Tema 14: Iferecia estadística La iferecia estadística es el proceso de sacar coclusioes de la població basados e la iformació de ua muestra de esa població. 1. Estimació de parámetros Cuado descoocemos los parámetros que describe ua població los podemos estimar e fució de la iformació que proporcioa ua muestra. U estimador es ua fució de los datos de la muestra que permite dar u valor aproximado de u parámetro poblacioal descoocido. E la estimació putual, a partir de ua muestra, damos u úico valor al estimador del parámetro descoocido. Dada ua muestra (x 1, x,, x ) de ua població X: X N(μ, σ), μ descoocida: x = 1 { x i es estimador de μ X B(, p), p descoocido: p = 1 x i es estimador de p E la estimació por itervalos, se costruye u itervalo que cotega el parámetro descoocido.. Itervalo de cofiaza para la media muestral Es lógico pesar que, si la altura de ua població sigue ua ormal, de variaza coocida y de media descoocida, para estimar dicha media, pesemos e tomar la media de las medidas que hemos coseguido co muestras. Partimos de ua població que sigue ua ormal N(μ, σ) co desviació típica coocida, y queremos estimar, mediate u itervalo, el parámetro μ. Se toma ua muestra de tamaño y se calcula su media x. Sabemos que la distribució de la variable aleatoria formada por las medias x i de todas las muestras del mismo tamaño es ua ormal: σ X N (μ, ) Tipificado, la variable Z = x μ σ presetará ua distribució N(0, 1) dode, como se vio e la uidad aterior, p( z α/ Z z α/ ) = 1 α y, sustituyedo la expresió de Z, teemos: p ( z α/ x μ σ z α/ ) = 1 α p ( z α/ σ x μ z α/ σ ) = 1 α p (x z α/ σ μ x + z α/ σ ) = 1 α Por tato el itervalo de cofiaza para el parámetro μ de ua població N(μ, σ ) a u ivel de cofiaza 1 α es u itervalo cetrado e x y de radio z α/ σ esto es: I. C = (x z α/ σ, x + z α/ σ ) Es u itervalo que cotiee al parámetro μ co ua probabilidad 1 α. 1
Ejemplo 1 U psicólogo escolar ha estudiado que el tiempo de reacció de los alumos de primero de Primaria se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 0,04 segudos. Co ua muestra de 100 alumos, la media de tiempo de reacció fue de 45 segudos. Halla u itervalo de cofiaza para la media de tiempos de reacció de los alumos de primero de Primaria al ivel de cofiaza de: a) 90% b) 95% c) Iterpretar los resultados Resolució Media muestral x = 45 Desviació típica poblacioal: σ = 0,04 I. C = (x z α/ σ, x + z α/ σ ) a) Calculemos z α/ para u ivel de cofiaza del 90%: Si el itervalo característico abarca u área de 0,9, fuera de él deberá haber u área de α = 0,1; el área de cada ua de las colas es α =0,05. Se trata de buscar el valor de k tal que p(z k) = 0,05, esto es, p(z k) = 0,95 E las tablas ecotramos: p(z 1,64) = 0,9495 p(z 1,65) = 0,9505 El valor promedio etre 1,64 y 1,65 es 1,645. Por tato, tomaremos z α/ = 1,645 El itervalo característico [ 1,645, 1,645] es aquel detro del cual, e ua distribució de probabilidad N(0,1), hay u área 90% del total. El itervalo de cofiaza será: (45 1,645 0,04 0,04, 45 + 1,645 100 100 ) = (44 993, 45 007) El tiempo de reacció de los alumos de primero de Primaria está etre 44,993 y 45 007 co ua cofiaza del 90% o lo que es lo mismo, este itervalo cubre el valor del tiempo medio de reacció co ua probabilidad de 0,9. b) Para calcular z α/ para u ivel de cofiaza del 95% se procede de forma aáloga bteiedo z α/ = 1,96 El itervalo de cofiaza será: (45 1,96 0,04 0,04, 45 + 1,96 100 100 ) = (44 99, 45 008) c) Cuato mayor es el ivel de cofiaza, mayor es la amplitud del itervalo, co lo que aumeta el marge de error.
3. Tamaño de la muestra. Error máximo de estimació Hasta ahora, coocido el tamaño de la muestra se calculaba el itervalo de cofiaza correspodiete. Se podría platear la preguta a la iversa: cuál debe ser el tamaño de la muestra para teer ua cofiaza determiada? El error máximo vedrá determiado por el radio del itervalo de cofiaza, es decir: E = z α/ σ Ejemplo E u determiado barrio se seleccioó al azar ua muestra de 100 persoas cuya media de igresos mesuales era de 600. La desviació típica poblacioal es de 10. a) Si se toma u ivel de cofiaza del 95 %, cuál es el itervalo de cofiaza para la media de los igresos mesuales de toda la població? b) Si se toma u ivel de cofiaza del 99 %, cuál es el tamaño muestral ecesario para estimar la media de igresos mesuales co u error meor a 18? Resolució a) Sabemos que a u ivel de cofiaza del 95% le correspode el valor crítico z α/ = 1,96. El itervalo de cofiaza será: (600 1,96 10 10, 10 + 1,96 ) = (576 48, 63 5) 100 100 b) A u ivel de cofiaza de 99 % le correspode z α/ =,575 El error es: E = z α/ σ 10 10,575 18 =,575 = = 17,17 = 94,69 18 Por tato se ecesita ua muestra de, al meos, 95 persoas. Ejemplo 3 U fabricate de pilas alcalias sabe que el tiempo de duració, e horas, de las pilas que fabrica sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza 3600. Co ua muestra de su producció, elegida al azar, y u ivel de cofiaza del 95% ha obteido para la media el itervalo de cofiaza (37 6, 39 ). a) Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) Cuál será el error de su estimació, si hubiese utilizado ua muestra de tamaño 5 y u ivel de cofiaza del 86,9%? Resolució a) A u ivel de cofiaza del 95% le correspode u valor z α/ = 1,96. Variaza σ = 3600; e cosecuecia la desviació típica es σ = σ = 60 El itervalo de cofiaza para la media tiee la forma I. C = (x 1,96 60 60, x + 1,96 ) = (37 6, 39 ) Por tato, teemos el sistema x 1,96 60 = 37,6 { x + 1,96 60 y sumado miembro a miembro ambas ecuacioes, obteemos = 39, x = 764,8 de dode x = 38,4. 3
Sustituyedo este valor e la primera ecuació 38,4 1,96 60 = 37,6 de dode = 144. El tamaño muestral utilizado es 144. b) Para ivel de cofiaza de 86,9%, el itervalo abarca u área de 1 α = 0,869; fuera de él deberá haber u área de 0,131; el área de cada ua de las colas es 0,0655. Se trata de buscar k tal que p(z > k)=0,0655, o lo que es lo mismo p(z k) = 0,9345 E las tablas ecotramos: p(z 1,51)=0,9345 Por tato z α/ = 1,51 y el error E = z α/ σ = 1,51 60 = ±6,04 5 4. Itervalo de cofiaza para la proporció E ua població os fijamos e ua cierta característica de sus idividuos. Queremos estimar la probabilidad p que hay de que u idividuo cualquiera posea esa característica o, lo que es lo mismo, la proporció de ellos e la població. Tomamos ua muestra (x 1, x,, x ) de la població y cosideramos la variable X úmero de idividuos co la característica (éxito); se trata de ua distribució biomial de parámetro p descoocido: X B(, p) que, para suficietemete grade, se aproxima por ua ormal N(p, p(1 p). La proporció muestral es p = idividos e la muestra co la característica = X La distribució P de las proporcioes muestrales es ua ormal p(1 p) P N (p, ) Razoado de forma aáloga a como lo hicimos para la media, el itervalo de cofiaza para la proporció de idividuos que cumple ua determiada característica e ua població, co u ivel de cofiaza 1 α, costruido a partir de ua muestra es I. C = (p z α/, p + z α/ ) Ejemplo 4 Para hallar la proporció de imigrates de ua ciudad, se toma ua muestra de 600 persoas y se observa que 36 de ellas so imigrates. Determia el itervalo de cofiaza correspodiete co u ivel de cofiaza del 99%. Resolució Sabemos que a u ivel de cofiaza del 99% le correspode el valor crítico z α/ =,575. Por otro lado p = 36 600 = 0,06 El itervalo de cofiaza será: (p zα, p + zα ) = 0,06 0,94 0,06 0,94 (0,06,575, 0,06 +,575 ) = (0 035, 0 085) 600 600 Co la muestra elegida, la probabilidad de que la proporció de imigrates e la població esté e el itervalo (0 035, 0 085) es 0,99. 4
5. Error máximo El error máximo vedrá determiado por el itervalo de cofiaza, es decir E = z α/ Ejemplo 5 Se desea estimar la proporció, p, de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos, de tamaño. a) Si el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es igual al 30%, calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza de 0,95, el error cometido e la estimació sea iferior al 3,1%. b) Si el tamaño de la muestra es de 64 idividuos, y el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es del 35%, determia, usado u ivel de sigificació del 1%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de daltóicos de la població. Resolució a) Proporció muestral: p = 0,3; Nivel de cofiaza 1 α = 0,95; E < 0,031 Sabemos que a u ivel de cofiaza del 95% le correspode el valor crítico z α/ = 1,96. 0,3 0,7 E = z α/ < 0,031 1,96 < 0,031 > ( 1,96 0,01 ) 0,031 > 83,948 La muestra ha de ser de 84 idividuos. b) = 64; Nivel de sigificació α = 0,01; Nivel de cofiaza 1 α = 0,99 Proporció muestral p = 0,35 Sabemos que a u ivel de cofiaza del 99% le correspode el valor crítico z α/ =,575. 0,35 0,65 0,35 0,65 I. C = (0,35,575, 0,35 +,575 ) = (0 196, 0 504) 64 64 Ejemplo 6 A partir de ua muestra de tamaño 400, se estima la proporció de idividuos que lee el periódico e ua gra ciudad. Se obtiee ua cota de error de 0,039 co u ivel de cofiaza del 95%. a) Podríamos, co la misma muestra, mejorar el ivel de cofiaza e la estimació? Qué le ocurriría a la cota de error? b) Sabrías calcular la proporció, p, obteida e la muestra? Resolució a) Aumetado la cota de error mejoraría el ivel de cofiaza. b) = 400; E = 0,039; 1 α = 0,95; z α/ = 1,96 E = zα = 0,039 1,96 = 0,039 400 0,039 0 = ( ) 1,96 Resolvemos la ecuació de segudo grado = 0,16: = 0,16 p p + 0,16 = 0 p = 1 ± 1 0,64 = { p = 0,8 p = 0, 5