FUNCIONES PRÁCTICA RESUELTA N 2

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2 FUNCIONES PRÁCTICA RESUELTA N. En cada uno de los siguientes casos dar la ley de la unción descripta: a) El área de un rectángulo es de 0 cm². Epresar el perímetro del mismo en unción de la longitud de uno de sus lados. En el rectángulo ABCD se tiene: base 0A ; long 0A Altura 0C ; long 0C y 0 Entonces A bh. y. 0 y Si pide epresar el perímetro como (), por ejemplo Perímetro b.h.y Es decir: perímetro ( ) b) Los lados iguales de un triángulo isósceles tienen cm de longitud. Epresar el área del triángulo en unción de la longitud de su base. Sea ABC isósceles, entones: base AC Long base En el AMB, triángulo rectángulo, se tiene por Pitágoras: 6 h + h 4 h 4 Se pide epresar el área en unción a su base A bh. 6. Área ( ) 6 4 c) El volumen de un cajón rectangular abierto es de m³. sabiendo que su largo es el doble del ancho, epresar el área de la base en unción de su altura. Sea A área de la base, entonces V A.y, donde y es la altura, es decir Ay. A y d) Un rectángulo está inscripto en un círculo de 3 cm de radio. Epresar el área del rectángulo como unción de la longitud de uno de los lados.

3 En el rectángulo ABCD se tiene: base y altura y long 0B 6 ( 0B es diámetro del círculo) En el triángulo rectángulo se tiene: (long 0B )² (long 0C )² + (long CB )² 0CB Y el área será: 6 + y y 36 A bh. y. 36 A ( ) 36. Dadas las siguientes unciones deinidas por su ley, determinar el dominio de las mismas: a) 3 b) ( ) c) ( ) 3 d) ( ) e) ( ) Dom R ya que es una unción polinómica. 4 8 R / 8 0 R 8 Dom { } { } Dom { R / 3 0} [ 3; + ) Dom { R / } ( ; + ) + 4 Dom { R / } Dom ) ( ) ln ( ) g) ( ) R / 4 ; + { / ln 0} Dom R ( ) Dom [ ; + ) ln Dom R / ; 5 A ( ] 3

4 h) ( ) i) ( ) ( ) ( ) ( ; 3] ( ; ) Dom A B ( ; 3] ( ; 5] ln ( + ) ( 3 ) ( 3 ) 3 + B Dom { R /+ 0 0} 0 ( ; ) 0 R { } B Dom A B ( ;) ( ; + ) + + A ln Dom R / ln ln ( ) ( ) ; A + 0 R B j) ( ) { } 3 Dom A B ; ln 6 X + Dom R / ( ; + ) A ; 6 B Dom A B ( ; 6) 3. Sean ( ) 3 y g ( ) ( ] +. Indicar domino y conjunto imagen de cada una, calculando además. + Datos Importantes: Dom R, Im R 0, Dom g R, Im g R a) g 4

5 b) g c) g + d) g 4. Siendo ( ) a) ( t ) g y t t t t 0 ( t ) t t t, veriicar si son ciertas las siguientes igualdades: t t t t 0 ( t ) t t t 5 b) g ( + 3) g ( ) g ( ) c) d) g g ( + 3) g ( 4) g 5. Si ( ) /. /. ( + h) ( ) h a) Calcular g 4 h ( + ) + con h 0; + h, R ( + h ) ( ) + h + h + h +. h h + h + h + h + y ( ) / + h/ / h/ + h + ( ) b) Hallar tal que ( ) / ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( ) + + h + ( + h) + ( ) c) Veriicar si pertenecen a la gráica de () los puntos ( ; ); ( 3; ); ( ; 6) 5

6 ; 0 ; a la gráica de 3; ; a la gráica de ; ; 6 a la gráica de d) Hallar los puntos de intersección de la gráica de () con los ejes coordenados. Gráica de eje y Q 0; y ( 0) 0 Q( 0; 0) P( ) ( ) 0 P( ; 0) Gráica de eje 0; 6. Indicar cuales de las siguientes relaciones son unciones y especiicar dominio e imagen a) R {( ; ); ( ; 3 ); ( ; 5 ); ( 6; 7) } No es unción, porque al le corresponden dos elementos b) R ; y / y { } Sí, es unción. Dom R e Im R 0 c) d) Sí, es unción. Dom R 3 [ ; ] e Im R [ ; 0] No es unción , calcular: 7. Dada 3 + ( ) ( ) p 8 3/ / 3 6 / / + / / / /

7 ( ) ( ) q / / 6 / / + / + + / / + + / Observar que p() es una unción par, q() es una unción impar y que además p + q. P() es par, q() es impar por lo tanto p+q no es par, no es impar 8. Probar que el producto de dos unciones pares o de dos unciones impares es una unción par y que el producto de una unción par por una impar, es una unción impar. Qué puede decirse para la suma? Sean () y g () unciones pares ( ) ( ) g( ) g( ) ) El producto es par:. g( ) ( ). g( ) ( ). g( ). g( ) Sean () y g () unciones impares ( ) ( ) g( ) g( ) ) El producto es par:. g( ) ( ). g( ) ( ). [ g( ) ] ( ). g( ). g( ) Sean () par y g () impar ( ) ( ) g( ) g( ) ) El producto es impar:. g( ) ( ). g( ) ( ). [ g( ) ] ( ). g( ). g( ) 9. Determinar cuales de las siguientes unciones son pares y cuales son impares: a) b) c) d) 5e ( ) 5e 5 e es par ( ) + ( ) + + ( ) es impar + 3 ( ) ln ( ) ln ( ) no es par ( ) ln ln ln ln ( ) es impar a + a + ( ) a R a + a ( ) ( ) es par ( 3) 0. Completar las siguientes gráicas de modo que resulten gráicas de unciones: ) pares ) impares 7

8 a) b) [ ; 0) ( 0; ] A [ a; 0) ( 0; a] A a a. Suponiendo que () es una unción periódica con período π, determinar dos valores de en el intervalo [ 0; 4π ) tales que: π π π 3 π + π π +.π 7 π 5π 5π 5π 6.π 3π 5π 7.π π a) ( ) b). Graicar una unción periódica tal que su período sea igual a y que en [ 0; ) este dada mediante la ley: a) y b) y ( ) ( ) 8

9 3. En cada caso graicar una unción que tenga las características pedidas: a) Impar, biyectiva y creciente b) Par y periódica c) Impar, inyectiva y decreciente 4. Sea t C la temperatura a k metros de la superici e de la tierra (suponer que la unción que relaciona t y k es lineal). Si la temperatura en la supericie de la tierra es de 8 C y la temperatura a 75 m es 6,9 C. Cuá l es la temperatura a 700 m? k t 8 6,9? t (k) por ser una relación lineal se tiene t mk+h donde h 8 (ordenada al orígen; k 8), por lo tanto t mk + 8. P(75; 6,9) a la gráica 6,9 m , de donde m t k + 8, si k 700 t t 3,

10 5. Graicar una unción que sea: a) Eponencial creciente en ( ;] b) Lineal decreciente en ( ;e ] c) Logarítmica creciente en ( e ; + ) Si ( ) + 3 si e ln si e 6. Resolver gráicamente a) ln b) e y. 0 + y 7 { } a) S A( e;) e { } b) S A( 5; ); B( ; 5) 7. Para cada una de las siguientes unciones deinidas por la ley dada: i. Indicar dominio ii. Decir si es par o impar iii. Graicar e indicar conjunto imagen iv. Estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento v. Analizar suryectividad e inyectividad vi. En caso de eistir unción inversa, indicar su ley y graicarla. 0

11 a) ( ) 3 i. A ii. ( ) ( ) 3 () es par iii. B { 3} iv. Es constante v. No es suryectiva, no es inyectiva vi. No admite unción inversa. b) 7 5 i. A ii. ( ) ( ) no es par ( ) 7 5 ( ) no es impar iii. B iv. () es estrictamente creciente v. Es suryectiva e inyectiva vi. Por ser biyectiva admite inversa y y ( ) c) 3 i. A ii. ( ) + 3 ( ) no es par ( ) 5 ( ) no es impar iii. B

12 iv. () es estrictamente decreciente v. Es suryectiva e inyectiva y vi. Su inversa es: y 3 + ( ) d) ( ) i. A ii. 3 3 iii. ( ) ( ) no es par 3 3 ( ) ( ) es impar B iv. () es estrictamente creciente v. Es suryectiva e inyectiva vi. e) Su inversa es: 3 i. A y y ( ) 3 3 ii. ( ) ( ) no es par iii. 3 3 ( ) ( ) es impar B

13 iv. Es estrictamente creciente v. Es inyectiva y suryectiva, por lo tanto biyectiva vi Su inversa es: y y ( ) (gráica en el ejercicio d)) ) i. A R { 0} ii. iii. ( ) ( ) + ( ) no es par ( ) + ( ) es impar 0 Recordemos la deinición de. 0 deinición a (). Si 0 ( ) Si 0 ( ) + 0 Es decir: ( ) B + 0 aplicando esta iv. Es estrictamente creciente en ( ; 0) y en ( 0; + ) v. Es suryectiva: toda paralele al eje corta a la gráica en, por lo menos, un punto. No es inyectiva: cualquier paralela al eje, que se encuentre entre las rectas y y - corta a la gráica en dos puntos. vi. No admite inversa 3

14 g) ( ) Si Si 4 Si i. A ii. No es par, ni impar, que no es simétrica respecto al eje y, ni al origen de coordenadas. B ;; 4 iii. { } iv. Es creciente. v. No es suryectiva: una paralela al eje, que pase por y no corta a la gráica. No es inyectiva ya que la paralela al eje, que pasa por y corta a la gráica en más de un punto. vi. No admite inversa h) ( ) 3 Si Si Si i. A ii. No es par ni impar (no hay simetría) B 3 R / iii. { } { } iv. En ( ; ] permanece constante En ( ; ) es estrictamente decreciente En [ ; + ) permanece constante v. No es suryectiva ni inyectiva vi. No admite inversa. 4

15 i) ( ) 0 [ ] 0 i. A ii. No es par ni impar iii. B R 0 N iv. Es creciente v. No es suryectiva no inyectiva vi. No admite inversa j) ( ) 4 + [ ] i. A ii. No es par ni impar B ; + iii. [ ) iv. Es estrictamente decreciente en ( ; ] Es contante en ( ; ) Es estrictamente creciente en [ ; + ) v. No es suryectiva ni inyectiva vi. No admite inversa k) ( ) 5 i. A ii. No es par ni impar 5

16 iii. B 0 iv. ( ; 5) es estrictamente decreciente [ 5; + ) es estrictamente creciente v. No es inyectiva ni suryectiva vi. No admite inversa. + l) i. A ii. ( ) ( ) no es par ( ) + ( ) no es impar iii. La gráica de () puede obtenerse por corrimientos a partir de ( ) ; haciendo luego ( ) + y inalmente ( ) + por lo tanto Im [ ; + ) iv. En ( ;) es estrictamente decreciente y en [ ; + ) es estrictamente creciente. v. No es suryectiva ni inyectiva vi. No admite inversa m) ( ) + 3 i. A ii. ( ) + 3 ( ) no es par iii. ( ) + 3 ( ) no es impar Para graicar () conviene obtener una nueva epresión de () estudiando su comportamiento en el eje real (su dominio). Los términos aectados por las barras de valor absoluto son y 3 los cuales cambian de signo en los puntos y 3, por lo tanto estudiaremos el comportamiento de () en ; ; ; 3 ; 3; + por separado. los intervalos ( ] ( ] 6

17 ( ] ) ; 0 ( ) ( ) + ( 3) ( ) ( ;] ( ] ) ; 3 0 ( ) + ( 3) + 3 ( ) 3 ( ; 3] ( 3) ) 3; + 0 ( ) ( ) 3 3; si Según los se tiene: ( ) 3 si 3 3 si 3 [ ] Im ; 3 iv. Es creciente v. No es inyectiva ya que la recta paralela al eje que pasa por y 3 y - corta a la gráica en más de un punto. No es suryectiva ya que toda la paralela al eje de ecuación y α, donde α 3 α no corta a la gráica. vi. No eiste unción inversa. n) ( ) i. A ii. ( ) ( ) no es par iii. ( ) + 6 ( ) no es impar Los términos aectados por las barras de valor absoluto son: + ; y 6, por lo tanto estudiaremos en los intervalos: ; ; ; 0 ; 0; 6 ; 6; + ( ] ( ] ( ] En el siguiente cuadro analizamos el signo de cada término en cada uno de los intervalos: ; 0 6; + ( ; ] ( ] ( 0; 6 ] Signo de Signo de Signo de

18 Teniendo en cuenta los signos de cada término se tiene: ) ( ; ] ( ) ( + ) + ( ) ( 6) 8 ( ] ( ] ) ; 0 ( ) ) 0; 6 ( ) ) 6; + ( ) si 4 si 0 ( ) 4 4 si si 6 [ ) Im 6; + iv. Es estrictamente decreciente en ( ; ] Es estrictamente creciente en ( ; + ) v. No es inyectiva, la recta y α con α 6 corta a la gráica en dos puntos. No es suryectiva, si α 6 no corta a la gráica de vi. No eiste unción inversa. o) ( ) i. A ( ) ( ) no es par ii. iii. ( ) ( ) no es impar Procedimiento como en m) y n) se tienen: ; ; ; 0 ; 0; + Los intervalos a analizar son: ( ] ( ] 8

19 ( ; ] ( ; 0] ( 0; + ) Signo de Signo de Teniendo en cuenta los signos de cada término se tiene: ) ; ( ) ( ] ( ] ( ] ) ; 0 ( ) ) 0; 6 ( ) si ( ) 5 + si si 0 Im iv. Es estrictamente creciente v. Es suryectiva e inyectiva. Toda recta de ecuación y α, α R corta a la gráica en un único punto. vi. Como la unción es biyectiva, eiste unción inversa, la cual analizaremos en cada intervalo por separado, recordando que si : A B entonces : B A ( ] ( ] ) ; ( ) ; Im ; 3 y y + ( ] ( ] ( ] ( ] cambiando de variable ; ; 3 ) ; 0 ( ) 5 + ; Im 3; + Si y 5 + y 5 5 y Si 5 5 es decir ; 3; 9

20 ) 0; + ( ) 7 + ; Im ; + y 7 + y 7 7 entonces ( ) y ; Si ; Resumiendo lo obtenido, la ley de ( ) es: + si si 7 7 si p) ( ) i. A ( ) ( ) no es par ii. ( ) ( ) no es impar iii. Como 0 y 0, los intervalos a analizar son: ( ;]; ( ; ]; ( ; + ) ( ;] ( ] ; ( ; + ) Signo de Signo de Eliminando las barras de valor absoluto en () se tiene: ) ; ( ) ( ] ( ] ) ; ( ) ) ; + ( ) si ( ) 3 + si si Im iv. Es estrictamente decreciente v. Es suryectiva e inyectiva. 0

21 vi. Función inversa ) ; ( ) 5 + 4; Im ; + ( ] [ ) 4 y y cambiando de variable ( ) + ; Si ; ) ; ( ) 3 + ; Im 4; ( ] [ ) y 3 + y Si 3 3 ) ; + ( ) ; Im ; 4 [ ) es decir ; 4; y y entonces ( ) ; Si ; 4 Resumiendo lo obtenido, la ley de si si 5 5 si ( ) es: [ ) 8. Graicar las siguientes unciones: a) ( ) cos Graicamos primero ( ) cos y a partir de esta ( ) ( ) resulta una dilatación en sentido del eje y, y además: (0) ( 0) 0 como b) ( ) 3sen + Graicamos: ( ) sen y ( ) 3sen ( ) ( ) + (Desplazamiento de (dilatación en el sentido del eje y). ; dos unidades hacia arriba)

22 c) ( ) tg Graicamos: ( ) tg y tg ( ) tg sitg 0 ( ) tg sitg 0 d) ( ) tg 0 tg tg tg si 0 ( ) 0 tg tg ( ) tg si 0

23 e) ( ) ( 6) Graicamos ( ) ( ) ( 6) gráica seis unidades a la izquierda desplazamiento de la ) ( ) cos 4 Graicamos ( ) ( ) cos Se tiene que 4 cos 4 A. Para visualizar la comprensión en el sentido del eje, 3 3 hicimos: gráica de ( ) en el π; π 3 3 Y resulta la gráica de () en el π; π 8 8. g) ( ) ln ( ) ( ) Graicamos ( ) ( ) ( ) ln ( ) ln derecha en el sentido del eje. desplazamiento a la 3

24 h) 4 Graicamos ( ) [ ] ( ) 4 desplazamiento de [ ] a la derecha 9. Dada ( ) c 0 a + b d c + d c llamada unción homográica: a) Eectuar la división a + b a + b c + d c + d ad a a c c ad / b c β b) Observar que entonces se puede escribir ( ) + α siendo: + γ a b d α, β, γ, β β α. γ c c c ad b a d b c. a + b a a c c c Por a) + c + haciendo α a, β b, γ d se tiene c + d c c + d c d c c c c + c a + b β α. γ β ( ) α + inalmente si β β α. γ ( ) α + c + d + λ + λ c) Analizar y representar gráicamente () en los siguientes casos: d ) β 0 ( ) α (unción constante) A R c 4

25 ) β 0 (Distinguir las representaciones gráicas según el signo de β ) d a Observación: Las rectas de ecuaciones: i., ii. y se llaman c c asíntotas. En el caso i. es asíntota vertical y en ii. es asíntota horizontal. β β 0 ( ) α + + λ a) β 0 Graicamos a partir de ( ) ( ) ( + γ ) Desplazamiento en el sentido del eje a la + γ derecha o izquierda según sea γ 0 o γ 0 β 3( ) β ( ) Se produce una compresión o dilatación en el + γ sentido del eje y según sea β o β β ( ) α + 3 ( ) α + Desplazamiento en el sentido del eje y hacia + γ arriba o abajo según sea α 0 o α 0 Graicamos, tomando como ejemplo α 0 ; γ 0 y β Las ecuaciones de las asíntotas son: d Asíntota vertical: Av ) γ c a Asíntota horizontal: Ah ) y α y c b) β 0 Para graicar seguimos los pasos dados en a) pero como ahora β 0 se tiene que β β, hacemos: ( ) y ( ) ( + γ ) ( ) β lo que implica una dilatación como en el caso a) y luego 3 o comprensión en el sentido del eje y. Según sea β o β. Agregamos 4( ) 3 ( ) β ( ) releión de 3 ( ) con respecto al eje y inalmente hacemos ( ) α + ( ) desplazamiento hacia arriba 0 4 que gráicamente signiica una α o abajo α 0. Tomamos como ejemplo α 0, γ 0 y β, los pasos son: 5

26 Observamos que las ecuaciones de las asíntotas son: c Asíntota vertical: Av ) γ d a Asíntota horizontal: Ah ) y α y c a + b Conclusión: La gráica de la unción homográica ( ) son dos c + d c a hipérbolas cuyas asíntotas son Av ) y Ah ) y. Las hipérbolas se d c encuentran en el primer y tercer cuadrante (determinado por las asíntotas) si β 0 y en el segundo y cuarto cuadrante si β Graicar las siguientes unciones homográicas: Por la conclusión dada en el ej. 9. para trazar aproimadamente la gráica de una unción homográica, basta con representar las asíntotas y un punto de paso, para determinar en que cuadrante se hallan las hipérbolas. También se puede determinar la intersección con los ejes coordenados, si es que eisten. a) ( ) ( 3) + 3 d a Av ) 3 Ah ) y Buscamos un punto de paso, por ej. Si 0 c c 0 y 0 0( 0,0) Gráica de 3 6

27 b) ( ) ) Determinamos asíntotas: ) Un punto de paso: 0 eje y, y a Av ) Ah ) y 5 c 5 5 y 0, 3 P gráica intersección con el 3 P, 0 gráica Intersección eje. Graicar las siguientes unciones, determinando en cada caso los ceros y los P / 0 Q / 0 { } { } conjuntos y ( ) 0 La gráica está por encima del eje ( ) 0 La gráica está por debajo del eje a) ( ) ( ) Cero: P R y Q ya que toda la gráica está por encima del eje. 7

28 b) Ceros: 5 ± 5 6, 4 Completamos cuadrado: P (, 4) (, + ) V, Q 4, c) Ceros:, 4 ± 6 3 Raíces reales Completamos cuadrado: ( ) ( 4 + 4) ( ) + 4 V (, 4) P Q (no hay puntos en la gráica por debajo del eje ) 3 Ceros: 0 d) ( ) P 0 0 ya que + Q

29 . Resolver las siguientes inecuaciones, representando en el eje el conjunto solución: a) g Resolvemos gráicamente haciendo y ( ) El cociente será positivo solo sí () y g() tienen el mismo signo. g( ) ( ) Es decir 0 signo de signo de g g( ) Entonces: ( ) yg ( ) ( ) yg ( ) Graicamos: ) 0 0 Las gráicas de y g están por encima del eje ) 0 0 Las gráicas de y g están por debajo del eje 3 ± 4 + Ceros:, 3 Hallamos las coordenadas del vértice completando cuadrado ( + ) 3 ( ) 4 (, 4) V Resolvemos gráicamente: signo () signo g() las gráicas de y g están en el mismo semiplano con respecto al eje. en el gráico sombreamos la zona correspondiente. S (, 0) ( 3, + ) b) Hacemos + y g ( ) + 3, entonces 0 g ; ( ) 0 Signo de () signo de g() las gráicas de y g están en distinto g( ) semiplano. ± 4 + Graicamos: ( ) Vértice: ( ) ( + + ) 3 ( + ) 4 V (, 4) ( ) g( ) + 3 Sg Sgg S (, 3) ( 3,) 9

30 c) ± 4 8 raíces reales + + S Ya que no tiene raíces reales y el coeiciente de a la parábola está por encima del eje d) e) ( ) 8 ) S + 4 : 0, se tiene que Como ( ) S Si ( ) 3 y ( ) g 3 6 se tiene que es ( ) ( ) 0 Sg Sgg Gráicas de y g están en el mismo semiplano g( ) g ( ) y ( ) S (, 3) ( 8, + ) 30

31 g) h) ± 6 3 Sea ( ) 4 + 8,, () no tiene ceros reales y además el coeiciente de a 0 0 R, entonces ( ) S g( ) ± + 8 ( ) +,, y ± + 8 g ( ),, y Completamos cuadrado: es: V, g ( ) + V, ( ) 0 Sg Sgg y 0 g( ) y 0 S,,, + Como g() 0 en - y estos valores quedan ecluidos en el conj. S. g ( ] ( ] i) y 3 g entonces ( ) g( ) la gráica de () está por encima de la gráica de g() 6 ± ( ) y + ( + ) + ( ) ( ) V 3, 4 Graicamos primero ( ) y luego ( ) ( ) 3

32 Buscamos los valores de para los cuales la gráica de está por encima de la gráica de g, es decir g y vemos que es la zona sombreada, es decir ( ; ] [ ; ][ ; ) En,, 3 y 4 se tiene g. Calculamos los puntos de intersección: ) Sacamos barras de valor absoluto y Si 4 Si ( 6 + 5) 3 ( y ) 3 6 ± ± 8 Resolvemos Es decir y 6 ± 36 3 Resolvemos ( 6 + 5) y3 4 Reemplazamos estos valores se tiene el conjunto solución: j) + ( ) y g ( ) S, (, 4 ], + + Se pide que ( ) g( ), entonces debemos Buscar los valores de para los cuales la gráica de () está por debajo de la gráica de g() Graicamos ( ) 0 0 y Gráica de g() +, una recta. Ceros: Vértice: + ; V 4 3

33 Sombreamos la zona donde la gráica de () está debajo de la gráica de g() y resulta que [ ; ] En ; resulta () g() Calculamos los puntos de intersección +. En el gráico se ve que la intersección se produce cuando 0 entonces: ± ± Es decir y Reemplazamos estos valores en y se tiene el conjunto solución: S, 3. Determinar el dominio de la unción deinida por la ley dada en los siguientes casos: a) (El radicando debe ser positivo o igual a cero) { R / 3 4 0} A + Resolvemos la inecuación gráicamente. 3 ± ± y El coeiciente de es a 0 la parábola tiene las ramas hacia abajo entonces la gráica es: [ 4; ] es decir A [ 4;] 33

34 b) ( ) 5 ( )( + 3) R { / 3 0} A + Resolvemos gráicamente tomando g() y h() + 3, entonces el producto g().h() 0 g y h están ene el mismo semiplano con respecto al eje, esto ocurre para los de la zona sombreada, es decir: 3 0, 3, A, 3, + ( )( + ) ( ) ( + ) entonces: c) ( ) A d) ( ) 5 + R El denominador debe ser 0 { } { R / 8 0} A + Resolvemos gráicamente: + 8 ( + 8) Ceros: 0 Coeiciente de : a 0 (ramas hacia abajo) entonces: A ( 0, 8) y 8 e) ( ) A R / ± 4 0 Resolvemos : ceros reales. Coeiciente de : a 0 entonces la parábola está encima del eje. Entonces: R 34

35 Resolvemos : Coeiciente de : a 4 0 Completamos cuadrados en + 5 ( + ) + 5 ( ) + 4 V (, 4) (, ) (, + ) Según los dos (, ) (, ) los dos A + ya que A es igual a la intersección de 4 + ln + 8 Recordamos que el Dom (ln ) R 3 4 A R / ya que ; + A ) ( ) Resolvemos : Resolvemos : Graicamos Coeiciente de : a 0 ( ] [ ) ( 3, ) 8 0,, + B A A B + (ramas hacia arriba) g) ( ) + 3 ln A R / Resolvemos la inecuación:

36 Para resolver gráicamente hacemos ( ) 4 ± 6 ( ) y Coeiciente de : a 0 (ramas hacia arriba) Sg Sgg y g() 0 4 g 4 + 3; g 4 0 En el gráico hemos sombreado la parte donde las dos gráicas están en el mismo A 0, 3, + semiplano respecto del eje y resulta: ( ] [ ) h) ( ) ln + 4 A R / Sea ( ) 0 ± y 0; g ( ) 0 g + 4 g ± En el gráico hemos sombreado la parte donde las dos gráicas están en el mismo A, semiplano respecto del eje y resulta: 4. Graicar una unción que sea: a) Lineal con pendiente en ( ; 0] a en [ 0; ] a en ( ; + ) b) Cuadrática con los dos ceros reales distintos y 0 c) Cuadrática sin ceros reales con 0 36

37 5. Se dispara un proyectil desde un globo, de orma que transcurridos t segundos la altura alcanzada sea de h metros. Si h - 6 t² + 96 t + 56, encontrar: a) h cuando t 0 b) La altura máima alcanzada por el proyectil c) La gráica de la unción a) h cuando t 0 h 56 h t t + t + h t t t c) Gráica ± ± 0 h( t) 0 t, t 8 t Completamos cuadrados: h t 6 t 6t t t V 3, 400 b) El proyectil alcanza la altura máima en el vértice de la parábola, entonces h ma Hallar y graicar la unción inversa de: ( ) argsenh si 0 si 0 Graicamos ( ) senh 0 0 simétrica de () respecto a la bisectriz del I C y III C. 37

38 7. Demostrar que dadas las unciones y g, tal que el conjunto imagen de g este incluido en el dominio de, entonces: g par a) g par b) g par g ( ) g ( ) (hipótesis) ( g )( ) g ( ) g ( ) ( g )( ) ( g ) es par g impar ( g ) par par g g g g Hipótesis: g impar F par ( ) ( ) Demostración: ( g )( ) g ( ) g ( ) ( g )( ) ( g ) es par 8. Sea A {; 3; 4} y : A A, g: A A deinidas por (), (3) 4, (4) 3, g() 4, g(3) 3, g(4). Hallar: a) ( g ) g ( 4) 3 b) ( g ) g g Si ( ) + 6 y g ( ) 7 + hallar: a) ( g ) g g g b) ( g ) g c) ( g g ) g g g g d) ( g )( ) y el dominio de g ( ) A y A g y Ag { A / ( ) Ag } g g g e) ( g )( ) y el dominio de g R ( ) A g { Ag / g ( ) A } R g g

39 30. Si ( ) 3 + y g ( ) 5 + hallar tal que sea ( g )( ) ( ) [ ] g g ( g )( ) Hallar las leyes y los dominios de h g g en cada uno de los y l siguientes casos: a) ( ) g ( ) cos A R Ag R ( ) ) h g g cos cos Ah { Ag / g( ) A } { R / cos } ( ) Al { A / ( ) Ag } { / } R R ) l g g g cos R R R b) ( ) + g ( ) tg [ ) ( ) + ) h g g tg tg π A, + Ag R / + kπ; k Z π A { A g A } R + kπ k Z tg A Justiicación: Como tg 0 A tg A h g / /, g ( ) + + ) l g g g tg π Al { A / ( ) Ag } [, + ) / + + kπ, k Z g π π π Resolvemos: + + kπ + + kπ + kπ π Al [, + ) / + kπ ; k Z + g ln A R { 4} Ag R 4 ) h( ) g ( ) ( ln) ln 4 c) h { R / ln R { 4 }} { R / } R { } 4 R { } A e e ln 4 ln 4 e ) l ( ) g ( ) g ln 4 4 Al A / Ag R { 4 }/ A R 4 / 4 4, + l { { } } g 39

40 3. Siendo: a) y z² z +, epresar y como unción de y z + b) y sen v ln y u u + v + ln y + ln sen + v, epresar u como unción de. 33. Determinar y g de manera que h g siendo: 3 3 a) h( ) + ( g )( ) g ( ) g ( ) + b) h( ) sen ( g )( ) g ( ) g ( ) sen ( ) 34. Dadas ( ), g ( ) +, p( ) 3 + hallar g p( ). g p( ) g ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) + 4 ( g p)( )