1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas. ( puntos) c) Hacer una gráfica de la función. ( puntos) a) El dominio de esta función es R {, }. Su derivada es: f ( ) ( ) ( ) ( ) La derivada se anula en = 0. Como además no está definida en = y en =, hay que considerar los intervalos que indicamos a continuación: Si <, f () > 0 f() crece. Si < < 0, f () > 0 f() crece. Si 0 < <, f () < 0 f() decrece. (En = 0 se tendrá un máimo relativo.) Si >, f () < 0 f() decrece. Nota: Podría observarse que la función es par. b) lím = es una asíntota vertical. Si, f() + Si +, f() lím = es una asíntota vertical. Si, f() Si +, f() + lím 1 y = 1 es una asíntota horizontal. (La recta va por debajo de la curva, pues >.) Su gráfica aproimada es:
EXJ05. Representar gráficamente la función f() = sen en el intervalo < <, determinando sus etremos (máimos y mínimos relativos). La función dada está definida en toda la recta real; y, por tanto en el intervalo (, ) Estudiamos su crecimiento y decrecimiento y sus máimos y mínimos: f() = sen f () = 1 cos f () = sen f () = 1 cos = 0 cos = ½ = /, = / Como f (/) = sen(/) = < 0 en = / se tiene un máimo. Como f (/) = sen(/) = > 0 en = / se tiene un mínimo. Por otra parte: si < < /, f () > 0 f() es creciente si / < < /, f () < 0 f() es decreciente si / < <, f () > 0 f() es creciente Algunos valores de la función son: 5/ / / /6 0 f() 5/6 + 1 / + / /6 + 1 0 Como la función es impar: 0 /6 / / 5/ f() 0 /6 1 / / 5/6 1 Su gráfica es:
LRS05. Estudia y representa la función y e. La función está definida para todo número real. Su recorrido es positivo: e 0. Es una función par: e ( ) e Tiene una asíntota horizontal: Crecimiento y decrecimiento: lím e y e y e se anula en = 0 Si < 0, y > 0 la función crece. Si > 0, y < 0 la función decrece En = 0 hay un máimo. Concavidad y conveidad: y e y 1 e 16 e e ( ) 0 6 se anula en / 0,9 y en = 0 Si /, y > 0 la función convea (). Si / 0, y < 0 la función cóncava (). Por la simetría: si 0 / la función es cóncava y si / será convea. Pueden darse algunos valores: (1, 1/e) (1, 0,7), (0,5, 0,9), (0, 1); (0,5, 0,9), (1, 0,7) Se obtiene la gráfica:
RMJ05. Se considera la curva definida por la función: y. Se pide: 1 1. Dominio de definición, cortes con los ejes y simetrías.. Asíntotas.. Intervalos de crecimiento de la función. Tiene etremos la función?. Representación aproimada de la curva. 5. Cuál será la gráfica de la curva y 1? 1 1. La función está definida siempre, pues el denominador no se anula en ningún caso. Corte ejes: si = 0 y = 0 punto (0, 0) si y = 0 = 0 se obtiene el mismo punto. La función es simétrica respecto del origen de coordenadas (impar), pues ( ) f ( ) f ( ) ( ) 1 1. Tiene una asíntota oblicua (y = m + n), pues: f ( ) m = lím lím 1 ( 1) n = lím ( f ( ) m) lím 0 1 lím 1 La asíntota es la recta y =. y Como y, 1 1 1 cuando +, la curva va por debajo de la asíntota ( resta) 1 cuando, la curva va por encima de la asíntota ( suma) 1 ( 1) ( ) ( ). Derivamos: y. ( 1) ( 1) Salvo en = 0, la derivada siempre es positiva la función es creciente siempre. En consecuencia no tiene etremos. En = 0 hay un punto de infleión con tangente horizontal.. Algunos valores de la curva son: (0, 0), (1, ½), (, 8/5), (, 7/10), y sus simétricos. Representándolos se obtiene la gráfica siguiente. 5. La gráfica de y 1 se obtiene trasladando 1 una unidad hacia arriba la curva anterior. (En la figura se dibuja de color rojo.)
5 PVS05 5. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( ) e. Como consecuencia calcular los máimos y mínimos locales de f y representar su gráfica. Hacemos la derivada: f ( ) e f ( ) e e e ( ) La derivada se anula cuando = 0 y =, por tanto debemos estudiar lo que pasa en los intervalos: < 0; 0 < < ; >. si < 0, f () < 0 f es decreciente; si 0 < <, f () > 0 f es creciente; si >, f () < 0 f es decreciente; Como la derivada se anula en = 0, es decreciente si < 0 y creciente cuando > 0, en = 0 la función tiene un mínimo. De manera análoga concluimos que en = se da un máimo. Para trazar su gráfica, además de lo dicho, puede observarse que: La función siempre toma valores mayores o iguales que 0, pues tanto como e nunca toman valores negativos. La función tiene una asíntota horizontal hacía más infinito (la recta y = 0), pues lím 1 1 Algunos puntos de la gráfica son: (1, e); (0, 0), el mínimo; (1, 1/e) = (1, 0,7); (, 16/e ) = (,,); (, 56/e ) = (,,7), máimo; (8, 1,) Así se obtiene la gráfica siguiente:
6 EXJ00 6. Determinar el dominio de definición de la función f ( ) ln( 1) y representar su gráfica, calculando los intervalos de crecimiento y los etremos (máimos y mínimos relativos). Dominio: R [ 1, 1]. En = 1 y en = 1 la función tiene sendas asíntotas verticales. f ( ) 1 f ( ) 0 si 1 0 1 1 Si < 1, f () > 0 f() crece. Si 1 1, f () < 0 f() decrece. Si 1, f () > 0 f() crece. (En 1 habrá un mínimo.) f ( ) > 0 para todo punto de su dominio. La función es cóncava () en todo su ( 1) dominio. Su gráfica es la siguiente: Observación. Aprovechando los cálculos anteriores, comprueba que la gráfica de la función f ( ) ln( 1) es la adjunta
7 CMJ0 1 7. Dada la curva y se pide: 1 a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay. b) Asíntotas, si las hay. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos, si los hay. e) Una representación aproimada de la misma. Como el denominador no se anula para ningún valor de, el dominio de definición es todo R. Corte con los ejes: Si = 0 y = 1. Punto (0, 1). Si y = 0 1 = 0 = 1, = 1. Puntos (1, 0) y (1, 0). b) No hay asíntotas verticales: la función nunca de va al infinito. 1 Como lím 1 la recta y = 1 es asíntota horizontal de la curva, tanto hacia + 1 como hacia. c) Derivando: ( 1) ( 1) y ( 1) ( 1) Si = 0, y = 0 en = 0 puede haber máimo o mínimo. Si < 0, y < 0 la función es decreciente. Si > 0, y > 0 la función es creciente. d) Como la función decrece a la izquierda de = 0 y crece a su derecha, en = 0 hay un punto mínimo. También puede comprobarse viendo que y (0) > 0. El efecto, como ( 1) ( 1) y y (0) = > 0. ( 1) ( 1) e) Además de la información obtenida puede verse que la curva es simétrica respecto del eje OY; si calculamos algunos valores más, como (, 8/10), (, /5); (, /5), (, 8/10), puede dibujarse la gráfica siguiente.
8 PVS0 8. Se considera la función f ( ). Describir el dominio de definición, los intervalos de 1 crecimiento y los etremos de f. Trazar un esquema de su gráfica. La función está definida para todo número real distinto de 1: Dom (f) = R {1, 1} Crecimiento: f ( ) 1 f ( ) ( ( 1) 1) ( 1) La derivada se anula cuando = 0, por tanto debemos estudiar lo que pasa en los intervalos: < 1; 1 < < 0; 0 < < 1; > 1 si < 1, f () > 0 f es creciente; si 1 < < 0, f () > 0 f es creciente; si 0 < < 1, f () < 0 f es decreciente; si > 1, f () < 0 f es decreciente; Como la derivada se anula en = 0, es creciente si < 0 y decreciente cuando > 0, en = 0 la función tiene un máimo. Para trazar su gráfica, además de lo dicho, puede observarse que: La función tiene dos asíntotas verticales, = 1 y = 1, y otra horizontal, y = 1. En efecto: lím ; lím 1 1 1 1 Algunos puntos de la gráfica son: (, /); (1/, 1/); (0, 0): máimo; (1/, 1/); (, /) Así se obtiene la gráfica adjunta
9 MAJ06 9. a) (1 punto) Dibujar la gráfica de la función f ( ) indicando su dominio, intervalos 1 de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. n b) (1 punto). Demostrar que la sucesión a n es monótona creciente. n 1 c) (1 punto). Calcular lím n a a ) a) Dom(f) = R {1}. Asíntotas: n ( n1 Tiene una asíntota vertical, la recta = 1, pues Cuando 1, f() +. Cuando 1 +, f(). n lím 1 1. La recta y = es una asíntota horizontal, pues lím. 1 Cuando, f() + (la curva va por encima de la asíntota.) Cuando +, f() (la curva va por debajo de la asíntota.) Crecimiento: ( 1) f ( ) ( 1) ( 1) Como la derivada es positiva para todo de su dominio, la curva es siempre creciente. Su gráfica es la siguiente. b) Una sucesión es monótona creciente cuando a n1 an 0, para todo n. En este caso: ( n 1) n (n )( n 1) n( n ) an 1 an =, ( n 1) 1 n 1 ( n )( n 1) ( n )( n 1) que, efectivamente, es positivo para todo n. c) lím n a a ) n ( n1 n n = límn lím n ( n )( n 1) n n n
10 CVJ0 1 10. Encontrar razonadamente el punto de la curva y en el que la recta tangente a la 1 curva tiene pendiente máima y calcular el valor de esta pendiente. (, puntos). El punto en el que la curva tiene recta tangente con pendiente máima (o mínima) es un punto de infleión de la curva. (En efecto: la pendiente de la recta tangente a f() en un punto genérico viene dada por el valor de f (); para evitar confusiones escribiremos g( ) f ( ). El máimo de g() se obtiene en las soluciones de la ecuación g () = 0 que hacen negativa a la función g (). Por tanto en las soluciones de g ( ) f ( ) 0, que dan los posibles puntos de infleión de f().) Calculamos las tres primeras derivadas de la función: 1 y 1 y (1 ) 6 y (1 ) y (1 ) 1 1 La derivada segunda se anula en y en Como y ( 1/ ) 0 y y ( 1/ ) 0 la curva tiene recta tangente con pendiente máima 1 en el punto. / El valor de esa pendiente es y ( 1/ ) (1 1/ ) 9 8
11 CLS0 11. Sea f la función dada por f ( ), R. a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos c) Esbócese la gráfica de f., 0 a) Como, la función dada puede definirse así:, 0, 0 f ( ), 0 Esta función está definida siempre y es continua para todo valor de, incluido el 0, pues tanto por la izquierda como por la derecha de = 0, f(). Para ver la derivabilidad en = 0 estudiamos las derivadas laterales. Por la izquierda: f (0 Por la derecha: ) lím h0 f ( h) h f (0) lím h0 h h h h( h ) lím h h0 f ( h) f (0) h h h( h ) f (0 ) lím lím lím h0 h h0 h h0 h Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en = 0. b) Salvo en = 0, la derivada de la función es:, 0 f ( ), 0 Esta derivada se anula en los puntos = / y = /, por tanto se tiene: si < /, f () < 0 f () es decreciente si / < < 0, f () > 0 f () es creciente La función tiene un mínimo en = / si 0 < < /, f () < 0 f () es decreciente. (La función tiene un máimo en = 0) si > /, f () > 0 f () es creciente La función tiene un mínimo en = / c) La gráfica de la función viene dada por dos trozos de parábolas, f ( ) hasta = 0 y f ( ), desde = 0. Se obtiene la siguiente figura.
1 MAJ07 1. Dibujar la gráfica de la función f ( ) indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. La función puede definirse a trozos así:, 0 f ( ), 0 Por tanto, Dom(f) = R {}. En el punto = la curva tiene una asíntota vertical, pues lím. Cuando, f() +. Cuando +, f(). Por otra parte, las rectas y = 1 e y = 1 son asíntotas horizontales de la función. La primera, y = 1, hacia ; la segunda, y = 1, hacia +. En efecto: lím 1 y lím 1 Cuando, f() 1 (la curva va por debajo de la asíntota.) Cuando +, f() 1 (la curva va por debajo de la asíntota.) Crecimiento y decrecimiento:, 0 ( ) f ( ), 0 ( ) Como puede verse fácilmente, la función tampoco es derivable en = 0, pues por la izquierda su derivada es negativa (tiende a 1/) y por la derecha es positiva (tiende a 1/). También es inmediato ver que: si < 0, f () < 0 la función es decreciente; si < 0, f () > 0 la función es creciente. Con la información obtenida y dando algunos valores podemos dibujar la gráfica. Valores: (, 1/); (1, 1/); (0, 0); (1, 1); (1,5, ); (,5, 5); (, ); (, ); (6, /) La gráfica pedida es la adjunta.