MANUAL DEL LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL I. Plan 2010 (versión 2012)

Transcripción

1 E. T. S. de Ingeneros de Telecomuncacón Unversdad Poltécnca de Madrd MANUAL DEL LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL I Plan 010 (versón 01) Pedro Sánchez Sánchez Vcente Alcober Bosch Coral Duro Carralero Plar Mareca López Ángel Sanz Sanz Departamento de Físca Aplcada a las Tecnologías de la Informacón

2

3 3 PROLOGO En el nuevo plan de estudos de "Graduado en Ingenería de Tecnologías y Servcos de Telecomuncacón" (Plan 010) el laboratoro deja de ser una asgnatura optatva para ser consderada parte mportante de las asgnaturas oblgatoras Físca General I y Físca General II. El hecho de que todos los alumnos tengan que dedcar una parte de su esfuerzo a la realzacón de práctcas expermentales nos oblga a hacer algunos cambos en la metodología a fn de adecuarnos en tempo y contendo al programa teórco de dchas asgnaturas, dentro del marco señalado en el Plan de Estudos. En esta prmera edcón del Manual se presentan los Conceptos Generales y las práctcas correspondentes a Físca General I. En breve, se ncorporarán las práctcas de laboratoro correspondentes a Físca General II. La nueva orentacón no afecta, sn embargo, a los objetvos del laboratoro que son los msmos de antes. Se trata de que el alumno se nce en el trabajo expermental de un laboratoro de Físca, con especal atencón al tratamento de datos. El alumno debe aprender a elaborar las tablas de meddas, a representar adecuadamente las gráfcas, a utlzar métodos analítcos de ajuste de curvas, a hacer una correcta estmacón de errores y a expresar los resultados adecuadamente. Todas estas nocones se explcan en el capítulo I de Introduccón al tratamento de datos que es de extraordnara mportanca para el posteror desarrollo de las práctcas. En todas las práctcas se ncluye una breve ntroduccón teórca, donde se exponen los fundamentos físcos, y una parte práctca donde se explca con certo detalle la manera de llevar a cabo la realzacón de las msmas. Es de esperar que, a partr de su ejecucón, el alumno aprenda el manejo de los aparatos báscos, de sus característcas y lmtacones. Por últmo, el alumno tene ante sí la posbldad de valorar los modelos teórcos con la experenca. La Físca es una cenca expermental. Al decr de muchos físcos, el desarrollo de la Físca arranca con el método centífco de Galleo, quen pasa de las abstractas teorías arstotélcas a la expermentacón, únca manera de conocer la mayor o menor bondad de dchas teorías. Para muchos alumnos, este será sn duda su prmer acercamento a la medda. Esperemos que se abra para ellos el msmo horzonte que se abró para la Físca a prncpos del sglo XVII. Este Manual es el resultado de la experenca de muchos años de los profesores que fguran como autores del msmo, pero tambén de otras personas que han colaborado muy efcazmente en el mantenmento y puesta a punto de las práctcas, sn cuya labor no hubera sdo posble el buen funconamento del laboratoro y a quenes deseamos expresar nuestra grattud: D. Manuel Ramos Díaz, D. Lus Rvera Díaz y D. Jesús Alarcón Cavero. En esta labor de equpo de todos los profesores del Departamento, no podemos obvar en nuestro agradecmento a Dña. Juana González que tan efcazmente nos ayuda en todos los temas admnstratvos. Julo 010 En esta nueva versón se han añaddo Hojas de Informes, que los alumnos deben presentar al térmno de la práctca, y se ha hecho una revsón de todo el Manual, con especal atencón a la práctca de Plano Inclnado, ncluda por prmera vez en la últma edcón. Agosto 01 Pedro Sánchez, Vcente Alcober, Coral Duro, Plar Mareca, Angel Sanz

4 4

5 5 INDICE Prólogo U0.U UCONCEPTOS GENERALESU... 7 U0.1U UINTRODUCCION AL TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALESU... 7 U0.1.1U UMedda de una magntudu... 7 U0.1.U UTpos de erroresu... 7 U0.U UCONCEPTOS ESTADISTICOSU... 8 U0..1U UIntroduccónU... 8 U0..U UErrores absoluto y relatvou U0..3U UPropagacón de erroresu... 1 U0..4U UNúmero de cfras del resultadou U0.3U UMETODOS ANALITICOS DE AJUSTE DE CURVASU U0.3.1U UAjuste por mínmos cuadradosu U0.3.U UCorrelacón:U... 1 U0.3.3U UMétodo de los "pares de puntos"u... U0.4U UGRAFICASU... 5 U0.5U UMEDIDA DE LONGITUDES Y ÁNGULOSU... 9 U0.5.1U UDescrpcón de los nstrumentosu U1.U UPRÁCTICAS DE MECÁNICAU U1.1U UPENDULO SIMPLEU U1.U UPENDULO FISICOU U1.3U UPENDULO DE KATERU U1.4U UMOMENTOS DE INERCIAU U1) Determnacón del momento de nerca de una barrau U) Verfcacón del teorema de StenerU U1.5U UESTUDIO DE LA CAÍDA LIBREU U1.6U UESTUDIO DEL PLANO INCLINADOU... 61

6 U.U UPRÁCTICAS DE ELECTROMAGNETISMOU U.1U UEL POLÍMETRO DIDÁCTICOU U.U UAPARATOS DE MEDIDAU U.3U UEL PUENTE DE HILOU U.4U UCARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADORU U.5U U3.U UAPÉNDICEU U3.1U UFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT U U3.U UCÓDIGO DE COLORESU U3..1U UResstencasU U3..U UCondensadoresU U4.U UHOJAS DE INFORMESU

7 7 0. 0BCONCEPTOS GENERALES 0.1 3BINTRODUCCION AL TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES BMedda de una magntud La Físca es una cenca típcamente expermental. Las teorías exstentes se basan en unos postulados (o hpótess) confrmadas hasta ahora por los resultados expermentales o meddas. Medr es, según la defncón clásca, comparar una magntud con otra patrón tomada como undad. Conocer el valor real, exacto, de una magntud físca es un problema totalmente utópco. Podemos aproxmarnos a él, pero nunca podremos saber s realmente es dcho valor, pues los nstrumentos de medda, así como los sentdos del observador, tenen un lmte de sensbldad. Aparte de que no podemos tener la garantía de que nuestro sstema de medda no perturbe el valor real. Con todas estas consderacones parece 1ógco que en Físca no se hable nunca del valor exacto de una cosa, sno del valor "más probable" de ella. A la dferenca entre el valor exacto y el aproxmado, le llamaremos "error de la medda". Determnar el valor de la magntud así como los lmtes de la ncertdumbre que exste en su determnacón será el objeto del cálculo de errores BTpos de errores Los errores los clasfcaremos según su orgen en sstemátcos, accdentales o fortutos, y personales o de observacón. Esta clasfcacón no es totalmente rígda. La dferenca entre unos y otros no está perfectamente delmtada, sno que muchas veces unos errores pueden consderarse accdentales o sstemátcos, según como se analcen. Es por esto que algunos autores engloban los errores personales dentro de los sstemátcos o de los accdentales, ya que no es fácl establecer en muchos casos una dferenca clara entre ellos. a) USstemátcos Estos errores proceden de un defecto en el aparato o de un ajuste nadecuado. Así, p.ej. pueden ser causa de error las dvsones de una regla graduada que no sean perfectamente guales sno unas mayores que otras; las varacones relatvas del volumen de mercuro en un termómetro que no son proporconales a la temperatura por defectos en el caplar; el cero de una balanza que no esté ben ajustada por defectos en los brazos; la medda de un trazo lumnoso en la pantalla de un tubo de rayos catódcos cuando ésta dstorsona en los bordes, etc. Los errores sstemátcos suelen ser pequeños. La técnca trabaja cada vez con mayor segurdad y los defectos se corrgen en su mayor parte, aunque sempre nos quedará la lmtacón dada por la sensbldad del aparato. En nuestras práctcas supondremos que los

8 nstrumentos están ben, desprecando estos errores. Ben entenddo que s se qusera hacer un estudo algo rguroso de un fenómeno físco, tendríamos que empezar hacendo un prevo "calbrado" de todos los aparatos que manejamos y de su límte de sensbldad. 8 b) UAccdentales o fortutos Como su nombre ndca, son errores cuya causa se desconoce. Son debdos a motvos mprevstos cuyo orgen suele ser dfícl de determnar. P. ej.: cambos de temperatura, de presón, de humedad, etc. Es por ello que en la repetcón de las meddas con el msmo nstrumento y en déntcas condcones no se obtengan, en general, resultados exactamente guales, sno que dferen un poco entre sí. Estos errores se dstrbuyen al azar y sguen, por tanto, una ley estadístca que puede representarse por la curva gaussana de probabldad, merced a la cual se podrá determnar el valor más probable así como los límtes de ncertdumbre. c) UPersonales o de observacón. Se deben a la ncapacdad de los sentdos para dstngur el valor correcto de una magntud, así como a la mayor o menor habldad del expermentador que efectúa la medda. Pueden ser debdos a una ncapacdad vsual. Así, p.ej. al desplazar una lente convergente sobre un banco de óptca y observar la magen de un certo objeto lumnoso sobre una pantalla, el ojo es ncapaz de precsar con exacttud la poscón crtca de la lente para la cual la magen aparece nítda sobre la pantalla. Tambén pueden provenr de una nsufcenca audtva. Así, p.ej. el oído humano es ncapaz de averguar s la resonanca en un tubo de ondas estaconaras provocada por un altavoz colocado en su extremo, tene lugar en la cota 1,7 cm o 1,5 cm del tubo. Igualmente podría decrse para el caso de un puente de C.A. en el que se tratara de hallar el equlbro medante un aurcular Introduccón 0. 4BCONCEPTOS ESTADISTICOS Hasta ahora hemos consderado el posble error de una medda. S repetmos varas veces la medcón es muy posble que se obtengan dferentes valores de ella. En este caso se acostumbra a consderar como valor más probable el "valor medo" que se defne como: x x = (0-1) n sendo n el número de medcones realzadas. Sn embargo, sería mucha suerte que este valor medo concdera con el valor real de la magntud que se mde. Nuestro problema radca, pues, en delmtar un entorno alrededor

9 de x en el nteror del cual tenemos la "certeza", o al menos un alto porcentaje de probabldad, de que se halla el valor real. Antes de segur más adelante, convene defnr algunos conceptos de gran nterés práctco: "Desvacón" D = x - x (0-) 9 "Desvacón meda "Desvacón estándar" D D = (0-3) n D σ = (0-4) n La desvacón estándar nos da una dea de la dspersón de las lecturas alrededor del valor medo. S se han tomado muchas medcones, y estas sguen una curva de dstrbucón gaussana (0F1 ), se demuestra en estadístca que el 68 % de ellas estarán en el ntervalo ± σ del valor medo, y el 95 % en el ntervalo ± σ. Sn embargo, el expermentador no acostumbra a repetr la medda más de 10 veces, y en este caso, resulta más práctco tomar D como desvacón estándar: σ s = (0-5) n 1 ( 1 ) Se denomnan curvas gaussanas aquellas que sguen una ley del tpo: h ( x x ) y = C e Y C C σ C x X donde Fgura h =. Los puntos de nflexón de la curva están precsamente en x ± σ σ

10 Más nteresante que la desvacón estándar σ, es conocer la proxmdad del valor medo x al valor real. Aunque es mposble saberlo con certeza, s podemos saber la probabldad que se tene de que el valor real se halle en un entorno del valor medo x. Para ello se defne como error más probable, o ben "error cuadrátco medo": σ D ε = = (0-6) n n ( n 1) S la dstrbucón es gaussana se demuestra en estadístca que hay un 68.% de probabldad de que el valor real se halle en el entorno ( x -ε, x +ε), y un 95 % de que esté en ( x -ε, x +ε). Exste una dferenca mportante entre la desvacón estándar y el error cuadrátco medo. Mentras aquella depende úncamente de la precsón con que se hayan efectuado las meddas y no del número de ellas, el error cuadrátco medo depende de n, de modo que según crece el número de meddas dsmnuye el valor de ε. En cualquer caso, por ser esta dependenca cuadrátca, llega un momento en que hay que varar mucho n para consegur una pequeña varacón del error cuadrátco medo. 10 Ejemplo: Una manera aproxmada de calcular el error ε es a partr de la fórmula de Peters: 5 D ε (0-7) 4 n 1 Al estudar el perodo del movmento de un péndulo smple, mantenendo constante su longtud, se han obtendo los sguentes valores T. T (segundos ) D (*10 ) 4 D (*10 ) T = s ; D = s ; D = s

11 11 La desvacón meda es D = segundos. La desvacón estándar es: σ = segundos. El error cuadrátco medo: ε = segundos. (según la fórmula de Peters: ε = segundos.) En la práctca resulta a veces más cómodo calcular la desvacón estándar a partr de la expresón: σ = < x > < x > (0-8) σ y el error cuadrátco medo como ε = n 0.. 3BErrores absoluto y relatvo El error del resultado fnal puede expresarse de dos formas dstntas, o ben con el valor que ndca el entorno de probabldad, y que desgnaremos como Δx y que se llama "error absoluto", o ben con el cocente Δx/x que llamaremos "error relatvo". Es obvo que este últmo será mucho más nteresante que el anteror, pues nos permte precsar mejor la bondad de una medcón. Así, p.ej. determnar con un error absoluto de ± 0,1 cm una longtud de 1 cm, o ben una de 100 cm. es algo muy dferente. En el prmer caso el error relatvo sera ± 0,1/1 y en el segundo ± 0,1/100. No hay duda de que esta segunda medda es mucho más precsa que la prmera. Obsérvese que el valor Δx/x está en "tanto por uno". S se pretende calcular el "tanto por cento" de error será precso multplcar por 100 este valor. La determnacón del error absoluto se acostumbra a hacer tomando como referenca la sensbldad del aparato. Así, p.ej. s un cronómetro está dvddo en 0, s es porque el fabrcante supone que la caldad del msmo no permte más. En este caso se toma este valor como error absoluto de la medda que se haga con el cronómetro. S un termómetro tene como dstanca entre dos dvsones consecutvas 0.1 ºC este será el error absoluto. (En el caso de que las dvsones de la escala estén sufcentemente separadas puede tomarse la mtad de dcho valor. Algunos aparatos de aguja tenen un espejo debajo de ella para evtar el error de paralaje al hacer la lectura de la medda, lo cual denota ya un certo grado de caldad en el aparato, pudéndose consderar que el error absoluto sería más pequeño que el que corresponde a la dstanca entre dos dvsones consecutvas de la escala). S la medcón se repte n veces y se hace una estmacón del error cuadrátco medo, puede consderarse este valor como error absoluto. En cualquer caso, hay que tener presente sempre que estamos lmtados por la precsón de los aparatos que utlzamos. No sea que al repetr la lectura con un voltímetro de mala caldad, se mda sempre 110 voltos y se pense que entonces... no tenemos error. El sentdo común del expermentador debe ser sempre el factor más mportante en la aprecacón de los errores.

12 BPropagacón de errores Se han vsto hasta ahora los posbles errores que se pueden cometer en la realzacón de una medda expermental. Pero el estudo no acaba aquí. En Físca, y en general en todas las cencas expermentales, el resultado fnal de un expermento no vene dado en forma drecta sno como una combnacón de dferentes magntudes expermentales que obedecen a una ley determnada. Así, p.ej. con un péndulo smple, se puede determnar un valor de la aceleracón de la gravedad, medante la expresón: l g = 4 π T donde l y T se mden ndependentemente, calculando los errores respectvos Δl y ΔT. La pregunta nmedata será: Cómo afectan estos errores al valor de g?. De otra forma: Cual será el error de g en funcón de los errores Δl y ΔT?. Consderemos en prmer lugar el caso más sencllo de una magntud y que es funcón de una varable ndependente x : y = f (x). A un certo valor expermental x 0 le corresponderá un valor y 0 dado por la ecuacón anteror. De gual modo, a un ntervalo (x 0 - Δx, x 0 + Δx) le corresponderá otro (y 0 - Δy, y 0 + Δy), y de aquí podemos deducr el valor Δy, es decr: el error de la magntud y. Veamos este razonamento gráfcamente. Supongamos ncalmente que Ula funcón f(x) es lneal.u En la Fgura 0. se apreca que: BC y+ y0 y0 y Δy tg α = = = = AB x+ x0 x0 x Δx pero, sabdo es que: dy tg α = dx P dy susttuyendo Δ y = Δx dx P En resumen, el cálculo del error de y no ofrece nnguna dfcultad una vez conocda 1a funcón y = f(x) y el error expermental de x. y + y 0 y - Y Δy A P Δx α C B x - x 0 x + X Fgura 0.

13 US la funcón f(x) no es lnealu el problema es mucho más complejo, pues aunque x + - x 0 = x 0 - x - = Δx ; en cambo, y + - y 0 y 0 - y - Δy 13 y por tanto: tg α = dy dx P tg α = BC AB y x + + y x 0 0 y x 0 0 y x Y C y + y 0 P α A B y - Δx x - x 0 x + X Fgura 0.3 Sn embargo, s Δx es pequeño, las dferencas entre los membros de dcha desgualdad pueden ser pequeñas y se podría decr que: luego: y + - y 0 y 0 - y - Δy dy Δ y Δx (0-9) dx P Analítcamente, esta expresón corresponde a una aproxmacón de prmer orden en el desarrollo en sere de Taylor. En efecto: f '( x0 ) f ''( x ) ( ) ( ) ( ) 0 f x = f x0 + x x0 + ( x x0 ) !! S consderamos x = x 0 + Δx, Δy = f(x 0 + Δx) - f(x 0 ) se tene: Δy = f '( f ''( x0 ) x0 ) Δx + +! ( Δx)..

14 para En cualquer caso, la ecuacón (0-9) convene tomarla con certas precaucones pues podría conducr a stuacones absurdas. Supongamos p.ej. que se ha meddo un ángulo expermentalmente φ = 90º ( ± 10 %) y se desea saber el error que se comete en la determnacón de sen φ. La aplcacón drecta de la expresón (0-9) : Δ(sen φ) = cos φ Δφ donde Δφ = 0.10 * 90º = 9º = 9 * π/180 = rad, y cos 90º = 0 De modo, que φ tene un error del 10 %, y en cambo sen φ!no tene error! En este caso, el ángulo φ puede tomar valores en el rango de 81º a 99º, y su funcón seno entre sen 81º = , sen 90º =1, sen 99º = , luego Δ(sen φ) = 0.013, y en consecuenca: sen φ = 1.00 (± 1. %) S en el desarrollo de Taylor la aproxmacón fuese de segundo orden, se tendría: f ' (90º) = cos 90º = 0 ; f " (90º) = - sen 90º = -1 1 Δ φ ( sen ) = = Consderemos ahora el caso más frecuente de que en el cálculo de y ntervengan varas magntudes ndependentes x 1, x, x 3, que se han meddo expermentalmente: y = f (x l, x, x 3,... ) Puede ocurrr que, matemátcamente, los errores que las dstntas magntudes aportan al error de y se neutralcen en parte mutuamente. Sn embargo, en teoría de errores sempre se consdera la stuacón más desfavorable, es decr que no se compensen los errores unos con otros. La expresón (0-9) aplcada a este caso sera: y y Δy = Δx1 + Δx +... (0-10) x1 x donde todos los Usumandos son postvos U que los errores no se compensen. En algún caso, puede ocurrr que la funcón y = f (x l, x, x 3,... ) tome una forma senclla y entonces pueda calcularse el error de y buscando los dos valores lmtes. Así, p.ej. y x x + Δx = y + = y+ x1 x1 Δx1 = x x1 Δx + Δx1

15 15 El error de y vendría dado ahora por la mayor de las dferencas : Δy = y + - y > y - y - (0-11) Cuando Δx 1 << x 1 y además Δx << x se verfca que: Δy = y + - y = y - y - = (y + - y - )/ que es el valor aproxmado que se obtendría hacendo uso de la expresón (0-10) UEjemplo:U Calcular la resstenca óhmca, y su error, de un resstor por el que pasa una corrente de ntensdad I = 4 A (± 10%) cuando se aplca una dferenca de potencal entre sus bornes V = 10 V (± 5 %). ΔV = 0.5 volto ΔI = 0.4 A V V + ΔV 10.5 V ΔV 9.5 R = =.5 ohm R+ = = =.9 ohm R = = =. 16 ohm I I ΔI 3.6 I + ΔI 4.4 Por tanto: ΔR = R + - R = 0.4 ohm UR =.5 ohm (± 17 %) A partr de la expresón (0-10): ΔR = R V ΔV + R I ΔI = 1 ΔV I V + I ΔI = = 0.38 UR =.5 ohm (± 15 %) En el caso del péndulo smple: g =g(l,t), el error absoluto de g puede calcularse hacendo uso de la expresón (0-10), sabendo que l g = 4π (0-1) T 1 l Δg = 4π Δl + ΔT (0-13) 3 T T El error relatvo de g será: 1 l l T g Δ + Δ Δ 3 T T Δl ΔT = = + (0-14) g l l T T 0 ben tomando logartmos neperanos en la expresón (0-1) y dferencando: ln g = ln 4π + ln 1 - ln T Δg g = Δl l ΔT + (0-15) T

16 BNúmero de cfras del resultado Una vez hecho el estudo de errores de una medda, el resultado debe expresarse con el número de cfras adecuado al error de la magntud. Como norma puede tomarse que la últma cfra del resultado debe concdr con la prmera del error. De manera que s el error absoluto afecta a la cfra de las décmas, el resultado fnal nclurá cfras sgnfcatvas hasta las décmas ("redondeándose" la últma en el caso de que la cfra de las centésmas fuese 5 o mayor que,5). Así, p.ej. nuestra máquna de calcular nos ha dado como valor fnal de la aceleracón de la gravedad: g = m/s y sabemos que su error absoluto es Δg = ± 0, cm/s. En este caso, el resultado deberá ser: g = m/s S el error absoluto hubese sdo Δg = ± 1,3 cm/s el resultado sería g = 9.8 m/s En general, el resultado fnal deberá r acompañado del tanto por cento de error estmado. En el prmer caso anteror sería: Δg *100 g = 0.00 * % y se escrbría: g = m/s ( ± 0.0 %) UEjemplo: Calcular el módulo de rgdez η de un alambre al ser torsonado, y su error correspondente, a partr de la expresón: 8π I0 h η = (0-16) 4 r T donde h es la longtud y r el rado del alambre. El perodo de osclacón es T e I 0 el momento de nerca de la barra clíndrca que pende del extremo del alambre, perpendcular a él, respecto a un eje que pasa por su punto medo, y cuyo valor es: 1 I 0 = M ( L + 3 R ) 1 donde M es la masa, L la longtud y R el rado de la barra clíndrca. Sabendo que:: a) El rado del alambre se ha meddo con un palmer: r = 1.00 ± 0.01 mm b) La altura del alambre se ha meddo con una regla senclla dvdda en mlímetros: h = 50.0 ± 0. cm

17 17 c) El valor medo del perodo calculado para una sere de meddas ha sdo T=.01 s. y su error cuadrátco medo de 0.05 seg. d) La longtud de la barra medda con una regla es: L = 0.0 ± 0.1 cm. e) La masa se ha calculado con una balanza de poca sensbldad, tenéndose que: M = 00 ± 1 gramos f) El rado de la barra clíndrca se ha meddo con un calbrador normal: R = 10.0 ± 0.1 mm USolucón: Al dferencar la ecuacón (0-17) será: 1 di 0 = (L + 3 R M ) dm (L dl + 6R dr) y por tanto su error absoluto es: ΔI 0 = 1 1 (L + 3 R ) ΔM + M 6 (L ΔL + 3R ΔR) susttuyendo valores numércos: ΔI 0 = 101 gr.cm I 0 = gr.cm el tanto por cento de error cometdo en la determnacón del momento de nerca I 0 es: ΔI 0 I 0 = *100 = 1.5 % Puesto que el error absoluto de I 0 afecta a la cfra de las centenas, es totalmente absurdo dar las cfras de las decenas, undades y decmales, de forma que el resultado se expresa: I 0 = gr cm (± 1.5 %) Para calcular el error del módulo de rgdez del alambre, se toman logartmos neperanos y se dferenca: ln η = ln 8π + ln I 0 + ln h - 4 ln r - ln T Δη ΔI 0 Δh 4 Δr ΔT = η I 0 h r T Susttuyendo valores numércos: η = gr.cm -1 s - Δη = η

18 18 El error absoluto de η es: Δη = = gr cm -1 s - La cfra de las decenas del módulo de rgdez está ya afectada por el error, luego el valor fnal debe ser: η = gr.cm -1 s - (± 11 %) 0.3 5BMETODOS ANALITICOS DE AJUSTE DE CURVAS Sempre que sea posble deben exponerse los datos en forma de tabla, encabezándose esta con el nombre de la magntud, su símbolo y undades. Así, p.ej.: Tensón V (* 10 3 V) Intensdad I (ma) Muy frecuentemente al representar estos valores en una gráfca es posble deducr consecuencas nmedatas a la vsta de ella. Sn embargo, a fn de consegur un mayor rgor, exsten dversos métodos analítcos para ajustar los datos expermentales a determnadas funcones matemátcas, procurando que estas se acerquen lo más posble a todos los puntos BAjuste por mínmos cuadrados El razonamento teórco que aquí se desarrolla supone una varacón lneal de la funcón. Asmsmo, y para mayor sencllez, supondremos que: la ncertdumbre afecta solo a las ordenadas Y. (Es decr, supondremos que las abscsas X se conocen... sn error ) todas las y tenen gual "caldad". Es decr, no hay puntos "mejores" y "peores", sno que todos tenen gual "peso". Tomaremos como postulado que: "El valor más probable de una magntud observada, es tal que la suma de los cuadrados de las desvacones de estas meddas debe ser mínma". El objetvo es, entonces, calcular los parámetros a y b de la funcón lneal: que más se aproxma a los puntos expermentales: y = a x + b (0-18)

19 19 Debdo a la mprecsón de las meddas, la dferenca y - a x - b debería ocurrr s no hubera error. La llamaremos d, de modo que: no es cero, como d = y - a x - b (0-19) De acuerdo con el anteror postulado, la funcón más probable será aquella que consga que el térmno Σd sea mínmo. Por tanto: d = y + a x + b + a b x - b y - a x y Σd = Σy + a Σx + n b + a b Σx - b Σy - a Σx y donde n representa el número total de puntos. Utlzando el método de Legendre para mponer la condcón de mínmo, debe verfcarse que: ( ) d = 0 ( d ) = 0 a b Luego: (0-0) a Σx + b Σx = Σx y (0-1) a Σx + b n = Σy (0-) Sstema de dos ecuacones con dos ncógntas a y b, que resuelto da: ( x y ) ( x ) ( y ) n a = (0-3) n ( x ) ( x ) ( y ) ( x ) ( x ) ( x y ) n ( x ) ( x ) b = (0-4) Es nteresante destacar que cuando se trabaja con valores medos: se verfca que: x = x n y y = (0-5) n y = a x + b (0-6) Es decr, la recta más probable debe pasar precsamente por el punto medo ( x, y ) Desde un punto de vsta práctco, lo más aconsejable es calcular la pendente de la recta hacendo uso de la ecuacón (0-3) y la ordenada en el orgen a partr de la (0-6): b = y a x (0-7)

20 0 El cálculo del error con que se conocen estos parámetros a y b, excede los límtes de esta exposcón, pudendo acudr a textos especalzados (1F ), donde se demuestra que: A el error cuadrátco medo de a: Δa (0-8) ( D ) el error cuadrátco medo de b: 1 x Δb A + (0-9) n ( D ) donde d A = n (0-30) y ( D ) = ( x x) = ( x ) n x Cuando se tene la certeza de que el orgen es un punto de la recta, el ajuste debería ser entonces con la funcón: y = a x (0-31) Razonando del msmo modo que en el caso anteror: d = y - a x Σd = Σy + a Σx - a Σx y Imponendo la condcón de mínmo: ( ) 0 en defntva: d = a Σx = Σx y a x y a = (0-3) x Es nteresante destacar que s en el caso anteror : y = a x +b restamos y a los dos térmnos, y tenemos presente la (0-6), quedaría: o ben y - y = a x + b - (a x +b) = a (x - x) D y = a D x (0-33) En otras palabras, s en vez de representar las parejas de puntos (x, y ), representásemos las desvacones respecto al valor medo (D x, D y ) se obtendría una recta que pasa por el orgen cuya pendente es precsamente a, a la que puede aplcarse la expresón (0-3): Dx D y a = (0-34) Dx esta sería, pues, una expresón equvalente a la (0-3), que permte calcular la pendente de la recta a partr de las desvacones de los puntos respecto al punto medo. ( ) Squres, Físca Práctca, pag. 05, Ed. Mc-Graw Hll, (197), Practcal Physcs, Cambrdge Unv. Press (3ª ed. 1985) Barford, N.C. "Expermental measurements: precson, error and truth", p.67, Ed. John Wley and Sons, (1985)

21 BCorrelacón: Cuando al representar los puntos (x,y ) se observa una certa relacón lneal entre ellos se dce que exste una correlacón entre x e y. Asmsmo, se defne (F3 ) el "coefcente de correlacón" como: y x y x s r σ σ ), ( = (0-35) donde σ x y σ y son las desvacones estándar: n D x x = σ n D y y = σ (0-36) y s(x,y) la covaranza: n D D y x s y x = ), ( (0-37) Susttuyendo (0-36) y (0-37) en (0-35): = y x y x D D D D r (0-38) que puede expresarse en funcón de la pendente, a, de la recta de "regresón" (recta que pasa más próxma a los puntos): ( ) ( ) ( ) = + = + = = y n x x y y x y x y x x y y x y x y y x x D D y x x n a y n x y x y n x n x y y n x y x Δ = = + = (0-39) ( ) ( ) = + = + = = x n x x x x x x x x x D x ( ) n n x x n x n x n x x x Δ = = + = (0-40) ( ) n n y y D y y Δ = = (0-41) donde: ( ) = Δ x x x n ( ) = Δ y y y n susttuyendo en (0-38) y x y x x a a r Δ Δ = Δ Δ Δ = (0-4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = y y n x x n y x y x n y y n x x n a r (0-43) ( 3 ) Sánchez del Ro, C. "Análss de errores", Eudema Unversdad, Madrd, (1989)

22 que son expresones más habtuales para calcular el coefcente de correlacón. El coefcente de correlacón r tene un rango de 0 a 1. Cuando r =0 no exste nnguna correlacón entre x e y, en tanto que cuando r=1 el ajuste es perfecto y la pendente de la recta no tene error. Por tanto, el coefcente de correlacón da una dea de la "caldad" de la relacón lneal que exsta entre x e y, sendo tanto mejor cuánto más próxmo sea a 1. Resulta nteresante conocer la relacón entre el coefcente de correlacón, r, y el error cuadrátco medo de la pendente, Δa. De la expresón (0-8) sabemos que Δa d ( n ) ( Dx ) ( y a x b) = ( D a D ) = D a D D + a D = d = = D y Dy D 1 a Dy y x + a x D D Tenendo en cuenta las expresones: (0-39), (0-40), (0-41) y (0-4) d = D Por tanto: y x y y y x x a 1 Δ x Δ x Δ = 1 n + n x a a Dy 1 a = D r 1 1 y Δ Δ Δ y y y n n ( 1 ) 1 r Dy Δa (0-44) n D x BMétodo de los "pares de puntos" El ajuste por mínmos cuadrados puede ser muy laboroso s no se dsfruta de alguna máquna de calcular. En la práctca puede hacerse uso del método que a Y 8 contnuacón detallamos, mucho más 7 smple y rápdo. 6 Supongamos que se han obtendo 8 puntos que están aproxmadamente en línea recta, como se observa en la fgura 1-4. Los numeramos de 1 a 8 y los agrupamos en parejas de la sguente forma: y 5 - y Fgura 0.4 x 5 - x 1 X

23 Calculemos las pendentes de las líneas que unen los pares de puntos: a 1 y5 y1 = ; x x 5 1 a y6 y = ; x x 6 a 3 y7 y3 = ; x x 7 3 a 4 = y x 8 8 y x 4 4 Se tomará como mejor valor de la pendente el valor medo de las a : a = a n' donde n representa el número de pares de puntos (en el ejemplo anteror: 4) S el número de meddas es mpar, se prescnde generalmente de la medda central; así, p.ej. s se han hecho once meddas, se suprmría la sexta. Sn embargo, cuando no es muy alto el número total de meddas, convene no qutar nngún punto; en ese caso, es mejor nclur el central en ambos sectores. S hubesen sdo sete las meddas expermentales realzadas, las parejas habrían quedado de la forma sguente: 1 4 ; 5 ; 3 6 ; 4 7 La ordenada en el orgen se calcula una vez conocda la pendente de la recta a, hacendo uso de la expresón (0-6): b = y a x (0-45) Es decr, una vez calculada la pendente meda de la recta, se oblga a esta a pasar por el punto medo ( x, y ). El error de la pendente Δa se calculará buscando el error cuadrátco medo de las pendentes a El error de la ordenada en el orgen b, puede hacerse de dos modos: 1º) Una vez conocda la pendente meda a se calcula el valor de b para cada uno de los puntos expermentales: b = y - a x y a partr de ellos su error cuadrátco medo correspondente. º) De un modo aproxmado se cumple que: Δb x Δ a donde x es el valor medo de las x

24 4

25 BGRAFICAS Las gráfcas tenen una utldad excepconal en el trabajo expermental. Consttuyen una "ayuda vsual" de gran nterés en la presentacón de resultados y, en muchas ocasones, permten aventurar modelos teórcos que justfquen la varacón que se observa en la gráfca de la magntud físca que se representa. Cuando la varacón es lneal la gráfca puede ser una herramenta de nterés en un cálculo rápdo de la pendente y de la ordenada en el orgen; parámetros que acostumbran a estar relaconados drectamente con dversas constantes físcas del expermento, y cuyo conocmento permte encontrar con frecuenca alguna relacón empírca entre dos magntudes físcas, cuya dependenca teórca se desconoce. A contnuacón daremos algunas normas para la representacón de gráfcas: 1.- En los expermentos se acostumbra a varar una certa magntud físca (varable ndependente) y determnar el efecto que se produce en otra (varable dependente). En resumen, la "causa" va en abscsas y el "efecto" en ordenadas..- Las escalas deben elegrse de modo que los puntos expermentales queden lo más espacados posbles. El orgen de la gráfca no tene por qué ser precsamente el punto (0,0), n las escalas del eje X y del eje Y tenen que ser oblgadamente las msmas. Así, p.ej. la gráfca de la fg 0.5b tene mejor elegdas las escalas que la fg 0.5a y permte ver mejor la dsposcón de los puntos expermentales. 300 Y 75 Y Fgura 0.5a X Fgura 0.5b X 3.- En general, las gráfcas deben ser representadas con el tamaño adecuado a la precsón de sus resultados expermentales. Podríamos decr que las gráfcas son como fotografías. S se hacen en papel muy pequeño, no se aprecan apenas los defectos,... pero tampoco los detalles. Sn embargo, s se ampla a gran tamaño, las fguras serán mayores,...pero tambén aumentan los defectos que puderan exstr. Hasta donde, entonces, deberíamos amplarla? Esto depende de la caldad de la máquna fotográfca, del negatvo, de la ampladora, de la caldad del papel, etc., en una palabra: de la precsón expermental con que se haya trabajado.

26 4.- La escala elegda debe ser cómoda. Tomar un factor de 3.7 p.ej. es un trabajo penoso, pues cada valor habrá que adaptarlo con esfuerzo a la nueva escala. En cambo, s el factor es un número entero (, 5, preferblemente), la operacón puede hacerse drectamente de memora. 5.- Los puntos que se representan en la gráfca no deben r acompañados de líneas horzontales y vertcales, como ndca la Fgura 0.6. Basta con representar smplemente los puntos, ben con un aspa x, ben con un pequeño círculo o, ben con cualquer otro conveno. 6 Y Y X X Fgura 0.6a Fgura 0.6b En ocasones, puede ser muy nteresante que las gráfcas se hagan sobre papel mlmetrado, o al menos cuadrculado 6.- Las magntudes físcas tenen undades, por lo que es fundamental que en los ejes de coordenadas se ndque la magntud físca que se representa y su undad correspondente. 116 Intensdad (ma) Tensón (V) Fgura 0.7

27 7.- S al representar los puntos se observa que estos sguen una ley aproxmadamente lneal, se dbuja con una regla la línea recta que pasa más próxma a todos. S la varacón no es lneal, entonces con un poco de habldad se dbujará a mano alzada, o con plantlla, la curva que pase más cerca de ellos. No los una jamás dos a dos Recuerde que, salvo raras ocasones, las leyes en Físca no sguen varacones "a saltos", sno contnuas. Hoy día, muchas gráfcas se Resstenca (ohm) Fgura 0.8 representan con programas nformátcos que unen los puntos sucesvos con pequeños segmentos, dando la magen de una polgonal, que no tene nnguna realdad físca. En la mayoría de estos casos, sería preferble representar úncamente los puntos, sn líneas que les unan. 8.- Los puntos expermentales deben verse sempre con clardad. Cudado, pues, al dbujar la curva para que no queden enmascarados Temperatura ( ºC) 9.- Cuando la varacón es lneal, resulta muy nteresante calcular la pendente de la recta. En este caso se elgen dos puntos de ella muy separados (no tenen por qué concdr con los puntos expermentales), y se dbujan las líneas a trazos que los unen con los ejes de coordenadas (V. fg.0.9). Se determna el valor del tramo vertcal de acuerdo con la escala elegda en ordenadas y el del tramo horzontal con la escala de las abscsas Intensdad (ma) Tensón (V) Fgura ( 7 48) R = ohm = ohm = ohm

28 8 UEjemplo: Un resstor se calenta de forma que su resstenca varía según muestra el sguente cuadro de valores: Temperatura, t Resstenca, R (ºC) (ohm) Dbujar la gráfca correspondente y calcular a partr de ella el valor del coefcente α. Dato: R = R 0 (1 + αt) USolucón Resstenca (ohm) pendente La funcón lneal es: R = a t + b Temperatura ( ºC) = Fgura 0.10 ohm º C = ohm º C = 1.65 ohm º C A partr de la gráfca se ha determnado la pendente: a = 1.65 ohm/ºc La ordenada en el orgen se calcula a partr de la expresón: b = R a t De la tabla, se calcula el valor medo de la resstenca: R = 04 ohm y el valor medo de la temperatura: t = 5 ºC A partr de estos valores: b = ohm Comparando estos resultados con la expresón del enuncado : R 0 = b = ohm R 0 α = a α = 1.65/16.75 = ºC -1

29 BMEDIDA DE LONGITUDES Y ÁNGULOS Materal Un palmer. Un calbrador. Un esferómetro. Un gonómetro. Objeto Conocmento del nonus. Manejo del palmer, calbrador, esferómetro y gonómetro Teoría En la vda real se utlzan algunos aparatos de medda (relojes, reglas, balanzas etc.) que poseen una escala sobre la que se desplaza un índce. El procedmento de medda se puede llamar analógco para dstngurlo del dgtal donde aparece el resultado en forma de una sere de cfras. La lectura analógca se efectúa contando el número de dvsones de la escala y se consdera como precsón de la medda la dvsón más pequeña de la escala. La ctada precsón puede varar mucho de unos casos a otros, pero es evdente que en el Laboratoro de Físca, deben emplearse medos para mejorarla. El objetvo de esta práctca es llegar a conocer el manejo de algunos aparatos de medda, saber nterpretar correctamente los resultados de las meddas y mejorar en lo posble, la precsón de éstas. Muchos nstrumentos de medda poseen una pequeña escala móvl (nonus) que deslza sobre otra escala fja, y con la cual es posble mejorar la precsón de la medda. En efecto, supongamos que N es el número de dvsones del nonus tal que superpuesto sobre la escala fja equvale a N - 1 dvsones de la msma. Se deduce que cada dvsón del N 1 nonus equvale a dvsones de la escala fja. Se dce entonces que la precsón del N nonus es N 1 1 p = 1 = N N U1 er Ejemplo: Cuando la escala fja está dvdda en mlímetros y el nonus tene 10 dvsones correspondentes a 9 mlímetros, cada dvsón del nonus equvale a 0,9 mm y la precsón del msmo es: 1 = 0,1 mm. 10 Para operar con un nonus se segurán los sguentes pasos: 1º) Tomar la lectura ndcada en la escala prncpal por la dvsón cero del nonus º) Comprobar cual es la dvsón más pequeña de la escala fja (generalmente son mlímetros)

30 3º) Conocer la precsón del nonus. Para ello se mra el número de dvsones del nonus N y entonces 1/N es la precsón 4º) Observar cual es la dvsón del nonus que concde con una de la escala fja; este número multplcado por la precsón del nonus, proporcona la fraccón correspondente. La fraccón se agrega a la lectura efectuada en el apartado 1º. Uº EjemploU: Consderemos el caso en que la lectura del nonus es tal como se muestra en la fg mm Fgura 0.11 a) El cero del nonus está stuado entre 4 y 5 de la escala fja, que supondremos mlímetros. De momento se anota 4 como resultado de la lectura. b) En este caso N = 10, luego la precsón del nonus será 1/10 mm. c) La dvsón 8 del nonus concde exactamente con una de la escala fja (la de 1 mm.). Luego la medda de dcha magntud es U3 er EjemploU: (Ver Fg. 0.1) = 4.8 mm. 10 Supongamos ahora que la lectura del nonus es tal como se muestra en la fg mm Fgura 0.1

31 31 a) El cero del nonus está stuado entre 7 y 8 de la escala fja, que supondremos mlímetros. De momento se anota 7 como resultado de la lectura. b) En este caso N = 0 luego la precsón del nonus será 1/0 mm. c) La dvsón 9 del nonus (que marca 4.5) concde exactamente con una de la escala fja (la 5). Luego la medda de dcha magntud es: = = 7.45 mm BDescrpcón de los nstrumentos a) Calbrador o 'pe de rey'. Es uno de los nstrumentos más utlzados en la determnacón de dmensones del orden de centímetros o mlímetros. Consste en una escala graduada dvdda en mm, y un pequeño nonus adosado a una peza móvl que deslza sobre la prmera (Fgura 0.13). Para poderla desplazar será precso que el freno de fjacón esté lberado. B C A Fgura 0.13 Para medr las dmensones exterores de un objeto se coloca éste entre las mordazas correspondentes (A). S se pretende medr el dámetro nteror de un tubo clíndrco se hace uso de los bordes de cuchlla (B). S lo que se pretende averguar es la profunddad de una cavdad, se ntroduce la varlla del extremo hasta tocar el fondo del msmo (C). En todos los casos, la lectura se efectuará sobre el nonus de la peza móvl. b) Palmer. Es un aparato de gran sensbldad que habrá que tratar con mucho cudado. Se utlza para medr dmensones muy pequeñas de un objeto, como p. ej. los espesores de lámnas delgadas. (Ver Fg. 0.14).

32 3 Fgura 0.14 La peza a medr se coloca entre los extremos M y N y se gra el tambor, preva puesta de la palanca en la poscón (1), hasta que el objeto quede sujeto por M y N. A contnuacón se coloca la palanca P en la poscón (), para dejar el tornllo mcrométrco bloqueado, y se efectúa la lectura. El fundamento del palmer radca en un tornllo mcrométrco cuyo paso de rosca está muy ben defndo. Cada vuelta completa del tornllo corresponde al avance de un paso de rosca, y está señalzado medante un lmbo graduado con N dvsones. La precsón del palmer será precsamente 1/N del paso de rosca del tornllo. Generalmente, el paso de rosca suele ser de 0,5 mm y el número de dvsones de 50, luego la precsón del palmer es de 0,5/50 = 0,01 mm. Es precso tener en cuenta el error de cero que puede someterse en la lectura (error sstemátco). En efecto, suele ocurrr que al ponerse M y N en contacto, el cero de la escala fja no concda con el cero del tornllo como debería ser, sendo precso tener sempre presente este error para ajustar las lecturas correspondentes, consderando que puede ser negatvo (s no llega al cero) o postvo (s está por encma de él). UCada vezu que se efectúe una medda se determnará el error de cero y se corregrá la lectura. c) Esferómetro El esferómetro (Fg. 0.15) es un nstrumento de medda que consta de cuatro patas termnadas en punta, tres fjas y una móvl. Las patas fjas determnan un trángulo equlátero de lado D. La pata móvl se desplaza paralela a las fjas y pasa por el centro del trángulo; se encuentra stuada en la prolongacón de un tornllo que al grar hace desplazar la pata en un sentdo o en otro. Exste un dsco soldaro con el tomllo que realza un gro completo cuando el tornllo avanza o retrocede un paso de rosca (una dvsón). El dsco está dvddo en centésmas de dvsón que se pueden leer con facldad. Exste una escala vertcal que permte, por un lado, leer el número de dvsones desplazadas en un sentdo u otro por la pata móvl y, a la vez, srve de índce para la lectura del dsco. El prncpo de medda es, pues, el msmo que el tornllo mcrométrco. El esferómetro se utlza para determnar el rado de las lentes esfércas. Fgura 0.15

33 33 d) Gonómetro Es un meddor de ángulos al que, para aumentar la precsón, se le añade un nonus. La escala fja tene dvsones de medo grado. En caso de no exstr nonus la precsón alcanzada sería de 0.5 º = 30. El nonus posee 30 dvsones equvalentes a 9 dvsones de la escala fja o sea a 14 º 30. (Fg. 0.16). Por tanto, la precsón aportada por el nonus es : 1 9 D p = = = La medda se hace gual que con el calbre º 15º 10º 5º 0º Fgura 0.16 Ejemplo:U En el caso mostrado en la Fg la lectura del cero nos da 16º 30 ; por otro lado n = 13 (ndcado con una flecha ). Por tanto, el ángulo meddo será : 16º = 16º Fgura 0.17

34 34

35 BPRÁCTICAS DE MECÁNICA Materal 1.1 8BPENDULO SIMPLE Una pequeña bola metálca atada a una cuerda delgada. Una regla con argollas regularmente espacadas. Un cronómetro. Objeto Determnacón de la aceleracón de la gravedad. Deduccón expermental de la fórmula teórca que rge el movmento osclatoro. Teoría El péndulo smple consta de una masa m unda al extremo de una cuerda de longtud l, que mantene el otro extremo fjo O. Dentro del campo gravtatoro la masa m tenderá a stuarse en la poscón vertcal, que es la de energía potencal mínma. S suponemos que la masa es muy pequeña hasta el punto de poderse consderar puntual, la esplazamos de su poscón de equlbro y la dejamos en lbertad, esta recorrerá un arco de crcunferenca s y osclará respecto a la poscón vertcal con un perodo T. En la fgura se representa el dagrama de fuerzas que actúan sobre la masa m: Tc θ O mg F c T C debda a la accón del campo gravtatoro o fuerza centrífuga. o tensón de la cuerda La ley de Newton aplcada al movmento crcular de la partícula a lo largo de un arco s = l θ, se expresará F = ms = m θ, [1] sendo la fuerza tangencal: t F c mg Fgura 1 F t = - mg sen θ [] El sgno negatvo ndca que la fuerza tangencal resultante es de naturaleza "recuperadora" (es decr la fuerza se opone sempre al desplazamento angular θ ). La ecuacón dferencal que se obtene de las ecuacones [1] y [] es: d θ m m g sen = θ [3] dt

36 La resolucón de esta ecuacón es muy senclla s se suponen ángulos pequeños, pues entonces : sen θ θ (3F4 ) y podemos smplfcar [3] de la forma sguente: 36 d θ g θ [4] dt Probemos una solucón del tpo: θ = θ 0 cos ωt [5] donde θ 0 sería el desplazamento angular ncal, y ω sería π veces la frecuenca del movmento. Se tene: dθ d θ = ω θ 0 sen ω t ; = ω θ 0 cos ω t dt dt que susttudas en la [4]: - l ω θ 0 cos ω t = - g θ 0 cos ω t de donde: ω= y el perodo del movmento será: g [6] Práctca T π π = = = π ω g g [7] Colóquese la cuerda sujeta a la argolla superor de la regla (punto A). A B La masa m se separa de la vertcal un ángulo menor de 14º y se le deja osclar lbremente, mdéndose el tempo t que nverte en realzar n osclacones (Advertenca l). m El perodo del movmento será: T = t n Fgura ( 4 ) Para ángulos menores de 14º el error que se comete con esta aproxmacón es menor del 1 %

37 sendo n el número de osclacones completas (da y vuelta). Véase al fnal la Advertenca 1ª que sugere un tempo total del orden de 50 s para cada medda del perodo. Repítanse varas veces las meddas (del orden de tres veces) y tómese un valor medo. Cambando sucesvamente la cuerda a otras argollas nferores, la longtud de la cuerda será progresvamente más corta. S llamamos l 0 la longtud cuando la argolla está en la poscón A (poscón 0), en la sguente poscón B (poscón 1) se tendrá, l 1 = l 0 - Δl y en la poscón n-ésma: l n = l 0 - n Δl [8] 37 I. UPrmera parte En cada una de las poscones marcadas se calculará el perodo de la osclacón, según se explcó anterormente, confecconándose una tabla de valores, Utomando, al menos, 8 posconesu, como se ndca a contnuacón: TABLA I n Δl (cm) t (s) T (s) T (s ) Con un regla mlmetrada mda Δl= ± 1 mm. Representemos ahora la gráfca para el perodo T de la ecuacón [7] Los puntos segurán una varacón lneal y = a x + b de pendente negatva a y de ordenada en el orgen b. Susttuyendo la longtud varable del péndulo de [8] en la expresón del perodo T de [7] se obtene, efectvamente: l [9] Luego: 4π 4π a = b = 0 [10] g g. Podemos, pues, calcular estos parámetros ajustando la recta T = f ( Δ l) por mínmos cuadrados o por "pares de puntos". [y = f(x), sendo: y = T, x = Δ l] UAtencónU : véase el tema 0 que es la Introduccón a los Métodos de Ajuste por una recta, en este Manual del Laboratoro.

38 38 En una hoja de papel mlmetrado: 1º) Urepresente los puntos expermentales dados por las parejas de coordenadasu ( x = Δ l, y = T ). A contnuacón con los valores que ha calculado para a y b, º) obtenga dos puntos (sufcentemente separados) que cumplan la ecuacón de la recta, llévelos a la gráfca y Utrace la recta ajustadau de modo que pase por los ctados puntos. A modo de verfcacón del ajuste, puede calcular el punto ( x, y ) que reúne el valor medo de las x y de las y. Estos deben encontrarse en la recta (es una propedad de los valores medos). A partr a y b determne l 0 y g: 4π b g = 0 = [11] a a El error relatvo de g concde con el error relatvo de a, y el de l 0 será: Δ 0 Δa Δb = + a b.obtenga fnalmente para este apartado : 0 [1] 0 = ( ± ) undades ( ± %),. g = ( ± ) undades ( ± %) A la vsta de los valores y su error, comente brevemente s el resultado es adecuado y responde a los objetvos deseados. II. USegunda parte A Galleo, que no conocía la teoría anterormente expuesta, se le ocurró que la relacón entre los perodos y las longtudes del péndulo debía ser del tpo: T = k l n [13] donde Uk y n serían dos constantesu. S tomamos logartmos se obtene: log T = n log l + log k. [14] A partr de los resultados expermentales vamos a ntentar averguar el valor de k y de n. Para ello construremos una tabla de valores del sguente modo: TABLA II Δl (cm) T (s) l = l 0 - Δ l (cm) log l log T donde las dos prmeras columnas están tomadas de la TABLA I.

39 Prmeramente represente en papel mlmetrado los puntos expermentales dados por las parejas de coordenadas (x= log l, y= log T) con la fnaldad de ajustarlos a una recta. En la ctada gráfca proceda al ajuste por una recta, de acuerdo con la expresón [14]: log T = f (log l) en la forma lneal y= a x + b. Al hacerlo, debe obtenerse una recta de pendente a = n y ordenada en el orgen b = log k. Obtenga dos puntos (sufcentemente separados) que cumplan la ecuacón de la recta, llévelos a la gráfca y Utrace la recta ajustadau de modo que pase por los ctados puntos. A modo de verfcacón del ajuste, puede calcular el punto ( x, y ) construdo con los valores medos de las abscsas y las ordenadas de los puntos expermentales que representa el valor medo de x y de y. Estos deben encontrarse en la recta (es una propedad de los valores medos). UAtencónU : véase el tema 0 de Introduccón a los métodos de ajuste por una recta, en este Manual del Laboratoro. 39 El valor de n se puede calcular fáclmente sobre la msma gráfca, y log k se obtendrá a contnuacón hacendo: log k = log T - n log l [15] S tenemos en cuenta la teoría expuesta anterormente, tomando logartmos en la expresón para el perodo T, [8] se tendría: π 1 log T = log + log [16] g Luego, comparando las dos expresones anterores, [15] con [16], debería obtenerse: π k = y n = 0.5 g Por consguente, una vez ajustada la recta log T = f ( log l ) y obtenda la pendente, juntamente con una estmacón de su error, Utene que comprobarse que la ctada pendente toma un valor muy próxmo a - 0.5U. Fnalmente, obtenga para este segundo apartado : k = ( ± ) undades ( ± %), n = ( ± ) ( ± %). A la vsta de los valores y de su error, comente brevemente s el resultado es adecuado y responde a los objetvos deseados.

40 40 Advertencas 1ª) S hacemos un sencllo estudo de errores: T = t/n ΔT T = Δt t + Δn n Consderando que es dfícl que nos equvoquemos al contar osclacones Δn = 0, por tanto, el error relatvo con el que conocemos el perodo resulta ser gual al error relatvo del tempo total meddo con el cronómetro. Según esto, s nuestro cronómetro tene una precsón de 0, s sgnfca que para un tempo total de 50 segundos, por ejemplo, el error cometdo sería ΔT T = Δt t = = adecuado al margen de error con el que trabajamos. Luego el número de osclacones que hay que tomar debe ser el necesaro para que el tempo total sea del orden de 50 segundos. Es decr, s las osclacones son lentas, n será pequeño; pero s son muy rápdas, n deberá ser grande. ª) Recuérdese que se debe trabajar sempre con osclacones cuya ampltud sea pequeña. ( nferores a 14º ) 3ª) Para contar los tempos, se aconseja dejar que el péndulo realce algunas osclacones prevas y empezar a contar el tempo cuando pase por una poscón de ángulo máxmo. En cualquer caso, sempre habrá que consderar el tempo transcurrdo como dferenca entre el nstante fnal y el nstante ncal.