13 Cotraste de hipótesis 1. Cotraste de hipótesis Piesa y calcula Se uiere cotrastar ue la estatura media de ua població de jóvees es 170 cm, y se sabe ue la desviació típica de la població es de 10 cm. Se toma ua muestra de tamaño 64; y se obtiee, co u ivel de cofiaza del 95%, el itervalo de cofiaza (167,5; 172,5) a) Qué probabilidad se tiee de ue, e ua muestra de tamaño 64, la media sea 171 cm? b) Qué probabilidad se tiee de ue, e ua muestra de tamaño 64, la media esté fuera del itervalo? a) El 95% b) El 5% Aplica la teoría 1. Los gastos corrietes por empleado de los distitos departametos de ua empresa sigue ua distribució ormal co desviació típica de 300. E ua muestra de 16 departametos, se ha obteido u gasto medio por empleado de 1 350. Determia, para u ivel de cofiaza del 99%, si el gasto corriete medio por empleado e la empresa es de 1 280 a) Platea la hipótesis ula y la alterativa. b) Determia la regió crítica del cotraste. c) Halla el estadístico del cotraste. d) Acepta o rechaza la hipótesis ula. Població 1 280 300 Se desea cotrastar ue los gastos so 1 280 Muestra 1 350 16 : µ = 1 280 : µ?1 280 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,58 La regió de aceptació es ( 2,58; 2,58) 1 350 1 280 z = ~ N(0, 1) ò z = = 0,93 300 16 Como 0,93 é( 2,58; 2,58), se acepta la hipótesis ula co ua probabilidad del 99% 2. El úmero de reclamacioes presetadas durate la campaña de Navidad e 9 tiedas de ua empresa ha sido: 25, 31, 28, 30, 32, 20, 22, 34, 30 El úmero de reclamacioes sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 5. Se desea cotrastar si el úmero medio de reclamacioes es 26, co u ivel de sigificació de 0,05 a) Platea la hipótesis ula y la alterativa. b) Determia la regió crítica del cotraste. c) Halla el estadístico del cotraste. d) Acepta o rechaza la hipótesis ula. Sx La media de la muestra es: i = 28 9 Població 26 5 Muestra 28 9 Se desea cotrastar ue el úmero medio de reclamacioes es 26 : µ = 26 : µ?26 366 SOLUCIONARIO
28 26 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,2 5 9 Como 1,2 é( 1,96; 1,96), se acepta la hipótesis ula co ua probabilidad del 95% 2. Cotraste de hipótesis para la media Piesa y calcula Calcula z a/2 y z a e los casos siguietes: a) P(z < z a ) = 0,95 b) P(z < z a ) = 0,99 c) P( z a/2 < z < z a/2 ) = 0,95 d) P( z a/2 < z < z a/2 ) = 0,99 a) z a = 1,64 b) z a = 2,33 c) z a/2 d) z a/2 = 2,58 Aplica la teoría 3. El evasado e botes de u producto sigue ua distribució ormal de desviació típica 0,2 cm 3. E los botes se idica ue la catidad es de 10 cm 3. Se elige al azar 7 de estos botes y se mide sus coteidos, obteiédose los resultados: 9,6 10 10,1 9,7 9,7 10 9,5 Se puede asegurar, co u ivel de cofiaza del 95%, ue la capacidad media de los botes es la ue se idica e el evase? Sx La media de la muestra es: i = 9,8 cm 3 7 Població 10 Se desea cotrastar ue la catidad media de los botes es 10 cc : µ = 10 : µ?10 1 a = 0,95 ò z a/2 9,8 10 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,65 0,2 7 Como 2,65 è ( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. La diferecia de la muestra o se debe al azar y es lógico pesar ue o es verdad ue el coteido medio sea de 10 cc 0,2 Muestra 9,8 7 4. Ua empresa garatiza ue uas cuerdas ue fabrica soporta, a lo sumo, u peso medio de 150 kg co ua desviació típica de 12 kg. Para verificar esta afirmació, se toma ua muestra de 64 cuerdas, y se obtiee u peso medio de 152 kg. Se puede afirmar, co u ivel de cofiaza del 95%, ue la afirmació de la empresa es verdadera? Població 150 Se desea cotrastar ue el peso medio es a lo sumo 150 kg : µì150 y la afirmació es verdadera. : µ>150 y la afirmació es falsa. 1 a = 0,95 ò z a/2 = 1,65 La regió de aceptació es ( @; 1,65) 152 150 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,33 12 64 Como 1,33 é ( @; 1,65), se acepta la hipótesis ula co ua probabilidad del 95% 12 Muestra 152 64 TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 367
3. Cotraste de hipótesis para la proporció Piesa y calcula Calcula e los casos siguietes: a) P(z > z a ) = 0,95 b) P(z > z a ) = 0,99 a) P(z < z a ) = 0,95 ò z a = 1,65 b) P(z < z a ) = 0,99 ò z a = 2,33 Aplica la teoría 5. E ua muestra aleatoria de 950 persoas, el 20% estaba e desacuerdo co la política ecoómica del Gobiero. Cotrasta, co u ivel de sigificació del 5%, la hipótesis ula de ue al meos el 25% está e desacuerdo. Proporció Població 0,25 0,014 Muestra 0,2 950 Se desea cotrastar ue al meos u 25% está e desacuerdo. :p Ó 0,25 :p < 0,25 = 1,65 La regió de aceptació es ( 1,65; +@) 6. De ua muestra aleatoria de 170 propietarios de peueños egocios, 119 maifestaro ue la fuete de fiaciació iicial fuero sus ahorros. Cotrasta la hipótesis ula de ue los ahorros persoales so la fuete de fiaciació para el 75% de los propietarios de peueños egocios, co u ivel de cofiaza del 90% Proporció Població 0,75 0,033 Muestra 0,7 170 Se desea cotrastar ue la proporció es del 75% : p = 0,75 :p? 0,75 1 a = 0,90 ò z a/2 = 1,65 La regió de aceptació es ( 1,65; 1,65) ^ p p z = 0 0,2 0,25 ò z = = 3,56 0,25 0,75 p 0 0 950 Como 3,56 è ( 1,65; +@), se rechaza la hipótesis ula. No se puede aceptar ue haya al meos u 25% e desacuerdo. ^ p p z = 0 0,7 0,75 ò z = = 1,51 0,75 0,25 p 0 0 170 Como 1,51 é ( 1,65; 1,65), se acepta la hipótesis ula. 368 SOLUCIONARIO
Ejercicios y problemas PAU Pregutas tipo test Cotesta e tu cuadero: 1 Se afirma ue por lo meos el 60% de los estudiates almuerza e el comedor de la Facultad. Para cotrastarlo se toma ua muestra de 441 estudiates y resulta ue 220 almuerza e dicho comedor. Co u ivel de sigificació del 1%, se puede aceptar la afirmació iicial? Sí, co ua probabilidad de error del 1% No, co ua probabilidad de error del 1% Sí, co ua probabilidad del 99% No, co ua probabilidad de error del 99% 4 A pricipios de año, u estudio e cierta ciudad idicaba ue u 15% de los coductores utilizaba el móvil co el vehículo e marcha. Co el fi de ivestigar la efectividad de las campañas ue se ha realizado desde etoces para reducir estos hábitos, recietemete se ha hecho ua ecuesta a 120 coductores y 12 hacía u uso idebido del móvil. Platea u test para cotrastar ue las campañas o ha cumplido su objetivo, frete a ue sí lo ha hecho, como parece idicar los datos. A ué coclusió se llega co u ivel de sigificació del 4%? : p = 0,15; :p? 0,15 Se acepta la 2 La empresa de trasportes urgetes El Rápido afirma e su publicidad ue al meos el 70% de sus evíos llega al día siguiete a su destio. Para cotrastar la calidad de este servicio, la Asociació de Cosumidores seleccioa aleatoriamete 100 evíos y observa ue 39 o llegaro al día siguiete a su destio. Co ua sigificació del 1%, se puede aceptar la afirmació de la empresa? :p Ì 0,15; : p > 0,15 Se acepta la :p Ó 0,15; : p < 0,15 Se acepta la :p Ó 0,15; : p < 0,15 Como 6,76 è ( 1,28; +@), se rechaza la afirmació. Se rechaza la 3 Como 6,76 è ( 1,28; 1,28), se rechaza la afirmació. Como 1,96 è ( 1,28; +@), se rechaza la afirmació. Como 1,96 é ( 2,58; +@), se acepta la afirmació. Se está calibrado ua balaza. Para ello se pesa ua pesa de prueba de 1 000 gramos 60 veces y se obtiee u peso medio de 1 000,6 gramos. Si la desviació típica de la població es de 2 gramos, podemos aceptar la hipótesis ula : µ = 1 000 frete a la alterativa : µ?1000 co ua cofiaza del 99%? Como 2,32 é( 1,645; +@), se acepta la hipótesis ula. 5 Segú cierto estudio realizado el año pasado, u 35% de las familias co coexió a Iteret utilizaba habitualmete este medio para realizar sus operacioes bacarias. El estudio proosticaba tambié ue ese porcetaje aumetaría e los próximos meses. De ua ecuesta realizada recietemete a 125 usuarios de Iteret, 50 declararo utilizarla habitualmete para realizar las citadas operacioes. Platea u test para cotrastar ue la proporció del año pasado se ha mateido, frete a ue, como parece, se ha cumplido el proóstico del estudio. A ué coclusió se llega a u ivel de sigificació del 10%? : p = 0,35; : p > 0,35 Se acepta la :p Ì 0,35; : p > 0,35 Como 2,32 è( @; 1,645), se rechaza la hipótesis ula. Como el valor del estadístico da cero, se acepta la hipótesis ula. Como 2,32 è( 1,645; 1,645), se acepta la hipótesis alterativa. Se rechaza la : p = 0,35; :p? 0,12 Se acepta la :p Ó 0,35; : p < 0,35 Se acepta la TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 369
Ejercicios y problemas 1. Cotraste de hipótesis 7. El diámetro de uos ejes sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 2 mm. Se toma ua muestra de tamaño 25 y se obtiee u diámetro medio de 36 mm. Se puede afirmar, co u ivel de sigificació de 0,01, ue la media de la població es de 40 mm? Població 40 Se desea cotrastar ue la media es igual a 40 mm : µ = 40 : µ?40 a = 0,01 ò 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,58 La regió de aceptació es ( 2,58; 2,58) 36 40 z = ~ N(0, 1) ò z = = 10 2 25 Como 10 è( 2,58; 2,58), se rechaza la hipótesis ula. 2 Muestra 36 25 a = 0,05% ò 1 a = 0,95 ò z a/2 X µ z = 0 22,4 20 ~ N(0, 1) ò z = = 1,88 5,1 Como 1,88 é( 1,96; 1,96), se acepta la hipótesis ula. 2. Cotraste de hipótesis para la media 9. Cuado ua máuia fucioa correctamete, produce piezas cuya logitud sigue ua ley ormal de media 12 cm y desviació típica 1 cm. El ecargado de cotrol de calidad ha tomado ua muestra de 25 piezas y se obtiee ua media de 11,5 cm Cotrasta la hipótesis de ue la máuia está fucioado correctamete co u ivel de sigificació igual a 0,05 16 Població 12 1 8. Los depósitos mesuales, e euros, e ua etidad bacaria sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica = 5,1. Co el fi de cotrastar si la media de los depósitos mesuales es 20, se toma ua muestra de tamaño 16, y la media muestral resulta ser 22,4. Se puede aceptar la hipótesis de ue la media es 20 a u ivel de sigificació del 5%? Població 20 5,1 Muestra 22,4 16 Muestra 11,5 25 Se desea cotrastar ue la media es igual a 12 cm : µ = 12 : µ?12 Se desea cotrastar ue la media es igual a 20 : µ = 20 : µ?20 11,5 12 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,50 1 25 Como 250 è ( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. 370 SOLUCIONARIO
10. La duració de las bombillas de 100 vatios ue fabrica ua empresa sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 120 horas. Su vida media está garatizada durate u míimo de 800 horas. Se escoge al azar ua muestra de 50 bombillas de u lote y, después de comprobarlas, se obtiee ua vida media de 750 horas. Co u ivel de sigificació de 0,01, habría ue rechazar el lote por o cumplir la garatía? Se desea cotrastar ue la media es mayor o igual a 800 h : µó800 h y se cumple la garatía. : µ<800 h y se cumple la garatía. a = 0,01 ò 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,33 La regió de aceptació es ( 2,33; +@) 750 800 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,95 120 50 Como 2,95 è( 2,33; +@), se rechaza la hipótesis ula, es decir, o se cumple la garatía. 3. Cotraste de hipótesis para la proporció 11. Ua empresa de productos farmacéuticos afirma e su publicidad ue uo de sus medicametos reduce cosiderablemete los sítomas de la alergia primaveral e el 90% de la població. Ua asociació de cosumidores ha experimetado dicho fármaco e ua muestra de 200 socios de la misma, y obteido el resultado idicado e la publicidad e 170 persoas. Determia si la asociació de cosumidores puede cosiderar ue la afirmació de la empresa es estadísticamete correcta a u ivel de sigificació de 0,05 Població 800 Proporció Població 0,9 120 0,021 Muestra 750 50 Muestra 0,85 200 Se desea cotrastar ue la proporció es del 90% : p = 0,9 :p? 0,9 ^ p p z = 0 0,85 0,9 ò z = = 2,36 0,9 0,1 p 0 0 200 Como 2,36 è( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula, es decir, o se cumple lo ue se afirma e la publicidad. 12. U profesor afirma ue, e su cetro, el porcetaje de alumos de bachillerato ue fuma o sobrepasa el 15%. Si e ua muestra de 60 de esos alumos se observa ue 12 fuma: a) Es aceptable la afirmació del profesor, co u ivel de sigificació de 0,01? b) La afirmació del apartado aterior es la misma si el ivel de cofiaza es del 90%? ( Como p^ ~ Np, p ) Proporció Població 0,15 0,15 0,85 60 Muestra 0,2 60 Se desea cotrastar ue la proporció es meor o igual al 15% :p Ì 0,15 y el profesor tiee razó. :p > 0,15 y el profesor tiee razó. Se defie la regió de aceptació para el ivel 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,33 La regió de aceptació es ( @; 2,33) Se defie el estadístico para el cotraste ^ p p z = 0 0,2 0,15 ò z = = 1,08 0,15 0,85 p 0 0 60 Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 1,08 é( @; 2,33), se acepta la hipótesis ula. b) 1 a = 0,90 ò z a/2 = 1,28 Como 1,08 é( @; 1,28), se acepta la hipótesis ula. TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 371
Ejercicios y problemas Para ampliar 13. Se sabe, por trabajos realizados por expertos, ue la velocidad lectora media de los iños de 6 años es de 40 palabras por miuto y ue la desviació típica es de 12. Hemos tomado ua muestra aleatoria de 49 iños de 6 años y hemos medido su velocidad lectora y resulta ua media de 42 palabras por miuto. Podemos afirmar ue uestra media es compatible co la de los expertos a u ivel de cofiaza del 99%? Razoa la respuesta. Població 40 Se desea cotrastar ue la media es igual a 40 palabras/mi : µ = 40 : µ?40 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,58 La regió de aceptació es ( 2,58; 2,58) 12 Muestra 42 49 Població 0,5 0,02 Muestra 0,508 10 Se desea cotrastar ue el coteido medio es 0,5 litros. : µ = 0,5 : µ?0,5 0,508 0,5 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,26 0,02 10 Como 1,26 é( 1,96; 1,96), se acepta la hipótesis ula. El coteido medio de los evases de agua es de 0,5 litros. 42 40 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,17 12 49 Como 1,17 é( 2,58; 2,58), se acepta la hipótesis ula, es decir, el estudio es compatible co el de los expertos. 14. Se uiere comprobar si ua máuia destiada al lleado de evases de agua mieral ha sufrido u desajuste. Ua muestra aleatoria de 10 evases de esta máuia ha proporcioado los siguietes resultados: 0,49 0,52 0,51 0,48 0,53 0,55 0,49 0,50 0,52 0,49 Supoiedo ue la catidad de agua mieral ue este tipo de máuias deposita e cada evase sigue ua distribució ormal de media 0,5 litros y desviació típica de 0,02 litros, se desea cotrastar si el coteido medio de los evases de esta máuia es de 0,5 litros, co u ivel de sigificació del 5% a) Platea la hipótesis ula y alterativa del cotraste. b) Determia la regió crítica del cotraste. c) Realiza el cotraste. 15. Ua empresa de automóviles está estudiado las mejoras ue ha icluido e la ueva geeració de su gama de utilitarios. Hasta ahora, los kilómetros ue uo de estos automóviles podía recorrer co u uso ormal si ue fuera ecesarias reparacioes importates seguía ua ormal co media 220 (e miles de kilómetros) y desviació típica 15 (e miles de kilómetros). Las mejoras parece haber surtido efecto, puesto ue co 100 automóviles de la ueva geeració se ha obteido ua media de 225 (e miles de kilómetros) si igú tipo de problema grave. Supoiedo ue la desviació típica se ha mateido: a) platea u test para cotrastar la hipótesis de ue las mejoras o ha surtido efecto o icluso ue ha empeorado la situació, frete a ue sí ha surtido efecto, como parece idicar los datos. Si se cocluyera ue la media sigue igual o ue icluso bajó, y, si embargo, esta coclusió fuera falsa, cómo se llama el error cometido? b) Co u ivel de sigificació del 1%, a ué coclusió se llega? 372 SOLUCIONARIO
Se desea cotrastar ue los cambios o ha surtido mejoras. : µì220 y los cambios o ha surtido efecto. : µ>220 y los cambios ha surtido efecto. Si se acepta la hipótesis ula, siedo falsa, se comete u error de tipo II a = 0,01 ò 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,33 La regió de aceptació es ( @; 2,33) 225 220 z = ~ N(0, 1) ò z = = 3,33 15 100 Como 3,33 è( @; 2,33), se rechaza la hipótesis ula, es decir, las mejoras ha surtido efecto. 16. Se supoe ue el peso de las sadías de cierta variedad sigue ua distribució ormal co desviació típica de 1 kg. Se toma ua muestra aleatoria de 100 sadías y se observa ue el peso medio es de 6 kg Puede aceptarse la hipótesis de ue el verdadero peso medio de las sadías es de 5 kg, co u ivel de sigificació de 0,05 kg? Població 220 15 Muestra 225 100 6 5 z = ~ N(0, 1) ò z = = 10 1 100 Como 10 è ( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. No se puede dar por bueo ue el peso de las sadías sea de 5 kg 17. Se sabe ue la reta aual de los idividuos de ua localidad sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica de 1 442. Se ha observado la reta aual de 16 idividuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha obteido u valor medio de 9 616. Cotrasta, a u ivel de sigificació del 5%, si la media de la distribució es de 8 715 a) Cuáles so la hipótesis ulas y la hipótesis alterativa del cotraste? b) Determia la forma de la regió crítica. c) Se acepta la hipótesis ula co el ivel de sigificació idicado? Població 8 715 1 442 Se desea cotrastar ue el salario es de 8 715 Muestra 9 616 16 : µ = 8 715 : µ?8 715 Població 5 Se desea cotrastar ue el peso de la sadías es 5 kg : µ = 5 : µ?5 1 a = 0,95 ò z a/2 1 Muestra 6 100 9 616 8 715 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,50 1 442 16 Como 2,50 è( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. No se puede dar por bueo ue el salario sea de 8 715 18. E u hospital se observó ue los pacietes abusaba del servicio de urgecias, de forma ue u 30% de las cosultas podía perfectamete haber esperado a cocertar ua cita co el médico de cabecera, porue o era realmete urgecias. Puesto ue esta situació ra- TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 373
Ejercicios y problemas letizaba el servicio, se realizó ua campaña itesiva de cocieciació. Trascurridos uos meses se ha recogido iformació de 60 cosultas al servicio, de las cuales solo 15 o era realmete urgecias: a) Hay persoal del hospital ue defiede ue la campaña o ha mejorado la situació. Platea u test para cotrastar esta hipótesis frete a ue sí la mejoró. Si se cocluye ue la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, cómo se llama el error cometido? b) A ué coclusió se llega e el test empleado e el apartado aterior, co u ivel de sigificació del 1%? ( Como p^ ~ Np, p ) Proporció Població 0,3 0,3 0,7 60 Muestra 0,25 60 Se desea cotrastar ue al meos u 25% está e desacuerdo. :p Ó 0,3 y la situació o mejoró. :p < 0,3 y la situació mejoró. Si se acepta la hipótesis ula, siedo falsa, se comete u error de tipo II a = 0,01 ò 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,33 La regió de aceptació es ( 2,33; +@) ^ p p z = 0 0,25 0,3 ò z = = 0,85 0,3 0,7 p 0 0 60 Como 0,85 é( 2,33; +@), se acepta la hipótesis ula, ue afirma ue la situació o ha mejorado. 19. U ivestigador afirma ue las horas de vuelo de cierto tipo de avioes comerciales se distribuye ormalmete co ua media de 200 000 h y ua desviació típica de 20 000 h. Para comprobar la veracidad de sus hipótesis, obtuvo ua muestra aleatoria de 4 avioes fuera de servicio de distitas compañías aéreas y aotó el úmero de horas de vuelo de cada uo; resultaro los siguietes datos (e miles de horas): 150, 320, 270, 140 a) Platea cuáles so la hipótesis ula y la hipótesis alterativa del cotraste. b) Realiza el cotraste co u ivel de sigificació del 5% La media de la muestra es: 200000 Població 200 000 20 000 Muestra 220 000 4 : µ = 200000 : µ?200000 220 000 200 00 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2 20 000 4 Como 2 è( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. No se puede dar por bueo ue el úmero de horas de vuelo sea 200 000 374 SOLUCIONARIO
Problemas 20. Segú u estudio realizado por ua empresa hotelera durate u año, la distribució del tiempo de estacia de cada viajero fue ormal co ua media de 3,7 días y ua desviació típica de 1,1 días. A lo largo del presete año, se aalizó el tiempo de estacia de 49 viajeros elegidos al azar y se obtuvo ua media de 3,5 días. Se puede afirmar ue esta diferecia es debida al azar co ua cofiaza del 88%? Co el mismo ivel de cofiaza, cambiaría la respuesta si esta media de 3,5 días se hubiera obteido al aalizar el tiempo de estacia de 100 viajeros elegidos al azar? Població 3,7 : µ = 3,7 : µ?3,7 1 a = 0,88 ò z a/2 = 1,56 La regió de aceptació es ( 1,56; 1,56) 1,1 Muestra 3,5 49 21. Al lazar e 5 000 ocasioes ua moeda al aire saliero 3 000 caras. Se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 0,05, ue la moeda o está trucada? Proporció Població 0,5 0,007 Muestra 0,6 5 000 : p = 0,5 y la moeda o está trucada. :p? 0,5 y la moeda está trucada. ^ p p z = 0 0,6 0,5 ò z = = 14,14 0,5 0,5 p 0 0 5 000 Como 14,14 è( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula, es decir, la moeda está trucada. 3,5 3,7 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,27 1,1 49 Como 1,27 é( 1,56; 1,56), se acepta la hipótesis ula. Si la muestra es de tamaño 100: : µ = 3,7 : µ?3,7 1 a = 0,88 ò z a/2 = 1,56 La regió de aceptació es ( 1,56; 1,56) 3,5 3,7 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,82 1,1 100 Como 1,82 è ( 1,56; 1,56), se rechaza la hipótesis ula. 22. El euipo directivo afirma ue la media del recorrido ue hace los alumos ue asiste a u cetro de bachillerato es, a lo sumo, igual a 2,5 km, co ua desviació típica igual a 0,5 km. Se toma ua muestra de 81 alumos, y se obtiee u recorrido medio de 2,6 km a) Se puede aceptar, co u ivel de sigificació igual a 0,05, la afirmació del euipo directivo? b) La respuesta del apartado aterior es la misma si el ivel de cofiaza es del 99%? a) Població 2,5 Se defie las hipótesis ula y alterativa: : µì2,5 y el euipo directivo tiee razó. : µ>2,5 y el euipo directivo o tiee razó. Si se acepta la hipótesis ula, siedo falsa, se comete u error de tipo II 0,5 Muestra 2,6 81 TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 375
Ejercicios y problemas Se defie la regió de aceptació para el ivel = 1,65 La regió de aceptació es ( @; 1,65) Se defie el estadístico para el cotraste 2,6 2,5 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,8 0,5 81 Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 1,8 è( @; 1,65), se rechaza la hipótesis ula y el euipo directivo o tiee razó. 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,33 La regió de aceptació es ( @; 2,33) Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 1,8 é( @; 2,33), se acepta la hipótesis ula y el euipo directivo tiee razó. 23. E ua comuidad autóoma se estudia el úmero medio de hijos por mujer, a partir de los datos dispoibles e cada muicipio. Se supoe ue este úmero sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 0,08. El valor medio de estos datos para 36 muicipios resulta ser igual a 1,17 hijos por mujer. Se desea cotrastar, co u ivel de sigificació de 0,01, si e la comuidad el úmero medio de hijos por mujer es de 1,25 24. U establecimieto vede pauetes de carbó para barbacoa, co u peso teórico de 10 kg. Se supoe ue el peso de los pauetes sigue ua distribució ormal co desviació típica de 1 kg. Para cotrastar la citada hipótesis, frete a ue el peso teórico sea distito de 10 kg, se escoge al azar 4 pauetes ue pesa e kilos, respectivamete, 8, 10, 9, 8 Se desea ue la probabilidad de aceptar la hipótesis ula, cuado ésta es cierta, sea 0,95. Se pide: a) la regió crítica del cotraste. b) Se debe rechazar la hipótesis ula? Població 10 : µ = 10 : µ?10 1 a = 0,95 ò z a/2 8,75 10 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,5 1 4 Como 2,5 è( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. 1 Muestra 8,75 4 Població 1,25 0,08 Muestra 1,17 36 : µ = 1,25 : µ?1,25 a = 0,01 ò 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,58 La regió de aceptació es ( 2,58; 2,58) 1,17 1,25 z = ~ N(0, 1) ò z = = 6 0,08 36 Como 6 è( 2,58; 2,58), se rechaza la hipótesis ula. 25. E las últimas eleccioes celebradas, el 52% de los votates de ua ciudad estaba a favor del alcalde. Ua ecuesta realizada recietemete idica ue, de 350 ciudadaos elegidos al azar, 196 está a favor del alcalde: a) Se puede afirmar, co u ivel de cofiaza del 90%, ue el alcalde gaa popularidad? b) Se obtiee la misma respuesta ue e el apartado aterior si el ivel de cofiaza es igual a 0,99? ( Como p^ ~ Np, p ) Proporció Població 0,52 0,52 0,48 350 Muestra 0,56 350 376 SOLUCIONARIO
:p Ó 0,52 :p < 0,52 Se defie la regió de aceptació para el ivel 1 a = 0,90 ò z a/2 = 1,28 La regió de aceptació es ( 1,28; +@) Se defie el estadístico para el cotraste ^ p p z = 0 0,56 0,52 ò z = = 1,5 0,52 0,48 p 0 0 350 Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 1,5 é( 1,28; +@), se acepta la hipótesis ula. El alcalde gaa popularidad. b) Si el itervalo es más amplio, tambié se aceptará la hipótesis ula. Efectivamete, si se calcula la regió de aceptació para el ivel 1 a = 0,99 ò z a/2 = 2,33 La regió de aceptació es ( 2,33; +@) El valor del estadístico 1,5 é( 2,33; +@) 26. U fabricate de bombillas asegura ue su duració, e miles de horas, sigue ua ormal de 26 h de media y 5 h de desviació típica. Para ua muestra de 10 bombillas de este fabricate, se obtuviero las siguietes duracioes: 23,5 35 29,5 31 23 33,5 27 28 30,5 29 Se desea cotrastar, co u ivel de sigificació del 5%, si estos datos so compatibles co el valor medio afirmado por el fabricate. a) Platea el cotraste. b) Halla la regió crítica. c) Qué se puede cocluir? La media de la muestra es: 29 Població 26 : µ = 26 : µ?26 5 Muestra 29 10 29 26 z = ~ N(0, 1) ò z = = 1,90 5 10 Como 1,90 é( 1,96; 1,96), se acepta la hipótesis ula. Los datos so compatibles co lo ue dice el fabricate. Para profudizar 27. La coclusió de u cotraste de hipótesis realizado co u ivel de sigificació igual a 0,1 ha sido aceptar la hipótesis ula. Cuál habría sido la coclusió para u ivel de sigificació igual a 0,05? La coclusió sería seguir aceptado la hipótesis ula, puesto ue co el ivel de sigificació del 0,05, la regió de aceptació aumeta y, por tato, el estadístico seguirá estado e dicha regió. 28. A partir de los datos recogidos sobre ua muestra aleatoria de 121 peueñas y mediaas empresas de ua regió, se ha calculado para el último año u beeficio medio de 89 milloes de euros, co ua cuasivariaza de 30,25 euros. Cotesta justificado las respuestas: a) Se podría rechazar, co u ivel de sigificació de 0,001, la afirmació de ue los beeficios medios e la peueña y mediaa empresa de dicha regió so de 90 milloes de euros? b) Qué ocurriría para el ivel de sigificació 0,05? Sea la cuasivariaza = s 2 La variaza = 2 Se tiee: s 2 = 1 2 Luego, 121 30,25 = 2 ò 2 = 30 ò= 5,48 120 Població 90 5,48 Muestra 89 121 TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 377
Ejercicios y problemas : µ = 90 : µ?90 Se defie la regió de aceptació para el ivel a = 0,001 ò 1 a = 0,999 ò z a/2 = 3,291 La regió de aceptació es ( 3,291; 3,291) 25,18 25 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,02 0,89 100 Como 2,02 è( 1,96; 1,96), se rechaza la hipótesis ula. Se defie el estadístico para el cotraste 89 90 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2 5,48 121 Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 2 é( 3,291; 3,291), se acepta la hipótesis ula. b) Si a = 0,05 ò 1 a = 0,95 ò El valor del estadístico 2 è( 1,96; 1,96); se rechaza la hipótesis ula. 29. U fabricate garatiza a u laboratorio farmacéutico ue sus máuias produce comprimidos co u diámetro medio de 25 mm. Ua muestra de 100 comprimidos dio, como media de los diámetros, 25,18 mm. Supoiedo ue el diámetro de los comprimidos es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica 0,89 mm, se desea cotrastar, co u ivel de sigificació del 5%, si el diámetro medio ue afirma el fabricate es correcto. Para ello: a) platea la hipótesis ula y la hipótesis alterativa del cotraste. b) realiza el cotraste al ivel de sigificació idicado. Població 25 0,89 Muestra 25,18 100 : µ = 25 : µ?25 30. E diferetes países de la Uió Europea se ha llevado a cabo u estudio del porcetaje de la població ue accede a la eseñaza superior. E los países escogidos se ha obteido los valores siguietes (medidos e tato por cieto): 23,5 35 29,5 31 23 33,5 27 28 30,5 Se supoe ue estos porcetajes sigue ua distribució ormal co desviació típica igual al 5%. Se desea cotrastar, co u ivel de sigificació del 5%, si los datos ateriores so compatibles co u valor medio del porcetaje de la població ue cursa estudios superiores igual al 28% a) Platea e el cotraste cuáles so la hipótesis ula y la hipótesis alterativa. b) Determia la regió crítica del cotraste. c) Es posible aceptar la hipótesis co el ivel de sigificació idicado? La media de la muestra es: 29 Població 28 : µ = 28 : µ?28 29 28 z = ~ N(0, 1) ò z = = 0,6 5 9 Como 0,6 é( 1,96; 1,96), se acepta la hipótesis ula. 5 Muestra 29 9 378 SOLUCIONARIO
Widows Excel Liux/Widows Calc Paso a paso 31. Se uiere cotrastar el tiempo medio e miutos para realizar ua prueba. Se ha tomado ua muestra de 50 persoas y se ha obteido ua media de 48 miutos co ua desviació típica de 6 miutos. Se puede garatizar, co u ivel de sigificació del 5%, ue la duració media de la prueba es de 45 miutos? Resuelto e el libro del alumado. 32. Ua máuia produce u 4% de piezas defectuosas. Se ha modificado el proceso de producció de la máuia y se desea saber si se ha rebajado el porcetaje de piezas defectuosas fabricadas. Se toma ua muestra de 500 piezas y se ha obteido ue 10 ha sido defectuosas. Se puede asegurar, co u ivel de sigificació del 5%, ue los cambios e la producció rebaja el úmero de piezas defectuosas? Resuelto e el libro del alumado. 33. Iteret. Abre: www.editorial-bruo.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 34. El salario medio correspodiete a ua muestra de 1 600 persoas de cierta població es de 565. Se sabe ue la desviació típica de los salarios e la població es de 120. Se puede afirmar, co u ivel de sigificació del 5%, ue el salario medio de dicha població es de 570? 35. Se desea cotrastar si el grado de satisfacció de los usuarios de los servicios públicos de salud supera los 6 putos e ua escala de 0 a 10. Se ha tomado ua muestra de 100 usuarios y se ha obteido ua valoració media de 5,5 putos y ua desviació típica de 3 putos. Se puede afirmar, co u ivel de cofiaza del 99%, ue la media del grado de satisfacció supera los 6 putos? TEMA 13. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 379
Widows Excel Liux/Widows Calc 36. U laboratorio desea estudiar el porcetaje de persoas ue tiee somolecia como efecto secudario al tomar u medicameto. Se ha realizado u estudio co ua muestra de 120 idividuos y se ha obteido ue el 15% ha teido dichos efectos secudarios. El laboratorio desea afirmar ue solo u 10% de pacietes tiee dichos efectos. Puede hacer tal afirmació co u ivel de sigificació del 1%? 37. U profesor afirma ue el porcetaje de alumos de bachillerato de su cetro ue fuma o sobrepasa el 15%. Si e ua muestra de 60 de esos alumos se observó ue 12 fumaba: a) es aceptable la afirmació del profesor co u ivel de sigificació de 0,01? b) La afirmació del apartado aterior es la misma si el ivel de cofiaza es del 90%? 380 SOLUCIONARIO
Problemas propuestos PAU 1. Se juta tres clases A, y C, co el mismo úmero de alumos, e el saló de actos de u cetro. Se sabe ue el 10% de los alumos e la clase A so zurdos; e la clase el 8% so zurdos, y e la clase C el 88% de los alumos o so zurdos. a) Si elegimos al azar u alumo del saló de actos, co ué probabilidad o será zurdo? b) Sabiedo ue u alumo elegido al azar es zurdo, cual es la probabilidad de ue perteezca a la clase C? A, y C las clases. Z = Zurdo. D = Diestro. Diagrama e árbol: A C A 1/3 1/3 C 1/3 a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total y luego la del cotrario: P(Z) = P(A) P(Z/A) + P() P(Z/) + P(C) P(Z/C) = 1 1 1 = 0,1 + 0,08 + 0,12 = 0,1 3 3 3 P(Z ) = 1 P(Z) = 1 0,1 = 0,9 = 90% b) Se aplica el teorema de ayes y la propiedad del cotrario: P(C) P(Z/C) 1/3 0,12 P(C/Z) = = = 0,4 P(Z) 0,1 Z D Z D Z D Z 0,1 Z 0,08 Z 0,12 Fábricas:A,, C y D N = Neveras. E = Nevera defectuosa. Diagrama e árbol: A C D A 0,3 0,2 C 0,4 D 0,1 a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: P(E) = P(A) P(E/A) + P() P(E/) + P(C) P(E/C) + + P(D) P(E/D) = 0,3 0,02 + 0,2 0,05 + 0,4 0,04 + + 0,1 0,01 = 0,033 b) Se aplica el teorema de ayes: P(» E) = P() P(E/) = 0,2 0,05 = 0,01 c) Se aplica el teorema de ayes y la propiedad del cotrario: P(D/E P(D) P(E /D) 0,1 0,99 ) = = = 0,1 P(E ) 1 0,033 3. Se tiee dos uras A y. E la primera hay dos bolas blacas, 3 egras y ua roja, y e la seguda hay 3 bolas blacas, 1 egra y ua verde. a) Se extrae ua bola de cada ura. Calcula la probabilidad de ue ambas sea del mismo color. b) Se laza ua moeda. Si se obtiee cara, se extrae dos bolas de la ura A, y si se obtiee cruz, se saca dos bolas de la ura. Calcula la probabilidad de ue ambas bolas sea blacas. N N N N E 0,02 E 0,05 E 0,04 E 0,01 2. Ua empresa de electrodomésticos cueta co cuatro fábricas, A,, C y D, e las ue se produce everas. La fábrica A produce el 30% del total de everas; la fábrica, el 20%; la C, el 40%; y la D, el 10%. El porcetaje de everas defectuosas e cada fábrica es del 2% e A, del 5% e, del 4% e C y del 1% e D Calcula: a) la probabilidad de ue escogida ua evera al azar, ésta sea defectuosa. b) la probabilidad de ue ua evera sea defectuosa y proceda de la fábrica c) Si ua evera o es defectuosa, cuál es la probabilidad de ue provega de la fábrica D? a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: Diagrama e árbol: 3 3/5 1N 1V 2/6 N 2 3 N 1/5 3N 1N 3/6 1R 1V R 1/6 R 3 0 1N 1V LOQUE III. ESTADÍSTICA Y PROAILIDAD 381
Problemas propuestos P(Mismo color) = P() P(/) + P(N) P(N/N) = 2 3 3 1 1 1 3 = + = + = 6 5 6 5 5 10 10 b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total: Diagrama e árbol: C X C 1/2 X 1/2 2 3N 1R 3 1N 1V 2/6 3/5 1 3N 1R 2 1N 1V 1/5 2/4 P() = P(C) P(/C) P(/C» ) + P(X) P(/X) P(/X» ) = 1 2 1 1 3 2 1 3 11 = + = + = 2 6 5 2 5 4 30 20 60 120 a) Se tiee: p^ = = 0,6; y ^ = 0,4 200 ^ p z a/2, p^ ( + z a/2 p p ) P( z a/2 Ì z Ì z a/2 ) = 0,98 ò z a/2 = 2,33 El itervalo es: 0,6 0,4 0,6 0,4 ( 0,6 2,33, 0,6 + 2,33 = 200 200 ) = (0,519; 0,681) = (0,52; 0,68) La proporció estará etre el 52% y el 68% co ua probabilidad del 98% b) No puede admitirse ue la verdadera proporció de hembras de pato e esa graja es 0,5 co este ivel de cofiaza. 4. E ua cierta Facultad se sabe ue el 25% de los estudiates suspede matemáticas, el 15% suspede uímica y el 10% suspede matemáticas y uímica. Se seleccioa u estudiate al azar. a) Calcula la probabilidad de ue el estudiate o suspeda uímica i matemáticas. b) Si sabemos ue el estudiate ha suspedido uímica, cuál es la probabilidad de ue suspeda tambié matemáticas? M = Suspede matemáticas. Q = Suspede uímica. M 0,25 0,1 0,15 a) Se aplica la probabilidad del cotrario. P( M «Q) = 1 P(M «Q) = 1 (0,25 + 0,15 0,1) = = 0,7 = 70% b) Se aplica la defiició de probabilidad codicioada. P(M» Q) 0,1 10 2 P(M/Q) = = = = = 0,67 = 67% P(Q) 0,15 15 3 5. E ua graja avícola se ha tomado ua muestra aleatoria de 200 polluelos de pato, etre los cuales se ecotraro 120 hembras. a) Halla u itervalo de cofiaza, co u ivel del 98%, para la proporció de hembras etre estos polluelos. b) Razoa, a la vista del itervalo ecotrado, si a ese ivel de cofiaza puede admitirse ue la verdadera proporció de hembras de pato e esa graja es 0,5. Q 6. Tras múltiples observacioes se ha costatado ue el úmero de pulsacioes de los deportistas etre 20 y 25 años se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 9 pulsacioes. Si ua muestra de 100 deportistas de esa edad preseta ua media de 64 pulsacioes: a) ecuetra el itervalo de cofiaza al 97% para la media de pulsacioes de todos los deportistas de esa edad. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. a) X z a/2, X ( + z a/2 ) P ( z a/2 Ì z Ì z a/2 ) = 0,97 ò z a/2 = 2,17 El itervalo es: 9 9 ( 64 2,17, 64 + 2,17 ) = (62,05; 65,95) 100 100 b) La proporció estará etre el 62,05% y el 65,95% co ua probabilidad del 97% 7. El peso de los usuarios de u gimasio tiee ua media descoocida y ua desviació típica = 5,4 kg. Tomamos ua muestra aleatoria de 100 usuarios y obteemos ua media de 60 kg. a) Calcula, co u ivel de cofiaza del 95%, el itervalo de cofiaza para el peso medio de todos los usuarios. b) Se realiza la siguiete afirmació: El peso medio de u usuario de ese gimasio está compredido etre 58,5 y 61,5 kg. Co ué probabilidad esta afirmació es correcta? 382 SOLUCIONARIO
PAU a) X z a/2, X ( + z a/2 ) P ( z a/2 Ì z Ì z a/2 ) = 0,95 ò z a/2 El itervalo es: 5,4 5,4 ( 60 1,96, 60 + 1,96 ) = (58,94; 61,06) 100 100 b) 58,5 + 61,5 x = = 60 2 5,4 60 + z a/2 = 61,5 ò z a/2 = 2,77 100 P ( z a/2 Ì z Ì z a/2 ) = 1 a P ( 2,77 Ì z Ì 2,77) = 2P (z Ì 2,78) 1 = = 2 0,9972 1 = 0,9944 El ivel de cofiaza es 1 a = 0,9944 9. U directivo de cierta empresa de material eléctrico afirma ue la vida media de cierto tipo de bombillas es de 1 500 horas. Otro directivo de la misma empresa afirma ue la vida media de dichas bombillas es igual o meor de 1 500 horas. Elegida ua muestra aleatoria simple de 81 bombillas de dicho tipo, vemos ue su vida media ha sido de 1 450 horas. Supoiedo ue la vida de las bombillas sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 180 horas: a) es compatible la hipótesis : µ =1 500, frete a la hipótesis : µ?1 500, co ua cofiaza del 99%, co el resultado experimetal x = 1 450? b) Es compatible la hipótesis : µ =1 500, frete a la hipótesis : µ < 1 500, co ua cofiaza del 99%, co el resultado experimetal x = 1 450? a) Població 1 500 180 8. E ua determiada població se sabe ue el valor de la tasa diaria de cosumo de calorías sigue ua distribució ormal co desviació típica = 400 calorías. a) Si la media de la població es µ =1600 calorías y se elige ua muestra aleatoria de 100 persoas de esa població, determia la probabilidad de ue el cosumo medio diario de calorías e esa muestra esté compredido etre 1 550 y 1 660 calorías. b) Si descoocemos la media µ y co el mismo tamaño de la muestra se afirma ue el cosumo medio diario e esa població toma valores etre 1 530 y 1 670 calorías, co ué ivel de cofiaza se hace esta afirmació? a) Variable: X = cosumo medio de calorías X 400 ~ N( 1 600, ) ~ N(1 600, 40) 100 P(1 550 Ì x Ì 1 660) P(1 550 Ì x Ì 1 660) = 1 550 1 600 1 550 + 1 600 = P( Ì z Ì = 40 40 ) = P( 1,25 Ì z Ì 1,5) = = P (z Ì 1,5) P(z Ì 1,25) = = P(z Ì 1,5) + P(z Ì 1,25) 1 = = 0,9332 + 0,8944 1 = 0,8275 b) 1 530 + 1 670 x = = 1600 2 1 600 + z a/2 40 = 1 670 ò z a/2 = 1,75 P ( z a/2 Ì z Ì z a/2 ) = 1 a P ( 1,75 Ì z Ì 1,75) = 2P(z Ì 1,75) 1 = = 2 0,9599 1 = 0,9198 Muestra 1 450 81 Se defie las hipótesis ula y alterativa : µ = 1 500 : µ?1 500 Se defie la regió de aceptació para el ivel 1 a = 99% = 0,99 ò z a/2 = 2,58 La regió de aceptació es ( 2,58; 2,58) Se defie el estadístico para el cotraste 1 450 1 500 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,5 180 81 Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 2,5 é ( 2,58; 2,58), se acepta la hipótesis ula co ua probabilidad del 99% b) Se defie las hipótesis ula y alterativa : µ = 1 500 : µ<1 500 Se defie la regió de aceptació para el ivel 1 a = 99% = 0,99 ò z a/2 = 2,325 = 2,33 La regió de aceptació es ( 2,33; +@) Se defie el estadístico para el cotraste 1 450 1 500 z = ~ N(0, 1) ò z = = 2,5 180 81 Se acepta o se rechaza la hipótesis ula Como 2,5 è ( 2,33; +@), se rechaza la hipótesis ula co ua probabilidad del 99% LOQUE III. ESTADÍSTICA Y PROAILIDAD 383