Integración en una variable. Aplicaciones

Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo por los griegos hce más de 2000 ños: consiste en ir inscribiendo en l región cuy áre se quiere clculr, regiones poligonles que l proximn y cuy áre semos cpces de clculr. Este método fue usdo por Arquímedes de Sircus pr clculr el áre encerrd por funciones sencills, el eje de bsciss y ls rects verticles x = y x = b. Por ejemplo, l del áre encerrd bjo un segmento de prábol. Este resultdo fue desestimdo en el siglo XVII y que no se hbí definido formlmente el concepto de áre. Sin embrgo, l obr de Arquímedes sugiere un cmino pr definir el concepto de integrl y trvés de ell, el de áre, y le convierte, junto vrios coetáneos suyos, en precursores del cálculo integrl. Desde los griegos no se revivió el método de exhución hst el siglo XVII con Cvlieri, Descrtes, Pscl y Fermt. Pero fueron Newton y Leibnitz los que descubrieron, independientemente uno del otro, que los problems del cálculo integrl y del diferencil, ern en relidd forms inverss de uno solo. Pr Newton el cálculo integrl tiene un ppel secundrio, pues lo consider, según ls enseñnzs de su mestro Brrow, un proceso inverso l del cálculo diferencil. A Leibnitz le debemos l myor prte de ls notciones ctules de los cálculos diferencil e integrl; observó que l fórmul del cmbio de vrible descubiert por Brrow es evidente utilizndo su notción. En los siglos XIX y XX, Cuchy, Riemnn (y Lebesgue e Itô en forms más complejs) perfeccionron el concepto de integrl, mplindo éste un conjunto más bsto de funciones. Abordremos el tem desde el punto de vist de Riemnn. 4.. Conceptos básicos Integrl definid: definición, condición de integrbilidd y propieddes L ide que subyce en l definición de integrl definid es, como dijimos en l introducción, l que utiliz Arquímedes pr el cálculo de áres encerrds entre los ejes coordendos y l gráfic de un función f(x). Supongmos que queremos clculr el áre A encerrd por

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES un función f bjo un segmento [, b] (por hor supondremos que l función está definid y cotd en [, b]). Dividimos el intervlo [, b] en n subintervlos [t 0, t ], [t, t 2 ],...,[t n, t n ] como en l gráfic nterior, por medio de números t 0, t,...,t n, que verificn = t 0 < t <... < t n < t n = b. Al conjunto P = {t 0, t,...,t n } se le denomin prtición del intervlo [, b]. Pr cd prtición P, considermos n puntos representtivos ξ,...,ξ n, tles que ξ i [t i, t i ], y considermos ls n bnds rectngulres con bse en cd subintervlo y ltur f(ξ i ). Si summos ls áres de ls n bnds, obtendremos (en l medid en que n se grnde y ls bnds tengn bses pequeñs) un proximción del áre A buscd. El áre de cd bnd rectngulr es áre bnd = bse ltur = (t i t i ) f(ξ i ). L sum de ls áres de ls bnds (que depende de l prtición P elegid y de l imgen por f de los puntos ξ i, i =,..., n) se denomin sum de Riemnn, y se denot por S(f, P). Resumiendo, S(f, P) = (t i t i )f(ξ i ) A. i= Ingenierí Técnic Forestl 2 Fundmentos Mtemáticos

4.. CONCEPTOS BÁSICOS Prece lógico pensr que mientrs más pequeño elijmos el diámetro de l prtición, δ(p) máx k n {t k t k }, obtendremos un mejor proximción del áre. Con est ide, se define l integrl definid de f entre y b como el límite de ls sums de Riemnn S(f, P) cundo el diámetro de l prtición P tiende cero, siempre que este límite exist. Decimos entonces que l función es integrble Riemnn y, simbólicmente, escribimos f(x)dx = lím S(f, P). δ(p) 0 Denotremos por R([, b]) l conjunto formdo por ls funciones integrbles Riemnn en [, b] (más delnte, en el Teorem 4 veremos ejemplos de funciones integrbles). Se tienen ls siguientes propieddes (intuitivs, teniendo en cuent l interpretción geométric de l integrl): Teorem. Sen f, g R([, b]). Se verific. (Linelidd) Si α, β K, entonces αf(x) + βg(x) R([, b]) y demás [αf(x) + βg(x)] dx = α f(x)dx + β g(x) dx. 2. Si f R([, b]), entonces f R([c, d]) pr culquier [c, d] [, b]. 3. Se c (, b). Se tiene que f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. 4. (Monotoní) Si f es un función positiv, esto es, f(x) 0 pr culquier x [, b], se tiene que f(x)dx 0. En generl, si f g (g(x) f(x) 0 pr culquier x [, b]), entonces f(x)dx g(x) dx. 5. L función vlor bsoluto f R([, b]), y se verific f(x)dx f(x) dx. 6. L función producto fg R([, b]). En generl, f(x)g(x)dx f(x)dx g(x) dx. Como consecuenci de ests propieddes se obtienen los conocidos teorems del vlor medio pr integrles: Ingenierí Técnic Forestl 3 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Teorem 2. Sen f, g R([, b]).. (Primer teorem del vlor medio) Si existen m, M R tles que m f(x) M, pr culquier x [, b]. Entonces, existe c R, m c M tl que f(x)dx = c(b ). 2. (Segundo teorem del vlor medio). Si f 0, y g es un función continu en [, b], entonces g(x)f(x)dx = g(ξ) f(x)dx, pr lgún ξ [, b]. Demostrción.- Como m f(x) M, por l propiedd de monotoní se tendrá que mdx f(x)dx M dx. Por linelidd de l integrl, y teniendo en cuent que dx = (b ), obtenemos l siguiente cden de desigulddes m(b ) f(x)dx M(b ), de donde se deduce que f(x) es un vlor intermedio entre m(b ) y M(b ), esto es, existe c [m, M] tl que f(x)dx = c(b ). En prticulr, si f es continu en [, b], lcnz todos sus vlores entre el máximo M y el mínimo m (ver Teorem 5 del Tem 0), por lo que existe un x 0 [, b] tl que c = f(x 0 ). 2.- Como g es continu, existen m, M R tles que m g(x) M pr todo x de [, b] (ver Teorem 5 del Tem 0). Por otro ldo, como f es positiv, se tendrá que mf gf Mf, de donde, teniendo en cuent ls propieddes de monotoní y linelidd de l integrl, se obtiene que m f(x)dx f(x)g(x)dx M f(x)dx. Rzonndo como el prtdo nterior, existirá un número c [m, M] tl que f(x)g(x)dx = c f(x)dx. Como g es un función continu y c está entre los vlores máximos y mínimos de g, existe ξ [, b] tl que c = g(ξ) (ver Teorem 5 del Tem 0), con lo que se termin l demostrción del teorem. Pr definir rigurosmente el concepto de áre (y el de volumen) de form corde con l intuición, necesitmos definir: b f(x)dx = f(x)dx, f(x)dx = 0. Ingenierí Técnic Forestl 4 Fundmentos Mtemáticos

4.. CONCEPTOS BÁSICOS L definición de integrbilidd implic evlur f en los números representtivos ξ i, tre que result rdu. Es por ello que conviene tener un condición equivlente de integrbilidd en l que no precen estos números. Pr dr l ide de est condición equivlente, volvemos l problem de clculr el áre A encerrd por un función f bjo un segmento [, b]. Fijmos un prtición P = {t 0, t,...,t n } del intervlo [, b]. Considermos hor dos tipos de bnds rectngulres con bse en cd subintervlo: los inscritos en l figur (cuy ltur son los mínimos de l función en cd subintervlo (Fig. I)) y los circunscritos, esto es, los que encierrn l figur (con lturs los máximos de l función en cd subintervlo(fig. II)): El áre de cd bnd inscrit (Fig I) es bse ltur = (t i t i ) inf {f(x) : x [t i, t i ]} = (t i t i )m i, y el áre de cd bnd circunscrit (Fig. II) es (t i t i )M i, con M i = sup {f(x) : x [t i, t i ]}. L sum de ls áres de ls bnds inscrits y circunscrits se denominn, respectivmente, sum inferior y sum superior de Riemnn, y se denotn por L(f, P) y U(f, P) (del inglés lower upper ). Lógicmente, l sum inferior de Riemnn nos drá un proximción por defecto del áre buscd, y l sum superior, un proximción por exceso. Por tnto, 2 L(f, P) = (t i t i )m i A i= (t i t i )M i = U(f, P). Pr culquier prtición P se cumple l siguiente relción entre ls tres sums definids: i= L(f, P) S(f, P) U(f, P). (4.) Pr obtener mejores proximciones del áre tendremos que tomr el límite de ls sums superiores e inferiores cundo el diámetro de l prtición tiende cero. Esto nos conduce definir l integrl inferior y superior de f en [, b] como I(f) = f(x)dx = lím L(f, P), I(f) = δ(p) 0 f(x)dx = lím U(f, P). δ(p) 0 Ingenierí Técnic Forestl 5 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Con ests definiciones podemos dr l siguiente condición de integrbilidd, cuy demostrción se intuye de l desiguldd (4.): Teorem 3. Un función f es integrble Riemnn en [, b] si y solo si ls integrles superior e inferior de f existen y coinciden, y en este cso, su vlor es igul l de l integrl de f en [, b]. f R([, b]), f(x)dx = I I(f) = I(f) = I. Ejemplo: L siguiente función definid en culquier intervlo [, b] no es integrble: { 0 si x I f(x) = si x Q. Efectivmente, es fácil clculr ls sums superiores e inferiores de Riemnn pr culquier prtición P de [, b] (comprobrlo como ejercicio). Se tiene que, L(f, P) = 0, U(f, P) = b, pr culquier prtición P de [, b]. Por tnto, l tomr límite cundo el diámetro de l prtición tiende cero, se tendrá que ls integrles inferior y superior no coinciden, luego no se verific l condición de integrbilidd y l función no es integrble Riemnn. En el siguiente teorem dremos condiciones suficientes de integrbilidd, que nos drán ejemplos de funciones integrbles. Teorem 4. Se f : [, b] R. Se verific. Si f es continu, entonces f R([, b]). 2. Si f es cotd y continu slvo en un número finito de puntos, entonces f R([, b]). 3. Si f es cotd y monóton, entonces f R([, b]). Cálculo integrl y cálculo diferencil Como dijimos en l introducción, el cálculo integrl y el cálculo diferencil son en relidd el mismo, uno el inverso del otro. Pr comprender est relción, dd f R([, b]), definimos l función F : [, b] R dd por F(x) = x f(t)d(t). Es fácil comprobr que l función F sí definid es continu en [, b], utilizndo l crcterizción de funciones integrbles. Vemos cómo surge l relción derivr-integrr. Pr comprender est relción, supongmos que tenemos un función positiv. En este cso, pr cd c [, b], F(c) = c f(x)dx represent el áre que encierr l función f entre el eje OX, y ls rects x = y x = c (si f no es positiv, l integrl no represent el áre; veremos en l siguiente sección cómo clculr el áre de funciones que no son positivs). Supongmos que l función f es continu en c, Ingenierí Técnic Forestl 6 Fundmentos Mtemáticos

4.. CONCEPTOS BÁSICOS entonces, pr culquier h > 0 (pequeño), se tiene que F(c + h) F(c) es proximdmente f(c)h, o lo que es lo mismo, F(c + h) F(c) f(c). h Tomndo hor límites cundo h 0 en mbos miembros de l iguldd nterior (recordr l definición de derivd que dimos en el Tem ), se tiene que F (c) = f(c). Este resultdo se conoce como Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl ( er TFCI). En prticulr, si f es continu en [, b], entonces F es derivble en [, b] y F = f. Dd un función f definid en [, b], llmremos primitiv de f culquier función E derivble en [, b] que E = f. Con est definición, podemos decir que tod función continu tiene primitiv. Not: Cundo escribimos f(x)dx, l prte dx nos indic cuál es l vrible independiente de l función integrndo, de mner que podemos escribir f(x)dx = f(t)dt = b f(u)du. Conociendo ls regls de derivción, es fácil clculr primitivs de lguns funciones elementles. En l siguiente sección dremos uns regls pr el cálculo de primitivs de composición de funciones elementles. Vemos unos ejemplos sencillos de cálculo de primitivs, que ilustrn l siguiente propiedd : dos funciones primitivs F y E de un función f, difieren forzosmente en un constnte. Ejemplos: Un primitiv de l función f(x) = x 2 es F(x) = x3 3 + C, con C culquier constnte. Efectivmente, F es derivble en culquier intervlo [, b] y F = f, se cul se l constnte C. Un primitiv de l función f(x) = x culquier constnte. Ingenierí Técnic Forestl en [, + ] es l función E(x) = lnx + C, con C 7 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Un de ls principles plicciones del er TFCI es el cálculo de integrles definids prtir de ls funciones primitivs (recordemos que, por definición, pr el cálculo de un integrl definid er necesrio clculr ls sums de Riemnn en un prtición y tomr límite cundo el diámetro de l prtición tiende cero). Teorem 5. (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl: Regl de Brrow). Se f continu en [, b],y F un primitiv de f (esto es, F derivble en [, b], F = f). Entonces, f(x)dx = F(x) = F(b) F(). L importnci de este resultdo rdic, como dijimos nteriormente, en que podemos clculr integrles definids prtir de primitivs de l función integrndo. Además, el resultdo nos permite demostrr los siguientes teorems, que nos proporcionn dos técnics fundmentles pr el cálculo integrl: Teorem 6. (Integrción por prtes). Sen f, g dos funciones derivbles y con derivd continu en [, b], se tiene f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() b f (x)g(x)dx. Demostrción: Por l regl de derivción del producto, (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Integrndo entre y b en mbos miembros, y usndo l linelidd de l integrl obtenemos: (f(x)g(x)) dx = Ahor bien, por l Regl de Brrow, f (x)g(x)dx + (f(x)g(x)) dx = f(b)g(b) f()g(), f(x)g (x)dx. sustituyendo en l primer iguldd y despejndo, se obtiene el resultdo. Teorem 7. (Integrción por cmbio de vrible). Sen f : [, b] R un función continu y φ un biyección de [α, β] sobre [, b] derivble y con derivd continu, tl que φ(α) = y φ(β) = b. Entonces, f(x)dx = φ(β) φ(α) f(x)dx = β α f(φ(t))φ (t)dt. L demostrción de este teorem se sigue de un cden de igulddes en l que se utilizn l Regl de Brrow y l fórmul de l derivd de l función compuest (regl de l cden) dd en el Tem. Se F un primitiv de f (F = f): f(x)dx =F(b) F() = F(φ(β)) F(φ(α)) = (F φ)(β) (F φ)(α) β β β = (F φ) (t)dt = F (φ(t))φ (t)dt = f(φ(t))φ (t)dt. α α α Revisremos estos teorems, con ejemplos, en los métodos de integrción que veremos en l siguiente sección. Ingenierí Técnic Forestl 8 Fundmentos Mtemáticos

4.. CONCEPTOS BÁSICOS Integrl indefinid: métodos de integrción Como hemos visto, el conocimiento de un primitiv de un función nos permite conocer, medinte l Regl de Brrow, el vlor de un integrl definid. Dedicmos est sección l cálculo de funciones primitivs. Llmremos integrl indefinid de f, y l denotmos por f(x)dx, tod función primitiv de f. Por tnto, si F es un primitiv de f, se tendrá que f(x)dx = F(x) + C, con C un constnte rbitrri. Sbemos que un función continu en un intervlo tiene primitivs, pero en est sección sólo trtremos con funciones cuys primitivs se pueden expresr lgebricmente como funciones elementles. Ls funciones f(x) = e x2 o h(x) = ex x son continus en sus respectivos dominios de definición y poseen primitivs, pero no l podemos expresr como composición de funciones elementles. En estos csos, se tienen que proximr directmente ls nuevs funciones definids por tles integrles. Veremos l finl del tem dos métodos directos pr clculr dichs proximciones. En generl, no sbemos si es posible hllr un primitiv elementl de un función dd. Ls estrtegis pr conseguirlo, constituyen los métodos de integrción. INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES: Se obtienen directmente prtir de ls derivds de ls funciones elementles x n dx = xn+ n + + C, n cos 2 dx = tnx + C x dx = lnx + C, x > 0 x x dx = x ln + C, > 0 e x dx = e x + C senx dx = cos x + C sen 2 dx = cotgx + C x dx = rctnx + C + x2 dx = rccotgx + C + x2 dx = rcsenx + C, x (, ) x 2 cos x dx = senx + C dx = rccosx + C, x (, ). x 2 INTEGRALES INMEDIATAS: Teniendo en cuent l regl de l cden y sbiendo ests regls directs de integrción podemos clculr, completndoçonstntes, otrs integrles: Tipo potencil: x 2 (3x 3 + 25) 3 dx = 9x 2 (3x 3 + 25) 3 dx = (3x 3 + 25) 4 + C. 9 9 4 Tipo exponencil: x 2 4 x3 +5 dx = 3(ln4)x 2 4 x3 +5 dx = 4x3 +5 3 ln 4 3 ln 4 + C. Ingenierí Técnic Forestl 9 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Tipo logritmo: Tipo rcotngente: dx 2x 2 + x + = senx cos x senx + cos x senx + cos x dx = dx = ln(senx + cos x) + C. senx + cos x 8 6x 2 + 8x + 8 dx = 8 (Terminr est integrl como ejercicio). dx (4x + ) 2 + 7 = 8 (/7)dx (4x+) 2 7 + = 8 7 dx ( ) 2 4x+ 7 + Nos interes trnsformr productos en sums de funciones cuys integrles conozcmos, y que, por linelidd, sus integrles son más sencills. Con est ide, podremos clculr ls siguientes integrles: Tipo sen(px) cos(qx) dx, sen(px) sen(qx) dx, cos(px) cos(qx). Se trnsformn los productos en sums medinte ls fórmuls trigonométrics sen 2 + cos 2 = sen cos b = [sen( + b) + sen( b)] 2 sen sen b = [cos( b) cos( + b)] 2 cos cos b = [cos( + b) + cos( b)]. 2 De l primer fórmul se obtiene que tn 2 x = cos 2, con lo que será fácil clculr un x primitiv de tn 2 x (clculrl como ejercicio). Análogmente, podemos obtener fórmuls que relcionn ls rzones trigonométrics de un ángulo con su ángulo mitd que se utilizrán tmbién pr el cálculo de integrles. Clcul, con yud de l tbl nterior, fórmuls pr cos 2 x, cos x 2, sen2 x y sen x 2. CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN: Un integrl puede trnsformrse en otr inmedit medinte un cmbio de vrible. Teorem 8. Se f continu en un intervlo I. Se φ un función biyectiv en I con derivd continu. Se tiene: [ f(x)dx = ] f(φ(t))φ (t)dt φ (x) 9 [ ] Ejemplo: x 2 x = 3sent 9 dx = = (3sent) dx = 3 cos tdt 2 3 cos tdt =... (Terminr est integrl usndo primero ls fórmuls trigonométrics). INTEGRACIÓN POR PARTES: Ingenierí Técnic Forestl 0 Fundmentos Mtemáticos

4.. CONCEPTOS BÁSICOS Teorem 9. Sen u y v funciones derivbles en un intervlo I. Se tiene: u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x) du(x) Efectivmente, de l fórmul de l derivd de un producto d(uv) = vdu+udv, integrndo en los dos miembros y despejndo, se obtiene el resultdo. Ejemplos: [ u(x) = rctnx du(x) = ] dx. rctn xdx = +x 2 =... (Terminr l integrl plicndo directmente el teorem dv(x) = dx v = x nterior) 2. I = [ ] u(x) = cos x du(x) = sen xdx e x cos xdx = dv(x) = e x dx v = e x = e x cos x + e x sen xdx [ ] u(x) = sen x du(x) = cos xdx = dv(x) = e x dx v = e x = e x cos x + e x sen x e x cos xdx } {{ } I Esto es lo que se denomin un integrl cíclic. En este cso, I = e x cos x + e x sen x I, esto es, 2I = e x cos x + e x sen x, luego I = 2 (ex cos x + e x sen x) + C. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES P(x) Supongmos que queremos clculr dx, con P y Q polinomios tles que gr(p)<gr(q), Q(x) esto es, l frcción es irreducible (si el grdo del numerdor es myor o igul que el grdo del denomindor, se hce l división). El método que exponemos consiste en descomponer P(x) en frcciones cuys integrles conocemos, frcciones simples cuys integrles son tipo Q(x) potencil, logritmo y/o tipo rcotngente. Pr ello, se clculn ls ríces del denomindor Q(x) (puntos z donde Q(z) = 0. Supongmos, que Q tiene h ríces reles x,..., x h con multipliciddes respectivs r,..., r h, y k pres de ríces complejs ± b,..., k ± b k simples (nos reducimos este cso, unque el método tmbién sirve pr ríces complejs múltiples). Q(x) = (x x ) r...(x x h ) r h ( (x ) 2 + b 2 )... ( (x k ) 2 + b 2 k). Entonces, existen unos únicos números reles A i,j (i =,..., h, j =,..., r i ), M p, N p, con p =,..., k,, y un polinomio C(x) tles que P(x) h Q(x) = C(x) + r i i= j= A i,j k (x x i ) j + p= M p x + N p (x p ) 2 + b 2. p Sbemos integrr culesquier de ls frcciones que precen en l descomposición: los diversos tipos que precen son A (x x 0 ) p } {{ } T ipo potencil M p x + N p M p x (x p ) 2 + b 2 = p (x p ) 2 + b 2 p } {{ } T ipo logritmo + N p (x p ) 2 + b 2. p } {{ } T ipo rcotngente Ingenierí Técnic Forestl Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES INTEGRACIÓN DE FUNCIONES QUE SE TRANSFORMAN EN RACIONALES R(sen xcos x)dx. Con el cmbio t = tn ( x 2), se tiene que sen x = 2t t2 + t2, cos x = + t 2 y dx = 2 + t 2dt, y nuestr integrl se trnsform en un rcionl. En los csos prticulres R(sen xcos x) = sen m xcos n x, con m, n Z, tmbién se pueden hcer los siguientes cmbios de vribles (más sencillos que los cmbios nteriores) Si m es impr, se hce el cmbio t = cos x. Si n es impr, se hce el cmbio t = senx. Si m y n son pres, se pueden disminuir los exponentes plicndo fórmuls trigonométrics. R( x )dx. Cmbio t = x. ( ) R x, q (x + b) p,... q k (x + b) p k dx, p i, q i N. Se clcul M =mcm (q,..., q k ), y se reliz el cmbio x + b = t M. R ( x, q (x ) + b p (x ) ) + b pk,... qk dx, p i, q i N. cx + d cx + d Se clcul M =mcm (q,..., q k ), y se reliz el cmbio x + b cx + d = tm. R (x, ) k 2 x 2 dx. Cmbio x = ksen t. R (x, ) x 2 k 2 dx. Cmbio x = k cos t. R (x, ) k 2 + x 2 dx. Cmbio x = k tn t. 4.2. Cálculo de áres y volúmenes L proximción de ls integrles medinte sums de Riemnn nos conducen interesntes plicciones geométrics de l integrl, o mejor dicho, permite definir los conceptos de áres, volúmenes y longitudes de rco cordes con l intuición. Ingenierí Técnic Forestl 2 Fundmentos Mtemáticos

4.2. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES Cálculo de áres de figurs plns Abordremos en est prte el cálculo de áres de regiones cotds. El cálculo de áres de regiones ilimitds o no cotds lo estudiremos en l siguiente sección (integrles impropis). Cso : Se f un función cotd en [, b] y positiv. Y vimos que el áre encerrd por ell, el eje X y ls rects verticles x =, x = b, es A = f(x)dx. Cso 2: Se f negtiv y cotd en [, b], el áre encerrd por ell, el eje X y ls rects verticles x =, x = b, es A = f(x)dx. Observción: En culquier de los dos csos nteriores: A = b f(x)dx = f(x) dx. f(x) dx. Además, Cso 3: Se f es cotd, tl que cmbi de signo en [, b]. Pr clculr el áre encerrd por ell, el eje X y ls rects verticles x =, x = b, se divide el intervlo [, b] en subintervlos donde el signo de l función se constnte. En cd subintervlo el áre se clcul como en los dos csos nteriores. Luego tn sólo tenemos que sumr ls áres encerrds en cd subintervlo. Por ejemplo, pr l función de l siguiente figur, el áre serí: A = c f(x)dx d c f(x)dx + d f(x)dx, Ingenierí Técnic Forestl 3 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Observción: Teniendo en cuent l definición del vlor bsoluto de un función, tmbién tenemos que en este cso, A = representción f(x) dx, donde l función vlor bsoluto de f tiene l siguiente En este cso, f(x)dx < f(x) dx. Ejemplo: Clculr el áre encerrd por l curv y = sen x y el eje OX, cundo x vrí entre 0 y 2π. Sbemos que y = sen x cort l eje X en el intervlo [0, 2π] en los puntos de bsciss 0, π,2π, tomndo vlores de distinto signo: Se tiene por tnto que π 2π A = sen x dx sen x dx. 0 π Clculmos ls integrles nteriores teniendo en cuent que F(x) = cos x es un primitiv de l función f(x) = sen x, y plicndo l Regl de Brrow: A = π 0 sen x dx 2π (u: uniddes en ls que estemos midiendo). π sen x dx = cos x π + cos x 2π = 4 0 u2 π Ingenierí Técnic Forestl 4 Fundmentos Mtemáticos

4.2. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES Cso 4: Sen f y g dos funciones cotds en [, b]. El áre encerrd entre mbs curvs y ls rects verticles x =, x = b, es l que l que encierr l función f(x) g(x) y ls rects verticles x =, x = b. Pr clculr el áre, se procede como en el cso nterior (dividiendo el intervlo [, b] en subintervlos donde el signo de l función f g se constnte, clculndo ls áres en cd intervlo y sumndo). Se tiene pues que A = f(x) g(x) dx. Cso 4 Ejemplo: Clculr el áre de l figur comprendid entre l prábol f(x) = 2x x 2, l rect g(x) = x ls rects x = 0 y x = 4. Clculemos ls bsciss de sus puntos de corte: 2x x 2 = x x 2 3x = 0 x = 0 y 3 En el intervlo [0, 3], l prábol está por encim de l rect y en [0, 4] está por debjo. Se tendrá por tnto que A = 4 0 2x x 2 + x dx = 3 0 (2x x 2 + x)dx + 4 3 ( 2x + x 2 x)dx = 9 3 u2. Ingenierí Técnic Forestl 5 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Cálculo de volúmenes L ide de utilizr ls sums de Riemn en dimensión dos pr clculr áres se puede extrpolr dimensión tres pr clculr volúmenes. De est mner, clculr el volumen de un figur se reduce l cálculo de un integrl definid siempre que conozcmos ls áres de ls secciones trnsversles perpendiculres un dirección. Pr desrrollr est ide, vemos primero cómo se clcul l volumen de un cuerpo de revolución: Consideremos el rco de curv de l función y = f(x) con x b y f cotd en [, b]. Al girr ese rco de curv lrededor del eje OX, se engendr un figur cuyo volumen es el que queremos clculr. Fijmos un prtición P = {t 0 =, t,..., t n, t n = b}, considermos n puntos ξ,...,ξ n, tles que ξ i [t i, t i ]: En cd intervlo [t i, t i ] considermos los cilindros de bse circulr de rdio f(ξ i ), y ltur l longitud del intervlo t i t i. El volumen de cd cilindro es el áre de l bse por l ltur, esto es, πf 2 (ξ i )(t i t i ). Si summos los volúmenes de los n cilindros, obtendremos un proximción del volumen V buscdo. πf 2 (ξ i )(t i t i ) V. i= Observemos que en relidd, estmos construyendo ls sums de Riemnn de l función πf 2 (x) en l prtición P del intervlo [, b]. Por tnto, el volumen de un cuerpo de revolución l girr lrededor del eje OX se obtendrá tomndo límite de ls sums de Ingenierí Técnic Forestl 6 Fundmentos Mtemáticos

4.2. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES Riemnn S(πf 2 (x), P) cundo el tmño de ls prticiones tienden creo. Esto es, V = πf 2 (x)dx. Ejemplo: Hll el volumen obtenido l rotr sobre el eje X l región delimitd por l curv y = x 3 y ls rects y =, x = 3 y el eje OX. Hcemos un dibujo de ls funciones y vemos que el rco que gir en torno l eje X está compuesto por dos rcos de funciones distints, que se cortn en el punto de bscis ((y = x 3 ) (y = )). Por tnto, el volumen se puede clculr como l sum de los volúmenes: V = V + V 2 = π 0 x 6 dx + π 3 dx = 5 7 π u3. Con l mism ide de ntes, podemos definir el volumen de culquier superficie si conocemos el áre de ls secciones trnsversles y perpendiculres l eje OX entre los plnos x = y x = b. Si A(k) represent el áre ls secciones por plnos del tipo x = k, y como siempre, considermos un prtición P, el volumen buscdo se proxim medinte ls sums de Riemnn A(ξ i )(t i t i ). i= Ingenierí Técnic Forestl 7 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Tomndo límite, el volumen de un cuerpo conocids ls áres A(x) se secciones por plnos trnsversles, perpendiculres l eje OX viene ddo por V = Ejemplo: Clculr el volumen de un esfer de rdio R. A(x) dx. Si considermos un esfer centrd en el origen y de rdio R, ls secciones trnsversles perpendiculres l eje X, son círculos de rdio R 2 x 2 : Ls áres de ess secciones vlen π(r 2 x 2 ), y por tnto el volumen pedido será: V = R R π(r 2 x 2 )dx = 4 3 πr3 u 3. Not: Tmbién podrímos hber considerdo l esfer como un superficie de revolución, donde gir l función f(x) = R 2 x 2. Pr finlizr con el cálculo de volúmenes, definimos el volumen de un cuerpo engendrdo l girr un rco de curv de un función lrededor del eje OY. Pr un prtición P con n+ puntos, t 0,..., t n, el volumen de un sólido de este tipo se proxim medinte sums de Riemnn 2πt k f(t k )(x k x k ) = S(2πxf(x), P). Tomndo límite cundo k= el tmño de l prtición tiende cero obtenemos que V = 2πxf(x)dx. (Si el rco de curv de f cort l eje OY, el intervlo de integrción depende de l figur). Ingenierí Técnic Forestl 8 Fundmentos Mtemáticos

4.2. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES Cálculo de l longitud de un rco de curv Consideremos el rco de curv de l función f(x) en [, b], con f derivble y con derivd continu en dicho intervlo. Queremos clculr l longitud de ese rco de curv entre (, f()) y (b, f(b)). Llmémosle L. Se P = { = t 0 < t <... < t n = b} un prtición del intervlo [, b]. Consideremos los puntos de l curv de bsciss t i y t i, A i = (t i, f(t i )) y A i = (t i, f(t i )) con i =, 2,..., n. Tenemos entonces un poligonl A 0, A...A n, donde l longitud de cd uno de sus ldos es L i = (f(t i ) f(t i )) 2 + (t i t i ) 2 con i =, 2,..., n. Como hemos supuesto que f es derivble, podemos usr el teorem de Lgrnge (Tem ), que nos indic que existe c i (t i, t i ) tl que f (c i ) = f(t i) f(t i ) t i t i, por lo que L i nos qued: (f(ti ) f(t i ) L i = (f(t i ) f(t i )) 2 + (t i t i ) 2 = (t i t i ) t i t i ) 2 + = = (t i t i ) + (f (c i )) 2. Considerndo todos los intervlos de l prtición P, y x i en [t i, t i ], pr i =, 2,..., n, usndo l sum de Riemmn pr es prtición y l función longitud, tenemos que: S(L, P; x,..., x n ) = (t i t i ) + (f (x i )) 2. i= Por lo tnto, tomndo límite cundo el tmño de l longitud de P tiende cero, tenemos que l longitud del rco de curv es L = + (f (x)) 2 dx. Ejemplo: Hllr l longitud del rco de curv y 2 = x 3 entre los puntos x = y x = 4/3. Ingenierí Técnic Forestl 9 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES y = x 3 2 es derivble con derivd continu en [, 4 3 ], y = 3 2 2. x L longitud del rco viene dd por : 4 3 L = + 9 4 x dx = 64 3 3 u 27 Pr finlizr con est sección, definimos el áre de l superficie lterl del volumen engendrdo por l rotción de l curv y = f(x) lrededor del eje OX como S = 2πf(x) + [f (x)] 2 dx. 4.3. Integrles impropis. Definición y propieddes En l integrl que se definió en l primer sección, los límites de integrción ern los extremos de un intervlo cotdo, y el integrndo er un función cotd en dicho intervlo. Sin embrgo, en muchs plicciones precen integrles de funciones no definids en lgún punto del intervlo de integrción o bien dicho intervlo no está cotdo. Este tipo de integrles reciben el nombre de impropis. Veremos cómo podremos socir integrles impropis l cálculo de áres de regiones ilimitds. Integrles impropis de primer especie Se llmn sí quells integrles en ls que el intervlo de integrción es no cotdo. Definición 0. Se f un función cotd e integrble en [, x] pr todo número rel x. Se define + M f(x)dx = lím f(x)dx. M Análogmente, si f es un función cotd e integrble en [x, b] pr todo número rel x b, se define f(t)dt = lím m m f(t)dt. Si en ls definiciones nteriores el límite existe y es finito, se dice que l integrl es convergente, y se escribe f R([,+ ]) ó f R([, b]). Si el límite es infinito, se dice que l integrl impropi es divergente; en otro cso, se dirá que l integrl no existe. Con ests definiciones, podremos socir áres que encierrn funciones en intervlos no cotdos. Ejemplos:.- Clculemos el áre limitd por l función f(x) = x, el eje de bsciss y el semiplno x. Gráficmente Ingenierí Técnic Forestl 20 Fundmentos Mtemáticos

4.3. INTEGRALES IMPROPIAS. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Por definición se tiene que + M dx = lím f(t)dt. x M Un primitiv de l función integrndo es logritmo neperino; utilizndo l regl de Brrow I = lím M M f(x)dx = lím [lnm ln] =. M Por lo que I es divergente, y el áre encerrd es infinit. 2.- Clculr el áre de l región no cotd limitd por l función f(x) = x 2 y el eje de bsciss en el semiplno x. + Tendremos que clculr el vlor l integrl impropi dx. Por definición, teniendo en x2 cuent que un primitiv de /x es /x 2, y usndo l regl de Brrow tenemos que + x 2 dx = M lím M + Por tnto, el áre pedid es A = u 2. x 2 dx = Integrles impropis de segund especie [ lím ] M = lím [ M ] M + x + =. M + Se llmn sí quells integrles en ls que l función integrndo no está definid en lgún punto del intervlo de integrción [, b]. Ingenierí Técnic Forestl 2 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES Definición. Se f un función que no está definid en b y tl que es integrble en [, x] pr todo número rel x. Se define M f(x)dx = lím f(x)dx. M b Análogmente, si f no está definid en y es integrble en [x, b] pr todo número rel x b. Se define f(x)dx = lím m + m f(x)dx. Ls integrles nteriores se dicen convergentes o divergentes con el mismo criterio que pr ls integrles impropis de primer especie. Con ests definiciones, podremos clculr áres de regiones ilimitds en intervlos cotdos de funciones no cotds. Ejemplo: Clculr el áre encerrd entre l función f(x) =, el eje de coorde- x nds y ls rects x = 0 y x =. Por definición, dicho áre vendrá dd por l integrl 0 x dx. Ahor bien, l función no está cotd en x =, por lo que se trt de clculr un integrl de segund especie. Por definición, 0 M dx = lím x M 0 [ dx = lím x M ] [ = lím 2( M) /2 + 2 M = 2. ] M ( x)/2 /2 0 Por tnto, l integrl es convergente, y el áre pedid es A = 2u 2. En el cso de que el intervlo de integrción no esté cotdo, y que l función no esté definid en uno o vrios puntos del interior del intervlo de integrción, usndo l linelidd de l integrl, descomponemos l integrl en sumndos que sen integrles impropis como ls estudids nteriormente. Ingenierí Técnic Forestl 22 Fundmentos Mtemáticos

4.4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA: LAS REGLAS DEL TRAPECIO Y DE SIMPSON 4.4. Integrción numéric: ls regls del trpecio y de Simpson Con frecuenci el cálculo del número f(x)dx no puede efecturse plicndo l regl de Brrow, porque no siempre se dispone de función primitiv de f, o bien, porque l función primitiv no es de fácil mnejo. En estos csos debemos recurrir técnics de proximción: consisten en proximr l función continu f(x) por otr suficientemente próxim g(x) que se fácil de integrr. Entre ls funciones más sencills que tenemos nuestr disposición se encuentrn los polinomios. L técnic que explicmos consiste en lo siguiente: fijmos un prtición P = { = x 0 < x <... < x n < x n = b} tl que l mplitud de cd subintervlo [x k, x k ] se constnte de vlor h (esto es, h = b n ). En cd subintervlo de l prtición [x k, x k ], se clcul un polinomio P k (x) que interpole l función f en ciertos puntos (denomindos nodos). Finlmente, se proxim l integrl de f en cd subintervlo por l integrl del polinomio de interpolción en dicho subintervlo. Dependiendo del grdo del polinomio de interpolción (o lo que es lo mismo, del número de nodos en los que interpolemos), obtendremos distints fórmuls de proximción. Recordemos que pr n nodos, el polinomio de interpolción es de grdo menor o igul que n. Veremos en est sección tres fórmuls de proximción llmds fórmuls de Newton-Cotes: Fórmul del punto medio En cd subintervlo [x k, x k ] se elije un sólo nodo: el punto medio x k + x k. En cd 2 subintervlo, el polinomio de interpolción P( k (x) tendrá) grdo cero, y como interpol f en xk + x k los puntos medios, se tendrá que p(x k ) = f (rects prlels l eje OX). 2 De est mner, l proximción es l siguiente: xk ( ) xk + x k f(x)dx = f(x)dx f h = b x k 2 n k= k= ( xk + x k f 2 El error que cometemos en l proximción de l integrl vendrá ddo, como siempre, por E = vlor rel vlor proximdo. Por l linelidd de l integrl, y plicndo l k= ). Ingenierí Técnic Forestl 23 Fundmentos Mtemáticos

TEMA 4. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE. APLICACIONES propiedd 5 de ls integrles (ver Teorem ) obtenemos que xk xk xk E = f(x)dx P k (x)dx x k x k = (f(x) P k (x))dx x k xk x k f(x) P k (x) dx. Recordemos que cundo interpolmos un función en n + puntos x 0,..., x n por un polinomio (que será de grdo n), se comete un error de proximción con l función ddo por (ver Teorem 3.4.. del Tem 3): f(x) P(x) = f(n+) (ξ) (n + )! n (x x i ), ξ R. i=0 ( En nuestro cso, n = 0, por lo que f(x) P k (x) = f (ξ) ), ξ R, de donde, x x k+x k 2 si f tiene derivd continu en [, b], cotndo e integrndo en l expresión del error nterior se obtiene que Fórmul del trpecio E (b )2 2n máx f (x). x [,b] En cd subintervlo [x k, x k ] se considern dos nodos: los extremos del subintervlo. El polinomio de interpolción (de grdo ) es l rect que ps por los puntos (x k, f(x k )) y (x k, f(x k )). Con l fórmul de interpolción de Lgrnge, obtenemos l siguiente expresión de P k x x k P k (x) = f(x k ) + f(x k ) x x k. x k x k x k x k Tomándolo como proximción de f tenemos l siguiente proximción de l integrl (l integrl del polinomio de interpolción es inmedit, lógicmente, de tipo polinómic): f(x)dx = k= xk x k f(x)dx k= xk x k P k (x)dx = h 2 [f(x k ) + f(x k )]. Desrrollndo l sum nterior obtenemos l denomind fórmul de los trpecios k= Ingenierí Técnic Forestl 24 Fundmentos Mtemáticos

4.4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA: LAS REGLAS DEL TRAPECIO Y DE SIMPSON f(x)dx h 2 [f(x 0) + 2f(x ) + 2f(x 2 ) + + 2f(x n ) + f(x n )]. Además cundo n, el miembro de l derech se proxim f(x)dx. Si f tiene derivd segund continu en [, b], podemos cotr el error E cometido l proximr f(x)dx con l mism ide nterior, utilizndo el error de l proximción por el polinomio de interpolción, cotndo e integrndo. De est form se tiene que E (b )3 2n 2 máx f (x). x [,b] Fórmul de Simpson Se obtiene cundo interpolemos en los subintervlos en tres puntos por polinomios de grdo 2 (p(x) = x 2 + bx + c,, b, c R). Dividimos el intervlo [, b] en un número pr de subintervlos y grupmos los subintervlos por pres de form que: = x 0 < x < x } {{ } 2, x 2 < x 3 < x 4,, x } {{ } 2k 2 < x 2k < x 2k,, x } {{ } 2n 2 < x 2n < x 2n = b } {{ } [x 0,x 2 ] [x 2,x 4 ] [x 2k 2,x 2k ] [x 2n 2,x 2n ] Entonces, en cd subintervlo doble [x 2k 2, x 2k ] proximmos f por el polinomio interpoldor P k (x) en los nodos (x 2k 2, f(x 2k 2 )), (x 2k, f(x 2k )), y (x 2k, f(x 2k )). P k (x) será un polinomio de segundo grdo. Tenemos l siguiente proximción de l integrl: f(x)dx = k= x2k x 2k 2 f(x)dx k= x2k x 2k 2 P k (x)dx. Clculndo ls integrles de los polinomios de interpolción (que podemos clculr por l fórmul de Lgrnge o de los incrementos finitos), y sumndo, se obtiene l denomind Regl de Simpson pr proximr f(x)dx viene dd por f(x)dx b 6n [f(x 0) + 4f(x ) + 2f(x 2 ) + + 2f(x 2n 2 ) + 4f(x 2n ) + f(x 2n )]. Al igul que ntes, cundo n, el miembro de l derech tiende f(x)dx. Si f tiene curt derivd continu en [, b], el error E cometido l proximr f(x)dx por l regl de Simpson es, pr n 2: E (b )5 2880n 4 máx x [,b] f(4) (x). Ingenierí Técnic Forestl 25 Fundmentos Mtemáticos