Modelo 04. Problema 5A.- (Calificació máxima: putos) El coteido e alquitrá de ua determiada marca de cigarrillos se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ descoocida y desviació típica 4 mg. a) Se toma ua muestra aleatoria de tamaño 0 y se obtiee que su media muestral es de mg. Determíese u itervalo de cofiaza al 90% para el coteido medio de alquitrá e u cigarrillo de la citada marca. b) Determíese el tamaño míimo de la muestra para que el error máximo cometido e la estimació de la media sea meor que 0,5 mg, co u ivel de cofiaza del 90 %. a. x coteido e alquitrá de u cigarro. Variable cotiua co distribució ormal Para estimar su media poblacioal (µ) se toma ua muestra de 0 cigarrillos, las medias de la muestra, tambié sigue ua distribució ormal: Coocida ua media muestral ( x mg) x : N µ, 0, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal viee expresado por: x z, x + z Dode, z φ, siedo Nivel de cofiaza 90% 0,90 0, 0, z φ φ ( 0,9500), 645 Sustituyedo e el itervalo de cofiaza: 4 4,645, +,645 ( 0,53; 3,47) 0 0 Se puede estimar co ua probabilidad del 90% que la media de alquitrá de los cigarrillos va ha estar compredida etre 0,53 y 3,47 mg. b. El tamaño muestral se obtiee del error máximo admitido. 4 εmáx > z > z,645 73, ε máx 0,5 74 Modelo 04. Problema 5B.- (Calificació máxima: putos) El º de kilómetros recorridos e u día determiado por u coductor de ua empresa de trasportes se puede aproximar por ua variable aleatoria X co ua distribució ormal de media µ. a) Se obtuvo ua muestra aleatoria simple, co los siguietes resultados: 40 8 4 0 95 33 08 0 64 Determíese u itervalo de cofiaza al 95% para µ si la variable aleatoria X tiee ua desviació típica igual a 30 km. b) Cuál sería el error de estimació de µ usado u itervalo de cofiaza co u ivel del 90%, costruido a partir de ua muestra de tamaño 4, si la desviació típica de la variable aleatoria X fuera de 50 km? a. Se pide estimar la media poblacioal de ua variable (x Km que recorre e u día u coductor de ua empresa de trasportes) cotiua co distribució ormal, coocida ua muestra de la variable de 9 elemetos. Las medias de la muestras de la variable de tamaño 9, tambie sigue ua distribució ormal x : N µ, 9 El itervalo de cofiaza para la media poblacioal a partir de ua media muestral es:
x z, x + z 40 + 8 + 4+ 0 + 95 + 33 + 08 + 0 + 64 Dode: x 59 Km 9 30 Km z φ, siedo Nivel de cofiaza 95% 0,95 0,05 0,05 z φ φ ( 0,9750), 96 Sustituyedo e el itervalo: 30 30 59,96, 59 +,96 9 9 ( 39,4 ; 78,6) Se puede cocluir que co ua probabilidad del 95%, la media de Km recorridos por los coductores de esa empresa al día va a estar compredida etre 39,4 y 78,6. b. El error de estimació viee expresado por: εmáx > z Nivel de cofiaza 90% 0,90 0, 0, z φ φ φ 0,9500, 50 ε máx >,645 4, Km 4 ( ) 645 Septiembre 03. Ejercicio 5A. (Putuació máxima: putos) El tiempo de reovació de u teléfoo móvil, expresado e años, se puede aproximar mediate ua distribució ormal co desviació típica 0,4 años. a) Se toma ua muestra aleatoria simple de 400 usuarios y se obtiee ua media muestral igual a,75 años. Determíese u itervalo de cofiaza al 95% para el tiempo medio de reovació de u teléfoo móvil. b) Determíese el tamaño muestral míimo ecesario para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual a 0,0 años co u ivel de cofiaza del 90%. a. x Tiempo de reovació de u teléfoo móvil, variable cotiua co distribució Normal x : Nµ, ( ) 0,4 años Para muestras de tamaño 400 elemetos, las medias muéstrales tambié sigue ua distribució Normal co la misma media y diferete desviació. x : N µ, El itervalo de cofiaza para la media de la variable (µ) a partir de la media de ua muestra x, viee dado por: ( ) x z, x + z Dode z es el valor crítico asociado al ivel de cofiaza requerido. Nivel de cofiaza z φ 0,05 : z φ φ 0,95 0,05 Coocido el valor crítico se sustituye los datos e el itervalo. ( 0,9750), 96
0'4 0'4 '75,96,'75 +,96 400 400 ( '7,'79 ) Co ua probabilidad del 95% se puede asegurar que el tiempo medio de reovació del móvil e la població va a estar compredido etre,7 y,79 años. b. El tamaño de la muestra se puede obteer a partir del máximo error admitido. εmáx > z > z ε máx Nivel de cofiaza z φ 0,0 : z φ φ 0,90 0,0 0,4 >,645 08,4 083 datos 0,0 ( 0,9500), 645 Septiembre 03. Ejercicio 5B. (Putuació máxima: putos) Se cosidera ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ y desviació típica igual a 0. Se toma ua muestra aleatoria simple de 64 elemetos. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y µ sea mayor o igual que. b) Determíese u itervalo de cofiaza del 99% para µ, si la media muestral es igual a 53. N µ,, para muestras de tamaño 64 elemetos, las a. La variable x sigue ua distribució del tipo ( ) medias muestrales tambié sigue ua distribució Normal, Tipificado 0 N x µ, 8 p x : N µ, ( x µ ) p( x µ < ) p( x µ ) p <. Se pide: 64 ( x µ < ) p( < x µ < ) p( µ < x < µ + ) x µ x µ Simetria µ µ z 0,84 0 0 8 8 p µ + µ z 0,84 0 0 8 8 Complemet ( 8,84 < z < 0,84) ( z < 0,84) p( z 0,84) p( z < 0,84) p( z 0,84) p( z < 0,84) ( p( z < 0, )) p( z < 0,84) 0,7995 0, 599 p 84 ( x µ < ) 0, 599 p p ( x µ ) p( x µ < ) p( x µ < ) 0,599 0, 40 ( x µ ) 40,% p b. El itervalo de probabilidad para la media poblacioal coocida ua media muestral esta expresado por: x Z, x Z El valor de Z se calcula a partir del ivel de cofiaza. N.C. 0,99 0,0 Z φ φ φ 0.0 Sustituyedo los datos e el itervalo: ( 0,9950), 58 3
0 0 53 '58,53 + '58 64 64 ( 464,600) Co u ivel del cofiaza del 99% se puede afirmar que la media poblacioal de la variable va a estar compredida etre 464 y 600. Juio 03. Problema 5A.- (Calificació máxima: putos) El úmero de megabytes (Mb) descargados mesualmete por el grupo de clietes de ua compañía de telefoía móvil co la tarifa AA se puede aproximar por ua distribució ormal co media 3,5 Mb y desviació típica igual a,4 Mb. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 49. a) Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea iferior a 3,37 Mb? b) Supógase ahora que la media poblacioal es descoocida y que la media muestral toma el valor de 3,4 Mb. Obtégase u itervalo de cofiaza al 95% para la media de la població. a. x Mb descargados mesualmete. Variable cotiua que sigue ua distribució Normal x : Nµ, µ 3,5 Mb,4 Mb ( ) Para muestras de tamaño 49 elemetos, las medias muestrales tambié sigue ua distribució Normal.,4 x : N µ, x : N 3'5, Nx ( 3'5, 0') 49 Se pide calcular: x 3'37 SIMETRIA p( x < 3,37) 3'37 3'5 < > ( ) z 0,65 p z 0'65 p z 0,65 p z 0' 65 N x 3'5, 0' 0, ( ) ( ) ( ) ( z 0'65) φ( 0,65) 0'74 0, 578 p ( x < 3,37) 5,78% p b. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal a partir de la media de ua muestra. x Z, x + Z El valor de Z / se obtiee a partir del ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza del 95% 0,95: 0,05 0,05 Z φ φ φ 0,9750,,4,4 3 '4 '96, 3'4 + '96 49 49 ( ) 96 ( 3'03, 3'8) Co ua probabilidad del 95% se puede estimar que la media de descargas mesuales va a estar compredida etre 3 03 y 3 8 Mb. Juio 03. Problema 5B.- (Calificació máxima: putos) La duració e horas de u determiado tipo de bombillas se puede aproximar por ua distribució ormal de media µ y desviació típica igual a 940 h. Se toma ua muestra aleatoria simple. a) Qué tamaño muestral se ecesitaría como míimo para que, co u ivel de cofiaza del 95%, el valor absoluto de la diferecia etre µ y la duració media observada X de esas bombillas sea iferior a 00h? b) Si el tamaño de la muestra es 5 y la duració media observada X es de 45 h, obtégase u itervalo de cofiaza al 90% para µ. 4
a. El tamaño muestral se obtiee a partir del máximo error admitido. ε > Z > Z ε Nivel de cofiaza : 0,95 0,05 z φ φ φ 0,05 940 >,96 445,8 446 00 b. Nivel de cofiaza del 90%: 0, 9 ; 0, 0, Z φ φ φ 0,9500, Itervalo de cofiaza: ( ) 645 940 940 x Z, x + Z 45,645,45 +,645 5 5 ( 0,9750), 96 ( 0,68) Co ua cofiaza del 90% se puede estimar que la duració e horas de este tipo de bombillas va a estar compredido etre 0 y 68 h. Modelo 03. Problema 5A.- (Calificació máxima: putos) El peso e gramos del coteido de las cajas de cereales de ua cierta marca se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ descoocida y desviació típica igual a 5 gramos. Se toma ua muestra de tamaño 44: a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la muestra y µ sea meor de gramo. b) Si la media muestral obteida es igual a 499,5 gramos, determíese u itervalo de cofiaza co u ivel del 90% para el peso medio de ese tipo de cajas de cereales. a. x peso e gramos de ua caja de cereales. Variable cotiua co distribució Normal. x : Nµ, ( ) Las medias de muestras de 44 datos de la variable x, tambié sigue ua distribució Normal x : N µ, 44 Se pide calcular p ( x µ < ) Teiedo e cueta las propiedades del valor absoluto: x µ < µ < x < + µ ( x µ < ) p( µ < x < µ ) p + Tipificado la variable co los parámetros de la distribució de las media muestrales: µ µ x µ z,4 5 5 pµ < x < µ + p,4 < z <,4 5 µ + µ N x µ, x µ + z,4 5 5 ( ) ( ) ( z <,4) p( z,4) p( z <,4) p( z,4) p( z <,4) p( z <,4) p( z <,4) p( z <, ) ( ) p 4 p ( z <,40) φ (,40) 0,998 0, 9836 ( x µ < ) 98,36% p 5
b. Itervalo de cofiaza a partir de ua media muestral: x Z, x + Z x 499, 5 Nivel de cofiaza 90% 0, 9 ; 0, 5 44 5 5 499,5,65, 499,5 +,65 44 44 0, ; Z φ φ ( 0,9500), 65 ( 498'8, 500') Co u ivel de cofiaza del 90%, se puede asegurar que el peso medio de los paquetes de cereales va a estar compredido etre 498,8 g y 500, g, Modelo 03. Problema 5B.- (Calificació máxima: putos) La altura de los árboles de ua determiada comarca se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media descoocida y variaza 5 cm. Se toma ua muestra aleatoria simple y, para u ivel de cofiaza del 95%, se costruye u itervalo de cofiaza para la media poblacioal cuya amplitud es de,45 cm. a) Determíese el tamaño de la muestra seleccioada. b) Determíese el límite superior y el iferior del itervalo de cofiaza si la altura media para la muestra seleccioada fue de 70 cm. a. El tamaño muestral, se puede obteer a partir del error máximo admitido. El error máximo admitido es la mitad de la amplitud del itervalo. amplitud,45 ε max,5 cm El error máximo viee dado por la expresió: εmax > Z Despejado el úmero de datos de la muestra: > Z ε máx Nivel de cofiaza 95% 0, 95 ; 0, 05 ; 0,05 Z φ φ Variaza 5 5 ( 0,9750), 96 5 > Z,96 64 ε 65 máx,5 b. Itervalo de cofiaza coocida la media muestral es: ( 70 ε,70 + ) máx ε máx Itervalo de cofiaza ( 70 '5,70 + '5) ( 68'775,7'5 ) Septiembre 0. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) La duració e kilómetros de los eumáticos de ua cierta marca se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ descoocida y desviació típica igual a 3000 kilómetros. (a) Se toma ua muestra aleatoria simple de 00 eumáticos y se obtiee ua media muestral de 48000 kilómetros. Determíese u itervalo de cofiaza co u ivel del 90% para µ. 6
(b) Calcúlese el tamaño míimo que debe teer la muestra para que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la muestra y µ sea meor o igual a 000 kilómetros co probabilidad mayor o igual que 0,95. a. x Duració e Km de los eumáticos de ua cierta marca. x : Nµ, ; 3000 Km. ( ) Para muestras de tamaño 00, las medias muestrales tambié sigue ua distribució ormal. x : 3000 N µ, 00 Para ua muestra de este tamaño, se ha obteido ua media muestral de x 48000 A partir de la media de la muestra, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal es: x Z, x + Z φ Z Nivel de cofiaza 0,90 0,0 0, Z φ φ ( 0,95), 65 Sustituyedo e la expresió del itervalo: 3000 3000 48000,65, 48000 +,65 00 00 ( 47505, 48495) Co u ivel de cofiaza de 90% se puede asegurar que la media muestras de 00 eumáticos de esta marca va a estar compredida etre 47505 y 48495 Km. b. El tamaño muestral se puede obteer del error máximo admitido. ε > Z > Z ε Nivel de cofiaza 0,95 0,05 0,05 Z φ φ ( 0,9750), 96 Sustituyedo: 3000 >,96 34,6 35 elemetos 000 Septiembre 0. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) El tiempo de espera para ser atedido e u cierto establecimieto se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ descoocida y desviació típica igual a 3 miutos. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño. (a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la muestra y µ sea mayor que 0,5 miutos. (b) Determíese u itervalo de cofiaza co u ivel del 95% para µ, si la media de la muestra es igual a 7 miutos. a. x Tiempo de espera. Variable cotiua co distribució ormal ( x : Nµ, ( )). Si se toma muestras de elemetos y se calcula sus medias, las medias muestrales tambié sigue ua distribució ormal x : Nµ,. 7
r Se pide calcular: p ( x µ > 0,5) p ( x µ > 0,5) p( x µ 0,5) p( x µ 0,5) x µ 0,5 05 x µ 0,5 ( x µ > 0,5) p( x µ 0,5) p( 0,5 x µ 0,5) p( µ 0,5 x µ 0,5) p + Tipificado la variable co los parámetros de la distribució de las medias muestrales x : Nµ, µ 0,5 µ x µ x µ x µ x µ 0,5 z,83 3 x z : 3 3 µ + 0,5 µ x µ + 0,5 z,83 3 p ( x µ > 0,5) p( µ 0,5 x µ + 0,5) p(,83 z,83 ) p( z,83 ) p( z <, 83) 3 ( ) ( p( z,83 ) p( z >,83 )) ( p( z,83 ) ( p( z,83 ))) ( p( z,83 ) + p( z,83 ) ) ( p( z,83 ) ) p( z,83 ) + p( z,83 ) φ(,83 ) 0, 9664 ( x µ > 0,5) 0,067 6,7% p b. Itervalo de cofiaza para las medias maestrales de tamaño ; x Z, x + Z x 7 Nivel de cofiaza 0,95 0,05 Z φ φ φ 0,9750, 0,05 3 3 3 7,95, 7 +,96 ( 6'47, 7,53) ( ) 96 Co ua cofiaza del 95% se puede asegurar que el tiempo medio de espera para muestras de elemetos va a estar compredido etre 6 47 y 7,53 miutos Juio 0. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el precio e kilogramos de los alumos de u colegio de Educació Primaria el primer día de curso se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a,8 kg. Ua muestra aleatoria simple de 8 alumos de ese colegio proporcioa los siguietes resultados (e kg): 6 7,5 3 8 5,5 30,5 3 3,5 (a) Determíese u itervalo de cofiaza co u ivel del 90% para el peso medio de los alumos de ese colegio el primer día de curso. (b) Determíese el tamaño muestral míimo ecesario para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual que 0,9 kg co u ivel de cofiaza del 97%. x Peso de los alumos, variable cotiua aleatoria co distribució Normal x : Nµ, ( ) ;,8 kg Las medias muestrales de la variable de tamaño 8 tambié sigue ua distribució ormal. 8
Para 8: xi x 3 8 9 kg x : N µ,,8 N µ, 8 a. Nivel de cofiaza del 90%: 0, 9 ; 0, 0, Z φ φ φ ( 0,9500), 65 Itervalo de cofiaza:,8,8 x Z, x + Z 9,65, 9 +,65 8 8 ( 7 4, 30 6) Co ua cofiaza del 90% se puede estimar que el peso medio de los alumos el primer día de clase va a estar compredido etre 7,4 kg y 30,6 kg. b. ε má 0, 9 ; Nivel de cofiaza 97%; 0,97; 0,03 0,3 Z φ φ φ ( 0,9850), 7 εmá Z ;,8 Z.7 ε 0,9 45, 57 má 46 elemetos Juio 0. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el gasto que hace los idividuos de ua determiada població e regalos de Navidad se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ y desviació típica igual a 45 euros. (a) Se toma ua muestra aleatoria simple y se obtiee el itervalo de cofiaza (5,6 ; 7,) para µ, co u ivel de cofiaza del 95%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. (b) Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 64 para estimar µ. Calcúlese el error máximo cometido por esa estimació co u ivel de cofiaza del 90%. a. Los itervalos de cofiaza so itervalos de probabilidad, y estos so itervalos cetrados e el valor de la media. 5,6 + 7, x 6,4 Coocida la media se puede calcular el error máximo admitido, y del error el tamaño muestral ε máx x 5,6 6,4 5,6 9,8 Nivel de cofiaza del 95%: 0, 95 ; 0, 05 εmax Z ; Z ε máx 0,05 Z φ φ φ ( 0,9575), 96 9
45,96 8 9,8 b. εmax Z Nivel de cofiaza del 90%: 0, 9 ; 0, 0, Z φ φ φ 45 ε max,65 9,3 64 ( 0,9500), 65 Modelo 0. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que la cocetració de CO e el aire de ua determiada regió, medida e partes por milló (ppm), se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 0 ppm. a) Calcúlese el úmero míimo de observacioes ecesarias para que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la població y la media muestral sea meor o igual que ppm co u ivel de cofiaza mayor o igual que el 95%. b) Determíese u itervalo de cofiaza del 95% para la cocetració media de CO e el aire de la regió si la muestra elegida cotiee observacioes y la cocetració media muestral es igual a 350 ppm. a. Se pide calcular el tamaño muestral coocido el error máximo admitido ( ppm), la desviació típica de la variable (0 ppm) y el ivel de cofiaza exigido (95%). ε máx > Z ; > Z ε El valor crítico de Z Z se calcula a partir del ivel de cofiaza ( ) máx Z φ 0,05 : Z φ φ 0,95 : 0,05 ( 0,9750), 96 Sustituyedo e la expresió iicial se calcula el úmero de datos de la muestra. 0 > Z,96 384,6 ε 385 máx b. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal coocida la media de ua muestra de observacioes. x o 350 Z,96 0 0 x Z, x Z : o o + : 350,96, 350 +,96 0 ( 346,4 ; 353,6) Co u ivel de cofiaza de 95% se puede estimar que la media de la cocetració de CO e el aire de ua determiada regió va a estar compredida etre 346,4 y 353,6 ppm. Modelo 0. Ejercicio 4B. (Putuació máxima putos) Se supoe que la tesió de u tipo de líea eléctrica se puede aproximar por ua variable co distribució ormal de media µ 00V y desviació típica 0V. Cuál es la distribució de la tesió media de cuatro líeas eléctricas de este tipo, tomadas al azar y co idepedecia? 0
Se pide el tipo de distribució que sigue las medias de muestras de cuatro observacioes de ua variable que sigue ua distribució ormal de parámetros coocidos. 4 0 x : N( 00 V,0 V) x : N 00 V, V N( 00 V, 5 V) 4 Septiembre 0. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que la presió diastólica e ua determiada població se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media 98 mm y desviació típica 5 mm. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 9. a) Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 00 mm. b) Si se sabe que la media muestral es mayor que 00 mm, cuál es la probabilidad de que sea tambié meor que 04 mm? a. x Presió diastólica, variable cotiúa co distribució Normal. x : N 98,5 ( ) Las medias de muestras aleatorias de ueve elemetos de esta variable ( x ), tambié sigue ua distribució Normal. x : N 5 98, 9 x N x ( 98, 5) Para la variable media muestral se pide: x 00 ( ) 00 98 p x > 00 p z > 0,40 p z 0,40 N ( 98, 3) z 0,67 x Complemetario 5 ( ) ( ) p( z 0,40) φ( 0,40) F : 0,4 0'6554 0,3446 C : 0,00 ( x > 00) 34,46% p b. Se pide calcular ua probabilidad codicioada. p 00 x 04 p x < 04 < < x > 00 p x > 00 ( ) ( ) ( ) ( ) N 0, ( < x < 04) p 00 Nx x 00 ( 98, 5) x 04 z 0,40 04 98 p x,0 5 0,8849 0,6554 0,9 ( 0,40 <,0) φ(,0 ) φ( 0,40) ( ) N 0, Del apartado a, p ( x 00) 0, 3446 >, sustituyedo: ( x < 04 p ) ( 00 < x < 04) x > 00 p( x > 00) p ( x < 04 ) 65,5% 0,9 p 0,655 0,3446 x > 00 Septiembre 0. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Para determiar el coeficiete de iteligecia θ de ua persoa se le hace cotestar u cojuto de tests y se obtiee la media de sus putuacioes. Se supoe que la calificació de cada test se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media θ y desviació típica 0. a) Para ua muestra aleatoria simple de 9 tests, se ha obteido ua media muestral igual a 0 Determíese u itervalo de cofiaza para e al 95 %.
b) Cuál es el úmero míimo de tests que debería realizar la persoa para que el valor absoluto del error e la estimació de su coeficiete de iteligecia sea meor o igual que 5, co el mismo ivel de cofiaza? a. x putuació obteida e u test. Variable cotiua co distribució Normal, que sigue ua distribució: x : Nθ,0 ( ) Normal Para muestras de ueve test, las medias de los resultados tambié sigue ua distribució x : N x 0 θ, N 9 x 0 θ, 3 Se pide calcular u itervalo de probabilidad para θ a partir de la media de ua muestra de 9 test x o 0, co u ivel de cofiaza del 95%. ( ) El valor crítico de Z ( ) x o Z, x o + Z Z se obtiee del ivel de cofiaza que se requiere. Z φ Nivel de cofiaza 0,95 0,05 0,05 Z φ φ 0,9750, Sustituyedo los datos se obtiee el itervalo que se pide. 0 0 0,96, 0,96 + 9 9 ( ) 96 ( 03'5, 6,5) Co u ivel de cofiaza del 95% se puede estimar que la media del coeficiete de iteligecia persoa (θ) va a estar compredido etre 3,5 y 6,5. b. El tamaño de la muestra se relacioa co el error máximo admitido por la expresió: ε máx > Z : > Z ε máx 0 >,96 96,04 5 97 test Juio 0. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el tiempo medio diario dedicado a ver TV e ua cierta zoa se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ, y desviació típica igual a 5 miutos. Se ha tomado ua muestra aleatoria simple de 400 espectadores de TV e dicha zoa, obteiédose que el tiempo medio diario dedicado a ver TV es de 3 horas. a) Determíese u itervalo de cofiaza para µ co u ivel de cofiaza del 95%. b) Cuál ha de ser el tamaño míimo de la muestra para que el error e la estimació de µ sea meor o igual que 3 miutos, co u ivel de cofiaza del 90%? a. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal (µ) a partir de ua media muestral ( ) o viee dado por la siguiete expresió: xo z, x o + z x,
Dode z es el valor crítico de z que se obtiee del ivel de cofiaza que se especifica, es la desviació típica de la variable, es el úmero de elemetos de la muestra y x o es la media muestral expresada e miutos (la media y la desviació debe ir expresadas e las mismas uidades). Nivel de cofiaza : 0,95 0,05 z φ φ φ ( 0,9750), 96 0,05 Sustituyedo e la expresió: 5 5 80,96,80 +,96 400 400 ( 78'5, 8'5 ) Co u ivel de cofiaza del 95% se puede estimar que el tiempo medio diario dedicado a ver TV e dicha zoa estará compredido etre 78 5 y 8,5 miutos. b. El tamaño muestral esta relacioado co el error máximo por la expresió: εmáx > z Despejado el úmero de elemetos: > z ε máx Nivel de cofiaza : 0,90 0, z φ φ φ 0,95, 0, 5 >,645 67,65 68 elemetos 3 ( ) 645 Juio 0. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el precio (e euros) de u refresco se puede aproximar por ua variable aleatorio co distribució ormal de media µ y desviació típica igual a 0,09 euros. Se toma ua muestra aeatoria simple del precio del refresco e 0 establecimietos y resulta:,50 ;,60 ;,0 ; 0,90 ;,00 ;,60 ;,40 ; 0,90 ;,30 ;,0 a) Determíese u itervalo de cofiaza al 95 % para µ. b) Calcúlese el tamaño míimo que ha de teer la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y µ sea meor o igual que 0,0 euros co probabilidad mayor o igual que 0,99. a. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal (µ) a partir de ua media muestral ( x o ), viee dado por la siguiete expresió: xo z, xo + z Dode z es el valor crítico de z que se obtiee del ivel de cofiaza que se especifica, es la desviació típica de la variable, es el úmero de elemetos de la muestra y x o es la media de la muestra. xi,50 +,60 +,0 + 0,90 +,00 +,60 +,40 + 0,90 +,30 +,0 xo,5 0 Nivel de cofiaza : 0,95 0,05 z φ φ φ ( 0,9750), 96 0,05 Sustituyedo e la expresió: 3
0,09 0,09,5,96,,5 +,96 0 0 (,9 ; '3) Co u ivel de cofiaza del 95% se puede estimar que el precio medio (e euros) de u refresco estará compredido etre,9 y,3 euros. b. El tamaño muestral esta relacioado co el error máximo por la expresió: εmáx > z Despejado el úmero de elemetos: > z ε máx Nivel de cofiaza : 0,99 0,0 z φ φ φ 0,0 ε máx 0, 0,09 >,58 5,39 6 elemetos 0, ( 0,995), 58 Modelo 0. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos). Se supoe que el ivel de glucosa e sagre de los idividuos de ua població (medido e miligramos por decilitro) se puede aproximar por ua variable aleatoria co ua distribució ormal de media µ descoocida y desviació típica igual a 35 mg/dl. Cuál es el tamaño muestral míimo que permite garatizar que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y µ es meor que 0 mg/dl co ua probabilidad mayor o igual que 98%? El tamaño muestral se obtiee a partir del error máximo admitido. El valor de ε > Z > Z ε Z se obtiee del valor de probabilidad o ivel de cofiaza ( 0,98) 0,0 Z φ φ φ ( 0,9900), 33 Sustituyedo se obtiee el tamaño de la muestra. 35 > Z,33 6,6 7 Elemetos ε 0 Modelo 0. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se cosidera ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 5 y se obtiee ua media muestral igual a. a) Determíese u itervalo de cofiaza al 90% para estimar la media de la variable aleatoria. b) Determíese el tamaño míimo que ha de teer la muestra para que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la població y la media muestral sea meor o igual que 0, co u ivel de cofiaza de al meos el 95%. a. x: x : Nµ, x : N, x : N, 5 5 4
Itervalo de cofiaza para la media poblacioal a partir de ua media muestral: x z, x + z Dode, z φ, siedo Nivel de cofiaza 90% 0,90 0, 0, z φ φ ( 0,9500), 645,645, +,645 ( '34,'66 ) 5 5 b. El tamaño muestral se obtiee del error máximo admitido. εmáx > z > z ε máx z φ, siedo Nivel de cofiaza 95% 0,95 0,05 0,05 z φ φ ( 0,9750), 96 >,96 536,64 0, 537 elemetos Septiembre 00. F.M. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Para medir el coeficiete de iteligecia µ de u idividuo, se realiza test cuya calificació X se supoe que es ua variable aleatoria co distribució ormal de media igual a µ y desviació típica igual a 5. U cierto idividuo realiza 9 test co idepedecia. a) Si la calificació media de dichos test es igual a 08, determíese u itervalo de cofiaza al 95% para su coeficiete de iteligecia µ b) Si el idividuo que ha realizado los 9 test tiee u coeficiete de iteligecia µ 0, cuál es la probabilidad de que obtega ua calificació media muestral mayor que 0? a. Se pide calcular el itervalo de cofiaza para la media poblacioal coocida ua media muestral de ua variable co distribució ormal. x : N µ 5 9 9 ( µ,5) x : N, N ( µ, 5) E ua muestra de 9 test, se obteido ua madia: x o 08. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal (µ) a partir de ua media muestral ( x o ) viee dado por la expresió: Z + Z x o, x o x Dode Z se obtiee a partir del ivel de cofiaza ( ). 0,05 0,95 0,05: φ φ φ ( 0,9750), 96 z Sustituyedo e la expresió de itervalo de cofiaza: 5 5 08,96,08,96 + 9 9 ( 98,;7,8) 5
Co ua probabilidad del 95% se puede asegurar que el coeficiete itelectual del idividuo va a estar compredido etre 98, y 7,8. b. Coocida la distribució que sigue la variable x, se pide calcular la probabilidad de que la media de ua muestra sea mayor que u determiado valor. p 9 5 x : N( 0,5) x : N0, N x ( 0, 5) 9 N( 0, 5) x 0 > 0 0 p z >,00 p z,00 p z,00 φ, 00 z,00 5 0,977 0,08 ( x 0) ( ) ( ) ( ) ( ) La probabilidad de que la media de ueve test realizados por el idividuo sea mayor de 0 es del,8% Septiembre 00. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) El saldo e cueta a fi de año de los clietes de ua cierta etidad bacaria se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 400 euros. Co el fi de estimar la media del saldo e cueta a fi de año para los clietes de dicha etidad, se elige ua muestra aleatoria simple de 00 clietes. a) Cuál es el ivel máximo de cofiaza de la estimació si se sabe que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal es meor o igual que 66 euros? b) Calcúlese el tamaño míimo ecesario de la muestra que ha de observarse para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual que 40 euros, co u ivel de cofiaza del 95%. a. El problema se puede hacer de dos formas diferetes: por probabilidad o por error. Por probabilidad. El ivel de cofiaza de la estimació es: ( x µ 66) p( 66 x µ 66) p( µ 66 x µ 66) N. C. p + Las medias de las muestras de tamaño 00 de la variable x sigue ua distribució ormal. 400 x : N, N, µ µ N( µ, 40) 00 Para calcular la probabilidad, se tipifica la variable co los parámetros de la distribució. µ 66 µ N x x µ 66 z,65 p( µ 66 x µ + 66) 40 p(,65 z, 65) µ + 66 µ x µ + 66 z +,65 40 ( z,65) p( z <,65) p( z,65) p( z >,65) p( z,65) p( z, ) p 65 ( z,65) ( p( z,65) ) p( z,65) φ(,65) 0,9505 0, 90 p Nivel cofiaza 90,% Por error máximo admitido. El error máximo admitido viee dado por la expresió: ε máx Z De esta expresió se cooce todo meos el valor crítico de z ( Z ). 6
Teiedo e cueta que ε máx 66 00 Z,65 400 φ Z φ( Z ) : ( φ( Z ) φ(,65) ( ) ( 0,9505) 0, 099 Coocido el ivel de sigificació (), se calcula el ivel de cofiaza. N.C. 0,099 0,90 N.C. 90,% b. El tamaño muestral se calcula a partir de error máximo admitido ε máx > Z > Z ε máx N.C. 95% 0,05 Z 0,95 φ φ φ 0,9750, 0,05 400 >,96 4, 66 4 elemetos ( ) 96 Septiembre 00. F.G. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se cosidera ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 30. Se toma ua muestra simple de 36 elemetos. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media de la distribució ormal sea mayor o igual que 50. b) Determíese u itervalo de cofiaza del 95% para la media de la distribució ormal, si la media muestral es igual a 480. a. Se pide calcular la probabilidad de que las medias de las muestras de tamaño 36 de ua variable cotiua co distribució Normal, esté e u itervalo determiado mediate u valor absoluto. p x µ 50 p 50 x µ 50 p µ 50 x µ + 50 ( ) : ( ) : ( ) Si la variable cotiua x sigue ua distribució Normal, las medias de la muestras de tamaño 36 tambié sigue ua distribució ormal co la misma media y diferete desviació. 36 x : N µ, x : N µ, 36 ( ) Los parámetros de la distribució de las medias maestrales permite tipificar la variable. µ 50 µ 50 x µ 50 z ) 0,94 30 36 53,3 µ 50 + µ 50 x µ + 50 z ) 0,94 30 36 53,3 Co la variable tipificada la expresió queda: 7
p ( µ 50 x µ + 50) p( 0,94 z 0,94) p( z 0,94) + p( z 0, 94) Por simetria p p( z 0,94) p( z 0,94) 94 ( z 0,94) { Por complemetario} p( z < 0, ) ( p( z < 0,94) ) ( 0,864) 0, 347 ( x µ 50) 34,7% p Teiedo e cueta que la N(0, ) es simétrica: b. El itervalo de cofiaza para la media de ua variable cotiua a partir de la media de ua muestra de tamaño de dicha variable es: x o z, x o + z El valor crítico z, se obtiee a partir del ivel de cofiaza ( ). z φ 0,05 : z φ φ 0,9750, 0,95 : 0,05 Sustituyedo por los valores y operado: 30 30 480,96, 480,96 + 36 36 ( ) 96 ( 475,5; 494,5) Septiembre 00. F.G. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Para estudiar la media de ua població co distribució ormal de desviació típica igual a 5, se ha extraído ua muestra aleatoria simple de tamaño 00, co la que se ha obteido el itervalo de cofiaza (73,4 ; 76,56) para dicha població. a) Calcúlese la media de la muestra seleccioada. b) Calcúlese el ivel de cofiaza del itervalo obteido. a. Por tratarse de u itervalo de probabilidad, y por defiició de estos (itervalos cetrados e la media), la media muestral es la media aritmética de los extremos del itervalo. 73,4 + 76,56 x o 74,99 b. El ivel de cofiaza se puede calcular a partir de error. ε z ε Amplitud 76,56 73,4,57 00 z ε,57 3,4 5 ( z ) φ( 3,4 ) 0, 999 z φ φ 0,999 ( 0,999) 0, 006 Nivel de cofiaza 0,006 0,9984 Nivel de cofiaza 99,84% 8
Juio 00. F.G. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el tiempo de vida útil e miles de horas (Mh) de u cierto modelo de televisor, se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 0,5 Mh. Para ua muestra aleatoria simple de 4 televisores de dicho modelo, se obtiee ua media muestral de 9,84 Mh de vida útil. a) Hállese u itervalo de cofiaza al 95% para el tiempo de vida útil medio de los televisores de dicho modelo. b) Calcúlese el tamaño muestra! míimo ecesario para que el valor absoluto del error de la estimació de la media poblacioal mediate la media muestral sea iferior a 0, Mh co probabilidad mayor o igual que 0,95. a. x Tiempo de vida útil (Mh). Variable cotiua co distribució Normal. x : N µ, ( ) Si se toma muestras de tamaño, las medias maestrales tambié sigue ua distribució ormal cuyos parámetros so: x : N µ, El itervalo de cofiaza para la media de poblacioal a partir de la media de ua muestra de tamaño viee dado por la expresió: xo Z, xo Z El valor crítico de z se obtiee a partir del ivel de cofiaza (N.C. ). φ Z Para u ivel de cofiaza del 95 %: 0.95 0.05 : Z φ φ 0.975. 0.05 Sustituyedo por los datos del euciado e el itervalo de cofiaza: 0,5 0,5 8,84.96, 8,84 +.96 4 4 ( ) 96 ( 8.84, 9.33) Co ua probabilidad del 95% se puede estimar que el tiempo de vida útil del modelo de televisor va ha estar compredido etre 7,84 y 9,33 miles de horas. b. El error máximo admitido viee dado por la expresió: εmáx > Z Expresió que permite despejar el tamaño muestral e fució del error máximo admitido. > Z ε máx El valor crítico ( Z ) coicide co el del apartado aterior. 0,5 >,96 4,0 0, 5 9
Juio 00. F.M. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el tiempo de espera de ua llamada a ua líea de ateció al cliete de ua cierta empresa se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 0,5 miutos. Se toma ua muestra aleatoria simple de 00 llamadas y se obtiee u tiempo medio de espera igual a 6 miutos. a) Determíese u itervalo de cofiaza del 95% para el tiempo medio de espera de ua llamada a dicha líea de ateció al cliete. b) Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que debe observarse para que dicho itervalo de cofiaza tega ua logitud total igual o iferior a miuto? a. x tiempo de espera de ua llamada a ua líea de ateció al cliete. x: N(µ, ) Para estimar el valor medio de la variable (media poblacioal µ) se ha tomado ua muestra de tamaño 00 obteiedo como valor medio x o 6 mi. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal a partir de la media de ua muestra de tamaño 00 viee dado por la expresió: xo Z, xo + Z Z Es el valor crítico que se obtiee a partir del ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza 0,95 : 0,06 0,05 Z φ φ φ 0,9750, Sustituyedo los valores e el itervalo: 0,5 0,5 6,96, 6 +,96 00 00 ( ) 96 ( 5.9, 6.) Co ua cofiaza del 95% se puede estimar que el tiempo de espera de ua llamada a ua líea de ateció al cliete va a estar compredido etre 5,9 y 6, mi. b. El error máximo admitido viee dado por la expresió: εmáx > Z Expresió que permite despejar el tamaño muestral e fució del error máximo admitido. > Z ε máx El valor crítico ( Z ) se supoe que es el mismo que el del apartado aterior. El error máximo admitido se calcula a partir de la amplitud del itervalo (c). c c εmáx εmáx 0,5 0,5 >,96 3,84 4 0,5 Juio 00. F.G. Ejercicio 4. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el peso e kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por ua cierta empresa, se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 0,5 kg. Ua muestra aleatoria simple de 9 rollos ha dado u peso medio de 0,3 kg. a) Determíese u itervalo de cofiaza al 90% para el peso medio de los rollos de cable que produce dicha empresa. 0
b) Cuál debe ser el tamaño muestral míimo ecesario para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual que 0, kg, co probabilidad igual a 0,98? a. x Peso e kg de u rollo de cable eléctrico co distribució N (µ, ). Se pide estimar la media poblacioal del peso de los rollos (µ) a partir de la media de ua muestra simple de 9 rollos. Si la variable x sigue ua distribució ormal, las medias de tamaño 9 de esta variable tambié sigue ua distribució: x : Nµ, 0,5 N µ, 9 El itervalo de cofiaza para la media poblacioal viee dado por la expresió: xo Z, xo Z El valor crítico ( Z ) se obtiee a partir del ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza 0,90 : 0,0 0,0 Z φ φ φ 0,9500, Sustituyedo los valores e el itervalo: 0,5 0,5 0,3,65,0,3 +,65 9 9 ( ) 65 ( 0,0;0,57) Co ua cofiaza del 90% se puede estimar que el peso medio de los rollos de cable eléctrico va a estar compredido etre 0,0 y 0, 57 kg. b. El error máximo admitido viee dado por la expresió: εmáx > Z Expresió que permite despejar el tamaño muestral e fució del error máximo admitido. > Z ε máx El valor crítico ( Z ) se obtiee a partir del ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza 0,98 : 0,0 0,0 Z φ φ φ 0,9900, 0,5 >,33 33,93 0, 34 ( ) 33 Juio 00. F.G. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el precio de u kilo de patatas e ua cierta regió se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 0 cétimos de euro. Ua muestra aleatoria simple de tamaño 56 proporcioa u precio medio del kilo de patatas a 9 cétimos de euro. a) Determíese u itervalo de cofiaza del 95% para el precio medio de u kilo de patatas e la regió.
b) Se desea aumetar el ivel de cofiaza al 99% si aumetar el error de la estimació. Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que ha de observarse? a. x precio de u kilo de patatas. Variable cotiua co distribució Normal. x : N µ, ( ) Si se toma muestras de tamaño, las medias maestrales tambié sigue ua distribució ormal cuyos parámetros so: x : N µ, El itervalo de cofiaza para la media de poblacioal a partir de la media de ua muestra de tamaño viee dado por la expresió: xo Z, xo Z El valor crítico de z se obtiee a partir del ivel de cofiaza (N.C. ). φ Z Para u ivel de cofiaza del 95 %: 0.95 0.05 : Z φ φ 0.975. 0.05 Sustituyedo por los datos del euciado e el itervalo de cofiaza: 0 0 9.96, 9 +.96 56 56 ( ) 96 ( 7.8, 0.) Co ua probabilidad del 95% se puede estimar que el precio medio del kilo de patatas va ha estar compredido etre 7.8 y 0. cétimos de euro. b. El tamaño muestral se estima a partir del error máximo admitido. εmáx > Z > Z εmáx El error máximo, se obtiee a partir de la amplitud del itervalo (c). c c εmáx : ε máx La amplitud del itervalo es el valor absoluto de la diferecia de sus extremos. 7.8 0. ε máx. El cambio de ivel de cofiaza, cambia el valor de 0.99 : Z 0.0 Z. φ 0.05 φ ( 0.9950), 58 Sustituyedo e la expresió se calcula el míimo tamaño muestral. 0 >.58 46.5 463.
Modelo 00. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que la duració de ua bombilla fabricada por ua cierta empresa se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media 900 horas y desviació típica 80 horas. La empresa vede 000 lotes de 00 bombillas cada uo. E cuatos lotes puede esperarse que la duració media de las bombillas que compoe el lote sobrepase 90 horas? x Duració de ua bombilla. Variable cotiua co distribució Normal N(µ, ). x : N 900, 80 ( ) Si se hace lotes de 00 bombillas, la duració media de las bombillas del lote tambié sigue ua distribució Normal. Tamaño ( ) x : N µ, x : N µ, x : 80 00 00 ( 80) x : N900, N ( 900, 8) N 900, Para calcular el úmero de lotes cuya vida media de las bombillas es superior a 90 horas, hay que calcular la probabilidad de que u lote tega ua vida media superior a 90 horas y multiplicar la probabilidad de u lote por el úmero de lotes (000). Probabilidad de que u lote tega ua vida media superior a 90 horas: x 90 p( x > 90) 90 900 p z >,5 p z.5 p z, 5 N x ( 90,8) z,5 8 Fila :, 0,8944 0,056 Columa : 0,05 x ( ) ( ) ( ) 000 > Nº de Lotes p( x 90) 000 0,056 05,6 07 lotes Modelo 00. Ejercicio 4B. (Putuació máxima putos) La temperatura corporal de ua especie de aves se puede aproximar mediate ua variable aleatoria co distribució ormal de media 40,5ºC y desviació típica de 4,9ºC. Se elige ua muestra aleatoria simple de 00 aves de esa especie. Sea X la media muestral de las temperaturas observadas. a) Cuáles so la media y la variaza de X? b) Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de dicha muestra esté compredida etre 39,9ºC y 4,ºC? a. x Temperatura corporal de ua especie de ave. Variable cotiua co distribució ormal N(µ, ). x : N( 40'5, 4'9) Si se toma ua muestra de 00 aves, la temperatura corporal media de las aves que forma la muestra tambié sigue ua distribució Normal co igual media y desviació igual a la desviació de la variable dividida por la raíz cuadrada del úmero de elemetos de la muestra. Tamaño x : N µ, x : N µ, x : ( ) µ 4,9 40'5 x : 00 0' 49 00 ( 4'9) x : N40'5, N ( 40'5, 0'49) N 40'5, Coocida la desviació típica (), se calcula la variaza ( ). 0'49 0'40 3
b. p( 39'9 x < 4' ) 39'9 40.5 x 39'9 z, < 0'49 p ' < z < ' N x ( 40'5, 0'49) 4' 40.5 x 4' z +, 0'49 ( ) ( z < ') p( z ') p( z < ') p( z ') p( z < ') p( z < ' ) p p Fila :' Columa : 0,0 ( z < ') ( p( z < ') ) p( z < ') 0'8888 0,7776 p 39'9 < x < 4' 77'76 ( ) % Septiembre 009. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el tiempo de ua coversació e u teléfoo móvil se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica,3 miutos. Se desea estimar la media del tiempo de las coversacioes mateidas co u error iferior o igual e valor absoluto a 0,5 miutos y co u grado de cofiaza del 95%. a) Calcúlese el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar para llevar a cabo dicha estimació mediate la media muestral. b) Si se supoe que la media del tiempo de las coversacioes es de,36 miutos y se elige ua muestra aleatoria simple de 6 usuarios, cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las coversacioes de la muestra esté compredido etre 4 y 5 miutos? a. x tiempo de ua coversació e u teléfoo móvil. x : N µ,,3 mi ( ) El tamaño muestral se calcula a partir del error máximo admitido segú la expresió: Emáx Z : Z E máx El valor crítico ( Z ) se obtiee a partir del ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza 0,95 : 0,05 0,05 Z φ φ φ 0,9750,,3 Sustituyedo: Z,96 6, 8 E máx 0,5 7 '3 6 6 b. x : N( 4'36,'3 ) x : N4'36, N ( 4'36, 0'33) p ( 4 x < 5) x ( ) 96 4 4,36 Tipificar x 4 z,09 0,33 < p,09 < z <, 94 N x ( 4'36, 0'33) 5 4,36 x 5 z,94 0,33 ( ) ( z <,94 ) p( z,09) p( z <,94 ) p( z,09 ) p( z <,94 ) p( z <, ) p 09 p Por simetria φ φ 0,9738 0,8508 0, ( z <,94) ( p( z <,09) ) φ(,94 ) ( φ(,09 )) Por cotrario (,94) (,94 ) ( ) 846 ( 4 < x < 5) 8,46% p F :,9 0,9738 C : 0,04 F :,0 0,8508 C : 0,04 4
Ejercicio 4. (Putuació máxima: putos) Se supoe que la estacia (e días) de u paciete e u cierto hospital se puede aproximar por ua variable aleatoria de distribució ormal co desviació típica de 9 días. De ua muestra aleatoria simple formada por 0 pacietes, se ha obteido ua media muestral igual a 8 días. a) Determíese u itervalo de cofiaza del 95 % para la estacia media de u paciete e dicho hospital. b) Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que ha de observarse para que dicho itervalo de cofiaza tega ua logitud total iferior o igual a 4 días? a. x Estacia e días de u paciete e u hospital. Variable aleatoria co distribució Normal. x : N µ, 9 días ( ) Para muestra de 0 pacietes, se ha obteido ua media muestral: x o 8 días El itervalo de cofiaza para la media del tiempo de estacia e u hospital a partir de la media de ua muestra de tamaño viee dado por la expresió: xo Z, xo Z El valor crítico ( Z ) se obtiee a partir del ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza 0,95 : 0,05 0,05 Z φ φ φ 0,9750, Sustituyedo los valores e el itervalo: 9 9 8,96, 8,96 0 0 ( ) 96 ( 4','9 ) Co ua cofiaza del 95 % se puede estimar que el tiempo medio de estacia e u hospital va a estar compredido etre 4, días y,9 días. b. El tamaño muestral se obtiee a partir de error máximo admitido, y este, de la amplitud del itervalo (c). c 4 E máx Emáx Z : Z E máx El valor crítico ( Z ) es el mismo que el del apartado a: Z, 96 9 Sustituyedo: Z,96 77, 8 E máx 78 Juio 009. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el gasto mesual dedicado al ocio por ua familia de u determiado país se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 55 euros. Se ha elegido ua muestra aleatoria simple de 8 familias, obteiédose u gasto medio de 30 euros. a) Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimació del gasto medio por familia mediate la media de la muestra es meor que 0 euros co u grado de cofiaza del 95%? Razóese la respuesta b) Cuál es el tamaño muestral míimo que debe tomarse para poder asegurarlo? 5
a. Las medias de las muestras de la variable x de tamaño 8 tambié sigue ua distribució ormal N µ,. La cuestió que platea se puede resolver de varias formas: i. Comprobado si p( x µ < 0) 0, 95 ; 55 N x µ, 8 + ( x µ ) < 0 : x < µ + 0 x µ < 0 : ± ( x µ ) < 0 : µ 0 < x < µ + 0 ( x µ ) < 0 : x + µ < 0 : x < µ + 0 : x < µ 0 µ 0 µ 0 µ 0 : z,64 55 55 p( µ 0 < x < µ + 0) 9 9 p(,64 < z <. 64) 55 µ + 0 µ 0 N x µ, µ + 0 : z,64 9 55 55 9 9 ( z <,64) p( z,64 ) p( z <,64 ) ( p( z <,64) ) p( z <,64) p 0,9495 0,899 < 0,95 No se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimació del gasto medio por familia mediate la media de la muestra es meor que 0 euros co u grado de cofiaza del 95%. ii. Comprobado si el error máximo es meor o igual a 0. El error máximo (ε max 0) para la estimació de la media poblacioal mediate u itervalo a partir de ua muestra viee expresado por: ε máx Z Dode Z se calcula a partir del ivel de cofiaza ( ) Z φ 0,05 : Z φ φ 0,9750 0,95 ( ), 96 55 ε máx 0,96,98 : No se cumple 8 b. Partiedo de la expresió del error máximo admitido se calcula el tamaño muestral. εmáx Z Z εmáx 55,96 6, 0 7 elemetos Juio 009. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se supoe que la catidad de agua (e litros) recogida cada día e ua estació meteorológica se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a litros. Se elige ua muestra aleatoria simple y se obtiee las siguietes catidades de agua recogidas cada día(e litros): 9, ; 4,9 ; 7,3 ;,8 ; 5,5 ; 6,0 ; 3,7 ; 8,6 ; 4,5 ; 7,6 a) Determíese u itervalo de cofiaza para la catidad media de agua recogida cada día e dicha estació, co u grado de cofiaza del 95%. b) Calcúlese el tamaño muestral míimo ecesario para que al estimar la media del agua recogida cada día e la estació meteorológica mediate la media de dicha muestra, la diferecia e valor absoluto etre ambos valores sea iferior a litro, co u grado de cofiaza del 98%. 6
a. x Catidad de agua recogida e u día. Variable cotiua que sigue ua distribució Normal x : N µ,. de media descoocida y desviació típica coocida ( ( )) La media de ua muestra de 0 elemetos ha sido: 9.+ 4.9 + 7.3 +.8 + 5.5 + 6.0 + 3.7 + 8.6 + 4.5 + 7.6 x 6 L 0 Las medias de la muestras de 0 elemetos de esta variable tambié sigue ua distribució Normal. x : N µ, 0 El itervalo de probabilidad para la media poblacioal a partir de la media muestral viee dado por la expresió: xo Z, xo + Z Dode Z /, viee determiado por el ivel de cofiaza. Nivel de cofiaza 0.95 0.05 0,05 Z φ φ φ 0.9750. Sustituyedo e el itervalo de probabilidad: 6.96, 6 +.96 0 0 ( ) 96 ( 4.76, 7.4) Co ua probabilidad del 95% se puede estimar que la media de la catidad de agua recogida e ua estació meteorológica va a estar compredida etre 4.76 L y 7.4 L. b. El tamaño muestral se calcula a partir del error máximo admitido. εmáx Z Z εmáx Z φ 0.0 : Z φ φ 0.98.33.7 ( 0.9900). 33 elemetos e la muestra Modelo 009. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que el peso de los iños recié acidos e ua cierta regió es ua variable aleatoria co distribució ormal de media 3,5 kg y desviació típica 0,8 kg. Se elige aleatoriamete ua muestra de 64 recié acidos e esa regió. Sea x la media muestral de los pesos observados. a) Cuáles so la media y la desviació típica de x? b) Cuál es la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté compredido etre 3,3 kg y 3,5 kg? x peso de los recié acidos. Variable cotiua que sigue ua distribució Normal de media 3,5 Kg y desviació típica de 0,8 Kg. x : N( 3'5, 0'8) a. Si se toma muestras de tamaño 64, las medias muestrales tambié sigue ua distribució Normal, co igual media y diferete desviació. 7
b. p( 3'3 < x < 3,5) 0'8 x : N3'5, 64 N( 3'5, 0') 3'3 3'5 ( 0') x 3'3 z 0'5 0' : p 0'5 < z <,5 x3'5 3'5 3'5 x 3'5 z '5 0' 0' N 3'5, z ( ) F :,5 φ(,50) 0'9938 C : 0,00 φ(,50) φ( 0,50) 0'9938 0'695 0'303 F : 0,5 φ( 0,50) 0'695 C : 0,00 ( 3'3 < x < 3,5) 30,3% p Modelo 009. Ejercicio 4B. (Putuació máxima: putos) Se ha elegido al azar 0 televisores de u taller de electróica y se ha aotado el úmero de horas que se ha ecesitado para su reparació. Los resultados ha sido: 7 ; 5 ; 8 ; ; 4 ; 7 ; 4 ; ; 6 ; 6 Se supoe que el úmero de horas de reparació de este tipo de televisores es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica,5 horas. a) Determíese u itervalo de cofiaza del 90% para el tiempo medio de reparació. b) Qué tamaño debe teer ua muestra para que el error máximo de la estimació sea de 0,5 horas co el mismo ivel de cofiaza? x Número de horas ecesarias para reparar u televisor. Variable cotiua que sigue ua distribució Normal x: N(µ, ). a. Se pide calcular u itervalo de cofiaza para la media poblacioal coocida la media de ua muestra de tamaño 0. Las medias muestrales de tamaño y ua variable co distribució Normal, tambié sigue ua distribució ormal cuyos parámetros so N x µ,. La media muestral se calcula co los datos de la muestra: x i 7 + 5 + 8 + + 4 + 7 + 4 + + 6 + 6 x o 5 0 El itervalo de probabilidad coocida ua media muestral viee dado por la expresió: x o z, x o z z se calcula a partir del ivel de cofiaza mediate la ecuació: φ z, ivel de sigificació, se calcula del ivel de cofiaza: Nivel de cofiaza 0,90 : 0, z 0, φ φ φ ( 0,95),65 ( ) N 0, Sustituyedo e el itervalo: 8
,5,5 5,65, 5,65 + 0 0 ( 4', 5'8) Co ua probabilidad del 90% se puede estimar que el tiempo medio de reparació de los televisores va a estar compredido etre 4, horas y 5,8 horas. b. El tamaño muestral se obtiee a partir del error máximo admitido.,5 ε máx z z,65 4,5 máx 0,5 ε 5 Septiembre 008. Ejercicio 4A. (Putuació máxima: putos) Se supoe que la calificació e Matemáticas obteida por los alumos de ua cierta clase es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica,5 putos. Se elige ua muestra aleatoria simple de tamaño 0 y se obtiee ua suma de sus calificacioes igual a 59,5 putos.. a) Determíese u itervalo de cofiaza al 95% para la calificació media de la clase b) Qué tamaño ha de teer la muestra para que el error máximo de la estimació sea de 0,5 putos, co el ivel de cofiaza del 95%? a. x calificació matemáticas. Variable cotiua que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació,5. x: N(µ, ),5 Se pide calcular u itervalo de probabilidad para la media de las calificacioes coocida la suma de las otas de diez alumos. Para ello se geera la variable media muestral ( x ) co muestra de tamaño 0. x : N µ, N µ, 0 Itervalo de probabilidad a partir de ua media muestral. x o Z, x o + Z Z se calcula a partir del ivel de cofiaza; Nivel de cofiaza 0 95 0,05 0,05 Z φ φ φ ( 0,9750), 96 La media muestral se calcula coocida la suma de las calificacioes de 0 alumos. 0 0 x i 59,5 x i 59,5 x o 5,95 0 0,5,5 x o Z, x o Z 5,95,96, 5,95,96 + ( 5,0, 6,88) + 0 0 Se puede estimar co ua probabilidad del 95% que la calificació media de matemáticas de la clase va a estar e el itervalo (5,0, 6,88). b. El tamaño muestral se calcula a parir del error máximo admitido.,5 ε máx Z Z,95 34,57 máx 0,5 ε 34 9