Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular el límite de ua sucesió. 6. Aplicació práctica de los criterios de covergecia y de cálculos de límites. 7. Aplicació práctica de las sucesioes idetermiadas o idetermiacioes. 8. Aplicació práctica del cocepto de sucesioes equivaletes y sus aplicacioes al cálculo de límites. Coteidos 04-1. Defiició de sucesioes. Operacioes co sucesioes. 04-2. Cálculo del límite de ua sucesió. 04-3. Formas idetermiadas o idetermiacioes 04-4. Criterios de covergecia y cálculo de límites de sucesioes uméricas. 04-5. Equivalecia de sucesioes. Referecias AEM11 ALANINOS PRATS, J; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P. (2011) Cálculo co wxmaxima. APJ11 ALANINOS PRATS, J; APARICIO DEL PRADO, C; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P.; VILLENA MUÑOZ, A.R. (2011) Prácticas de ordeador co wxmaxima.
BR09 BRUZÓN GALLEGO, M. DE LOS SANTOS; RAMÍREZ LABRADOR, JOSÉ (2009) Modelos matemáticos co Maxima BU07 DE BURGOS, JUAN (2007) Cálculo Ifiitesimal de ua variable (seguda edició). ES08 ESTELA CARBONELL, M. ROSA; SAÀ SEOANE, JOEL (2008) Cálculo co soporte iteractivo e moodle. ES02 ESTEP, DONALD (2002) Practical Aalysis i oe variable JB01 JARAUTA BRAGULAT, EUSEBI (2001) Aàlisi Matemàtica d ua variable. Foamets i aplicacios. RR05 REDONDO NEBLE, M. VICTORIA; RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2005) Itroducció a Maxima RR08b RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2008) Curso itesivo i-math de software libre orietado a Ciecias e Igeiería SP95 SPIVAK, MICHAEL (1995) Calculus (Càlcul Ifiitesimal). VR09 VALLEJO RODRÍGUEZ, JOSÉ ANTONIO (2009) Cálculo diferecial co Maxima 2 Tema 4: Sucesioes uméricas
04-1.- Defiició de sucesioes. Operacioes co sucesioes Los cálculos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_04-1.wxm. La maera habitual de expresar ua sucesió es mediate ua fució de variable discreta, es decir, ua fució defiida como ua aplicació del cojuto de los úmeros aturales e u subcojuto de los úmeros reales, tal que a cada úmero atural Î se le asiga u úico úmero real x Î. La otació habitual para desigar ua sucesió es ( x ) o simplemete Î térmio geeral o térmio -ésimo de la sucesió. x. El úmero real x se llama La sitaxis para defiir ua sucesió co wxmaxima es secilla; hay que asigar ua deomiació al térmio geeral de la sucesió y escribir a cotiuació la expresió æ2 1ö de este térmio e fució del úmero atural ; por ejemplo, la sucesió - ç çè3 + 2 ø Î se defie mediate: Se puede obteer alguos térmios de la sucesió, explicitado el úmero atural atiimage del térmio de la sucesió; por ejemplo, los cico primeros térmios de la sucesió aterior so: Si se quiere obteer ua lista co uos cuatos térmios de la sucesió, esto se puede obteer mediate la istrucció makelist, que se puede cocretar co la istrució umer para idicar que se quiere los térmios e represetació decimal; así, por ejemplo: Tema 4: Sucesioes uméricas 3
Otros ejemplos de sucesioes y su defiició co wxmaxima: 4 Tema 4: Sucesioes uméricas
Otra maera de defiir o expresar ua sucesió es por recurrecia, que cosiste e dar ua expresió del valor del térmio geeral e fució de uo o más térmios ateriores i cocretar los valores iiciales que hace falta para teer correctamete defiida la sucesió. Ua sucesió defiida así se llama recurrete o defiida por recurrecia. Per ejemplo, la sucesió defiida por recurrecia mediate: x1 3 x 2 x 1, 2 se defie co wxmaxima de la forma siguiete: Otro ejemplo de sucesió recurrete: la sucesió defiida por: x1 3 1 3 x x1, 2 2 x 1 E wxmaxima se defie mediate: Y ahora u clásico de este tipo de sucesioes: la llamada sucesió de Fiboacci, defiida mediate: x1 1, x2 1 x x2 x 1, 3 Tema 4: Sucesioes uméricas 5
Se puede llevar a cabo operacioes algebraicas co sucesioes, mediate operacioes co sus térmios. Estas operacioes so: Suma / diferecia: ( x) ( y) ( x y) Producto: ( x) ( y) = ( xy) Producto por escalar: l ( x) = ( lx), lî Cociete: ( x )/( y ) = ( x / y ), y ¹ 0, " Î La sitaxis para hacer estas operacioes co wxmaxima es secilla: se defie ua ueva sucesió especificado las operacioes y las sucesioes que opera. A cotiuació se poe ejemplos de suma, diferecia, combiació de estas operacioes, producto y cociete: 6 Tema 4: Sucesioes uméricas
Co wxmaxima se puede obteer ua represetació gráfica de los putos, f( ) de ua sucesió, aspecto que puede ayudar a su iterpretació, al meos, e ua primera aproximació. La sitaxis es la que se puede ver a cotiuació y hay que observar que se ha de defiir dos listas, ua primera para los valores sucesivos de los úmeros aturales (abscisas) y ua seguda para los térmios correspodietes de la sucesió (ordeadas): Si la istrucció que se aplica es, como e este caso, wxplot2d, la gráfica se egacha a la salida. E cambio, si la istrucció es plot2d, etoces la salida es ua gráfica e u formato llamado guplot, que es u estádar adoptado por wxmaxima; hay que ir a la parte superior de la gráfica para modificar los parámetros de la represetació gráfica. Para copiarlo y pegarlo después e u documeto, hay que situar el cursor e la parte superior de la gráfica, pulsado co el botó derecho del rató, ir a optios y seleccioar copy to clipboard. Ua vez hecho esto, hay que ir al documeto y pegar la image. Tema 4: Sucesioes uméricas 7
Otro ejemplo. E este caso se trata de ua sucesió de tipo oscilate : Ahora u ejemplo de sucesió divergete hacia : Ahora u ejemplo de sucesió divergete hacia : 8 Tema 4: Sucesioes uméricas
Y ahora u ejemplo de sucesió covergete co sucesioes parciales de diferete comportamieto e la mootoía: E alguos casos, el térmio geeral de ua sucesió cotiee u úmero de térmios que depede del ídice ; por ejemplo, la sucesió ( a ) defiida por 1 1 1 a, 1 2 2 2 3 6 3 Por lo tato, el térmio a está defiido co la suma de úmeros; por lo tato, cada térmio cotiee u úmero de térmios que depede del ídice. Co wxmaxima esta sucesió se defie mediate la sitaxis siguiete: Observad que el programa escribe el térmio -ésimo efectuado operacioes de reordeació y racioalizado alguas de las expresioes que aparece. Por ejemplo: Tema 4: Sucesioes uméricas 9
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04-2.- Cálculo del límite de ua sucesió. Los cálculos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_04-2.wxm. Comezaremos recordado la defiició de límite de ua sucesió de úmeros reales. Se dice que ua sucesió ( x ) tiee límite el úmero real L Î si cualquiera que Î sea 0 existe 0 Î, que depede de, tal que para todo 0 se cumple x L. Ua sucesió que tiee límite real se dice covergete; ua sucesió que o tiee límite real se dice divergete. La otació habitual es lim x L o bie x L. Las sucesioes, e relació a si tiee o o límite, se clasifica e: covergetes, cuado tiee límite real; divergetes a ifiito, cuado su límite es o. oscilates, cuado o se cumple igua de las ateriores. La iterpretació de la defiició de límite de ua sucesió es bastate coocida: todos los térmios de la sucesió a partir del 0 -ésimo se ecuetra e el itervalo ] L, L [. Para comprobar que se cumple esta codició e ilustrarlo adecuadamete, lo haremos æ2-1ö co u ejemplo. Cosideramos la sucesió de úmeros reales ( x ) = ç 3 2 y çè + ø Î 2 comprobamos que es covergete y de límite L. E primer lugar calculamos la 3 diferecia L : x Tema 4: Sucesioes uméricas 11
Por lo tato, se ha de cumplir la equivalecia siguiete: 7 7 9 6 7 0 96 96 96 Esta codició equivale a 0 0 7 6 96 70 9 Ahora se trata de defiir las variables y aplicar el procedimieto co wxmaxima; podemos ver uos ejemplos de alguas iteracioes: Se puede ir dismiuyedo el valor asigado a 0 y verificado que se cumple la codició a partir de u úmero atural que se va icremetado a medida que 0 va dismiuyedo. Cuado se tiee defiida ua sucesió co wxmaxima como ua fució de variable discreta, ua istrucció secilla permite calcular el límite de esta sucesió. Se trata de escribir: limit(térmio geeral de la sucesió,, if) 12 Tema 4: Sucesioes uméricas
Veamos alguos ejemplos. æ2 1ö Sucesió - ç çè3 2 ø + Î : æ 1 ö Sucesió æ ö si ç : çè è ø ø Î 2 Sucesió ( ) + 2 + 1 : Î 2 Sucesió ( ) - + 2 + 1 : Î Sucesió ( - ) ( 1) Î : Tema 4: Sucesioes uméricas 13
Obsérvese que e este caso el programa respode id que sigifica que o se puede calcular el límite, ya que este o existe. æ 1 ö Sucesió æ ö 1 ç + ç : çèè ø ø Î Vale la pea recordar que se cumple la propiedad siguiete: si ( x ), etoces se cumple: æ x ö æ 1 ö lim 1 ç + = e çç ç x çèè ø A modo de comprobació: øî 14 Tema 4: Sucesioes uméricas
Límite de ua sucesió recurrete. Para calcular el límite de ua sucesió defiida por recurrecia o se puede aplicar la sitaxis aterior. E efecto, cosideremos la sucesió recurrete defiida por: x1 3 x 2 x 1, 2 Si la poemos e sitaxis de wxmaxima y calculamos el límite, obteemos la respuesta siguiete: E este tipo de sucesioes hace falta aplicar la metodología siguiete: demostrar que es covergete aplicado los criterios de covergecia, habitualmete, mootoía y acotació. Véase el apartado siguiete. Ua vez se ha demostrado que la sucesió es covergete, hay que escribir la ecuació que ha de cumplir el límite, defiida a partir de la fórmula recurrete de la sucesió; e este caso la ecuació es: lim( x ) 2 lim( x ) L 2 L 1 E wxmaxima la sitaxis es la siguiete: Como vemos, el programa o la puede resolver e esta forma; hace falta escribirla de la forma siguiete: Tema 4: Sucesioes uméricas 15
Aplicado las propiedades de la sucesió, se puede afirmar que o tiee setido que el límite sea egativo y, por lo tato, deducimos que L 2. Hay que isistir e que esta metodología ta solo es aplicable ua vez se ha demostrado que la sucesió es covergete. Por ejemplo, si se cosidera la sucesió recurrete defiida por: x1 1 x 2x 1 1, 2 y se quiere calcular el límite aplicado directamete la metodología descrita ates, se puede cocluir que lim( x ) 1: Esta coclusió es evidetemete falsa, ya que es imediato comprobar que x 2 1, 1 i, por lo tato, que se cumple lim( x ). E el caso de la sucesió de Fiboacci, defiida por: x1 1, x2 1 x x2 x 1, 3 es evidete que se trata de ua sucesió divergete a. E los ejercicios se propoe ua cuestió iteresate e relació a esta sucesió (ver ejercicio 04.10). 16 Tema 4: Sucesioes uméricas
04-3.- Formas idetermiadas o idetermiacioes Los cálculos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_04-3.wxm. Se llama formas idetermiadas o idetermiacioes las sucesioes costruidas co operacioes etre otras sucesioes, de maera que iicialmete o se puede afirmar ada sobre el límite de la sucesió. Veamos uos ejemplos. Ejemplo 04-3.1.- Cosideremos las sucesioes uméricas: 2 2 3 1; 1 1; 2 1; 3 1 x y y y Todas ellas cumple que tiee límite ifiito. Calculemos ahora el límite de la sucesió diferecia de la primera co cada ua de las otras: Como se ve, e cada caso da u resultado diferete, de maera que de etrada o se puede afirmar ada sobre cuál será el límite de la diferecia de dos sucesioes de límite ifiito y, por lo tato, esta diferecia es ua forma idetermiada. Ejemplo 04-3.2.- Cosideremos les sucesioes uméricas: 1 x ; 1 1 ; 2 1 ; 3 1 y y y 2 1 2 3 La primera es u ifiitésimo y las otras tres so ifiitos. Calculemos ahora el límite de la sucesió producto de la primera co cada ua de las otras: Tema 4: Sucesioes uméricas 17
Como se ve, e cada caso da u resultado diferete, de maera que de etrada o se puede afirmar ada sobre cuál será el límite del producto de dos sucesioes siedo la primera u ifiitésimo y la seguda u ifiito y, por lo tato, este producto es ua forma idetermiada. E la Tabla 04-1 hay las formas idetermiadas o idetermiacioes para sucesioes uméricas y la metodología de resolució, caso de que o se pueda obteer el límite co wxmaxima. Tipos de idetermiació Sucesioes Forma idetermiada Metodología de resolució - ( x ) ; ( y ) lim( x y ) 0. ( a ) 0; ( x ) lim( ax ) 0/0 ( a ) 0; ( b ) 0 lim( a / b ) Multiplicar y dividir por la suma ( x y ) Criterio de Stolz Criterio de Stolz / ( x ) ; ( y ) lim( x / y ) 1 ( ) 1; ( x) lim( x ) 0 0 b ( a) 0; ( b) 0 lim( a ) Criterio de Stolz Reducció al úmero e Aplicar logaritmos y después el criterio de Stolz 0 a ( a) 0; ( x) lim( x ) Tabla 04-1. Formas idetermiadas para sucesioes uméricas Aplicar logaritmos y después el criterio de Stolz 18 Tema 4: Sucesioes uméricas
04-4.- Criterios de covergecia y cálculo de límites de sucesioes uméricas. Los cálculos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_04-4.wxm. E este apartado se ve alguos criterios de covergecia y métodos de cálculo de límites que se aplica más a meudo e el aálisis de la covergecia y e el cálculo de límites de sucesioes. Ejemplo 04-4.1 (Criterio de compresió). Se cosidera la sucesió ( a) Î de úmeros reales defiida por: a 1 1 1, 1 2 2 2 3 6 3 Si la itroducimos e el programa wxmaxima y queremos calcular el límite obteemos: Por lo tato, o es posible hacer el cálculo de este límite de la maera secilla habitual. Etoces observamos lo siguiete: por u lado se cumple: a 1 1 1 1 1 y 2 2 2 2 2 2 3 6 3 3 3 3 Por otro lado: a 1 1 1 1 1 x 2 2 2 2 2 2 3 6 3 3 3 3 Ahora podemos calcular los límites de estas sucesioes co wxmaxima: Tema 4: Sucesioes uméricas 19
Por lo tato, por aplicació del criterio de compresió, se cumple lim( a ) 1. Ejemplo 04-4.2 (Teorema de la covergecia moótoa). Se cosidera la sucesió ( a ) Î de úmeros reales defiida por: a1 3 a 2 a 1, 2 Como ates, wxmaxima o da el límite de la sucesió. E efecto: Calculemos ahora los primeros térmios de esta sucesió: 20 Tema 4: Sucesioes uméricas
Esto permite ituir que la sucesió es moótoa decreciete; e efecto, si se supoe que a a 1 (hipótesis de iducció), etoces se cumple 2 a 2 a 1 y por lo tato 2a 2 a 1, es decir, a 1 a. Por lo tato, la sucesió ( a) Î es moótoa decreciete. Para ver que es acotada iferiormete, es suficiete observar que por defiició de la sucesió se cumple que a 0, 1. Por lo tato, la sucesió es covergete, e virtud del teorema de la covergecia moótoa. Ahora ya se puede aplicar la metodología de cálculo del límite: E defiitiva, se puede afirmar que lim( a ) 2. Ejemplo 04-4.3 (Criterio de la raíz -ésima). Se cosidera la sucesió ( a) úmeros reales defiida por: 2 a 2 1, 1 1/ Î de Defiimos la sucesió co wxmaxima y calculamos los primeros térmios de esta sucesió: a 1 Si costruimos la sucesió ( b) Î co b, se obtedrá: a Tema 4: Sucesioes uméricas 21
Calculamos ahora el límite de esta sucesió: Por lo tato, se cumple lim( a ) 1. Ejemplo 04-4.4 (Criterio de Stolz). Se cosidera la sucesió ( a) Î de úmeros reales defiida por: 1 1 1 a 2 log( ), 2 Defiimos e primer lugar la sucesió del umerador: Ahora la sucesió del deomiador y la sucesió cociete: Calculamos el límite de esta sucesió: 22 Tema 4: Sucesioes uméricas
Esta respuesta del programa sugiere que o se puede calcular el límite de la maera estádar. Aplicaremos el criterio de Stolz, ua vez se haya verificado que se cumple las codicioes para su aplicació: Ahora calculamos el límite de esta sucesió: Por lo tato, se cumple lim( a ) 1. Tema 4: Sucesioes uméricas 23
04-5.- Equivalecia de sucesioes Los cálculos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_04-5.wxm. El cocepto de equivalecia de sucesioes y su aplicació al cálculo de límites es puede ver e las referecies, particularmete e [BU07] y [JB01]. E este apartado se muestra alguos ejemplos de sucesioes equivaletes y se ilustra la aplicació de este cocepto al cálculo de límites de sucesioes. Recordemos que dos sucesioes uméricas ( a),( b ) se dice que so equivaletes, si, y a sólo si, se cumple lim 1. La otació habitual para desigar este hecho es b 2 2 4 ( a) ( b). Por ejemplo, las sucesioes uméricas a i b so 3 1 3 7 equivaletes. Si dos sucesioes so covergetes y equivaletes, etoces tiee el mismo límite; lo recíproco o es cierto, es decir, dos sucesioes puede ser covergetes y del mismo límite pero puede o ser equivaletes, como por ejemplo las 2 sucesioes a 2 3 1 i 2 4 b 4 3 7. La propiedad más iteresate a efectos prácticos de las sucesioes equivaletes es la siguiete: si ( a) ( a) y L lim( ab) existe, etoces L lim( b). Es decir, e productos y cocietes se puede sustituir alguos factores por factores equivaletes. Veamos a cotiuació alguos ejemplos de sucesioes equivaletes. Ejemplo 04-5.1. Si ( x ) es u ifiitésimo, es decir es tal que ( x) 0, etoces se cumple: ( x ) (si( x )) ; ( x ) (ta( x )) 1 Veamos, por ejemplo, el caso e que x 2 1 : 24 Tema 4: Sucesioes uméricas
Ejemplo 04-5.2. Si ( x ) 0 etoces se cumple: 2 ( x /2) (1- cos( x )) Veamos u ejemplo: Ejemplo 04-5.3. Si ( x ) 0 etoces se cumple: ( ) ( x x x e -1); (1 + x ) ( e ) Veamos u caso cocreto: Ejemplo 04-5.4. Si ( x ) 0 etoces se cumple: ( x ) log( x + 1) Veamos u caso cocreto: ( ) Tema 4: Sucesioes uméricas 25
Ejemplo 04-5.5. Si ( y ) 1 etoces se cumple: Veamos u caso cocreto: ( y ) ( y -1) log( ) Ejemplo 04-5.6. Para calcular el límite 1 1 1 31 2 3 lim 1 ( 2)log cos 4 1 se implemeta los cálculos co wxmaxima y obteemos: 26 Tema 4: Sucesioes uméricas
Aplicado la metodología idicada para sucesioes equivaletes y teiedo e cueta el Ejemplo 04-4.4, el límite aterior es el mismo que Co wxmaxima se obtiee el resultado: 3 lim ( 2)cos 4 1 Se puede aplicar las propiedades de las sucesioes equivaletes e sucesioes uméricas divergetes a. Si la sucesió umérica es poliómica: p p 1 a p ap 1 a 1 a0 la equivalecia más importate y de aplicació habitual es p p-1 p ( a p + ap- 1 + + a 1 + a0) ( a p ) Tema 4: Sucesioes uméricas 27
es decir, la aplicació de la propiedad: p a p a aa lim 1 p1 p1 1 0 p a p Fialmete, ua equivalecia muy útil es la de Stirlig: (!) ( - e 2p). E efecto: 28 Tema 4: Sucesioes uméricas