UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo). CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Estudiando l signo d la divada pima podmos sab cuando una función s ccint o dccint. Esto s llama también l studio d la monotonía d la función. Popidad.- - Si f '( ) >, ntoncs la función f s stictamnt ccint n - Si f '( ) <, ntoncs la función f s stictamnt dccint n Ejmplo.- Estudia la monotonía (intvalos d cciminto y dcciminto) d la función f ( ) 5 Lo pimo s fijanos qu su dominio s todo R, Dom ( f ) R Calculamos su función divada, qu sulta f '( ) 5. Qu como vmos también tin sntido n todo R, o lo qu s lo mismo, su dominio d divabilidad s todo R Vamos a studia ahoa l signo d f '. Pimo vamos dónd s anula. f '( ) 5 5. Con st punto constuimos una tabla d signos paa f ' 5 5 (, ) (, ) f '( ) 5 - Los signos los obtnmos d igual foma a como hacíamos n los dominios (sustituyndo po un valo dl intvalo) D la tabla d signos podmos conclui qu: 5 f s stictamnt ccint n (, ) 5 f s stictamnt dccint n (, ) Ejmplo.- Estudia la monotonía d f ( ) Dom ( f ) R Tnmos qu { } Calculamos la función divada, ( ) ) f ( ) ( ) tin po dominio d divabilidad) n R { } '(. Como vmos, la función s divabl ( ó Vmos ahoa dónd s anulan l numado y l dnominado, paa pod constui la tabla d signos d la divada. Dl numado: ( ) Dl dnominado: ( ) Ya pasamos a constui la tabla d signos: (,) (,) (,) (, ) - - UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
NOTA: Como podéis obsva n la tabla no hmos pusto l facto dl numado pus al s ( ), ést simp sá positivo dmos l valo qu l dmos y po tanto no influy n l signo d f '. Si l ponnt hubis sido impa, ntoncs si tníamos qu hablo pusto. Podmos conclui qu: f s ccint n (,) (, ) f s dccint n (,) (, ) V: Ejmplos sultos dl libo página 68. EXTREMOS RELATIVOS Una función y f () tin un máimo lativo n un punto d abscisa f ( ) s l mayo valo qu alcanza f n un ntono d. Una función y f () tin un mínimo lativo n un punto d abscisa f ( ) s l mno valo qu alcanza f n un ntono d. Ejmplo.- Tnmos la función y f () cuya gáfica s la siguint: (ó n l punto ( f ( )), (ó n l punto ( f ( )), ) si ) si Podmos obsva qu n l punto d abscisa, la función tin un máimo lativo, qu como vmos no s absoluto. También s sul dci qu la función tin un máimo lativo n (-,). Podmos obsva qu n l punto d abscisa, la función tin un mínimo lativo, qu como vmos no s absoluto. También s sul dci qu la función tin un mínimo lativo n (,-). Cómo calcula los tmos lativos d una función dada po su citio o fómula? Si obsvamos la gáfica dl jmplo antio nos damos cunta qu las ctas tangnts tanto n l má. como n l mín. lativo son hoizontals. Esto qui dci qu su pndint s, o sa, f '( ) y f '() UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
Efctivamnt, n los tmos lativos, si una función s divabl, su divada tin qu val. Lo vmos gáficamnt d nuvo, con ota función difnt: Como s v la cta tangnt n l mínimo tin po pndint (s una cta hoizontal), y como sabmos la pndint d la cta tangnt n l punto coincid con l valo d la divada. Po tanto, f '( ) Popidad.- Si una función y f () tin un tmo lativo n un punto d abscisa y s divabl n, ntoncs f '( ) Vamos a tn dos manas d haclo: ª foma: Usando l studio dl cciminto y dcciminto. Si vmos qu a la izquida d un punto (qu sa dl dominio d la función y divabl n él) la función s ccint y a la dcha s dccint, podmos conclui qu la función psnta un máimo lativo n l punto d abscisa. Si vmos qu a la izquida d un punto (qu sa dl dominio d la función y divabl n él) la función s dccint y a la dcha s ccint, podmos conclui qu la función psnta un mínimo lativo n l punto d abscisa. Est método s cómodo d usa pus nomalmnt nos van a pdi n l poblma qu studimos la monotonía, y d paso podmos calcula los tmos lativos. Ejmplo 4.- Dada la función f ( ), calcula sus tmos lativos Como vmos s tata d una función polinómica, y po tanto, su dominio s todo R y s divabl n todo R. Calculamos la función divada f '( ), y vmos dónd s anula (stos puntos sán los posibls tmos y admás nos dtminan los intvalos d monotonía) f '( ) UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
Ahoa hacmos nusta tabla d signos d la divada (, ) (, ) (, ) - En, la función pasa d s ccint a dccint, lugo psnta un máimo lativo (también s dic qu la función psnta un máimo lativo n (-,) ) En, la función pasa d s dccint a ccint, lugo psnta un mínimo lativo (también s dic qu la función psnta un mínimo lativo n (,-) ) NOTA: Esta función s la cospondint a la gáfica dl jmplo. Podéis compoba como l studio analítico cospond con l gáfico. ª foma: Usando l citio d la divada sgunda. Aquí s utiliza la siguint popidad: Popidad: Dada una función y f () tal qu f '( ), ntoncs si ist la divada ª n ( f "( ) ) a) Si f "( ) >, ntoncs f tin un mínimo lativo n b) Si f "( ) <, ntoncs f tin un máimo lativo n c) Si f "( ), ntoncs no podmos afima nada. Ejmplo 5.- Dada la función f ( ), calcula sus tmos lativos. (s igual al jmplo 4) Vmos dond s anula su divada ª: f '( ) Calculamos la divada ª: f "( ) 6 Y po último vmos l valo d la divada ª n los puntos dond s anula la divada ª f "( ) 6 ( ) 6 < En, la función tin un máimo lativo f "() 6 6 > En, la función tin un mínimo lativo Como obsvamos st método s mucho más coto qu l antio n st caso, po si nos pidn también studia la monotonía, ntoncs s más convnint usa la ª foma. Muchas vcs la divada ª s complja d calcula, po so quizás sa más convnint la ª foma, po s dja a gusto dl alumno su uso. Ejmplo 6.- Estudia los tmos lativos d f ( ). (s la misma función dl jmplo ) Vamos a haclo d las dos fomas. ª foma: Usando l studio dl cciminto y dcciminto. Po l Ejmplo, ya tnmos l studio d la monotonía. Ponmos aquí sólo la tabla d signos d la divada ª (,) (,) (,) (, ) - - D aquí dducimos qu: En, la función tin un máimo lativo 4 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
En, la función tin un mínimo lativo OJO! En, la función no pud tn tmos pus no s dl dominio ª foma: Usando l citio d la divada sgunda. Po l jmplo tnmos ya calculada la divada:. Divamos ota vz paa la divada ª: f '( ) y dónd s anula qu s n los puntos ( ) ( )( ) ( ) ( ) f "( ) (sacamos facto común ) ( ) 4 ( )[( )( ) ( ) ] ( ) 4 (simplificamos y opamos) ( ) Vmos ahoa los valos qu toma la sgunda divada n f "() < En ( ), la función tin un máimo lativo f "() > En, la función tin un mínimo lativo ( ) NOTA: El citio d la divada sgunda admit una gnalización paa cuando las divadas sucsivas van dando n l punto. Lo tnéis n l libo n la página 89 n l cuado dl final, y lo qu nos dic ( a gosso modo) s qu si la función tin divadas nulas n, si l índic d la pima divada sucsiva s pa ( ) ntoncs si f n ( ) ) < s un máimo lativo y si f n ) > s un mínimo lativo. (. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN S tata aquí d poblmas (pacidos a los d cuacions) dond tnmos qu calcula l máimo o mínimo (optimización) d una función con unos condicionants o ligaduas. Lo fundamntal n st tipo d poblmas s ntnd l nunciado y lgi bin las vaiabls, así como las lacions o ligaduas nt llas. Vamos con jmplos como afontalos: Ejmplo 7.- Enconta dos númos cuya suma sa y tals qu l poducto d uno d llos po l cuadado dl oto sa máimo Tnmos dos vaiabls (los dos númos) qu notamos po y La lación nt llos o ligadua s: y La función a optimiza (a maimiza n st caso) s : f (, y) y. Como vmos sta función tin dos vaiabls, po la ligadua nos pmitiá hac una sustitución y dja una sola. D la lación tnmos qu y, y sustituimos n la función, qu nos quda sólo con la : f ( ) ( ( ) Opamos f ( ) (44 4 ) f ( ) 44 4 Divamos: f '( ) 44 48 igualamos a paa calcula sus tmos, solvindo una cuación d º gado: 5 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
44 48 6 48. Hay dos posibls solucions. Vamos cuál s l 4 máimo. Lo vamos a hac po l citio d la ª divada. f "( ) 48 6 f "() 48 6 4 > s un mínimo lativo y no nos intsa f "(4) 48 6 4 4 < 4 s un máimo lativo y ést s l adcuado. Calculamos y sustituyndo: y 4 8 La solución ntoncs s 4 y 8 NOTA: Si n luga d usa la hubiésmos tabajado con la y, la solución d la cuación d º gado s mucho más simpl Ejmplo 8.- S dsa constui un dpósito cilíndico d m, abito po aiba. Sabindo qu l matial d la bas s 5 vcs más cao qu l d las pads, halla las dimnsions qu limitan l cost d matial. En la imagn tnmos las fómulas dl áa latal, l áa total (con las dos tapas) y l volumn d un cilindo Tnmos dos vaiabls y h, ambas n la unidad mto(m). La ligazón vin dada po l volumn: π h Dado qu l poblma no spcifica l cost po m d la bas y pads, podmos supon, sin pd iguosidad, qu él d las pads s /m, y po tanto l d la bas sá 5 /m. Así, la función cost podmos ponla como sigu: C(, h) π h π 5 (cost d las pads más l cost d la bas). Odnamos un poco y nos quda: C(, h) π h 5π D la ligadua dspjamos una d las vaiabls, n st caso la h (con la nos saln aícs cuadadas y pud qu nos lo compliqu): h. Sustituimos n la función cost y nos quda sólo con π C( ) π 5π C( ) 5π. π π Divamos C '( ) π. Igualamos a : π π qu sá l posibl tmo lativo. π Hacmos la ª divada: 4 "( ) C π y sustituimos: C" ( ) π >. Lugo s un mínimo. π π Así las dimnsions dl cilindo sán: Radio d la bas: ' 86 m π 6 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
Altua: h ' 7 m π π VER: Ejcicios sultos dl libo n páginas 9 y 9. 4. CONCAVIDAD O CURVATURA DE UNA FUNCIÓN No vamos a nta n pofundidad n l significado d cóncavo o convo n una función, sólo mdiant unas gáficas vmos su significado. Una función s cónva n un intvalo si su gáfica n s intvalo s simila al siguint dibujo En l libo lo llama también como cóncava hacia las y positivas. Nosotos dimos sólo conva. Una función s cóncava n un intvalo si su gáfica n s intvalo s simila al siguint dibujo En l libo lo llama también como cóncava hacia las y ngativas. Nosotos dimos sólo cóncava Estudia la cuvatua d una función s v dónd s cóncava ó conva. La caactización d dónd una función s cóncava o conva vin dada po l signo d la divada sgunda. Popidad: Si f "<, ntoncs la función s cóncava Si f ">, ntoncs la función s conva Ejmplo 9.- Estudia la cuvatua d f ( ) 6 Como s una función polinómica, su dominio s todo R, y s divabl infinitamnt n todo R Divamos hasta la ª divada: f '( ) f "( ) 6 Vamos a studia l signo d f ". La igualamos a : 6 Constuimos la tabla d signos: 7 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
6 (,) (, ) - CóncavaI ConvaU En (,), la función s cóncava. En (, ), la función s conva. La gáfica d sta función s como sigu, paa qu váis qu coincid con l studio alizado En, s poduc l cambio d concavidad o cuvatua NOTA: Como simp, s pud dci qu n (, -6) s dond s poduc l cambio d cuvatua, n luga d dci. VER: Ejcicio sulto dl libo n la página 9. 5. PUNTOS DE INFLEXIÓN Dfinición.- Dimos qu una función y f() tin un punto d inflión n, cuando la función cambia d cuvatua n s punto. Si pasa d conva a cóncava, s llama punto d inflión convo-cóncavo. Si pasa d cóncava a conva, s llama punto d inflión cóncavo-convo. Paa calculalos hay también dos fomas, aunqu la más fácil s studiando la cuvatua como hmos hcho n l punto antio. La ota foma s basa n la siguint popidad: Popidad: Si la función y f() tin divada sgunda nula n un punto, y su divada tca s distinta d, ntoncs s un punto d inflión. 8 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
NOTA IMPORTANTE: Si ntoncs f "( ) s un punto d inflión y y f () s divabl dos vcs n, En la página 9 dl libo, n l último cuado, tnéis una gnalización d sta popidad. Ejmplo.- Calcula los puntos d inflión d f ( ) 6 Esta función s la dl jmplo 9, apovchamos lo ya hcho: (,) (, ) 6 - ConvaI CóncavaU Como vmos, n, la función tin un punto d inflión convo-cóncavo. Vamos a haclo d la ota foma. Hacmos la ª divad igualamos a, sultando los posibls puntos d inflión. f "( ) 6 6 Hacmos la ª divada y vmos l valo n f "'( ) 6 f "'() 6 En, hay un punto d inflión. D sta foma s obtin mnos infomación d la cuva (no sabmos si s convo-cóncavo o vicvsa), po pud sulta a vcs más ápido. Ejmplo.- Estudia la cuvatua y los puntos d inflión d la función y Simp pimo tngamos n cunta l dominio: Dom ( y) R { }. En su dominio sta función s divabl pus s acional y no s anula l dnominado Calculamos la ª divada: y' ( ) 4 y " ( ). Vamos dónd s anula qu sán los posibls 4 puntos d inflión y nos pmit hac la tabla d signos: y" ( ) 4 No hay solución. Hacmos la tabla d signos y OJO!!! hay qu tn n cunta también los qu anulan al dnominado qu no son dl dominio. 4 ( ) (,) (, ) - ConvaI CóncavaU Podmos conclui qu: En (,), la función s conva. En (, ), la función s cóncava. Y no tin puntos d inflión, pus n no tin sntido pus no s dl dominio. VER: Ejcicios sultos dl libo n la página 9 NOTA: El punto 6 dl libo (paginas 94-97) no nta. 9 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
6. REGLA DE L Hôpital Esta gla dic así: San f y g dos funcions continuas qu vifican las siguints hipótsis: - f ( ) g( ) ( ó f ( ) g( ) ± ) - En un cito ntono ducido d, s tin qu g ( ) - Eist l f '( ) g'( ) f ( ) g( f '( ) Entoncs s tin qu ) g'( ) Esta gla s válida sindo cualqui nº al, ó Admás la Rgla d L Hôpital s pud aplica cusivamnt, s dci, d mana itada, hasta qu llgumos a la obtnción dl it. También siv paa solv indtminacions dl tipo Ejmplo.- Calcula los siguints its 6 8 6 qu s pudn tansfoma n ó n a) Si sustituimos nos sulta una indtminación dl tipo Ya sabmos solvla aplicando la dscomposición n factos mdiant Ruffini, po aquí vamos a aplica la Rgla d L Hôpital. 6 8 6 6 6 6 6 como dic la gla. Nuvamnt sustituimos y nos quda indtminación. Volvmos a aplica la Rgla d L Hôpital. Divando n l numado y n l dnominado, qu vulv a s 6 6 Ruffini 6 4 6 7. Rcomndación: Compoba st it aplicando ln(cos ) b) Al sustitui po nos sulta ln(cos ) ln. Aplicamos la Rgla d L Hôpital ln(cos ) L Hôpital sn cos sn, qu al sustitui sulta, y volvmos a aplica la Rgla d cos UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)
sn cos cos cos cos [ sn] [ cos sn] ln c) ( ) En st caso sal una indtminación ( ) ( ) No podmos aplica la gla aún. Rstamos las faccions paa dja una solamnt: ( ln ) Aplicamos la Rgla d L Hôpital: ln ( ) ln ( ln Y ahoa si sulta indtminación dl tipo ) Volvmos a opa paa simplifica la psión obtnida ln ( ) ln ln ln ln ln Qu vulv a s Volvmos a aplica la Rgla d L Hôpital ln d) ln ln Al sustitui nos da, qu s indtminación. Paa solvla nos llvamos uno d los factos, la ó la ponncial, al dnominado. Tnmos dos opcions: ó ( qu nos da indtminación ) qu nos da indtminación Es fundamntal lgi aqulla qu al diva s convita n ota más simpl. Si lgimos y aplicamos la Rgla d L Hôpital a la ª ( ) - y nos ha salido la misma dl pincipio, y no hmos avanzado nada. (aunqu con sto ya s pud sab cuánto s l it) Con la pima opción: ( ) VER: Ejcicios sultos dl libo Pág. 99, y (aplicamos L'Hôpital) Ejcicios dl libo d tto: Pág. 8: jcicios,,, 4, 6, 7, 8, 9,,,, 5, 6,,, 44, 45, 46, 5, 5556 UNIDAD.- Aplicacions d las divadas (tma dl libo)