Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles constn de mgnitud, dirección sentido; ls cntiddes esclres quedn determinds por su mgnitud solmente Ejemplos de cntiddes vectoriles en físic son: el desplzmiento, l velocidd, l celerción ls fuerzs Ejemplos de cntiddes esclres son: l tempertur, l presión el tiempo 2 Gráficmente, un vector se represent por un segmento de rect orientdo, esto es, un flech L rect que contiene est flech determin l dirección; l flech punt en el sentido del vector l longitud de est flech es l mgnitud o módulo del vector Además, se considerrá que rects prlels determinn l mism dirección 3 Se usrá l notción pr designr vectores Su mgnitud o módulo se denotrá por el símbolo o simplemente por 4 Adición de vectores: un operción vectoril importnte que encontrremos con frecuenci es l dición vectoril Eisten dos métodos pr l dición vectoril: el método geométrico el método nlítico 41 Método geométrico (Le del prlelogrmo): ddos dos vectores b, pr hllr el vector +b se coloc el vector b continución del vector (es decir, el etremo de coincidiendo con el origen de b,conservndo ls direcciones de b, respectivmente; ver Figur 1) En ests condiciones, el vector resultnte +b será el vector con origen en el origen de etremo en el etremo de b 411 Conociendo ls mgnitudes de los vectores b el ángulo θ formdo entre ellos, se puede clculr l mgnitud l dirección del vector sum medinte el uso de l Le del Seno l Le del Coseno:
2 2 + b = + b + 2 b cosθ (ec 1) + b = = senθ senβ b senα (ec 2) + b Figur 1 θ α β b 412 L dición de vectores stisfce ls siguientes propieddes: ) Propiedd conmuttiv: + b = b + b) Propiedd socitiv: ( + b )+ c = + (b +c ) 413 El opuesto del vector b, notdo por b, es un vector con l mism mgnitud dirección que b pero con sentido opuesto Así: b + ( b ) = 0 (ec 3) donde 0 es el vector nulo 414 Substrer el vector b del vector es, por definición, sumr l opuesto de b : b = + ( b ) (ec 4) 42 Método nlítico: nos limitremos quí trbjr en 2 dimensiones Definmos un sistem de coordends con un eje un eje (Ver Figur 2) Ddo un vector, siempre podemos encontrr dos cu sum vectoril se igul l vector Estos vectores 2
dos vectores se llmn los componentes de por definición stisfcen l siguiente relción: + = (ec 5) Eje ĵ θ 0 î Figur 2 Eje 421 Suponiendo que θ es el ángulo entre el vector el semieje positivo de ls, ls mgnitudes de los dos componentes de, notds por, pueden determinrse fácilmente usndo trigonometrí: = cos(θ ) (ec 6) = sen(θ ) (ec 6b) el vector puede escribirse como: = i + j (ec 7) donde los vectores î ĵ son los vectores coordendos unitrios (es decir, de mgnitud 1) lo lrgo de los ejes e, respectivmente 422 Se puede demostrr que si el vector tiene componentes, lo cul se denot medinte = (, ), el vector b tiene componentes, o se, b b b = (b, b ), respecto un sistem de coordends ddo, entonces el vector sum ( +b ) stisfce l relción: 3
+ b = ( + b, + b ) (ec 8) 423 Si = (, ) entonces se puede demostrr, usndo el Teorem de Pitágors, que l mgnitud del vector stisfce l relción: = 2 + 2 (ec 9) 424 El ángulo θ entre el vector el semieje positivo de ls se puede obtener prtir de l relción: tg ) = (θ (ec 10) 5 Multiplicción de un vector por un esclr: el producto de un vector por un esclr s es un nuevo vector b cu dirección es l mism que l del vector, pero cu mgnitud es l mgnitud de multiplicd por el vlor bsoluto de s cuo sentido es el mismo que si s>0, o de sentido opuesto si s<0 Podemos resumir esto escribiendo: b = s (ec 11) En términos nlíticos, se tiene l siguiente relción: s = ( s, s ) (ec 12) 6 Producto esclr: Sen b dos vectores, siendo θ el ángulo formdo entre ellos El producto esclr de por b, notdo por b, se define como el esclr: b = b cos(θ ) (ec 13) Anlíticmente, si = (, ) b = (b, b ), el producto esclr puede definirse medinte l siguiente relción: b = + (ec 14) b b El producto esclr stisfce l propiedd distributiv respecto l sum vectoril: 4
b + c) = b + c ( (ec 15) Además, el producto esclr stisfce l siguiente propiedd: 2 = (ec 16) 7 Producto vectoril: el producto vectoril de dos vectores u v en el espcio (en R 3 u ), notdo por v, es un tercer vector c en R 3 que stisfce ls siguientes propieddes: ) l mgnitud de c está dd por: c = u v sen(θ ) (ec 17) donde θ es el menor ángulo formdo por u v b) L dirección de c es perpendiculr l plno definido por u v el sentido viene determindo por l regl de l mno derech (Ver Figur 3) En generl, el producto vectoril no es conmuttivo sino que stisfce: u v v u = (ec 18) En términos nlíticos, puede usrse l siguiente epresión pr determinr los componentes de u v : i j k u v u u u u vz u z v i u z v u vz j u v u v k (ec 19) = z = ( ) + ( ) + ( ) v v vz Figur 3 5
Ejercicios sobre vectores 1 ) Cuál es l sum, en notción de vectores unitrios, de los dos vectores A = 4 i + 3 j B = 3 i + 7 j? b) Cuáles son l mgnitud dirección de ( A + B )? Soluc ) + b) ~ 10 uniddes ~ 84 con el eje i 10 j + 2 Clculr ls componentes, l mgnitud l dirección de: ) ( A B) b) ( B A ), si A = 3 i + 4 j B = 5i 2 j Soluc ) (8, 2) b) (2, -6) 3 Dos vectores están ddos por A = 4 i j + k Encontrr: ) A + B b) A B c) un vector C tl que A B + C = 0 Soluc ) 3i-2j+5k b) 5i-4j-3k c) el opuesto del vector que prece en l respuest b) 4 Sen los vectores, A = 4i 3 j 3 B = 6 i + 8 j mgnitud dirección de A, B, A + B B A B = i + j + 4k Encontrr l Soluc Ls mgnitudes son: 5, 10, 11 11 Los ángulos con el semieje positivo de ls son: 320, 53, 27 80 5 Dos vectores están ddos por A = 3 i + 5 j Encontrr: ) A B b) A B B ( + ) Soluc ) 14 b) 34 B = 2 i + 4 j 6 Un vector A de 10 uniddes de mgnitud otro vector B de 6 uniddes de mgnitud, puntn en direcciones que difieren en 60 Encontrr: ) el producto esclr de mbos vectores b) el producto vectoril de los dos vectores Soluc ) 30 b) un vector de mgnitud 52 puntndo de cuerdo con l regl de l mno derech 7 L componente de un vector es de 25 uniddes l componente es de +40 uniddes A) Cuál es l mgnitud del vector? B) Cuál es el ángulo entre l dirección del vector el semieje positivo de ls? Soluc ) 47 uniddes b) 122 8 El vector A tiene un mgnitud de 5 uniddes está dirigido hci el este El vector B está dirigido 45 l oeste del norte tiene un 6
mgnitud de 4 uniddes Construir el digrm vectoril pr clculr ( A + B) ( B A ) Estimr ls mgnitudes direcciones de ( A + B) ( B A ) Soluc ( A + B ) punt 35 l este del norte tiene un mgnitud de 36 uniddes ( B A ) punt 70 l oeste del norte tiene un mgnitud de 83 uniddes 9 Dos vectores de 6 9 uniddes de longitud, formn un ángulo entre ellos de: ) 0, b) 60 Encontrr l mgnitud de su resultnte su dirección con respecto l vector más pequeño Soluc ) 15, θ=0 b) 1308, θ=3660 10 Encontrr el ángulo entre dos vectores de 10 15 uniddes de longitud, cundo su resultnte tiene: ) 20 uniddes de longitud, b) 12 uniddes de longitud Soluc ) θ = 75 29 b) θ = 127 6 11 El vector resultnte de dos vectores tiene 10 uniddes de longitud hce un ángulo de 35 con uno de los vectores componentes, el cul tiene 12 uniddes de longitud Encontrr l mgnitud del otro vector el ángulo entre ellos Soluc 687, θ = 5660 12 Dos vectores de 10 8 uniddes de longitud formn entre sí un ángulo de: ) 60, b) 90 Encontrr l mgnitud de l diferenci l ángulo con respecto l vector mor Soluc ) θ = -48 41, 9165 b) θ = -38 41, 128 13 En cd cso, hllr un vector B del plno tl que B A = 0 B = A ) A = (1,1 ) b) A = ( 1, 1) c) A = ( 2, 3) Soluc ) (1, -1) o (-1, 1), b) (1, 1) o (-1, -1), c) (3,2) o (-3, -2) A B = (3, 1, 2) 14 Sen = ( 1, 2, 3) dos vectores del espcio En cd cso, hllr un vector C unitrio prlelo : ) A + B b) A B c) A 2B Soluc )( 1/ 42)(4, 1,5) b) ( 1/ 42)( 2, 3,1 ) c) (( 1/ 42)( 5, 4, 1) 7
2 + i,, j k : ) A B b) B C c) C A 15 Sen A = i + 2k, B = 2i + j k, C = i + j 2k Clculr los siguientes vectores en función de d) A( BC) e) ( AB) C Soluc ) (-2,3,-1) b) (4,-5,3) c) (4,-4,2) d) (10, 11, 5) e) (8, 3, -7) 16 Si A = 2 i + j + 3k, B = 2 i + j + 4k, epresr el producto vectoril ( A C) ( B A) en función de los vectores Soluc 5 i,, j k 8i + j 2k 7 C = 3 i + 3 j + 6k 8