.Derivadas y sus aplicaciones. (CORRECCIÓN)

Transcripción

1 .Derivadas y sus aplicaciones. (CORRECCIÓN). Determina en cada caso el crecimiento o decrecimiento de cada función en los puntos indicados f (a+) f (a) aciendo uso eplícitamente de la definición de derivada en un punto f ' (a)lim 0 a) a( ) en a' ( )lim 0 + lim 0 ( + )( ++) ( ++) lim 0 lim ( ++ ) lim 0 ( ++) : b) b( ) b' (0)lim 0 en c) c( ) en c ' ()lim 0 d) d ( ) en + d ' ( )lim 0 lim 0 lim 0 (+) (+) ( ) lim 0 +( +) +( ) lim 0 lim lim 0 + lim 0 (+ ) lim 0 + (+ ) lim 0 0 (+ ). Usando de la definición f ' ( ) lim 0 a) a( ) + a' ()lim 0 lim 0 b) b( ) ( +)+ + ( +)+ ( (+)++ +) lim 0 b' ()lim 0 (+) lim 0 f (+) f () calcula las funciones derivadas de: ( (+)+ +)( (+)++ +) lim 0 ( (+)++ +) ( (+)++ +) lim 0 (+) lim lim c) c( ) c ' ( )lim 0 d) d ( )5 + d ' ( )lim 0 + lim 0 (+) (+ ) lim 0 5(+) + 5 lim 0 ( +) lim 0 (+) lim lim

2 e) e( ) lim 0 e ' ()lim 0 ( +) + lim 0 (+) (+) ((+) ++ ) lim 0 ((+) + )((+) ++ ) ((+) ++ ) ((+) ++ ) lim ( +) ++ f) f () + lim 0 + (+) + + f ' ()lim ( + + +) lim 0 ((+) +)( +) ((+) +)( +) lim 0 lim 0 lim 0 ( +)( +) ((+) +) (( +) +)( +) ++ + ((+) +)( +) ((+) +)( +) ( +)( +) ( +). Determina la función derivada de cada una de las siguientes: a) a( )5 g) g( ) a' ( )5 0 b) b( ) +7 b' () c) c( ) Producto :c ' ()( )' + ( )' + + Potencia :c() c' ( ) g ' () ( )' ( ) ( )( )' ( ) ( ) + ( ) ( ) g ' () + ( +)( ) + ( ) Factorizando ( ) g () ( ++)( ) ++ g ' () + d) d ( ) d () d ' () e) e( )5 ( ) Producto :e ' ()(5 )' ( )+5 ( )' 5( ) Polinomio :e()5 5 e ' () f) f () + ' (+) (+)' f ' () (+) (+) (+) ( +) ) () ln ' () ln + ln + (+ln ) (+ln ) i) i ()sen cos Producto :i ' ()sen' cos +sen cos' cos cos +sen ( sen ) cos sen cos( ) Ángulo doble :i( ) sen cos sen( ) i' () sen' ( ) ( )' cos( ) cos( )

3 j) j ( )cos tg Producto : j' ( )cos' tg +cos tg ' sen tg +cos cos sen cos sen cos + cos cos cos cos Simplificando : j()cos tg cos sen cos sen j ' ()sen' cos k) k ( ) 5 k ' () (5 )' 5 ' ln ( ln 5 )5 5 (ln 5 ) l) l ( ) 7 l( ) 7 l ' () m) m( )sen tg m' ()sen' tg +sen tg ' cos tg +sen (+tg ) cos sen cos + sen (+tg ) sen +sen (+tg )sen (+tg ) n) n() arccos n' ( )( )' arccos + (arccos )' arccos + arccos o) o()e ln + o' ()(e )' (ln )'+( )' e e + q) q( ) e + ln q' ( ) (e + )' ln (e + )(ln )' ln (e +9 )ln (e + ) ln e ln +9 ln e ln e (ln )+ (ln ) ln r) r ( ) cos +sen (cos )' (+sen ) cos (+sen )' r ' () (+sen ) sen (+sen ) cos (+cos ) (+sen ) sen sen cos cos (+sen ) sen cos +cos + sen (+sen ) ( +sen ) s) s()cos s' ( )(cos ) (cos )'cos ( sen ) sen cos sen( ) t) t ( ) 5 5 t( ) t ' () u) u()( ) R.dela cadena :u' ()( ) ( )' ( )(6 ) Polinomio :u()( ) +( ) u' ( ) p) p( ) ln p()ln p ' ()(ln )' +ln ( )' +ln ( ) ln ln

4 v) v( ) + + v ' () ( + )' ( +) ( + )( +)' ( +) (+ )( +) (+ )( +) ( +) ++ + ( +) ++ + ( +) w) w ()(e +) ( +) + + ( + ) w ' ()(e +) (e +)' (e +) (e +)(e + e + )(e +) e +6 e + e +e +6 e + e +(6 +) e +( +6 ) e + ) ( ) log ( ) ' () log + y) y( ) 6 + ln ( log + ln ) ( log ln e + ln ) (log +log e ) log (e ) y ' () (6 )' (+ ) 6 (+ )' (+ ) ln 6 6 (+ ) 6 ln (+ ) 6 ln 6+6 ln 6 6 ln (+ ) 6 ln 6+8 ln 6 8 ln (+ ) 6 ln 6+8 (ln 6 ln ) 6 ln 6+8 ln (+ ) (+ ) z) z( ) + z ' () ( )' (+) ( )(+)' (+) ( +) ( ) (+) + + (+) + + (+) + + (+) (+) (+) ( +) aa) a( )ln ab) ac) ad) ae) R.dela cadena :a' () ( )' Logaritmo: a()ln ln a ' ()(ln )' b( )ln b' ()ln (ln )'ln ln c( )e c ' ()e ( )'( ) e d ( )sen d ' ( )sen ' ( )'cos e( ) sen e ' () sen sen' cos sen cos af) f ()sen(cos ) f ' ()sen ' (cos ) cos ' cos(cos ) ( sen ) sen cos( cos ) ag) g( )cos( sen ) g ' ()cos' (sen ) sen' sen(sen ) cos cos sen(sen ) a) () e ai) ()(e ) ' () (e ) (e )' (e ) (e ) e ( e ) i ()arctg i' ()arctg ' ( )' +( ) aj) j ( )ln sen (+ ) j' ( )ln ' (sen ) sen ' ( ) ( )' sen cos tg ak) k ( )sen ln k ' ()sen' (ln ) ln ' ( ) ( )' cosln cosln

5 al) l ( )sen ln l ' () sen (ln ) sen' (ln ) (ln )' sen ln cosln ( ln ) senln sen am) m( ) +sen m' () + sen sen cos sen cos +sen sen an) ao) ap) aq) +sen n()cos cos +cos n' ()( cos cos +) (cos )' derivada del polinomio (9cos cos +)( sen ) sen 9 cos sen sen o()e o' ()e ( )' ( )' e e p( ) Derivaciónlogarítmica :ln ( p())ln [ ln ( p()) ] '[ ln ]' p' () ' ln +(ln )' p( ) p' () ln + p( ) p' ( ) ln + p' () ln + q( ) e +e p' ( )ln +ln e p ' ()ln ( e ) p' ( )ln(e) q( ) e + e q' ( ) e + e ( ) e e e e ar) as) r ( ) e e r ( ) e e r ' () e e ( ) e La función: e +e se denomina 'coseno iperbólico' cos ( ) La función: e e se denomina 'seno iperbólico' sen ( ) +e e +e Vemos que: sen' cos cos ' sen s()( sen ) ln Derivaciónlogarítmica :ln (s())ln (sen ) ln [ln ( s()) ]' [ln ln (sen )]' s' ( )ln ' ln( sen )+ln ln ' (sen ) sen' s() s ' () s() ln (sen )+ln sen cos s ' () (sen ) ln ln + ln ( sen ) tg ln(sen ) s ' ( )(sen ) ( ln + ln tg ) at) t ( ) + ²+ + ) t ()( + + ) t' () ( + ( + + ) ' t ' () ( + + ) 6 ( + ) ( +)(+) ( + ) t ' () ( + + ) 6 + ( + + +) ( + ) t '( ) ( + + ) +8 ( + ) au) u()arcsen + u' ()arcsen ' + + ( +)' ( + ) + ( +) + ( +) ( +) i + Aunque la función u() se puede derivar simbólicamente, se obtiene una función con valores imaginarios. Esto es así porque el argumento de arcsen ( ) nunca puede ser mayor que, y : +> 0 R

6 av) v( )log 0 ( log ( )) v ' () log ' 0 (log ( )) log' ( ) ( ) ' ln 0 log ( ) ( ) ln ( ) ln 0 ln ( ) log ( ) aw) cos w ()sen ln ln w ' ()sen' ( ln ) ( ln ) ' ' ln ln ' ln cos ln ln ln cos ln ln ln. Determina el valor de los parámetros para que las funciones derivadas sean las que se indican: a) a( )α β a' ( )6 + α6 β α c) c( )α ln(β ) c ' ( ) 6 β c ' ()α β β α b) b( )αe +β γ b' ( ) 8e + b' ( )α e α6 α +β γ γ β β (0, ) α 8 β γ γ α β γ d) d ( )α β d ' ( ) d ' ( )α β ln βα ln ββ α ln β β α ln β 5. Escribe la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de las siguientes funciones en el punto que se indica: a) a( ) en b) b( ) en a' () { a( )5 a' ( ) 7 Tangente: y a( )a' ( )[ ( )] y 5 7(+) y 7 Normal: y a( ) a' ( ) [ ( )] y 5 7 (+) y { b ' () b() b' () Tangente: y b()b' ()[ ] y ( ) y + Normal: y b() b' () [ ] y ( ) y 7 c) c( )ln en c ' () { c()0 c' () Tangente: y c()c ' ()[ ] y 0( ) y Normal: y c() c' () [ ] y 0 ( ) y +

7 d) d ( )e en { d ' ( )e d ()e d ' ()e Tangente: y d ()d ' ()[ ] y e e ( ) y e e Normal: y d () d ' () [ ] y e e( ) y e +e+ e e) e( ) en { ( ) e ' () e()9 ( ) e ' () Tangente: y e()e ' ()[ ] y 9 ( ) y + 9 Normal: y e() e' () [ ] y 9 ( ) y + f) f ()ln en f ' () { f ()0 f ' () Tangente: y f () f ' ()[ ] y 0 ( ) y + g) g( )sen en { π 6 π 6 g ' ()cos g( π 6 ) g ' ( π ) 6 Tangente: y g( π 6 )g ' ( π 6 )[ π 6 ] y ( π 6 ) y + 6 π Normal: y g( π 6 ) g ' ( π 6 )[ π 6 ] ) () y ( π 6 ) y +π + 6 en ' () { ( ) () ' () No se pueden definir la rectas tangente y normal i) i ()ln(6 ) en i ' () 6 { 6 i()ln 9 i ' ()0 Tangente: y ln 9 (orizontal) Normal: (vertical) Normal: y f () f ' () [ ] y 0( ) y 6. Determina los puntos en en que la gráfica de las funciones dadas cumple la propiedad que se indica: a) Tangente a( ) y + a' ( ) m a ' () b) Tangente b( ) y b' ( )m b' () 0 ± + 6

8 c) Tangente c( )sen y + c ' ( ) m c' ()cos cos { π + k π π +k π k Z 6 5π +k π 5 π +k π k Z 6 d) Tangente d( )ln Tangente D( ) d ' ( )D' () e) Tangente e( )sen Tangente E ( )cos e ' ()E ' () cos sen sen tg π cos +k π k Z f) Tangente f ( )e Tangente F () f ' () { 0 0 F ' ( ) e (e )0 e 0 ln 7. Encuentra los puntos notables de las siguientes funciones y clasifícalos como máimos o mínimos locales analizando la segunda derivada. a) a( ) 9 + a ' ( )6 8 +6( +) a' ( )0 +0 ± 9 8 b) b( )ln( ) { a' ' () 8 { a' ' () 6<0 Máimo en a' ' ()6>0 Mínimo en b' () b' ( )0 0 b' ' ( ) + b ' ' ( ) ( ) 0<0 Máimo en Aunque formalmente se puede allar el etremo, el resultado no tiene sentido ya que la función no está definida en : Dom(b)(, 0) (, ) c) c( ) c ' ( ) + ( ) d ' ( )0 + 0 No eisten puntos notables (no se anula la derivada) d) d ( ) + d ' ( ) d ' ()0 0 d ' ' () 0 d ' ' (0) <0 Máimo en 0 (+ ) (+ ) e) e( ) e ' () ( 5 +) e' () ± 5 6 { e ' ' ()0 ( 5){e ' ' ( ) 80<0 Máimo en e' ' ( )+90>0 Mínimo en e' ' () 90<0 Máimo en e ' ' ()80>0 Mínimo en

9 g) g( )e + g ' ( ) e + f) f () + f ' () 8 f ' ()0 8 0 ± (+ ) f ' ' () 8 (+ ) {f ' ' ( ) >0 Mínimo en 6 f ' ' () <0 Máimo en 6 g ' ()0 0 0 g ' ' ()e + + e + g ' ' (0)e>0 Mínimo en 0 ) () + ' () 8 ( ) ' ()0 ( )0 { 0 + ' ' () 8{' ' ( )6>0 Mínimo en ' ' (0) 8<0 Máimo en 0 ' ' ( )6>0 Mínimo en i) i () i' ( )0 0 ± j) j ( ) + i' () ( ) i ' ' ()6 { i' ' ( ) <0 Máimo en i ' ' ()>0 Mínimo en j ' () ( +) j' ( )0 0 { 0 j' ' () 6 { j ' ' (0)>0 Mínimo en 0 + (+ ) j ' ' ( ) <0 Máimo en 8. Realiza una representación gráfica aproimada de las siguientes funciones: a) a( ) + * Dominio: Dom(a)R { } * Simetría:a( ) + * Corte con ejes:{eje : a()0 Eje y : 0 y * Asíntotas:{ Vertical : Horizontal : y lim ± No presenta simetría. * Signo:{a()>0 (, ) (, ) a()<0 (, ) lim a()+ - a( ){ lim lim + lim a() + a() +0 Por encima a( ) 0 Por debajo

10 Derivada :a' () (+) *Signo/crecimiento: {a ' ()>0 a() creciente R { } * Puntos notables: No eisten (no se anula la derivada) Segunda derivada :a' ' () 8 (+) *Signo/curvatura: { a' ' ()>0 a() cóncava (, ) a' ' ( )<0 a() convea (, ) * Puntos de infleión: No eisten (no se anula la segunda derivada) b) b( ) + * Dominio: Dom(b)R { } * Simetría:b( ) ++ No presenta simetría. * Corte con ejes: { Eje :b()0 R * Signo: {b()>0 (,) (, ) Eje y : 0 y * Asíntotas:{ Oblicua:{ lim ± Derivada :b' () ( ) Vertical : lim - a()+ lim ± b( ) lim ± y b() 0 lim a()+ + { lim b( ) 0 Por debajo lim b( ) +0 Por encima + *Signo/crecimiento: { b ' ( )>0 b() creciente (,0) (, ) b ' ()<0 b( ) decreciente (0,) (, ) * Puntos notables: b' ()0 0 { 0 Máimo (cambia signo de b'()) Mínimo (cambia signo de b'()) Segunda derivada :b' ' () ( ) *Signo/curvatura: { b' ' ()>0 b() cóncava (, ) b' ' ( )<0 b( ) convea (,) * Puntos de infleión: No eisten (no se anula la segunda derivada) c) c( ) e * Dominio: e 0 e Dom(c)R {0} * Simetría:c( ) No presenta simetría. e * Corte con ejes: { Eje : c()0 R Eje y : 0 c(0) Horizontales:{ lim + * Asíntotas:{Vertical : 0 lim 0 - c () e lim lim c()+ 0 + c( )0 (a la dereca) y0 lim + * Signo: { c ()>0 (0, ) c()<0 (,0) c( ) (a la izquierda) y lim Derivada :c ' () (e ) *Signo/crecimiento: {c' ( )<0 c ( ) decreciente R {0 } * Puntos notables:c' ( )0 e 0 R No eisten puntos notables Segunda derivada :c ' ' () e +e (e ) *Signo/curvatura: { c' ' ()>0 c() cóncava (0, ) c ' ' ( )<0 c ( ) convea (,0) * Puntos de infleión: No eisten (no se anula la segunda derivada) c( ) 0+0 Por encima c() ( ) 0 Por debajo

11 d) d ( ) * Dominio: Dom(d)R * Simetría: d ( )( ) ( ) d() Simetría par. : * Corte con ejes:{eje 0 { 0 * Asíntotas: No eisten. Derivada :d ' ()8 Eje y : 0 d(0)0 y0 )>0 * Signo:{d( (, ) (, ) ) d( )<0 (, 0 ) ( 0, ' ()<0 d () decreciente *Signo/crecimiento:{d (, ) ( 0, ) d ' ()>0 d () creciente (,0 ) (, ) Mínimo(cambia signo de d ' ()) * Puntos notables: d ' ()0 8 0{ 0 Máimo(cambia signo ded ' ()) Mínimo (cambia signo de d ' ()) Segunda derivada :d ' ' () ' ' ()>0 d() cóncava *Signo/curvatura:{d (, 6 ) ( 6, ) d ' ' ()<0 d () convea ( 6, 6) * Puntos de infleión:d ' ' ()0 0 ± 6 e) e( ) * Dominio: Dom(e)R * Simetría: e( )( ) ( ) + e() Simetríaimpar. : * Corte con ejes:{eje 0 { 0 Eje y : 0 e(0)0 y0 * Signo:{ e()>0 (,0 ) (, ) e( )<0 (, ) (0, ) * Asíntotas: No eisten. Derivada :e ' () e ' ()<0 e() decreciente (, ) *Signo/crecimiento:{ e ' ()>0 e() creciente (, ) (, ) * Puntos notables: e' ( )0 0 { Máimo(cambia signo de e' ()) Mínimo (cambia signode e ' ()) Segunda derivada :e ' ' ()6 e' ' ()>0 e() cóncava (0, ) *Signo/curvatura:{ e ' ' ()<0 e () convea (,0 ) * Puntos de infleión:e ' ' ( )

12 f) f () f () (+) (+ ) * Dominio: Dom( f )R * Simetría: f ( ) + + No presenta simetría. * Corte con ejes: { Eje : f ()0 ( +) 0 Eje y : 0 f (0) y * Signo: { f ()>0 (, ) (, ) Vertical : No eiste (no se anula el denominador) * Horizontal : y lim f () ± Asíntotas:{ { lim f ( ) 0 Por debajo lim f () +0 Por encima + Derivada : f ' () (+ ) *Signo/crecimiento: { f ' ()>0 f ( ) creciente (,) f ' ()<0 f ( ) decreciente (, ) (, ) * Puntos notables: f ' ()0 0 { Mínimo (cambia signo de f'()) Máimo (cambia signo de f'()) Segunda derivada : f ' ' () ( ) (+ ) *Signo/curvatura:{ f ' ' ()>0 f () cóncava (, 0) (, ) f ' ' ( )<0 f () convea (, ) (0, ) * Puntos de infleión: f ' ' ()0 ( )0 0 g) g( )ln(+ ) * Dominio:+ >0 Dom(g)R * Simetría: g( )ln (+( ) )ln (+ )g () Simetría par. * Corte con ejes: { Eje : g ()0 ln (+ )0 + 0 Eje y : 0 g(0) 0 y0 * Asíntotas: {No eisten Derivada : g ' () + *Signo/crecimiento: { g ' ()>0 g() creciente (0, ) g ' ()<0 g() decreciente (, 0) * Puntos notables: g ' ( )0 0 { 0 Mínimo (cambia signo de g'()) Segunda derivada : g ' ' () (+ ) *Signo/curvatura:{ g' ' ()>0 g() cóncava (, ) g ' ' ()<0 g() convea (, ) ( * Puntos de infleión: g ' ' ( )0 0 ±, ) * Signo: {g()>0 R ) () * Dominio: 0 Dom()[,] * Simetría: ( ) ( ) () Simetría par. * Corte con ejes:{ Eje :()0 0 0 ± Eje y : 0 (0) y * Asíntotas: {No eisten * Signo: {()>0 [,]

13 Derivada :' () *Signo/crecimiento: { ' ()>0 () creciente (, 0) ' ()<0 ( ) decreciente (0,) * Puntos notables: ' ( )0 0 { 0 Máimo (cambia signo de '()) Segunda derivada :' ' () ( ) *Signo/curvatura: {' ' ( )<0 ( ) convea (,) * Puntos de infleión: No eisten (no se anula ''()) i) i () + i() ( ) * Dominio: Dom(i)R { } * Simetría: i( ) + + * Corte con ejes:{ Eje :i ()0 ( ) 0 Eje y : 0 i(0) y * Asíntotas:{ Oblicua:{ lim ± lim ± Vertical : lim i() - i() lim { ± y+ lim i() lim + No presenta simetría. * Signo: { i ()>0 (, ) i ()<0 (,) lim i()+ + i( ) ( +) 0 Por debajo i( ) ( +)+0 Por encima Derivada :i' () 6 +5 ( ) *Signo/crecimiento:{ i ' ()>0 i () creciente (, ) (,5) i' ( )<0 i( ) decreciente (,) (5, ) * Puntos notables: i' ( ) { Máimo (cambia signo de b'()) 5 Mínimo (cambia signo de b'()) Segunda derivada :i ' ' () 8 ( ) *Signo/curvatura: { i' ' ()>0 i( ) cóncava (, ) i ' ' ( )<0 i () convea (,) * Puntos de infleión: No eisten (no se anula la segunda derivada) j) j ( ) + 6 * Dominio: Dom( j)r {, } * Simetría: j( ) No presenta simetría. 6 * Corte con ejes: { Eje : j( )0 0 * Signo: j ()>0 (,0) (, ) Eje y : j(0)0 y0 { j()<0 (, ) (0,) lim j( ) Verticales :{ * Asíntotas:{ - lim j ( ) j()0{ - lim Horizontal : y lim ± lim + lim + lim + Derivada : j' () ( +6) ( + 6) *Signo/crecimiento: { j ' ()<0 j () decreciente R {, } * Puntos notables: No eisten (no se anula j'()) j()+ j()+ j( ) 0+0 Por encima j() 0 0 Por debajo

14 Segunda derivada : j' ' () +7 + ( + 6) j''() no tiene raíces elementales, no es posible analizar la curvatura en detalle. No obstante se observa que: lim k ' ' () lim + + lim k ' ' ()lim +0 k ()cóncava acia + 0 k ( )convea acia k) k ( )arctan * Dominio: Dom(k )R * Simetría: k ( )arctan( ) arctan k ( ) Simetría par. * Corte con ejes:{ Eje :arctan 0 { 0 0 Eje y : 0 k (0)0 y0 * Signo: {k ()>0 R * Asíntotas: Horizontal lim arctan arctan(+ ) π ± yπ Posición: Por debajo (no puede ser arctan > π con argumento positivo.) Derivada :k ' () +( ) + *Signo/crecimiento: { k ' ()>0 k () creciente (0, ) k ' ()<0 k () decreciente (, 0) * Puntos notables: k ' ( )0 0 { 0 Mínimo (cambia signo de k'()) 6 Segunda derivada :k ' ' () (+ ) *Signo/curvatura:{ ) k ' ' ()>0 k () cóncava (, k ' ' ()<0 k () convea (, * Puntos de infleión:k ' ' ( )0 6 0 ± ) (, ) l) l ( )e * Dominio: Dom( f )R * Simetría: l ( )e + No presenta simetría. * Corte con ejes: { Eje :l()0 R No corta al eje * Signo: {l()>0 R Eje y : 0 l(0) y * Asíntotas: Horizontal : A la izquierda lim l()e { 0 y0 Por encima ( ya que l ( )>0) Derivada :l ' ()( )e *Signo/crecimiento: { l ' ()>0 l() creciente (, ) (, ) l ' ()<0 l() decreciente (, ) * Puntos notables: l ' ()0 0 ( )0 ± { Máimo (cambia signo de l'()) Mínimo (cambia signo de l'()) Segunda derivada :l ' ' ( )6 e +( ) e ( 6 + +)e *Signo/curvatura: l''() no tiene raíces elementales. No podemos analizar en detalle la curvatura. No obstante, como lim l ' ' ()+ >0 podemos establecer que en esos límites la función es cóncava. ±

15 9. Determina qué función genera cada una de las siguientes derivadas (función primitiva): a) a ' ( ) a( ) f) f ' ( ) e f () a() d + f () e de b) b' ( ) 5 b() b() 5d 5 g) g ' ()cos( ) g() g() cos( )d sen( ) c) c' ( ) c( ) c() d d) d ' ( ) d () d ( ) dln ln e) e' ( )sen( ) e() e() sen()d cos( ) ) ' ( ) () () d ln i) i ' () i() i() d j) j ' ( ) sen( ) j( ) j() sen( )d cos( ) 0.Recuerda la relación entre el área bajo la gráfica de una función y su primitiva para calcular: a) Área del lóbulo de una función seno. π A sen()d cos()] 0 π cos(π) ( cos(0)) ( ) u.d.s. 0 b) Área que queda entre la curva y y el eje de abscisas. La curva corta al eje en - y, por tanto: A d ] ( )+( ) u.d.s. c) Área que queda entre la curva y y el eje de abscisas entre y. A dln ] ln ln ln u.d.s. d) Área bajo la curva ye entre 0 y L. Luego determina qué sucede cuando L se ace muy grande. L A 0 e d e ] 0 L e L +e 0 e L u.d.s. lim e L u.d.s. (Recinto infinito, área finita) L e) Área bajo la curva y entre el origen de coordenadas y el corte con el semieje X positivo (lóbulo de la función). La curva corta al eje en -, 0 y, por tanto: A 0 d ]0 0 u.d.s.

16 .La función f () se conoce a veces como campana lorentziana. + a) Representa dica función siguiendo el esquema abitual. Dom( f )R Simetría par f ( )>0 R Corte con ejes:(0,) Asintota orizontal : y0( función por encima en± ) f ' ( ) { f ' ()>0 f ()creciente <0 (+ ) f ' ()<0 f ()decreciente >0 Máimo en 0 f ' ' () 6 (+ ) { f ' ' ()>0 f ()cóncava (, ) (, ) f ' ' ( )<0 f ()convea (, Puntos deinfleión en ± ) b) Calcula el área bajo la parte convea de la campana (recuerda que (arctan ())' ) + A + darctan ()] arctan ( ) arctan ( ) π 6 ( π 6 ) π c) Calcula el área bajo toda la función (calcula el área entre 0 y L, luego az el límite con L tendiendo a infinito; ten en cuenta que la función es par, de modo que el área total será el doble de la calculada antes) L A 0 + darctan ()] L 0arctan ( L) arctan (0)arctan ( L) A lim arctan (L) π L Aπ u.d.s..con 00 m de alambre se quiere vallar un terreno de la mayor superficie posible. Determina las dimensiones del terreno en las situaciones siguientes: a) Se trata de un terreno rectangular y ay vallar los cuatro lados. Uno de los lados : El otro lado: 00 S ()(00 ) S ' ()00 S ' ()0 50 Dimensiones 50 m 50 m b) Se trata de un terreno rectangular que linda por uno de sus lados con un acantilado y sólo ay que vallar los otros tres lados. Fondo : Anco (paralelo al acantilado): 00 S () (00 ) S ' ()00 S ' ()0 50 Dimensiones 50 m 00 m c) Se trata de un terreno con forma de triángulo isósceles del que sólo ay que vallar los dos lados iguales, el otro da a un acantilado. Lado del triángulo : 00 m Base (acantilado): Altura: 00 S () 0000 S ' () 0000 S ' () ,6 m 0000 Dimensiones m (lado del acantilado), 00 m (lados iguales) (Medio cuadrado, cortado en diagonal) d) Es un terreno con forma de sector circular que ay que vallar completo(dos lados rectos y uno curvo) Radio del círculo: r Amplitud del sector: α rad Longitud de la valla: 00 r+r α α 00 r 00 Área del sector: S (r) α ( r r ) r 00 r r S ' (r)00 r S ' (r)0 r 50 m α 00 rad,6º 50 Sector circular de 50 m de radio y,6º de amplitud.

17 .Un almacén de fruta dispone de 8000 kg de naranjas que puede sacar al mercado a un precio de,5 /kg. Por cada semana que esperen para vender las naranjas su precio aumentará en 0 céntimos pero se estropearán 500 kg de la fruta almacenada. Escribe la función que da las ganancias obtenidas en función del tiempo que se espere para vender y determina el momento óptimo para realizar la venta de la mercancía. Nº semanas que espera: Precio de venta:,5+0,0 Cantidad de mercancía: Ganancias: G()( )(,5+0,0 ) G' () G' ()0,5 Ha de esperar,5 semanas (unos 9 días).una empresa de teléfonos móviles va a sacar un nuevo modelo y antes de acerlo encarga un estudio de mercado. En dico estudio de mercado llegan a la conclusión de que poniendo un precio de venta de 50 conseguirían venderse unidades. El mismo estudio de mercado sugiere que por cada 0 de aumento en el precio de venta se venderían teléfonos menos. Sabiendo esto, con qué precio de venta se consiguen los mayores beneficios? sobre los 50 iniciales: Precio de venta: 50+ Unidades vendidas: Ganancias: G()(50+) ( ) G' ( ) G' ()0 5 El precio óptimo de venta es de 75 ( ) 5.Un estudio clínico a establecido que la concentración en sangre de cierto antitumoral se puede epresar como c(t) d t p+t donde c es la concentración en mg/l de sangre, d es la dosis inicial en mg, p es el peso del paciente en kg y t es el tiempo en oras transcurrido desde su administración. a) Encuentra una epresión para conocer el momento de mayor concentración y la concentración máima del medicamento en función de la dosis inicial y el peso del paciente. Aplícala a un paciente de 8 kg que recibe una dosis inicial de mg. Hemos de buscar el etremo de la función: c' (t )0 c ' (t) d( p+t ) d t t d ( p t ) ( p+t ) ( p+t ) c ' (t)0 p t 0 t má p c má c (t má ) d p d p p d p+( p) p c má d p Paciente en estudio: t má 89 c má 0, mg / l 9 b) Representa en un gráfico la concentración a lo largo del tiempo en un caso clínico de administración de mg de antitumoral a un niño de 6 kg de peso. c (t) t 6+t 6t 6+t * Dom(c)[0, ) (no se aplica para tiempo negativo) * c (t)>0 t [0, ) * Asíntota orizontal: { y0 (por encima) c' ( t)>0 c(t) creciente t (0,6) c' (t ) 6(6 t ) c ' (t)<0 c(t) decreciente t (6, ) (6+t ) Máimo en t6 ( 6, ) c ' ' (t ) t(t 08) (6+t ) { c ' ' (t )>0 c(t)cóncava t (6, ) c ' ' (t)<0 c(t )convea t (0, 6 ) Punto de infleión en 6 ( 6, )

18 6.Con cuatro palos de m de largo se quiere construir la estructura de un tipi ( tepee, tienda india) con base cuadrada. A qué distancia ay que situar entre sí las bases de los palos para que el volumen de la tienda sea máimo?, cuántas pieles de bisonte acen falta para cubrir la tienda? (Nota: es ampliamente conocido que una piel de bisonte adulto da para cubrir,5 m², menos conocido es el eco de que el volumen de una pirámide es V A base altura ) Lado de la base: Altura de los triángulos laterales (a): 6 Altura de la pirámide (): 6 V () 6 V ' () 8 (6 ) 6 ) {V ' ()>0 ( 0, V ' ()<0 (, ) Máimo en Se consigue el volumen máimo con una separación de los palos de m,6 m La altura de los triángulos laterales será: 6 ( ) m, m y el área lateral total : A b a b a 6 m 0, m 0, m :,5m / piel 8,6 pieles Se necesitan 9 pieles de bisonte. a m