Método d los Elmntos Finitos para Análisis Estructural Alisado d tnsions
Campo d tnsions Tnsions n cualquir punto dl lmnto, sgún l MEF: = Dε= DBδ Matriz B contin las drivadas d las N: no son continuas Discontinuidads d n las frontras. Valors difrnts n los nudos S studia una componnt cualquira d la tnsión: = D ε= D Bδ f f D f : fila corrspondint a n la matriz D f=1 para x, f=2 para y,, f=3 para τ xy, tc. 1
Campo d tnsions Elmnto rctangular = D B(, xy) δ f 1 1 ν 0 c + y 0 c y 0...... V x 1 E 1 ν 1 0 0 b x 0 b x......... = + y 2 (1 ν ) 4bc xy 1 ν b x c y b x c y...... U 4 + + 0 0 2 V 4 U 2
Objtivo dl alisado d tnsions Buscar un valor único d la tnsión n cada nudo, tal qu: El campo d tnsión s rprsnt mdiant las funcions d intrpolación N i (usadas para dformacions) Campo d tnsions n los lmntos sa continuo: mjora stética y también mjora n la calidad d las tnsions. a Hay qu hallar 3
Tnsions alisadas Variación d una tnsión alisada dntro dl lmnto: Intrpolada rspcto a los valors (únicos) n los nudos = N = N a i i f a N f i 4 Vctor fila con las funcions d intrpolación dl lmnto Tnsión alisada n l nudo i dl lmnto Valors d la tnsión alisada n todos los nudos dl lmnto (incógnitas)
Ejmplo (Abaqus) 5
Métodos d alisado Hallar los valors d las tnsions n los nudos A. Alisado por promdiado dircto d los valors d tnsión d los distintos lmntos. B. Alisado global n toda la malla, minimizando l rror global dbido al alisado. C. Alisado local n cada lmnto, minimizando l rror local dbido al alisado, sguido d promdiado d los distintos nodals como n A. S aplican por sparado a cada una d las componnts d la tnsión (3 n l plano, 6 n l spacio) 6
A. Alisado por promdiado dircto (I) Tnsions n l nudo i, calculadas por cada lmnto =D B( x, y ) δ i f i i U 1 1 ν 0 c yi 0 c y 0...... xi + i E 1 V 1 yi = ν 1 0 0 b x 0...... 2 + i b xi (1 ν ) 4bc... xyi 1 ν b x i c y i b x i c y i...... + + 0 0 V 4 2 7
A. Alisado por promdiado dircto (II) Tnsions n l nudo i, calculadas por cada lmnto = i n i i =D B( x, y ) δ i f i i Tnsions promdiadas n l nudo i, ntr todos los lmntos qu llgan a él: Númro d lmntos qu llgan al nudo i Promdio pondrado con l ára: i = A A i Muy sncillo y bastant ficaz 8
B. Alisado global d tnsions (I) Error ntr la tnsión alisada y la tnsión original no alisada E = a = Nf Error cuadrático n un lmnto cualquira 2 2 a ( ) 2 E E dv dv = = Buscamos unas tnsions alisadas n los nudos qu minimicn l rror cuadrático E 2 = 0 E T 2 0 2 f ( a ) 0 Edv = dv = N 9
B. Alisado global d tnsions (II) Sustituyndo y rordnando: N ( N ) = 0 T f f dv NN dv = T T f f f M = R N dv Matriz d alisado (n x n) (gomtría) Término indpndint (dpnd d las tnsions) M = N N dv ij i j Ri = Ni dv 10
B. Alisado global d tnsions (III) Ensamblando para todos los lmntos minimizarmos l rror d la tnsión alisada d forma global para toda la structura: M = R S obtin d una vz l valor d la tnsión alisada n todos los nudos d la malla. Cost: rsolvr un sistma d cuacions d tamaño igual al númro d nudos. Para cada componnt d la tnsión cambia l término indpndint R Los términos M y R s calculan por intgración numérica: s stá minimizando l rror d la tnsión alisada rspcto d la original n los puntos d intgración (puntos d Gauss) El método más ficaz, pro más costoso. 11
C. Alisado local (I) Por qué calcular la tnsión n los nudos por la fórmula dircta? =D B( x, y ) δ i f i i Las tnsions más prcisas n l lmnto s producn n los 4 puntos d intgración d Gauss: = D B ( x, y ) δ G f G G G Error n un punto d Gauss ntr la tnsión alisada y la nominal E = = N G ag G fg G 12
C. Alisado local (II) Buscamos unas tnsions n los nudos tals qu s minimic l rror cuadrático n los puntos d Gauss. E = H E ( ) 2 G2 G G G H G : factor pso d cada punto n la intgración numérica Minimizando st rror rspcto a s obtin: G E G 2 EG = 2HG EG = 0 G ( ) H ( ) T T 2H N = 2 N N = 0 G fg ag G G fg fg G G 13
C. Alisado local (III) G H N N = H N T T G fg fg G fg G G Esta s la misma cuación d alisado individual dl lmnto qu s utilizó n l alisado global, valuada numéricamnt: M = R Aplicando sta cuación al lmnto, s obtinn unas tnsions n los nudos qu minimizan l rror n los puntos d Gauss. S dic qu stas tnsions n los nudos son xtrapoladas d las tnsions d Gauss. 14
C. Alisado local (IV) Las tnsions n los nudos xtrapoladas d las tnsions d Gauss son discontinuas n las frontras, pus stán obtnidas por indpndint para cada lmnto S promdian n los nudos ntr los lmntos, para obtnr las dfinitivas, siguindo los métodos antriors (A) Mnor sfurzo d cálculo: l sistma d cuacions s rsulv a nivl d lmnto finito n vz d para toda la malla. 15