Probles de cristlogrfí PROBLEMA El Wolfrio cristliz en el siste cúbico centrdo con un práetro de red 6,8 p y densidd teóric T 900 Kg/. Clculr: ) Ms tóic. b) Voluen tóico. c) Rdio tóico. d) ensidd tóic linel en ls direcciones < >, < 0> y < 0 0>. e) ensidd tóic superficil en los plnos ( ), ( 0) y ( 0 0). f) úero de átoos en. ) Ms tóic L densidd teóric de un cristl es: T n M A V c onde n es el núero de átoos de W por celdill (C.C): n + 8 t / celd 8 M es l s tóic del W, el núero de Avogdro y V c el voluen de l celdill ( ). espejndo M : M T A V n c T n A 900Kg / 6.00 t t / celd ( 6.8 0 ) / celd M 0.8Kg 8.gr b) Voluen tóico L densidd teóric puede ser tbién expresd coo l relción entre s tóic y voluen tóico, de donde: M 8. 0 Kg 6 V 9.560 T 900 Kg /
Probles de cristlogrfí c) Rdio tóico En el siste C.C. el rdio tóico es / de l digonl del cubo, por tnto: 6.8 p r 7. 0 p d) ensidd tóic linel <x y z> º toos L irección < > + átoos 9 < >.686 0 t / 6.8 0 irección < 0 0> átoos 9 < 00>.598 0 t / 6.8 0 irección < 0> átoos 9 < 0>. 0 t / 6.8 0 e) ensidd tóic superficil (x y z) º toos S
Probles de cristlogrfí Plno ( ) h S onde h es l ltur del triángulo de este plno que qued dentro de l celdill. L densidd superficil será: ( ) 6 h sen 60 8 5.76 0 / átoos ( 6.8 0 ) t Plno ( 0 0) Plno ( 0) ( ) 8 00 9.98 0 / ( ) + átoo ( 6.8 0 ) 9 0. 0 / átoos ( 6.8 0 ) t t f) úero de átoos por 900Kg / 6.00 0.8Kg t T 8 º toos/ 6.09 0 t / M
Probles de cristlogrfí PROBLEMA L celdill eleentl del Aluinio es cúbic centrd en ls crs. Su s tóic es 6.97 gr/ol y su densidd 699 Kg/. Clculr: ) Ms de un átoo. b) úero de átoos en g c) úero de átoos y oles por. d) Ms de un celdill unidd. e) úero de celdills en gr de etl. f) Voluen y rist de l celdill unidd. g) Rdio tóico. h) Fctor de epquetiento. i) ensidd tóic linel en ls direcciones < 0> y < >. j) ensidd tóic superficil en los plnos ( 0) y ( ). ) Ms de un átoo ividiendo l s tóic por el núero de Avogdro: 6.97gr M.78 0 gr / t 6.00 t b) úero de átoos en un g. 0 gr / g 9 º toos/g.0 t / g.780 gr / t
Probles de cristlogrfí c) úero de átoos y oles en un.699 0 0 gr / 6 8 º T toos/ 6.07 0 t / -. 78 gr / t M 8 toos/ 6.07 0 t / oles/ 0 A 6.0 0 t 5 oles d) Ms de un celdill unidd El núero de átoos por celdill es: n. Ms de l celdill n M x,78 0 - gr,79 0 - gr e) úero de celdills por gr. celdills / gr 5.580 celd / gr.790 gr / celd f) Voluen y rist de l celdill V n M t / celd 6.97 gr 9 c 6.66 0 6 T 6.00 t.699 0 gr / 9 0 6.66 0.09 0 0. 9 p g) Rdio tóico El rdio tóico será / de l digonl de l cr. R. p h) Fctor de epquetiento π R F π R ( R / ) 0.7 i) ensidd tóic linel 5
Probles de cristlogrfí irección < 0> + átoos 9 < 0>.9 0 t / 0.9 0 irección < > átoos 9 < >.6 0 t / 0.9 0 j) ensidd tóic superficil (x y z) º toos S Plno ( 0) 8 0 8.66 0 t / ( ) + átoos ( 0.9 0 ) Plno ( ) 9.09 0 / ( ) 6 + átoos ( 0.9 0 ) t 6
Probles de cristlogrfí PROBLEMA Clcúlense los átoos que existen en g y en de los siguientes etles: ot: L estructur H.C. del Coblto c,8 x 0-9. ) Ploo úero de átoos en un g: º toos/g 0 gr / g 6.00 t 07.9gr.907 0 8 t / g úero de átoos en un b) Hierro úero de átoos en un g. n t t º toos/ 8.980 t / 0 R.750 º toos/g 0 gr / g 6.00 t 55.87gr.0780 9 t / g úero de átoos en un n t t º toos/ 8 8.7 0 t / 0 R.6 0 7
Probles de cristlogrfí c) Coblto úero de átoos en un gr. 0 º toos/g gr / g 6.00 t 58.9gr El nº átoos por celdill es 6. y el voluen de l celdill será:.0 0 V c 9 t / g h c 6 onde c es l ltur del pris, el ldo del hexágono R y h l pote: h sen60 El núero de átoos en un será: 6 t c 6 c t 6 t 9 0 ( R ).80 (.50 ).957 0 8 t / PROBLEMA L densidd del Hierro tepertur biente es de 7,87 gr/c. Clculr: ) Cuántos átoos hy por c? b) Cuál es el tnto por ciento de espcio ocupdo? c) Qué red cristlográfic present? Por qué? ATOS: Peso tóico del Fe 55.85 gr/ol; Rdio tóico del Fe 0 ºC 0, n. ) Atoos por c 7.87gr / c 6.00 t toos/c 8.87 0 55.85gr b) Porcentje de espcio ocupdo º t c 8.87 0 voluen ocupdo por esfers voluen totl El porcentje de voluen ocupdo es el 67,9 % t π c 7 ( 0.0 c) 0.6789 / 8
Probles de cristlogrfí c) Siste cristlográfico Clculeos l densidd teóric del Fe con estructur C.C. y C.C.C. y copreos con el vlor rel, dto del proble. Siste C.C. n M T 7 V c 0.0 c 6.00 t / celd 55.85gr t 7.878gr / c Siste C.C.C. n M T 7 V c 0.0 c 6.0 0 t / celd 55.85gr t 8.577gr / c El siste es C.C. cuy densidd teóric coincide con l rel. PROBLEMA 5 El Cdio cristliz en el siste hexgonl copcto con 97,8 p. y c 56,7 p, l s tóic del Cd es, gr/ol. Clculr: ) Indice de coordinción. b) Fctor de epquetiento. c) ensidd teóric. d) ensidd tóic superficil en los plnos ( 0-0) y ( - 0) e) ensidd tóic linel en l dirección < - - 0>. ) Indice de coordinción c 56.7 p.886 >.6 97.8p Indice de coordinción 6 9
Probles de cristlogrfí b) Fctor de epquetiento F c) ensidd teóric n M V 6 π R c 6 6.00 97.8 p 6 π 56.7 p 6 6t / celd. gr/ ol t 56.70 c 6 ( 97.8 p) 0 ( 97.80 c) 0.6 T c 0 d) ensidd superficil 8.65gr/ c Plno ( 0-0 ) Los puntos de corte con los ejes son (,,-, ) t t ( 0 ) c 97.8 0 56.7 0 8 0 5.978 0 t / Plno ( - 0) Los puntos de corte con los ejes son: (,, -/, ) + t t ( 0 ) c 97.8 0 56.7 0 8 0 6.90 0 t / e) ensidd linel en l dirección < - - 0> t t 9 < 0 >.58 0 t / 97.8 0 0
Probles de cristlogrfí PROBLEMA 6 urnte el clentiento, el hierro puro cbi su estructur cristlin de C.C. C.C.C. 9 ºC. Clculr: ) Sufrirá el hierro un expnsión o un contrcción en este cbio? b) Clculr l relción de densiddes entre bs estructurs. ATOS: A 9 ºC el rdio tóico es de,58 Å.(C.C.) y de,9 Å.(C.C.C.). ) Efecto del uento de tepertur. Al psr l tepertur por 9 ºC el hierro sufrirá un contrcción por ser l estructur C.C.C. l de áxi copcidd, unque est contrcción se verá copensd en prte por el uento del rdio tóico. Est contrcción iplic un uento de l densidd coo clculreos hor. Clculreos l vrición reltiv de voluen que sufrirán átoos l cbir de estructur. ΔV V ΔV V V CC V V CC CCC.9E El hierro se contre un 0.9 %. b) Relción de densiddes CC CC CCC n M T R R CCC CC 0.9n 0.58n CCC CC M M CCC CC CC CCC R R CC CCC 0.58n 0 9n.005
Probles de cristlogrfí PROBLEMA 7 Se sbe que cierto etl A ocup ls posiciones principles del siste cúbico centrdo en ls crs cundo se for cierto copuesto. Otro etl B se sitú en los centros de ls rists y en el centro del cristl. Se pide: ) Clculr l fórul estequioétric del copuesto. b) Rdio tóico del etl A. c) Rdio áxio disible del etl B. d) Copcidd del cristl. e) ensidd del copuesto. ATOS: Constnte reticulr,6 Å ; P A 65 gr/ol ; P B gr/ol. ) Fórul estequioétric Por cristlizr el etl A en el siste C.C.C. el núero de átoos de A por celdill será. El etl B ocup los huecos octédricos del cristl que son: uno en el centro y uno en cd rist coprtido por celdills que son otros, en totl huecos por celdill. L fórul serí:a BB Siplificndo quedrí: AB b) Rdio tóico del etl A Por ser el siste C.C.C. el rdio tóico será / de l digonl de l cr. Por tnto, sbiendo que l digonl de l cr es, nos quedrá: R.6Α. 5Α c) Rdio áxio del etl B L relción áxi de rdios debe ser r/r 0, Por lo tnto: R B 0, R A 0,69
Probles de cristlogrfí d) Copcidd del cristl π RA + π R Voluen ocupdo Copcidd voluen totl Copcidd 79.8 % B 0.798 e) ensidd del copuesto nm t A/ celd65 gr/ ol+ t B / cel gr/ ol T Vc 6.00 t 8 (.60 c) 8.gr/ c PROBLEMA 8 L densidd experientl de un cristl siple de luinio, que cristliz en el siste C.C.C., es,697 gr/c. L constnte reticulr es,09 Å Si l discrepnci entre el vlor teórico y el experientl de l densidd es un edid de los huecos de l ll (vcntes), clculr: ) Frcción de átoos usentes. b) Huecos por c ATOS: P Al 7 gr/ol ) Frcción de átoos usentes Copreos el núero de átoos, teóricos y reles, por unidd de voluen: nr r A nt t A nr r ; V P V P n Clculos l densidd teóric del luinio Al t / celd 7gr t,70 gr / c 6,00 t n n r t r t Al 8 (,09 0 c),697gr / c,70gr / c 0,9985 Por tnto l frcción de átoos usentes será: - n r /n t 0,005, es decir l frcción de átoos usentes es del 0,5%. t t
Probles de cristlogrfí b) Huecos por c Conociendo el núero de átoos teóricos por c, y hbiendo clculdo l frcción de átoos usentes, podeos sber el núero de huecos por c. º t. teóricos por c : nt V t P El núero de huecos será: Al A,70gr / c 6,00 7gr t 6,050 º huecos nº t teóricos frcción t usentes 0,005 6,050 c c t teórico / c 0,900 0 º huecos c PROBLEMA 9 El silicio cristliz en el siste C.C.C. de tl for que no sólo ocup ls posiciones principles de l ll sino tbién el 50 % de los intersticios tetrédricos. Sbiendo que el práetro de ll es 5, Å y que el peso tóico del silicio es 8,06 gr/ol. Clculr: ) ensidd teóric del Si. b) Atoos de Si por. Pr uentr l concentrción de huecos y ejorr, por tnto, sus crcterístics seiconductors se dop el Si con un cntidd controld de luinio, de for que sustituye prcilente l Si de sus posiciones originles. c) Clculr el nº de átoos de Al por con que es preciso dopr l Si pr que se produzc un disinución de l densidd del 0,5 % con respecto l teóric del Si. ATOS: P Al 6,97 gr/ol ) ensidd teóric del Si En el siste C.C.C.: º t./celd. : n º huecos tetrédricos./celd. : h 8 º totl t. Si/celd.: n + h/ 8 t/celd. El voluen de l celdill:
Probles de cristlogrfí V (5, 0-8 c),60 x 0 - c L densidd teóric será: n P 8 t / cel 8,06gr A, gr / AV 6,00 t,600 c c b) Atoos de Si por n V 8 t / celd,600 c / celd 8 50 t / c 50 t / c) º de átoos de Al Al disinuir l densidd un 0,5 %, l densidd resultnte será: ' 0,995,85gr / c n ' A,85gr / c 6,00 t 50 t / c V P P r donde P r es el peso tóico edio o resultnte, se obtiene: P r 7,97gr/c. Por otr prte: r (f indic frcción de átoos) f Si x 8,06 + f Al x 6,97 P r f Si + f Al Resolviendo el siste: f Si 0,87798 f Al 0,0 º t Al/ 5 x 0 8 x f Al º t Al/ 6,0 x 0 7 PROBLEMA 0 5
Probles de cristlogrfí Un crburo de wolfrio cristliz en el siste hexgonl, de for que los átoos de wolfrio se sitún en ls bses del pris y los de crbono en l sección rect edi. eterinr: ) Fórul y densidd del crburo. b) Rdios tóicos de W y C. ATOS:,8 Å ; c,9 Å ; P C gr/ol ; P W 8 gr/ol ) Fórul y densidd C: t./celd. W: / x bses + /6x vértices t./celd. L relción entre átoos en un celdill es :, por tnto, l fórul será: C W Pr clculr l densidd clculreos priero el voluen de l celdill: V c (,8 0 6,08 0 8 8 6,9 0 c 6 c c ) n P + n P t C / celd gr + t W / celd 8gr c c w w 6,06gr / AV 6,00 t 6,080 c c b) Rdios tóicos de C y W r W > r /, Å + c ( r W + r C ) 6,5 (,8 + r C ) W r C 0,6 Å 6
Probles de cristlogrfí PROBLEMA Un cierto etl cristliz en un siste hexgonl sin plnos interedios y con igul disposición tóic en ls crs bsles. Existen átoos en todos los vértices y en el centro de los hexágonos, sí coo en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se descoponen dichos hexágonos, siendo estos últios tngentes los nteriores y su vez entre sí. Los átoos correspondientes de ls dos crs bsles son tngentes uno otro. Clculr: ) úero de átoos por celdill. b) Indice de coordinción. c) Copcidd del siste sí definido. d) Coprr l copcidd de este siste con l del hexgonl copcto. ) º de átoos por celdill /6 x (vértices) + l / x (crs) 9 t/celd b) Indice de coordinción Un átoo está rodedo en un iso plno por otros 6, deás se encuentr con un átoo enci y otro debjo tngentes él. Por tnto son ocho los átoos que lo roden y que son tngentes, el índice de coordinción es pues 8. c) Copcidd del siste Voluen de l celdill: V c Voluen ocupdo por los átoos: c V t ( 6 r 6 r r 9 t / celd r π r π ) copcidd V V t c π r r 0,577 7
Probles de cristlogrfí d) Coprción En el siste H.C. el espcio hueco supone el 6 % lo que supone un copcidd de 0,7; est es superior l del siste bjo estudio (0,577). PROBLEMA Clculr l densidd del bronce (Cu - Sn) de % en átoos de Sn, suponiendo que l constnte de l red vrí linelente con l frcción de átoos. ATOS: r Cu 0,78 n; r Sn 0,5 n, M Cu 6,5 gr/ol; M Sn 8,69 gr/ol Coo el práetro de l red vri con el porcentje de eleentos, el rdio tóico edio será tbién función de ls cntiddes reltivs de cd uno: 0,97 0,78 n+ 0,0 0,5 n 0,85 n r 0,85 ( 0,97 6,5)+( 0,0 8,69) gr 0,6 ρ 9,0 7 6,0 0 (0,6 0 ) c PROBLEMA L estructur del ltón β es cúbic centrd, colocándose un átoo de Cu en el centro del cubo y los de Zn en los vértices. Clculr l densidd de l leción. tos: r zn 0, n; r cu 0, n; M t (Cu) 6,5 gr/ol; M t (Zn) 6,8 gr/ol Pr clculr l densidd necesitos conocer el práetro de l red en función de los rdios tóicos de los átoos que forn l estructur. do que es c.c. l digonl del cubo es un dirección copct, por tnto : 8
Probles de cristlogrfí r Cu + r Zn r Cu + r Zn 0. n. A o d t Cu celd 6. 5 6. 0 0 gr t Cu + ol celd t (. 0 ol 65. 8-8 c) gr ol 7.08 gr / c PROBLEMA eterinr los índices de Miller pr los plnos que cortn los ejes en ) -, b /, c / b) /, b -/, c / c) -, b 5, c. P.ECORTE IVERSOS I.MILLER -,, -,, (,9,),-,,-, (6,,9) -,5, -,, 5 ( 0,6,5) PROBLEMA 5 Un cierto plno cristlográfico contiene ls posiciones (0,0,0), (/,/,0) y (/,0,/). Cuáles son sus índices de Miller? El esque de ls posiciones y el plno cristlográfico que ls contiene, se represent en l 9
Probles de cristlogrfí figur. Coo el plno ps por el origen de coordends lo desplzos, por ejeplo, un unidd en l dirección x. Entonces los puntos de corte del plno con los ejes coordendos son, ½, y los índices de Miller vienen ddos por los vlores inversos de estos puntos de corte: ( ) Si hubiéseos desplzdo el origen un unidd hci rrib, los cortes en los ejes estrí en +, -/, -, pr dr unos índices de Miller ( ), este plno es prlelo l nterior y por tnto equivlente. PROBLEMA 6 Clculr l densidd tóic superficil (átoos/ ) en: ) El plno (,,) en le hierro. r Fe 0, n. b) En el plno (,,0) en l plt. r Ag 0, n ) En el hierro C.C. Clculos el nº de átoos en el plno ( ) liitdo por l celdill unitri 6 0,5 toos L densidd superficil será el nº de átoos por unidd de superficie. Hbrá que deterinr el áre del plno deliitdo por l celdill unitri. 0 Superficie del triángulo sen 60º 0,5 d () 7,6 0 r 0,8 Α 0,8 0-6
Probles de cristlogrfí b) En l plt C.C.C El nº de toos que pertenecen l plno ( 0) será: n de toos + Se clcul previente el vlor de pr deterinr l superficie del plno. Est será: r -6 9, è 9,0 Conociendo l superficie se puede deterinr l densidd superficil igul que en el cso nterior. + 5 5 5, 0
Probles de cristlogrfí PROBLEMAS PROPUESTOS. Clculr l densidd del copuesto interetálico FeTi, que cristliz en el siste c.c.. ATOS: Fe r t 0, n, M t 55,85; Ti r t 0,6 n M t 7,90 El voluen de l celdill unidd del Ti (hc) es 0,06 n. L relción c/ es,59. Clculr: ) Cules son los vlores de c y, b) Cul es el rdio tóico del Ti y c) Cul es el fctor de epquetiento El circonio es c.c. lt tepertur. El rdio tóico se increent en,5 % cundo l enfrir ps h.c.. Cul es el % de cbio de voluen en est trnsforción. Clculr el tño de los huecos octédricos en l estructur hexgonl copct, cúbic centrd y cúbic centrd en ls crs. (proble colección ntigu) Considerr un estructur cúbic centrd. Clculr: ) Cuáles son los índices de Miller de un plno que cort l eje X y l eje Y un unidd del origen y es, deás, prlelo l eje Z? b) Supong que un etl que cristliz en dich estructur tiene un rdio tóico de, Å. Cuál será l densidd tóic del plno nterior? c) Indicr los índices de Miller de l dirección perpendiculr dicho plno. Solución: ) ( 0) b).569 E+9 t/ c)<0> ibujr un celdill cúbic centrd en ls crs y señlr sobre ell el plno ( ) y ls direcciones < 0> y < ->. Clculr tbién l densidd superficil de un plno ( 0) del Cobre (C.C.C.), cuyo rdio tóico es de,78 Å. Solución: (0).08 0 9 t/ Sbiendo que el rdio tóico del ploo es 0,75 n. y que cristliz en el siste C.C.C. clculr el núero de átoos por en los plnos ( 0 0 ) y ( ). Solución: ( 0 0) 8.6 0 t/ ( ) 9. 0 t/. Clculr l vrición reltiv de voluen l psr el hierro de estructur c.c. c.c.c. ) Suponiendo que el rdio tóico no vrí. b) tondo r0.58n pr índice de coordinción 8 y r0.9 n pr índice de coordinción. Solución: ) 8. % b) 0.9 % Cul ser el espcido interplnr pr los plnos ( 0 0), ( 0) y ( ) en el niquel?. Sbiendo que en un estructur c.c l distnci entre plnos ( 0) es de,0 A, deterinr el vlor de l constnte reticulr y el rdio tóico. El Al es c.c.c. Si en el plno ( 0) su densidd tóic vle, A. Cul es su constnte reticulr?.