UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos máimos y dos mínimos relativos? En esa función, puede estar uno de los mínimos más alto que el máimo? Si tiene dos máimos y dos mínimos relativos, y es polinómica, su derivada tiene, al menos, cuatro raíces; es decir, f'() será, al menos, de grado 4. Por tanto, f () será, al menos, de grado 5. Sí, podría haber un mínimo más alto que un máimo. Por ejemplo: El mínimo de máimo de 0. está más alto que el 0 3 Cuántos puntos de infleión puede tener como máimo una función polinómica de cuarto grado? Si f () es un polinomio de cuarto grado, f'() será un polinomio de tercer grado y f''() será un polinomio de segundo grado. Así, f''() tendrá, a lo sumo, dos raíces. Por tanto, f () tendrá, como máimo, dos puntos de infleión. Unidad. Representación de funciones 0
3 Comprueba que la función f () = + tiene dos asíntotas horizontales distintas. f () = Por tanto: 8 @ 8 +@ si < 0 + si 0 + f () = f () = 8 @ 8 +@ = 8 y = es asíntota horizontal cuando 8 @. + + = 8 y = es asíntota horizontal cuando 8 +@. 33 Sobre la gráfica de la función y = 4, indica los intervalos de concavidad y de conveidad. Cuáles son sus puntos de infleión? Y 4 si < y = 4 = + 4 si Ì Ì 4 si > X La gráfica es cóncava en ( @, ) «(, +@) y es convea en (, ). Los puntos (, 0) y (, 0) son puntos de infleión (son también mínimos relativos). Podemos comprobarlo con f' y f'': si < si < f'() = si < < 8 f''() = si < < si > si > No eiste f''( ) ni f''(). f'( ) = 4 f'( + ) = 4 No eiste f'( ). f'( ) = 4 f'( + ) = 4 No eiste f'(). Signo de f'(): f'() = 0 8 = 0 f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 0 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD Mínimos en (, 0) y en (, 0). Máimo en (0, 4). Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Puntos de infleión en (, 0) y (, 0). Página 334 + 34 La función f () = no está definida en = ni en = ; sin embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información. + f () = + = ( + )( ) f () = @ 8 f () = +@ 8 + f () = = 8 8 = es asíntota vertical. En = hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota. 35 Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? Y horizontales? Asíntotas verticales puede tener infinitas. (Como ejemplo, podemos considerar la función y =, cuya gráfica está representada en el ejercicio 7, en la gráfica ). sen Asíntotas horizontales puede tener, como máimo, dos: una cuando 8 @ y otra cuando 8 +@. s36 Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en = y que no sea derivable en ese punto. Represéntala. + si < y = = si Ó f () = 0 f () > 0 para? 8 Hay un mínimo en =, en (, 0). f () no es derivable en =, pues f'( ) =? f'( + ) =. Unidad. Representación de funciones 03
La gráfica es: s37 Da un ejemplo de una función que sea derivable en = con f'() = 0 y que no tenga máimo ni mínimo en ese punto. Por ejemplo, y = ( ) 3. f'() = 3( ) 8 f'() = 0 f'() > 0 para? 8 f () es creciente. En = hay un punto de infleión. La gráfica es: 4 6 4 4 6 4 s38 Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga, al menos, un máimo relativo en el punto (, 3) y un mínimo relativo en el punto (3, 4). Si la función fuera polinómica, cuál habría de ser, como mínimo, su grado? 4 f () debe tener, al menos, dos máimos y dos mínimos en [0, 4], si es derivable. 3 3 4 Si f () fuera un polinomio, tendría, como mínimo, grado 5 (pues f'() se anularía, al menos, en cuatro puntos). 04 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD 39 La función f() = + e, tiene alguna asíntota? En caso afirmativo, hállala. f() = + e Dominio: Á. No tiene asíntotas verticales. ( + e ) = +@; ( + e ) = +@. No tiene asíntotas horizontales. 8 +@ Asíntotas oblicuas: + e m = = + = e n = ( + e ) = e = 0 y = es asíntota oblicua hacia +@. No hay asíntota oblicua hacia @ porque: m = 8 +@ 8 +@ 8 @ ( ( + e ) ) 8 @ 8 +@ 8 +@ = + @ = +@ ( 40 Son iguales las gráficas de f() = e y g() = e? Justifica tu respuesta. No. Veamos sus gráficas: ) y = e y = e Por ejemplo, si = 3 8 e 3 0,049; e 3 0,08 4 Cuál de estas gráficas corresponde a la función y = ln y cuál a y = ln? a) b) y = ln es la c). y = ln es la a). c) d) Unidad. Representación de funciones 05
4 Qué tipo de simetría tienen las siguientes funciones?: a) y = sen b) y = c) y = tg d) y = 3 a) y = sen f( ) = sen ( ) = [sen ( )] () = ( sen ) = sen () Porque sen ( ) = sen Como f( ) = f(), la gráfica de f es simétrica respecto al eje Y. b) y = f() = 8 f( ) = = Como f() = f( ), la gráfica de f es simétrica respecto al eje Y. c) y = tg f() = tg ; f( ) = tg ( ) = tg = f() Como f( ) = f(), la gráfica de f es simétrica respecto al origen de coordenadas. d) y = 3 f() = 3 8 f( ) = ( ) 3 ( ) = 3 + = f() Como f( ) = f(), la gráfica de f es simétrica respecto al origen de coordenadas. PARA PROFUNDIZAR 43 Estudia y representa y = arc tg indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y etremos, si los hubiere. y = arc tg Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas. f () arc tg f () = @; = = = 0 8 @ 8 @ 8 @ 8 @ + f () arc tg f () = +@; = = = 0 8 +@ 8 +@ 8 +@ 8 +@ + Ramas parabólicas 06 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD Crecimiento y etremos: f'() = + f'() > 0 para todo 8 f () es creciente. f () no tiene máimos ni mínimos. f''() = ( + ) f''() = 0 8 = 0 8 = 0 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0). Gráfica: 4 4 6 44 Representa la función y = arc tg determinando el dominio de definición, asíntotas, máimos, mínimos e intervalos de crecimiento. y = arc tg Dominio: Á Asíntotas: No tiene. 8 @ f () 8 @ f () = @; = = [ ] = = [ ] 8 @ + = 0 = 8 Rama parabólica f () f () = +@; = 8 Rama parabólica 8 +@ 8 +@ Crecimiento, máimos y mínimos: f'() = = + = + + + arc tg 8 @ 8 @ arc tg Unidad. Representación de funciones 07
f'() = 0 8 = 0 8 = 0 f'() > 0 para? 0 8 f () es creciente. Hay un punto de infleión en (0, 0). No tiene máimos ni mínimos. Gráfica: 4 4 6 s45 Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f () = sen (π ); g() = sen (π ); h() = cos (π ) en el intervalo [, ]. Relaciona, de forma razonada, cada gráfica con su correspondiente función. a) 4 b) c) f () y h() son funciones pares y g() es impar. Por tanto, la gráfica de g() ha de ser la b). f() = 0 8 la gráfica de f () es la c). Luego la gráfica de h() es la a). Es decir: a) h(); b) g(); c) f () 46 Para averiguar las asíntotas de y = tuvimos que realizar un notable esfuerzo (páginas 30 y 3). Sin embargo, utilizando el sentido común y casi sin ningún tecnicismo, podríamos haberlo resuelto fácilmente. Veamos cómo: = + = ( ) ( ) = Ω Es decir, nuestra función, para valores grandes de, se aproima mucho a y =. 08 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD Además, es un poco menor (observa que se resta en el radicando). La función y = está formada, precisamente, por las dos asíntotas de nuestra función. a) Averigua, de forma similar, las asíntotas de: y = + y = 6 + + b) Ídem, y =. a) + = + + = ( ) ( + ) = + La función y = + está formada por las dos asíntotas oblicuas de la función: y = + 6 + = 6 + 9 + = ( 3) + ( 3) = 3 La función y = 3 está formada por las dos asíntotas oblicuas de la función: y = 6 + b) Para valores grandes de, tenemos que: Página 335 + si < 0 = si > 0 Así, y = es asíntota horizontal cuando 8 @. y = es asíntota horizontal cuando 8 +@. 47 Aunque la palabra asíntota la hemos aplicado a rectas que se aproiman a una gráfica, tiene un significado más amplio: se dice que dos curvas son asintóticas cuando, al alejarse del origen, la distancia entre ellas tiende a cero. Por ejemplo, la parábola y = + es asintótica a la función: 4 y = f () = (revisa su gráfica en la página 39). Es fácil comprobarlo: 4 = + + (Simplemente hemos efectuado el cociente). La diferencia entre las dos funciones es, que tiende a cero cuando 8 @ y cuando 8 +@. Además, toma valores positivos, por lo que la gráfica de y = f () queda por encima de la parábola. Este resultado permite representar la función de forma más precisa apoyándonos en la representación de la parábola: Unidad. Representación de funciones 09
parábola asintótica rectas asintóticas a) Razonando de la misma forma, halla la parábola asintótica a la función: 3 + + 8 y = Determina la posición de la curva respecto de ella. b) Representa la gráfica de la función teniendo en cuenta esos datos, así como la asíntota vertical y el punto singular (solo hay uno de abscisa = ). a) y = 3 + + 8 = 8 + + La parábola es y = +. Cuando 8 @, la diferencia entre la función y la parábola, luego, la curva está por debajo de la parábola. 8, es negativa; Cuando 8 +@, la diferencia, encima de la parábola. 8, es positiva; luego, la curva está por b) Asíntota vertical: f () = @ 8 0 f () = +@ 8 0 + = 0 es asíntota vertical. Punto singular: f'() = 8 = f'() = 0 8 3 8 = 0 8 ( ) ( + + ) = 0 8 = Hay un mínimo en (, 5). Gráfica: 6 y = + y = f() 3 8 8 4 4 0 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD 48 Halla, en cada caso, la parábola asintótica y estudia la posición de la curva con respecto de ella. Representa la información obtenida: 4 3 4 3 a) y = b) y = c) y = d) y = + 4 + 4 a) y = 8 Dividimos: + 4 + 4 + 4 Así, y = = + + + Parábola asintótica: y = Posición: 3 b) y = = Parábola asintótica: y = Posición: 4 c) y = 8 Dividimos: 4 4 4 4 + 4 +4 4 4 +6 6 4 Así: y = = 6 + 4 + 4 +4 Unidad. Representación de funciones
Parábola asintótica: y = + 4 Posición: 3 d) y = 8 Dividimos: + 3 + 3 + + 3 Así: y = = + + + Parábola asintótica: y = + Posición: 49 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: e + e a) y = b) y = c) y = ln (sen ) e e + e d) y = + sen sen e) y = + f) y = e + e a) y = e e Dominio: e e = 0 8 e = e 8 = 0 D = Á {0} Asíntotas: f () = @ 8 0 8 0 + 8 @ 8 +@ f () = +@ = 0 es asíntota vertical. cos f () = 8 y = es asíntota horizontal cuando 8 @ ( f () < ). f () = 8 y = es asíntota horizontal cuando 8 +@ ( f () > ). Unidad. Representación de funciones
UNIDAD b) y = + e Dominio: Á Asíntotas: No hay asíntotas verticales. = 0 8 @ + e y = 0 es asíntota horizontal cuando 8 @ ( f () > 0). 8 +@ = y = es asíntota horizontal cuando 8 +@ ( f () < ). c) y = ln (sen ) Dominio: Solo está definida cuando sen > 0; es decir, en los intervalos: (0, π) «(π, 3π) «(4π, 5π) «El dominio son todos los intervalos de la forma: (kπ, (k + )π), con k é Z. Asíntotas: f () = @ 8 kπ + = kπ; = (k + )π son asíntotas verticales f () = @ (con k é Z). 8 (k + )π No hay asíntotas horizontales ni oblicuas. (No eiste f () ni f ()). d) y = + sen Dominio: Á No tiene asíntotas. f () = +@ 8 +@ 8 +@ 8 +@ + e 8 @ f() + sen = = 8 +@ [ f () ] = sen no eiste. 8 +@ 8 +@ (El razonamiento es análogo cuando 8 @). sen e) y = + Dominio: Á {0} Unidad. Representación de funciones 3
Asíntotas: f) y = 8 0 + = 3. No tiene asíntotas verticales. f () = f () = 8 y = es asíntota horizontal. (La curva corta a la asíntota infinitas veces). 8 0 + [ 8 @ cos 8 @ sen Dominio: Á {0} Asíntotas: f () = @ 8 0 f () = +@ ] 8 +@ f () = f () = 0 8 +@ = 0 es asíntota vertical. y = 0 es asíntota horizontal. (La curva corta a la asíntota horizontal infinitas veces). Página 335 AUTOEVALUACIÓN. Se considera la función f () = 3 + + 4. Tiene máimos y/o mínimos? Tiene algún punto de infleión? Estudia su curvatura y represéntala. f () = 3 + + 4 f'() = 3 + f'() = 0 8 3 = 8 no tiene solución. f'() > 0 para todo 8 f () es creciente. No tiene máimos ni mínimos. f''() = 6 f''() = 0 8 6 = 0 8 = 0 Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 4). 4 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD Además, f () = @; f () = +@ Gráfica: 8 @ 8 +@ 4. Dibuja la gráfica de una función f de la que sabemos: f() = +@; f() = 3; f() = @; 8 +@ 8 @ 8 3 f'( 5) = 0; f'(0) = 0; f( 5) = 0; f(0) = Y 5 3 X Tiene tangente horizontal en los puntos ( 5, 0) y (0, ). En el primero tiene un máimo, y en el segundo, un punto de infleión. 3 ( + ) 3. Estudia las asíntotas y los puntos singulares de f() = y represéntala + gráficamente. ( + ) f() =. Dominio: Á { } + Asíntota vertical: = Posición No tiene asíntota horizontal: 8 ±@ Asíntota oblicua: ( + ) + ( + ) + = + 3 + f() = @ 8 f() = +@ 8 + = ±@ + Unidad. Representación de funciones 5
La asíntota oblicua es y = +3. Posición de la curva con respecto a la asíntota: Si 8 +@ 8 f() > +3 ( porque + ) > 0 f() ( + 3) = + Si 8 @ 8 f() < +3 ( porque + ) < 0 Puntos singulares: ( + )( + ) ( +) + f'() = = ( +) ( +) f'() = 0 8 + = 0 = 0, f(0) = 4 =, f( ) = 0 Signo de f': f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Tiene un máimo en (, 0) y un mínimo en (0, 4). Gráfica: Y X 4. Representa esta función: f () = ( + ) e ( + ) f () =. Dominio = Á No tiene asíntotas verticales, porque e? 0 para todo. ( + ) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal hacia +@ 8 f() > 0 8 +@ 8 @ e e ( + ) e = +@ 8 No tiene asíntota horizontal hacia @. 6 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD Puntos singulares: ( +)e ( +) e + ( + ) f'() = = = (e ) e f'() = 0 8 + = 0 =, f() = 4 e = f( ) = 0 + e Signo de f': f' < 0 f' > 0 f' < 0 Mínimo: (, 0); Máimo:, Gráfica: Y ( 4 e ) X 4 3 + 5. En la función y =, halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y esboza la gráfica. y = 4 3 + Puntos de corte con los ejes Asíntota vertical: = 0 8 0 8 0 + = @ = +@ No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas, ya que: 4 3 + 4 3 + = +@ y = ±@ 8 ±@ 4 3 + 4 3 + Crecimiento: 4 3 y' = = 8 ±@ 8 3 y' = 0 8 8 3 = 0 8 =, f = 3 OX: y = 0 8 4 3 + = 0 8 = 3 /4 OY: = 0 no eiste. ( ) Unidad. Representación de funciones 7
Signo de y': y' < 0 y' < 0 y' > 0 0 Crece en, +@. Decrece en ( @, 0) «0,. Gráfica: Y ( ) ( ) X 6. Dibuja una función continua en Á que tenga un mínimo relativo en (, 6) y un máimo relativo en (6, ). Si es un polinomio, cuál será, como mínimo, su grado? 6 Y La función tendrá, como mínimo, cuatro puntos singulares, y para ello, su grado debe ser, al menos, 5. 6 X 7. Halla los máimos y los mínimos de la función f() = + 3. Tiene asíntotas? Haz una gráfica aproimada de esta función. f() = + 3, Dominio = ( 3, +@) Hallamos los puntos singulares: ( +3)+ f'() = + 3 + = = +3 +3 3 + 6 +3 f'() = 0 8 3 + 6 = 0 8 =, f( ) = f' < 0 f' > 0 Signo de f': La función tiene un mínimo en (, ). 8 Unidad. Representación de funciones
UNIDAD f() La función no tiene asíntotas: f() = +@; = +@ Gráfica: Y 8 +@ 8 +@ 3 X 8. Dibuja la gráfica de f() = + 3 +. f() = + 3 + 3 + 3 Si < 3: 3 + = 3 Si 3 Ì < : + 3 + = 4 + Si Ó : +3 + = + Y si < 3 f() = 4 si 3 Ì < + si Ó 3 3 3 X 9. Qué gráfica corresponde + a f () =? a) b) + si < 0 + f() = = + si > 0 8 @ 8 +@ + + = = Asíntota vertical: = 0 Asíntotas horizontales: y = e y = La gráfica de f es la a). Unidad. Representación de funciones 9