Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de Matemáticas I - Hoja 10 - Problemas 1, 2, 3

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1 página 1/6 Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de Matemáticas I - Hoja 10 - Problemas 1, 2, 3 Hoja 10. Problema 1 Resuelto por María Olivares Guerrero (septiembre 2014) 1. Sea la función definida por f ()= para 0. a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Estamos ante un cociente de polinomios, por lo tanto es continua en toda la recta real ecepto donde se anule el denominador. Es decir, para =0 la función no está definida y no es continua en ese punto. Vamos a comprobar si hay una asíntota vertical = 1 =, = 1 0+ =+ Hay una asíntota vertical en =0. Como el numerador tiene un grado mayor que el denominador, f () tiene una asíntota oblicua del tipo y=m +n (y por lo tanto, no tendrá asíntota horizontal). f () =m(m finito y 0) ( f ( ) m)=n = = =3 m=3 = 1 =0 n=0 3 Por lo tanto hay una asíntota oblicua en y=3.

2 página 2/6 b) Nos están pidiendo que hagamos la primera derivada para saber los máimos y los mínimos relativos, además del crecimiento y decrecimiento. Calcularemos los valores críticos igualando la primera derivada a cero. f ' ( )= 3 2 ( 4 1) 6 =0 3 2 ( 4 1)=0 4 1=0 =± 1 Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función vamos a tener en cuenta los valores críticos y los puntos donde esta no está definida (=0). Daremos valores que estén entre los intervalos para sustituirlos en la primera derivada y saber el crecimiento o decrecimiento de la función (derivada positiva implica función creciente, derivada negativa implica función decreciente). Función f () f () f () f () f () Intervalos (, 1) ( 1,0) (0,1) (1,+ ) Derivada f ' ( ) f ' ( 10)>0 f ' ( 1 2 )<0 f ' ( 1 2 )<0 f ' (10)>0 Así comprobamos que en = 1 tenemos un máimo ( 1, 4), y en =1 un mínimo (1,4), como apreciamos en la gráfica.

3 página 3/6 Gráfica de f ( )=

4 página 4/6 Hoja 10. Problema 2 Resuelto por Carmen Martín Rubio (septiembre 2014) 2. Calcular los siguientes límites. a) b) [ arctg (e ) π 2 ] a) = Multiplicamos y dividimos por el conjugado. ( + ( 2 2 )( ) ) ( )= Dividimos numerador y denominador por la máima potencia eistente en los polinomios: en nuestro caso (recordando que dentro de la raíz entra como 2 ). ( )= ( )= 2 2 =1

5 b) [ arctg (e ) π = 0 2 ] página 5/6 Lo epresamos de la siguiente forma: [ arctg (e ) π 2 ] = Tenemos un cociente de funciones funciones continuas y derivables (salvo en =0 para el denominador), que tienden a cero cada una de ellas al ser evaluadas en el infinito. Por lo tanto, podemos aplicar L'Hôpital. Derivamos por separado numerador y denominador, y calculamos el nuevo límite. e [ 1+e ] [ 2 e ] = 1+e = 2 Nuevamente aplicamos L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado. [ 2 e 2 e ] = 2 e 2 [( 2 2 )e ] 2e e 2 2 = = 2 e Podemos seguir aplicando L'Hôpital sucesivamente hasta quitar la indeterminación, o bien darnos cuenta que la función eponencial en el infinito es mucho más potente que un polinomio (por lo que podemos intuir que el límite tenderá a 0 al estar la eponencial en el denominador). Si deseamos aplicar L'Hôpital dos veces más, de manera consecutiva: 2 2 = 2e 2 2 e = 1 =0

6 página 6/6 Hoja 10. Problema 3 Resuelto por Vicky Torrecillas (septiembre 2014) 3. Calcular los siguientes límites. ln(cos3 ) a) 0 ( ln(cos2 ) ) b) 0 ( 4+ 4 ) 4 a) 0 ( ln(cos3) ln(cos2) )= 0 0 Aplicaremos L'Hopital sucesivamente, siempre que se mantenga la indeterminación y las funciones que aparezcan en numerador y denominador sean continuas, al menos, en =0 y derivables en un entorno alrededor del valor =0. 3sen3 0 ( ln(cos3) ln(cos2) )= cos3 0 ( )= 2sen2 0 ( 3sen(3)cos(2) 2sen(2)cos(3) )= 0 0 cos cos(3 )cos(2)+sen(3 )( 2)sen(2) 0 ( 2cos(2)cos(3)+sen(2 )( 3)sen(3) )= = 9 4 b) 0 ( 4+ 4 )= Aplicamos L'Hôpital. 1 0 ( )= = = 1 4 8