UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN DEPARTAMENTO DE COMUNICACIONES TESIS DOCTORAL

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN DEPARTAMENTO DE COMUNICACIONES TESIS DOCTORAL MÉTODOS DE MALLADO Y ALGORITMOS ADAPTATIVOS EN DOS Y TRES DIMENSIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROMAGNÉTICOS CERRADOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ALEANDRO DÍAZ MORCILLO DIRECTOR: LUIS NUÑO FERNÁNDEZ VALENCIA, FEBRERO

A m madr hrmanos

ÍNDICE ÍNDICE INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS. METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS.. Mallas Estrctradas... Métodos Algbracos... Métodos basados n EDPs... Métodos d Sprposcón-Dformacón d Rtícla... Métodos d Crcmnto Estrctrado.. Mallas No Estrctradas... Métodos d Dlana-Voronoï... Métodos d Frnt d Avanc... Gnracón d Mallas Cadrlátras Haédrcas No Estrctradas.. Mallas Sprfcals.. Mtodología Mltbloq. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA BIDIMENSIONAL.. Dscomposcón d Elmntos Cadrlátros n Tranglars.. Áras Cadrlátras... Malla Estrctrada. Intrpolacón por Proctors Transfntos... Malla No Estrctrada n Cadrlátros Rctlínos. Frnt d Avanc Rápdo... Dvsón dl Cadrlátro... Casos Smpls... Casos Crítcos... Rsltados... Malla No Estrctrada n Cadrlátros Arbtraros. Frnt d Avanc Rápdo Gnralado.. Áras Tranglars... Malla Estrctrada. Intrpolacón por Proctors Transfntos... Malla No Estrctrada n Tránglos Arbtraros. Frnt d Avanc Rápdo Gnralado... Rsltados.. Domnos Arbtraros. Técnca Mltbloq... Polígonos Convos... Domnos Arbtraros.5. Mallado Eclsvamnt con Cadrlátros.6. Mjora A Postror d la Caldad d la Malla.6.. Rposconamnto d Nodos.6.. Intrcambo d Arstas 5 5 5 6 7 8 9 5 7 7 8 8 5 8 9 5 7 5 5 58

ÍNDICE.7. Cost Comptaconal. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA SUPERFICIAL.. Sprfcs Dfndas por s Contorno.. Sprfcs Cádrcas... Sprfcs Esfércas... Sprfcs Elpsodals... Sprfcs Parabolods Elíptcas.. Sprfcs d Rvolcón.. Mjora A Postror d la Caldad d la Malla.5. Cost Comptaconal. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA VOLUMÉTRICA.. Gnracón d Malla Estrctrada.. Gnracón d Malla No Estrctrada. Método d Frnt d Avanc... Implmntacón dl Método d Frnt d Avanc... Nodos Vcnos... Nodos Crcanos... Nodo Óptmo..5. Nodo Mdo..6. Crr dl Frnt Condcons d Concordanca..7. Parámtros d Dsño..7.. Rado d Nodos Crcanos..7.. Ánglo Mámo ntr Caras Vcnas.. Control dl Frnt mdant Rtícla rárqca... Cracón d la Rtícla... Utlacón d la Rtícla.. Mjora A Postror d la Caldad d la Malla. Rposconamnto d Nodos.5. Rsltados.5. Esfra.5.. Tronco Pramdal.5.. Clndro Dformado.5.. Sctor Crvo.5.5. Rposconamnto d Nodos.5.6. Cost Comptaconal 5. MÉTODOS DE MALLADO ADAPTATIVO 5.. Estmacón dl Error A Postror 5... Indcador d Error Rsdal 5... Rsdo Intror 5... Rsdo n las Arstas 5... Indcador d Error Znkwc-Zh (ZZ) basado n l Rotaconal d la Solcón 5... Mallas Tranglars 5... Mallas Mtas o Cadrlátras 5... Indcador ZZ Dpndnt d la Coordnada Aal 5... Indcador d Error n Arsta por Contndad d Fljo 5..5. Obtncón d na Estmacón dl Error dl Problma 5.. Estratga d Rfnamnto 5... Elccón d las Zonas d Rfnamnto 59 65 65 66 67 7 7 75 78 78 8 8 86 87 9 9 9 97 98 99 99 5 8 5 7 9 5 9 5 5 5 56 56

ÍNDICE 5... Métodos d Rfnamnto 5... Métodos d Rfnamnto Conform n Mallas Tranglars 5... Métodos d Rfnamnto Conform n Mallas Cadrlátras 5.. Métodos d Mallado Adaptatvo n Problmas Trdmnsonals 5... Indcador d Error Rsdal 5... Rsdo Intror 5... Rsdo n las Caras 5... Indcador d Error Znkwc-Zh (ZZ) basado n l Rotaconal d la Solcón 5... Indcador d Error n Cara por Contndad d Fljo 5... Estratga d Rfnamnto 5.. Rsltados 5... Mtodología 5... Gía Homogéna n Forma d L 5... Indcador Rsdal 5... Indcador ZZ 5... Indcador por Contndad d Fljo 5... Conclsons 5... Lína Mcrostrp Encapslada 5... Fnln Unlatral Encapslada 5..5. Lína Coplanar Encapslada con Sstrato Ansótropo con Pérddas 6. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS A. NOMENCLATURA Y ESTRUCTURAS DE DATOS EN LA GENERACIÓN DE MALLAS A.. Componnts d la Gomtría Bdmnsonal A.. Componnts d la Malla Bdmnsonal A.. Parámtros Físcos dl Problma A.. Informacón d Gstón d Malla A.5. Componnts d la Gomtría Trdmnsonal A.6. Componnts d la Malla Trdmnsonal A. DISCRETIZACIÓN UNIDIMENSIONAL A.. Dscrtacón Unform A.. Dscrtacón Gométrca A.. Dscrtacón Irrglar A. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS A LA ECUACIÓN DE ONDA VECTORIAL EN PROBLEMAS CERRADOS A.. Problmas d Gado d Ondas A... Obtncón d la Ecacón Intgral mdant l Método d Galrkn A... Dscrtacón d la Formlacón Débl A... Aplcacón d las Condcons d Contorno A... Transformacón dl Atosstma. Obtncón d la Constant d Propagacón A.. Análss d Cavdads Rsonants A... Obtncón d la Ecacón Intgral mdant l Método d Galrkn A... Dscrtacón d la Formlacón Débl A... Aplcacón d las Condcons d Contorno 6 6 65 67 67 68 7 7 7 75 76 77 79 8 88 9 96 5 5 5 8 9 9 5 5 9 5 6 8 9 5 5 5 5

ÍNDICE A... Rsolcón dl Atosstma A. INTERPOLACIÓN LOCAL DE LA SOLUCIÓN A.. Intrpolacón Nodal d Lagrang d Prmr Ordn n Tránglos A.. Intrpolacón Nodal d Lagrang d Prmr Ordn n Cadrlátros A.. Intrpolacón Nodal d Lagrang d Prmr Ordn n Ttradros A.. Intrpolacón Vctoral Conform n Rotaconal d Prmr Ordn n Tránglos A.5. Intrpolacón Vctoral Conform n Rotaconal d Prmr Ordn n Cadrlátros A.6. Intrpolacón Vctoral Conform n Rotaconal d Prmr Ordn n Ttradros A5. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA DE MODELADO DE GEOMETRÍA Y GENERACIÓN DE MALLA DESARROLLADO A6. PUBLICACIONES GENERADAS POR LA TESIS BIBLIOGRAFÍA 5 55 55 59 6 6 66 69 7 79 8 v

INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS El método d los lmntos fntos (MEF) s na técnca nmérca gnral para la rsolcón d problmas q nvolcran cacons n drvadas parcals (EDP). S propso por prmra v n los años carnta f psto n práctca n la década sgnt n l dsño aronátco. Dsd ntoncs l método s ha dsarrollado aplcado tnsamnt n mchos otros campos, ntr llos l lctromagntsmo. Actalmnt s consdra n método gnral aplcabl a la maoría d los problmas matmátcos d ngnría. El método stá basado n la dvsón dl domno contno sobr l q s qr stdar l problma n varos sbdomnos n los q la fncón ncógnta (la solcón dl problma) s sma d fncons d ntrpolacón smpls con cofcnts dsconocdos. Así, l problma orgnal con nfntos grados d lbrtad s transforma n n problma con n númro fnto d éstos, s dcr, la solcón dl problma sobr todo l domno s aproma a partr d n númro fnto d cofcnts dsconocdos. Con sta flosofía, aplcando l método varaconal d Rt o l método d Galrkn, s obtn n sstma d cacons algbracas q, na v rslto, proporcona la solcón dl problma. Todo st procso s pd dvdr n las sgnts fass:. Dscrtacón dl domno.. Elccón d las fncons d ntrpolacón.. Formlacón dl sstma d cacons.. Rsolcón dl sstma d cacons. 5. Postprocso. La aplcacón dl MEF al lctromagntsmo s ncó n la década d los 6 con l análss d gías d onda homogénas d sccón arbtrara, dond la cacón a rsolvr s la scalar d Hlmholt. La tnsón dl MEF a strctras más compljas (nhomogénas, ansótropas) rqró l plantamnto d la cacón d onda vctoral. Esta gnralacón a cacons vctorals do orgn a problmas q no aparcían n las formlacons scalars antrors. En los últmos años s han dsarrollado fncons d ntrpolacón vctorals q consgn lmnar stos problmas [Sn95], [Bal96], [n9]. La dscrtacón dl domno n q tn lgar l fnómno bajo stdo s la prmra, tal v, más mportant fas dl procso, ps d lla dpndn los rcrsos d mmora ncsaros, la vlocdad d gnracón d la solcón la acttd d los rsltados nmércos obtndos. En lla, l domno s dvd n pqños sbdomnos llamados lmntos. La gomtría d éstos dpnd dl númro d dmnsons sobr las q stmos trabajando d las caractrístcas dl problma: Problmas ndmnsonals: sgmntos d la lína q forma l domno. Problmas bdmnsonals: tránglos cadrlátros. Los cadrlátros, lógcamnt, s ajstan mjor a domnos cadrlátros, mntras q los tránglos s sln tlar para domnos con na gomtría más complja. D hcho, calqr domno pd sr dscrtado clsvamnt con tránglos, no así con cadrlátros.

INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS Problmas trdmnsonals: ttradros, pntadros hadros. Análogamnt al caso bdmnsonal, los ttradros son los lmntos más smpls smpr s ajstan a gomtrías arbtraras. La nvstgacón d sstmas d gnracón d mallas aplcabls al MEF s bastant rcnt. Esto, ndo a la dfcltad d ncontrar n método q compagn n bajo cost comptaconal (tmpo rcrsos), na acptabl caldad d la malla, la posbldad d controlar algnas caractrístcas d ésta (como la dstrbcón d los nodos) la capacdad d dscrtar domnos con gomtría complja, ha hcho q, anq la bblografía sobr l tma s tnsa, n la actaldad no sta n método q dstaq claramnt sobr los dmás. Técncas m gnrals, capacs d gnrar mallas n gomtrías compljas, como las d frnt d avanc o las d Dlana-Voronoï, prsntan n cost comptaconal lvado. Por contra, los métodos algbracos gnran la malla a na gran vlocdad, pro son ncapacs d mallar gomtrías d crta compljdad. La gomtría dl domno, l cost comptaconal la capacdad d control q qramos tnr sobr la malla srá lo q nos haga dcantarnos por nos otros métodos. La prmra part d sta tss, dsarrollada n los capítlos,,, stá ddcada al dsño d nvos métodos d mallado bdmnsonal, sprfcal volmétrco q sgan stas prmsas. Anq sos métodos han sdo dsarrollados n l contto dl análss d gado d ondas l dsño d cavdads rsonants d mcroondas, s aplcacón pd abarcar calqr campo d la físca, ps la fas d dscrtacón dl MEF prsnta na clara ndpndnca dl problma tratado. En l prmr capítlo d la tss s rala n somro rpaso dl stado actal d la mtodología d mallado n dos trs dmnsons. En l sgndo capítlo s prsnta n nvo método d mallado bdmnsonal n l q s combnan técncas mltbloq, algbracas d frnt d avanc para consgr n prprocsador con trs caractrístcas fndamntals: Gnraldad d la gomtría a mallar. Bajo cost comptaconal. Caldad d la malla gnrada. En l capítlo s prsntan los métodos dsarrollados para la dscrtacón d dstntas sprfcs trdmnsonals, todos llos basados n l método bdmnsonal dscrto n l capítlo. Los métodos d mallado trdmnsonal prsntan, vdntmnt, na compljdad mcho maor q los bdmnsonals. No s trval na gnralacón d las rtnas d dscrtacón dsñadas para dos dmnsons a trs, por llo, s ha optado por dsarrollar n método d mallado volmétrco basado n la técnca gnral d frnt d avanc, q s prsnta n l capítlo. Indpndntmnt dl método d mallado tlado, n la fas d dscrtacón dl MEF srg tambén la dfcltad d dstrbr los grados d lbrtad a lo largo dl domno dl problma d modo q éstos s concntrn n aqllas onas dond l campo léctrco prsnt nas varacons más abrptas. La mjor dstrbcón srá aqélla q proporcon la solcón más acta con l mnor númro d ncógntas. Una forma d consgr na bna dstrbcón s tlar n sqma adaptatvo, sto s, gnrar na malla ncal con pocos lmntos, rsolvr l problma con sta dscrtacón, stmar l rror comtdo n l cálclo d la solcón, añadr ncógntas n las rgons dond l rror sa maor rsolvr d nvo sobr la nva malla. Est procso s aplca tratvamnt hasta obtnr la prcsón dsada o alcanar n númro d grados d lbrtad acptabl para l problma dado.

INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS Est nfoq d rsolcón dl problma rqr, admás d las hrramntas dl MEF clásco, l dsarrollo d stmadors o ndcadors d rror q dtctn las onas dond l rror d modlado dbdo a la nsfcnt dscrtacón dl mdo contno s más lvado, l dsño d stratgas d rfnamnto o nrqcmnto d sas onas. Fndamntalmnt stn trs tpos d rfnamnto n los q s amnta l númro d ncógntas dl problma: Tpo h: s modfca l tamaño d los lmntos d la malla, s dcr, s cran nvos lmntos allí dond l rror s maor. Tpo p: s modfca l ordn dl polnomo d la fncón d ntrpolacón d los lmntos. Tpo hp: s n nfoq híbrdo q combna las stratgas h p. Calqra q sa l tpo d adaptacón scogdo, l MEF adaptatvo prsnta dos vntajas fndamntals frnt a la vrsón clásca dl método: Mjora n fcnca al optmar la dstrbcón d las ncógntas n la malla, d modo q l númro d lmntos fnal dl problma sa l mínmo rqrdo para obtnr la acttd dsada. Esta dsmncón n l númro d ncógntas dl sstma spon n cost comptaconal mnor. Comoddad n la ntrodccón d datos, al no sr ncsara la dfncón d la malla o, mjor dcho, la dscrtacón dl contorno q la gnra. En la vrsón adaptatva dl MEF sólo s ncsara la gnracón d na malla ncal con pocos lmntos. El algortmo d adaptacón s ncarga d gnrar la malla óptma. La sgnda part d sta tss, prsntada n l capítlo 5, stá ddcada al stdo d st tpo d métodos. En lla s dscrbn los dstntos ndcadors d rror stratgas d rfnamnto h dsarrolladas, s prsntan analan los rsltados obtndos con llos n dstntas strctras d gado d ondas. En l capítlo 6 s prsntan las conclsons fnals dl trabajo ralado, así como las línas ftras d trabajo q sta tss abr. Esta mmora s complta con ss apéndcs. En l prmro d llos s prsnta la nomnclatra rlaconada con la mtodología d gnracón d mallas, así como las strctras d datos tladas n la mplmntacón d los dstntos métodos d dscrtacón dsarrollados. El apéndc dscrb los métodos d mallado ndmnsonal dsarrollados. Estos métodos son útls tanto para la dscrtacón d problmas ndmnsonals como para la dvsón dl contorno lnal n problmas n dos trs dmnsons. La dscrtacón d domnos ndmnsonals s n tma d nvstgacón sprado q no planta csvas dfcltads. Sn mbargo, s ha añaddo como apéndc para dotar al tto d na vsón complta d las técncas d dscrtacón. Los apéndcs dscrbn, rspctvamnt, la aplcacón dl MEF a problmas crrados d gado d ondas cavdads rsonants, las fncons d ntrpolacón tladas n la rsolcón d problmas n dos trs dmnsons. Las prsons d stas fncons d ntrpolacón son ncsaras n l dsarrollo d los dstntos ndcadors d rror dscrtos n l capítlo 5. En l apéndc 5 s dscrb brvmnt l programa d modlado d gomtría gnracón d malla dsarrollado drant la ralacón d la tss q tla los dstntos métodos dsñados n lla. El apéndc 6 s na nmracón, n ordn cronológco, d las pblcacons cntífcas n congrsos naconals, ntrnaconals rvstas ntrnaconals q ha gnrado sta tss.

INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS Fnalmnt, qsra agradcr a Ls Nño s apoo nstmabl n la drccón d sta tss doctoral a an Vcnt Balbastr s ada n las mchas ddas srgdas a lo largo dl trabajo. Est agradcmnto s hac tnsvo al Grpo d Calntamnto por Mcroondas, dsd s caba, Elías d los Rs, por l bn ambnt nvstgador hmano con q ha sabdo dotar al Grpo, hasta los dstntos compañros profsors nvstgadors como osé Manl Catalá, Davd Sánch, Flp Pñaranda o Marta Martín, por l apoo prstado n stos catro años.

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS Capítlo. METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS En st prmr capítlo s hac n rpaso d las técncas d dscrtacón más tladas n la actaldad. S ha crído convnnt, dadas las analogías q prsntan ntr sí los métodos d mallado bdmnsonal, sprfcal volmétrco, nfcar n st apartado l stado actal d stas técncas, tanto n domnos bdmnsonals como trdmnsonals, n lgar d dstrbr sta dscrpcón a lo largo d la tss (capítlos, ). Varos ators [Tha8], [Kk86], [Ho88], [Sh88], [Go9], [Tho9], [Löh97], [Ow98a] han ralado clasfcacons d los dstntos métodos mplados n la gnracón d mallas. En la maoría d stas rfrncas s stablc como prmr crtro d clasfcacón l tpo d malla crada, n sgndo lgar, l modo n q s gnra l tpo d lmntos tlados. Sgndo stas patas, las dstntas técncas d dscrtacón b- o trdmnsonal s pdn dvdr n: Métodos d gnracón d malla strctrada: Algbracos. Basados n EDPs. Sprposcón-dformacón d rtícla. Crcmnto strctrado. Métodos d gnracón d malla no strctrada: Insrcón d nodos postror conón: Dlana. Gnracón smltána d nodos conctvdad: Frnt d avanc. Métodos Mltbloq.. Mallas Estrctradas Por malla strctrada s ntnd toda dscrtacón ca conctvdad sg n patrón rtclar. Por sta raón, n st tpo d mallas s tlan fndamntalmnt lmntos cadrlátros (D), o haédrcos (D), anq a partr d llos, como s vrá postrormnt, s pdn gnrar tránglos ttradros, rspctvamnt. La cracón d sta rtícla mpon nas frts condcons sobr l contorno dl domno, por lo q n mchos casos st tpo d dscrtacón no s ralabl o, séndolo, prsnta na baja caldad.... Métodos Algbracos Dado q n la gnracón d mallas strctradas la conctvdad s conocda d antmano, los métodos tnn como objtvo prmordal l cálclo d la poscón d los nodos q forman la rtícla, d modo q los lmntos rsltants prsntn nas dtrmnadas caractrístcas d tamaño rglardad. Las técncas más sncllas, por tanto, más rápdas n l cálclo d stas coordnadas nodals son las dnomnadas algbracas, ntr las q 5

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS dstacan, fndamntalmnt, las d transformacón n gomtrías canóncas o mappng las d ntrpolacón transfnta. En las prmras, s transforma l domno orgnal, sto s, s contorno dscrtado, n n domno canónco como, por jmplo, n rctánglo. Sobr él s gnra la rtícla los nodos d ésta vlvn a sr transportados al domno ral mdant na transformacón nvrsa a la prvamnt ralada. En l sgndo caso s dsarrollan fncons d ntrpolacón ntr los lados dl domno d modo q la gnracón d los nodos ntrnos vn dtrmnada por la poscón d los nodos dl contorno. Estas técncas gnralmnt s aplcan sobr gomtrías cadrlátras [Z7], [Gor7], [Hab8] o haédrcas [Coo7], [Coo8], anq n ocasons tambén han sdo aplcadas n domnos tranglars [Bar7], [Hab8], ttraédrcos o pntaédrcos [Pr98], dond s gnran, rspctvamnt, lmntos tranglars, ttraédrcos o pntaédrcos. En la fgra. s prsntan algnos jmplos d st tpo d dscrtacón. Fgra.. Mallas gnradas mdant métodos algbracos... Métodos basados n EDPs Con l objto d consgr na maor rglardad d los lmntos, caractrístcas d ortogonaldad ntr las arstas con nodos comns n maor control d la dnsdad d la malla, s han dsarrollado técncas d mallado strctrado basadas n la rsolcón d EDPs, tlando como condcón d contorno la gomtría dl contorno dl domno q s prtnd dscrtar. Estos técncas pdn sr consdradas como métodos algbracos dond las coordnadas d los nodos ntrors vnn dtrmnadas por la rsolcón d stas EDPs, q rlaconan las coordnadas dl domno ral (,) con las dl domno canónco (ξ,η) o coordnadas natrals. El objtvo fnal consst n obtnr las fncons q rlaconan con ξ η, por lo q s ncsaro nvrtr l sstma rsolvr las EDPs acopladas rsltants mdant algún método tratvo. Esta rsolcón mplca n alto cost comptaconal frnt a los métodos algbracos. El tpo d cacón o cacons dfrncals mpladas nfl drctamnt n la malla gnrada. Así, s úncamnt s prtnd obtnr na malla con na bna rglardad s mpla la cacón d Laplac; s s qrn obtnr dscrtacons con dnsdad d mallado 6

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS varabl, d modo q sta na maor concntracón d lmntos alrddor d na ona dtrmnada, s pd tlar la cacón d Posson: ξ ξ P η η Q (.) dond P Q controlan la dstrbcón d los nodos n la malla d la sgnt forma: P>: los nodos son atraídos haca la drcha. P<: los nodos son atraídos haca la qrda. Q>: los nodos son atraídos haca arrba. Q<: los nodos son atraídos haca abajo. Cando l domno dl problma vn dfndo por dos crvas crradas (D) o dos sprfcs crradas (D), ncontrándos na d llas n l nfnto, s dcr, n l caso d sstmas abrtos, s rcomndabl la tlacón d sstmas hprbólcos, ps prsntan n mnor cost comptaconal q los líptcos. En la bblografía s pdn ncontrar dstntas mplmntacons d stas técncas. En [Mar98], [N98], [Pp98] s analan métodos líptcos basados n la cacón d Posson. En [a98], [Ch98] s combna la gnracón hprbólca d la malla con l savado d ésta mdant n método líptco n dos dmnsons n sprfcs trdmnsonals, rspctvamnt. En [Ecc98] s combnan métodos algbracos líptcos n sprfcs. En la fgra. s mstran algnas mallas obtndas con st tpo d métodos. Un análss más dtallado d llos s pd ncontrar n [Tho85], [Go9]. a) b) c).. Mallas bdmnsonals gnradas mdant la rsolcón d EDPs: a) Laplac, b) Posson, c) hprbólco... Métodos d Sprposcón-Dformacón d Rtícla Estos métodos gnran la malla a partr d na rtícla cadrada, como la mostrada n la fgra.a, o cúbca q contn al domno dl problma, mdant las sgnts tapas:. Elmnacón d los cadrados (D) o cbos (D) q no ntrsctn l domno (fgra.b).. Procsamnto d los cadrados o cbos q son ntrsctados parcalmnt por l contorno dl domno. S st procsado no s prodc, l ajst al contorno s m dfcnt, por lo q rslta más apropado para métodos d dfrncas fntas [Wt96] 7

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS q para l MEF. Gnralmnt, para mjorarlo s modfcan los cadrados o cbos d forma q s ajstn prfctamnt al contorno [Yr8], [Yk95] (fgra.a), o bn s tla na rtícla jrárqca no conform (n la trmnología nglsa qadtr (D) octr (D)), como mstra la fgra.b. a) b) Fgra.. Sprposcón d rtícla: a) rtícla ncal, b) ntrsccón con l domno a) b) Fgra.. Ajst al contorno: a) dformacón d cadrados, b) rtícla jrárqca Anq stn programas comrcals q no ralan ajst al contorno, como l gnrador d malla dl smlador lctromagnétco MAFIA d la mprsa CST, la práctca habtal s la gnracón d na rtícla jrárqca ajstada al contorno. Ésta pd sr la malla fnal q tlc l MEF, pro dadas las dfcltads q planta s no conformdad, lo habtal s tlarla como malla d rfrnca dl tamaño dl lmnto n métodos d gnracón d malla no strctrada [Ba87], [Sch9], [Sh85], [Sh86].... Métodos d Crcmnto Estrctrado Con st nombr s ha prtnddo dsgnar aqllos métodos q n la bblografía s dnomnan d trson o swpng. S ha añaddo l adjtvo strctrado para vtar la posbl confsón con los métodos d frnt d avanc q s dscrbn postrormnt. Éstos son métodos d dscrtacón volmétrca ndcados para gomtrías q s dsarrollan a partr d la traslacón d na sprfc bas. Ést s l caso, por jmplo, d los volúmns clíndrcos o torodals. El método consst fndamntalmnt n la rptcón d la malla 8

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS sprfcal d la bas, q pd sr strctrada o no, a lo largo dl domno dl problma. Sgún st plantamnto, úncamnt s pd hablar d malla strctrada n la drccón d crcmnto d la gomtría trdmnsonal. Las rstrccons q sta técnca planta, s s part d la dscrtacón prva dl contorno, son fndamntalmnt dos: La conctvdad d las mallas bdmnsonals d las dos sprfcs báscas db sr la msma. La malla d las sprfcs latrals db sr strctrada. En la fgra.5 s mstran dos jmplos d st tpo d mallado partndo d mallas bdmnsonals cadrlátras no strctradas. S pdn ncontrar dstntas mplmntacons d sta técnca n [Yam96], [Sta98], [Kn98a]. Fgra.5. Mallas haédrcas d crcmnto strctrado.. Mallas No Estrctradas Las mallas no strctradas, al contraro q las strctradas, no prsntan n patrón d conctvdad prdtrmnado, ps ésta vn dtrmnada por l contorno dl problma, la stacón d los nodos ntrors l método d dscrtacón tlado. Consstancal a st tpo d dscrtacón s l lmnto tranglar (D) o l ttraédrco (D), anq n los últmos años s han dsarrollado técncas d gnracón d malla no strctrada cadrlátra o haédrca. Esta lbrtad n la conctvdad hac posbl la dscrtacón d calqr domno a partr d na dscrtacón dl contorno arbtrara. Son, por tanto, d aplcacón más gnral q las strctradas, pro sto rprct n n maor cost comptaconal. Anq st na gran dvrsdad n los métodos d gnracón d st tpo d dscrtacons, los más mplados n la práctca s pdn dvdr ntr aqéllos q partn d na dstrbcón dtrmnada d nodos úncamnt s ocpan d obtnr na conctvdad adcada, aqllos otros n los q nodos, arstas lmntos (n l caso bdmnsonal) o nodos, arstas, caras lmntos (n l caso trdmnsonal) s gnran conform la malla va crcndo. En l prmr caso, s bsca na conón óptma d modo q los lmntos prsntn na bna rlacón d aspcto; sta tranglacón óptma stá garantada s s mpla l método d Dlana-Voronoï. En l sgndo caso, stos msmos crtros d rglardad son los q marcan la poscón más adcada para l nvo nodo gnrado s conón con l rsto d la malla. La famla d técncas q sg sta últma mtodología s dnomna métodos d frnt d avanc, ps n llos la malla s gnra tratvamnt dsd n frnt ncal, q concd 9

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS con l contorno dl problma q s va modfcando conform l procso avana, hasta q l domno qda compltamnt mallado, momnto n l q l frnt qda vacío. A contnacón s dscrbn con maor dtall stas dos técncas.... Métodos d Dlana-Voronoï La tranglacón d Dlana f na d las prmras técncas d dscrtacón tranglar tladas. En 855 Drchlt propso n método con l q, dado n conjnto d pntos P, s pd dfnr n conjnto d rgons polgonals (D) o polédrcas (D) V asocadas a cada pnto, d modo q calqr pnto d la rgón V s ncntra más crcano al pnto P q a calqra dl rsto. Es dcr: V { p p P < p P } j :, (.) j Cada nas d stas rgons s dnomna rgón d Voronoï l conjnto d llas s n mosaco d Drchlt o dagrama d Voronoï [Ar9]. A partr d s dfncón rslta vdnt q cada lado (o cara) d stas rgons polgonals (o polédrcas) s ncntra qdstant d los dos pntos q spara. La nón d todos stos pntos por pars gnra otra dscrtacón dl domno, conocda como tranglacón d Dlana, q pos na caractrístca m ntrsant para la gnracón d mallas: la rglardad d ánglos n los tránglos gnrados s máma. Es dcr, dado n conjnto d nodos, l método d Dlana garanta na tranglacón óptma. Sn mbargo, n l caso volmétrco, sta tranglacón óptma no garanta q los ttradros gnrados san óptmos, por lo q, n gnral, tras la gnracón d la malla son ncsaras técncas d dtccón corrccón d ttradros dfctosos. La gnracón d st tpo d dscrtacón consst n n método sstmátco dvddo n las sgnts tapas:. En caso d q l domno dl problma no sa convo, dfncón d n domno convo q ncla al domno q s prtnd dscrtar gnracón d s tranglacón. La forma más snclla d hacr sto s mdant la spcfcacón d pntos q formn n cadrado n l caso bdmnsonal 8 pntos q formn n cbo n l caso volmétrco.. Introdccón d n nvo nodo dl domno.. Dtrmnacón d los lmntos cas crcnfrncas crcnscrtas (o sfras crcnscrtas) contnn al nvo nodo. Estos lmntos dbn sr lmnados, así como ss arstas ( caras) comns.. Dtrmnacón d los nodos prtncnts a sos lmntos. 5. Dtrmnacón d las arstas (o caras) trors d los lmntos lmnados, s dcr, dl hco q rslta tras la lmnacón d los lmntos antrors. 6. Gnracón d nvos lmntos mdant la nón d las arstas (o caras) dtctadas n l pnto 5 con l nvo nodo. 7. Rptcón d la scnca dsd l pnto hasta q todos los nodos haan sdo ntrodcdos. La fgra.6 mstra n jmplo d la aplcacón d stas 5 tapas n n domno bdmnsonal. 8. Elmnacón d las arstas lmntos (D) o arstas, caras lmntos (D) q no prtncan al domno.

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS a) b) c) Fgra.6. Tranglacón d Dlana: a) nsrcón d nodo, b) dtccón lmnacón d lmntos, c) tranglacón local Como s ha comntado antrormnt, st algortmo gnra úncamnt la conctvdad, asmndo conocdas las poscons d los nodos d la malla. El cálclo d stas poscons s rala gnralmnt a partr d na malla d rfrnca, na fncón d dnsdad d malla [Alf96], [Ch96], [Ow97], [Cn97], [Go98] o n l contto d n procdmnto adaptatvo [Bor97] como los q s dscrbn n l capítlo 5 d sta tss. En st últmo caso, los nvos nodos s gnran n aqllos lmntos q prsntn n lvado rror. Asmsmo, s s part d na dscrtacón ncal dl contorno ést no s convo, ésta pd vrs modfcada n l procso d nsrcón d nodos. Ésta s na d las prncpals dsvntajas d la tranglacón d Dlana, ps dfclta la tlacón d na mtodología mltbloq, q más adlant s comntada, a q sta técnca rqr na msma dscrtacón n las ntrfacs d los dstntos bloqs q forman l domno. Estn varants d la tranglacón d Dlana q fran a mantnr la dscrtacón dl contorno o bn la rstaran tras aplcar l procdmnto gnral, tanto n dscrtacons bdmnsonals [Lo9] como volmétrcas [Kr98], [Bak98], [La98a]. Estas técncas son conocdas como Dlana rstrngdas, n gnral, no garantan la gnracón d na malla óptma n l sntdo antrormnt comntado. En la fgra.7. s mstra la volcón d na tranglacón Dlana bdmnsonal conform los nodos son ntrodcdos. Fgra.7. Evolcón d na tranglacón d Dlana bdmnsonal El cost comptaconal d st tpo d técncas, sgún [Löh97], s O( n log () n ), dond n s l númro d lmntos, anq otros ators han obtndo comportamntos lnals [Go9], [Kar97], st últmo mdant l so d strctras d datos arbóras q facltan la localacón d nodos o lmntos vcnos. A st cost s db añadr l ncsaro para la rstaracón dl contorno, s así s prcsa,, n l caso volmétrco, la dtccón corrccón d los ttradros q prsntn na mala rlacón d aspcto.

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS La ltratra sobr st tpo d métodos s m vasta. Para na dscrpcón más dtallada dl algortmo d nsrcón d pntos s pd consltar [Go9]. Otras mplmntacons con lgras varants s pdn ncontrar n [Cav85], [Go9], [Far9], [Kar97], [Mr98] para domnos bdmnsonals, n [Zh96b] para sprfcs n [Zh96a], [Lw96], [Fc98], [Sn98] para volúmns.... Métodos d Frnt d Avanc En st tpo d métodos la gnracón d la malla s rala dsd l contorno haca l ntror dl domno, sndo tránglos los lmntos tlados n l caso d dos dmnsons ttradros n problmas trdmnsonals. Como datos d ntrada s rqrn los nodos arstas ( caras n D) q forman l contorno dl problma, s dcr, na dscrtacón polgonal (D) o polédrca (D) d él, n tamaño d lmnto prscrto o na malla d rfrnca o fncón d dnsdad s s prtnd gnrar na malla no nform. El procso d cracón d la malla s tratvo: s anala n frnt, ncalado con los datos dl contorno, para dtrmnar na ona d partda dsd la q s cran no o varos lmntos ntrnos, jnto con los corrspondnts nodos arstas ( caras n D). Sgdamnt s actala l frnt con los nvos nodos arstas gnradas ( caras n D) s rpt l procso hasta q l frnt qd vacío, s dcr, l domno qda compltamnt mallado. Ésta s la flosofía gnral dl método, pro s comportamnto vn dtrmnado fndamntalmnt por l análss dl frnt l crtro stablcdo n la cracón d los nvos lmntos. Est crtro s basa n las caractrístcas gométrcas d las arstas (D) o caras (D) q lo consttn n la malla d rfrnca o fncón d dnsdad [Sv97], [Ow97], [Bor97], [Cn97] q controla la gnracón d la malla. En [Go9] s pd ncontrar n sncllo jmplo d crtro gométrco n dos dmnsons, sgún l cal, s α s l ánglo formado por dos arstas consctvas dl frnt, s pdn dntfcar trs posbls stacons: π α < : s cra na arsta n lmnto formado por ésta las arstas q dfnn l ánglo α (fgra.8a). π π < α < : a partr d las dos arstas con ánglo α s gnra n nodo ntrno, trs arstas dos lmntos (fgra.8b). π α > : s cra n pnto ntrno, las dos arstas q forma ést con los nodos trmos d la arsta dl frnt, n lmnto formado por stas trs arstas (fgra.8c). La poscón dl nodo ntrno gnrado n los dos últmos casos vn dtrmnada por crtros d rglardad tamaño d los lmntos. a) b) c) Fgra.8. Ejmplo d tratamnto dl frnt n mallas bdmnsonals

METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS Est jmplo s mramnt ddáctco, frnt a stacons compljas como contornos no convos o gran dspardad d tamaño ntr lmntos prómos, pd fallar. En l caso trdmnsonal, la casístca q pd prsntar l frnt s mcho maor. En l capítlo s analan las posbls stacons s dscrbn los crtros stablcdos n sta tss para l control dl crcmnto d la malla volmétrca. Otras mplmntacons d st método n s vrsón volmétrca s pdn ncontrar n [Möl95], [Has96], [Cha97], [Ras97], [Sak98], [Cav99], sta últma n n contto d análss adaptatvo. Como jmplo d la dfcltad n la clasfcacón d los métodos d mallado, podmos dcr q stn varants dl método d frnt d avanc dond la stacón d los nodos s conocda prvamnt la gnracón d arstas lmntos consst úncamnt n la lccón dl nodo más corrcto [Lo85], [T96]. El cost comptaconal d st método vn dtrmnado por las opracons d búsqda d parts dl frnt vcnas o prómas las comprobacons d prtnnca al domno no mallado cando n nodo s crado. El cost d stas taras s v rdcdo s s mplan, como s ha comntado n l método d Dlana, strctras d datos arbóras [Löh88], [Car88], [Dan9], [Bon9] l cost total dl método s pd rdcr hasta O( n log () n ) [Löh97]. La fgra.9 mstra la volcón d na malla bdmnsonal obtnda con sta técnca. Fgra.9. Evolcón d la malla n l método d frnt d avanc... Gnracón d Mallas Cadrlátras Haédrcas No Estrctradas Como s comntó al comno d st capítlo, l lmnto cadrlátro o haédrco s nhrnt a las mallas strctradas, pdndo, mdant la dvsón d éstos n dos tránglos o n 5 ó 6 ttradros, rspctvamnt, obtnr las corrspondnts mallas tranglars o ttraédrcas. Como s ha vsto, los prncpals métodos d gnracón d mallas no strctradas mplan l lmnto tranglar o ttraédrco. La gnracón d mallas no strctradas cadrlátras o haédrcas rqr técncas más compljas no smpr son ralabls. La fgra. mstra na malla no strctrada compsta úncamnt por lmntos cadrlátros otra haédrca.