Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete atural Es decir se trata de ua fórmula para desarrollar la expresió: a + b) N Es coveiete hacer observar aquí que a y b puede ser úmeros letras o expresioes algebraicas cualesquiera Así tambié podremos desarrollar por ejemplo expresioes como: x+) xz +6y) 6a b) etcétera Veamos el desarrollo de alguas potecias de a + b: a + b) a + b) a + b Cuadrado de ua suma: a + b) a + b)a + b) a + ab + b Cubo de ua suma: a + b) a + b) a + b) a + ab + b )a + b) a + a b + ab + b a + b a + b) a + b) a + a b + ab + b )a + b) a + a b + 6a b + ab + b Utilizado el ejemplo aterior si a x y b : x+ x +x) +6x) +x) + 6x + 96x + 6x + 6x + 8 Observa que los coeficietes de cada poliomio resultate sigue la siguiete secuecia: 6 Observa además que las potecias del primer sumado del biomio a comieza por y e cada sumado va dismiuyedo de uo e uo hasta llegar a Por el cotrario las potecias del segudo sumado del biomio b empieza e y va aumetado de uo e uo hasta llegar a La estructura e triágulo aterior recibe el ombre de Triágulo de Pascal o Triágulo de Tartaglia Observa que el vértice superior es u y que la seguda fila so siempre dos uos A partir de la tercera fila el método de costrucció es el siguiete: Primer úmero: Números siguietes: la suma de los dos que se ecuetra imediatamete por ecima
Matemáticas I - o Bachillerato Último úmero: Observa tambié además de que cada fila empiece y termie por que los úmeros que aparece forma ua fila simétrica o sea el primero es igual al último el segudo igual al peúltimo el tercero igual al atepeúltimo etc De esta forma sería fácil hallar a + b : La fila siguiete del triágulo sería: Los coeficietes segú lo cometado ateriormete seguiría la siguiete secuecia: a b a b a b a b a b a b o sea: Por tato: a a b a b a b ab b a + b a + a b + a b + a b + ab + b La costrucció del triágulo aterior o es así por capricho o por casualidad Sio que es cosecuecia de la defiició de úmero combiatorio Para defiir u úmero combiatorio es preciso saber co aterioridad lo que es el factorial de u úmero! que se defie de la siguiete forma: Por ejemplo:!! 6! 6! 6 7! que se lee cero factorial! ) ) que se lee factorial! 9 8 7 6 796 Este último factorial se ha realizado co la calculadora busca la tecla que hace esta operació!) U úmero combiatorio es u úmero atural de la forma Para obteerlo se aplica la siguiete fórmula: ) m Veamos alguos ejemplos:! m! m)! ) dode m y se lee sobre m m
Matemáticas I - o Bachillerato ) ) )!! )!!! )!!! )! 6!! )! 6 ) ) )!! )!!! )!!! )! 6!! )! 6 ) ) ) 8!! )!!! )! 8!!8 )! 6 6 Hay ua combiació de ) teclas para calcular cualquier úmero combiatorio co la calculadora Por 7 ejemplo para hallar co la calculadora se pulsará la tecla 7 después la tecla SHIFT a cotiuació la tecla que tiee ecima la expresió Cr) luego la tecla y fialmete la tecla Teiedo e cueta la defiició de úmero combiatorio y si co los ejemplos ateriores has etedido cómo se utiliza la fórmula será fácil compreder que el Triágulo de Pascal o Triágulo de Tartaglia es de hecho el siguiete: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) El hecho de que las dos primeras filas sea siempre uos así como la razó por la que el primer y el último úmero de las demás so tambié uos se debe a las dos siguietes propiedades: )!! )!!!!!!!! )!! )!!!!!!!! Además que los úmeros que aparece e ua misma fila forme ua fila simétrica o sea el primero igual al último el segudo igual al peúltimo el tercero igual al atepeúltimo etc; es debido a la siguiete propiedad: La demostració es secilla: ) m ) ) m m! m)![ m)]!! m)! + m)!! m)!m!! m! m)! ) m
Matemáticas I - o Bachillerato Veamos uos ejemplos puedes comprobarlos utilizado la defiició de úmero combiatorio): ) ) ) ) ) ) 6 6 8 8 6 Teiedo e cueta todo lo aterior es fácil geeralizar el desarrollo de la potecia de u biomio a u expoete atural cualquiera coocida como fórmula de Newto: a + b) ) a + ) a b + ) ) ) a b + + a b + ab + Esta fórmula tiee + térmios y e cada uo de ellos las potecias de a y b suma : ) Primer térmio o térmio que ocupar el lugar : a ) Segudo térmio o térmio que ocupa el lugar : a b ) Tercer térmio o térmio que ocupar el lugar : a b )-ésimo térmio o térmio que ocupa el lugar : -ésimo térmio o térmio que ocupa el lugar : ) ab + )-ésimo térmio o térmio que ocupa el lugar + : ) a b ) b ) b Observa que el úmero de abajo del úmero combiatorio de cada térmio o el úmero al que está elevado b) es ua uidad iferior a la posició que ocupa ese térmio Dicho de otra maera si e el desarrollo del biomio a + ) b) quisiéramos saber exactamete el térmio que ocupa el lugar 7 desarrollaríamos la expresió a 7 b 6 6 Geeralizado esta idea podemos obteer el térmio que ocupa el lugar k del desarrollo de a + b) T k mediate la fórmula: T k ) a k ) b k k
Matemáticas I - o Bachillerato Ejercicios resueltos Desarrollar x + x : Tomemos como modelo el desarrollo de a + b y sustituyamos a por x y b por x: ) ) ) ) ) a + b a b + a b + a b + a b + a b a + a b + 6a b + ab + b x + x x + x ) x + 6x ) x) + x x) + x x 8 + 8x 7 + x 6 + x + 6x Cuál es el desarrollo de a b? Basta observar que a b puede escribirse de la forma a + b); por lo tato a b a + b) a + a b) + a b) + a b) + a b + b a a b + a b a b + ab b Todos los térmios e los que el expoete de b es impar so egativos y so positivos los térmios e los que dicho expoete es par Del desarrollo de x x) 6 sólo os iteresa el térmio quito Cuál es? ) 6 T x ) 6 x x 8x x 8 Escribe el térmio de grado 8 e el desarrollo de x + x) 7 Supogamos que el térmio buscado es T k es decir que ocupa el lugar k: T k ) k ) 7 7 x ) 7 k ) x k x) ) 8 k k x k ) 7 8 k x 8 k) k x k El grado del térmio es el expoete defiitivo de x que sería la diferecia etre los dos expoetes 8 k) y k puesto que para dividir dos potecias de x basta restar los expoetes del umerador y del deomiador Por cosiguiete: 8 k) k ) 8 6 k k + 8 k 9 k Es decir el térmio de grado 8 es el tercero: ) ) 7 T x x 8 x
Matemáticas I - o Bachillerato Ejercicios propuestos Desarrolla las potecias siguietes: x + y) 7 x y) 7 x + x x + x ) x x ) x + ) 7 x + ) 6 x + x + x x + y x x ) 6 x x x y) Desarrollar: ) 6 + + + ) ) + ) 6 ) x x + ) 6 + 8 + Desarrollar: x + x x + x x x x x ) 6 x + y ) x + ) 6 x x x x x xy xy x x Escribe directamete el cuarto térmio del desarrollo de x + y) 9 y el quito del desarrollo de x y) 8 Escribe el térmio sexto del desarrollo de la potecia siguiete y averigua su grado: x x ) 9 6 Escribe y simplifica el tercer térmio del desarrollo de x x) 7 x 7 Escribe y simplifica el térmio cetral del desarrollo de 9 + x 8 Cuál es el grado del térmio cetral del desarrollo de x x )? 9 El tercer térmio del desarrollo de x x) Calcula x x + x coicide co el cuarto del desarrollo de 6
Matemáticas I - o Bachillerato Averigua qué valor deber darse a x para que el tercer térmio del desarrollo de sea igual a 9 El tercer térmio del desarrollo de la potecia del biomio El segudo térmio del desarrollo de x x) es de grado Escribe los térmios restates Averigua si hay algú térmio del desarrollo de escríbelo x x x + x) es de segudo grado Calcula y desarrolla x + x) 6 que sea de grado Si lo hay Averigua el lugar que ocupa el térmio de grado e el desarrollo de la potecia x x ) 8 Escribe la fórmula de Newto y sustituye a y b por Qué resultado obtiees? Qué sigificado puedes dar a ese resultado? 6 Calcular por medio de la fórmula de Newto y comprueba el resultado co la calculadora 7 Teiedo e cueta que el triomio a + b + c puede escribirse como u biomio: a + b) + c desarrolla las potecias a + b + c) ; + x + x ) ; a + b + c) 8 Averigua el lugar que ocupa el térmio de grado e el desarrollo de x x) 7 y escríbelo 9 Escribe el térmio de grado 8 e el desarrollo de x x ) 6 Calcular: ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6 6 6 7 8 8 ) ) ) ) x x 8 8 Resuelve las ecuacioes ; x 9; x 6 ) ) 9 6 Utiliza las fórmulas para justificar la igualdad siguiete: Resuelve las ecuacioes siguietes: a) x + ) x ) 98 b) x + 6 x x + y) x y) 8 Resuelve el sistema de ecuacioes: x + y) 7 ) 9 9!!!! ) 8 ) 7