Fórmula de Taylor. 9.1. Derivadas sucesivas. Tema 9

Tema 9 Fórmula de Taylor El proceso de derivació de ucioes reales de variable real puede obviamete iterarse, obteiedo la seguda y sucesivas derivadas de ua ució. Igual que la derivabilidad de ua ució e u puto permitía aproximar la ució mediate u poliomio de grado meor o igual que uo, la existecia de la derivada -ésima e u puto dará lugar a ua aproximació aú mejor, mediate u poliomio de grado meor o igual que, llamado poliomio de Taylor. El error que se comete al hacer esta aproximació, es decir, la dierecia etre la ució de partida y su poliomio de Taylor, se cooce como resto de Taylor. La validez de la aproximació se cuatiica mediate la llamada órmula iiitesimal del resto, porque describe la rapidez co la que el resto de Taylor tiede a cero al acercaros al puto e cuestió. Ua estimació aú más precisa se cosigue mediate la llamada órmula de Taylor, que describe co exactitud el resto de Taylor y es u resultado aálogo al Teorema del Valor Medio, pero ivolucrado las derivadas sucesivas de ua ució. 9.1. Derivadas sucesivas Sea : A R ua ució real de variable real, y recordemos la deiició de la ució derivada de, que e adelate se deotará tambié por 1) : A 1 {a A A : es derivable e a}, y si A 1 /0, 1) : A 1 R, 1) a) a) lím x a x) a) x a a A 1 Si a A 1 A 1 y es derivable e a, decimos que es dos veces derivable e a. La derivada de e a recibe el ombre de seguda derivada de e a y se deota lógicamete por a), o tambié por 2) a). Si ahora A 2 es el cojuto de los putos de A 1 A 1 e los que es dos veces derivable, y supoemos que A 2 /0, la ució 2) : A 2 R, que a cada puto a A 2 hace correspoder la seguda derivada de e a, es la ució derivada seguda de. Así pues, teemos: A 2 {a A 1 A 1 : es dos veces derivable e a}, y si A 2 /0, 2) : A 2 R, 2) a) a) lím x a x) a) x a 104 a A 2

9. Fórmula de Taylor 105 E geeral, sea N y sea ) : A R la ució derivada -ésima de. Si a A A y ) es derivable e a, decimos que es + 1 veces derivable e a y la derivada de ) e a es, por deiició, la + 1)-ésima derivada de e a, que se deota por +1) a). Si A +1 es el cojuto de putos de A A e los que es + 1 veces derivable, cuado sea A +1 /0, podemos cosiderar la ució derivada + 1)-ésima de, es decir, la ució +1) : A +1 R que a cada puto de A +1 hace correspoder la + 1)-ésima derivada de e dicho puto. E resume: A +1 {a A A : es + 1 veces derivable e a}, y si A +1 /0, +1) : A +1 R, +1) a) lím x a ) x) ) a) x a a A +1 Por coveiecia de otació, para cualquier ució real de variable real : A R, es recuete escribir 0) para reerirse a la propia ució: 0). Es ácil adiviar que la mayoría de los resultados sobre derivadas sucesivas se probará por iducció, obteiedo iormació sobre la derivada + 1)-ésima de ua ució, a partir de su derivada -ésima. A este respecto coviee aclarar que, auque +1) se ha deiido por iducció como la derivada de ), tambié es la -ésima derivada de. Más cocretamete: Sea : A R ua ució real de variable real y sea a A A, N. Etoces es +1 veces derivable e a si, y sólo si, es derivable e a y es veces derivable e a, e cuyo caso se tiee: +1) a) ) ) a). La demostració por iducció es bastate clara, partiedo del caso evidete 1. Supoiedo que la airmació buscada es cierta para u úmero atural, la comprobamos para +1. Para ello, sea A +1 el cojuto de deiició de la ució +1) ) ). Cualquiera de las airmacioes cuya equivalecia queremos probar implica que a A +1 A +1 y, para todo x A +1 \ {a}, se tiee por hipótesis +1) x) +1) a) x a ) ) x) ) ) a) x a luego es + 2 veces derivable e a si, y sólo si, es + 1 veces derivable e a, e cuyo caso se tiee +2) a) ) +1) a), como se quería. Naturalmete la observació aterior puede iterarse. Obteemos que, para cualesquiera,m N, decir que ua ució es + m veces derivable e u puto a equivale a decir que es veces derivable e a y ) es m veces derivable e a, e cuyo caso se tiee: +m) a) )) m) a). Hemos probado co detalle el caso m 1 y aálogo razoamieto permite pasar de m a m + 1. Lo idicamos brevemete: +m+1) +m)) [ ) ) m) ] ) ) m+1)

9. Fórmula de Taylor 106 9.2. Caso de ucioes deiidas e itervalos Ha quedado claro que la deiició de las derivadas sucesivas tiee setido para ucioes deiidas e cojutos bastate arbitrarios. Si embargo, este cotexto geeral puede resultar demasiado problemático: el cojuto A e el que está deiida la ució derivada -ésima va reduciédose al aumetar, porque i los putos aislados de A i los putos de acumulació de A e los que ) o es derivable puede perteecer al cojuto A +1. Para evitar este tipo de complicacioes, a partir de ahora trabajaremos solamete co ucioes deiidas e u itervalo, estudiado solamete la derivabilidad e todos los putos del itervalo, co lo que el itervalo de deiició de la ució y de las sucesivas derivadas que vayamos cosiderado es siempre el mismo. Como ya hemos hecho ateriormete, siempre que hablemos de u itervalo, se etederá que o es vacío y o se reduce a u puto. Si I es u itervalo y N, deotamos por D I) al cojuto de todas las ucioes de I e R que so veces derivables e todo puto de I. Coheretemete, D 0 I) será el cojuto de todas las ucioes de I e R, que se suele deotar más bie por FI,R), como ya hemos hecho ateriormete. Para D I) y k 0,1,2,..., teemos que k) D k I). E particular, cuado k <, k) es cotiua e I, cosa que puede o ocurrir para k. Decimos que : I R es ua ució de clase C e I cuado D I) y ) es cotiua e I. Deotamos por C I) al cojuto de todas las ucioes de clase C e I. Ahora C 0 I) será el cojuto de todas las ucioes de I e R que so cotiuas e I, que tambié se deota a veces por CI,R). De uevo, para C I) y k 0,1,2,... teemos que k) C k I). Decimos ialmete que ua ució : I R es ideiidamete derivable e I o tambié que es de clase C e I, cuado D I) para todo N, y deotamos por C I) al cojuto de todas las ucioes de clase C e I. Se tiee por tato: C I) D I) C I) 1 1 Si C I) teemos claramete que k) C I) para todo k N. Recíprocamete, tambié es claro que si para algú k N se tiee que D k I) y k) C I), etoces C I). Observemos la relació etre los cojutos de ucioes recié deiidos. Para todo N, se tiee claramete: FI,R) C 0 I) D I) C I) D +1 I) C +1 I) C I) Más adelate veremos que, para cualquier itervalo I, las iclusioes ateriores so estrictas: existe ucioes D I) tales que / C I), así como ucioes g C I) tales que g / D +1 I). Para 0 esto es más que sabido, y tambié sabemos que D 1 I) C 1 I). Pasamos a establecer las reglas básicas para el cálculo de derivadas sucesivas: Sea I u itervalo y N. Si,g D I), etoces + g D I) co + g) ) ) + g ) 1) Por tato, para,g C I) se tiee + g C I), y + g C I) para,g C I).

9. Fórmula de Taylor 107 La demostració por iducció, partiedo del caso coocido 1, es clara. Si,g D +1 I), teemos e particular que,g D I), co lo que la hipótesis de iducció os dice que + g D I) veriicádose 1). Es claro etoces que + g) ) es derivable e I, como suma de dos ucioes derivables e I, luego + g D +1 I) y teemos + g) +1) [ + g) )] )) + g )) +1) + g +1) Co u poco más esuerzo, obteemos ua órmula explícita para las derivadas sucesivas de u producto, que se cooce como regla de Leibiz y recuerda claramete la órmula del biomio de Newto: Sea I u itervalo y N. Si,g D I), etoces g D I) co ) g) ) k) g k) 2) k Por tato, para,g C I) se tiee g C I), y g C I) para,g C I). De uevo razoamos por iducció, pues para 1 la regla de Leibiz o es más que la regla ya coocida para la primera derivada del producto. Si,g D +1 I), teemos e particular que,g D I), co lo que la hipótesis de iducció os dice que g D I) veriicádose 2). Puesto que, para k 0,1,...,, las ucioes k) y g k) so derivables e I, deducimos que g) ) es derivable e I, es decir, g es + 1 veces derivable e I. Usado la regla para la primera derivada de u producto teemos: ) [ k) g k)] g) +1) k ) k+1) g k) + k ) +1 k) g k) + k +1) g + +1 + 1 k k1 [ ) + k ) +1 k) g k) +1 k1 k 1 que es la regla de Leibiz para la derivada + 1)-ésima. ) k) g k+1) k ) +1 k) g k) k 1 )] +1 k) g k) + g +1) Como caso particular del resultado aterior, tomado como g ua ució costate e R, que obviamete es de clase C e R, deducimos que para D I) y λ R, se tiee que λ D I) co λ ) ) λ ). Por tato, si C I) teemos λ C I) y si C I) será λ C I). Podemos resumir los resultados ateriores diciedo que, para cualquier N, D I), C I) y C I) so subaillos y tambié subespacios vectoriales de FI,R). Presetamos ya los primeros ejemplos de ucioes de clase C.

9. Fórmula de Taylor 108 Toda ució poliómica es de clase C e R. Más adelate trabajaremos co detalle las sucesivas derivadas de las ucioes poliómicas. Veamos ahora lo que ocurre co los cocietes: Sea I u itervalo, N,,g : I R y supogamos que gx) 0 para todo x I. Si,g D I), etoces /g D I). Si,g C I) se tiee /g C I), luego si,g C I) será /g C I). Razoamos ua vez más por iducció, partiedo del caso coocido 1, pero de orma dierete, porque o teemos ua órmula explícita para la derivada -ésima del cociete. Si,g D +1 I), sabemos que /g es derivable e I co ) g g g g 2 Puesto que,g,,g D I), los resultados ateriores sobre sumas y productos os dice que g g D I) y tambié g 2 D I). La hipótesis de iducció os dice etoces que /g) D I), es decir, que /g D +1 I). E el caso de ucioes de clase C la iducció es completamete aáloga. Si,g C 1 I), es claro que /g) es cotiua e I, luego /g C 1 I) y teemos probado el caso 1. Supoiedo que el resultado es cierto para u N, para,g C +1 I), obteemos que g g C I) y que g 2 C I), y la hipótesis de iducció os da /g) C I), es decir, /g C +1 I). Como cosecuecia imediata de los dos últimos resultados obteemos: Toda ució racioal e u itervalo I es de clase C e I. Obteemos ahora ácilmete ua versió de la regla de la cadea para ucioes varias veces derivables, pero tampoco tedremos ua órmula explícita para las derivadas sucesivas de ua composició de ucioes. Sea I,J itervalos y cosideremos dos ucioes : I J y g : J R. Si D I) y g D J) etoces g D I). Si C I) y g C J) se tiee g C I). Por tato, si C I) y g C J) será g C I). El razoamieto, como siempre por iducció, es muy similar al que hemos hecho para el cociete. Supoiedo que es derivable e I y g es derivable e J, la regla de la cadea os dice que g es derivable e I co g ) g ) Si C 1 I) y g C 1 J), vemos que g ) es cotiua e I, es decir, g C 1 I), lo que completa el caso 1. Supoiedo etoces que D +1 I) y g D +1 J), teemos g D J) y D I), co lo que la hipótesis de iducció os dice que g D I), pero tambié D I), luego g ) D I). El razoamieto para ucioes de clase C es idético.

9. Fórmula de Taylor 109 Completamos las reglas básicas de cálculo co la versió del teorema de la ució iversa para las derivadas sucesivas. Sea I u itervalo y : I R ua ució derivable e I veriicado que x) 0 para todo x I. Cosideremos el itervalo J I) y la ució iversa 1 : J R. Si N y D I), etoces 1 D J). Si C I) se tiee 1 C J), y si C I) será 1 C J). Sabemos que 1 es derivable e J co 1 ) 1 1 Si C 1 I) teemos claramete que 1) es cotiua e I, luego 1 C 1 I), lo úico que os quedaba por ver e el caso 1. De uevo por iducció, si supoemos D +1 I), teemos D I) y 1 D J), luego 1) D J). De haber supuesto C +1 I), el mismo razoamieto os hubiera dado 1 C +1 J). Pasamos a presetar ua amplia gama de ucioes de clase C e dieretes itervalos. Aparte de las ucioes racioales e R, u uevo ejemplo salta a la vista: La ució expoecial es de clase C e R y todas sus derivadas coicide co la propia ució expoecial. Para el logaritmo, podemos aplicar que es la iversa de la ució expoecial, o pesar que su primera derivada es ua ució racioal e R +. Por composició obteemos las ucioes potecia: La ució logaritmo es de clase C e R +. Para α R, la ució potecia de expoete α es de clase C e R +. E particular, para N, la ució raíz -ésima es de clase C e R +. Si es impar, la ució raíz -ésima tambié es de clase C e R. Co respecto a las ucioes trigoométricas y sus iversas, las siguietes airmacioes se deduce ácilmete de los resultados ateriores: Las ucioes seo y coseo so de clase C e R. Las ucioes tagete y secate so de clase C e ]k π π/2), k π + π/2)[, para todo k Z. Las ucioes cosecate y cotagete so de clase C e ]k π, k + 1)π[, para todo k Z. Las ucioes arco seo y arco coseo so de clase C e ] 1,1[. La ució arco tagete es de clase C e R.

9. Fórmula de Taylor 110 9.3. Poliomios de Taylor Para motivar la deiició, empecemos observado las derivadas sucesivas de ua ució poliómica de grado N {0} que, ijado a R, se puede siempre escribir e la orma: Px) α j x a) j j0 x R co α 0,α 1,...,α R. Sabemos que, si 1, pues e otro caso P es costate, se tiee P x) Si 2 deducimos que P x) j α j x a) j 1 j1 j j 1)α j x a) j 2 j2 1 j0 2 j0 j + 1)α j+1 x a) j x R j + 2) j + 1)α j+2 x a) j x R E geeral, ua secilla iducció iita) os permite cocluir que para 0 k se tiee P k) x) jk j! j k)! α j x a) j k k j + k)! α j+k x a) j j0 j! x R mietras que, para k > la derivada k-ésima P k) es idéticamete ula. Tomado x a e la última igualdad obteemos P k) a) α k para k 0,1,..., Así pues, el poliomio P queda determiado cuado se cooce los valores de P y de sus primeras derivadas e u sólo puto a R. E cocreto, se tiee claramete Px) P k) a) x a) k x R E el segudo miembro, podemos sustituir las derivadas de P por las de cualquier ució que sea veces derivable e a, obteiedo u poliomio que o coicidirá co dicha ució, pero puede ser ua buea aproximació de la misma. Esto motiva la deiició que sigue. Sea : A R ua ució real de variable real, a A y N {0}. Si es veces derivable a, podemos cosiderar el poliomio T [,a] dado por: T [,a]x) k) a) x a) k x R que se deomia poliomio de Taylor de orde de la ució e el puto a, e hoor del matemático iglés B. Taylor 1685-1731). Resaltamos que T [,a] es el úico poliomio P, de grado meor o igual que, que veriica P k) a) k) a) para 0 k.

9. Fórmula de Taylor 111 Veamos si podemos esperar que T [,a] sea ua buea aproximació de la ució cerca del puto a. El poliomio T 0 [,a] es costatemete igual a a) y la cotiuidad de e a os dice que T 0 [,a] tiee límite cero e el puto a. Más iteresate es el caso 1, pues etoces teemos T 1 [,a]x) a) + a)x a) x R y la derivabilidad de e a implica como sabemos que x) T 1 [,a]x) lím x a x a luego podemos decir que la dierecia T 1 [,a] tiede a cero e el puto a más rápidamete que x a, algo mejor que lo dicho para la dierecia T 0 [,a]. E geeral, podemos esperar que al aumetar, la aproximació de mediate su poliomio de Taylor vaya mejorado. Bajo ciertas codicioes podremos probar eectivamete este hecho y, para ello, usaremos la siguiete relació etre los poliomios de Taylor de ua ució y de su derivada. Sea N {0} y ua ució + 1 veces derivable e u puto a R. Se tiee etoces: T +1 [,a] T [,a] La comprobació es imediata, pues de T +1 [,a]x) deducimos directamete que, para todo x R, se tiee T +1 [,a] x) k + 1) k+1) a) k + 1)! x a)k 0 +1 k) a) x a) k x R 9.4. Fórmula iiitesimal del resto ) k) x a) k T [,a]x) Veamos ya e qué setido, y bajo qué codicioes, podemos decir que el poliomio de Taylor de ua ució es ua buea aproximació de la ució, cerca del puto cosiderado. El siguiete resultado se cooce como Teorema de Taylor, o tambié como órmula iiitesimal del resto. Teorema. Sea I u itervalo, N y D 1 I). Si es veces derivable e u puto a I, etoces x) T [,a]x) lím x a x a) 0 3) Demostració. Se hará ua vez más por iducció. E el caso 1 la úica hipótesis es que : I R es derivable e a, pero etoces sabemos, por deiició de derivada, que x) T 1 [,a]x) lím x a x a lím x a x) a) a)x a) x a 0

9. Fórmula de Taylor 112 Supogamos demostrado el teorema para u N y, lo que es importate, para cualquier ució que cumpla sus hipótesis. Para ua ució D I) que sea + 1 veces derivable e a, deberemos probar 3), pero sustituyedo por + 1. Para ello aplicamos la regla de l Hôpital, usado las ucioes ϕ,ψ : I \ {a} R dadas por ϕx) x) T +1 [,a]x), ψx) x a) +1 x I \ {a} Claramete, ambas so ucioes derivables e I \ {a}, co ψ x) + 1)x a) 0 para todo x I \ {a} y se tiee evidetemete que lím ϕx) lím ψx) 0, luego se cumple la x a x a hipótesis de la primera regla de l Hôpital. Además, teemos claramete ϕ x) ψ x) x) T +1 [,a] x) + 1)x a) 1 + 1 x) T [,a]x) x a) dode hemos usado la relació etre los poliomios de Taylor de y de su derivada. Puesto que D 1 I) y es veces derivable e a, la hipótesis de iducció se puede aplicar a la ució obteiedo que lím x a x) T [,a]x) x a) 0, es decir, lím x a ϕ x) ψ x) 0 Aplicado la regla de l Hôpital cocluimos que como queríamos demostrar. lím x a x) T +1 [,a]x) ϕx) x a) +1 lím x a ψx) 0 El resultado aterior explica la utilidad de las derivadas sucesivas. Ha quedado claro que e el caso 1 la órmula iiitesimal del resto o es otra cosa que la deiició de derivada, iterpretada e su mometo como la posibilidad de aproximar ua ució cerca de u puto mediate u poliomio de grado meor o igual que 1, justo su poliomio de Taylor de orde 1 e dicho puto. Pues bie, ahora hemos obteido el mismo resultado para N arbitrario: supoiedo que la ució es derivable 1 veces e u itervalo que cotiee al puto a la hipótesis restrictiva que os ha permitido usar la regla de l Hôpital) y veces derivable e a, podemos aproximar la ució, cerca del puto a por u poliomio de grado meor o igual que, su poliomio de Taylor de orde e el puto a. E geeral, podemos esperar que esta aproximació sea tato mejor cuato mayor sea, puesto que la dierecia T [,a] tiede a cero e el puto a más rápidamete que x a). 9.5. Extremos relativos La órmula iiitesimal del resto permite completar el estudio de los extremos relativos de ua ució: os da ua codició suiciete de extremo relativo, que complemeta la codició ecesaria primera derivada ula) vista como paso previo al Teorema de Rolle.

9. Fórmula de Taylor 113 Sea I u itervalo y a I. Sea N y D 1 I) veriicado que k) a) 0 para 1 k <. Supogamos que es veces derivable e a co ) a) 0. Etoces: i) Si es par y ) a) > 0, tiee u míimo relativo e el puto a. ii) Si es par y ) a) < 0, tiee u máximo relativo e el puto a. iii) Si es impar, o tiee u extremo relativo e el puto a. Empecemos observado el poliomio de Taylor de orde y la iormació que os da la órmula iiitesimal del resto: T [,a]x) a) + ) a)! x) a) x R, luego lím x a x a) ) a)! Por ser ) a) 0, teemos que para x suicietemete cerca de a, la dierecia x) a) tiee el mismo sigo que el producto ) a)x a), que evidetemete depede del sigo de ) a) y de que sea par o impar. Co más detalle, existe δ > 0, que podemos tomar suicietemete pequeño para que ]a δ,a + δ[ I porque a I ) veriicado que x a < δ x) a) x a) ) a) 0 4) i). E este caso teemos que x) a) para todo x ]a δ,a+δ[, luego tiee u míimo relativo e el puto a. ii). Ahora 4) os dice que x) a) para todo x ]a δ,a + δ[. iii). Supoiedo ) a) > 0, 4) os dice ahora que x) a) para todo x ]a δ,a[ mietras que x) a) para todo x ]a,a + δ[, luego o puede teer u extremo relativo e a. Si ) a) < 0, lo aterior se aplica a, obteiedo la misma coclusió. 9.6. Fórmula de Taylor Co hipótesis algo más restrictivas que las de la órmula iiitesimal del resto, vamos a obteer ahora ua expresió cocreta para la dierecia etre ua ució y su poliomio de Taylor de u cierto orde, a la que se suele llamar resto de Taylor de dicho orde para la ució dada, e el puto cosiderado. Los resultados de este tipo se cooce co el ombre geérico de órmulas de Taylor y diiere uos de otros precisamete e la expresió cocreta que se obtiee para el resto. Teorema Fórmula de Taylor co resto de Lagrage). Sea I u itervalo, N {0} y C I) D +1 I ). Etoces, para cualesquiera a,x I co a x, existe u puto c e el itervalo abierto de extremos a y x ]a,x[ o ]x,a[) tal que x) T [,a]x) x) k) a) +1) c) + 1)! x a)+1 Demostració. Fijamos a,x I co a x, y llamamos J al itervalo cerrado y acotado de extremos a y x, que evidetemete veriica J I. Coviee teer muy presete que a y x va a estar ijos e todo el razoamieto.

9. Fórmula de Taylor 114 Aplicaremos el Teorema del Valor Medio geeralizado a las ucioes ϕ,ψ : J R deiidas de la siguiete orma: ϕt) k) t) x t) k, ψt) x t) +1 t J Observamos que ϕ es ua suma de ucioes, siedo cada sumado el producto de ua derivada k), co 0 k, por ua ució poliómica. Por ser C I) teemos que ϕ es cotiua e J y, por ser D +1 I ) teemos tambié que ϕ es derivable e J I. Co respecto a ψ, es claro que ψ C J). Teemos pues dos ucioes cotiuas e J y derivables e J. Si a < x será J [a, x] y el Teorema del Valor Medio geeralizado os da c ]a, x[ tal que: ψ c) ϕx) ϕa) ) ϕ c) ψx) ψa) ) 5) Si uese a > x tedríamos J [x,a] y obteemos c ]x,a[ veriicado la misma igualdad, salvo que ambos miembros aparece cambiados de sigo. E cualquier caso, teemos c J como se quería, veriicado 5). Todo lo que queda es traducir e térmios de los valores de ϕ, ψ y sus derivadas que aparece e 5), para comprobar que se trata precisamete de la igualdad buscada. Empecemos por lo más obvio: k) a) ϕx) x), ϕa) x a) k 6) ψx) 0, ψa) x a) +1, ψ c) + 1)x c) El cálculo de ϕ es algo más laborioso, pero tambié secillo. Para todo t J se tiee: ϕ t) k+1) t) x t) k k+1) t) x t) k +1) t) x t)! k1 1 Al sustituir 6) y 7) co t c) e 5), obteemos: ) + 1)x c) k) a) x) x a) k k) t) x t)k 1 k 1)! k+1) t) x t) k +1) c) x c) x a) +1! y la igualdad buscada se cosigue dividiedo ambos miembros por + 1)x c) 0. 7) E el caso 0 la hipótesis del teorema aterior es C 0 I) D 1 I) y la tesis que se obtiee es x) a) c)x a), que so precisamete la hipótesis y la tesis del Teorema del Valor Medio. Así pues, podemos airmar que la Fórmula de Taylor geeraliza el Teorema del Valor Medio de la misma orma que la órmula iiitesimal del resto geeralizaba la deiició de derivada, e ambos casos ivolucrado derivadas sucesivas. Como aplicació evidete de la Fórmula de Taylor, obteemos la siguiete cosecuecia, que tambié se podría probar directamete por iducció.

9. Fórmula de Taylor 115 Sea I u itervalo, N {0} y C I) D +1 I) veriicado que +1) x) 0 para todo x I. Etoces es ua ució poliómica de grado meor o igual que. 9.7. Desarrollos e serie de Taylor Cocluimos este tema viedo alguas aplicacioes importates de la órmula de Taylor. Observemos e primer lugar la regla de deiició que sigue los sucesivos poliomios de Taylor de ua ució e u puto, que es aáloga a la que usamos para obteer las sumas parciales de ua serie. Más cocretamete, sea I u itervalo, cosideremos ua ució C I) y ijemos u puto a I. Para cada x R podemos cosiderar la serie 0 ) a)! x a) que se cooce como serie de Taylor de la ució cetrada e el puto a. E realidad teemos ua serie de ucioes deiidas e R, cuyo térmio geeral es ua sucesió de ucioes. Si embargo, o vamos a trabajar co sucesioes y series de ucioes, simplemete os limitamos a pesar que, para cada x R, teemos ua serie de úmeros reales que se obtiee evaluado la serie de Taylor e el puto x. La Fórmula de Taylor os iorma sobre la relació etre la ució y las sumas parciales de la serie de Taylor, os da la siguiete estimació: x) ) a) x a) +1) c)! + 1)! x a)+1 a,x I, N {0} 8) dode c depede de la tera a,x,) y sólo sabemos que perteece al itervalo abierto de extremos a y x. Para cada x I, parece atural hacerse la siguiete preguta x) 0 ) a)! x a)? E el mejor de los casos, esta igualdad sería cierta para todo x I, co lo que podríamos expresar la ució como suma de la serie de Taylor e todo el itervalo I, obteiedo lo que se cooce como desarrollo e serie de Taylor de la ució cetrado e el puto a. Para abordar esta preguta usado 8), se puede empezar observado que para cualquier x R se tiee {x a) +1 / + 1)!} 0, pues el criterio del cociete os dice icluso que x a) la serie +1 es covergete. Si embargo, o teemos suiciete iormació sobre 1 + 1)! { } la sucesió +1) c). E geeral, la respuesta a la preguta plateada puede ser egativa: dado x I, puede ocurrir que la serie de Taylor e el puto x o sea covergete e icluso que, siedo covergete, su suma o coicida co x). No vamos a estudiar co detalle este problema, os limitaremos a presetar u par de ejemplos de desarrollos e serie de Taylor.

9. Fórmula de Taylor 116 Cosideremos e primer lugar la ució expoecial. Dado a R, teemos evidetemete exp k) a) e a para todo k N {0}. Por tato, la serie de Taylor de la ució expoecial cetrada e el puto a es y la órmula de Taylor os dice que e x e a x a)k + 0 e a x a)! ec + 1)! x a)+1 a,x R, N {0} 9) dode c perteece al itervalo abierto de extremos a y x. Por tato, c a c a < x a y, usado la órmula de adició juto co el crecimieto de la ució expoecial, obteemos: e c e a e c a e a+ x a. De 9) deducimos etoces que ex e a ea+ x a + 1)! x a +1 a,x R, N {0} 10) Fijados a,x R, recordamos que la sucesió que aparece e el segudo miembro de 10) coverge a cero. Obteemos así los desarrollos e serie de Taylor de la ució expoecial: e x El caso a 0 tiee especial iterés: e a 0! x a) a,x R e x x 0! x R Como segudo ejemplo cosideremos la ució seo. Para calcular sus derivadas sucesivas, coviee observar que se a) cos a se a + π ) a R 2 de dode deducimos imediatamete por iducció que se ) a) se a + π ) a R, N {0} 2 Por tato, la serie de Taylor de la ució seo cetrada e el puto a R es se ) a) x a) se a + 0! π ) 2 x a) 0! Usado la órmula de Taylor, obteemos ) se x se k) a) x a) k se c + +1)π 2 x a) +1 + 1)! x a +1 + 1)!

9. Fórmula de Taylor 117 De aquí deducimos los desarrollos e serie de Taylor de la ució seo: se a + π ) 2 se x x a) a,x R! 0 De uevo, el caso a 0 tiee especial iterés. Para k N {0} teemos evidetemete que se 2k) 0) 0 mietras que se 2k+1) 0) 1) k. Para x R podemos pues escribir: ) ) 2+1 se se x lím j) 0) x j 1) k 1) lím j0 j! 2k + 1)! x2k+1 2 + 1)! x2+1 Razoado de maera aáloga, se prueba que 0 cos x 1) 0 2)! x2 x R 9.8. Ejercicios 1. Sea D 2 R) tal que x) + x) 0 x R, 0) 0, 0) 1 Probar que x) se x para todo x R. 2. Estudiar el comportamieto e el orige de la ució h : A R e cada uo de los siguietes casos: tg x)arctgx) x2 a) A ] π/2,π/2[\{0}, hx) x 6 b) A R, hx) 1 x 4 1 6x 2 se x x 5 x A x A 3. Ecotrar los extremos relativos de la ució : R R e cada uo de los siguietes casos: a) x) x 5 5x 4 + 5x 3 + 10 x R 4. Sea I u itervalo y D 2 I) tal que b) x) x2 3x + 2 x 2 x R + 1 c) x) x 2 log x x R, 0) 0 x) x) x I Probar que, si existe a I tal que a) a) 0, etoces x) 0 para todo x I.