9 Aáss de Aov edo E este pítuo se trt os modeos de ANOVA de u ftor que tee más de u ve de áss. No se trt de dos ftores por seprdo, so que detro de ftor prp de áss, se osder otros ftores suorddos. Pr evtr ofusó o os térmos, se prefere der que hy detro de ftor u ve prp y detro de éste, uo o más suvees de áss. Es omo s estos útmos estuvese edos e e prmero. Esto permte u poo más de sofstó e e estudo de s vrddes que fet os expermetos. E prmer prte se exp os dferetes modeos de ANOVA edo, de uerdo omo so os modeos empedos e d ve. Luego se preset s forms orts de áuo y eempos de pó. 9. Itroduó E modeo de Aov de u ftor vsto e os pítuos preedetes, es o muh freue sufete pr rr tod ompedd de u expermeto ddo y pr extrer de msmo tod formó mportte. E e presete pítuo se verá e so e que d grupo de muestrs está sudvdd e ses esogds etormete. Por eempo, e u expermeto dode se estudrá 5 dos de utvo, se puede preprr s de Petr pr d do, y e d u de ests, ur muestr extríd u pete. Así, os dos de utvo será os grupos prpes y s s os sugrupos detro de estos. L vet respeto Aov de u ftor, es que hor se puede oservr s dferes etre os tpos de semr pr estr seguros que s dferes oservds etre s s se dee dferete omposó de os dos. Podrí drse que dferes morfoógs o metes y otrs detes, etre os dferetes mroos utvdos e s dferetes s, osoe dferes etre e resutdo de os utvos f de expere. L ú mer de seprr estos dos efetos es teer dos o más s de Petr pr d do de utvo, y o e Aov, seprr s vrddes de estos efetos. S o se euetr dferes sgftvs etre s s, se puede trur s dferes oservds os dsttos tpos de dos de utvo. Todví, s se euetr dferes sgftvs etre s s, o ompoete ñdd de vrz etre s s, se puede omprr vró etre os dos pr ver s so sgftvs, sore se de vrdd etre s trtds de msm mer. A este tpo de áss, se o ooe omo Aov edo o erárquo, pues u sfó suordd está ed detro de ve más to de sfó. E e ve suorddo os grupos sempre dee ser esogdos e form etor. Por o tto, sempre se trtrá
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9- de u Modeo tpo II de Aov e os suvees. E mo, e e ve prp os grupos se puede esoger e form etor (Aov edo puro), o e, e form espe omo e u Modeo tpo I de Aov (Aov edo mxto). Además, se puede segur sudvdedo s ses e otros sugrupos y teer sí más de dos vees. Por eempo, pr e estudo de u drog pd seres humos se puede preprr 5 doss y u peo (áso Modeo I) pr e prmer ve. Detro de d grupo se puede esoger 0 petes e form etor pr oformr e segudo ve de áss. De d pete se puede tomr tres muestrs pr evur vrdd de eturs repetds y oformr sí e terer ve suorddo, pr utfr prte de vrz ded error de medó. Pero e e segudo ve se puede determr vrdd etre petes y e e prmero ded s doss. Otros usos mporttes de modeo puro se ve freuetemete e Geét utttv, Sstemát, et. 9. Modeos teóros y forms de áuo Los dtos meddos e u Aov edo, puede exprse e form smr vst omo Modeos I y II de Aov de u ftor. Co s dferes sguetes: µ + A + B + ε Modeo de Aov edo puro Dode: : es e -ésmo dto meddo, de suse, de grupo µ : es med Prmétr de poó A : es otruó etor de efeto de grupo B : es otruó etor de efeto de sugrupo, de grupo ε : es e error de medó, e sugrupo, de grupo Se supoe que A se dstruye e form guss o med 0 y vrz σ ; metrs que B tmé se dstruye ormmete o med 0 y vrz σ BA, dode se d que vrz es de sugrupo B detro de grupo A. Por su prte ε tee med 0 y vrz σ Metrs que pr e modeo mxto reó teror se trsform e : µ + α + B + ε Modeo de Aov edo mxto Dode: : es e -ésmo dto meddo, de suse, de grupo µ : es med Prmétr de poó α : es otruó f de efeto de grupo B : es otruó etor de efeto de sugrupo, de grupo ε : es e error de medó, e sugrupo, de grupo Est fórmu es msm que vst más rr, soo que e efeto de ftor prp es fo e ugr de etoro, esto es que α es u ostte pr todo os dtos de grupo. Pr presetr s forms de áuo e este modeo de Aov, se muestr e sguete: Eempo ) U empres frméut tee suurses e todo e pís. Luego de zr u uev íe de produtos de osmét dede zr vrdd de sus vets. Pr eo esoge
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9- suurses zr y e d u de es se sortero 4 dís uquer de mes. Como se tr 4 hors e turos, pr seprr vrz error se sortero turos e d so. Su propósto tomr 4 dís zr, dferetes e d suurs, es ver s s dferes etre suurses, ñde vrz vrdd tot de s vets deds rzoes estoes y de merdo. L rzó es meorr pfó geer de s omprs pr o quedrse o u sto exesvo de merderí. Como s suurses (ve ) se esogero zr, o msmo que os dís de mes (suve ) y os turos (medoes repetds detro de suve ). Se trt rmete de u Modeo de Aov edo puro. Muy dferete huer sdo s s suurses s ege propósto pr ver s hy dfere sgftv etre es; e t so serí u modeo mxto. Los dtos otedos so e moto tot de vet dro, expresdos e pesos, de uev íe de osmét. Notr que se podrí tomr s vets mesues de d suurs durte u semestre y dseñr u modeo smpe de Aov. Pero e dseño esogdo o eest esperr vros meses pr trr os dtos, so que tomdo u so que y es sufete pr omezr segur e proeso de vet de uev íe zd. Cudro 9.: Vets drs e $ de u uev íe osmét e suurses Su. Su. Su. 4 4 4 75,5,4 5 0, 09,4 68 5, 9,4 69,8, 09,7 87, 78,5 4,7 50,8 04,9 09,4 6,5 47,9 97,4 7,5 7,0 07,6 9,5 T 54 476, 50,8 45, 48,8,5 00 88,8 4, 470, 47, 80,7 T 748, 49, 60,4 Pso ) Se u os totes dros T de s medoes repetds () y e tot por suurs. Etoes hy N... 4. 4 dtos y es: T 748, + 49, + 60,4 4797,6 T Pso ) Se u sum de udrdo de todos os dtos: (75,5) + (78,5) +... + (9,5) 980.569,44 T x Pso ) Se u sum de os udrdos de os totes de os sugrupos, dvddo por e tmño muestr respetvo (e este so todos os tmños so gues ): T / (/) T (/)[(54) + (476,) +... + (80,7) ] 980.46,5 T Pso 4) Se u sum de os udrdos de os totes de os grupos, dvddo por su tmño muestr respetvo (e este so todos os tmños so gues. 8) T / (/.) T (/8)[(748,) + (49,) + (60,4) 965.0, Pso 5) Se u e térmo de orreó T / N TC (4797,6) / 4 959.040,4 T
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-4 Pso 6) Se u s sums de udrdos eesrs SS tot T x - TC (Pso - Pso 5) (980.569,44-959.040,4) 59, SS grupos SS sugrupos T - TC (Pso 4 - Pso 5) (965.0, - 959.040,4) 599,08 T - SS detro T x - T (Pso - Pso 4) (980.46,5-965.0,) 5404,8 T (Pso - Pso ) (980.569,44-980.46,5),9 Pso 7) Se u e udro de Aov edo omo sgue: TABLA DE ANOVA Fuete de Sum de Grdos de Cudrdos Vró udrdos Lertd Medos F Etre grupos 599,08 (-) MSe /(599,08/)995,54 MSe / MSeg,75 (s) Etre sugrupos 5404,8 (-) 9 MSeg /(-)(5404,8/9)7,7 MSeg / MSd 54,*** Detro sugrupos,9 (-) MSd/(-)(,9/), Tot 59, S e ugr de modeo edo, se huer heho e modeo uftor smpe, sum de udrdos etre s suurses (etre grupos) serí msm SSetre su. 599,08. Y sum de udrdos error, detro de os grupos, serí dfere etre tot y que hy etre s suurses, SSerror (59, 599,08) 558,. Esto sgf que, e estdígrfo F (599,08/ ) / (558, / ) 4,05* serí sgftvo. Ce pregutrse rzó por u, e este modeo hy dferes sgftvs etre s suurses y e e edo o. L respuest es que e e ANOVA smpe vrdd remete o error otee ded etoredd de vets drs etre os turos. Y o her es dsrmó e áss se tor ofuso, muestr u sgfó dsfrzd porque e udrdo medo remete o error h mdo. Ahor se puede dsrmr meor y se puede ver que myor prte de vrdd se dee que hy etre os turos. A medd que e vestgdor sudvd e más vees, meor podrá dsrmr s oss. L de ás e dseño de ANOVA es trtr de redur o más pose e MS remete dedo error. L rquez de modeo edo resde, e este so, e que sum de udrdos remete o error (detro de s suurses) puede desompoerse e dos prtes: u osderr os dferetes turos (etre turos, detro de s suurses) y uev remete más h. Hy meor error (determó) y se puede eotrr meores expoes s oss. Se dee otur o u áss de ompoete ñdd de vrz: Pso 8) Se u s ompoetes ñdds o: L vrdd error (detro de sugrupos) es: σ, L vrdd etre sugrupos, es der etre turos detro de s suurses es:
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-5 σ BA (MS sugrupos - MS error ) / (7,7,) / 850, L vrdd etre grupos (suurses) es: σ A (MS grupos - MS sugrupos ) (995,54 7,7) / 8 60,48. Luego, Vrdd tot σ + σ BA + σ A, + 850, + 60,48 0,88. Etoes: σ % represet e (, / 0,88).00,08% de vrdd tot (e error). σ BA % represet e (850, / 0,88).00 8,% de tot (turos detro de suurses). σ A % represet e (60,48 / 0,88).00 5,7% de tot (etre s suurses). 9. ANOVA edo de tres vees Pr este modeo pree u uevo suve y etoes, otr vez, qued dos tpos de pteos o dseños expermetes poses: e Modeo puro y e mxto. µ + A + B + C + ε Modeo de Aov edo puro Dode: : es e -ésmo dto meddo, de suse, de grupo µ : es med Prmétr de poó A : es otruó etor de efeto de grupo B : es otruó etor de efeto de sugrupo, de grupo C : es otruó etor de efeto de su-sugrupo, de sugrupo e grupo ε : es e error de medó, e su-sugrupo, e sugrupo, de grupo Se supoe que A se dstruye e form guss o med 0 y vrz σ ; metrs que B tmé se dstruye ormmete o med 0 y vrz σ BA, dode se d que vrz es de sugrupo B detro de grupo A. Además, C se dstruye ormmete o med 0 y vrz σ CB (se d e su-sugrupo C detro de sugrupo B). Y por su prte ε tee med 0 y vrz σ y se trt de vrz remete o error. Metrs que pr e modeo mxto reó teror se trsform e : µ + α + B + C + ε Modeo de Aov edo mxto Dode: : es e -ésmo dto meddo, de suse, de grupo µ : es med Prmétr de poó α : es otruó f de efeto de grupo Y os demás térmos so smres vsto modeo puro.
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-6 9.. Forms orts de áuo Pr ustrr este modeo se rá desrrodo form de áuo o e modo pso pso, pr ftr su ompresó. Se h tomdo u expermeto dode e prmer ve se esoge e form deerd, esto es, se trt de u modeo mxto. Eempo ) Se h meddo e otedo guos e sgre hum. Se tee u grupo otro y dos preprdos o dos drogs dferetes A y B. Pr d uo de os tres grupos ( ), se egero dos petes zr ( ). A d pete se e tomó u muestr e tres horros dferetes de dí esogdos zr ( ). Luego se hero tres repetoes de determó pr dsmur e error remete ( ). Los dtos meddos se muestr e e Cudro 9. sguete, uto o os áuos premres: Cudro 9.: Cotedo de guos e sgre Trtmetos: Cotro Drog A Drog B Petes Horro Dtos 99 97 95 96 98 94 88 88 86 80 8 80 78 80 78 79 80 78 98 96 96 94 99 94 87 89 84 8 8 8 79 8 76 80 8 76 99 98 94 95 98 9 86 86 85 80 80 8 78 80 74 78 8 74 Sum: 96 9 85 85 95 80 6 6 55 4 45 4 5 4 8 7 4 8 Tot preprdos: 87 860 779 79 704 708 Tot Grupos : 7 508 4 Pso ) Se u e tot de s oservoes rezds: T 99 + 98 + 99 + 97 +... + 76 +74 4.65 Pso ) Se u e tot de udrdo de s oservoes rezds: T x (99) +(98) + (99) +... + (74) 404.09 Pso ) Se u sum de os udrdos de os totes de os su-sugrupos (horros) dvddo por su tmño muestr ( ) respetvo: T (/) (/) [ 96 + 9 + 85 + + 8 ] 404.044,667 Pso 4) Se u sum de os udrdos de os totes de os sugrupos (petes) dvddo por su tmño muestr respetvo. (. 9 ) T (/.) (/9)[ 87 + 860 + 779 + 79 + 704 + 708 ] 40.905,
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-7 Pso 5) Se u sum de os udrdos de os totes de os grupos (trtmetos) dvddo por su tmño muestr respetvo. (.. 8 ) T (/..) (/8) [ 7 + 508 + 4 ] 40.757, Pso 6) Se u e térmo de orreó: T / N (/...) (/54) [ 4.65 ] 400.76,85 Pso 7) Se u sum de udrdos tot: SS T - T / N T - T / N Pso - Pso 6 SS T 404.09 400.76,85.0,85 Pso 8) Se u sum de udrdos etre os grupos (etre trtmetos): SS E (/..) - T / N T - T / N Pso 5 - Pso 6 SS E 40.757, 400.76,85.996,48 Pso 9) Se u sum de udrdos detro de grupos (petes detro de trtmetos): SS sugrupos (/.) - (/..) T - T SS sugrupos Pso 4 - Pso 5 40.905, - 40.757, 47,778 Pso 0) Se u sum de udrdos detro de sugrupos (horros detro de petes): SS su-sugrupos (/) - (/.) T - T SS su-sugrupos Pso - Pso 4 404.044,667-40.905, 9,556 Pso ) Se u sum de udrdos remete o error (dtos detro de trtmetos): SS T - (/) T - T Pso - Pso
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-8 SS T 404.09-404.044,667 47, Pso ) Se prepr T de ANOVA: Fuete de Vró ν SS MS F Etre Trtmetos (-) 996,48 498.074 0,4* Petes detro (-) 47,778 49,59 4,4* de Trtmetos Horros detro (-) 9,556,69 8,85*** de petes Dtos detro de (-)6 47,,5 Trtmetos (error) Tot 5 0,85 E prmer oum se d s dferetes fuetes de vró zds. E segud oum os grdos de ertd respetvos. Ls sums de udrdos y os udrdos medos se oo e terer y urt oum. Fmete se u os estdígrfos F omo sgue: F MS / MS.498,074 / 49,59 0,4* > F 0,95; ; 9,55 Pero 0,4 < F 0,99; ; 0,8 Por o tto, se eotrro dferes sgftvs etre os grupos zdos. E segudo test se he pr ompror s hy dferes sgftvs etre os petes detro de os trtmetos que reero. E estdígrfo es: F MS / MS 49,59 /,69 4,4* > F 0,95; ;,49 Pero 4,4 < F 0,99; ; 5,95 Se eotrro dferes sgftvs etre os petes, detro de os trtmetos hehos. E terer test, se efetú pr ompror s hy dferes sgftvs etre os horros detro de os petes. E estdígrfo es: F MS / MSerror,69 /,5 8,85*** > F 0,999; ; 6,76 Se eotrro dferes tmete sgftvs etre os horros detro de petes. Como e prmer test resutó sgftvo es eesro rezr s omproes mútpes etre os grupos vestgdos. Pr os demás suvees, omo hy sgfó, se dee rezr utfó de s ompoetes ñdds de vrz. E uyo so es: Pso ) Estmó de s ompoetes de vrz:
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-9 DS B A (49,59,69) / 6 6,7 (petes detro de trtmetos: 6) DS C B (,69,5) /,48 (horros detro de petes: ) DS,5 (remete o error) L vró tot de os vees zdos, se u omo sum de s tres terores: VAR DS B A + DS C B + DS,0 Pso 4) Se u s ompoetes ñdds de vrz omo u porete: ( DS B A / VAR ) 00 ( 6,7 /,0) 00 56,9% (petes detro de trtmetos) (DS C B / VAR ) 00 (,48 /,0) 00,% (horros detro de petes) ( DS / VAR ) 00 (,5 /,0) 00,9% (error) L otó o os prétess e os prmeros psos terores se hzo pr deotr mer de geerzr este tpo de ANOVA más de tres vees. Por d suve que se gregue hrá u uevo suíde, o se, u sumtor más de os vores meddos. Luego e áuo se he sí: Los dos prmeros psos so áogos, esto es, sum de todos os vores eotrdos pr oteer e gr tot y sum de os udrdos de os dtos. E e terer pso hrá tts sumtors omo suídes (suvees) hy, uego se oo e prétess e útm de es pr eevr udrdo os sutotes ompreddos. E e urto pso se orre e prétess u posó zquerd pr que rque s dos útms sumtors y sí eevr udrdo os sutotes respetvos. Y sí suesvmete hst egr térmo de orreó, que es udo e prétess r tods s sumtors. Pr oteer s Sums de Cudrdos se omez restdo s tddes oteds e e Pso y e térmo de orreó, pr oteer e SS etre os grupos. A otuó, pr e útmo suve, se rest e térmo de orreó Pso medto teror éste. Y sí suesvmete. Por eempo, s e Pso 8 es e áuo de térmo de orreó, prmer dfere se he etre: Pso 8 Pso 7, sguete Pso 7 Pso 6, uego Pso 6 Pso 5 y sí hst egr Pso Pso que d remete o error. E Cudro de ANOVA es etermete smr vsto, y dee verfrse e tot de os grdos de ertd vodos, o msmo que e tot de sum de udrdos. Los MS se otee, omo sempre, dvdedo os SS por sus respetvos grdos de ertd. Y os estdígrfos F se otee dvdedo e MS de prmer regó por e MS de segudo, uego e MS de segudo por e MS de terero y sí suesvmete. Los demás psos segur depede de sí se euetr sgfó, e msm form que de eempo vsto.
Boestdíst pd Boquím y Frm J.C. Azzmot Rezo: rro_pss@udd.om.r 9-0 9.4 Proems propuestos ) Mrr respuest orret d u de s frmoes sguetes, o ompetr frse: ) E ANOVA edo tee vets respeto ANOVA smpe. V F ) E edo puede seprr vrdd ded os dsttos suvees estuddos. V F ) Meor s vets de este modeo:...... 4) E modeo puro de edo es de Modeo I e todos os vees. V F 5) Expr omo se dseñ u modeo mxto de ANOVA edo:... 6) E edo se m tmé erárquo porque tom e uet os dsttos vees. V F 7) Expr teórmete os modeos puros y mxtos.... 8) A vor os dtos ovee rezr os totes premres. V F 9) E prmer pso sempre es eotrr e tot de s medoes efetuds. V F 0) E e segudo pso hy que ur e tot de os udrdos de s oservoes. V F ) E e terer pso se u SS etre os grupos zdos (segudo ve). V F ) Expr omo se geerz os demás psos:...... ) Sempre hy que ur ompoete ñdd de vrz. V F 4) Los estdígrfos F pr d ve se u dvdedo su MS por e MSerror. V F 5) Hy que omprr F o u vor de ts, o os grdos de ertd respetvos. V F 6) S hy sgfó e e prmer ve, hy que her omproes mútpes. V F 7) Cudo e os suvees hy sgfó se dee ur ompoete ñdd. V F 8) Expr omo se geerz este modeo más de tres vees:...... ) Resover umérmete e sguete proem: Trtmetos: Cotro Drog Drog Petes Det Dtos 450 4 446 445 440 449 478 470 468 480 477 48 50 58 50 499 5 50 440 45 44 448 44 450 476 465 46 475 479 485 50 59 509 505 55 505 ) Ídem teror Petes Horro Dtos 6 50 40 60 57 54 47 5 47 6 4 8 5 8 9 4 0 5 4 48 4 50 45 4 5 55 47 5 5 8 6 40 8 7