TEMA 6.- DERIVADAS.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA L siguiente tbl d el precio, en euros, de un producto durnte 8 ños sucesivos: Si llmmos P( l unción precio según el ño, podemos medir l vrición del precio en distintos periodos de tiempo. Así, durnte el primer ño, dich vrición será: P( - P(0 = 8 euros Y entre el primer y el tercer ño: P( - P( = 0 euros Puede precer que est últim vrición es myor que l primer, pero no son cntiddes que podmos comprr puesto que los periodos temporles sobre ls que están medids son dierentes. Si queremos sber en qué periodo se h producido un myor vrición en el precio, clculmos l ts de vrición medi, que nos d el incremento por unidd de tiempo: P P 0 T.V.M. 0, 8 0 P P T.V.M., 5 Lo que indic que durnte el primer ño, el precio h umentdo un ritmo 8 euros y que durnte los tres ños siguientes dicho precio h umentdo un ritmo (velocidd de 5 euros/ño. Luego l vrición rel del precio h sido myor en el primer ño que en los tres siguientes. Si observmos l vrición entre el tercer y el último ño: P7 P 4 8 T.V.M.,7 7 4 Lo que indic que en ese periodo el precio h disminuido rzón de un euro/ño. En generl, dd un unción culquier, (, se deine su ts de vrición medi en el intervlo [,b] como el cociente entre el incremento de l unción en dicho intervlo y el incremento de l vrible independiente: T.V.M.,b b b Dich ts nos d un inormción reltiv l crecimiento o decrecimiento de l unción en dicho intervlo.
Además coincide con l pendiente (tngente del ángulo que orm con el eje de bsciss de l rect secnte l unción en los puntos (,( y (b,(b. b T.V.M.,b tg m b s T.V.M. T.V.M. T.V.M. Si volvemos nuestr tbl de precios:,,5,7 P P P 5 P 5 P 7 P 7 5 euros / ño euros / ño euros / ño L T.V.M. represent l pendiente del segmento que une los puntos de l curv Ejercicio: Clculr l T.V.M. de ls siguientes unciones en los intervlos que se indicn: 8 en, y en,8 b en, y en 0, c en, y en, d log en,9 y en,5 Sin embrgo, l T.V.M. puede inducir error sobre el crecimiento o decrecimiento de un unción. Si observmos el siguiente gráico:
Clrmente l T.V.M. en el intervlo [,b] v ser negtiv, lo que nos inducirí pensr que en ese intervlo l unción es decreciente. Esto no es del todo cierto, puesto que en ese intervlo empiez creciendo, luego disminuye y después vuelve crecer. O en el intervlo [c,d] l ts sldrí 0 l ser (c = (d, pero sin embrgo l unción no se mntiene ni mucho menos constnte en ese intervlo. El problem es pues que l T.V.M. brc un intervlo demsido mplio en el que l unción puede surir muchs vriciones que l ts de vrición medi no tiene en cuent. L mner de solucionr esto es reduciendo l mplitud del intervlo, hciendo que éste se cd vez menor..- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DEFINICIÓN E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA L T.V.M. de un unción en un intervlo, h será: T.V.M.,h h Pr poder reducir l nchur del intervlo hcemos que h se cd vez menor, es decir, se cerque 0, y de est mner obtenemos l ts de vrición instntáne en (cómo vrí l unción en el punto : T.V.I. h0 h (En nuestro ejemplo de precios, es ts de vrición instntáne nos drá el ritmo de crecimiento (o decrecimiento de los precios en un ño concreto Pues bien, ést es precismente l ide de derivd: Dd un unción ( y un punto de su dominio, se deine l derivd de l unción en, (, como ' h0 h Si nlizmos el proceso gráicmente:
Vemos que l ir disminuyendo el intervlo, l rect secnte inicil, cuy pendiente er l ts de vrición medi, se v convirtiendo en l rect tngente l curv en, y su pendiente será justmente l derivd de l unción en. Luego, geométricmente, L derivd de un unción en un punto es l pendiente de l rect tngente dich unción en el punto (,( m= ( Pero vemos lgún ejemplo práctico de cómo clculr l derivd de un unción en un punto. Ejemplo : Clculr l derivd de l unción ( en el punto = Solución: '( h0 ( h h ( h h0 ( h 5 h h h0 h h h h h0 h 0 h( h h 0 h0 h ( h h0 4
Ejemplo : Clculr l derivd de l unción ( en el punto = Solución: 4 4 h ( h ( 4 h 4 h '( h0 h h0 h h0 h h 0 h0 h 4 h 0 h 0 4 h 8 Not: Si ese límite no eistiese, diremos que l unción no es derivble en el punto Ejercicio: Clculr ls derivds de ls siguientes unciones en los puntos que se indicn: 5, en y en 0 b, en 4 y en c, en y en 0 Si llmmos = + h, l derivd puede epresrse como: ( ( '( Epresión que result más sencill de utilizr en l práctic. Por ejemplo, vmos clculr l derivd de l unción en = 0 ' 0 9 Ejercicio: Clculr l derivd de l unción ( en el punto = b Clculr l derivd de l unción ( en el punto = 5
.- FUNCIÓN DERIVADA Si tuviérmos que clculr l derivd de un unción en los puntos = 0, =, = - y = 4, el procedimiento serí lrgo y tedioso, pues tendrímos demás que repetirlo pr cd punto. Pretendemos hor clculr un unción que permit obtener, no el vlor de l derivd de un unción en un punto concreto, sino el vlor de l derivd de un unción en culquier punto genérico. A es unción se le llm unción derivd, ( Pr clculrl volvemos l deinición inicil de derivd: ' h0 h h Vemos un ejemplo: Vmos clculr l unción derivd de l unción Aplicndo deinición: h h h h h h ' h0 h ho h h0 h h h h 0 h h h0 h 0 h0 h Luego l unción derivd de l unción es l unción ' Si hor queremos clculr el vlor de l derivd de es unción en vrios puntos, bstrá con sustituirlos en l unción derivd. Así: ' 0 ; ' ; ' 5 ; ',... Ejercicio: Clculr ls unciones derivds de: ( b ( c ( d 4.- REGLAS DE DERIVACIÓN En l segund mitd del s. XVII, tnto Newton como Leibniz (unque por supuesto sin l notción ctul desrrollron regls pr trbjr con ls derivds de mner sistemátic. (Tods ells se obtienen usndo l deinición, si bien es cierto que en lgunos csos son necesrios conocimientos superiores de cálculo de límites 6
Antes de psr eponerls, mencionr que hremos un pequeño cmbio de notción, de mner que l unción derivd de otr, (, l llmremos, por comodidd y cundo se necesrio, D(. de Operciones con Funciones Derivd de un número por un unción k ' D k ( Derivd de l sum y dierenci de unciones D ( g( ' g' Derivd del producto de unciones D ( g( '( g( ( g'( Derivd del cociente de unciones ( '( g( ( g'( D g( g( Regl de l Cden D g( '( g( g'( de ls Funciones Elementles Funciones Polinómics ' k, k ' 0 ' n n n Vemos lgunos ejemplos ntes de seguir, usndo demás ls dos primers propieddes de ls derivds con operciones: ' 5 5 4 ' 6 4 ' 4 7
O usndo l regl de l cden: 4 ' 4 ' 4 Al plicr l regl de l cden l derivd de un potenci, se obtiene un regl de derivción nuev: n n D n ' Ests regls que surgen prtir de otrs usndo l regl de l cden se llmn regls de derivción compuests, e irán preciendo medid que vymos ñdiendo dierentes regls. O si mezclmos con ls propieddes del producto y del cociente: 4 4 4 6 4 5 4 5 5 5 ' 4 ' Ejercicio: Clculr ls siguientes derivds: ( b c 5 6 4 d e ( 4 g ( h 4 i ( 7 4 j k Funciones irrcionles ' Est regl se obtiene tmbién epresndo l ríz como potenci: ' L regl compuest pr este cso será: 8
' D ' Así, por ejemplo: 9 ' 9 n n n Que tmbién se obtiene epresndo l ríz como potenci. Así: 5 ' 5 4 5 n ' Y su regl compuest correspondiente: Por ejemplo: ' D n ' n n n n n n 4 6 ' 6 4 4 Ejercicio: Clculr ls siguientes derivds: 4 4 b c 4 d e 5 5 4 4 6 g h i 4 j k l 5 4 9
Funciones eponenciles ' ln ' ln Así: Y su regl compuest correspondiente: D ln ' Por ejemplo: 5 4 5 4 ' ln 5 8 7 ' 7 ln Nótese que l plicr l regl de l cden se vn encdenndo derivds. En el ejemplo nterior, primero un eponencil, luego un ríz y luego un polinomio e ' e Se trt de un cso prticulr de l regl nterior, y que lne =, pero destcmos su importnci pues prece en ininidd de unciones con plicción práctic. L regl compuest correspondiente: D e e ' Ejercicio: Clculr ls siguientes derivds: e e e b c e d 4 5 e e e 6 g h 4 5 i ( j ( e k ( e l ( e Funciones logrítmics log ' log e ln (Puede epresrse de ls dos orms, unque usremos l primer 0
Y l compuest: ' D log ' ln ln Y de nuevo como cso prticulr de est regl: ln ' Y su regl compuest: Ejemplos: ' D ln ' log ' ln ln log 5 ' 5 ln 5 5 ln0 ln ' Ejercicio: Clculr ls siguientes derivds: ln log b c ln ln 4 d ln e log 5 ln 5 4 4 g log 7 e h ln i ln e En l siguiente tbl resumimos tods ls regls de derivción simples y compuests:
FUNCIÓN DERIVADA FUNCIONES COMPUESTAS Funciones Polinómics e Irrcionles ( n ( n n n n ( Funciones Eponenciles n '( n n '( ( '( n n ( ( ( '( Ln n ( n ( '( n n '( ( '( ( n ( Ln '( ( e ( '( e ( e e '( Funciones Logrítmics ( log ( Ln `( log ( ln '( Ln ( `( ( ln '( ( Ejercicio: Clculr ls siguientes derivds: (( ( b c Ln e d(( ( e 4 log 5 ( Ln g( log 5 ((( h i Ln ( ( log ln j e k l m 7 Ln e n o Ln
5.- DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si un unción es derivble en un punto, entonces es continu en dicho punto. Importnte: Si un unción es derivble en un punto, entonces es continu en dicho punto. Esto quiere decir que si un unción no es continu en un punto, utomáticmente no será derivble en él Cuiddo! si un unción es continu en un punto, puede ser o no derivble en dicho punto Por tnto, ntes de ver si un unción es derivble en un punto, veremos si es continu en dicho punto, y que si no lo es, tmpoco será derivble y no hbrá que hcer nd más. En ls unciones trozos, se hblrá de derivds lterles: ( ( ( ' ; ( ( '( Y l derivd tendrá sentido si mbs derivds lterles coinciden. Ejemplo: Clculr l derivd de l unción ( en = Primero vemos si es continu: ( ; ( ( ( Luego l unción es continu en, y por tnto podrí ser derivble Clculmos ls derivds lterles: ( 0 0 ( ( '( 0 0 ( ( ( ' Como mbs derivds lterles coinciden podemos decir que l unción es derivble en el y que demás su derivd vle : (=
Pero est orm de ver si un unción trozos es derivble usndo l deinición es, en l myorí de ls ocsiones, lborios y poco práctic. Usremos por tnto ls regls de derivción que hemos prendido pr clculr tmbién ls unciones derivds de unciones trozos. 6.- DERIVADA DE FUNCIONES A TROZOS L derivd de un unción trozos es otr unción del mismo tipo cuyos trozos son ls derivds de los trozos de l unción originl. Ejemplo: ( '( Nótese que no hemos puesto el igul en el. Por qué? L rzón es muy sencill: no sbemos si l unción es derivble o no en dicho punto, y hst que no lo sepmos no podemos decidir si le ponemos el igul o no. Luego pr clculr l unción derivd de un unción trozos lo primero es ver si es continu (recordemos que si no lo es no es derivble y luego ver si ls derivds lterles coinciden. Pr esto no hce lt cudir l deinición originl, sino derivr usndo ls regls y ver si los límites de ls derivds de cd trozo coinciden. Hgmos el ejemplo completo: Primero vemos si es continu en (Su dominio es todo y en ningún otro punto tendrá problems de continuidd: ( ( ( ( ( y por tnto es continu Clculmos su posible unción derivd (usndo ls regls: ( '( Pr sber si es derivble en clculmos los límites de ls derivds lterles: 4
'( '( '( '( L unción no es derivble en Y por tnto su unción derivd es: '( Obsérvese que y no hce lt clculr ls derivds lterles usndo l deinición de derivd, sino directmente ls regls de derivción. Not: Si hubier slido derivble en, l unción derivd hubier sido '( Ejercicios:.- Clculr l unción derivd de ls unciones: (= e b (= - - si si > (= c + - 4 si si 0 si < > 0 - (= + + Ln( d si si < - - si 0 >.- Clcul y b pr que ls siguientes unciones sen derivbles en todo b (= (= +b si b + - si > + si + b - 4 si > 5
7.- APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE Recordemos que l interpretción geométric de l derivd es precismente como l pendiente de l rect tngente un unción en un punto: L pendiente de l rect tngente en el punto A(,( es mtg ' Luego de dich rect tngente conocemos su pendiente y un punto por el que ps, lo que nos permite obtener directmente su ecución punto-pendiente: tg y ( '( ( Ejemplo : Clculr l ecución de l rect tngente l unción ( en el punto de bscis = Solución: Sólo tenemos que clculr ( y ( y sustituir después en l ecución de l rect tngente: Clculmos (=5 Como ' ' Luego sustituyendo en l ecución de l rect tngente tenemos: y-5=(- O lo que es lo mismo: y=+ 6
Ejemplo : Clculr l ecución de l rect tngente l unción en el punto de bscis = 4 Solución: Sólo tenemos que clculr (4 y (4 y sustituir después en l ecución de l rect tngente: 4 ' ' 4 4 Luego l rect tngente será: tg y 4 4 Y operndo qued: tg y 4 Ejercicios:.- Clculr l ecución de l rect tngente l gráic de l unción 6 9 en el punto de bscis =.- Clculr l ecución de l rect tngente l gráic de l unción ln en el origen de coordends.- Clculr los puntos de l gráic de l unción 6 en los que l rect tngente es horizontl, y clculr ls ecuciones de dichs rects tngentes 4.- Rzonr si eiste lgún punto de l gráic de l unción 5 6 en l que l rect tngente se prlel l rect y = -, y en cso irmtivo clculr dich rect tngente 5.- Clculr l ecución de l rect tngente l gráic de l unción punto de bscis = en el 7
EJERCICIOS.- Clcul l T.V.M. de ls siguientes unciones en los intervlos que se indicn: en,5 b en, c 4 en 0, d en,.- L siguiente tbl represent el espcio lcnzdo por un móvil y el tiempo en que lo lcnz: Espcio (m 8 5 4 0 Tiempo (sg 4 5 Clculr e interpretr l T.V.M. en los intervlos [,] y [,4] Qué signiicrá en este cso l ts de vrición instntáne en un segundo concreto?.- Clcul, plicndo l deinición, ls derivds de ls siguientes unciones en los puntos que se indicn: en b en c en 5.- Clcul ls derivds de ls siguientes unciones: 0 + + - + ( 4 4 6 5-4 5 4 4 ( 5 6 = - - -( - 7 = 8 = 9 = 0 = +5 - - = = ( +. ( - 4 = 5-6 - Ln 8
log 7 8 ln e 9 0 ln - = log - 5 Ln e 4 e 5 + ( - ln e + ln 6 - - 7 8 - - 9 ln e 0 5 e log 5 Ln 4 5 Ln e e 5 6 7 e 8 5 Ln 9 e 40 5 Ln 6.- Estudi l derivbilidd de ls siguientes unciones y clcul su unción derivd: si ( = si > c 5 b d si si > 6 4 e 5 5 5 ( Ln 9
7.- Clculr l ecución de l rect tngente l unción en el punto de bscis = 8.- Clcul los puntos en que ls rects tngentes ls siguientes unciones son horizontles y clcul dichs rects tngentes: 8 b 6 c e 9.- Hll un punto de l unción ( = + + en el que l tngente se prlel l rect y = +5. 0.- Determin pr que l pendiente de l tngente l curv vlg - y = en el punto de bscis = 0 +.- Indic, en l gráic de l unción, los puntos en los que l derivd es cero. b En =, l derivd es positiv o negtiv?. c Y en =0?.- Hll los puntos donde ls rects tngentes ls unciones y g prlels entre sí son.- Hll, b y c en ( = + +b+c de modo que l gráic de teng tngente horizontl en los puntos = - y = y que pse por el punto (0,. 4.- Hll un unción de segundo grdo b c sbiendo que ps por (, - y que l pendiente de l rect tngente en el punto (0,- vle 0 5.- Dd l unción: ( 4 4 Estudir su continuidd y derivbilidd y clculr su unción derivd b Eiste lgún punto donde l derivd vlg 0? c Clculr l ecución de l rect tngente en el punto de bcis 0
Soluciones: b c d 6 4.- 6, 8 b c5 4.-.- 5.- 9 4 ' = 0 + - ' - ' 9 8 5 4 4 ' 5 ' 4 6 ' 5 4 (+5 - ( -. ( - - ( - 7 ' 8 ' 9 ' (+5( - - ( -. - ( - 0 ' = ' ( ' (6 +6( - + ( + (6 - ' = Ln - ( - - - Ln 4 ' = 5 ' - - 6 ' - 6 6-7 ' 8 '. e + ln. e - - 9 ' 4. ln 6-5 0 ' ' '. 4 - - Ln - 5-5 ' = Ln( e e 4 ' e e e 6 + ( - - 5 ' 6 ' - -. 6 - + ( - - Ln
ln ( - - ln 7 ' - ( - e + - e +ln - 8 ' 9 ' ln e e e 0 ' ln ' e e ' 5 5 Ln Ln Ln ' 4 ' 6 5 5 0 e e e e e Ln 5 ' 6 ' 7 ' e e e 5 e 0 8 ' 5 Ln5 Ln 9 ' 40 ' e 4 6.- ' si si > c ' b ' d ' si si > 4 e ' 5 5 (
7.- y = -6 + y 6 b y 6 c y e, 0.- =.- -, b positiv c negtiv 8.- 9.-.-,.- = 0, b = -, c = 4.- =, b = 0, c = - 5.- 4 ' b No c y = 8 4