BOLETÍN DE MATEMÁTICAS DEL I.E.S. MATARRAÑA Número 8 - ABRIL. NÚMEROS DE LYCHREL Siempre itetamos traer a este boletí curiosidades que todo el mudo pueda eteder y que despierte el iterés del lector. E matemáticas muchas veces la utilidad de u cocepto viee después de su acimieto, tal vez este sea otro caso. E esta portada propoemos al lector que comiece eligiedo u úmero cualquiera, e pricipio de dos cifras, por o hacerlo muy tedioso. Nosotros elegimos el 8, ya que este el e boletí úmero 8. Ahora ivierta el orde de las cifras y sume ambos úmeros: 8 + 8. Repetimos el proceso: +. Vaya, u capicúa tras la seguda repetició del proceso. Cuátas iteracioes ha teido que hacer usted para coseguir u capicúa? Vamos a itetarlo co el 96. 96 + 69 887; 887+788675; 675+5767436; 7436+63473783; 3783+3873554... Parece que va para largo, lo dejamos de mometo. Se llama úmeros de Lychrel los úmeros aturales, e base, que o llega a dar u capicúa como resultado del proceso aterior. Su ombre de debe a Wade VaLadigham, y es ua especie de aagrama de Cheryl, el ombre de su ovia. Wade VaLadigham Los úmeros de ua cifra so todos de Lychrel. Los de dos cifras tambié, se llega a u capicúa e pocos pasos, auque hay casos extraños como el 89, que ecesita 4 iteracioes, para llegar a 8.83..3.88. Los ordeadores se ha puesto e marcha para buscar úmeros de este tipo. Uo de los que más iteracioes ecesita es el 86637899999, que tras 6 iteracioes alcaza u capicúa de más de cifras. Actualmete o se ha ecotrado igú úmero de Lychrel, pero tampoco se ha demostrado que o exista. E particular, para el 96 mecioado ates, los cálculos aú o ha dado co el capicúa que cierre el proceso. Joh Walker comezó esta búsqueda e 987 co u programa creado por él. Después de 3 años de fucioamieto y 45836 iteracioes el programa había llegado a u úmero de u milló de dígitos si ecotrar u capicúa. Otras persoas siguiero itetádolo llegádose a úmeros de 3 milloes de cifras si alcazar el capicúa. Por ello parece que 96 es el primer cadidato a Número de Lychrel. Pero hay muchos más cadidatos, alguos so estos: 95, 394, 689, 788, 79, 879, 495, 497, 585... y, claro, sus especulares 59, 493, 986, 887, 978,... Segú parece existe ua demostració e iteret de que 8899 es de Lychrel y ua deomiada Cojetura de Sara. E lugar de traerlas a uestra portada, le propoemos al lector otro jueguecillo: coja u úmero de tres cifras, por ejemplo el 345, ivierta el orde y reste el meor al mayor: 543 345 98. Ivierta el orde y ahora sume: 98 + 89 89. Puede alguie daros u úmero de tres cifras que tras estos dos pasos de resta y suma o acabe e 89?
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DEL 7 E uestras aulas se explica varios criterios de divisibilidad: u úmero es divisible etre dos si es par, etre tres si la suma de sus cifras lo es, etre cuatro si lo so sus dos últimas cifras, etre cico si acaba e ó 5, etre seis si lo es de dos y tres, etre ocho si lo so sus tres últimas cifras, etre ueve si lo es la suma de sus cifras... pero qué ha pasado co el siete?, o hay criterio, por malo que sea? Alguos salimos del paso diciedo que más vale hacer la divisió que aplicar los criterios existetes. E este artículo se muestra varias reglas para determiar si u úmero atural es divisible etre 7. Esta es la primera: se separa la cifra de las uidades y se multiplica por dos. Esta catidad se resta de lo que quedó del úmero (si la cifra de las uidades). Si se obtiee u múltiplo de 7, el úmero iicial tambié lo era. Si esa diferecia o lo es, el iicial tampoco. circuferecia que ue los úmeros del al 6 co flechas egras y luego flechas blacas como aparece e la figura. Si el úmero obteido tras la resta es demasiado grade y o sabemos si es múltiplo de 7 o o, se repite el proceso. Pogamos u ejemplo: 63. Cosideramos 3 6, y ahora 6-656, que es 8 7, luego 63 es múltiplo de 7. E cambio 755 o lo es, porque 75-65 y 6-6, que o lo es. Para úmeros grades hay que repetir el proceso, por ejemplo: 3976, primero se calcula 397 385, ahora se repite la operació para 385: 38-8, que sí es múltiplo de 7, por tato 3976 tambié. No es u criterio difícil y, e geeral o es largo. Por tato, o merece u lugar e la lista de criterios de divisibilidad? Pero hay más... El siguiete es u método presetado por David Wilso. Es u grafo que o sólo dice si u úmero es divisible etre 7 de maera algo más rápida que co el algoritmo aterior, sio que además tambié da el resto de la divisió del úmero etre siete. Se comieza co ua Se comieza desde el cero, y se recorre desde él tatas flechas egras como idique la primera cifra del úmero y después, desde dode se haya llegado, se sigue la flecha blaca-ua sola vez-. Se toma la seguda cifra y se hace lo mismo pero ahora co la seguda cifra: tatas flechas egras como ella idica y, después, ua blaca. Y así sucesivamete, hasta la cifra de las uidades, la última casilla a la que lleguemos idica el resto de la divisió etre 7. Está claro, se ecesita u ejemplo: cosideremos el úmero de teléfoo de uestro istituto: 85647. Comezamos e y recorremos 8 flechas egras, llegamos al y la blaca os lleva al tres. Desde ahí 5 egras os lleva al y la blaca, al tres. Ahora cero egras y ua blaca os lleva al. Seis egras os lleva al y la blaca al 3. (Nuestro úmero de teléfoo tiee ua extraña predilecció por el paseo a 3 ). Estamos e el 3, cuatro egras os lleva al cero, y la blaca, al cero. Por último, 7 egras os deja e el cero. Así, uestro teléfoo es múltiplo de 7. Y ahora la explicació, e realidad lo que hace el grafo aterior es la divisió, pero
cosiderado sólo restos. Co otació matemática: 85647 8 mód 7 5 mód 7 mód 7 3 36 mód 7 4 mód 7 7 mód 7. El operador módulo da como resultado el resto de la divisió etera. Por ejemplo mód7 da como resultado 6: el resto de la divisió de etre 7. separar grupos de cifras de 3 e 3, desde la derecha hacia la izquierda. Luego se suma los bloques impares, se suma los bloques pares y se resta los resultados. El úmero resultate será cogruete co el origial, módulo 7. Lo de partir el úmero e bloques es lo que hacemos co el criterio del, y tambié fucioa para 3, 77, 9 y 43, ya que es igual a 7 3. 85647 85-6473, 3-7. Más breve, imposible. Así que el lector familiarizado co la aritmética modular o tedrá dificultades e eteder por qué la distribució de flechas es la que es. El método fucioa porque se cumple que: ( a + b) mod 7 [( a) mod 7 + b] mod 7 El grafo está hecho de modo que las flechas blacas aputa a mod 7, siedo el úmero del círculo. Lo que, evidetemete, coicide co 3 mod 7. Co esta regla de las flechas blacas podemos olvidar el grafo de Wilso. Si el lector desea leer más sobre este tema puede cosultar http://es.wikipedia.org/wiki/divisibilidad Obviamete, se podría hacer otros grafos, igual de válidos pero probablemete meos prácticos para obteer criterios de divisibilidad para otros primos. Existe u método para reducir el estudio de la divisibilidad por 7 de u úmero a la de otro de tres cifras. Se parte del, que es múltiplo de 7, eso sigifica que es cogruete co -, módulo 7; así que basta co coger el úmero, "Múltiplos siceros" So ua curiosidad que aparece e la web de Blai Figueras (). Ha deomiado "múltiplos siceros" a los múltiplos de u úmero e los que la suma de sus cifras es este mismo úmero. Por ejemplo 4 es "múltiplo sicero" del 6, el 44 es "múltiplo sicero" del 9, el 5 lo es del 7, etc. Todos los úmeros tiee 'múltiplos siceros', se acepta el propio úmero como el primer elemeto de cada subcojuto. Pero hay más, para cada úmero, sus múltiplos siceros tiee ua o varias- distacias claves. Observa los de dos: {,,,,.,.,.,...} y los de tres: {3,,, 3,,,,,, 3,...}. Si saltamos al 8:{ 8, 8, 5, 4, 44, 5, 8,.6...} y al : { 9, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 9,...}. Los del { 48, 84, 56, 9, 8, 64, 336, 37, 48, 444,...} Se puede observar que la distacia etre "múltiplos siceros" es bastate costate para cada úmero, la más frecuete es 9 y, e todos los casos, so siempre múltiplos de 9, precisamete el úmero co más 'múltiplos siceros'. () http://www.xtec.es/~bfiguera/ 3
EL TEOREMA DE MORLEY Los putos de itersecció de los trisectores de los águlos de cualquier triágulo ABC determia triágulos equiláteros. Casi merece, por su belleza, ser el título de este breve artículo. Pero el mérito se lo damos a su autor. Sólo icluimos ua image, o añadimos ada más, esperamos que el lector lo disfrute. Frak Morley (86-937), fue ua persoa otable. Auque pasó los últimos 5 años de su vida e Estados Uidos (la mayoría e la uiversidad de Johs Hopkis) uca reució a su acioalidad britáica. Además de ser u matemático de primera fila era u excelete jugador de ajedrez. Este teorema, cometado de maera iformal por F. Morley a sus amigos de Cambridge, o se publicó hasta años más tarde de su descubrimieto. Fue e la Revista Japoesa de Educació Secudaria Joural of the Mathematical Associatio of Japa for the Secodary Educatio. (Número 6, diciembre de 94, pp.6-6). 4
FACTORIALES, SUBFACTORIALES Y MULTIFACTORIALES. ARTÍCULO El factorial de u úmero es u cocepto que suele aparecer e las aulas de secudaria. Pero su familia es larga y sigue creciedo. Es ua de las ramas de la matemática dode todos podemos hacer uestra aportació. Tal vez la de alguo de los lectores de Materraña sea recoocida e el futuro. Se llama factorial de u úmero atural al producto de todos los úmeros aturales desde hasta.! 3 (-) o bie:! k Así, por ejemplo: 8! 3 4 5 6 7 84.3. Para qué sirve el factorial? Pues para cotar. Si queremos saber de cuatas formas podemos ordear e u estate los tomos de ua eciclopedia, resulta que es de! maeras, y estas so: 3.68.8. Si las 5 persoas de ua clase etramos de uo e uo, de cuátas formas podemos hacerlo?, es decir, de cuátas maeras se puede ordear 5 persoas? Pues de 5!, esto so 5.5..43.33.985.984.. formas. E matemáticas se llama a esto permutacioes. Se deomia permutació ordiaria o si repetició de elemetos, a cada uo de los distitos grupos que puede formarse de maera que: - E cada grupo etra todos los elemetos, los. - U grupo se diferecia de otro úicamete e el orde de colocació de los elemetos. Está claro que si, etoces!. Tambié es cierto que si,!, auque esto sea u poco más difícil de justificar. Por eso, e pricipio, diremos que se acepta como bueo. Para valores grades de, el valor de! puede ser tedioso de calcular. Afortuadamete existe ua expresió aproximada para el factorial de, la fórmula de Stirlig:! π e Esta fórmula se la debemos a James Stirlig (69-77), u escocés amigo de Newto. Por ejemplo, para 6, 6! es 7 y la Fórmula se Stirlig da 7. Esta fórmula es muy útil para los matemáticos, pues su cálculo co ordeador k evita el cálculo mediate la defiició que tiee u altísimo coste computacioal. Existe el factorial de u úmero o etero? y de uo egativo? Pues sí, para empezar diremos que el factorial de / es π, y que, por tato, haciedo uso de que! (-)!: 3 3 3!! π 4 5 5 3 5!! π 8 e icluso:!! π etoces! π Puede el lector averiguar cuáto es (7/)!? Y (-7/)!? E geeral, el factorial de se geeraliza para cualquier úmero real mediate la Fució Gamma, de maera que t t e dtγ( + )! La fució Gamma se defie para todo úmero complejo co parte real positiva de la siguiete forma: Γ z t ( z) t e dt Esta defiició puede extederse, siedo el cojuto de los úmeros eteros egativos. Coozcamos alguas propiedades de Γ(z):. Γ() e t dt e + e. Sirva, pues, de justificació de que!.. Γ ( z+ ) z Γ( z) 3. Para todo atural: Γ ( + ) Γ( )! (cosecuecia de la propiedad aterior) 4. Γ t u ( ) t e dt e du π (*) (*)co el cambio: tu. 5
z 5. Γ( z) Γ z+ π Γ(z) Pero hay más: el doble factorial. Por ejemplo: 8!! 4 6 8 384 y 9!! 3 5 7 9 945. Así, se defie si ó! 4 6... si es par 3 5... si es impar La sucesió de dobles factoriales, para,,, es la siguiete:,,, 3, 8, 5, 48, 5, 384, 945, 384,... La defiició aterior puede extederse para defiir el doble factorial de úmeros egativos: a!! ( a )!! a Así: a!! -!!/ - No existe -3 - -/ - -4 - No existe -5-3 - / (-3) /3-6 -4 No existe -7-5 -/5 Como se ve, el doble factorial de u úmero par egativo o está defiido. Alguas idetidades de los dobles factoriales:.!!! ( )!!. ( )!!! 3. (+ )! (+ )!! ()!! ( )! 4. ( )!! ( )!! 5. ( )!! Γ + π Ua preguta secilla: Es (!!)! (!)!!? El Primorial. El primorial se defie de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los úmeros primos meores o iguales que. 3#. 3 6, 5# 6#. 3. 5 3, 7# 8# 9# # 3#. 3. 5. 7.. 3 33. Distribució de factoriales y primoriales. El subfactorial. Como se ha dicho, el factorial de u úmero dice el úmero de formas e que objetos se puede ordear. El úmero e que objetos, que supogamos está umerados de a, se puede ordear si que igú objeto esté e su posició es el subfactorial de. Suele represetarse de dos formas, igua de ellas está geeralmete aceptada: ó, auque es preferible la seguda. El subfactorial se puede obteer del factorial k ( ) mediate:! k k!! y otra: + e dode x es la fució parte etera, es decir, el mayor etero que es meor que x. Además. E pricipio el subfactorial puede parecer ua curiosidad matemática, ua abstracció si mucho que ver co la realidad. Pero lo cierto es que existe situacioes e las que esta defiició cuadra a la perfecció. Como se ha dicho, el subfactorial cueta las ordeacioes de elemetos e las que iguo de ellos ocupa la posició iicial. Cuádo puede aparecer esto? Pues, por ejemplo, e el coocido amigo ivisible. E él, todo el mudo ofrece u regalo a alguie co la codició de que adie puede recibir su propio regalo. Por ello, el subfactorial cueta el úmero de formas e las que puede repartirse esos regalos. La próxima vez que el lector participe e ua diámica de este tipo, puede ofrecer como regalo u ejemplar de este boletí. Por cierto, podría calcular ua tabla de subfactoriales? Y!-? El úmero 48.349 es el úico que es igual a la suma de los subfactoriales de sus cifras: 6
48.349! +!4 +!8 +!3 +!4 +!9 El uso de subfactoriales a veces es permitido e el juego Cuatro cuatros, cosistete e obteer como resultado cualquier úmero atural pero operado sólo cuatro cuatros. El hecho que 4 9 es útil. Superfactorial. El superfactorial tiee ombre de héroe, tal vez por ello ha sido muchas las persoas que ha ivetado defiicioes para él. Neil Sloae y Simo Plouffe defiiero e 995 superfactorial de, sf(), como el producto de los primeros factoriales. Por ejemplo: sf(3)!! 3!. E geeral: sf ( ) k k! k k k+ 3 o, lo que es lo mismo: sf ( ) ( j i) i< j... ( ) lo que es el determiate de ua matriz de Vadermode. Los superfactoriales, desde,, so:,,,, 88, 3456, 4883,... Este superfactorial está relacioado co la Fució G de Bares mediate sf()g(+), su crecimieto puede verse e este gráfico: Por otra parte, Clifford Pickover e su libro de 995 Keys to Ifiity usa la otació $ para defiir otro superfactorial es decir, 4$, es elevar 4! a 4!, 4!- veces (e total aparece veiticuatro 4!). Co la otació de Kuth $ (!) (!) Está claro que $, $4, pero, cuáto es 3$? Hiperfactorial. Y por superhéroes que o quede: el hiperfactorial. k 3 H ( ) k 3... ( ) k Para,, 3, 4,... los valores H() so, 4, 8, 7648,... H(4).8474... 99 que es casi igual al gúgol y H(5) 8.896... 6 casi alcaza el úmero de Shao, este es, teóricamete el úmero de posibles partidas de ajedrez. Comparado co el superfactorial de Pickover, el hiperfactorial crece relativamete despacio. El hiperfactorial puede geeralizarse al campo complejo co la fució K, equivalete a la Gamma de los factoriales. Para acabar presetaremos los multifactoriales. La siguiete tabla recoge alguos ejemplos para,, 3, :!,, 6, 4,, 7,...!!,, 3, 8, 5, 48, 5,... (!!)!,, 3, 4,, 8, 8, 8, 6, 8,... (!!)!!,, 3, 4, 5,,, 3, 45,,... Como se ve, se trata de uir factoriales. Así, se puede defiir el k-ésimo factorial como si < k ( k )! ( k ) (( k)! ) si k que, como el lector puede comprobar, es ua geeralizació del doble factorial. Así 7!!!7 4 y 9!!!9 6 3. Y (k)! (k) k!. Del mismo modo que! o existe para eteros egativos i!! para eteros pares egativos,! (k), o está defiido para eteros egativos divisores de k. Alguos matemáticos ha sugerido usar la otació! k para los multifactoriales, pero su uso o se ha geeralizado. Por otro lado, e la literatura matemática existe u cuádruple factorial diferete del multifactorial! (4) ; viee dado por ()!/!, y su valor, para,,, es,,,, 68, 34, 6658,... Tal vez al lector le guste etreteerse e comprobar que ()!/! (4- )! (4) 7
Tres problemas fáciles. True or false. Do huma beigs live for as log as a millio hours? If you have bee alive for a millio secods, how may birthdays have you had? What year was it oe billio miutes ago? How log would it take to cout to oe millio? Suppose you were worth your weight i cois. How much would you be worth? Are oe hudred thousad buses eough to fit the populatio of Arago ito them? Could you ru oe thousad metres i oe miute? Could you eat exactly oe toe of food i a year without gettig either very thi or very fat? Could you walk as much as oe hudred thousad miles durig your lifetime? Could oe thousad drik cas fit ito oe cubic metre? Tres problemas meos fáciles. Observa el siguiete úmero: Tiee dos uos, dos doses, dos treses, dos cuatros, dos cicos, dos seises y dos sietes. Etre los dos uos hay u úmero. Etre los dos doses hay dos úmeros. Etre los dos treses hay tres. Etre los dos cuatros hay cuatro y así hasta que etre los dos sietes hay siete úmeros. Hay 6 posibilidades de colocarlos de esta maera (si cotar su forma especular). Puedes ecotrar algua? Y si o te atreves, mira: 33, es lo mismo pero co los úmeros del al 3. Puedes itetar lo mismo co úmeros del al 4? (Sólo hay ua maera de hacerlo). 4343.. La oruga piesa que tato ella como el lagarto está locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, el lagarto está cuerdo?. Poer e cada casilla los úmeros del al 8, co la codició de que la diferecia etre dos úmeros vecios o sea meor que 4. 3. Imagia que tiees estas piezas de madera: Cuátos úmeros diferetes puedes hacer? Piesa que puede ser de ua, dos, tres o cuatro cifras. Recuerda uestras direccioes: materraya@yahoo.es http://www.catedu.es/materraya http://materraya.iespaa.es 3. Seguro que cooces la leyeda de Ariada, aquí propoemos ua variate matemática: Ariada parte del úmero. Después reemplaza el por el, y después cada por, cada por y cada por. Obteiedo así la sucesió: ; ; ; ; ;.. Puedes decir e qué iteració su úmero tiee más de cifras? Y como este es u problema u poco difícil, Qué cifras hay a partir de la º? Idica de ellas. 8