práol punto genérico de l práol foco de l práol prámetro de l práol D directriz de l práol perpendiculr l eje, X, que es el eje de l práol. Su ecución viene dd por x= p se verific: PD= d(p,r directriz )= -x+ p PF= d(p,f)= x p y se iguln mos resultdos p x y x p y result un ecución rdicl. Se elevn l cudrdo mos miemros de est ecución p p x y x cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 445

39 se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo miemro se otiene el cudrdo de un sum p p x y x xp 4 se desrroll el cudrdo de l sum en el primer miemro de est ecución p p x xp x xp 4 4 se psn todos los términos l primer miemro de l ecución p p x xp x xp se sumn los términos semejntes y + xp= 0 se despej el término que contiene l ordend, y y = -px Práol horizontl con su eje prlelo con el eje horizontl del sistem de referenci y su vértice en el punto, V(h,k), de dicho sistem de referenci Se V(h,k) P(x,y) F p h, k FD= p p x= h- vértice de l práol punto genérico de l práol foco de l práol prámetro de l práol. directriz de l práol perpendiculr l eje, X, el cul es prlelo l eje de l práol. pr otener l ecución de l práol se diuj un nuevo sistem de referenci, V,X,Y, con origen en el punto, V, vértice de l práol y cuyos ejes, X,Y, sen prlelos los ejes, X,Y, del referenci inicil, O,X,Y. En este nuevo sistem de referenci, V.X,Y, l ecución de l práol es y = px si se tienen en cuent ls fórmuls de trslción de ejes que relcionn ls coordends en el nuevo sistem de referenci, V,X,Y, con l coordends en el sistem de referenci, O,X,Y x= h + x cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 446

40 y= k + y se despejn de ells los vlores de, x, e, y, x = x h y = y - k y se sustituye en l expresión de l práol pr el sistem de referenci, V,X,Y, result (y-k) = p(x-h) Si l práol estuviese orientd en sentido opuesto se otendrí por ecución (y-k) = -p(x-h) Práol verticl con su eje coincidente con el eje verticl del sistem de referenci y su vértice en el origen de dicho sistem de referenci Se O(0,0) P(x,y) vértice de l práol punto genérico de l práol p F0, foco de l práol FD= p y= - p prámetro de l práol directriz de l práol perpendiculr l eje, Y, el cul es el eje de l práol se verific: PD= d(p,r directriz )= y+ p PF= d(p,f)= x y p se iguln mos resultdos p x y y p y result un ecución rdicl. Se elevn l cudrdo mos miemros de est ecución p p x y y cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 447

41 se desrrolln mos miemros de l ecución, en el primer miemro desprece el cudrdo con l ríz, mientrs que en el segundo miemro se otiene el cudrdo de un sum p p x y y xp 4 se desrroll el cudrdo de l rest en el primer miemro de est ecución p p x y xp y xp 4 4 se psn todos los términos l primer miemro de l ecución p p x y xp y xp se sumn los términos semejntes x yp= 0 se despej el término que contiene l ordend, y x = py Si l práol estuviese orientd en sentido opuesto se otendrí por un rzonmiento nálogo l ecución x = -py Práol verticl con su eje prlelo con el eje verticl del sistem de referenci y su vértice en el punto, V(h,k), de dicho sistem de referenci Se V(h,k) P(x,y) F( p h, k FD= p y= h- p vértice de l práol punto genérico de l práol foco de l práol prámetro de l práol directriz de l práol perpendiculr l eje, Y, quien es prlelo l eje de l práol. pr otener l ecución de l práol se diuj un nuevo sistem de referenci, V,X,Y, con origen en el punto, V, vértice de l práol y cuyos ejes, X,Y, sen prlelos los ejes, X,Y, del referenci inicil, O,X,Y. En este nuevo sistem de referenci, V.X,Y, l ecución de l práol es x = py si se tienen cuent ls fórmuls de trslción de ejes que relcionn ls coordends en el nuevo sistem de referenci, V,X,Y, con l coordends en el sistem de referenci, O,X,Y cónics Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 448