EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS. Jua Ferádez Maese Ageles Juárez Martí Atoio López García ESTADÍSTICA 1
ESTADÍSTICA
ÍNDICE TEMÁTICO CAPÍTULO 1: TABLAS Y GRÁFICOS...5 1.1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA... 5 1..- TABLAS ESTADÍSTICAS. FRECUENCIAS... 8 1.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS... 11 1.4.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS... 17 1.5.- EJERCICIOS FINALES...0 CAPÍTULO : DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES...3.1.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN... 3..- MEDIDAS DE POSICIÓN... 3.3.- REPRESENTACIÓN BOX-WHISKER... 38.4.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN... 40.5.- COMPARACIÓN DE DISTRIBUCIONES... 46.6.- SIMETRÍA... 55.7.- EJERCICIOS FINALES...59 CAPÍTULO 3: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES...63 3.1.- VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES... 63 3..- TABLAS BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS... 64 3.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS... 67 3.4.- CALCULO DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS... 7 3.5.- EJERCICIOS FINALES...77 CAPÍTULO 4: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN...79 4.1.- CORRELACIÓN... 79 4..- DEPENDENCIA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN... 8 4.3.- REGRESIÓN... 88 4.4.- EJERCICIOS FINALES...93 ESTADÍSTICA 3
CAPÍTULO 1: TABLAS Y GRÁFICOS 1.1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA 1.- Objeto de la estadística La Estadística es el cojuto de métodos ecesarios para recoger, clasificar, represetar y resumir datos así como para iferir (extraer cosecuecias) a partir de ellos. Se divide e dos ramas pricipales: Estadística descriptiva. Su objetivo es examiar a todos los idividuos de u cojuto. Trata del recueto, ordeació y clasificació de datos obteidos mediate observacioes. Se orgaiza los datos e tablas, se realiza gráficos y se obtiee parámetros estadísticos que caracteriza la distribució de població estudiada. Estadística iferecial. Establece previsioes y coclusioes geerales sobre ua població a partir de los resultados obteidos de ua muestra de la misma..- Població y muestra Població es el cojuto formado por todos los elemetos que tiee ua determiada característica que vamos a estudiar. Idividuos so cada uo de los elemetos de ua població. Muestra es el subcojuto extraído de ua població, co objeto de reducir el campo de experiecias. Tamaño de la muestra es el úmero de elemetos de la muestra. Muestreo es el proceso mediate el cual se extrae ua muestra de la població. 3.- Caracteres Carácter Carácter o atributo estadístico es la propiedad que estudiamos e los idividuos de ua població. Variable Variable es el cojuto de los valores que puede tomar u carácter o atributo. So variables la edad y la talla de las persoas y tambié el color de sus ojos o su profesió. Atediedo al tipo de valores de que toma puede ser: Cualitativas: o uméricas. Cuatitativas: uméricas. Las variables uméricas puede ser: Discretas: Las toma valores que podemos ordear. Etre cada dos valores o hay valores itermedios. ESTADÍSTICA 5
Cotiuas: Las que puede tomar todos los valores posibles detro de u itervalo de la recta real. Las variables cualitativas puede ser: Ordiales: Las que tiee u orde implícito. Nomiales (cardiales): Las que o tiee u orde implícito. Dicotómicas: Las que sólo preseta dos modalidades. EJEMPLOS 1.- Deseamos coocer la estatura de todos los soldados que forma el ejército. Eucia la població, los idividuos y la muestra. La població está formada por todos los soldados. Los idividuos so cada uo de los soldados. La muestra es el subcojuto de los soldados que se talla..- E ua fabrica de bombillas se efectúa u cotrol de calidad sobre 100 uidades para averiguar cuátas so defectuosas. Eucia la població, los idividuos y la muestra. La població está formada por las bombillas fabricadas. Los idividuos so cada ua de bombillas fabricadas. La muestra so las100 bombillas examiadas. 3.- Eucia dos caracteres cuatitativos. La talla de u idividuo de ua determiada població. El diámetro de ua pieza de precisió de u lote fabricado. 4.- Eucia dos caracteres cualitativos. La profesió de las persoas mayores de 0 años de Ceuta. El estado civil de los habitates de Ceuta. 5.- Eucia dos modalidades de ua variable estadística cualitativa. Si cosideramos la variable cualitativa profesió so modalidades: ecoomista. sociólogo. 6.- Eucia dos variables estadísticas discretas. So variables estadística discretas: Números de empleados de ua fábrica de la PYME. Número de hijos de 0 familias. ESTADÍSTICA 6
7.- Eucia dos variables estadísticas cotiuas. So variables estadística cotiuas: Peso de las persoas. Temperaturas de ua ciudad. 8.- Eucia dos variables estadísticas omiales. So variables estadísticas omiales. Color de los ojos. Sabor de u helado. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Eucia la població, los idividuos y la muestra del experimeto estadístico cosistete e hallar el peso de todos los alumos de u istituto si se pesa solamete a los delegados/as y subdelegados/as..- Eucia la població, los idividuos y la muestra del experimeto estadístico cosistete e hallar la achura de los torillos de ua caja si sólo se mide 10 torillos. 3.- Cosidera los siguietes caracteres: el peso de u idividuo, el sexo de u idividuo, la logitud de u torillo, el color de los ojos de ua persoa, el úmero de gajos de ua araja, la profesió de u idividuo. Cuáles de los ateriores caracteres so cuatitativos? 4.- Cosidera los siguietes caracteres: el peso de u idividuo, el sexo de u idividuo, la logitud de u torillo, el color de los ojos de ua persoa, el úmero de gajos de ua araja, la profesió de u idividuo. Cuáles de los ateriores caracteres so cualitativos? 5.- Cosidera las siguietes modalidades: cicueta kilos, mujer, doce cetímetros, azules, 13 gajos, profesor. Cuáles perteece a ua variable cuatitativa? 6.- Cosidera las siguietes modalidades: cicueta kilos, mujer, doce cetímetros, azules, 13 gajos, profesor. Cuáles perteece a ua variable cualitativa? 7.- Cosidera las siguietes variables: alumos de u istituto, talla de u cojuto de persoas, hijos de ua familia, peso de los alumos de u istituto, espectadores de u partido de fútbol, temperaturas de ua ciudad. Cuáles de las ateriores so cotiuas? Cuáles de las ateriores so discretas? 8.- Cosidera las siguietes variables: opiió sobre u partido político, color del pelo, trato recibido e u hotel, sabor de ua comida, calificació de u exame, olor de ua habitació. Cuáles de las ateriores so ordiales? Cuáles de las ateriores so cardiales? 9.- Cosidera las siguietes variables: opiió sobre el sabor de ua comida, opiió sobre si está salada ua comida, estar e posesió de ua tarjeta de crédito, calificació de u exame, olor de ua habitació. Cuáles de las ateriores so dicotómicas? ESTADÍSTICA 7
1..- TABLAS ESTADÍSTICAS. FRECUENCIAS 1.- Tablas estadísticas Las tablas estadísticas so ua forma de presetar la iformació acerca de ua variable estadística. E la primera columa se coloca los valores (x i ), marcas de clase o modalidades de la variable y e las siguietes las frecuecias respectivas. Para tabular los datos procederemos de la siguiete maera: Recogida de datos Ordeació de los datos de meor a mayor, si so uméricos, o e el orde atural, si se trata de ua variable cualitativa omial. Recueto de frecuecias o veces que se repite cada dato. Agrupació de los datos. Se agrupa cuado la variable es cotiua o discreta pero co u úmero muy grade de datos. Existe varios criterios para establecer el úmero de clases, pero éstas o debe ser meos de 5 i más de 0. Se debe procurar que todas las clase tega el mismo tamaño a o ser que haya datos muy dispersos. Marcas de clase: es el puto medio de los extremos de cada clase. Los valores extremos so los límites de clase: L i, y superior, L i+1, Las clases o debe solaparse i teer huecos, es decir, el límite iferior de ua clase, ha de ser igual al límite superior de la aterior pero cada extremo sólo perteece a ua clase, para ello se toma itervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. Costrucció de la tabla estadística: E la tabla aparecerá diversas columas, siedo habitual colocar de izquierda a derecha el valor de la variable, la marca de clase (para datos agrupados) y las frecuecias absolutas y relativas..- Frecuecia absoluta Frecuecia absoluta del valor x i de ua variable estadística y lo represetamos por i es el úmero de veces que se repite dicho valor. Frecuecia absoluta acumulada del valor x i, y la represetamos por N i, a la suma de las frecuecias absolutas de todos los valores ateriores a x i más la frecuecia absoluta de x i : N i = 1 + +... + i = i 3.- Frecuecia relativa i= 1 Frecuecia relativa de u valor x i, y la represetamos por f i, es el cociete etre la frecuecia absoluta de x i, y el úmero total de datos de la distribució: f i = N i. Se trata de i i= 1 u tato por uo f = 1. A veces se utiliza los tatos por cieto y tatos por mil. Frecuecia relativa acumulada del valor x i, y la represetamos por F i, es el cociete etre la frecuecia absoluta acumulada de x i y el úmero total de datos que iterviee e la distribució: F i = f 1 + f +... + f i = 1 N i N i = N 4.- Observacioes i= 1 Las tablas debe llevar u euciado que las explique si teer u texto que las acompañe. Debe icluir los totales de cada columa. Debe idicarse las uidades de medida. Siempre hay que utilizar el mismo úmero de decimales ya que os iforma de la precisió del dato. Suele haber redudacias para facilitar la lectura. ESTADÍSTICA 8
EJEMPLOS 1.- Las otas de los 5 alumos de ua clase de Matemáticas de 1º de Bachillerato so las siguietes: 5 3 4 1 8 9 8 3 6 5 4 1 7 1 9 5 10 1 8 3 8 3 Efectúa la tabla adecuada a dichos datos co frecuecias absolutas, relativas y acumuladas. x i i N i f i F i 1 4 4 0,16 0,16 3 7 0,1 0,8 3 4 11 0,16 0,44 4 13 0,08 0,5 5 3 16 0,1 0,64 6 1 17 0,04 0,68 7 1 18 0,04 0,7 8 4 0,16 0,88 9 4 0,08 0,96 10 1 5 0,04 1,00 5 1.- Las edades de u grupo de persoas so: 3 11 13 4 3 4 5 6 7 3 4 4 5 3 5 6 7 15 4 1 1 4 5 3 6 9 13 6 17 6 13 6 5 1 6 1 costruye la tabla estadística de datos agrupados Clase Marca de clase i N i f i F i [0-5),5 14 14 0,350 0,350 [5-10) 7,5 1 6 0,300 0,650 [10-15) 1,5 7 33 0,175 0,85 [15-0) 17,5 35 0,050 0,875 [0-5),5 37 0,050 0,95 [5-30) 7,5 3 40 0,075 1 40 1 3.- Completa los datos que falta e la siguiete tabla estadística, dode, N y f represeta las frecuecias absoluta, acumulada y relativa, respectivamete. x i i N i f i 1 4 6 0,1 3 15 4 6 0,1 5 31 6 9 0,18 7 4 8 ESTADÍSTICA 9
Para completar la tabla sabemos que la columa de frecuecias absolutas acumuladas N i es la suma de los valores acumulados de la frecuecia absoluta i que la frecuecia relativa f i = i /N siedo N = i y f i = 1. i= 1 i= 1 x i i N i f i 1 4 4 0,08 6 10 0,1 3 5 15 0,10 4 6 1 0,1 5 10 31 0,0 6 9 40 0,18 7 4 44 0,08 8 6 50 0,1 50 1,00 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Las otas de los 30 alumos de ua clase de Filosofía de 1º de Bachillerato so las siguietes: 6 3 5 1 8 9 8 3 7 6 4 5 1 9 5 10 10 3 8 3 9 10 7 1 7 8 Efectúa la tabla adecuada a dichos datos co frecuecias absolutas y relativas..- Las edades de u grupo de persoas so: 3 11 13 4 3 4 5 6 4 5 3 5 3 6 9 13 6 17 6 13 6 5 6 7 15 4 1 costruye la tabla estadística de datos agrupados 3.- Completa la siguiete tabla x i 1 3 4 5 i 1,5 N i 7 f i 0,1 0,5 4.- Sea X ua variable estadística que idica el tiempo de permaecia de quice empleados e ua empresa. Costruye 4 itervalos de igual amplitud siedo el primero [10, 15). X 0 15 16 0 4 0 9 4 15 1 1 1 16 13 5.- Completa la siguiete tabla: Clases [5-30) [40-45) [45-50) Marcas 17,5 7,5 3,5 i 13 5 N i 31 39 f i 0,05 0,0 ESTADÍSTICA 10
1.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS Las tablas estadísticas cotiee la iformació, pero a veces se expresa mediate u gráfico, para hacerla más clara y evidete, su fialidad es etrar por los ojos, ha de ser muy fáciles de iterpretar. No estudiamos pirámides de població, series temporales y gráficos espirales. 1- Diagrama de barras So útiles para datos cualitativos o datos cuatitativos de tipo discreto. Para trazarlos se represeta e el eje de abscisas los valores de la variable, y e el de ordeadas las frecuecias absolutas o relativas. Por los putos marcados e abscisas, se levata trazos gruesos o barras de altura igual a la frecuecia y de la misma achura. E alguos casos iteresa que las barras represete las frecuecias acumuladas co lo cual se tedrá diagrama de barras acumuladas. Si los datos so ordiales hay que colocarlos e el eje de abscisas e el orde lógico. Las alturas puede ser proporcioales a las frecuecias, o estrictamete iguales a ella (e es caso debe advertirse).- Polígoo de frecuecias So útiles para datos cualitativos ordiales o cuatitativos de tipo discreto. Para trazarlos se represeta e el eje de abscisas los valores de la variable, y e el de ordeadas las frecuecias absolutas o relativas. A cada puto de la variable se le asiga u puto del plao de abscisa el valor de la variable y de ordeada su frecuecia. Los putos se ue mediate segmetos. E alguos casos os iteresa que el polígoo ua los extremos de las frecuecias acumuladas y o de las frecuecias. Se utiliza sobre todo, cuado se quiere ver la evolució de las frecuecias al ir tomado valores la variable (si la variable X o está ordeada o iteresa). 3.- Histogramas Se utiliza para represetar distribucioes cuatitativas de variable cotiua. Para costruirlo se represeta sobre el eje de abscisas los límites de la clase. Sobre el mismo eje se costruye uos rectágulos que tiee por base la amplitud de la clase y por altura la ecesaria para que las áreas de estos rectágulos sea proporcioales a las frecuecias respectivas. ESTADÍSTICA 11
E alguos casos os iteresa que los histogramas represete las frecuecias acumuladas y o las frecuecias absolutas. Si algua de las clases extremas es abierta se dibuja co la misma amplitud que los demás. Es el gráfico más utilizado e la ivestigació cietífica. 4.- Diagrama de sectores Se utiliza para distribucioes de variable cualitativa o cuatitativo de tipo discreto. Para dibujarlo debemos teer e cueta que cada sector represeta los distitos valores de la variable. El águlo cetral de cada sector ha de ser proporcioal a la frecuecia absoluta o relativa correspodiete. Es decir: α = 360.h E ocasioes sólo se utiliza u semicírculo, e ese caso el águlo será α = 180.h 5.- Pictogramas So dibujos alusivos a ua distribució estadística y ofrece ua descripció, de ésta mediate su forma o tamaño. Para costruirlo se represeta e el eje de abscisas los valores de la variable y e el eje de ordeadas u dibujo cuyo tamaño es proporcioal a la frecuecia de las clases. Para lograrlo se puede hacer por repetició (de la figura base) o por amplificació (complicado de lograr la proporcioalidad del tamaño). 6.- Cartograma So gráficos que se realiza sobre u mapa, señalado sobre determiadas zoas co distitos colores o tramas la iformació se trata de poer de maifiesto. Estos tipos de diagramas se utiliza para represetar datos relacioados co u área geográfica. Por ejemplo el cartograma de iformació del tiempo. 7.- Diagramas lieales So muy utilizados para mostrar las fluctuacioes de u determiado carácter estadístico co el paso del tiempo. Se suele aprovechar para represetar sobre la misma escala varios diagramas lieales. Por ejemplo, acimietos y defucioes, igresos y gastos. ESTADÍSTICA 1
8.- Observacioes E las gráficas: Se debe idicar claramete las escalas y uidades de medida. Debe explicarse por si solas, por lo tato, el título ha de ser totalmete explicativo. Debe servir para clarificar (o puede ser de difícil iterpretació tal como la figura adjuta) 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 1 3 4 5 6 7 TVE-1 La Autoómicas Atea 3 Tele5 Caal + EJEMPLOS 1. Co las otas de 30 alumos dadas e la tabla adjuta. x i 0 1 3 4 5 6 7 8 9 i 3 1 1 1 3 5 7 5 a) Costruye los diagramas de barras absolutas y acumuladas. b) Costruye el polígoo de frecuecias absolutas y acumuladas a) So los diagramas de las figuras adjutas b) So los polígoos de las figuras adjutas. Costruye el polígoo de frecuecias absolutas y acumuladas de las otas de 30 alumos dadas e la siguiete tabla. Edades [0,5) [5,10) [10,15) [15,0) [0,5) [5,30) i 13 11 6 1 3 ESTADÍSTICA 13
3.- La tasa aual de crecimieto del PIB durate el período 1985-9, e la UE fue la idicada e la tabla. Costruye el cartograma correspodiete. Países % Reio Uido 1 Diamarca 1 Suecia 1 Filadia 1 Grecia 1 Fracia Holada Bélgica Alemaia Austria Italia España 3 Portugal 5 Irlada 5 Es la de la figura adjuta 4.- Costruye el pictograma correspodiete a la tabla que muestra la deuda extera de los países de América Latia e 1987: Países Milloes $ Brasil 101.750 México 100.000 Veezuela 35.880 Chile 0.690 Bolivia 3.340 Figura de la derecha. 6.- Represeta mediate u diagrama lieal los parados existetes y parados que o recibe igua ayuda durate los años 198-85. Año Parados Parados si ayuda 198 1.87 1.43 1983.07 1.67 1984.475 1.8 1985.63 1.759 Es la de la figura adjuta. ESTADÍSTICA 14
4.- Costruye el diagrama de sectores correspodiete a la tabla que muestra la iversió publicitaria (e milloes de dólares) e la Uió Europea (datos de 1986): Países Iversió Alemaia 8.34 Gra Bretaña 6.915 Fracia 4.663 España 3.000 Holada.970 Italia.846 Diamarca 1.084 Bélgica 464 Grecia 164 Irlada 17 Figura de la derecha. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se ha tabulado el peso de los recié acidos durate ua semaa e ua materidad, obteiédose los siguietes resultados: Peso e kg. [.5,.8) [.8, 3.1) [3.1, 3.4) [3.4, 3.7) [3.7, 4.3) Nº de iños 4 10 16 Teiedo e cueta que todos los itervalos o tiee igual amplitud, represeta gráficamete estos datos mediate el procedimieto más adecuado..- Los valores de los datos ua distribució viee dados e la siguiete tabla. A partir de los resultados obteidos represeta el diagrama de barras y de barras acumuladas de la distribució. x 1 3 4 5 6 7 8 4 5 8 7 5 10 7 4 3. La siguiete tabla recoge el tiempo de retraso que sufre e la icorporació a clase los alumos de u istituto: Retraso e miutos [0,4) [4,8) [8,1) [1,16) [16,0) º de alumos 5 15 18 10 4 a) Represeta los datos mediate u histograma. b) A cotiuació represeta los datos mediate u sector circular. c) Es adecuado el uso de este diagrama para la distribució? 4.- El diagrama de la figura estudia la evolució de la iflació medida segú el IPC e España e loa años que media desde 196 a 1997. Co estos datos represeta u diagrama de barras. Auario el País 98 ESTADÍSTICA 15
5.- E la figura adjuta se muestra la veta de ordeadores de diferetes marcas e España durate los años 1993 y 1994. a) Qué empresas ha aumetado vetas y cuáles ha dismiuido vetas?. b) Si se matuviera la misma tasa de aumeto de vetas cuáto se vedería de cada marca e el año 1995?. c) Dibuja u diagrama lieal e que aparezca los mismos datos de este gráfico. 6.- Las vetas (e milloes de pta.) de ua empresa e el año 1997 fuero las dadas e la figura. SNI Digital Apple Ives Compaq Fujitsu HP IBM 0 0.000 40.000 60.000 80.000 100.000 a) Halla la tabla y a partir de ésta u diagrama de sectores b) Cuál es el más útil? 7.- El gráfico siguiete muestra la distribució de la població ocupada e España e 1996. Teiedo e cueta que la població ocupada e España es de 1,5 milloes halla la tabla correspodiete a dicho gráfico. Es posible hallar la media de tal distribució?. 8.- Iterpreta aalíticamete el siguiete diagrama que muestra la evolució de la cotizació peseta - dólar e los años 1991-97. Cuál ha sido la media de la cotizació?. Cuál ha sido el valor máximo?, cuál ha sido el míimo?. Si teemos u milló de pesetas, e que año teemos más y meos dólares?. ESTADÍSTICA 16
1.4.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS Para comparar dos o más distribucioes se dibuja todas ellas e ua misma gráfica. Se puede dibujar diagramas de barras agrupados o, si queremos aalizar la evolució de las frecuecias se represeta los polígoos de frecuecias e la misma gráfica. E ambos casos las frecuecias debe ser relativas para que las gráficas sea comparables. EJEMPLOS 1.- Los siguietes diagramas de sectores correspode a la composició de la Cámara del Parlameto de Adalucía (úmero de escaños obteidos por cada partido) e las eleccioes celebradas e 1994 y 1996: Represeta estos resultados mediate otro procedimieto gráfico. Recogemos los datos de las eleccioes celebradas e 1994 y 1996 e la siguiete tabla estadística: PSOE PP IU PA TOTAL 94 45 41 0 3 109 96 5 40 13 4 109 dado lugar al diagrama de barras de la figura: ESTADÍSTICA 17
.- Se ha medido la altura (e cm) de u grupo de 100 alumos de COU y posteriormete se ha agrupado los datos e itervalos (abiertos por la derecha). Los resultados se represeta e el histograma siguiete. a) Halla la correspodiete tabla de frecuecias (absolutas y relativas). b) Represeta el polígoo de frecuecias acumuladas. E u histograma la frecuecia (relativa o absoluta) de cada clase es proporcioal a las áreas de los rectágulos que aparece. Sea: - a i = amplitud de cada clase. - h i = altura de cada rectágulo. - i = frecuecia absoluta de cada clase. - h i = frecuecia relativa de cada clase. Podemos formar la siguiete tabla: Clases Marcas: x i a i h i i =h i. f i =h i.a i F i (150-165] 157,5 15 0,004 6 0,06 6 (165-170] 167,5 5 0,0 10 0,1 16 (170-175] 17,5 5 0,04 0 0, 36 (175-180] 177,5 5 0,08 40 0,4 76 (180-190] 185 10 0,016 16 0,16 9 (190-10] 00 0 0,004 8 0,08 100 0,164 100 1 b) El polígoo de frecuecias acumuladas es el de la figura siguiete, dode para dibujarla hemos utilizado los datos hallados e la tabla aterior. ESTADÍSTICA 18
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- El diagrama de la figura compara la iflació e u cuatrimestre e España y e la Uió Europea. Halla la tabla correspodiete a dichos datos. A partir de la tabla creada co estos datos represeta u diagrama de barras dode se compare ambas distribucioes. 3,5 1,5 1 0,5 0 Eero Febrero Marzo Abril Mayo España Uió Europea.- Los diagramas de la figura preseta la distribució del comercio miorista e España e los años 1976 y 1979. a) Haz ua tabla que resuma los datos de los diagramas. b) Represeta estos resultados mediate otro procedimieto gráfico. 3.- E la siguiete gráfica se preseta la evolució aual de la flota pesquera española e los años 1977-1986 e porcetaje respecto al existete e 1977 a) Represeta u diagrama de barras dode se compare ambas distribucioes. b) E que año dismiuye más el porcetaje de tripulates? c) E que año dismiuye más el porcetaje de toelaje de embarcacioes? d) Crees que existe ua relació etre el úmero de tripulates y el úmero de embarcacioes? 105 100 95 90 85 80 75 93 9 100 98 97 96 95 95 94 93 9 88 90 86 85 85 8 80 78 77 78 79 80 81 8 83 84 85 86 Tripulates Toelaje ESTADÍSTICA 19
1.5.- EJERCICIOS FINALES 1.- Se ha tabulado el peso de los recié acidos durate ua semaa e ua materidad, obteiédose los siguietes resultados: Peso e kg. [.5,.8) [.8, 3.1) [3.1, 3.4) [3.4, 3.7) [3.7, 4.3) Nº de iños 4 10 16 Teiedo e cueta que todos los itervalos o tiee igual amplitud, represeta gráficamete estos datos mediate el procedimieto más adecuado.. Completa los datos que falta e la siguiete tabla estadística, dode, N y f represeta las frecuecias absoluta, acumulada y relativa, respectivamete: x N f 1 4 0,08 4 3 16 0,16 4 7 0,14 5 5 8 6 38 7 7 45 0,14 8 A partir de los resultados obteidos represeta el diagrama de barras y de barras acumuladas de la distribució. 3. La siguiete tabla recoge el tiempo de retraso que sufre e la icorporació al trabajo los empleados de ua empresa: Retraso e miutos [0,4) [4,8) [8,1) [1,16) [16,0) º de empleados 5 15 18 10 4 Represeta los datos mediate u histograma. A cotiuació represeta los datos mediate u sector circular. Es adecuado el uso de este diagrama para la distribució? 4.- La població e alguos países de la Uió Europea durate 1993 es la dada e la tabla adjuta. Haz ua represetació tipo pictograma de dicha distribució. Países Població (miles) R. F. Alemaa 80.614 Gra Bretaña 57.959 Fracia 57.530 Italia 56.933 España 39.114 Holada 15.39 Bélgica 10.068 5.- Iterpreta aalíticamete el siguiete diagrama que muestra la evolució de la cotizació peseta- dólar e los últimos años. ESTADÍSTICA 0
Cuál ha el valor máximo de la cotizació?. Cuál ha el valor míimo de la cotizació?. Si tuviéramos u milló de pesetas, e que año hubiéramos teido más dólares?, y meos?. 6.- E el siguiete gráfico se muestra la evolució del PIB e España e los últimos 7 años: a) E qué años ha crecido dicho PIB por ecima del 4%? b) E qué años ha crecido dicho PIB por debajo del 0%? c) Cuál ha sido la media de crecimieto e dichos años? d) Si e el año 1994 el PIB era de 60 billoes de pesetas, cuáto vale e 1997? 7.- Las putuacioes obteidas por 0 persoas e ua prueba queda reflejadas e el siguiete histograma. a) Costruye la tabla adecuada a los siguietes datos. b) Efectúa au diagrama de sectores a partir de dicha tabla. c) Es adecuado dicho diagrama? 8.- U jugador de balocesto aota, cada domigo, el úmero de putos que ecesta e el partido de liga. Las aotacioes de los diez últimos ecuetros so las siguietes: Aotacioes 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10 Represeta e u diagrama de barras la distribució utilizado las frecuecias absolutas acumuladas. ESTADÍSTICA 1
9.- Los siguietes datos idica el tiempo, e años, de permaecia de 15 empleados e ua empresa: Permaecia 10 15 16 0 4 5 1 1 6 13 a) Costruye 6 itervalos de clase de igual amplitud siedo el primero (0, 5]. b) Represeta el histograma de frecuecias absolutas. 10.- El diagrama de barras muestra las calificacioes obteidas por u grupo de 50 alumos. Calcula la calificació media, teiedo e cueta el siguiete cuadro de equivalecias: Notas Itervalo Suspeso [0,5) Aprobado [5,7) Notable [7,9) Sobresaliete [9,10) 11.- El gráfico muestra la distribució de la població activa e España. Teiedo e cueta que la població activa e España es de 15, milloes halla la tabla correspodiete a dicho gráfico. 1.- Los siguietes datos correspode a la altura e cetímetros de los alumos de ua determiada clase: 151, 153, 156, 157, 157, 160, 161, 16, 163, 164, 165 167, 168, 169, 170, 171, 17, 177, 178, 18, 183 Realiza ua represetació gráfica. 13.- Los pesos de los 100 alumos de ua clase viee dados por la siguiete tabla: Peso [40-48] [48-56] [56-64] [64-7] [7-80] Frecuecia 1 3 5 18 Efectúa ua represetació tipo histograma de dicha distribució. 14.- E u estudio sobre la edad de 100 persoas se ha obteido los siguietes datos: Edad [15-5] [5-35] [35-45] [45-55] [55-65] [65-75] Frecuecia 8 17 35 0 18 Represeta gráficamete los datos. ESTADÍSTICA
CAPÍTULO : DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES.1.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Las medidas de cetralizació de ua distribució estadística so las que idica como se ecuetra el resto de valores de la variable co respecto a él. Las medidas de cetralizació más importates so media aritmética, moda, mediaa. Existe otras que o estudiaremos, como media geométrica o media armóica. 1.- Media aritmética La media aritmética de ua variable estadística es el cociete etre la suma de todos los valores de dicha variable y el úmero de valores. Se represeta por x. La fórmula para su cálculo es: x1 1 + x +...+ x 1 x = = xi + +...+ N 1 i Siedo: x x i i N media aritmética valores de la variable frecuecia absoluta asociada a los valores ateriores úmero total de datos de la distribució Cosideracioes: Es la medida de cetralizació más empleada e la Estadística. E el caso de distribucioes cotiuas el cálculo de la media se efectúa co la misma fórmula pero tomado como valor de la variable la marca de clase de cada itervalo. La media viee dada e las mismas uidades que la variable Si la distribució posee valores extremos raros y poco sigificativos se produce ua distorsió de la media. Por ejemplo si queremos hallar la talla media de los alumos de ua clase y u alumo mide 1,45 m dicho valor alterará la talla media de la clase. A veces se elimia los valores extremos para hallar la media de forma sigificativa. No es posible calcular la media: - Si los datos de la distribució so cualitativos. - Cuado la distribució es cotiua co algua clase abierta. Se puede calcular la media tomado extremos ficticios de la clase abierta que haga todas las clases del mismo tamaño. Si a todos los valores de ua distribució se les suma u mismo valor la media aumeta e 1 1 dicho valor. (xi + C) i = xi i + C N N Si todos los valores de ua distribució se multiplica por u mismo valor la media se 1 1 multiplica por dicho valor (xi. C) i = xi i.c N N La suma de las desviacioes de los valores de la variable respecto de la media aritmética es ( i i siempre ula. x x) ESTADÍSTICA 3
.- Moda Moda de ua variable estadística es el valor de dicha variable que preseta la mayor frecuecia absoluta. La moda se represeta por M o La moda o tiee por qué ser úica, puede haber varios valores de la variable (, 3, etc..) co la mayor frecuecia. E este caso se dice que es bimodal, trimodal, etc.. A veces se cosidera moda al valor que es mayor que los próximos auque o sea el de mayor frecuecia. 10 8 6 4 0 M0 M1 Cálculo: Datos simples: M o será el valor x i de mayor frecuecia i. Si todos los datos de ua distribució tiee la misma frecuecia, esa distribució o tiee moda. Datos agrupados: El itervalo modal será el itervalo de mayor frecuecia i, la moda M o será el valor: M 0 = D1 L i + C D1 + D dode: L i límite iferior de la clase modal. c amplitud de los itervalos. D 1 frecuecia absoluta de la clase modal meos la de la clase aterior ( i - i-1 ) D frecuecia absoluta de la clase modal meos la de la clase siguiete ( i - i+1 ) Cosideracioes: La moda es meos represetativa que la media aritmética, pero es se puede hallar cuado se trata de distribucioes de datos cualitativos. E la moda o iterviee todos los datos de ua distribució. Auque es ua medida de cetralizació, es frecuete ecotrarla e los extremos de la distribució, e cuyo caso o es demasiado represetativa de los valores cetrales. Cálculo gráfico Para distribucioes cotiuas se puede obteer la moda co cierta aproximació de forma gráfica. Para ello se represeta el histograma de frecuecias absolutas y a cotiuació se ue cada extremo de la clase modal co el extremo correspodiete de las cotiguas, tal como se ve e la figura. La moda M o viee dada por la abscisa del puto de corte. 3.- Mediaa Mediaa de ua variable estadística u valor de la variable, tal que el úmero de observacioes meores que él es igual al úmero de observacioes mayores que él. La mediaa de ua variable se represeta por M e. La mediaa siempre es u valor úico, al cotrario que la moda. E caso de existir u úmero par de datos se toma la media de los dos valores cetrales como mediaa. ESTADÍSTICA 4
Cálculo: Datos simples: Se ordea los datos de meor a mayor, la mediaa será. Si el valor cetral de la variable es úico, el térmio cetral. Si hay dos valores cetrales, se toma como mediaa la semisuma de esos dos valores cetrales. Datos agrupados: La mediaa viee dada por el primer valor de la variable cuya frecuecia absoluta acumulada (F i ) excede a la mitad del úmero de datos. Para ello se costruye la columa de frecuecias acumuladas y se calcula dode está el valor medio. Si la mitad del úmero de datos coicide co la frecuecia absoluta acumulada (F i ) de u valor, M e es la semisuma etre ese valor y el siguiete de la tabla. Si la variable es cotiua: Calculamos la clase mediaa de forma similar al caso discreto. Para obteer u valor aproximado de la mediaa seleccioamos primero la clase mediaa y luego aplicamos la fórmula: N - Ni-1 M e = Li + c i dode: L i límite iferior de la clase mediaa c amplitud del itervalo N º de datos N i-1 frecuecia absoluta acumulada de la clase aterior a la clase mediaa i frecuecia absoluta de la clase mediaa. Cosideracioes La mediaa es muy útil cuado: - existe algú valor raro que afecta a la media. - los datos está agrupados e clases, siedo algua de ellas abierta. La mediaa es u parámetro que depede del orde e que esté situados los datos y o de su valor. Para distribucioes cotiuas o agrupadas que se pueda represetar mediate u histograma, la mediaa es el valor de la variable que divide al histograma e dos partes de igual área. Cálculo gráfico Para hallar gráficamete la mediaa se represeta el polígoo de frecuecias relativas acumuladas (F i ). Situamos e el eje de abscisas la variable y e el eje de ordeadas los porcetajes correspodietes. Se traza ua paralela al eje X por el puto correspodiete al 50 %. La abscisa del puto de corte de esa paralela co la gráfica os da la mediaa. EJEMPLOS 1.- U jugador de balocesto aota, cada domigo, el úmero de putos que ecesta e el partido de liga. Las aotacioes de los últimos diez ecuetros, jugados por su equipo, se muestra e el siguiete cuadro ESTADÍSTICA 5
Ecuetro 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Aotacioes 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10 Halla la media de las aotacioes. Para hallar la media utilizamos la siguiete tabla Siedo su valor: 1 118 x = xi i = = 11,8 putos N 10 x i i x i i 7 1 7 8 1 8 9 1 9 10 4 40 17 1 17 18 1 18 19 1 19 10 118.- Dada la distribució estadística I i (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,0] (0,5] (5, 30] i 4 6 7 10 1 Calcula la media. Costruimos la siguiete tabla auxiliar. De ella obteemos: Clases Marcas: x i i x i i (0-5],5 4 10 (5-10] 7,5 6 45 (10-15] 1,5 7 87,5 (15-0] 17,5 10 175 (0-5],5 45 (5-30] 7,5 1 7,5 30 390 x = 1 390 xi i = = 13 N 30 3.- Halla la media de siguiete distribució estadística Color de ojos azul verde egro castaño i 4 6 5 10 ESTADÍSTICA 6
No es posible calcular la media ya que so datos de tipo cualitativo 4.- Dada la distribució estadística. Calcula la media. edad meor de 18 18 a 40 40 a 60 mayor que 60 º 50 154 756 43 No es posible calcular la media ya que hay dos clase (meores de 18 años y mayores de 60) que so abiertas, además las clases itermedias o tiee el mismo tamaño y el úmero de clases es muy reducido para la catidad de datos que hay. El valor de la media así obteida o tedría igú iterés. 5.- Cosidera los datos 1,, 3, 4 y 5. a) Calcula su media. b) Si sumas 10 a cada uo de los datos ateriores, cuáto vale la media? c) Si multiplicas por 5 cada uo de los datos ateriores, cuáto vale la media? 1 15 a) Su media es: x = xi i = = 5 N 5 b) Si a los valores de la distribució se les suma ua costate la media aumeta e dicho valor: x = x + 10 = 5+10 = 15. c) Si todos los valores de ua distribució se multiplica por ua costate la media se multiplica por dicho valor: x = 5. x = 5.5 = 5. 6.- U jugador de balocesto aota, cada domigo, el úmero de putos que ecesta e el partido de liga. Las aotacioes de los últimos diez ecuetros, jugados por su equipo, se muestra e el siguiete cuadro Ecuetro 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Aotacioes 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10 Halla la moda de las aotacioes. Para hallar la moda utilizamos la siguiete tabla x i 7 8 9 10 17 18 19 i 1 1 1 4 1 1 1 La moda es el valor más frecuete, por lo tato M o = 10 putos. 7. Dada la siguiete distribució: Calcula su moda. x i 1 3 4 5 6 i 6 7 14 10 14 9 Las modas so M o = 3 y M o '= 5. La distribució es por lo tato bimodal. ESTADÍSTICA 7
8.- Dada la distribució estadística I i (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,0] (0,5] (5, 30] i 4 6 7 10 1 Calcula la moda. El Itervalo modal es el de mayor frecuecia absoluta (15-0]. Para hallar el valor de la moda aplicamos la fórmula de iterpolació: D1 10-7 M 0 = L i + C = 15 + 5 = 16,36 D + D (10-7) + (10 - ) 1 9.- La superficie sembrada (e miles de Ha) de leteja e España durate los años de 1970 a 1974 fue: Año 1970 1971 197 1973 1974 1975 Superficie 68 75 87 99 105 115 calcula la superficie modal. No existe moda ya que o hay igú valor cuya frecuecia se repita. 10.- La superficie sembrada (e miles de Ha) de leteja e España durate los años de 1970 a 1974 fue: Año 1970 1971 197 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105 calcula la superficie mediaa. Se coloca los valores de la superficie ordeados. La mediaa se obtiee buscado el valor que deja la mitad de la distribució a la izquierda; como N/=,5 el primer valor de la variable cuya frecuecia absoluta acumulada excede a,5 es M e = 87. 11.- La superficie sembrada (e miles de Ha) de leteja e España durate los años de 1970 a 1974 fue: Año 1970 1971 197 1973 1974 1975 Superficie 68 75 87 99 105 115 calcula la superficie mediaa. Calculamos N/ = 3 (valor par), el valor de la mediaa es: 87 + 99 M e = = 93 1.- Dada la distribució de frecuecias de la tabla adjuta, se pide: x i 1 3 4 5 i 1 4 1 Calcula el valor de la mediaa. ESTADÍSTICA 8
Para calcular la mediaa utilizamos la tabla adjuta: x i 1 3 4 5 N i 1 3 7 9 10 La mediaa, M e, se promediado los valores itermedios ya que el resultado es par, N/ = 5. Observamos e la columa de frecuecias absolutas agrupadas los valores 3 + 3 que ocupa los lugares 5º y 6º: M e = = 3 13.- Dada la distribució estadística I i (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,0] (0,5] (5, 30] i 4 6 7 10 1 Calcula la mediaa. Utilizamos la tabla auxiliar: I i (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,0] (0,5] (5, 30] N i 4 10 17 7 9 30 La clase mediaa es (10, 15], pues la frecuecia absoluta acumulada es 17, mayor que 30/, por lo tato teemos: N - F M e = Li + c. i i-1 30-10 = 10 + 5. = 13,57 7 14.- Dada la distribució estadística I i (38, 44] (44, 50] (50,56] (56,6] (6,68] (68, 74] (74, 80] i 7 8 15 5 18 9 6 Calcula la mediaa gráficamete. Utilizamos la tabla adjuta, siedo la mediaa la del segmeto de la figura. I i N i (38-44] 7 (44-50] 15 (50-56] 30 (56-6] 55 (6-68] 73 (68-74] 8 (74-80] 90 ESTADÍSTICA 9
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- El úmero de goles aotados por u equipo de fútbol e los partidos de liga, se muestra e el siguiete cuadro Ecuetro 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Aotacioes 1 1 4 1 3 0 1 3 Halla la media, mediaa y moda de las aotacioes. Solució: x = 1,8; M e = 1,5; M 0 = 1..- Dada la distribució estadística x i (0, 6] (6, 1] (1, 18] (18,4] (4,30] i 6 7 10 5 Calcula la media, mediaa y moda. Solució: x =17; M e = 18; M 0 = 0,5. 3.- Halla la media de la siguiete distribució estadística Color del cabello rubio pelirrojo egro castaño Solució: No se puede hallar. 4.- Dada la distribució estadística Calcula la media. i 4 6 5 10 edad meor de 15 15 a 30 30 a 50 mayor que 50 º 450 154 656 143 Solució: No se puede hallar. 5.- Cosidera los datos, 4, 6, 8 y 10. a) Calcula su media. b) Si sumas 5 a cada uo de los datos ateriores, cuáto vale la media? c) Si multiplicas por 10 cada uo de los datos ateriores, cuáto vale la media? Solució: a) x = 6, b) x +5 = 11, c)10 x = 60. 6. Dada la siguiete distribució: x i 1 3 4 5 6 i 6 5 4 10 4 1 Calcula su moda y mediaa. Solució: M e = 3,5; M 0 = 4. 7. Dada la siguiete distribució: x i 1 3 4 5 i 6 5 4 10 4 Calcula su moda y mediaa. Solució: M e = 3, M 0 = 4. 8.- Dada la distribució estadística ESTADÍSTICA 30
I i (0, 10] (10,0] (0, 30] (30,40] (40,50] i 1 6 7 4 Calcula la moda y mediaa. Solució: M e = 4,3; M 0 =,5. 9.- Dada la distribució estadística Calcula la moda gráficamete. Solució: M 0 = 66,7. I i (30, 40] (40, 50] (50,60] (60,70] (70,80] i 7 8 15 5 0 10.- Dada la distribució estadística I i (30, 40] (40, 50] (50,60] (60,70] (70,80] i 7 8 15 5 0 Calcula la mediaa gráficamete. Solució: M e = 63. 11.- Completa los datos que falta e la siguiete tabla de distribució de frecuecias, dode i, N i y f i represeta, respectivamete, la frecuecia absoluta, la frecuecia absoluta acumulada y la frecuecia relativa de la variable X. X 1 3 4 5 6 7 8 i 4 4 7 5 7 N i 3 38 45 f i 0,08 0,16 Calcula la media y moda de la distribució aterior. Solució: x = 4,76; M 0 = 6; M e = 5. 1. Completa la siguiete tabla de distribució de frecuecias, sabiedo que la media de la variable de X es 3, ( i represeta las frecuecias absolutas y N i las frecuecias absolutas acumuladas). X 1 3 4 5 i 16 8 N i 9 5 Calcula la moda y mediaa de la distribució aterior. Solució: M e = 3; M 0 = 3. 13.- Se cosidera la tabla estadística siguiete: X 4 a 3 5 Y 1 1 1 3 dode a es ua icógita. Calcula el valor de a sabiedo que la media de X es 3. Solució: a = 1. ESTADÍSTICA 31
..- MEDIDAS DE POSICIÓN 1.- Defiició Las medidas de posició se llama cuatiles o percetiles y sirve para idicar la posició de alguos putos importates de la distribució. Divide a la muestra ordeada e partes iguales. Los percetiles so los 99 valores que divide la distribució e 100 partes iguales. Se deota por P 1, P,...P 99 y se desiga por percetil primero, segudo, etc... Alguos percetiles cocretos so la mediaa y los cuartiles, quitiles y deciles. Mediaa: Es ua medida de posició que deja por debajo de ella el 50% de los valores de la distribució. Si la variable o es cuatitativa o cualitativa ordial o se puede calcular. Correspode al percetil M e = P 50. Cuartiles: Se llama cuartiles a los tres valores que divide a la serie de datos e cuatro partes iguales. Se represeta por Q 1, Q, Q 3 y se desiga cuartil primero, segudo y tercero respectivamete. Correspode a los percetiles Q 1 = P 5, Q = P 50, Q 3 = P 75. Quitiles: Se llama quitiles a los cuatro valores que divide a la serie de datos e cico partes iguales. Se represeta por K 1, K, K 3, K 4 y se desiga quitil primero, segudo, tercero y cuarto, respectivamete. Correspode a los percetiles K 1 = P 0, K = P 40, K 3 = P 60, K 4 = P 80, Deciles: Se llama deciles a los ueve valores que divide a la distribució e 10 partes iguales. Se represeta por D 1, D,..., D 9 y de desiga decil primero, segudo, etc... Correspode a los percetiles D 1 = P 10,..., D 9 = P 90,.- Cálculo Todos los cuatiles se expresa a partir de u percetil, es suficiete apreder a calcular estos. Datos simples: U percetil P i viee dado por el primer valor de la variable cuya frecuecia N absoluta acumulada (N i ) excede a i.. Para ello se costruye la columa de frecuecias 100 absolutas acumuladas y se calcula dode está dicho valor. Si coicide co la frecuecia absoluta acumulada de u valor, P i es la semisuma etre ese valor y el siguiete. Datos agrupados: Calculamos la clase del percetil de forma similar al caso discreto. Para obteer el valor cocreto del percetil aplicamos la fórmula: N i. - Ni-1 100 P i = Li + c i Dode: L i = límite iferior de la clase a la que perteece el percetil c = amplitud del itervalo N = º de datos N i-1 = frecuecia absoluta acumulada de la clase aterior a la que perteece el percetil i = frecuecia absoluta de la clase a la que perteece el percetil 3.- Observacioes Auque a veces se icluye los cuatiles detro de los parámetros de cetralizació por ser la mediaa u parámetro de posició situado e el cetro, puede estar situados e los extremos de la distribució, por ejemplo P 90, de ahí que o los cosideremos como tales y los llamemos parámetros de posició. ESTADÍSTICA 3
So parámetros estadísticos muy usados, sobre todo e las Ciecias Sociales y Biosaitarias. Se les suele llamar parámetros de posició porque sitúa la distribució respecto de ellos. 4.- Cálculo gráfico Se represeta el polígoo de frecuecias relativas acumuladas (F i ) e %, situado e el eje de las X la variable (si es discreta) o los itervalos, y e el eje Y los porcetajes correspodietes. Se traza ua paralela al eje X por el puto correspodiete al cuatil deseado, esta recta corta al polígoo de frecuecias e u puto; por éste se traza ua paralela al eje Y. El puto del eje X dode corta esta última paralela es el cuatil buscado EJEMPLOS 1.- Dada la distribució de frecuecias de la tabla adjuta, se pide: x i 1 3 4 5 i 1 4 1 el valor de la expresió E = Q 3 -M o +Q 1 -M e, dode Q 3 y Q 1 so respectivamete el tercer y primer cuartil, M O es la moda y M e la mediaa. Para hallar los valores pedidos utilizamos la tabla adjuta: x i i N i 1 1 1 3 3 4 7 4 9 5 1 10 10 Q 3 es el tercer cuartil, para hallarlo buscamos el valor que deja las tres cuartas parte de la distribució a la izquierda; como 3N/4 =7,5 el primer valor de la variable cuya frecuecia absoluta acumulada excede a 7,5 es 4. Q 1 es el primer cuartil, para hallarlo buscamos el valor que deja la cuarta parte de la distribució a la izquierda; como N/4 =,5 el primer valor de la variable cuya frecuecia absoluta acumulada excede a,5 es. M e, mediaa, es el valor cetral. El primer valor de la frecuecia absoluta N acumulada que supera = 5 es 3 M o, moda, es el valor más frecuete, por lo tato M o = 3. El valor de la expresió pedida es: Q 3 -M o +Q 1 -M e = 4-3 + - 3 = 0 ESTADÍSTICA 33
.- Dada la distribució de frecuecias de la tabla adjuta, se pide: x i 1 3 4 5 6 7 8 i 4 6 5 6 10 9 4 6 el segudo decil y los percetiles P 40 y P 70. Para calcular los parámetros pedidos utilizamos la tabla siguiete. x i i N i 1 4 4 6 10 3 5 15 4 6 1 5 10 31 6 9 40 7 4 44 8 6 50 50 El segudo decil D deja el 0% de la distribució a la izquierda; como.n/10 = 10 coicide co la frecuecia absoluta acumulada del valor, D + 3 será la semisuma etre ese valor y el siguiete: D = =,5. N 50 P 40 deja a la izquierda el 40% de los datos: 40 = 40 = 0. 100 100 Por lo tato P 40 = 4 P 70 deja a la izquierda el 70% de los datos: Por lo tato P 70 = 6 N 70 = 100 50 70 = 35. 100 3.- Se ha aplicado u test sobre satisfacció e el trabajo a 90 empleados de ua fábrica, obteiédose los siguietes resultados: Putuacioes (38-44] (44-50] (50-56] (56-6] (6-68] (68-74] (74-80] Nº trabajadores 4 1 10 30 0 8 6 Calcula el primer y tercer cuartil. Utilizamos la tabla auxiliar: Clases i N i (38-44] 4 4 (44-50] 1 16 (50-56] 10 6 (56-6] 30 56 (6-68] 0 76 (68-74] 8 84 (74-80] 6 90 90 ESTADÍSTICA 34
El itervalo correspodiete al primer cuartil es (50,56]. La fórmula para calcularlo es: N - 90 Fi-1-16 4 Q 1 = Li + c. = 50 + 6. 4 = 53,9 10 i y el correspodiete al tercer cuartil es (6,68]. La fórmula para calcularlo es: N 90 3 - Fi-1 3-56 4 Q 3 = Li + c. 4 = 6 + 6. = 65,45 0 Siedo e ambos casos: i L i = límite iferior de la clase del cuartil correspodiete F i-1 = frecuecia absoluta acumulada de la clase aterior a la del cuartil correspodiete i = frecuecia absoluta de la clase del cuartil correspodiete 4.- U test aplicado a 50 alumos de 1º de Bachillerato ha dado los siguietes resultados: Putuacioes [0,5) [5,30) [30.35) [35,40) [40,45) [45,50) Nº de alumos 8 13 18 5 4 a) Calcula la putuació mediaa. b) Calcula a partir de que putuació se ecotrará el 5 % de la clase co putuació más baja. Para hallar los valores pedidos e este ejercicio utilizamos la siguiete tabla: Clases i N i [0,5) 8 8 [5-30) 13 1 [30,35) 18 39 [35-40) 5 44 [40,45) 4 48 [45-50) 50 50 a) La mediaa deja a ambos lados el 50% de la distribució. El itervalo correspodiete a la mediaa se busca mediate N/ = 5 y resulta ser el itervalo [30,35). La fórmula para hallar la mediaa es: N 50 - Ni-1-1 M e = + c. Li = 30 + 5. = 31,11 18 siedo: i L i = límite iferior de la clase mediaa. N i-1 = frecuecia absoluta acumulada de la clase aterior a la de la mediaa. i = frecuecia absoluta de la clase mediaa. ESTADÍSTICA 35
b) El valor pedido es el percetil 5 o primer cuartil. El itervalo correspodiete al primer cuartil se busca mediate N/4 = 1,5 que perteece al itervalo [5, 30). La fórmula para hallarlo es: N 50 - Ni-1-8 Q 1 = + c. 4 Li = 5 + 5. 4 = 6,73 13 i 5.- Dada la distribució estadística I i (38, 44] (44, 50] (50,56] (56,6] (6,68] (68, 74] (74, 80] i 7 8 15 5 18 9 6 Calcula gráficamete el primer y tercer cuartil. Utilizamos la tabla auxiliar: I i i N i N i (38, 44] 7 7 7 (44, 50] 8 15 15 (50,56] 15 30 30 (56,6] 5 55 55 (6,68] 18 73 73 (68, 74] 9 8 8 (74, 80] 6 88 88 Los cuartiles so los dados por los segmetos rayados e la figura adjuta. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- La superficie sembrada (miles de Ha) de letejas e España e los años de 1970 a 1974 fue: Año 1970 1971 197 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105 Calcula la producció mediaa y el percetil 60 de la superficie. Solució: M e = 87, P 60 = 93..- Dada la distribució estadística I i (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,0] (0,5] (5, 30] i 4 6 7 10 1 Calcula el primer y tercer cuartil. Solució: Q 1 = 7,9; Q 3 = 17,75. 3.- La tabla siguiete represeta la distribució de las calificacioes obteidas por 150 estudiates de u curso Calificacioes (0,] (-4] (4-6] (6-8] (8-10] Nº de estudiates 10 50 55 5 10 Calcula la mediaa y el primer cuartil. Solució: M e = 4,54; Q 1 = 3,1. ESTADÍSTICA 36
4.- Se ha medido la altura (e cm) de u grupo de 100 alumos y posteriormete se ha agrupado los datos e itervalos (abiertos por la derecha). Los resultados se represeta e el histograma siguiete. a) Halla la mediaa y el tercer cuartil. b) Ecuetra u itervalo que abarque el 60% de la població. Solució: a) M e =176,1 cm, Q 3 =178,69 cm, b) U posible itervalo es (150,178]. 5.- Se ha pregutado a u grupo de deportistas las horas que dedica a etreamieto durate el fi de semaa. Los resultados aparece e la siguiete distribució de frecuecias Horas [0,0.5) [0.5,1.5) [1.5,.5) [.5,4) [4,8] Persoas 10 10 18 1 1 Calcula el tercer cuartil. Solució: La clase del cuartil es [.5,4). Q 3 = 3,56 horas. 6.- Sea X ua variable estadística que idica el tiempo, e años, de permaecia de quice empleados e ua empresa X 10 15 16 0 4 30 9 4 5 1 1 6 13 a) Costruye 6 itervalos de clase de igual amplitud siedo el primero (0,5]. b) Calcula la mediaa. Solució: Me = 16 años. Si se calcula co clase obteemos el valor aproximado 16,5 años. 7.- Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto alimeticio e 16 comercios, elegidos al azar e u barrio de la ciudad, y se ha ecotrado los siguietes precios: 95 108 97 11 99 106 105 100 99 98 104 110 107 111 103 110 a) Costruye 4 itervalos de clase de igual amplitud siedo el primero [95, 100) b) Calcula la mediaa y el percetil 40. Solució: M e = 105; P 40 = 10,3. 8.- Se ha aplicado u test sobre satisfacció e los estudios a 100 estudiates, obteiédose los siguietes resultados. Calcula el primer y tercer cuartil gráficamete. Putuacioes (38-44] (44-50] (50-56] (56-6] (6-68] (68-74] (74-80] Estudiates 10 1 16 30 0 8 6 Solució: Q 1 = 51,7; Q 3 = 64,7. 9.- U test aplicado a 100 alumos de º de Bachillerato ha dado los siguietes resultados: Putuacioes [0,5) [5,30) [30.35) [35,40) [40,45) [45,50) Nº de alumos 18 3 8 15 9 7 a) Calcula la putuació mediaa. b) Calcula a partir de que putuació se ecotrará el 40 % de la clase co meor putuació. Solució: 10.- Dada la distribució estadística de la superficie de las ficas de u pueblo Superficie (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,0] (0,5] º de ficas 10 3 4 1 Calcula y explica el sigificado de los cuartiles. Solució: Q 1 = 6; Q = 8,; Q 3 = 15. ESTADÍSTICA 37
.3.- REPRESENTACIÓN BOX-WHISKER 1.- Defiició La traducció del termio Box-Whisker es la de caja co bigotes., e ocasioes se dice simplemete gráfico de caja. Realiza ua sítesis gráfica de cico parámetros de ua distribució: la mediaa, los cuartiles primero y tercero y los valores máximo y míimo..- Cálculo Para costruir ua caja co bigotes se lleva a ua escala graduada los siguietes datos: Q 1, M e, Q 3, y los valores máximo y míimo de la variable x. Se efectúa los pasos siguietes Se dibuja ua caja estrecha que ua los cuartiles 1º y 3º de la distribució. Se dibuja ua barra vertical que atraviese la caja e la posició de la mediaa. Se dibuja dos segmetos horizotales que ua los extremos de la caja co los valores míimo y máximo de la distribució. 3.- Observacioes U gráfico Box-Whisker da ua aproximació rápida a ciertas características de la distribució: localizació, dispersió y simetría. La barra de la mediaa muestra la localizació o cetro de los datos. La logitud de la caja muestra la dispersió de la mitad cetral de los datos, los segmetos muestra la dispersió de la mitad extrema de los datos. Si el gráfico es simétrico respecto de la barra cetral, los datos será aproximadamete simétricos respecto de la mediaa. Si la distacia etre la barra y el extremo derecho es mayor que co el lado izquierdo la distribució preseta asimetría hacia la derecha y viceversa. Los gráficos de caja co bigote so especialmete efectivos para comparar dos o más cojutos de datos. EJEMPLOS 1.- Obté las represetacioes Box-Whisker que compara las distribucioes de las calificacioes de los alumos y alumas e ua prueba de idioma. Alumos: 68, 65, 65, 70, 7, 73, 74, 79, 79, 79, 80, 81, 8, 84, 85, 88, 89, 90, 91, 91, 9, 96 Alumas: 65, 73, 78, 78, 8, 83, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 91, 9, 93, 94, 95, 95, 96, 97, 98. La represetació Box-Whisker es la de la figura adjuta: ESTADÍSTICA 38