Matemáticas II * Análisis II: Derivadas y sus aplicaciones *

Transcripción

1 I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Análisis II: Derivadas y sus aplicaciones * 1. Determina la función derivada de las siguientes funciones: a) f ()= b) f ( )=5 v) f ()= c) f ()= 1 w) f ()= 1 + aq) ar) as) f ( )=sen ln f ()=e f =ln d) f ( )=5 ( 1) e) f ( )= +1 f) f ( )= g) f ( )= 3 ln h) f ()=cos tg i) f ()= 7 j) f ()=sen tg k) f ()= arcos l) f ( )=e ln + 1 m) f ()= ln n) f ()= e +3 3 ln o) f ()= cos +sen p) f ()=cos q) f ()= 4 5 r) f ( )=( 3 ) s) f ( )= + + t) f ()=(e + ) 3 u) f ( )= 3 log 4 ( ) ) f ()=ln 3 y) f ()=ln 3 z) f ()=e aa) ab) f ()=sen f ()= sen ac) f ( )=sen(cos ) ad) f ()=cos( sen ) ae) f ()= 3 e 3 af) f ()=arctg ag) f ( )=ln ( sen( )) ah) f ()=sen ( ln( )) ai) f ()=sen (ln ) aj) ak) al) am) f ()= 1+ sen f ( )=e 3 f ()= e +e f ( )= e e an) f ()=( sen ) ln ao) f ( )= ²+ ap) f ()=arcsen +1 at) f = 7 7 au) f = 1 av) aw) a) ay) az) ba) bb) f =ln 1 sen 1 sen f =arcsen tg 3 f =cos 1 f = a f = f = f =arctg 1 bc) f = 3 bd) be) bf) f =log f = f =ln 1 e bg) f ( )=sen( )cos( ) bh) f ( )= 1+

2 . Representa gráficamente las siguientes funciones: a) f = 1 1 b) f = 3 c) f = ln 1 d) f =e e) f = 1 f) f = 1 3 g) f = 3 4 f = 1 h) f = 3 i) f = 1 1 j) f = e e k) f = e e l) f = e e e e 3. Escribe la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de las siguientes funciones en el punto que se indica: a) a( )= 3 en = 1 e) e( )= en =3 1 b) b( )= en = c) c( )=ln en =1 f) f ()=ln 1 en =1 g) g( )=sen en = π 6 d) d ( )=e 3 en = 4. Calcula los siguientes límites: a) 1 cos lim e 1 b) ln 1 lim 4 3 c) lim d) lim e) lim f) lim 1 a b ln e 3 sen sen 1 e h) i ()=ln(6 ) en =3 g) lim ln 1 h) lim 1 tg i) lim j) lim k) lim tg ln 3 sen sen cos 5. Encuentra el área del triángulo que forma con los ejes coordenados la recta tangente a la gráfica de la función f =3 en =1. 6. Dada la función f =3, encuentra un punto en el que la recta tangente a su gráfica sea paralela al segmento que une los puntos (0, 0) y (4, 48).

3 7. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f = en su punto de infleión. 8. Determina el ángulo que forman las gráficas de f = y g = 1 en el punto en que se cortan. 9. Halla el valor del parámetro c de modo que la función f = e presente un único c punto singular. Se trata de un máimo local, un mínimo local o un punto de infleión? 10.Dada la función f = 1 ln, determina cuáles de las rectas tangentes a la gráfica de f() en el intervalo [1, e] tienen la máima pendiente. 11.De una función f() sabemos que f '(a)=f ''(a)=0 y que f '''(a)=5. Podemos asegurar que f() tiene máimo, mínimo o punto de infleión en =a? 1. Dada la función f()= 3 + a + b, halla el valor de los parámetros a y b para que las rectas tangentes a la gráfica de la función en = y =4 sean paralelas al eje OX. 13.Calcula el punto de la gráfica de f = 1 1 en el que la pendiente sea máima. 14.Calcula los valores del parámetro a que hacen que las tangentes de la curva y=a 4 + a 3 a en los puntos de infleión sean perpendiculares entre sí. 15.Encuentra los valores de los parámetros a y b para que f ={ sen si 0 a b si sea derivable en =0. 16.Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde lo alto de una torre, de manera que su altura, en metros, viene descrita por al ecuación h(t) = -16t + 64t +80 donde t son los segundos transcurridos desde su lanzamiento. En qué instante alcanzará la pelota su altura máima? 17.Una fábrica se encuentra a la orilla de un río de 100 m de ancho. Aguas abajo, a 00 m, hay una central eléctrica en la orilla contraria. Se quiere hacer un tendido eléctrico desde la fábrica hasta la central eléctrica. Si el coste del tendido es de 00 /m sobre tierra y de 300 /m sobre el agua, determina en qué punto ha de cruzar el cable el río para que el coste del tendido sea mínimo. 18.Las ciudades A, B y C están situadas como indica la figura. Se quiere construir una autopista que enlace A con C. Cada kilómetro de autopista cuesta 50000, pero si se aprovecha la carretera eistente entre B y C el coste es de sólo Cómo ha de construirse la autopista para que el coste sea mínimo? B A 40 km 80 km C

4 19.De una hoja circular se corta un sector formándose un cono. Calcula las dimensiones del cono que, construido de esta forma, tiene el volumen máimo (Volumen del cono = 1/3 Área de la base altura ) 0. Qué ángulo deben formar dos segmentos de 5 y 6 unidades para que el triángulo formado por su etremo común y sus etremos libres tenga área máima? 1.Con una cartulina de cm se construye una caja recortando un cuadrado de cada esquina y doblando las solapas resultantes. Cuáles serán las dimensiones de dicha caja para que el volumen contenido sea máimo?.un almacén con forma de prisma recto tiene un volumen de 137 m 3 y tal que mide el doble de largo que de ancho. La pérdida de calor a través de las paredes laterales es de 1 W por metro cuadrado y a través del techo de 3 W por metro cuadrado. Suponiendo que la pérdida a través del suelo es nula, determina las dimensiones del almacén para minimizar las pérdidas de calor. 3.Se quiere fabricar una lata de refresco cilíndrica con una capacidad de 00 cm 3. Calcula sus dimensiones (radio y altura) de manera que la cantidad de hoja de acero que se utilice en su fabricación sea mínima. 4.Se quiere construir una gasolinera en un terreno rectangular de 1800 m de superficie junto a a una autopista. Hay que cercar los lados del terreno que no dan a la autopista. Cuáles han de ser las dimensiones del terreno para que la cantidad de valla sea mínima? 5.Con 00 m de alambre se quiere vallar un terreno de la mayor superficie posible. Determina las dimensiones del terreno en las situaciones siguientes: a) Se trata de un terreno rectangular y hay que vallar los cuatro lados. b) Se trata de un terreno rectangular que linda por uno de sus lados con un acantilado y sólo hay que vallar los otros tres lados. c) Se trata de un terreno con forma de triángulo isósceles del que sólo hay que vallar los dos lados iguales, el otro da a un acantilado. d) Es un terreno con forma de sector circular que hay que vallar completo(dos lados rectos y uno curvo) 6.Un almacén de fruta dispone de 4000 kg de naranjas. Actualmente el precio de las naranjas es de 40 céntimos el kg. Cada día que pasa, debido al desabastecimiento del mercado, el precio de las naranjas sube en 1 céntimo. Si los costes de almacenamiento ascienden a 10 por día, y cada día se estropean 50 kg de fruta, cuánto hay que esperar para vender las naranjas con el mayor beneficio? 7.Una empresa de teléfonos móviles va a sacar un nuevo modelo y antes de hacerlo encarga un estudio de mercado. En dicho estudio de mercado llegan a la conclusión de que poniendo un precio de venta de 150 conseguirían venderse unidades. El mismo estudio de mercado sugiere que por cada 10 de aumento en el precio de venta se venderían teléfonos menos. Sabiendo esto, con qué precio de venta se consiguen los mayores beneficios?

5 8.Con cuatro palos de 4 m de largo se quiere construir la estructura de un tipi ( tepee, tienda india) con base cuadrada. A qué distancia hay que situar entre sí las bases de los palos para que el volumen de la tienda sea máimo?, cuántas pieles de bisonte hacen falta para cubrir la tienda? (Nota: es ampliamente conocido que una piel de bisonte adulto da para cubrir 3,5 m²; algo menos conocido es el hecho de que el volumen de una pirámide es V = A base altura 3 9.Un estudio clínico ha establecido que la concentración en sangre de cierto antitumoral se puede epresar como c(t)= d t p+ t donde c es la concentración en mg/l de sangre, d es la dosis inicial en mg, p es el peso del paciente en kg y t es el tiempo en horas transcurrido desde su administración. a) Encuentra una epresión para conocer el momento de mayor concentración y la concentración máima del medicamento en función de la dosis inicial y el peso del paciente. Aplícala a un paciente de 81 kg que recibe una dosis inicial de 4 mg. b) Representa en un gráfico la concentración a lo largo del tiempo en un caso clínico de administración de 3 mg de antitumoral a un niño de 36 kg de peso. 30.Determina los parámetros a, b y c para que la función: f ={ a b si c 1 si cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. En qué punto se cumple la tesis? 3 31.Sea f =1. Prueba que f(1)=f(-1)=0, pero que f '() no se anula nunca en el intervalo [-1, 1]. Eplica por qué este resultado contradice, aparentemente, el Teorema de Rolle. 3.Determina los parámetros a y b para que la función: f ={ a 3 si 4 10 b si 4 cumpla las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [, 6]. Dónde se cumple la tesis? 33. Se tiene la función: 1 si < 1 f ( )={ 3 si 1 0 Prueba que satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [-, 0] y calcula los puntos en que se cumple. 34.Calcula b para que la función f() = cumpla el Teorema de Rolle en el intervalo [0, b] y encuentra el punto concreto en que lo satisface. 35.Sea f() una función continua y derivable en todo R y tal que f(0)=3. Determina cuánto ha de valer f(5) para asegurar que en el intervalo [0, 5] eiste un un valor c tal que f ' (c)=8. )

6 36.(P.A.U. 009) Sea la función 1 f ={ si si 3 a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f(). b) Hallar los máimos y mínimos locales de f(). c) Dibujar la gráfica de f(). 37.(P.A.U. 009) Sea la función f = 1 : a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f() en =0. b) Estudiar cuándo se verifica que f '()=0. Puesto que f(1)=f(-1), eiste contradicción con el Teorema de Rolle en el intervalo [-1, 1]. 38.(P.A.U. 009) Dada la función 1 a b si 1 a y 0 f ={ln 1 si =0 se pide: a) Hallar los valores de los parámetros a y b para los que la función f() es continua en =0. b) En el caso a=b=1, estudiar si la función f() es derivable en =0 aplicando la definición de derivada. 39.(P.A.U. 009) a) Dada la función f = hallar el punto o puntos de la gráfica de f() en los que 1 la pendiente de la recta tangente sea 1. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto =0. c) Sea g() una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0)=0 y g()=. Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (0, ) tal que g ' (c)=1. 40.(P.A.U. 008) Obtener los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de la función f = ln. 41.(P.A.U. 008) Dada la función f =e 1 se pide dibujar la gráfica de f(), estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas. 4.(P.A.U. 007) Se considera la función f = m donde m>0 es una constante. a) Para cada valor de m hallar el valor a>0 tal que la recta tangente a la gráfica de f()en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. b) Hallar el valor de m para que la recta y= sea tangente a la gráfica de f(). 43.(P.A.U. 007) Dibujar la gráfica de la función f = intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. indicando su dominio,

7 44.(P.A.U. 007) Sea g() una función continua y derivable para todo valor real de, de la que se conoce la siguiente información: i. g' ()>0 para todo,0,, mientras que g'()<0 para todo 0,. ii. g''()>0 para todo 1,3 y g''()<0 para todo,1 3,. iii. g(-1)=0, g(0)=, g()=1. iv. lim g = y lim g =3. Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) Analizar razonadamente la posible eistencia o no de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. b) Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g(). 45. (P.A.U. 006) a) Calcular los valores de a y b para que la función 3 si f ={ a cos si 0 a b si sea continua para todo valor de. b) Estudiar la derivabilidad de f() para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. 46. (P.A.U. 006) Dada la función f = e se pide dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. 47.(P.A.U. 006) Dibujar la gráfica de la función f = 1 intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. indicando su dominio, 48.(P.A.U. 006) Estudiar y representar gráficamente la función f = (P.A.U. 006) a) Hallar el punto P en el que se cortan las gráficas de las funciones: f = g = 3 b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores y demostrar que son perpendiculares (P.A.U. 006) Se considera la función f =. Se pide: sen cos a) Calcular sus etremos locales y/o globales en el intervalo [, ] b) Comprobar la eistencia de, al menos, un punto c [, ] tal que f '(c)=0. (Sugerencia: utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en c hay un punto de infleión.

8 51. (P.A.U. 005) Dada la función f = 1 se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f(a) ) para a>0. b) Hallar los punto de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los dos ejes coordenados. c) Hallar el valor de a>0 que hace que la distancia entre los dos puntos de corte hallados en el apartado b) sean mínima. 5.(P.A.U. 005) Dada la función f =ln, definida para >1, hallar el punto 1 (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje OX. 53. (P.A.U. 005) Se consideran las funciones: f = 3 g = a) Representar f() y g() en un mismo gráfico. b) Calcular el ángulo que forman en los puntos de corte. 54. (P.A.U. 005) a) Justificar razonadamente que la gráfica de la función f = 15 1 corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [-1, 1]. b) Determinar razonadamente el número eacto de puntos de corte con el eje OX cuando recorre toda la recta real. 55.(P.A.U. 005) Se considera la función f() = ln(1 + ). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los intervalos de concavidad y conveidad. b) Dibujar la gráfica de f(). c) Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f() en sus puntos de infleión. 56.(P.A.U. 004) Calcular la base y la altura de un triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima. 57.(P.A.U. 004) Dada la función f() = 1, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto (a, f(a)) con 0<a<1. b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes coordenados vertical y horizontal respectivamente. c) Determinar el valor de a 0,1 para el cual la distancia entre el punto A y el punto (a, f(a)) es el doble que la distancia entre el punto B y el punto (a, f(a)). 58.(P.A.U. 004) Sabiendo que la función f() tiene como derivada: f ' = a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). b) Hallar los máimos y mínimos relativos de f(). c) Es el punto =4 un punto de infleión de f()? Justificar razonadamente la respuesta.

9 e 59.(P.A.U. 004) Dada la función f ={ 1 si 0 a si =0 a) Determinar su dominio y calcular los límites laterales cuando 1. b) Estudiar la continuidad y hallar el valor de a para el que la función es continua en = (P.A.U. 004) Se considera la función f = 1 sen. Se pide: a) Calcular sus puntos críticos en el intervalo abierto,. b) Calcular los etremos relativos y/o absolutos de la función f() en el intervalo cerrado [, ]. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto, f (P.A.U. 003) Sea la función f = 4 z. a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Dibujar su gráfica. 6.(P.A.U. 003) Determinar los valores de las constantes A, B, C y D para los cuales la gráfica de la función real de variable real f =A sen B C D tiene tangente horizontal en el punto (0, 4) y, además, su derivada segunda es f ''() = 3 sen (P.A.U. 003) Se considera la función real de variable real a) Hallar sus máimos y mínimos relativos y sus asíntotas. b) Hallar los puntos donde la gráfica de f() tiene tangente vertical. c) Representar gráficamente la función. Nota: Para las asíntotas puede ser de utilidad la igualdad A B= A3 B 3 f = Se pide: A AB B. 64.(P.A.U. 00) Sea f() una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f(0) = 1 ; f(1) = ; f '(0) = 3 ; f '(1) = 4 Se pide: a) Calcular g'(0), sabiendo que g() = f ( + f(0)). b) Calcular lim f f 1 e (P.A.U. 00) Dada la parábola y = 4, se considera el triángulo T(r) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa =r >0. Hallar r para que T(r) tenga área mínima. 66.(P.A.U. 001) Se consideran las funciones f() = + 3, g() = a + b. a) Calcular a y b para que las gráficas de f() y g() sean tangentes en el punto de abscisa =. b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibujar las gráficas de ambas funciones y hallar la ecuación de la recta tangente común.

10 67.(P.A.U. 001) Sea P() un polinomio de grado 4 tal que: i. P() es una función par. ii. Dos de sus raíces son =1, = 5. iii. P(0)=5. Se pide: a) Hallar sus puntos de infleión. b) Dibujar su gráfica. 68.(P.A.U. 000) Dados tres números reales cualesquiera r 1,r,r 3 que minimiza la función D = r 1 r r 3., hallar el número real 69.(P.A.U. 1999) Se considera la función f ={ n si 3 m si. a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en intervalo [-4, ]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza dicho teorema. 70.(P.A.U. 1999) Se considera un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 10 cm y cuya altura mide 6 cm. En él se inscribe un rectángulo, cuya base está situada sobre la base del triángulo. a) Epresar el área A de dicho rectángulo en función de la longitud de su base. b) Escribir el dominio de la función A() y dibujar su gráfica. c) Hallar el valor máimo de dicha función. 71.(P.A.U. 1999) Dos avionetas se encuentran situadas a las nueve de la mañana a una distancia de 543 km, en las posiciones que se indican en la figura. La avioneta A se mueve hacia el sur a una velocidad de 70 km/h, mientras que la avioneta B se dirige hacia el oeste (en dirección hacia A) a 300 km/h. a) Escribir las funciones que indican las posiciones de A y B en cada instante, así como la distancia entre ambas. A 543 km B(t) B A(t) b) A qué hora será mínima dicha distancia?