Modelo de proceo y linelizción Prof. Mrí Jeú de l Fuente Dpt. Ingenierí de Sitem y utomátic Univ. De Vlldolid IS, UV
Modelo Repreentción proximd de l relidd btrcción: Incluimo olo uello pecto y relcione ue on de interé. Modelo fíico, culittivo, cuntittivo, Uo de lo modelo: dieño, entrenmiento, ue p i., deciione,... Como generrlo, reolverlo, utilizrlo, vlidrlo? IS, UV
Qué e un modelo mtemático? Conjunto de ecucione ue relcionn l vrible de interé del proceo y repreentn decudmente u comportmiento Siempre on proximcione de l relidd Ditinto modelo pr ditinto objetivo y tipo de proceo Compromio entre fcilidd de uo y exctitud IS, UV 3
Repreentción n decud Proceo y u tiempo y m tiempo Modelo tiempo IS, UV 4
Proceo continuo y de evento dicreto Proceo continuo: L vrible evolucionn continumente en el tiempo y pueden tomr culuier vlor en un rngo ddo Proceo de evento: L vrible olo cmbin en intnte dicreto y pueden tomr olo un número finito de vlore IS, UV 5
Proceo Continuo / Evento Proceo Continuo Decrito principlmente por DE o PDE. Interé fundmentl: l tryectori de lgun vrible Proceo de evento dicreto Decrito principlmente por ecuenci de ctividde. Interé fundmentl: el comportmiento etdítico de lgun vrible. IS, UV 6
Modelo etático y dinámico kρ Modelo etático: Relcion l vrible en un etdo de euilibrio ρ d kρ Modelo dinámico: Relcion l vrible lo lrgo del tiempo IS, UV 7
Repuet dinámic tiempo IS, UV 8
Modelo etático y dinámico Modelo etático Repreentn itucione de euilibrio Decrito medinte ecucione lgebric Orientdo dieño Modelo dinámico en tiempo continuo Repreentn l evolución temporl Decrito medinte DE y PDE Uo m generl: control, entrenmiento,... IS, UV 9
Modelo pr control por computdor Ordendor u(kt) D/ Proceo y(t) y(kt) /D modelo en tiempo dicreto deben relcionr l vrible de entrd y lid en lo intnte de muetreo kt Ecucione en diferenci y((k)t)f(y(kt),u(kt)) IS, UV
Como obtener modelo? Medinte rzonmiento, undo leye fíic, uímic, etc Medinte experimentción y nálii de dto IS, UV
Modelo de conocimiento Se obtienen medinte rzonmiento y l plicción de principio de conervción de m, energí, momento, etc. y otr leye prticulre del dominio de plicción Tienen vlidez generl Reuieren conocimiento profundo del proceo y de l leye fiico-uímic IS, UV
Identificción El modelo e obtiene prtir de dto experimentle de entrd-lid del proceo U t U Proceo Y Y t Modelo IS, UV 3
Modelo de conocimiento Metodologí de modeldo: Etblecer lo límite y objetivo del modelo Etblecer l ipótei báic Ecribir l ecucione undo leye de conervción y del dominio de plicción Etimr el vlor de lo prámetro Vlidr el modelo IS, UV 4
Tipo de modelo Prámetro concentrdo Prámetro ditribuido No-linele Linele Tiempo Frecuenci. IS, UV 5
Conervción de m cumulción de m en el item por unidd de tiempo M ue entr l item por unidd de tiempo - M ue le del item por unidd de tiempo M ue e gener en el item por unidd de tiempo - M ue e conume en el item por unidd de tiempo dm F i F G C F i F G m C IS, UV 6
Ejemplo: Depóito p p F m m en el depóito ección del depóito ρ denidd, k contnte Conervción de m cumulción flujo entrd - flujo lid F dm m p p d ρ ρ Fρ ρ ρg ρ ρk F Sv Sk F k p p IS, UV 7
Ejemplo: Depóito Conervción de m F m m en el depóito ección del depóito ρ denidd, k contnte u poición de l válvul u cumulción flujo entrd - flujo lid F dm m d ρ Fρ ρ F uk Ecución diferencil no-linel IS, UV 8 uk V Ecución lgebric
Modelo en vrible de etdo d x( t) y( t) f ( x( t), u( t), v( t), t) g( x, u( t), v( t), t) v perturbcione Vrible mnipuld u x x Etdo y Repuet obervble IS, UV 9
Simulción Integrndo numéricmente el modelo pueden obtenere lo vlore del volumen de líuido en función de lo vlore de F Integrción numéric medinte el método de Euler (t t) d (t) uk (t) V u(t)k (t) t IS, UV
Culidd d d t F k F Culidd computcionl: orden de cálculo de l vrible F F Culidd fíic: cu y efecto F El uo del modelo ( Qué p i..? Control, etc.) reuiere un determind culidd computcionl. IS, UV
Hipótei c i c F Mezcl perfect F Flujo pitón d Vc d t c i Fc c(t) c i (t ) v c i (t ) v c i (t V ) F IS, UV
Formulción Concentrción c i Volumen V c i c F Mezcl perfect ρ contnte d (Vc) d t d V d t d c V d t d c V d t d c V d t c F d V c d t (c i i Fc c c c( F) c) i Fc c i Vc V Fc IS, UV 3
IS, UV 4 Computbilidd F F ) gn( k F k F? k F F F d F d i mx i < Leye retriccione
Rector Químico Iotermo Rección: B T FT Mteri prim Rector Producto, B IS, UV 5
Modelo Mtemático Hipótei: Mezcl perfect en el rector Tempertur T contnte Volumen contnte V C i, T i Producto F V d c V d c B Fc Fc Vke c i Fc Vke c B Blnce máico del producto Blnce máico del producto B E RT E RT C B C B T IS, UV 6
Preión en un recipiente dm m VM RT F Fi F Fi Cv p pf F i Vρ dp F i p C v ρ M p RT p f p tnue iotermo p f IS, UV 7
Conervción de energí T i V R T d(mh) i dt H c ρh e T (T i i ρh m V R ρ V T) ρc R e Ecución diferencil no-linel T tempertur, V voltje m m en el depóito H entlpi, c e clor epecífico ección del depóito ρ denidd, R reitenci Hipótei: T uniforme en el depóito ilmiento perfecto denidd contnte IS, UV 8
IS, UV 9 Conervción del momento i i F t d x d m F t d (mv) d x m F Sitem de referenci θ ω i i T t d d I T t d ) (I d
Flujo en un tuberí Conervción de cntidd de movimiento Ecución diferencil no-linel d mv d t L p v d d t p C p ρ v ρ ( p C v v m fl fl L ) ρv ρ g ρg v p v p IS, UV 3
Válvul de regulción x Fricción Muelle Difrgm p ire ire bre dx m (p p )p Skxk x pv Cv L ρ v v x deplzmiento dede l poición de euilibrio dx Líuido L crrer de l válvul p preión de ire IS, UV 3
Proceo ditribuido T i x F IS, UV 3
Proceo ditribuido T T(x,t) T i- T i T i F x x Se divide el proceo en celd de nco x en l ue T pued coniderre uniforme Blnce de energí en un elemento Limite cundo x IS, UV 33
Proceo ditribuido T T(x,t) r T i- T i T i F Blnce energético Ecucione en derivd prcile d πr d T d t i lim x xρc d t d T d t πr T(x, t) t i F e T i (T F πr i F πr x Fρc lim x e T T i ) x (T i i U(T T(x, t) x Fρc rρc e e T i ) x T U(T i T ) x i lim πrxu(t rρc U(T e rρc T(x, t)) e T ) i T ) i IS, UV 34
Modelo de conocimiento Formdo por conjunto de ecucione diferencile y lgebric frecuentemente no linele Utile pr muco fine Reuieren cierto conocimiento Difícile de mnipulr mtemáticmente Se reuelven medinte imulción IS, UV 35
Simulción: EcoimPro Lenguje de Modeldo / Simulción Quép i? Bdo en tecnologí orientd objeto Método numérico y funcionlidde vnzd ES: genci Europe del Epcio Generdor de código C con un entorno de derrollo y ejecución Librerí / Componente / Prtición / Experimento bierto IS, UV 36
EcoimPro IS, UV 37
Entorno Gráfico IS, UV 38
Simulción IS, UV 39
Modelo linelizdo proximcione linele de l ecucione no-linele M fácile de mnipulr mtemáticmente pero u rngo de vlidez e limitdo d d k β α IS, UV 4
IS, UV 4 Linelizción Derrollo en erie de Tylor obre un punto de operción u, y, z,.... ) z (z z f ) y (y y f ) u (u u f ),z y, f (u y,z) f (u, ),z y, f (u y,z) f (u, z z z y y y u u u z z f y y f u u f Ecución linel en l nuev vrible u, y, z
IS, UV 4 Modelo Linelizdo del Depóito F Ecución diferencil linel k d f k f f ) ( f ) ( f ) ( f,, f (,,) k d & & & & & & Vrible devición - -
Simulción 5. 4.8 4.6 4.4 4. _l 8 7 6 5 _l 4. 4 3 4 3 4 TIME TIME Repuet del modelo no linel y linelizdo pr lto en 5.5 5.4 5.3 5. 5. 5. 3 4 TIME 7. 6.5 6. 5.5 5. 3 4 TIME IS, UV 43
Modelo Linelizdo del Depóito F Vrible devición - - d k d k k d τ K τ K k k El vlor de lo coeficiente depende del punto de linelizción IS, UV 44
Modelo linelizdo l vrible u e y on cmbio obre un punto de operción U, Y u(t) U(t) y(t) Y(t) U Y (t) (t) U U t U Proceo El rngo de vlidez etá limitdo un entorno del punto de operción Y Y IS, UV 45 t Y
IS, UV 46 p v p ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ),,, ( ) ( f p p p f f f p f g fl C p t d d L v & & & & ρ Flujo en un tuberi Ecución diferencil no-linel
IS, UV 47 Modelo linelizdo del flujo K ) p ( K d t d ] C ) p ( [ ) fl C ( d t d ) fl C ( L ] C ) fl C ( ) p ( [ L d t d g] ) fl C ( p [ L d t d v 3 v v v 3 v v τ ρ ρ ρ ρ
IS, UV 48 Cmbio del punto de operción v v v ) C fl C ( K ) fl C ( L K ) p ( K d t d β β τ τ t τ crece en punto de operción con pertur lt K decrece en punto de operción con pertur lt
IS, UV 49 Modelo linelizdo V ) (V V f ) ( f ) T (T T f ) T (T T f f (T,T,,V) cte. y T i R c V T) (T dt i e i ρ & & & & V R T T i V R c V ) T (T T T d e i ρ V K K T T d V R c V ) T (T T T d e i τ ρ
Semejnz forml p v p T i d τ d t K ( p ) K V R T dt τ T K K V IS, UV 5
Modelo linelizdo del rector V d c V d c B Fc Fc Vke c i Fc Vke c B E RT E RT C i Producto F Do ecucione f f (c& (c& B,c,c B,F,c,c i,f) ) C B C B T F IS, UV 5
Modelo linelizdo () V d c E Fci Fc Vke RT c Derrollndo en erie de Tylor... Punto de operción: F,c,cB, ci dc E RT V (F Vke ) c (ci c) F F d c F E RT (ci c) F ( ke ) c F V dc c b V F d c Vlor clculdo en el punto de operción i V IS, UV 5 c i c i
Punto de linelizción Si el punto de linelizción correponde un operción en euilibrio: dc Si c i 8 y c.8 c B 7. dc V E RT Fci Fc Vke c dc V B E RT FcB Vke c Si F 6.66 y V 8 ke -E/RT.999 E RT V (F Vke ) c (ci c) F F d c F E RT (ci c) F ( ke ) c F ci 3.33c.9F.333 V V V c i IS, UV 53 c i
Modelo linelizdo () V d c B Fc Vke c B E RT Medinte un derrollo en erie en torno l punto de operción: E dc F c B RT B ke c cb F.999c.333c B.9 F V V dc dc B c c b c B b F d F c i IS, UV 54
IS, UV 55 Modelo en vrible de etdo i B B c F b b b c c c d c d F b c c c d B B i c b F b c c d ( ) B B c c c Cx y Bu x t d x d
IS, UV 56 Rector iotermo i B B c F.9.333.9 c c.33 3.33 c d c d ( ) B B c c c B F C C B T C i Producto F Rector iotermo
IS, UV 57 ) p ( K K d t d K ) p ( K d t d τ τ τ τ Modelo en vrible de etdo. d k d β α p Cx y Bu x t d x d
Modelo en vrible de etdo dx y x Cx Du Bu x vrible de etdo: conocido u vlor en el intnte inicil y lo vlore de u(t) lo lrgo del tiempo, puede determinre el vlor de l lid lo lrgo del tiempo Solución nlític: x( t) e ( tt t ) ( tτ) x( t ) e Bu( τ) dτ t IS, UV 58
y dx y Cx Euivlenci x Bu u y - z Px x P z dz [ - PP ] z [ PB] u dz - P(P z) PBu - y CP CP - z [ ] z Exiten muc repreentcione euivlente entrd-lid IS, UV 59
dx y Cx utovlore dz x Bu [ - PP ] z [ PB] u y [ - CP ] z λi PP λi Lo utovlore on invrinte en repreentcione euivlente PP P( λi)p P λi λpp P λi IS, UV 6
Modelo de Repuet Impulionl y(t) i u e un impulo unitrio y el etdo inicil e nulo : y(t) Ce t t Ce x() (tτ) t Ce (tτ) Bδ( τ)dτ g(t) Bu( τ)dτ Ce t B g(t) δ(t) y(t) g(t τ)u( τ)dτ y(t) IS, UV 6 t repuet impulionl g(t τ)u( τ)dτ
Modelo de Repuet Impulionl δ(t) y(t) y(t) t g(t τ)u( τ)dτ g(t τ)u( τ)dτ g(t) t τ σ y(t) t g( σ)u(t dτ dσ τ σ t τ t σ y(t) g( σ)u(t σ)dσ σ)dσ IS, UV 6
Trnformd de Lplce f(t) función temporl f(t) f(t) pr t < L [ f (t)] F() f (t)e t σ jω vrible complej de Lplce t i L f(t) g(t) [ f (t)] L[ g(t) ] F() G() Cmbio de vrible t IS, UV 63
Trnformd de Lplce i L [ f (t)] L[ g(t) ] F() f(t) g(t) G() Cmbio de vrible t Reolución del problem en el dominio X() Interpretción y expreión de l olución en el dominio t x(t) L j [ X() ] j X()e t d Cmbio de vrible t IS, UV 64
Ejemplo f(t) función lto f(t)k f(t) pr t < f(t) k pr t > t L [ f (t)] F() f (t)e t ke t e k t k Tbl de trnformd de l funcione m comune IS, UV 65
Tbl de Trnformd IS, UV 66
Tbl de trnformd IS, UV 67
L L [ f (t)] Propiedde de l T. Lplce [ f (t) bg(t) ] df (t) L L [ f (t d) ] limf (t) t L F() F() f () e F() lim F() d f (t)e f ( τ)g(t τ)dτ t F() bg() F()G() d f (t) L f (t) F() df () [ F() ] f () Trnformd inver L j j F()e IS, UV 68 t d
L L [ f (t) bg(t) ] F() bg() Propiedde I t t t [ f (t) bg(t) ] [ f (t) bg(t) ] e f (t)e b g(t)e F() bg() df (t) L u dv df (t) L df (t) F() f () uv v du e t dv [ ] F() L f (t) df (t) L df (t) df (t) u e t t [ e f (t)] f (t)e f () F() f (t)e t e t t v f (t) du e t IS, UV 69
Propiedde d t d L L f ( τ)dτ t t f (t) f ( τ)dτ L f ( τ)dτ F() d L t f ( τ)dτ t f ( τ)dτ L [ f (t)] f ( τ)dτ L F() t f ( τ)dτ IS, UV 7
Propiedde II L L [ f (t d) ] [ f (t d) ] f (t d)e t e d F() f (t d)e d t f ( τ)e ( τ d) dτ t d τ t τ d; t τ f ( τ)e d e τ dτ e d f ( τ)e τ dτ e d F() limf (t) t lim F() f (t) lim F() lim f () d f (t) d t e F() t d f (t) d t f () f ( ) f () f () e d t f ( ) f () f (t) f () d t IS, UV 7
Propiedde III L f ( τ)g(t τ)dτ t L f ( τ)g(t τ)dτ f ( τ)g(t τ)dτ e t τ α t α τ; t α f ( τ)g(t τ)dτ e τ f ( τ)e f ( τ)e τ τ dτ g( α)e dτ F()G() t g( α)e α α dα dα f ( τ)g(t τ)e f ( τ)e F()G() τ t dτ dτ τ g( α)e α τ dα f ( τ)g( α)e dτ dα IS, UV 7 ( ατ)
Reolución de LODES Ejemplo: d y d t d y L d t d y d t y d y d t y d u d t.5u d u L d t.5u y() Y() Y() Y() U().5U().5 Y() U() U().5 y(t) L [ Y() ] L... do min io t do min io do min io ; d y() d t Y() t Y() ; u(t) e t pr ( ) (.5).5 t U() IS, UV 73
IS, UV 74 Decompoición en frccione imple [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t.5te.5e.5e.5.5.5 L y(t).5 b b 5.5 c b.5.5 c.5 ) ( ) c( ) ( ) ( ) )( b( ) (.5 c b.5.5 L.5 L Y() L y(t)
Función de Trnferenci y(t) t g( σ)u(t σ)dσ Tomndo trnformd de Lplce: t Y() L[ y(t) ] L g( σ)u(t σ)dσ L [ g(t) ] L[ u(t) ] G()U() Y () G()U() G() Y() U() vrible complej IS, UV 75
dx Función de Trnferenci x Bu Tomndo trnformd de Lplce, con condicione inicile nul: y Cx X() Y() X() Y() X() BU() CX() [ I ] [ ] I BU() Y() C[ I ] G()U() G() [ ] B L[ g(t) ] C I X() BU() BU() IS, UV 76
IS, UV 77 Función de Trnferenci G() e un función rcionl en l vrible [ ] B C I G() [ ] n n n n m m m m... b b... b b B C I G() Solo contiene opercione rcionle -*/ D() N()... b b... b b G() n n n n m m m m
Repreentcione mtemátic de modelo linelizdo Vrible de etdo dx x Bu y Cx y(t) t g( σ)u(t σ)dσ Repuet impulionl Función de trnferenci G() b b... b b... m m m m n n n n N() D() IS, UV 78
Mtriz de Trnferenci u u y y y 3 En un proceo con vri entrd y lid (MIMO) G() e un mtriz de funcione de trnferenci G() [ ] B Y () G () U U () C I Y () G () G () Y 3() G 3 () () G G 3 () () IS, UV 79
Depóito. Modelo en FT F d τ τ k K K Tomndo Trnformd de Lplce: k d L τ L τh() H() KQ() K H() Q() τ [ K] H() ( τ ) Q() KQ() K τ K H() G()Q() G() τ H() IS, UV 8
Circuito RC. Modelo en FT R V I I C E V E I C R I C I Tomndo Trnformd de Fourier, con C.I. Nul: V() E() I C ()R I () C I () (RC ) V() I()R I() I C C E() I() V() C RC () V() K τ IS, UV 8 E()
Flujo. Modelo en FT Q() p d L τ [ K ( p ) K ] L τq() Q() Q()( τ ) K P() K () K K P() () τ τ K () τ Q K P() τ () d τ K( p ) K P() Tomndo trnformd de Lplce con c.i. nul: τk τk () Q() IS, UV 8
T i T() Tempertur. Modelo en FT V R T dt L τ T [ K K V] L τt() T() T()( τ ) K Q() K V() K K Q() V() τ τ dt τ Q() T K K V Tomndo trnformd de Lplce con c.i. nul: τk τk V() T() IS, UV 83
Rector Iotermo. Modelo en FT dc c b F b c i C i F dc B c c B b F B C C B Tomndo trnformd de Lplce con c.i. nul: C C C () () C [ ] b () () b b F() b b F() F() b C C i i C () () i () C C C B B B () () C [ ] () () C C C B () b b () () b F() F() F() IS, UV 84
Digrm de bloue C C B b () () b F() C b () C i () F() C i B C C B F F() C i () b b C () b C B () IS, UV 85
C B Digrm de bloue () b b F() b b F() b b b b F() b () b ( )( ) ( )( ) C i C F() C i i () () C i () F() b ( )( ) b ( )( ) b b C B () IS, UV 86
Rector Iotermo d c d t d c d t B.33 3 c.33 c B.9.9.333 F c i C i B F C C B C i () F().666..9.4.666. C B () IS, UV 87
Bloue en erie U() G () X() G () Y() Y() G ()X() G ()G ()U() G()U() U() G() Y() G() G ()G () IS, UV 88
Función de trnferenci de un PID t u(t) K p (e(t) T U() U() K K p p (E() T d i e( τ)dτ T E() T T d e(t) ) d t E()) K Ti Ti E() R()E() T i i d d p ( T i T d )E() E() R() U() IS, UV 89
Entrd Normlizd u y u u impulo t lto t t u u t rmp eno t t t t IS, UV 9
Polo y cero G() b b... b b... m m m m n n n n N() D() Cero de G() ríce de N() Polo de G() ríce de D() G() 3 3 3 (.68)(.38) - 3 cero en 3 3 polo en.68, -.38 IS, UV 9
Por ué on importnte lo polo (y lo cero)? Como e verá m delnte, el tipo de repuet temporl un determind entrd depende de l poicione de lo polo (y cero) del item. Igulmente l etbilidd etá ligd l poicione de lo polo IS, UV 9
IS, UV 93 Gnnci t u y u y G() U() Y() lim K u y K en euilibrio ) )...( )( ( ) )...( K( G() n m τ τ τ β β contnte de tiempo K. y gnnci - cero, - polo formto τ β τ
Polo y utovlore G() G() [ ] C I [ ] C I Polo: rice de D() utovlore: rice de B B dj C det N() D() [ I ] [ I ] B [ I ] det utovlore de polo de G() (lvo cncelcione polo/cero) IS, UV 94
Relizbilidd Fíic Dd un función de trnferenci G() Sitem fíico continuo Exite K G() τ Puede exitir un item fíico cuy función de trnferenci e G()? IS, UV 95
Relizbilidd G() b b... b b... m m m m n n n n N() D() Pr ue G() e fiicmente relizble: m n En co contrrio: Y() U() U() du(t) - y(t) L U() Pr un entrd en lto en u(t) tendrí ue dr un y(t) infinit IS, UV 96
Un proceo con retrdo (de trnporte) u: eñl en tnto por uno u T c u (-u) T f T, T e L, vol m TT ρc d VρceT(t) V e T (t) e d T(t) u(t)ρc ρc (T c e T ( u(t))ρc T (t τ) ρc T )u(t τ) T f e e c f e T(t) e T(t) T f T e(t) u(t)tc ( u(t))tf L L vol τ v v Suponiendo ρ, c e cte. IS, UV 97
Mezcl con retrdo u T c T u, T e L, vol m TT (-u) T f V V V d T(t) d T T(t) d T(t) (T (T c c (T T )u(t τ) T c f f T )u T(t) T f T f T T ) u(t τ) T(t) u(t) f T(t) u(t) u T, u punto de operción etcionrio IS, UV 98
Mezcl con retrdo u T c T u (-u) T f, T e L, vol m TT V d T(t) T(t) (T d T(t) (Tc T f ) T(t) V V d x(t) x(t) Bu(t τ) y(t) Cx(t) c T ) u(t τ) f u(t τ) T() (Tc T f ) V T(t). T(t) U() IS, UV 99 e τ Modelo con retrdo l entrd
Retrdo l lid u T c T m u (-u) T f, T e m T L, vol TT V d T(t) T(t) (T T ) u(t) d T(t) (Tc T f ) T(t) V V d x(t) x(t) Bu(t) y(t τ) Cx(t) c f u(t) T m (t τ) T(t) T m (t τ). T(t) Modelo con retrdo l lid IS, UV
IS, UV Retrdo V R T T i TT ) v L T(t d) T(t (t) T d L V() K e Q() K e T() e () T d d d d τ τ V() K Q() K T() τ τ ) )...( )( ( ) )...( K( e G() n m d τ τ τ β β t y u t d
proximción de Pde G() e ( τ d K( β )...( βm ) )( τ )...( τ ) n G() con un retrdo d no e rcionl. Si e neceit, puede proximre el retrdo por un expnión en erie: prox. de º orden: d d ( d) d e ( d) d e d d proximción de Pde de primer orden reppde IS, UV
Control de proceo por Reguldor digitl computdor w Ordendor u(kt) D/ 4- m u(t) ctudor Proceo y(t) y(kt) /D 4- m Trnmior L eñle ue recibe y proce el ordendor on de nturlez ditint: digitle y olo cmbin en cierto intnte de tiempo IS, UV 3
Señle u(kt) u(t) w Ordendor y(kt) y(kt) t t D/ /D u(t) y(t) t Proceo T L informción en el ordendor e ctuliz cd T unidde de tiempo (periodo de muetreo) y(t) IS, UV 4 t
Modelo dicretizdo u(kt) u(t) w Ordendor u(kt) t D/ u(t) t d x d t y Cx x Bu y(t) y(kt) /D Encontrr un modelo y(kt) f( u(kt) ) tl ue y(kt) y(t) en lo intnte de muetreo IS, UV 5
Modelo dicretizdo dx y x Cx Du Bu x( t) e ( tt ) ( tτ) x( t ) e Bu( τ) dτ Tomndo como tiempo de inicio y finl lo intnte kt y (k)t de un periodo de muetreo: t t x((k )T) e T x(kt) (k )T ((k )Tσ) e Bu( σ)dσ kt IS, UV 6
Modelo dicretizdo u(t) Durnte un periodo de muetreo u(t) e contnte e igul u(kt) x((k )T) cmbio de vrible : x((k )T) e e τ (k )T - σ, e T T T x(kt) x(kt) x(kt) (k )T ((k )Tσ) T kt e e (k )T ((k )Tσ) kt e τ dτ dτ dσ -dσ Bu(kT) Bu( σ)dσ Bu(kT) IS, UV 7
Modelo dicretizdo dx x y Cx Mtlb cd u(t) y(t) y(kt) Du Bu x((k )T) Φx(kT) Γu(kT) y(kt) Φ e T Cx(kT) T Γ τ e dτ Ecución en diferenci Pr ete tipo de entrd, el modelo dicretizdo d lo mimo vlore en lo intnte t kt ue el modelo continuo. (Prtiendo del mimo etdo inicil y plicndo l mim entrd) B IS, UV 8
Modelo dicretizdo dx y x Bu Cx Notción implificd: k e refiere l primer, egundo, tercer, etc. periodo de muetreo x((k )T) Φx(kT) Γu(kT) y(kt) Cx(kT) T T Φ e Γ τ e dτ B x(k ) Φx(k ) Γu(k ) y(k) Cx(k) IS, UV 9
Ejemplo: Depóito Si : d α. βu x((k )T) Φx(kT) Γu(kT) y(kt) Cx(kT) T T Φ e Γ τ e dτ B Φ e αt Γ ((k )T) T e e ατ αt dτ β β α (kt) (e β α αt (e ) αt ) u(kt) Modelo dicretizdo: Ecución en diferenci IS, UV
Ejemplo: Depóito Si : x((k )T) Φx(kT) Γu(kT) d y(kt) Cx(kT α βu ). αt β αt ((k )T) e (kt) (e ) u(kt) α Si ((k ).5).535(k.5).6u(k.5) α u k k β T.5.5.67 Modelo dicretizdo: Ecución en diferenci IS, UV
x(k y(k) Cx(k) Repuet temporl ) Φx(k) Γu(k) Condicione inicile: x() x() Φx() Γu() x() Φx() Γu() Φ x(3) Φx() Γu() x(k) Φ Φ 3... k x() ΦΓu() Γu() x() Φ x() k i Φ Φ Φ ki [ x() Γu() ] Φ Φ [ x() ΦΓu() Γu() ] Γu() ΦΓu() Γu() Γu(i) Γu() y(k) CΦ k x() Γu() k CΦ ki Γu(i) IS, UV i
Repuet impulionl puld T y(k) CΦ u(k) Impulo unitrio en t y(k) CΦ y(k) k i k x() k i (k i)u(i) CΦ k x() k i CΦ ZOHProceo ki ki Γu(i) y(k) T Repuet prtiendo de condicione inicile nul Γu(i) CΦ k Γ (k) Modelo de repuet impulionl (k) IS, UV 3 T t
Modelo repuet impulo y(k) k i (k i)u(i) (k)u() (k )u()... ()u(k (k) ) ()u(k ) t k j ( j)u(k j) Como (i) pr i y pr condicione inocile nul: u(i) pr i < : y(k) i (k i)u(i) j ( j)u(k j) L lid e un combinción linel de vlore pdo de l entrd IS, UV 4
u u (-u) T c T f Ejemplo: Mezcl, T e L, vol m T TT Pr 4 l/min, V l, T c 6ºC, T f ºC, vol4 l, periodo.5 min. d T(t) Φ e T T(k ) e V 4 T(t).5.95 (Tc T f ) V Γ u(t τ).5.95t(k) 4.75u(k ) e 4 τ dτ τ 4 (6 4 4 ) min 4.75 IS, UV 5
Operdor deplzmiento - z(k) x(k ) x(k) Φx(k) Γu(k) [ I Φ] x(k) y(k) z(k ) z(k) z(k x(k) [ I Φ] [ ] Φ Γu(k) C I Γu(k) Γu(k) ) y(k) u(k) C [ I Φ] Γ b m n b m n... b... m n b n m Función rcionl de IS, UV 6
IS, UV 7 Función de trnferenci puld [ ] m n d u(k)... ) b b... b (b u(k) ]... [ ] b b... b [b u(k)... b b... b b u(k) I C y(k) n n n n m m m m m) (n n n n n n m m m m n n n n n m m m m Γ Φ u(k)... ) b b... b (b u(k) ) ( ) B( (k) y n n n n m m m m d
Función de trnferenci puld y(k) ( ( y(k) b u(k d) y(k) b )y(k) B( ( y(k ) u(k d) ) u(k) ) B(... b u(k d )... b y(k ) d (b )u(k) )y(k) y(k )... y(k )... b u(k d )... b n n b... bm... m d (b b y(k n) u(k d m) m n n n y(k n) u(k d m) u(k)... L lid e un combinción linel de vlore pdo de l lid y de l entrd l proceo )u(k) IS, UV 8 m ) n b m m
Ejemplo: Depóito ((k ).5).535(k.5).6u(k.5) F u y(k) B( ( ) u(k) C ) [.535] [ I Φ] (.6)u(k) Γu(k) T.5.6.535 u(k).6.535 u(k) Polo utovlor.535 IS, UV 9