CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CA UNIDAD 4 REDES ACOPLADAS MAGNÉTICAMENTE-TRANSFORMADORES CONTENIDO

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1 CURSO: AÁLSS DE CRCUTOS E CA UDAD 4 REDES ACOPLADAS MAGÉTCAMETETRASFORMADORES COTEDO 4. TRODUCCÓ 4. VOLTAJE DE AUTODUCCÓ E U DUCTOR LEY DE LA AUTODUCCÓ DE JOSEPH HERY DUCTACA PROPA 4.3 DUCTACA MUTUA 4.4 LEY DE LA DUCCÓ DE MCHAEL FARADAY 4.5 COVECÓ DE PUTOS 4.6 ECUACOES E EL DOMO DE LA FRECUECA 4.7 AÁLSS DE EERGÍA 4.8 EL TRASFORMADOR DEAL 4.8. RELACOES ETRE VOLTAJES, CORRETES E MPEDACAS PARA U TRASFORMADOR DEAL 4.8. TÉCCAS PARA SMPLFCAR LOS CRCUTOS QUE COTEE EL TRASFORMADOR DEAL PRMARO REFLEJADO E EL SECUDARO SECUDARO REFLEJADO E EL PRMARO 4.9 EL AUTOTRASFORMADOR 4.9. RELACÓ DE VOLTAJES Y CORRETES PARA U AUTOTRASFORMADOR 4.9. RELACÓ DE POTECAS PARA U AUTOTRASFORMADOR 4.0 EL TRASFORMADOR REAL 4.0 TRODUCCÓ 4.0. PÉRDDAS DE EERGÍA E U TRASFORMADOR CRCUTO EQUVALETE DE U TRASFORMADOR CRCUTO EQUVALETE DEL TRASFORMADOR REFERDO A SU LADO PRMARO CRCUTO EQUVALETE DEL TRASFORMADOR REFERDO A SU LADO SECUDARO ESAYOS DEL TRASFORMADOR REAL PRUEBA DE CRCUTO ABERTO PRUEBA DE CORTO CRCUTO SMULACÓ DE TRASFORMADORES SMULACÓ CO EL SOFTWARE DE MULTSM SMULACÓ CO EL SOFTWARE DE Pspice (OrCAD Relese 9.) SMULACÓ CO EL SOFTWARE DE Pspice (Microsim EVALUATO 8 ) 4/0/0 Págin de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

2 CURSO: AÁLSS DE CRCUTOS E CORRETE COTUA UDAD 4 REDES ACOPLADAS MAGÉTCAMETE EL TRASFORMADOR 4. TRODUCCÓ En el estudio del nálisis de los circuitos de corriente ltern, hst el momento, l inductnci es el único elemento simple considerdo pr representr l energí lmcend en un cmpo mgnético. Se h considerdo l bobin o inductnci como un elemento ms de los componentes de un red eléctric, o se, se h considerdo l inductnci ctundo sol (nductnci Propi) sin tener en cuent l presenci de otrs inductncis en l red, pero debido que en un red existen muchs bobins o inductncis, se hce necesrio introducir en el nálisis el efecto o el comportmiento de l inductnci debido l presenci de otr inductnci (nductnci Mutu) A prtir de l ley de utoinducción de Joseph Henry y de l ley de l inducción de Michel Frdy se nlizn los conceptos de utoinducción (nductnci propi) y de inducción (nductnci mutu) pr que posteriormente se estudie l vibilidd de si se incluye o no en el nálisis de un red eléctric. Finlmente, como un plicción principl de estos conceptos se estudirá el comportmiento del trnsformdor idel y del trnsformdor rel, principlmente en sus relciones de voltje y corriente entre el primrio y el secundrio, como tmbién el estudio se extiende hci el utotrnsformdor. 4. VOLTAJE DE AUTODUCCÓ E U DUCTOR LEY DE LA AUTODUCCÓ DE JOSEPH HERY DUCTACA PROPA Estblece que el voltje utoinducido en un bobin es proporcionl l rzón del cmbio en el flujo con respecto l tiempo y el número de vuelts de l bobin, luego, el voltje de utoinducción pr un inductor d φ( t ) está ddo por: VL(t) = * A prtir de l ley de l utoinducción de Joseph Henry, podremos expresr l derivd del flujo con respecto l d φ( t ) d φ tiempo = *,o l relción entre el número de espirs y l reluctnci = 3. R R Remplzndo l ecución en l ecución, result: VL(t) = * 4. Remplzndo l ecución 3 en R d φ( t ) l últim expresión, ést quedrá: VL(t) = * 5. d φ( t ) A l expresión = = L, se le denomin DUCTACA PROPA, que represent el fenómeno R de l AUTODUCCÓ, l cul es un relción entre el flujo producido por el inductor y l corriente que lo trvies, es de notr, que en est definición de relción está incluido el número de espirs y el tipo de núcleo del inductor. Tmbién se le denomin inductnci l cpcidd de un dispositivo pr lmcenr energí en form de cmpo mgnético. L unidd de l inductnci es el Henry (Henrrio), en honor l descubridor del fenómeno de l utoinducción, Joseph Henry. Remplzndo l ecución de l inductnci en l ecución 4 o en l 5, result l ecución que relcion el voltje utoinducido y l corriente en el inductor, cundo éste es considerdo como elemento psivo. L VL (t) = L 6, cuyo símbolo es: L (H) o vuelts i (t) v (t) 4/0/0 Págin de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

3 AALOGÍAS ETRE LAS PRCPALES UDADES DEL CRCUTO MAGÉTCO Y LAS DEL CRCUTO ELÉCTRCO R CRCUTO ELÉCTRCO i Corriente (mp) V Voltje (volt) * Resistenci l pso de l corriente ohmios Ω CRCUTO MAGÉTCO φ Flujo mgnético (weber) i Fuerz Mgnetomotriz ( mp vuelt) R Reluctnci o resistenci l mp vuelt pso del flujo ( ) weber G = R Conductnci (siemens) Ley de Ohm V = R * i i = V R P = Permenci conducción R Ley de l utoinducción de Henry d φ( t ) * = R * * = R * φ ; φ = = P R L relción entre el flujo mgnético Φ o l densidd de flujo β y l fuerz mgnetomotriz pr un inductor está representd por l figur siguiente curv: CURVA DE MAGETZACÓ sturción Φ β úcleo de mteril ferromgnético úcleo de ire Pr un bobin rrolld sobre un núcleo cerrdo, de longitud medi l m, y de mteril ferromgnético en μr μo ia donde el flujo mgnético viene expresdo por : Φ =, l inductnci L de l bobin puede ser lm expresd por: μ i A d L = φ d[ r μ o ] lm μ r μ o A μ A = = = = = P luego l inductnci de un inductor lm lm R es un medid de l relción entre l corriente y el flujo del inductor ; es l rzón de cmbio del flujo con respecto l corriente por el número de vuelts del inductor ; es un prámetro de l bobin que depende de l permebilidd del mteril y del áre de l sección trnsversl del núcleo, como tmbién de l longitud medi del núcleo cerrdo de l bobin ; o depende del número de vuelts y l reluctnci del núcleo, o del número de vuelts y l permenci del núcleo. 4/0/0 Págin 3 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

4 4.3 DUCTACA MUTUA L figur continución represent un descripción esquemátic de los flujos mgnéticos que se presentn en bobins o inductncis, loclizds muy cerc un de l otr, cundo ésts están siendo trvesds por un corriente eléctric Φ Φ i i i Φ i Φ Ls componentes de los flujos son ls siguientes: Φ Flujo en l bobin producido por l corriente en l bobin i Este flujo se present en dos forms, sber: Φ = Φ i Φ Φ i Flujo en l bobin que no lcnz l bobin Φ Flujo en l bobin que lcnz l bobin o el flujo en l bobin producido por l corriente en l bobin, i Φ Flujo en l bobin producido por l corriente en l bobin i Este flujo se present en dos forms, sber: Φ = Φ i Φ Φ i Flujo en l bobin que no lcnz l bobin Φ Flujo en l bobin que lcnz l bobin o el flujo en l bobin producido por l corriente en l bobin, i Φ Flujo totl en l bobin ; Φ = Φ ± Φ En donde el flujo totl en l bobin, es el flujo propio producido por l corriente i, más o menos, el flujo que lcnz l bobin y producido por l bobin. El más o menos depende de si los flujos tienen igul o dirección contrri. Φ Flujo totl en l bobin ; Φ = Φ ± Φ En donde el flujo totl en l bobin es el flujo propio producido por l corriente i, más o menos, el flujo que lcnz l bobin y producido por l bobin 4.4 LEY DE LA DUCCÓ DE MCHAEL FARADAY Estblece que, el voltje inducido en un bobin es proporcionl l rzón de cmbio del flujo con respecto l tiempo y el número de vuelts de l bobin. vuelts v (t) = dφ ( El signo es debido l ley de LEZ) v (t) De cuerdo con l ley de frdy, sin considerr l ley de Lenz; el voltje inducido en l bobin estrá expresdo por: dφ v (t) = dφ = dφ ± (A) El voltje inducido en l bobin estrá expresdo por: 4/0/0 Págin 4 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

5 dφ v (t) = dφ = dφ ± (B) De l teorí del electromgnetismo se conoce que, el flujo en l bobin producido por l propi corriente i, es Φ = i P y el flujo en l bobin producido por l corriente de l bobin i, es Φ = i P, en donde, ls Ps son constntes (Permencis) que dependen de l tryectoris mgnétics tomds por ls componentes del flujo. Luego, l ecución de voltje pr l bobin se puede escribir como: d( i P) d( i P ) v (t) = ± = P ± P De igul form ls componentes del flujo en l bobin se pueden escribir como: Φ = i P y Φ = i P, por lo tnto, l ecución de voltje en l bobin es: v (t) = d P ( i ) ± d P ( i ) = P ± P A ls constntes P = L, y P = L, se les d el nombre de AUTODUCTACA, o se l mism L que hemos utilizdo hst hor, y se refiere l inducción de voltje por l propi corriente de l bobin. A ls constntes P = L, y P = L, se les d el nombre de DUCTACA MUTUA, y se refiere l inducción de voltje debido l otr bobin, este voltje inducido puede umentr o disminuir el voltje utoinducido según l dirección de los flujos, de hí los signos que le preceden. Ls ecuciones de voltje de ls bobins quedrán: v (t) = L ± L y v (t) = L ± L Si el medio trvés del cul ps el flujo mgnético es linel, entonces P = P. De quí, L = L = M (inductnci Mutu) y por convenienci L = L, L = L. Por lo tnto, ls ecuciones de voltje se pueden escribir como: v (t) = L ± M y v (t) = L ± M (D) Con relción l expresión nterior, l voltje v (t) se le d el nombre de voltje inducido en l bobin y está compuesto por dos voltjes, sber: A) L, es el voltje inducido por l inductnci propi, o voltje de utoinducción B) M, es el voltje inducido por l inductnci mutu, o el voltje debido l presenci de l bobin L ecución puede ser reescrit de l form siguiente: dφ v (t) = dφ = dt De l comprción de ls ecuciones C y D, ls cules presentn expresiones pr el voltje v (t), podremos obtener otr expresión pr l inductnci de l bobin, esto es: L = dφ P =, por tnto, l inductnci de un bobin no es más que l relción entre el flujo que produce y l corriente que trnsport; es igul l rzón de cmbio del flujo producido con respecto l corriente que lo produce multiplicd por el número de vuelts de l bobin. 4/0/0 Págin 5 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

6 4.5 COVECÓ DE PUTOS Pr determinr el signo que se utiliz en el voltje inducido por inductnci mutu, se consider l dirección de los flujos mgnéticos, si los flujos están en l mism dirección el signo del voltje inducido por inductnci mutu debe ser el mismo del voltje utoinducido, si los flujos están en dirección contrri el signo del voltje por inductnci mutu debe ser contrrio l del voltje utoinducido. A continución se present un dibujo de ls bobins, en donde se indicn los csos de igul o contrri dirección de los flujos. i i i i Los flujos están en igul dirección Como en los esquems eléctricos no se puede conocer l dirección de los flujos, l igul que el dibujo eléctrico de ls bobins o inductncis nterior, se utiliz l convención de los puntos pr indicr si los flujos están en l mism o dirección contrri. Utilizndo l convención de los puntos, el dibujo eléctrico nterior se puede reemplzr por el siguiente esquem eléctrico. M M i i Los flujos están en dirección contrri i i V (t) L _ L V (t) _ V (t) L _ L V (t) _ Los flujos están en igul dirección Los flujos están en dirección contrri Pr utilizr l convención de los signos se colocn puntos en un terminl de cd bobin, de modo que si ls corrientes entrn o slen de mbos terminles con puntos los flujos producidos por ess corrientes están en igul dirección, si un de ls corrientes entr por un terminl con punto l otr sle por un terminl con punto los flujos producidos por ess corrientes estrán en dirección contrri. Los signos pr los voltjes utoinducidos depende de l convención de signos psivos o ctivos que se utilice, y los signos pr los voltjes inducidos por inductnci mutu dependen de los utoinducidos y de l convención de los puntos. Convención de puntos: Si los flujos están en igul dirección, el signo del voltje inducido por inductnci mutu es igul l signo del voltje por utoinducción (nductnci Propi), si los flujos están en dirección contrri, entonces los signos de los voltjes son contrrios. EJEMPLO n : Escribir ls ecuciones de voltje pr el pr de bobins siguientes: DESARROLLO: i M i Se sign un sentido rbitrrio l voltje inducido de ls inductncis..método, se sign el voltje inducido de l bobin con el sentido positivo hci el punto, o se, V (t) L L V (t) se consider l bobin como elemento psivo 4/0/0 Págin 6 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

7 Aplicndo LVK l lzo del ldo izquierdo, tendremos: V (t) V L = 0 ; V (t) = V L i L polridd del voltje inducido en l bobin y l dirección de corriente indic que se h considerdo l bobin como elemento psivo, luego, el voltje utoinducido es el positivo e V L, como los flujos están en igul dirección porque V (t) L V L ls corrientes entrn por los terminles con puntos, el voltje inducido por l _ inductnci mutu tmbién será positivo, o se, V L = L M y finlmente el voltje plicdo se puede escribir como V (t) = L M.Método, se sign el voltje inducido de l bobin con el sentido positivo hci el terminl sin punto, o se, se consider l bobin como elemento ctivo. Aplicndo LVK l lzo del ldo izquierdo, tendremos: V (t) V L = 0 ; V (t) = V L i L polridd del voltje inducido en l bobin y l dirección de l corriente indic que se h considerdo l bobin como elemento ctivo, luego, el voltje utoinducido es el negtivo de V L, como los flujos están en igul dirección porque ls V corrientes entrn por los terminles con puntos, el voltje inducido por inductnci (t) L V L _ mutu tmbién será negtivo, o se V L = L M y finlmente el voltje plicdo se puede escribir como: V (t) = L M Del último resultdo se puede observr que culquier que se l signción en l polridd del voltje inducido, l relción entre el voltje plicdo y los voltjes inducidos es l mism. Con relción l bobin, se sign el voltje inducido de tl form que el positivo se el terminl con punto. V L V L = L i L V (t) _ Aplicndo LVK l lzo del ldo izquierdo, tendremos: V (t) V L = 0 y V (t) = V L. L polridd del voltje inducido en l bobin y l dirección de l corriente indic que se h considerdo l bobin como elemento psivo, luego, el voltje utoinducido es el positivo de V L, como los flujos están en igul dirección porque ls corrientes entrn por los terminles con puntos, el voltje inducido por inductnci mutu tmbién será positivo, o se, M y finlmente el voltje plicdo se puede escribir como V (t) = L M 4.6 ECUACOES E EL DOMO DE LA FRECUECA Si pr el circuito del ejemplo nterior, los voltjes que se plicn son fuentes senoidles, estos voltjes pueden ser representdos por: V (t) = V m e j θ e j w t = V e j θ ; V (t) = V m e j θ e j w t = V e j θ y los resultdos de ls corrientes como: i (t) = e j θ i ; i (t) = e j θi, entonces ls ecuciones nteriores presentds en el dominio del tiempo pueden presentrse en el dominio de l frecuenci como hst hor se hn presentdo, esto es: V = j w L j w M y V = j w L j w M EJEMPLO n : Escrib ls ecuciones de mll en form estándr pr el circuito de l figur siguiente: 4/0/0 Págin 7 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

8 i R L M L V L V R R V V R i 3 V L i R 3 V R3 Aplicndo LVK l mll, tendremos: R (jwl jwm ) R ( ) V = 0 V = ( R R jwl ) (R jwm) Aplicndo LVK l mll, tendremos: V R ( ) (jwl jwm ) R 3 = 0 V = ( R jwm) (R R 3 jwl ) De igul form ls ecuciones se pueden presentr en términos de ls corrientes de rm i, i, i 3. pr ello los voltjes de ls inductncis quedrán: V L = j w L i j w M i y V L = j w L i j w M i Aplicndo LCK l nodo superior, tendremos: (A) i = i i 3 Aplicndo LVK l mll, tendremos: V R V L V R V = 0, que reemplzndo por ls corrientes quedrá: i R j w L i j w M i i 3 R V = 0, cuyo resultdo después de simplificrl es: (B) Aplicndo LVK l mll, tendremos: V V R V L V R3 = 0, que reemplzndo por ls corrientes quedrá: V i 3 R j w L i j w M i i R 3 = 0, cuyo resultdo después de simplificrl es: (C) 4.7 AÁLSS DE EERGÍA Pr el circuito de ls dos bobins coplds mgnéticmente, presentdo en el ejemplo n, se puede obtener un expresión pr l energí lmcend en función del tiempo, est es: W (t) = L i L i ± M i i, en donde el signo de l inductnci mutu depende de si los flujos (t) (t) están en igul o contrri dirección. Si l expresión nterior se le sum y se le rest el término W (t) = M (t) (t) (L ) i (t) L ( i(t) i(t) ) L L ( ) i, podremos regrupr l expresión : M L M. De l expresión se encuentr que pr que l energí instntáne no se negtiv se requiere que: M L L mutu, que es L L i ( R j w L ) j w M i i 3 R = V j w M i ( R 3 j w L ) i R i 3 = V (t), luego existe un límite superior pr el vlor de l inductnci M Por lo nterior se define un coeficiente de coplmiento entre ls dos bobins K = y cuyo vlor oscil L L entre 0 K El coeficiente de coplmiento es un indicdor de l cntidd de flujo en un bobin que está ligdo con l otr bobin, o se, que si todo el flujo de un bobin lcnz l otr bobin, entonces se encuentr el 00% de coplmiento ( K =.0, cso del trnsformdor idel ). Pr bobins que estén fuertemente coplds, K 0.5. Pr bobins en donde no exist influenci mutu, K = 0, o se, solo existe el fenómeno de l utoinducción ( L, inductnci propi) Pr l simulción de los circuitos eléctricos en Pspice, l informción sobre l inductnci mutu se ingres con el coeficiente de coplmiento K. 4/0/0 Págin 8 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

9 EJEMPLO 3: Pr el circuito que se muestr en l figur siguiente, ls bobins tienen un coeficiente de coplmiento K =. Determinr l energí lmcend en ls bobins coplds mutumente en t = 5 ms, L =.653 mh, L = 0.6 mh, v (t) = 4Cos(377 t) Voltios. Ω i i w = 377 ; j w L = j ; j w L = j 4 M = K L L 3 = 5.305x L L 4 Ω j w M = j Aplicndo LVK cd un de ls mlls, se tiene : Mll, 4 0 = j j 4 0 = ( j ) j Mll, j 4 j 4 = 0 0 = j ( 4 j 4 ) Desrrollndo simultánemente ls ecuciones, encontrmos los resultdos siguientes: = ; = , luego ls ecuciones en el dominio del tiempo serán: i (t) = 9.4Cos(377 t.6 ) = 9.4Cos(377 t 0.96rd) ; i (5ms) =. A i (t) = 3.34Cos(377 t ) = 3.34Cos(377 t 0.588rd) ; i (5ms) =.6 A W (5 ms) = (.653x0 )(.) (0.6x0 )(,6) 5.305x0 (.)(. 6) W (5 ms) =.5 mj 4.8 EL TRASFORMADOR DEAL Un plicción de dos bobins coplds mgnéticmente es el trnsformdor idel. El trnsformdor idel lo conformn dos bobins de lmbre enrollds en un solo núcleo mgnético cerrdo, como el dibujdo en l figur siguiente, en donde no se le considern ls pérdids en l trnsferenci de l energí, v i Φ Φ i v El núcleo mgnético concentr el flujo de mner tl que todo el flujo trvies ls espirs de ls dos bobins, por lo nterior, Φ = Φ = Φ, en donde Φ es el flujo totl en l bobin,incluid l inductnci mutu, Φ es el flujo totl en l bobin, incluid l inductnci mutu y Φ es el flujo del trnsformdor. Bjo ests condiciones, ls ecuciones de los voltjes presentdos se pueden escribir como: dφφ = Φ = Φ v (t) = dφ y v (t) =, ls cules se pueden convertir : dφ d φ v(t) v (t) = y v (t) =, determinndo l relción de los voltjes, tendremos: v(t) =, en donde l relción de los voltjes es directmente proporcionl l relción de ls espirs, l relción es positiv cundo en l polridd de los voltjes signdos tienen los positivos en los terminles con puntos, como en este cso, o cundo en l polridd de los voltjes signdos tienen los positivos en los terminles sin puntos. L relción será negtiv si l polridd de los voltjes signdos no cumplen con l condición nterior. A continución se dibuj el esquem eléctrico o circuito equivlente del trnsformdor idel con núcleo de mteril ferromgnético nlizdo nteriormente y prtir de éste, se determin l relción entre ls corrientes del trnsformdor. i De l teorí del cmpo electromgnético, Ley de Ampere, que se escribe en K= i form mtemátic como: H *dl = i encerrd, puede ser plicd l circuito mgnético del trnsformdor, en donde H es l intensidd de cmpo V (t) V (t) 4/0/0 Págin 9 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

10 mgnético y l integrl está sobre l tryectori cerrd recorrid por el flujo lrededor del núcleo del trnsformdor. Aplicndo l ley de mpere l tryectori cerrd del flujo mgnético en el trnsformdor, tendremos: H *dl i = i i = 0, y que, pr el mteril del núcleo idel, μ =, H = 0, luego l = encerrd i(t) relción pr ls corrientes en este cso es =, en donde L relción de ls corrientes es inversmente i(t) proporcionl l relción de ls espirs. L relción es negtiv cundo l dirección de ls corrientes signds entrn los terminles con puntos, como en este cso, o cundo l dirección de ls corrientes slen de los terminles con puntos. L relción será negtiv si l dirección de ls corrientes signds no cumplen con l condición nterior RELACOES ETRE VOLTAJES, CORRETES E MPEDACAS PARA U TRASFORMADOR DEAL A continución se present un trnsformdor idel con núcleo de hierro, en donde l entrd es el voltje plicdo l bobin (recibe el nombre de primrio), y l slid es l bobin ( recibe el nombre de secundrio), donde se induce un voltje, l cul es plicdo l crg conectd. V = V i (t) i (t) L relción pr los fsores de voltje quedrá: Z v v L (t) (t) L relción pr los fsores de corriente quedrá: = L potenci de slid del trnsformdor quedrá definid por: S = V * = V ( ) * = V = S, luego l potenci de slid es igul l potenci de entrd, lo que signific que el trnsformdor idel no tiene pérdids de energí. V De l figur encontrmos: Z L = Z = V = = ( ) Z, por lo tnto, l relción entre ls impedncis del primrio y el secundrio será: Z = [ ] Z Si l rzón entre ls espirs l denominmos por n =, ls relciones entre el primrio y el secundrio V Z quedrán definids por: S = S ; = n ; = ; = V n Z n OTA. Algunos utores presentn l relción de espirs como: = nteriores cmbin por su inverso: S = S ; = ; V = V, por lo tnto, ls expresiones Z = ; Z EJEMPLO 4: Pr el circuito de l figur siguiente, determine ls corrientes y voltjes indicdos. 8 Ω Ω 0 0 j 4 Ω V V j Ω = 4 = 4/0/0 Págin 0 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

11 De cuerdo con l convención de los signos, los voltjes y ls corrientes tendrán ls relciones siguientes: V V Voltjes: = = ; V = V n n Corrientes: = = n ; = n Relción de espirs: n = 4 ; = 4 L impednci de crg o del secundrio es: Z L = Z = j Z j L impednci del secundrio reflejd en el primrio es: Z = = = 3 6 j = n 6 Por lo tnto el circuito primrio quedrá: 8 De l figur podremos obtener Ω 0 0 = = Por lo tnto, sí V = 8 j j 0 0 V Z Z, entonces, V = ; V = j 4 Ω A prtir de ls condiciones del primrio, podremos determinr ls del secundrio, luego el voltje será: V = n V = V = = y de cuerdo con el circuito secundrio l corriente será: Ω V = = = j j Ω V Por otro ldo, = = = n TÉCCAS PARA SMPLFCAR LOS CRCUTOS QUE COTEE EL TRASFORMADOR DEAL L técnic principl consiste en convertir el circuito eléctrico del primrio, el circuito mgnético del trnsformdor y el circuito eléctrico del secundrio en un solo circuito eléctrico, pr lo nterior, se reflej el circuito eléctrico del primrio en el secundrio o el circuito eléctrico del secundrio en el primrio. En l figur continución se present un trnsformdor idel que tiene conectdo tnto en el primrio como en el secundrio un fuente de tensión y un impednci. Z Z V S V V V S : n Ls ecuciones pr el trnsformdor de cuerdo con l dirección de ls corrientes, polridd de los voltjes y l V posición de los puntos son: = n ; V = n PRMARO REFLEJADO E EL SECUDARO Pr reflejr el primrio en el secundrio, determinmos el equivlente de Thevenin en los terminles y el circuito equivlente estrá conformdo por el equivlente l impednci Z y l fuente independiente de voltje V S El equivlente de Thévenin en los terminles se puede determinr prtir del circuito siguiente: 4/0/0 Págin de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

12 Como el secundrio está bierto, = 0, entonces, = 0, el Z voltje trvés de l impednci es igul cero y V = V S por lo tnto, V thv = V = n V S V S V V V thv Pr determinr l impednci equivlente de Thevenin, se determin l corriente de corto circuito en los terminles, por lo tnto, Vthv n V n V n V Z thv = = = = : n= n cc Z, luego el circuito eléctrico equivlente en el secundrio n quedrá: n Z Z n V S V V S OTA: Cundo se utiliz l relción de espirs, ls formuls nteriores cmbirán por su inverso SECUDARO REFLEJADO E EL PRMARO Pr reflejr el secundrio en el primrio, determinmos el equivlente de Thévenin en los terminles y el circuito equivlente estrá conformdo por el equivlente, l impednci Z y l fuente independiente de voltje V S V thev V Z V : n Por lo tnto, el circuito eléctrico equivlente en el primrio quedrá: Z V S El equivlente de Thévenin en los terminles se puede determinr prtir del circuito siguiente: Utilizndo un procedimiento similr l nterior, se puede determinr el voltje y l impednci de Thévenin, V resultndo: V thev = S Z ; Zthev = Z /n n n V S V V S /n OTA: Cundo se utiliz l relción de espirs, ls formuls nteriores cmbirán por su inverso. COCLUSOES: Cundo se desrroll un circuito equivlente pr el trnsformdor en el secundrio, cd voltje primrio se multiplic por n, cd corriente primri se divide entre n y cmpednci primri se multiplic por n. Cundo se desrroll un circuito equivlente pr el trnsformdor en el primrio, cd voltje secundrio se divide entre n, cd corriente en le secundrio se multiplic por n y cmpednci en el secundrio se divide entre n. Si uno de los puntos en l bobin se invierte, entonces n se reemplz por n en los circuitos equivlentes. 4/0/0 Págin de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

13 Si existe culquier conexión extern entre el primrio y el secundrio l técnic del circuito equivlente no puede usrse. EJEMPLO 5: Determine los voltjes y corrientes indicds en el circuito eléctrico siguiente: j Ω 36 0 V V 0 : De cuerdo con l convención de los puntos, ls polriddes de los voltjes y ls direcciones de ls corrientes, ls relciones entre el primrio y secundrio serán: V = n V ; = n ; n = Determinndo el circuito equivlente en el secundrio, de cuerdo con el proceso nteriormente indicdo, el esquem quedrá: 8 j 8 Ω 7 0 V 0 Como l relción de los voltjes es negtiv, l polridd en l fuente equivlente de voltje se invierte. Aplicndo LVK l mll extern, tendremos: (8j8) = 0, de donde, = Aplicndo LVK l mll intern, tendremos: V 0 = 0, de donde, V = Con bse en l relción de ls corrientes encontrds: = n, luego, = Con bse en l relción de los voltjes encontrdos: V = n V, luego, V = EJEMPLO 6: En el esquem de l figur siguiente, l fuente V e suministr energí un crg compuest por un resistenci de 0 Ω y un impednci Z L trvés de un trnsformdor idel de 000 VA, 00 /00 v. Ls crcterístics del trnsformdor y ls condiciones de l crg están indicds sobre l figur. Z L es un impednci l cul consume 500 w, con FP = 0.85 en trso y V L = 0 0 v, RMS Determine l potenci prente, ctiv y rectiv entregd por l fuente V e Crcterístics del trnsformdor: Potenci prente: 000 VA 0 Ω Relción de espirs: p = = 00 v V V e V Z L 0 0 v = = 00v 0.5 V L s L Crcterístics de l crg: Resistenci = 0 Ω : mpednci Z L ; Crcterístics: P = 500 w ; FP = 0.85 en trso Voltje V L = 0 0 v, RMS 4/0/0 Págin 3 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

14 SOLUCÓ Crcterístics de Z L : Cos ( θ ) = 0.85 ; θ = 3.78 ; P = 500 w ; Q = 500 tn(3.78 ) = VAR L S = ( ) 3.78 = VA = 500 j VA V L = 0 0 v, RMS, S = V L x * * L, L = A = VL Z L = = 0 = = 0.80 j L R equiv = 0.80 Ω, X equiv =.89 Ω ; L equiv =.89 Ω w ( rd ) seg Henrry = H Corriente de l crg : L = A Corriente en el secundrio del trnsformdor : s = A Voltje trvés de l resistenci de 0 Ω : V R = 0 0 x V R = v Voltje en el secundrio del trnsformdor :V s = V s = v Voltje en el primrio del trnsformdor :V p = x V s = 0.5 x V p = v Corriente en el primrio del trnsformdor : p = s = x p = A Corriente en l fuente : e = p = A Voltje de l fuente : V e = V p = v Potenci entregd por l fuente : S e = V e x e * S e = x = = 740 j VA Potenci prente = 80.9 VA, Fctor de potenci = 0.9 en trso Potenci ctiv = 740 w, Potenci rectiv = VAR L Potenci de entrd l trnsformdor: S p = V p x p * Como el devndo primrio del trnsformdor está en prlelo con l fuente, l potenci entregd por l fuente es igul l potenci del primrio o de entrd l trnsformdor Potenci de slid del trnsformdor: S s = V s x s * S e = x = = 740 j VA Potenci prente = 80.9 VA, Fctor de potenci = 0.9 en trso Potenci ctiv = 740 w, Potenci rectiv = VAR L Potenci de l crg: Potenci de l resistenci de 0 Ω : P R = ( s ) x R = (4.90 ) x 0 = 40.9 w Potenci de l impednci: (condiciones del problem ) Potenci ctiv : P ZL = 500 w ; Potenci rectiv : Q ZL = VAR L, Potenci prente : S ZL = VA ; Fctor de potenci = 0.85 en trso Potenci totl de l crg: Potenci ctiv : P crg = = w Potenci rectiv : Q crg = VAR L Potenci prente : S crg = ( ) tn ( ) = Potenci prente : 80.4 VA ; Fctor de potenci : Cos(.67) = 0.9 en trso OBSERVACOES: 4/0/0 Págin 4 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

15 De los dtos nteriormente obtenidos se puede inferir que el trnsformdor es idel por que en l trnsferenci de l energí no se hn considerdo ls pérdids, esto es, l potenci de entrd l trnsformdor es igul l potenci de slid del trnsformdor y ést es igul l potenci bsorbid por l crg. L potenci prente nominl del trnsformdor es de 000 VA y l potenci prente de trbjo del trnsformdor es de 80.4 VA, lo que signific que el trnsformdor trnsferirá energí con un vlor de potenci por debjo de ls condiciones nominles y no se expondrá que sus crcterístics de diseño sen deteriords. 4.9 EL AUTOTRASFORMADOR Si l trnsformdor idel se le interconect un terminl del secundrio con un terminl del primrio, constituye el dispositivo llmdo AUTOTRASFORMADOR, por lo tnto, l trnsferenci de energí del primrio l secundrio se hce trvés del cmpo mgnético y por conducción eléctric. En un trnsformdor conectdo como utotrnsformdor, se pueden trnsferir potencis ms elevds que l potenci nominl del trnsformdor. El uto trnsformdor tmbién es utilizdo pr diferentes voltjes de slid dependiendo de l conexión que se utilice como utotrnsformdor. v e i v Φ i v X Entrd Y Slid Φ Φ = Φ = Φ Z A continución se present el circuito eléctrico de ls dos posibiliddes de conexión del utotrnsformdor. Polridd Aditiv Polridd Sustrctiv X X v e V Y v e V Y Z V v S Z Z V v S Z Otrs combinciones permiten encontrr diferentes voltjes l entrd y por ende l slid, el primrio puede estr sobre un sol bobin y l slid sobre ls dos bobins, pero culquier que se l combinción no se encuentr sino dos clses de polriddes, l ditiv y l sustrctiv, o se, cundo los flujos están en igul o dirección contrri respectivmente RELACÓ DE VOLTAJES Y CORRETES PARA U AUTOTRASFORMADOR X v e Z V V ZY Y CARGA v S Z Pr el utotrnsformdor con polridd ditiv podremos encontrr ls relciones de voltje, corriente y potenci siguientes: Potenci de entrd = v e * Potenci de slid = v * L relción de ls espirs quedrá n = 4/0/0 Págin 5 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

16 De cuerdo con l convención de los puntos ls relciones quedrán: V V ) = y b) = = n ; c) = ; d) = V n ZY V ZY Aplicndo LCK l nodo del centro, tendremos: ZY =, o, ZY = e) Reemplzndo l ecución e) en l b y despejndo l corriente en función de, ést quedrá: n, por otro ldo, plicndo LVK l mll de entrd, tendremos l ecución: f) v e = V V = n. Reemplzndo l ecución en f y despejndo el voltje de slid en función del voltje de entrd, éste quedrá:, y despejndo el voltje n V = v e n V en función del voltje de entrd, éste quedrá: V = v e n 4.9. RELACÓ DE POTECAS PARA U AUTOTRASFORMADOR L potenci del trnsformdor es quell pr l cul se diseñron ls bobins del trnsformdor y los vlores de voltje y corriente correspondientes no se pueden exceder porque se corre el riesgo de fectr su devndo. L potenci de entrd y de slid del dispositivo es l potenci que mnej el utotrnsformdor y que en l myorí de los csos es myor que l potenci del trnsformdor, rzón por l cul se conect un trnsformdor como utotrnsformdor. Pr el utotrnsformdor del ejemplo inmeditmente nterior se pueden determinr ls potencis siguientes: Potenci del trnsformdor: S T = V x * = V x * ZY, el cul l reemplzr l ecución c, l potenci quedrá: S T = V x * * = V x n Potenci de entrd l utotrnsformdor: S e = v e x * * = ( n ) V x Potenci de slid del utotrnsformdor: S s = v s x * = V x * * = ( n ) V x COMPARACÓ DE LAS POTECAS S s = V x * = ( n ) V x * = ( n ) S T, lo que signific que l potenci de slid del utotrnsformdor puede ser ( n) veces l potenci del trnsformdor o l potenci de los devndos. S e = ( n ) V x * = ( n ) S T, lo que signific que l potenci de entrd del utotrnsformdor puede ser ( n) veces l potenci del trnsformdor o l potenci de los devndos. EJEMPLO 5: Un trnsformdor de dos devndos de 36 KvA, 4 400/3 600 v, se conect como utotrnsformdor pr suministrr v un crg de 80 KVA con un fctor de potenci de 0.89 en trso. Dibuje el esquem eléctrico y obteng todos los voltjes y corrientes correspondientes que se dn en el utotrnsformdor. Y DATOS DEL PROBLEMA V S S = 80 KVA, FP = 0.89 en trso, θ = 35 P = Kw, Q L = 03.4 KVAR v X S CARGA V S = v FP = 0.89 S = = A v e V ZY R equiv = 474.5Ω ; L equiv =.7385 h Z Z Primer lterntiv de conexión: = espirs; = espirs; n = 0.5 ; = 4 4/0/0 Págin 6 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

17 Determinción del voltje de entrd: Aplicndo LVK l mll del ldo derecho, tendremos V V = V S (A) Como los voltjes puntn hci los puntos, V = 4 V (B), reemplzndo B en A, result: V = 5 4 VS ; V = v, y de B, V = v. DETERMACÓ DE LAS CORRETES: Aplicndo LCK l nodo del centro, tendremos ZY = ( C ) Como ls corrientes en los devndos slen por los puntos = 4 ZY (D), reemplzndo D en C, result = 4 5 ; =.5 35 A ; De igul form ZY = 0.5 ; ZY =.5 45 A DETERMACÓ DE LAS POTECAS: Potenci del trnsformdor S P = V x * ZY = x.5 45 = Potenci del trnsformdor S S = V x * = x = Luego el trnsformdor trnsfiere medinte inducción mgnétic, solo 36 KVA, o se, l potenci del trnsformdor. Potenci de entrd l utotrnsformdor S e =v e x * * = V x S e = x.5 35 = Potenci de slid del utotrnsformdor S e = v s x * = x.5 35 S e = Luego el utotrnsformdor trnsfiere un totl de 80 KVA. RESUME SOBRE LA TRASFERECA DE EERGÍA (POTECAS) Potenci trnsferid por inducción del cmpo mgnético: 36 KVA Potenci trnsferid por conducción eléctric: 44 KVA Potenci totl trnsferid por el utotrnsformdor: 80 KVA COCLUSÓ: Un trnsformdor de 36 KVA, 4 400/3 600v, conectdo como utotrnsformdor mnej un potenci de 80 KVA, 4 400/8 000 v. Segund lterntiv de conexión: X v e Y e V V XY X Z v S CARGA FP = 0.89 DATOS DEL PROBLEMA S S = 80 KVA, FP = 0.89 en trso, θ = 35 P = Kw, Q L = 03.4 KVAR V S = v S = = A = espirs; = espirs; n = 0.5 ; = 4 De cuerdo con l convención de los puntos, ls crcterístics de entrd son: v e = V = 0.5 V = 0. v S = v ; V = 0.8 v S = v XY = 4 = A e = 5 = A ; Potenci del trnsformdor: V x * = V x XY * = 44 KVA OTA: L form de conectr el utotrnsformdor no se constituye en lterntiv de solución, porque el trnsformdor se sobre crg con un potenci de 44 KVA. 4/0/0 Págin 7 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

18 Tercer lterntiv de conexión: X v e Z V V ZY S Y Z v S CARGA FP = 0.89 DATOS DEL PROBLEMA S S = 80 KVA, FP = 0.89 en trso, θ = 35 P = Kw, Q L = 03.4 KVAR V S = V = v S = A = espirs; = espirs; n = 0.5 De cuerdo con l convención de los puntos, ls crcterístics de entrd son: v e = 5V =.5 V =.5 v S = v ; V = 0.5 v S = v = 4 ZY = 0.8 S = 8 35 A ; ZY = 0. S = 35 A Potenci del trnsformdor: V x * = V x ZY * = x 8 35 = x 35 = 36 KVA OTA: L form de conectr el utotrnsformdor se constituye en lterntiv de solución, porque el trnsformdor se crg con un potenci de 36 KVA, l cul es l potenci de diseño, solo que los voltjes de operción son ligermente myores que los de diseño, y ls corrientes son ligermente menores que ls de diseño, trbjndo sí el trnsformdor con l potenci de diseño. COCLUSÓ: Un trnsformdor de 36 KVA, 4 400/3 600v, conectdo como utotrnsformdor mnej un potenci de 80 KVA, 500/8 000 v 4.0 EL TRASFORMADOR REAL 4.0 TRODUCCÓ Sí l trnsformdor idel que se estudió en l sección nterior, se le considern ls perdids de energí que se presentn cundo ést es trnsferid, el modelo sí obtenido es muy proximdo l modelo del trnsformdor rel. Cundo un fuente de potenci ltern se conect l primrio de un trnsformdor, fluye un corriente en el circuito primrio, ún cundo el circuito secundrio esté bierto, que es l requerid pr producir flujo en el núcleo ferromgnético rel y tiene dos componentes:. L corriente de mgnetizción i M, requerid pr producir el flujo en el núcleo del trnsformdor.. L corriente de pérdids en el núcleo i he, requerid por el fenómeno de histéresis y por ls corrientes prásits. L corriente de mgnetizción i M es proporcionl (en l región no sturd) l voltje plicdo l núcleo y está retrsd 90 del voltje plicdo, por lo que se puede modelr por un inductnci L M conectd en prlelo con l fuente de voltje primrio. L corriente de pérdids en el núcleo i he, es un corriente proporcionl l voltje plicdo, por lo que se puede modelr por un resistenci R C, conectd en prlelo con l fuente de voltje primrio PÉRDDAS DE EERGÍA E U TRASFORMADOR A continución se indicn ls principles pérdids que ocurren en el trnsformdor rel y que deben ser considerds pr construir un modelo bstnte preciso.. Pérdids en el cobre ( R ). Son pérdids por clentmiento resistivo en los devndos primrio y secundrio del trnsformdor. Se modeln disponiendo un resistor R p en el circuito primrio y un resistor R s en el circuito secundrio del trnsformdor. 4/0/0 Págin 8 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

19 . Pérdids en el núcleo A. Pérdids por corrientes prásits. Pérdids por clentmiento resistivo en el núcleo del trnsformdor. B. Pérdids por histéresis. Pérdids que están relcionds con los reordenmientos de los dominios mgnéticos en el núcleo durnte cd semiciclo. Ls pérdids por histéresis y por corrientes prásits ocsionn clentmiento en el núcleo, ocurren dentro del metl del núcleo, por lo tnto se grupn con el nombre de Pérdids en el núcleo. Como l corriente de pérdids en el núcleo i he es proporcionl l voltje plicdo l núcleo y está en fse con el voltje plicdo, ls pérdids en el núcleo pueden ser modelds por un resistenci R C conectd en prlelo con l fuente de voltje primrio. 3. Pérdids por el flujo disperso. Pérdids que están relcionds con los flujos que escpn del núcleo y psn únicmente trvés de uno de los devndos del trnsformdor. Se modeln disponiendo un inductor L p en el circuito primrio y un inductor L s en el circuito secundrio del trnsformdor CRCUTO EQUVALETE DE U TRASFORMADOR A prtir del esquem eléctrico o circuito equivlente del trnsformdor idel con núcleo de mteril ferromgnético, nlizdo nteriormente, se puede construir el circuito equivlente del trnsformdor rel, dicionándole l modelo del trnsformdor idel los modelos correspondientes ls pérdids que ocurren en el trnsformdor idel. El circuito eléctrico del devndo primrio se puede modelr por un resistenci R p en serie con un inductnci L p, y el circuito eléctrico del devndo secundrio se puede modelr por un resistenci R s en serie con un inductnci L s, luego en el dominio de l frecuenci ls inductncis quedn convertids en ls rectncis inductivs X p y X s Ls resistencis ( R p, R s ) representn ls pérdids en el cobre y ls rectncis (X p, X s ) ls perdids por el flujo disperso, tnto del primrio como del secundrio. Ls pérdids en el núcleo (pérdid por histéresis y por corrientes prásits) se modeln por un resistenci R C. L rectnci inductiv X M represent el fenómeno de l mgnetizción (utoinducción e inducción en el primrio y secundrio respectivmente) o represent el estblecimiento del flujo mutuo en el núcleo. Rc y X M están conectds en prlelo con el voltje de l fuente y por estos elementos v circulr corriente ún cundo el trnsformdor trbje en vcío o cundo se deje bierto el secundrio El circuito equivlente resultnte se muestr en l figur siguiente: i p R p j X p R s j X s i s V p(t) R C j X M V s(t) p Aunque l figur nterior es un modelo correcto de un trnsformdor rel, no es l más utilizd. ormlmente, pr hcer un nálisis práctico de circuitos que contienen trnsformdores se requiere convertir el circuito completo en un circuito equivlente de un único nivel de voltje. O se, ls impedncis, voltjes y corrientes del secundrio se refieren l primrio o vicevers, encontrndo sí un circuito de un solo nivel de voltje. Además, l rm de excitción tiene un corriente muy pequeñ comprd con l corriente de crg de los trnsformdores. En efecto, es tn pequeñ que en condiciones normles cus un cíd de voltje desprecible en R p y X p. Por est cus, se h elbordo un circuito equivlente simplificdo que oper csi tn bien como el originl. Solo se h movido l rm de excitción hci l entrd del circuito, dejndo en serie ls impedncis primri y secundri. Ests impedncis se sumn dndo como resultdo los circuitos siguientes: s 4/0/0 Págin 9 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

20 CRCUTO EQUVALETE DEL TRASFORMADOR REFERDO A SU LADO PRMARO i p R eq p j X eq p i s V p(t) R C j X M V s(t) Donde: R eq p = R p R s ; X eq p = X p X s CRCUTO EQUVALETE DEL TRASFORMADOR REFERDO A SU LADO SECUDARO i p R eq s j X eq s i s V p (t) R C X M j V s(t) R p X p Donde: R eq s = R s ; X eq s = X s En cierts plicciones, l rm de excitción puede omitirse por completo sin ocsionr grves errores en el nálisis del trnsformdor rel ESAYOS DEL TRASFORMADOR REAL Ls resistencis e inductncis del modelo en el trnsformdor rel se pueden determinr experimentlmente por medio de ls pruebs de circuito bierto y corto circuito PRUEBA DE CRCUTO ABERTO En l prueb de circuito bierto, se dej bierto el devndo secundrio del trnsformdor y el devndo primrio se conect l voltje pleno nominl. v e (t) CA i p(t) V CA R C j X M W v p(t) Como ls componentes en serie R p y X p son tn pequeñs comprds con R C y X M pr ocsionr un cíd significtiv de voltje, todo el voltje de entrd se plic trvés de l rm de excitción, luego tod l corriente de entrd debe fluir trvés de l rm de excitción. Por lo tnto, el circuito equivlente en l prueb de circuito s bierto quedrá: Lectur del Vtímetro:W CA = V CA x CA x Cos(θ) Lectur del Voltímetro: V CA Lectur del Amperímetro: CA L dmitnci totl del circuito quedrá: Y E = j CA = Y E θ Luego, Y E = ; FP = Cos(θ) = R C X M VCA WCA o se que, θ = Cos WCA [ ], por lo V x V x p CA CA CA CA 4/0/0 Págin 0 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

21 tnto, los vlores de R C y X M se pueden obtener prtir de = CA CA Cos(θ) y = Sen(θ) R C VCA X M VCA PRUEBA DE CORTO CRCUTO En l prueb de corto circuito, los terminles del secundrio del trnsformdor se cortocircuitn y el devndo primrio se conect un fuente decud de voltje. El voltje de entrd se just hst que l corriente de los devndos cortocircuitdos se igul l vlor nominl. i p(t) i s (t) Como ls componentes en prlelo R C y X M son grndes W comprds con R p y X p y el voltje de entrd es muy pequeño durnte l prueb, l corriente que fluye por l rm v p(t) de excitción es desprecible, luego tod l corriente fluirá v e (t) solmente trvés de R p y X p. Por lo tnto, el circuito equivlente en l prueb de corto circuito quedrá: V CC CC R eq s j X eq s i s p s Lectur del Vtímetro:W CC = V CC x CC x Cos(φ) Lectur del Voltímetro: V CC Lectur del Amperímetro: CC L impednci totl del circuito quedrá: Z E = R eq p j X eq p = Z E φ VCC WCC Luego, Z E = ; FP = Cos(φ) = V x o se que, φ = Cos WCC [ ], por lo tnto, los vlores de R eq p y X eq p se pueden obtener prtir de: R eq p VCC x CC VCC VCC = Cos(φ) y X eq p = Sen(φ) CC CC EJEMPLO 6: Al probr un trnsformdor de 0 KVA, 8000/40 v, 60 Hz, pr determinr su circuito equivlente, los resultdos obtenidos son los siguientes: Prueb de circuito bierto Prueb de corto circuito V CA = 8000 v V CC = 489 v CA = 0.4 A CC =.5 A W CA = 400 w W CC = 40 w Todos los dtos fueron tomdos en el ldo primrio del trnsformdor. ) Encuentre el circuito equivlente del trnsformdor referido l primrio o el ldo de lto voltje. b) Encuentre el circuito equivlente del trnsformdor referido l secundrio o el ldo de bjo voltje. c) Encuentre l regulción de voltje del trnsformdor en condiciones nominles y fctor de potenci de 0.8 en trso d) Determine l eficienci del trnsformdor en condiciones nominles. SOLUCO: 8000 L relción de espirs del trnsformdor es : = 40 = ; =. ; = 0.03 CC CC CC Crcterístics nominles del trnsformdor: S = 0 KVA, FP = 0.8 en trso ; θ = ; P = 6 Kw = KVAR L ; p nom =.5 A ; V p nom = 8000 v ; s nom = A ; V s nom = 40 v 400 A prtir de l prueb de circuito bierto: FP = Cos(θ) = 8000 x 0.4 = 0.34 ; θ = Y E θ = = = j Q 4/0/0 Págin de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

22 Luego, = ; RC = 59 K Ω, y R C X M = ; X M = 38.4 K Ω 40 A prtir de l prueb de corto circuito : FP = Cos(θ) = 489 x. 5 = 0.96 ; θ = Z E φ = = 38.4 j 9, luego, R eq p = 38.4 Ω y X eq p = 9 Ω Por lo tnto. ) El circuito equivlente referido l ldo primrio quedrá : i p 38.4 Ω H V p(t) 59 KΩ 0.85 H i s V s(t) L M = 0.85 h ; L eq p = h b) El circuito equivlente referido l ldo secundrio quedrá : L M = h ; L eq s = mh i p Ω mh V p (t) 43.Ω H i s V s(t) c) REGULACÓ E EL SECUDARO: A prtir de ls condiciones nominles en el circuito equivlente del secundrio: S = 0 KVA, FP = 0.8 en trso ; θ = ; P = 6 Kw ; Q = KVAR L V p V s nom = 40 0 v ; s nom = A, hy que determinr, cundo se le plic l crg indicd. Con el voltje de 40 0 v, l crg puede ser simuld por: Z equiv = , Z equiv =.304 j.77, l cul corresponde : R equiv =.304 Ω ; L equiv = 4.58 mh Al hcer referenci l circuito equivlente en el ldo de bjo voltje tendremos: En vcío, ls condiciones son ls siguientes: S = 0 A ; V s = 40 0 v y V p = 40 0 v. Con crg, ls condiciones son: s = A ; V s = 40 0 v y se debe determinr V p p 43.Ω j 34.5 Ω Ω j 0.7 Ω S V s(t) = 40 0 v s nom = A Z equiv =.304 j.77 V p. RC XM V s = 40 0 ; s = ; Z eq S = j 0.7 = /0/0 Págin de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

23 V Zeq s = Z eq S x s = x = Aplicndo Kirchhoff l cmino de l derech, tendremos : V V p p V Zeq s V s(t) = 0, o se que, = V s V Zeq s V p = = j 9.74 = 5.0. v Luego, l regulción de voltje quedrá expresd por: Vp [ ] V RV = s x 00% = x 00% = 4.59 % Vs 40 d) Pr hllr l eficienci en el trnsformdor, primero se clculn ls pérdids. Pérdids en el cobre : P CO = ( s ) R eq s = (83.33) = w Vp [ ] Pérdids en el núcleo : P U = [5.0] = = w R C 43. Potenci de slid = V s x s Cos(θ) = 40 x Cos(36.86) = 6000 w Potenci de entrd = P CO P U P sl Psl 6000 Eficienci η = x 00% = x 00% = % PCO PU Psl DETERMACÓ DE LAS CORRETES: A prtir de ls condiciones S = ; = 5.0. v o Luego: RC = =.754. A ; XM = o perdids =.754. A A = i p = = V p o = A o i p = = SMULACÓ CO PSPCE: L regulción en el secundrio del trnsformdor efectudo en el pso inmeditmente nterior, se puede simulr, utilizndo el softwre de Pspice, en donde se ingres el circuito presentdo, l crg respectiv R eq, V p L eq y se estimul con el resultdo obtenido pr = 5.0. v. Al efectur l simulción se trt de determinr todos los voltjes, corrientes y potencis presentes en el circuito, probndo con ello que los vlores encontrdos en el proceso nlítico son reles. *p Reqs Leqs s nom Vp/ rc 355V 5.0V_rms 60Hz.Deg Lm Rc 43.ohm 0.034ohm Lm 0.095H 0.456mH Vs (t) Requivc.304ohm Lequivc 4.58mH 4/0/0 Págin 3 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

24 REGULACÓ E EL PRMARO: A prtir de ls condiciones nominles en el circuito equivlente del secundrio: S = 0 KVA, FP = 0.8 en trso ; θ = ; P = 6 Kw ; Q = KVAR L V s = v ; S = A, hy que determinr V p cundo se le plic l crg indicd. Con el voltje de v, l crg puede ser simuld por: Z equiv = , = j 98.88, l cul corresponde : R equiv = 560 Ω ; L equiv = 5.09 mh Al hcer referenci l circuito equivlente en el ldo de lto voltje tendremos: En vcío, ls condiciones son ls siguientes: S = 0 A ; V s = v y V p = v. Z equiv Con crg, ls condiciones son: p S = A ; V s = v y se debe determinr V p. S = A 38.4 Ω j 9 Ω V P 59kΩ j 38.4k Ω S V s = v Z equiv = 560 j 98.8 RC XM V s = ; S = ; Z eq p = 38.4 j 9 = V Zeq s = Z eq p x S = x = Aplicndo Kirchhoff l cmino de l derech, tendremos :V P V Zeq s V s = 0, o se que, V P = V s V Zeq s V P = = j = v, Luego, l regulción de voltje VP Vs quedrá expresd por: RV = x 00% = x 00% = 4.63 % Vs 8000 d) Pr hllr l eficienci en el trnsformdor, primero se clculn ls pérdids. Pérdids en el cobre : P CO = ( S ) R eq s = (.5) 38.4 = 40 w Pérdids en el núcleo : P U = [VP ] R C = [837.09] = w 59k Potenci de slid = V s x S Cos(θ) = 8000 x.5 Cos(36.86) = 6000 w Potenci de entrd = P CO P U P sl Psl 6000 Eficienci η = x 00% = x 00% = 95.9 % PCO PU Psl DETERMACÓ DE LAS CORRETES: A prtir de ls condiciones S = ; V p = v 4/0/0 Págin 4 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS

25 o Luego: RC = = ma ; XM = o 59 k 38.4 k 90 perdids = ma ma = o = ma p = A = S = x = SMULACÓ CO PSPCE: L regulción en el primrio del trnsformdor efectudo en el pso inmeditmente nterior, se puede simulr, utilizndo el softwre de Pspice, en donde se ingres el circuito presentdo, l crg respectiv R eq, L eq y se estimul con el resultdo obtenido pr V P = v. Al efectur l simulción se trt de determinr todos los voltjes, corrientes y potencis presentes en el circuito, probndo con ello que los vlores encontrdos en el proceso nlítico son reles. Pr este cso sí V P = v, entonces debe resultr que: *V S = v. e S / = v. p Reqs Leqs s/ Vp rc 838.5V V_rms 60Hz.3Deg xm Rc 59kohm 38.4ohm Lm 0.85H 0.509H Requivc.56kohm *Vs (t) Lequivc 5.09mH SMULACÓ DEL FUCOAMETO DE TRASFORMADORES TRASFORMADOR A SMULAR Ls crcterístics del trnsformdor simulr son: 0 KVA, 8000/40 v, 60 Hz Ls crcterístics nominles de plen crg son: S = 0 KVA, FP = 0.8 en trso, θ = 36.86, P = 6 Kw, Q = K VAR, V= 40 v, = A, con ests crcterístics l crg puede ser simuld por un circuito RL en serie en donde: R equiv =.304 Ω ; X equiv =.77 Ω y L equiv = 4.58 mh Ls crcterístics nominles del trnsformdor plen crg quedrán: POTECAS: S = 0 KVA, FP = 0.8 en trso, θ = 36.86, P = 6 Kw, Q = K VAR VOLTAJES Y CORRETES: V p nom = 8000 v, p nom.5 A, V s nom = 40 v, s nom A Ls crcterístics pr el circuito equivlente del trnsformdor son: Cir. Equiv. Referido l primrio: R C = 59 KΩ ; L M = 0.85 H ; R eq p = 38.4 Ω ; L eq p = H Cir. Equiv. Referido l secundrio: R C = 43.Ω ; L M = H ; R eq s = Ω ; L eq s = mh SMULACÓ DEL TRASFORMADOR DEAL Pr simulr el trnsformdor como idel no se le considern ls pérdids, lo que signific que no se considern los circuitos equivlentes del trnsformdor, solo se tiene en cuent ls relciones de voltje y corriente tnto en el secundrio como en el primrio SMULACÓ CO EL SOFTWARE DE MULTSM A prtir del modelo del softwre Multisim TRASFORMER VRTUAL se puede simulr el trnsformdor idel de ls crcterístics presentds nteriormente: 4/0/0 Págin 5 de 8 Profesor : Luis Rodolfo Dávil Márquez CODGO: UFPS